הרצאה 1

בסיסים מתודולוגיים של מודלינג

המצב הנוכחי של הבעיה של מודלים של מערכת

מושגי מידול וסימולציה

דוּגמָנוּתיכול להיחשב כתחליף של האובייקט הנחקר (המקורי) בתמונה המותנית שלו, בתיאור או באובייקט אחר, הנקרא דֶגֶםומתן התנהגות קרובה למקור במסגרת הנחות מסוימות ושגיאות מקובלות. מידול מבוצע בדרך כלל במטרה להכיר את תכונות המקור על ידי בחינת הדגם שלו, ולא האובייקט עצמו. כמובן, סימולציה מוצדקת במקרה כאשר זה קל יותר ליצורהמקור עצמו, או כאשר האחרון, מסיבה כלשהי, עדיף לא ליצור כלל.

תַחַת דֶגֶםמובן אובייקט פיזי או מופשט, שתכונותיו דומות במובן מסוים לתכונותיו של האובייקט הנחקר.במקרה זה, הדרישות למודל נקבעות על פי הבעיה הנפתרת והאמצעים הזמינים. ישנן מספר דרישות כלליות לדגמים:

2) שלמות - מתן כל המידע הדרוש לנמען

על החפץ;

3) גמישות - היכולת לשחזר מצבים שונים בכל דבר

מגוון תנאים ופרמטרים משתנים;

4) מורכבות הפיתוח צריכה להיות מקובלת על הקיים

זמן ותוכנה.

דוּגמָנוּתהוא תהליך של בניית מודל של אובייקט וחקר תכונותיו על ידי בחינת המודל.

לפיכך, דוגמנות כוללת 2 שלבים עיקריים:

1) פיתוח מודלים;

2) לימוד המודל והסקת מסקנות.

במקביל, בכל שלב נפתרות משימות שונות ו

שיטות ואמצעים שונים במהות.

בפועל, ליישם שיטות שונותדוּגמָנוּת. בהתאם לשיטת היישום, ניתן לחלק את כל המודלים לשתי מחלקות גדולות: פיזית ומתמטית.

דוגמנות במתמטיקהנהוג לראות בו כאמצעי לחקר תהליכים או תופעות בעזרתם מודלים מתמטיים.

תַחַת דוגמנות פיזיתמתייחס לחקר אובייקטים ותופעות על מודלים פיזיקליים, כאשר התהליך הנחקר משוחזר תוך שמירה על טבע פיזיאו להשתמש בתופעה פיזיקלית אחרת הדומה לזו הנחקרת. איפה מודלים פיזייםככלל, הם מניחים את ההתגלמות האמיתית של אותם מאפיינים פיזיים של המקור החיוניים במצב מסוים. לדוגמה, בעת תכנון מטוס חדש, נוצר הדגם שלו בעל אותן תכונות אווירודינמיות; כאשר מתכננים בניין, אדריכלים עושים פריסה המשקפת את הסידור המרחבי של האלמנטים שלו. בהקשר זה, דוגמנות פיזית נקראת גם אב טיפוס.

HIL דוגמנותהוא מחקר של מערכות מבוקרות על מתחמי סימולציה עם הכללת ציוד אמיתי במודל. לצד ציוד אמיתי, המודל הסגור כולל סימולטורי השפעה והפרעות, מודלים מתמטיים של הסביבה החיצונית ותהליכים שלא ידוע להם תיאור מתמטי מדויק מספיק. הכללת ציוד אמיתי או מערכות אמיתיות במעגל למידול תהליכים מורכבים מאפשרת לצמצם אי ודאות אפריורית ולחקור תהליכים שאין לגביהם תיאור מתמטי מדויק. בעזרת סימולציה טבעית למחצה, מתבצעים מחקרים תוך התחשבות בקבועי זמן קטנים ואי-לינאריות הטבועים בציוד אמיתי. במחקר של דגמים עם הכללת ציוד אמיתי, נעשה שימוש בקונספט סימולציה דינמית, בחדר העבודה מערכות מורכבותותופעות - אֵבוֹלוּצִיוֹנִי, חיקויו סימולציה קיברנטית.

ברור, את התועלת האמיתית של דוגמנות ניתן להשיג רק אם מתקיימים שני תנאים:

1) המודל מספק תצוגה נכונה (המתאימה) של מאפיינים

המקורי, המשמעותי מנקודת המבט של המבצע הנחקר;

2) המודל מאפשר לבטל את הבעיות המפורטות לעיל, שהן אינהרנטיות

ביצוע מחקר על חפצים אמיתיים.

2. מושגי יסוד של מידול מתמטי

פתרון בעיות מעשיות בשיטות מתמטיות מתבצע באופן עקבי על ידי ניסוח הבעיה (פיתוח מודל מתמטי), בחירת שיטה ללימוד המודל המתמטי המתקבל וניתוח התוצאה המתמטית המתקבלת. הניסוח המתמטי של הבעיה מוצג בדרך כלל בצורה של תמונות גיאומטריות, פונקציות, מערכות משוואות וכו'. ניתן לייצג את התיאור של אובייקט (תופעה) באמצעות צורות מתמטיות רציפות או דיסקרטיות, דטרמיניסטיות או סטוכסטיות.

תורת המודלים המתמטייםמבטיח זיהוי של סדירות במהלך תופעות שונות של העולם הסובב או פעולת מערכות והתקנים על ידי תיאור מתמטי שלהם ומידול ללא בדיקות שטח. במקרה זה, נעשה שימוש בהוראות וחוקי המתמטיקה המתארים את התופעות, המערכות או המכשירים המדומים ברמה מסוימת של האידיאליזציה שלהם.

מודל מתמטי (MM)הוא תיאור פורמלי של מערכת (או פעולה) בשפה מופשטת כלשהי, למשל, בצורה של קבוצה של יחסים מתמטיים או סכימת אלגוריתם, כלומר. ה.תיאור מתמטי כזה המספק חיקוי של פעולת מערכות או מכשירים ברמה הקרובה מספיק להתנהגותם האמיתית המתקבלת במהלך בדיקה בקנה מידה מלא של מערכות או מכשירים.

כל MM מתאר אובייקט, תופעה או תהליך אמיתיים עם מידה מסוימת של קירוב למציאות. סוג המ"מ תלוי הן באופי האובייקט האמיתי והן במטרות המחקר.

דוגמנות במתמטיקהתופעות חברתיות, כלכליות, ביולוגיות ופיזיות, חפצים, מערכות והתקנים שונים הם אחד האמצעים החשובים ביותר להבנת הטבע ולעיצוב מגוון רחב של מערכות והתקנים. ישנן דוגמאות ידועות לשימוש יעיל במודלים ביצירת טכנולוגיות גרעיניות, מערכות תעופה וחלל, בתחזית תופעות אטמוספריות ואוקיאניות, מזג אוויר וכו'.

עם זאת, תחומים כה רציניים של דוגמנות דורשים לעתים קרובות מחשבי-על ושנים של עבודה של צוותים גדולים של מדענים כדי להכין נתונים למידול ולניפוי הבאגים שלו. עם זאת, במקרה זה, מידול מתמטי של מערכות והתקנים מורכבים לא רק חוסך כסף על מחקר ובדיקות, אלא יכול גם לחסל אסונות סביבתיים - למשל, הוא מאפשר לך לנטוש את הניסויים של נשק גרעיני ותרמו-גרעיני לטובת המודלים המתמטיים שלו. או בדיקת מערכות תעופה וחלל לפני הטיסות האמיתיות שלהן. במקביל, מודלים מתמטיים ברמת פתרון בעיות פשוטות יותר, למשל, מתחום המכניקה, הנדסת החשמל, האלקטרוניקה, הנדסת רדיו ותחומי מדע וטכנולוגיה רבים נוספים. כעת הופכים זמינים לביצוע במחשבים מודרניים. וכאשר משתמשים במודלים מוכללים, ניתן לדגמן מערכות מורכבות למדי, למשל, מערכות תקשורת ורשתות, מכ"ם או מערכות ניווט רדיו.

מטרת המודלים המתמטייםהוא ניתוח של תהליכים אמיתיים (בטבע או בטכנולוגיה) על ידי שיטות מתמטיות. בתורו, זה מצריך את הפורמליזציה של תהליך ה-MM כדי לחקור. המודל יכול להיות ביטוי מתמטי המכיל משתנים שהתנהגותם דומה להתנהגות של מערכת אמיתית. המודל יכול לכלול אלמנטים של אקראיות הלוקחים בחשבון את ההסתברויות של פעולות אפשריות של שניים או יותר "שחקנים", משחקים; או שהוא עשוי לייצג את המשתנים האמיתיים של החלקים המחוברים זה לזה של מערכת ההפעלה.

ניתן לחלק מודלים מתמטיים לחקר המאפיינים של מערכות לניתוח, סימולציה ומשולב. בתורו, MM מחולקים לסימולציה וניתוח.

דוגמנות אנליטית

ל דוגמנות אנליטיתזה אופייני שתהליכי התפקוד של המערכת נכתבים בצורה של כמה יחסים פונקציונליים (משוואות אלגבריות, דיפרנציאליות, אינטגרליות). ניתן לחקור את המודל האנליטי בשיטות הבאות:

1) אנליטיים, כאשר הם שואפים להשיג באופן כללי תלות מפורשת למאפייני מערכות;

2) מספרי, כאשר לא ניתן למצוא פתרון למשוואות בצורה כללית והן נפתרות עבור נתונים ראשוניים ספציפיים;

3) איכותי, כאשר בהיעדר פתרון נמצאות חלק מתכונותיו.

מודלים אנליטיים ניתן להשיג רק עבור מערכות פשוטות יחסית. עבור מערכות מורכבות, לעתים קרובות מתעוררות בעיות מתמטיות גדולות. כדי ליישם את השיטה האנליטית, הולכים לפישוט משמעותי של המודל המקורי. עם זאת, מחקר על מודל מפושט עוזר להשיג רק תוצאות אינדיקטיביות. מודלים אנליטיים משקפים בצורה מתמטית נכונה את הקשר בין משתנים ופרמטרים של קלט ופלט. אבל המבנה שלהם אינו משקף את המבנה הפנימי של האובייקט.

בדוגמנות אנליטית, תוצאותיו מוצגות בצורה של ביטויים אנליטיים. למשל, על ידי חיבור RC- מעגל למקור מתח קבוע ה(ר, גו ההם המרכיבים של מודל זה), נוכל ליצור ביטוי אנליטי לתלות הזמן של המתח u(ט) על הקבל ג:

זוהי משוואה דיפרנציאלית לינארית (DE) והיא מודל אנליטי של מעגל ליניארי פשוט זה. הפתרון האנליטי שלו, בתנאי ההתחלה u(0) = 0, כלומר קבל פרוק גבתחילת הסימולציה, מאפשר לך למצוא את התלות הנדרשת - בצורה של נוסחה:

u(ט) = ה(1− לְשֶׁעָבַרע(- ט/RC)). (2)

עם זאת, אפילו בדוגמה הפשוטה ביותר הזו, נדרשים מאמצים מסוימים כדי לפתור משוואה דיפרנציאלית (1) או ליישם מערכות מתמטיקה ממוחשבות(SCM) עם חישובים סימבוליים - מערכות אלגברה ממוחשבות. למקרה די טריוויאלי זה, הפתרון של הבעיה של דוגמנות ליניארי RC-מעגל נותן ביטוי אנליטי (2) בצורה כללית למדי - הוא מתאים לתיאור פעולת המעגל עבור כל דירוגי רכיבים ר, גו ה, ומתאר את המטען האקספוננציאלי של הקבל גדרך נגד רממקור מתח קבוע ה.

ללא ספק, מציאת פתרונות אנליטיים בדוגמנות אנליטית מתבררת כבעלת ערך רב לחשיפת החוקים התיאורטיים הכלליים של מעגלים, מערכות והתקנים ליניאריים פשוטים. עם זאת, מורכבותו עולה בחדות ככל שההשפעות על המודל הופכות מורכבות יותר והסדר והמספר של משוואות מצב המתארות את עליית האובייקט המודגם. אתה יכול לקבל תוצאות נראות פחות או יותר בעת מודלים של אובייקטים מהסדר השני או השלישי, אבל אפילו עם מסדר גבוה יותר, ביטויים אנליטיים הופכים למסורבלים מדי, מורכבים וקשים להבנה. למשל, אפילו מגבר אלקטרוני פשוט מכיל לרוב עשרות רכיבים. עם זאת, SCMs מודרניים רבים, כגון מערכות של מתמטיקה סמלית מייפל, מתמטיקהאו יום רביעי MATLABמסוגל להפוך את הפתרון לאוטומטי במידה רבה משימות מאתגרותדוגמנות אנליטית.

סוג אחד של דוגמנות הוא סימולציה מספרית,אשר מורכב מהשגת הנתונים הכמותיים הדרושים על התנהגות מערכות או מכשירים בכל שיטה מספרית מתאימה, כגון שיטות אוילר או רונגה-קוטה. בפועל, המידול של מערכות והתקנים לא ליניאריים באמצעות שיטות מספריות הוא הרבה יותר יעיל מאשר מידול אנליטי של מעגלים, מערכות או התקנים ליניאריים פרטיים. לדוגמה, כדי לפתור DE (1) או מערכות של DEs מעל מקרים קשיםהפתרון בצורה אנליטית אינו מתקבל, אך ניתן להשתמש בנתוני סימולציה מספריים כדי לקבל נתונים מלאים מספיק על התנהגות המערכות והמכשירים המדומים, כמו גם לשרטט גרפים המתארים התנהגות זו של תלות.

סימולציה

בְּ חיקויבדוגמנות, האלגוריתם שמיישם את המודל משחזר את תהליך פעולת המערכת בזמן. התופעות האלמנטריות המרכיבות את התהליך זוכות לחיקוי, תוך שימור המבנה הלוגי שלהן ורצף הזרימה בזמן.

היתרון העיקרי של מודלים סימולציה בהשוואה לאנליטיים הוא היכולת לפתור בעיות מורכבות יותר.

מודלים של סימולציה מקלים לקחת בחשבון את נוכחותם של אלמנטים בדידים או רציפים, מאפיינים לא ליניאריים, אפקטים אקראיים וכו'. לכן, שיטה זו נמצאת בשימוש נרחב בשלב התכנון של מערכות מורכבות. הכלי העיקרי להטמעת מידול סימולציה הוא מחשב המאפשר מידול דיגיטלי של מערכות ואותות.

בהקשר זה, אנו מגדירים את הביטוי " דוגמנות מחשב", אשר נמצא בשימוש יותר ויותר בספרות. אנו נניח זאת דוגמנות מחשב- זהו מידול מתמטי באמצעות טכנולוגיית מחשב. בהתאם לכך, טכנולוגיית הדמיית מחשב כוללת את הפעולות הבאות:

1) הגדרת מטרת הדוגמנות;

2) פיתוח מודל רעיוני;

3) פורמליזציה של המודל;

4) יישום תוכנה של המודל;

5) תכנון ניסויי מודל;

6) יישום תוכנית הניסוי;

7) ניתוח ופרשנות של תוצאות סימולציה.

בְּ דוגמנות סימולציהה-MM המשומש משחזר את האלגוריתם ("ההיגיון") של תפקוד המערכת הנחקרת בזמן לשילובים שונים של ערכים של פרמטרי המערכת והסביבה.

דוגמה למודל האנליטי הפשוט ביותר היא המשוואה של תנועה ישרה אחידה. כאשר לומדים תהליך כזה בעזרת מודל סימולציה, יש ליישם תצפית על השינוי בנתיב שעבר לאורך זמן. ברור שבמקרים מסוימים עדיף מידול אנליטי יותר, באחרים - סימולציה (או שילוב של שניהם) . כדי לעשות בחירה טובה, יש לענות על שתי שאלות.

מה מטרת הדוגמנות?

לאיזה מחלקה ניתן לשייך את התופעה המדומה?

תשובות לשתי השאלות הללו ניתן לקבל במהלך ביצוע שני השלבים הראשונים של המידול.

מודלים של סימולציה לא רק במאפיינים, אלא גם במבנה תואמים לאובייקט שמעצבים. במקרה זה, קיימת התאמה חד משמעית ומפורשת בין התהליכים המתקבלים במודל לבין התהליכים המתרחשים באובייקט. החיסרון של מידול סימולציה הוא שלוקח הרבה זמן לפתור את הבעיה על מנת להשיג דיוק טוב.

התוצאות של מודל סימולציה של פעולת מערכת סטוכסטית הן מימושים משתנים אקראייםאו תהליכים. לכן, כדי למצוא את מאפייני המערכת, נדרשות חזרה מרובה ועיבוד נתונים לאחר מכן. לרוב, במקרה זה, נעשה שימוש בסוג של סימולציה - סטָטִיסטִי

דוּגמָנוּת(או שיטת מונטה קרלו), כלומר. שכפול במודלים של גורמים אקראיים, אירועים, כמויות, תהליכים, שדות.

על פי תוצאות המודלים הסטטיסטיים נקבעות אומדנים של קריטריוני איכות הסתברותיים, כלליים ופרטיים, המאפיינים את תפקוד ויעילות המערכת המבוקרת. מודלים סטטיסטיים נמצאים בשימוש נרחב לפתרון בעיות מדעיות ויישומיות בתחומים שונים של מדע וטכנולוגיה. שיטות של מודלים סטטיסטיים נמצאים בשימוש נרחב בחקר מערכות דינמיות מורכבות, הערכת תפקודן ויעילותן.

השלב האחרון של מודלים סטטיסטיים מבוסס על עיבוד מתמטי של התוצאות שהתקבלו. כאן נעשה שימוש בשיטות של סטטיסטיקה מתמטית (הערכה פרמטרית ולא פרמטרית, בדיקת השערות). דוגמה להערכה פרמטרית היא ממוצע המדגם של מדד ביצועים. בין השיטות הלא פרמטריות, הנפוצות ביותר שיטת היסטוגרמה.

הסכימה הנחשבת מבוססת על מבחנים סטטיסטיים מרובים של המערכת ושיטות הסטטיסטיקה של משתנים אקראיים בלתי תלויים, סכימה זו רחוקה מלהיות טבעית בפועל ואופטימלית מבחינת עלויות. ניתן להשיג הפחתת זמן בדיקת המערכת על ידי שימוש בשיטות הערכה מדויקות יותר. כידוע מסטטיסטיקה מתמטית, לאומדנים יעילים יש את הדיוק הגבוה ביותר עבור גודל מדגם נתון. סינון אופטימלי ושיטת הסבירות המקסימלית נותנים שיטה כלליתהשגת אומדנים כאלה בבעיות של מודלים סטטיסטיים, עיבוד מימושים של תהליכים אקראיים נחוץ לא רק לניתוח תהליכי פלט.

חשוב מאוד גם לשלוט במאפיינים של אפקטים אקראיים של קלט. הבקרה מורכבת מבדיקה האם ההפצות של התהליכים שנוצרו תואמות את ההפצות הנתונות. משימה זו מנוסחת לעתים קרובות כ משימת בדיקת השערות.

המגמה הכללית בסימולציה ממוחשבת של מערכות מבוקרות מורכבות היא הרצון לצמצם את זמן הסימולציה, וכן לבצע מחקר בזמן אמת. אלגוריתמים חישוביים מיוצגים בצורה נוחה בצורה חוזרת המאפשרת יישום שלהם בקצב המידע הנוכחי.

עקרונות גישת מערכת במודלינג

יסודות תורת המערכות

ההוראות העיקריות של תורת המערכות התעוררו במהלך חקר המערכות הדינמיות והאלמנטים הפונקציונליים שלהן. מערכת מובנת כקבוצה של אלמנטים הקשורים זה בזה הפועלים יחד לביצוע משימה שנקבעה מראש. ניתוח מערכות מאפשר לך לקבוע את המרב דרכים אמיתיותביצוע המשימה שנקבעה, הבטחת סיפוק מירבי של הדרישות שנקבעו.

היסודות המהווים את הבסיס לתורת המערכות אינם נוצרים בעזרת השערות, אלא מתגלים בניסוי. על מנת להתחיל לבנות מערכת, יש צורך במאפיינים כלליים של תהליכים טכנולוגיים. הדבר נכון גם לגבי עקרונות יצירת קריטריונים מנוסחים מתמטית שתהליך או תיאור תיאורטי שלו חייבים לעמוד בהם. מודלים היא אחת השיטות החשובות ביותר של מחקר וניסויים מדעיים.

בבניית מודלים של אובייקטים משתמשים בגישה שיטתית, שהיא מתודולוגיה לפתרון בעיות מורכבות, המבוססת על התחשבות באובייקט כמערכת הפועלת בסביבה מסוימת. גישת המערכת כוללת חשיפת שלמות האובייקט, זיהוי ולימוד המבנה הפנימי שלו וכן קשרים עם הסביבה החיצונית. במקרה זה, האובייקט מוצג כחלק מהעולם האמיתי, אשר מזוהה ונלמד בקשר לבעיית בניית המודל הנפתרת. חוץ מזה, בגישה מערכתיתכרוך במעבר עקבי מהכלל לפרטי, כאשר השיקול מבוסס על המטרה העיצובית, והאובייקט נחשב ביחס לסביבה.

ניתן לחלק אובייקט מורכב לתת-מערכות, שהן חלקים מהאובייקט העומדים בדרישות הבאות:

1) תת המערכת היא חלק בלתי תלוי מבחינה תפקודית של האובייקט. הוא מחובר עם תת-מערכות אחרות, מחליף איתן מידע ואנרגיה;

2) לכל תת-מערכת ניתן להגדיר פונקציות או מאפיינים שאינם עולים בקנה אחד עם המאפיינים של המערכת כולה;

3) כל אחת מתתי המערכות ניתנת לחלוקה נוספת לרמת האלמנטים.

במקרה זה, אלמנט מובן כתת-מערכת של הרמה הנמוכה יותר, שהחלוקה הנוספת שלה אינה מועילה מנקודת המבט של הבעיה הנפתרת.

לפיכך, ניתן להגדיר מערכת כייצוג של אובייקט בצורה של קבוצה של תת-מערכות, אלמנטים ויחסים לצורך יצירתו, מחקרו או שיפורו. במקביל, ייצוג מוגדל של המערכת, הכולל את תת-המערכות העיקריות והקשרים ביניהן, נקרא מקרו-מבנה, וחשיפה מפורטת של המבנה הפנימי של המערכת לרמת האלמנטים נקראת מיקרו-מבנה.

יחד עם המערכת קיימת בדרך כלל מערכת-על - מערכת ברמה גבוהה יותר, הכוללת את האובייקט הנחשב, ותפקוד של כל מערכת ניתן לקבוע רק באמצעות מערכת העל.

יש צורך להדגיש את מושג הסביבה כמכלול אובייקטים של העולם החיצוני המשפיעים באופן משמעותי על יעילות המערכת, אך אינם חלק מהמערכת וממערכת העל שלה.

בהקשר לגישה השיטתית לבניית מודלים נעשה שימוש במושג תשתית המתאר את מערכת היחסים של המערכת עם סביבתה (הסביבה) במקרה זה, הבחירה, התיאור והלימוד של תכונותיו של אובייקט משמעותיות. בתוך משימה ספציפית נקרא ריבוד של אובייקט, וכל מודל של אובייקט הוא התיאור השכבתי שלו.

לגישה שיטתית, חשוב לקבוע את מבנה המערכת, כלומר. מערכת קישורים בין מרכיבי המערכת, המשקפת את האינטראקציה ביניהם. לשם כך, ראשית נבחן את הגישות המבניות והפונקציונליות למידול.

בגישה מבנית מתגלה ההרכב של מרכיבי המערכת הנבחרים והקשרים ביניהם. מכלול האלמנטים והיחסים מאפשר לשפוט את מבנה המערכת. התיאור הכללי ביותר של מבנה הוא תיאור טופולוגי. הוא מאפשר להגדיר את מרכיבי המערכת והקשרים ביניהם באמצעות גרפים. פחות כללי הוא התיאור הפונקציונלי כאשר מתחשבים בפונקציות בודדות, כלומר, אלגוריתמים להתנהגות המערכת. במקביל, מיושמת גישה פונקציונלית הקובעת את הפונקציות שהמערכת מבצעת.

על בסיס גישה שיטתית, ניתן להציע רצף של פיתוח מודלים, כאשר מבחינים בשני שלבים עיקריים של עיצוב: מאקרו-עיצוב ומיקרו-עיצוב.

בשלב תכנון המאקרו נבנה מודל של הסביבה החיצונית, זיהוי משאבים ואילוצים, נבחר מודל מערכת וקריטריונים להערכת הלימות.

שלב המיקרו-עיצוב תלוי במידה רבה בסוג הדגם הספציפי שנבחר. במקרה הכללי, מדובר ביצירת מידע, תמיכה מתמטית, טכנית ותוכנה עבור מערכת המידול. בשלב זה נקבעים המאפיינים הטכניים העיקריים של המודל שנוצר, מוערכים זמן העבודה איתו ועלות המשאבים להשגת האיכות הנתונה של המודל.

ללא קשר לסוג המודל, בעת בנייתו, יש צורך להיות מונחה על ידי מספר עקרונות של גישה שיטתית:

1) התקדמות עקבית בשלבי יצירת מודל;

2) תיאום מידע, משאב, מהימנות ומאפיינים אחרים;

3) היחס הנכון בין רמות שונות של בניית מודל;

4) שלמות השלבים האישיים של עיצוב המודל.

ד' כיתה ז'.

יש 15 בנות ו-13 בנים ב-7A,

ב-7B - 12 בנות ו-12 בנים,

ב-7B - 9 בנות ו-18 בנים,

ב-7G - 20 בנות ו-10 בנים.

אם נצטרך לענות על השאלה כמה תלמידים יש בכל אחת מכיתות ז', אז נצטרך לבצע את אותה פעולת חיבור 4 פעמים:

ב7א 15 + 13 = 28 תלמידים;
ב-7B 12 +12 = 24 תלמידים;
ב-7B 9 + 18 = 27 תלמידים;
ב-7D 20 + 10 = 30 תלמידים.

A. V. Pogorelov, גיאומטריה לכיתות ז'-י"א, ספר לימוד עבור מוסדות חינוך

תוכן השיעור סיכום שיעורתמיכה מסגרת שיעור מצגת שיטות האצה טכנולוגיות אינטראקטיביות תרגול משימות ותרגילים סדנאות בדיקה עצמית, הדרכות, מקרים, קווסטים שאלות דיון שיעורי בית שאלות רטוריות של תלמידים איורים אודיו, וידאו קליפים ומולטימדיהתצלומים, תמונות גרפיקה, טבלאות, תוכניות הומור, אנקדוטות, בדיחות, משלי קומיקס, אמרות, תשבצים, ציטוטים תוספות תקציריםמאמרים שבבים עבור גיליונות רמאות סקרנים ספרי לימוד בסיסי ומילון מונחים נוסף של מונחים אחרים שיפור ספרי לימוד ושיעוריםתיקון שגיאות בספר הלימודעדכון קטע בספר הלימוד אלמנטים של חדשנות בשיעור החלפת ידע מיושן בידע חדש רק למורים שיעורים מושלמים תוכנית לוח שנהלשנה הנחיותתוכניות דיון שיעורים משולבים

לפי ספר הלימוד של סובטוב ויעקובלב: "מודל (lat. modulus - מידה) הוא תחליף אובייקט של האובייקט המקורי, המספק מחקר של כמה תכונות של המקור". (עמ' 6) "החלפת אובייקט אחד באחר על מנת לקבל מידע על המאפיינים החשובים ביותר של האובייקט המקורי בעזרת אובייקט דגם נקראת מידול". (עמ' 6) "תחת דוגמנות מתמטית נבין את תהליך יצירת ההתאמה לאובייקט אמיתי נתון של אובייקט מתמטי כלשהו, ​​הנקרא מודל מתמטי, ואת חקר המודל הזה, המאפשר השגת המאפיינים של האובייקט האמיתי הנדון. . סוג המודל המתמטי תלוי הן באופי האובייקט האמיתי והן במשימות לימוד האובייקט והן באמינות ובדיוק הנדרשים לפתרון בעיה זו.

לבסוף, ההגדרה התמציתית ביותר של מודל מתמטי: "משוואה המבטאת את הרעיון».

סיווג מודלים

סיווג פורמלי של דגמים

הסיווג הפורמלי של מודלים מבוסס על סיווג הכלים המתמטיים בהם נעשה שימוש. לרוב בנוי בצורה של דיכוטומיות. לדוגמה, אחת מקבוצות הדיכוטומיות הפופולריות היא:

וכן הלאה. כל מודל בנוי הוא ליניארי או לא ליניארי, דטרמיניסטי או סטוכסטי, ... מטבע הדברים, יש גם אפשרי סוגים מעורבים: מבחינה אחת מרוכזים (מבחינת פרמטרים), במובן אחר - דגמים מבוזרים וכו'.

סיווג לפי אופן ייצוג האובייקט

יחד עם הסיווג הפורמלי, המודלים שונים באופן שבו הם מייצגים את האובייקט:

• מודלים מבניים או פונקציונליים

מודלים מבנייםלייצג אובייקט כמערכת עם התקן ומנגנון תפקוד משלו. מודלים פונקציונלייםאין להשתמש בייצוגים כאלה ומשקפים רק את ההתנהגות (תפקוד) הנתפסת כלפי חוץ של האובייקט. בביטוי הקיצוני שלהם, הם מכונים גם דגמי "קופסה שחורה". אפשריים גם סוגים משולבים של דגמים, המכונה לעתים "דגמים" קופסה אפורה».

תוכן ומודלים פורמליים

כמעט כל המחברים המתארים את תהליך המידול המתמטי מצביעים על כך שקודם כל נבנית בנייה אידיאלית מיוחדת, מודל תוכן. אין כאן טרמינולוגיה מבוססת, ומחברים אחרים קוראים לאובייקט אידיאלי זה דגם קונספטואלי , מודל ספקולטיביאוֹ מודל קדם. במקרה זה, הבנייה המתמטית הסופית נקראת מודל רשמיאו סתם מודל מתמטי שהושג כתוצאה מהפורמליזציה של מודל תוכן זה (קדם-מודל). ניתן לבנות מודל משמעותי באמצעות סט של אידיאליזציות מוכנות, כמו במכניקה, שבה קפיצים אידיאליים, גופים קשיחים, מטוטלות אידיאליות, מדיה אלסטית וכו' מספקים אלמנטים מבניים מוכנים למידול משמעותי. עם זאת, בתחומי ידע שבהם אין תיאוריות רשמיות שהושלמו במלואן (חוד החנית של פיזיקה, ביולוגיה, כלכלה, סוציולוגיה, פסיכולוגיה ורוב התחומים האחרים), יצירת מודלים משמעותיים מסובכת באופן דרמטי יותר.

סיווג משמעותי של דגמים

שום השערה במדע אינה ניתנת להוכחה אחת ולתמיד. ריצ'רד פיינמן ניסח זאת בצורה ברורה מאוד:

"תמיד יש לנו את היכולת להפריך תיאוריה, אבל שימו לב שלעולם לא נוכל להוכיח שהיא נכונה. נניח שאתה מעלה השערה מוצלחת, תחשב לאן היא מובילה ותגלה שכל ההשלכות שלה מאושרות בניסוי. האם זה אומר שהתיאוריה שלך נכונה? לא, זה פשוט אומר שלא הצלחת להפריך את זה.

אם נבנה דגם מהסוג הראשון, אז זה אומר שהוא מזוהה באופן זמני כנכון ואפשר להתרכז בבעיות אחרות. עם זאת, זו לא יכולה להיות נקודה במחקר, אלא רק הפסקה זמנית: מעמדו של המודל מהסוג הראשון יכול להיות זמני בלבד.

סוג 2: מודל פנומנולוגי (להתנהג כאילו…)

המודל הפנומנולוגי מכיל מנגנון לתיאור התופעה. עם זאת, מנגנון זה אינו משכנע מספיק, אינו ניתן לאישור מספיק על ידי הנתונים הזמינים, או אינו מתאים היטב לתיאוריות הזמינות ולידע המצטבר על האובייקט. לכן, למודלים פנומנולוגיים יש מעמד של פתרונות זמניים. מאמינים שהתשובה עדיין לא ידועה ויש צורך להמשיך בחיפוש אחר "מנגנונים אמיתיים". פיירלס מתייחס, למשל, את המודל הקלורי ואת מודל הקווארק של חלקיקים אלמנטריים לסוג השני.

תפקידו של המודל במחקר עשוי להשתנות עם הזמן, יכול לקרות שנתונים ותיאוריות חדשות מאששות מודלים פנומנולוגיים והם מקודמים למעמד של השערה. כמו כן, ידע חדש עלול להסתבך בהדרגה עם מודלים-השערות מהסוג הראשון, והן עשויות לעבור לשני. לפיכך, מודל הקווארק עובר בהדרגה לקטגוריית ההשערות; האטומיזם בפיזיקה עלה כפתרון זמני, אך עם מהלך ההיסטוריה הוא עבר לסוג הראשון. אבל דגמי האתר עברו מסוג 1 לסוג 2, ועכשיו הם מחוץ למדע.

רעיון הפשטות פופולרי מאוד בעת בניית דגמים. אבל הפשטות היא אחרת. פיירלס מבחין בין שלושה סוגים של הפשטות בדוגמנות.

סוג 3: אוּמדָן (משהו נחשב לגדול מאוד או קטן מאוד)

אם ניתן לבנות משוואות המתארות את המערכת הנחקרת, אין זה אומר שניתן לפתור אותן אפילו בעזרת מחשב. טכניקה נפוצה במקרה זה היא שימוש בקירוב (מודלים מסוג 3). ביניהם מודלים של תגובה ליניארית. המשוואות מוחלפות בלינאריות. הדוגמה הסטנדרטית היא חוק אוהם.

והנה סוג 8, שנמצא בשימוש נרחב במודלים מתמטיים של מערכות ביולוגיות.

סוג 8: הדגמת אפשרות (העיקר הוא להראות את העקביות הפנימית של האפשרות)

אלו גם ניסויי מחשבה.עם ישויות דמיוניות המדגימות זאת תופעה כביכולתואם עקרונות בסיסיים ועקבי פנימי. זה ההבדל העיקרי מדגמים מסוג 7, החושפים סתירות נסתרות.

אחד המפורסמים מבין הניסויים הללו הוא הגיאומטריה של לובצ'בסקי (לובצ'בסקי כינה אותה "גיאומטריה דמיונית"). דוגמה נוספת היא ייצור המוני של מודלים קינטיים פורמליים של תנודות כימיות וביולוגיות, גלי אוטומטי וכו'. פרדוקס איינשטיין-פודולסקי-רוזן נתפס כדגם מסוג 7 כדי להדגים את חוסר העקביות של מכניקת הקוונטים. באופן בלתי מתוכנן לחלוטין, הוא הפך בסופו של דבר לדגם מסוג 8 - הדגמה לאפשרות של טלפורטציה קוונטית של מידע.

דוגמא

הבה נבחן מערכת מכנית המורכבת מקפיץ קבוע בקצה אחד ועומס של מסה, המחובר לקצה החופשי של הקפיץ. נניח שהעומס יכול לנוע רק בכיוון ציר הקפיץ (לדוגמה, התנועה מתרחשת לאורך המוט). הבה נבנה מודל מתמטי של מערכת זו. נתאר את מצב המערכת לפי המרחק ממרכז העומס למצב שיווי המשקל שלו. הבה נתאר את האינטראקציה של קפיץ ועומס באמצעות חוק הוק() שלאחריו אנו משתמשים בחוק השני של ניוטון כדי לבטא אותו בצורה של משוואה דיפרנציאלית:

כאשר פירושו הנגזרת השנייה של ביחס לזמן:.

המשוואה שהתקבלה מתארת ​​את המודל המתמטי של המערכת הפיזיקלית הנחשבת. דפוס זה נקרא "מתנד הרמוני".

לפי הסיווג הפורמלי, מודל זה הוא ליניארי, דטרמיניסטי, דינאמי, מרוכז, רציף. בתהליך בנייתו הנחנו הנחות רבות (על היעדר כוחות חיצוניים, היעדר חיכוך, מיעוט הסטיות וכו'), שבמציאות אולי לא יתממשו.

ביחס למציאות, לרוב מדובר בדגם מסוג 4. פישוט("אנו משמיטים כמה פרטים לשם הבהירות"), מכיוון שכמה תכונות אוניברסליות חיוניות (לדוגמה, פיזור) מושמטות. בקירוב מסוים (נניח, בעוד הסטייה של העומס משיווי משקל קטנה, עם מעט חיכוך, למשך זמן לא ארוך מדי ובכפוף לתנאים מסוימים אחרים), מודל כזה מתאר מערכת מכנית אמיתית די טוב, שכן הגורמים שהושלכו. יש השפעה זניחה על התנהגותו. עם זאת, ניתן לשכלל את המודל על ידי התחשבות בחלק מהגורמים הללו. זה יוביל לדגם חדש, עם היקף רחב יותר (אם כי שוב מוגבל).

עם זאת, כאשר המודל משוכלל, המורכבות של המחקר המתמטי שלו יכולה לגדול משמעותית ולהפוך את המודל לחסר תועלת למעשה. לעתים קרובות, מודל פשוט יותר מאפשר לך לחקור טוב יותר ומעמיק יותר את המערכת האמיתית מאשר מודל מורכב יותר (ורשמית, "נכון יותר").

אם ניישם את מודל המתנד ההרמוני על עצמים שרחוקים מפיזיקה, מצבו המשמעותי עשוי להיות שונה. לדוגמה, כאשר מיישמים מודל זה על אוכלוסיות ביולוגיות, סביר להניח שיש לייחס אותו לסוג 6 אֲנָלוֹגִיָה("בואו ניקח בחשבון רק כמה תכונות").

דגמים קשים ורכים

המתנד ההרמוני הוא דוגמה למודל שנקרא "קשה". זה מתקבל כתוצאה מאידיאליזציה חזקה של מערכת פיזית אמיתית. כדי לפתור את סוגיית תחולתו, יש להבין עד כמה הגורמים שהזנחנו הם משמעותיים. במילים אחרות, יש צורך לחקור את המודל ה"רך", המתקבל על ידי הפרעה קטנה של ה"קשה". זה יכול להינתן, למשל, על ידי המשוואה הבאה:

כאן - פונקציה כלשהי, שיכולה לקחת בחשבון את כוח החיכוך או את התלות של מקדם הקשיחות של הקפיץ במידת המתיחה שלו - איזה פרמטר קטן. הצורה המפורשת של הפונקציה שבה אנחנו נמצאים הרגע הזהלא מעוניין. אם נוכיח שהתנהגותו של מודל רך אינה שונה מהותית מזו של מודל קשיח (ללא קשר לצורה המפורשת של הגורמים המטרידים, אם הם קטנים מספיק), הבעיה תצטמצם ללימוד המודל הקשיח. אחרת, יישום התוצאות שהושגו בחקר המודל הנוקשה ידרוש מחקר נוסף. לדוגמה, הפתרון למשוואה של מתנד הרמוני הם פונקציות של הצורה , כלומר, תנודות עם משרעת קבועה. האם מכאן נובע שמתנד אמיתי יתנדנד ללא הגבלת זמן עם משרעת קבועה? לא, כי אם לוקחים בחשבון מערכת עם חיכוך קטן באופן שרירותי (נוכח תמיד במערכת אמיתית), אנו מקבלים תנודות דחוסות. התנהגות המערכת השתנתה מבחינה איכותית.

אם מערכת שומרת על התנהגותה האיכותית תחת הפרעה קטנה, אומרים שהיא יציבה מבנית. המתנד ההרמוני הוא דוגמה למערכת לא יציבה מבנית (לא מחוספסת). עם זאת, מודל זה יכול לשמש ללימוד תהליכים במרווחי זמן מוגבלים.

אוניברסליות של דגמים

למודלים המתמטיים החשובים ביותר יש בדרך כלל רכוש חשוב אוניברסליות: ניתן לתאר תופעות אמיתיות שונות באופן מהותי על ידי אותו מודל מתמטי. לדוגמה, מתנד הרמוני מתאר לא רק את התנהגות עומס על קפיץ, אלא גם תהליכים נדנודיים אחרים, לרוב בעלי אופי שונה לחלוטין: תנודות קטנות של מטוטלת, תנודות ברמת הנוזל בכלי בצורת - או שינוי בעוצמת הזרם במעגל נדנוד. לפיכך, בלימוד מודל מתמטי אחד, אנו לומדים בבת אחת מחלקה שלמה של תופעות המתוארות על ידו. זהו איזומורפיזם זה של חוקים המובעים על ידי מודלים מתמטיים בקטעים שונים ידע מדעי, הישגו של לודוויג פון ברטלנפי ביצירת "תורת המערכות הכללית".

בעיות ישירות והפוכות של מידול מתמטי

ישנן בעיות רבות הקשורות למידול מתמטי. ראשית, יש צורך להמציא את הסכימה הבסיסית של האובייקט המעצב, לשחזר אותו במסגרת האידיאליזציות של מדע זה. אז, קרון רכבת הופך למערכת של לוחות וגופים מורכבים יותר חומרים שונים, כל חומר מצויין כאידיאליזציה המכנית הסטנדרטית שלו (צפיפות, מודולים אלסטיים, מאפייני חוזק סטנדרטיים), לאחר מכן מורכבות משוואות, לאורך כל הדרך נמחקים כמה פרטים כחסרי משמעות, מתבצעים חישובים, בהשוואה למדידות, המודל משוכלל, וכן הלאה. עם זאת, לפיתוח טכנולוגיות מידול מתמטי, כדאי לפרק תהליך זה למרכיבים המרכיבים העיקריים שלו.

באופן מסורתי, ישנם שני סוגים עיקריים של בעיות הקשורות למודלים מתמטיים: ישיר והיפוך.

בעיה ישירה: מבנה המודל וכל הפרמטרים שלו נחשבים ידועים, המשימה העיקרית- ערוך מחקר של המודל לחילוץ ידע שימושילגבי החפץ. מה עומס סטטיהאם הגשר יחזיק? איך הוא יגיב לעומס דינמי (למשל לצעידה של פלוגת חיילים, או למעבר רכבת במהירויות שונות), איך המטוס יתגבר על מחסום הקול, האם יתפרק מרפרוף - אלו הן דוגמאות טיפוסיות למשימה ישירה. הגדרת הבעיה הישירה הנכונה (שאילת השאלה הנכונה) דורשת מיומנות מיוחדת. אם לא מוגדר השאלות הנכונות, אז הגשר עלול לקרוס, גם אם הוא נבנה דגם טובעל התנהגותו. אז, בשנת 1879, גשר מתכת מעבר לנהר הטיי קרס בבריטניה הגדולה, שמתכנניו בנו דגם של הגשר, חישבו אותו עבור מרווח בטיחות של פי 20 עבור המטען, אבל שכחו מהרוחות הנושבות ללא הרף. אותם מקומות. ואחרי שנה וחצי זה קרס.

במקרה הפשוט ביותר (משוואת מתנד אחת, למשל), הבעיה הישירה פשוטה מאוד ומצטמצמת לפתרון מפורש של המשוואה הזו.

בעיה הפוכה: ידועים מודלים אפשריים רבים, יש צורך לבחור דגם ספציפי על סמך נתונים נוספים על האובייקט. לרוב, מבנה המודל ידוע ויש לקבוע כמה פרמטרים לא ידועים. מידע נוסףעשוי להיות מורכב בנתונים אמפיריים נוספים, או בדרישות לאובייקט ( משימת עיצוב). נתונים נוספים יכולים להגיע ללא קשר לתהליך פתרון הבעיה ההפוכה ( התבוננות פסיבית) או להיות תוצאה של ניסוי שתוכנן במיוחד במהלך הפתרון ( מעקב פעיל).

אחת הדוגמאות הראשונות לפתרון וירטואוזי של בעיה הפוכה עם שימוש מלא אפשרי בנתונים זמינים הייתה השיטה שנבנתה על ידי I. Newton לשחזור כוחות חיכוך מתנודות דחוסות שנצפו.

דוגמה נוספת היא סטטיסטיקה מתמטית. המשימה של מדע זה היא פיתוח שיטות לרישום, תיאור וניתוח של נתונים תצפיתיים וניסיוניים על מנת לבנות מודלים הסתברותיים של תופעות אקראיות המוניות. הָהֵן. סט המודלים האפשריים מוגבל על ידי מודלים הסתברותיים. בְּ משימות ספציפיותדגמים רבים מוגבלים יותר.

מערכות הדמיית מחשב

כדי לתמוך במודלים מתמטיים, פותחו מערכות מתמטיקה ממוחשבות, לדוגמה, Maple, Mathematica, Mathcad, MATLAB, VisSim וכו'. הן מאפשרות ליצור מודלים פורמליים ובלוקים של תהליכים והתקנים פשוטים ומורכבים ולשנות בקלות פרמטרים של מודל במהלך סימולציה. דגמי בלוקמיוצגים על ידי בלוקים (לרוב גרפיים), שהקבוצה והחיבור שלהם מצוינים בתרשים הדגם.

דוגמאות נוספות

דגם מלתוס

קצב הגידול הוא פרופורציונלי לגודל האוכלוסייה הנוכחי. זה מתואר על ידי המשוואה הדיפרנציאלית

היכן נמצא פרמטר מסוים שנקבע על ידי ההפרש בין שיעור הילודה לשיעור התמותה. הפתרון למשוואה זו הוא פונקציה מעריכית. אם שיעור הילודה עולה על שיעור התמותה (), גודל האוכלוסייה גדל ללא הגבלה ובמהירות רבה. ברור שבמציאות זה לא יכול לקרות בגלל משאבים מוגבלים. כאשר מגיעים לגודל אוכלוסייה קריטי מסוים, המודל מפסיק להיות הולם, מכיוון שהוא אינו לוקח בחשבון את המשאבים המוגבלים. חידוד של מודל מלתוס יכול להיות המודל הלוגיסטי, המתואר על ידי משוואת הדיפרנציאל של Verhulst

היכן גודל האוכלוסייה "שיווי משקל", שבו שיעור הילודה מפוצה בדיוק בשיעור התמותה. גודל האוכלוסייה במודל כזה נוטה לערך שיווי המשקל, והתנהגות זו יציבה מבחינה מבנית.

מערכת טורף-טרף

נניח שבאזור מסוים חיים שני סוגי חיות: ארנבות (אוכלות צמחים) ושועלים (ארנבות אוכלות). תן למספר הארנבים, למספר השועלים. באמצעות מודל Malthus עם התיקונים הנדרשים, תוך התחשבות באכילת ארנבות על ידי שועלים, אנו מגיעים למערכת הבאה, הנושאת את השם דגמי מגש - וולטרה:

למערכת זו יש מצב שיווי משקל שבו מספר הארנבים והשועלים קבוע. סטייה ממצב זה מובילה לתנודות במספר הארנבים והשועלים, בדומה לתנודות במתנד ההרמוני. כמו במקרה של המתנד ההרמוני, התנהגות זו אינה יציבה מבנית: שינוי קטן במודל (למשל, תוך התחשבות במשאבים המוגבלים הדרושים לארנבים) יכול להוביל לשינוי איכותי בהתנהגות. לדוגמה, מצב שיווי המשקל יכול להפוך ליציב, ותנודות האוכלוסייה יתפוגגו. ייתכן גם מצב הפוך, כאשר כל סטייה קטנה ממצב שיווי המשקל תוביל לתוצאות קטסטרופליות, עד להכחדה מוחלטת של אחד המינים. לשאלה איזה מהתרחישים הללו מתממש, מודל וולטרה-לוטקה אינו נותן תשובה: נדרש כאן מחקר נוסף.

הערות

1. "ייצוג מתמטי של המציאות" (אנציקלופדיה בריטניקה)
2. נוביק אי.ב., על שאלות פילוסופיות של דוגמנות קיברנטית. מ., ידע, 1964.
3. סובטוב ב' יא, יעקובלב ש' א., מודל מערכות: פרוק. לאוניברסיטאות - מהדורה שלישית, מתוקנת. ועוד - מ.: גבוה יותר. בית ספר, 2001. - 343 עמ'. ISBN 5-06-003860-2
4. סמרסקי א.א., מיכאילוב א.פ.דוגמנות במתמטיקה. רעיונות. שיטות. דוגמאות. - מהדורה שנייה, מתוקנת. - M .: Fizmatlit, 2001. - ISBN 5-9221-0120-X
5. מישקיס א.ד., יסודות תורת המודלים המתמטיים. - מהדורה שלישית, כומר. - M.: KomKniga, 2007. - 192 עם ISBN 978-5-484-00953-4
6. סבוסטיאנוב, א.ג. דוּגמָנוּת תהליכים טכנולוגיים: ספר לימוד / א.ג. סבוסטיאנוב, P.A. סבוסטיאנוב. - מ.: תעשיית הקלה והמזון, 1984. - 344 עמ'.
7. ויקימילון: מודלים מתמטיים
8. CliffsNotes.com. מילון מדעי כדור הארץ. 20 בספטמבר 2010
9. Model Reduction and Coarse-Graining Approaches for Multiscale Phenomena, Springer, Complexity series, Berlin-Heidelberg-New York, 2006. XII+562 pp. ISBN 3-540-35885-4
10. "תיאוריה נחשבת ליניארית או לא ליניארית, תלוי באיזה מנגנון מתמטי - ליניארי או לא ליניארי, באיזה מודלים מתמטיים - ליניאריים או לא לינאריים - היא משתמשת. ... מבלי להכחיש את האחרון. פיזיקאי מודרני, אם במקרה היה מגדיר מחדש ישות חשובה כל כך כאי-לינאריות, סביר להניח שיפעל אחרת, והעדיף את אי-ליניאריות בתור החשוב והמשותף מבין שני ההפכים, יגדיר את ליניאריות כ"אי-לא-לינאריות. ליניאריות". דנילוב יו.א., הרצאות על דינמיקה לא ליניארית. מבוא יסודי. סינרגטיות: מהעבר לסדרה העתידית. Ed.2. - מ.: URSS, 2006. - 208 עמ'. ISBN 5-484-00183-8
11. "מערכות דינמיות המבוססות על מספר סופי של משוואות דיפרנציאליות רגילות נקראות מערכות גושים או נקודות. הם מתוארים באמצעות מרחב פאזה סופי ממדי ומאופיינים במספר סופי של דרגות חופש. אותה מערכת ב תנאים שוניםיכול להיחשב מרוכז או מבוזר. מודלים מתמטיים של מערכות מבוזרות הם משוואות דיפרנציאליות חלקיות, משוואות אינטגרליות או משוואות השהייה רגילות. מספר דרגות החופש של מערכת מבוזרת הוא אינסופי, ונדרש מספר אינסופי של נתונים כדי לקבוע את מצבה. אנישצ'נקו ו.ס., Dynamic Systems, Soros Educational Journal, 1997, No. 11, p. 77-84.
12. "בהתאם לאופי התהליכים הנלמדים במערכת S, ניתן לחלק את כל סוגי המידול לדטרמיניסטים וסטוכסטיים, סטטיים ודינאמיים, דיסקרטיים, מתמשכים ובדידים-רציפים. מודלים דטרמיניסטיים מציגים תהליכים דטרמיניסטיים, כלומר תהליכים שבהם מניחים היעדר השפעות אקראיות כלשהן; מודלים סטוכסטיים מציגים תהליכים ואירועים הסתברותיים. ... מידול סטטי משמש לתיאור התנהגות של אובייקט בכל נקודת זמן, בעוד דוגמנות דינמית משקפת את התנהגותו של אובייקט לאורך זמן. מידול דיסקרטי משמש לתיאור תהליכים אשר מניחים שהם בדידים, בהתאמה, מידול רציף מאפשר לך לשקף תהליכים מתמשכים במערכות, ומידול דיסקרטי-רציף משמש למקרים שבהם אתה רוצה להדגיש את נוכחותם של תהליכים דיסקרטיים ורציפים כאחד. סובטוב ב' יא, יעקובלב ש' א. ISBN 5-06-003860-2
13. בדרך כלל, המודל המתמטי משקף את המבנה (הסידור) של האובייקט המודגם, את המאפיינים והחיבורים ההדדיים של מרכיבי האובייקט הזה החיוניים למטרות המחקר; מודל כזה נקרא מבני. אם המודל משקף רק את אופן פעולתו של האובייקט - למשל, איך הוא מגיב להשפעות חיצוניות - אז הוא נקרא קופסה פונקציונלית או, באופן פיגורטיבי, קופסה שחורה. אפשר גם דגמים משולבים. מישקיס א.ד. ISBN 978-5-484-00953-4
14. "השלב הראשוני המובן מאליו, אך החשוב ביותר, בבניית מודל מתמטי או בבחירתו הוא לקבל כמה שיותר ברור לגבי האובייקט המדגם ולחדד את מודל התוכן שלו בהתבסס על דיונים לא פורמליים. אין לחסוך זמן ומאמצים בשלב זה, הצלחת המחקר כולו תלויה בכך במידה רבה. לא פעם קרה שהרבה עבודה הושקעה בפתרון בעיה מתמטית, התברר כלא יעיל או אפילו מבוזבז עקב חוסר תשומת לב מספקת לצד זה של העניין. מישקיס א.ד., יסודות תורת המודלים המתמטיים. - מהדורה שלישית, כומר. - M.: KomKniga, 2007. - 192 with ISBN 978-5-484-00953-4, p. 35.
15. « תיאור המודל הרעיוני של המערכת.בתת-שלב זה של בניית מודל מערכת: א) המודל המושגי M מתואר במונחים ומושגים מופשטים; ב) תיאור המודל ניתן באמצעות סכמות מתמטיות טיפוסיות; ג) השערות והנחות מתקבלות לבסוף; ד) הבחירה בנוהל לקירוב תהליכים אמיתיים בעת בניית מודל מבוססת. סובטוב ב' יא, יעקובלב ש' א., מודל מערכות: פרוק. לאוניברסיטאות - מהדורה שלישית, מתוקנת. ועוד - מ.: גבוה יותר. בית ספר, 2001. - 343 עמ'. ISBN 5-06-003860-2, עמ'. 93.
16. Blekhman I. I., Myshkis A. D., Panovko N. G., מתמטיקה יישומית: נושא, הגיון, תכונות של גישות. עם דוגמאות ממכניקה: הדרכה. - מהדורה שלישית, כומר. ועוד - מ.: URSS, 2006. - 376 עמ'. ISBN 5-484-00163-3, פרק 2.

שלב ראשון

מודלים מתמטיים ב-OGE ובחינת המדינה המאוחדת (2019)

הרעיון של מודל מתמטי

דמיינו לעצמכם מטוס: כנפיים, גוף גוף, זנב, כל זה ביחד - מטוס ענק, עצום, שלם. ואפשר לעשות דגם של מטוס, קטן, אבל הכל אמיתי, אותן כנפיים וכו', אבל קומפקטי. כך גם המודל המתמטי. יש בעיית טקסט, מסורבלת, אפשר להסתכל עליה, לקרוא אותה, אבל לא ממש להבין אותה, ועוד יותר מכך לא ברור איך לפתור אותה. אבל מה אם ניצור ממנו מודל קטן, מודל מתמטי, מתוך בעיה מילולית גדולה? מה זאת אומרת מתמטית? אז, בעזרת הכללים והחוקים של סימון מתמטי, הפוך את הטקסט לייצוג נכון מבחינה לוגית באמצעות מספרים וסימני חשבון. כך, מודל מתמטי הוא ייצוג של מצב אמיתי באמצעות שפה מתמטית.

נתחיל בפשטות: מספר מספר נוסףעל. אנחנו צריכים לכתוב את זה בלי להשתמש במילים, רק בשפת המתמטיקה. אם יותר, אז מסתבר שאם נחסר, אז עצם ההפרש של המספרים האלה יישאר שווה. הָהֵן. אוֹ. הבנת את התמצית?

עכשיו זה יותר מסובך, עכשיו יהיה טקסט שכדאי לנסות להציג בצורה של מודל מתמטי, עד שתקרא איך אני אעשה את זה, נסה את זה בעצמך! ישנם ארבעה מספרים: , ו. מוצר ועוד מוצרים ופעמיים.

מה קרה?

בצורה של מודל מתמטי, זה ייראה כך:

הָהֵן. המוצר קשור לשניים לאחד, אך ניתן לפשט זאת עוד יותר:

בסדר, הלאה דוגמאות פשוטותאתה מבין את העיקר, אני מניח. נעבור למשימות מן המניין בהן גם המודלים המתמטיים הללו צריכים להיפתר! הנה המשימה.

מודל מתמטי בפועל

משימה 1

לאחר גשם, מפלס המים בבאר עלול לעלות. הילד מודד את זמן נפילת חלוקי נחל קטנים לתוך הבאר ומחשב את המרחק למים באמצעות הנוסחה, היכן המרחק במטרים והוא זמן הנפילה בשניות. לפני הגשם, זמן נפילת חלוקי הנחל היה ש'. כמה צריך לעלות מפלס המים לאחר הגשם כדי שהזמן הנמדד ישתנה ל-s? הביעו את תשובתכם במטרים.

אוי אלוהים! אילו נוסחאות, איזו באר, מה קורה, מה לעשות? קראתי את מחשבותיך? תירגעו, במשימות מהסוג הזה התנאים אפילו יותר נוראים, העיקר לזכור שבמטלה הזו אתם מתעניינים בנוסחאות וקשרים בין משתנים, ומה כל זה אומר ברוב המקרים לא מאוד חשוב. מה אתה רואה שימושי כאן? אני אישית רואה. העיקרון של פתרון בעיות אלה הוא כדלקמן: אתה לוקח את כל הכמויות הידועות ומחליף אותן.אבל לפעמים צריך לחשוב!

בעקבות העצה הראשונה שלי, והחלפת כל הידועים במשוואה, אנו מקבלים:

אני זה שהחלפתי את הזמן של השני ומצאתי את הגובה שהאבן עפה לפני הגשם. ועכשיו צריך לספור אחרי הגשם ולמצוא את ההבדל!

עכשיו הקשיבו לעצה השנייה וחשבו עליה, השאלה מציינת "כמה מפלס המים צריך לעלות לאחר גשם כדי שהזמן הנמדד ישתנה ב-s". צריך לברר את זה מיד, נו, אחרי הגשם מפלס המים עולה, מה שאומר שזמן ירידת האבן למפלס הוא פחות, וכאן לוקח הביטוי המעוטר "כדי שהזמן הנמדד ישתנה" על משמעות ספציפית: זמן הנפילה אינו עולה, אלא מצטמצם בשניות שצוינו. זה אומר שבמקרה של זריקה אחרי הגשם, צריך רק להחסיר את c מהזמן הראשוני ג', ונקבל את המשוואה לגובה שהאבן תעוף אחרי הגשם:

ולבסוף, כדי למצוא כמה מפלס המים צריך לעלות לאחר הגשם, כדי שהזמן הנמדד ישתנה ב-s, צריך רק להחסיר את השני מהגובה הראשון של הנפילה!

אנחנו מקבלים את התשובה: למטר.

כפי שאתם רואים, אין שום דבר מסובך, והכי חשוב, אל תטרחו יותר מדי מאיפה באה משוואה כל כך לא מובנת ולפעמים מורכבת בתנאים ובמה הכל אומר בה, קחו את המילה שלי, רוב המשוואות האלה הן נלקח מהפיסיקה, ושם הג'ונגל גרוע יותר מאשר באלגברה. לפעמים נדמה לי שהמשימות הללו הומצאו כדי להפחיד את התלמיד בבחינה בשפע של נוסחאות ומונחים מורכבים, וברוב המקרים הן לא דורשות כמעט ידע. פשוט קרא בעיון את התנאי והחלף את הערכים הידועים בנוסחה!

הנה עוד משימה, כבר לא בפיזיקה, אלא מהעולם תיאוריה כלכלית, אם כי ידע במדעים מלבד מתמטיקה שוב אינו נדרש כאן.

משימה 2

התלות של נפח הביקוש (יחידות לחודש) למוצרים של מפעל מונופול במחיר (אלף רובל) ניתנת על ידי הנוסחה

ההכנסה החודשית של החברה (באלף רובל) מחושבת באמצעות הנוסחה. קבע את המחיר הגבוה ביותר שבו ההכנסה החודשית תהיה לפחות אלף רובל. תן את התשובה באלף רובל.

נחשו מה אני אעשה עכשיו? כן, אני אתחיל להחליף את מה שאנחנו יודעים, אבל, שוב, אתה עדיין צריך לחשוב קצת. בוא נלך מהסוף, אנחנו צריכים למצוא באיזה. אז יש, שווה לחלק, אנחנו מוצאים למה זה שווה, וזה שווה, ונכתוב את זה. כפי שאתה יכול לראות, אני לא מתעסק במיוחד במשמעות של כל הכמויות האלה, אני רק מסתכל מהתנאים, מה שווה למה, זה מה שאתה צריך לעשות. נחזור למשימה, כבר יש לך אותה, אבל כזכור, ממשוואה אחת עם שני משתנים לא ניתן למצוא אף אחד מהם, מה לעשות? כן, עדיין יש לנו חלקיק לא בשימוש במצב. כאן יש כבר שתי משוואות ושני משתנים, מה שאומר שעכשיו אפשר למצוא את שני המשתנים - מעולה!

האם אתה יכול לפתור מערכת כזו?

אנחנו פותרים על ידי החלפה, כבר הבענו את זה, כלומר נחליף אותה במשוואה הראשונה ונפשט אותה.

מסתבר שכאן יש משוואה ריבועית כזו: , אנחנו פותרים, השורשים הם כאלה, . במשימה נדרש למצוא את המחיר הגבוה ביותר בו יתקיימו כל התנאים שהבאנו בחשבון בעת ​​הידור המערכת. אה, מסתבר שזה היה המחיר. מגניב, אז מצאנו את המחירים: ו. המחיר הכי גבוה, אתה אומר? אוקיי, הגדול שבהם, ברור, אנחנו כותבים את זה בתגובה. נו, זה קשה? אני חושב שלא, ואתה לא צריך להתעמק בזה יותר מדי!

והנה פיסיקה מפחידה עבורך, או ליתר דיוק, בעיה נוספת:

משימה 3

כדי לקבוע את הטמפרטורה האפקטיבית של כוכבים, נעשה שימוש בחוק סטפן-בולצמן, לפיו, איפה כוח הקרינה של הכוכב, הוא קבוע, הוא שטח הפנים של הכוכב, והוא הטמפרטורה. ידוע ששטח הפנים של כוכב מסוים שווה, ועוצמת הקרינה שלו שווה ל-W. מצא את הטמפרטורה של הכוכב הזה במעלות קלווין.

איפה זה ברור? כן, התנאי אומר מה שווה למה. בעבר המלצתי להחליף מיידית את כל הלא ידועים, אבל כאן עדיף קודם כל לבטא את הלא נודע המבוקש. תראו כמה הכל פשוט: יש נוסחה והם מוכרים בה, ו(זו האות היוונית "סיגמה". בכלל, פיזיקאים אוהבים אותיות יווניות, תתרגלו). הטמפרטורה אינה ידועה. בואו נבטא את זה בצורה של נוסחה. איך עושים את זה, אני מקווה שאתה יודע? מטלות כאלה עבור GIA בכיתה ט' בדרך כלל נותנות:

כעת נותר להחליף מספרים במקום אותיות בצד ימין ולפשט:

הנה התשובה: מעלות קלווין! ואיזו משימה נוראית זו הייתה!

אנחנו ממשיכים לייסר בעיות בפיזיקה.

משימה 4

הגובה מעל הקרקע של כדור מושלך למעלה משתנה לפי החוק, היכן הגובה במטרים, הוא הזמן בשניות שחלף מאז ההשלכה. כמה שניות יהיה הכדור בגובה של שלושה מטרים לפחות?

אלו היו כל המשוואות, אבל כאן צריך לקבוע כמה הכדור היה בגובה של שלושה מטרים לפחות, כלומר בגובה. מה אנחנו הולכים להכין? אי שוויון, כן! יש לנו פונקציה שמתארת ​​איך הכדור עף, איפה בדיוק אותו גובה במטרים, אנחנו צריכים את הגובה. אומר

ועכשיו אתה רק פותר את אי השוויון, והכי חשוב, אל תשכח לשנות את סימן אי השוויון מגדול או שווה לקטן או שווה לככפול בשני חלקי אי השוויון כדי להיפטר מהמינוס מלפנים.

הנה השורשים, אנו בונים מרווחים לאי שוויון:

אנו מעוניינים במרווח שבו הסימן הוא מינוס, מכיוון שהאי-שוויון לוקח שם ערכים שליליים, זה משני עד שניהם. ועכשיו אנחנו מפעילים את המוח וחושבים היטב: לאי שוויון, השתמשנו במשוואה שמתארת ​​את מעוף הכדור, הוא איכשהו עף לאורך פרבולה, כלומר. זה ממריא, מגיע לשיא ונופל, איך להבין כמה זמן זה יהיה בגובה של מטר לפחות? מצאנו 2 נקודות מפנה, כלומר. הרגע בו הוא ממריא מעל מטרים והרגע בו הוא מגיע לאותו סימן תוך כדי נפילה, שתי הנקודות הללו באות לידי ביטוי בצורה שלנו בצורה של זמן, כלומר. אנו יודעים באיזו שנייה של הטיסה הוא נכנס לאזור המעניין אותנו (מעל מטרים) ולאיזו עזב אותו (נפל מתחת לסימון המטר). כמה שניות הוא היה באזור הזה? זה הגיוני שניקח את זמן היציאה מהאזור ונחסיר ממנו את זמן הכניסה לאזור זה. בהתאם: - כל כך הרבה שהוא היה באזור שמעל למטרים, זו התשובה.

אתה כל כך בר מזל שאפשר לקחת את רוב הדוגמאות בנושא זה מקטגוריית הבעיות בפיזיקה, אז תפוס עוד אחת, היא הסופית, אז תדחף את עצמך, נשאר מעט מאוד!

משימה 5

עבור גוף חימום של מכשיר מסוים, תלות הטמפרטורה בזמן הפעולה התקבלה בניסוי:

איפה השעה בדקות. זה ידוע כי בטמפרטורה של גוף החימום מעל המכשיר עלול להתדרדר, ולכן יש לכבות אותו. מצא את הזמן המרבי לאחר תחילת העבודה כדי לכבות את המכשיר. הביעו את תשובתכם תוך דקות.

אנו פועלים לפי תכנית מבוססת, כל מה שניתן, אנו כותבים תחילה:

כעת אנו לוקחים את הנוסחה ומשווים אותה לערך הטמפרטורה שאליו ניתן לחמם את המכשיר עד כמה שניתן עד שהוא נשרף, כלומר:

כעת אנו מחליפים מספרים במקום אותיות היכן שהם ידועים:

כפי שאתה יכול לראות, הטמפרטורה במהלך פעולת המכשיר מתוארת משוואה ריבועית, כלומר הוא מופץ לאורך פרבולה, כלומר. המכשיר מתחמם לטמפרטורה מסוימת ולאחר מכן מתקרר. קיבלנו תשובות ולכן, במהלך ובמהלך דקות של חימום, הטמפרטורה היא קריטית, אבל בין דקות לדקות היא אפילו גבוהה מהמגבלה!

אז, אתה צריך לכבות את המכשיר לאחר דקה.

מודלים מתמטיים. בקצרה על העיקר

לרוב, מודלים מתמטיים משמשים בפיזיקה: אחרי הכל, כנראה היית צריך לשנן עשרות נוסחאות פיזיקליות. והנוסחה היא הייצוג המתמטי של המצב.

ב-OGE ובבחינת המדינה המאוחדת יש משימות רק בנושא זה. ב-USE (פרופיל) זו משימה מספר 11 (לשעבר B12). ב-OGE - משימה מספר 20.

סכימת הפתרון ברורה:

1) מהטקסט של התנאי, יש צורך "לבודד" מידע שימושי - מה שאנו כותבים בבעיות פיזיקה תחת המילה "נתון". זֶה מידע שימושיהם:

• נוּסחָה
• כמויות פיזיות ידועות.

כלומר, לכל אות מהנוסחה יש להקצות מספר מסוים.

2) קח את כל הכמויות הידועות והחלף אותן בנוסחה. הערך הלא ידוע נשאר כאות. עכשיו אתה רק צריך לפתור את המשוואה (בדרך כלל די פשוטה), והתשובה מוכנה.

ובכן, הנושא הסתיים. אם אתה קורא שורות אלה, אתה מאוד מגניב.

כי רק 5% מהאנשים מסוגלים לשלוט במשהו בעצמם. ואם קראתם עד הסוף, אז אתם ב-5%!

עכשיו הדבר הכי חשוב.

הבנת את התיאוריה בנושא זה. ואני חוזר, זה... זה פשוט מעולה! אתה כבר יותר טוב מהרוב המכריע של עמיתיך.

הבעיה היא שאולי זה לא מספיק...

בשביל מה?

על מעבר מוצלח של הבחינה, על קבלה למכון בתקציב והכי חשוב לכל החיים.

אני לא אשכנע אותך בכלום, אני רק אגיד דבר אחד...

אנשים שקיבלו חינוך טוב, מרוויחים הרבה יותר מאלה שלא קיבלו. זו סטטיסטיקה.

אבל זה לא העיקר.

העיקר שהם יותר שמחים (יש מחקרים כאלה). אולי כי הרבה יותר הזדמנויות נפתחות בפניהם והחיים נעשים בהירים יותר? לא יודע...

אבל תחשוב בעצמך...

מה צריך כדי להיות בטוח להיות טוב יותר מאחרים בבחינה ולהיות בסופו של דבר... מאושר יותר?

מלא את היד שלך, פותר בעיות בנושא זה.

בבחינה לא ישאלו אותך תיאוריה.

אתה תצטרך לפתור בעיות בזמן.

ואם לא פתרת אותם (הרבה!), אתה בהחלט תעשה טעות מטופשת איפשהו או פשוט לא תעשה את זה בזמן.

זה כמו בספורט - צריך לחזור על זה הרבה פעמים כדי לנצח בוודאות.

מצא אוסף בכל מקום שתרצה בהכרח עם פתרונות ניתוח מפורט ולהחליט, להחליט, להחליט!

אתה יכול להשתמש במשימות שלנו (לא הכרחי) ואנחנו בהחלט ממליצים עליהן.

כדי לקבל יד בעזרת המשימות שלנו, אתה צריך לעזור להאריך את חיי ספר הלימוד YouClever שאתה קורא כעת.

אֵיך? ישנן שתי אפשרויות:

1. בטל את נעילת הגישה לכל המשימות הנסתרות במאמר זה - 299 לשפשף.
2. בטל את הנעילה של גישה לכל המשימות הנסתרות בכל 99 המאמרים של המדריך - 999 לשפשף.

כן, יש לנו 99 מאמרים כאלה בספר הלימוד וניתן לפתוח מיד גישה לכל המשימות ולכל הטקסטים המוסתרים שבהם.

במקרה השני אנחנו ניתן לךסימולטור "6000 משימות עם פתרונות ותשובות, לכל נושא, לכל רמות המורכבות." זה בהחלט מספיק כדי לשים את ידך על פתרון בעיות בכל נושא.

למעשה, מדובר בהרבה יותר מסתם סימולטור – תוכנית אימונים שלמה. במידת הצורך, אתה יכול גם להשתמש בו בחינם.

גישה לכל הטקסטים והתכניות ניתנת למשך כל חיי האתר.

לסיכום...

אם אתה לא אוהב את המשימות שלנו, מצא אחרים. רק אל תפסיק עם התיאוריה.

"מובן" ו"אני יודע לפתור" הם כישורים שונים לחלוטין. אתה צריך את שניהם.

מצא בעיות ופתור!

דוגמה 1.5.1.

תן קצת אזור כלכלימייצרת מספר (n) סוגים של מוצרים באופן בלעדי בכוחות עצמו ורק עבור אוכלוסיית האזור הנתון. ההנחה היא שהתהליך הטכנולוגי עובד, ונבדקה הדרישה של האוכלוסייה לסחורות אלו. יש צורך לקבוע את נפח התפוקה השנתי של מוצרים, תוך התחשבות בעובדה שנפח זה חייב לספק צריכה סופית ותעשייתית כאחד.

בואו נעשה מודל מתמטי לבעיה זו. על פי מצבו ניתנים: סוגי מוצרים, הביקוש אליהם והתהליך הטכנולוגי; מצא את נפח הפלט עבור כל סוג של מוצר.

הבה נסמן את הכמויות הידועות:

ג אני- דרישה ציבורית ל אניהמוצר ה-( אני=1,...,נ); א ij- כמות אניהמוצר הדרוש לייצור יחידה של המוצר ה-j באמצעות טכנולוגיה זו ( אני=1,...,נ ; י=1,...,נ);

איקס אני - נפח הפלט אניהמוצר ה-( אני=1,...,נ); מִכלוֹל עם =(ג 1 ,..., ג נ ) נקרא וקטור הביקוש, המספרים א ij– מקדמים טכנולוגיים, והסט איקס =(איקס 1 ,..., איקס נ ) הוא וקטור השחרור.

לפי מצב הבעיה, הווקטור איקס מחולק לשני חלקים: לצריכה סופית (וקטור עם ) ורבייה (וקטור x-s ). חשב את החלק הזה של הווקטור איקס שהולך לרבייה. על פי הייעודים שלנו לייצור איקס יכמות המוצר j-th הולך א ij · איקס יכמיות אניהמוצר -ה.

ואז הסכום א i1 · איקס 1 +...+ א ב · איקס נמציג את הערך אנימוצר -ה, הדרוש עבור הפלט כולו איקס =(איקס 1 ,..., איקס נ ).

לפיכך, על השוויון להתקיים:

בהרחבת הנמקה זו לכל סוגי המוצרים, אנו מגיעים לדגם הרצוי:

פתרון מערכת זו של n משוואות לינאריות ביחס ל איקס 1 ,...,איקס נומצא את וקטור הפלט הדרוש.

על מנת לכתוב מודל זה בצורה קומפקטית יותר (וקטורית), אנו מציגים את הסימון:

כיכר (
) -מטריקס אבלנקראת מטריצת הטכנולוגיה. קל לבדוק שהדגם שלנו ייכתב כעת כך: x-s=אהאוֹ

(1.6)

קיבלנו את הדגם הקלאסי" פלט קלט ", מחברו הוא הכלכלן האמריקאי המפורסם V. Leontiev.

דוגמה 1.5.2.

לבית זיקוק נפט יש שתי דרגות נפט: כיתה אבלבכמות של 10 יחידות, ציון בְּ- 15 יחידות. בעת עיבוד נפט מתקבלים שני חומרים: בנזין (אנו מציינים ב) ומזוט ( M). ישנן שלוש אפשרויות לטכנולוגיית העיבוד:

אני: יחידה 1 אבל+ 2 יחידות בְּנותן 3 יחידות. ב+ 2 יחידות M

II: 2 יחידות אבל+ 1 יחידה בְּנותן 1 יחידה. ב+ 5 יחידות M

III: 2 יחידות אבל+ 2 יחידות בְּנותן 1 יחידה. ב+ 2 יחידות M

מחיר הבנזין הוא 10$ ליחידה, מזוט 1$ ליחידה.

נדרש לקבוע את השילוב המועיל ביותר של תהליכים טכנולוגיים לעיבוד כמות הנפט הזמינה.

לפני הדוגמנות, אנו מבהירים את הנקודות הבאות. מתנאי הבעיה עולה כי יש להבין את ה"רווחיות" של התהליך הטכנולוגי למפעל במובן של השגת ההכנסה המרבית ממכירת מוצריו המוגמרים (בנזין ומזוט). בעניין זה ברור ש"ההחלטה (הבחירה)" של המפעל היא לקבוע איזו טכנולוגיה וכמה פעמים ליישם. ברור שיש הרבה אפשרויות כאלה.

הבה נסמן את הכמויות הלא ידועות:

איקס אני- כמות השימוש אניתהליך טכנולוגי (i=1,2,3). פרמטרים נוספים של המודל (רזרבות של ציוני נפט, מחירי בנזין ומזוט) ידוע.

כעת החלטה אחת ספציפית של הצמח מצטמצמת לבחירה של וקטור אחד איקס =(x 1 ,איקס 2 ,איקס 3 ) , שעבורו שווה פדיון המפעל (32x 1 +15x 2 +12x 3 ) דולר. כאן, 32 דולר היא ההכנסה המתקבלת מיישום אחד של התהליך הטכנולוגי הראשון (10 דולר 3 יחידות. ב+ $1 2 יחידות M= $32). למקדמים 15 ו-12 יש משמעות דומה לתהליכים הטכנולוגיים השני והשלישי, בהתאמה. התחשבנות במאגר הנפט מובילה לתנאים הבאים:

למגוון אבל:

למגוון בְּ:,

כאשר באי השוויון הראשון המקדמים 1, 2, 2 הם שיעורי הצריכה של שמן דרגה A ליישום חד פעמי של תהליכים טכנולוגיים אני,II,IIIבהתאמה. למקדמי אי השוויון השני יש משמעות דומה לשמן דרגה B.

למודל המתמטי בכללותו יש את הצורה:

מצא וקטור כזה x = (x 1 ,איקס 2 ,איקס 3 ) למקסם

f(x) = 32x 1 +15x 2 +12x 3

כאשר מתקיימים התנאים:

הצורה המקוצרת של ערך זה היא כדלקמן:

תחת הגבלות

(1.7)

קיבלנו את מה שנקרא בעיית תכנות ליניארית.

מודל (1.7.) הוא דוגמה למודל אופטימיזציה מסוג דטרמיניסטי (עם אלמנטים מוגדרים היטב).

דוגמה 1.5.3.

המשקיע צריך לקבוע את הסט הטוב ביותר של מניות, אג"ח וניירות ערך אחרים כדי לרכוש אותם בסכום מסוים על מנת להשיג רווח מסוים במינימום סיכון לעצמו. תשואה על כל דולר שהושקע בנייר ערך י-הסוג, המאופיין בשני אינדיקטורים: רווח צפוי ורווח בפועל. למשקיע, רצוי שהרווח הצפוי לדולר השקעות עבור כל מערך ניירות הערך לא יהיה נמוך משווי נתון ב.

שים לב שלצורך המודל הנכון של בעיה זו, מתמטיקאי דורש ידע בסיסי מסוים בתחום תורת התיקים של ניירות ערך.

הבה נסמן את הפרמטרים הידועים של הבעיה:

נ- מספר סוגי ניירות הערך; א י- רווח בפועל (מספר אקראי) מהסוג ה-j של נייר ערך; הוא הרווח הצפוי מ יסוג האבטחה.

סמן את הכמויות הלא ידועות :

y י - כספים שהוקצו לרכישת ניירות ערך מהסוג י.

בסימון שלנו, הסכום הכולל שהושקע מבוטא כ . כדי לפשט את המודל, אנו מציגים כמויות חדשות

.

בדרך זו, איקס אני- זהו החלק של כל הכספים המוקצים לרכישת ניירות ערך מהסוג י.

זה ברור

ניתן לראות ממצב הבעיה שמטרת המשקיע היא להגיע לרמת רווח מסוימת במינימום סיכון. בעיקרו של דבר, סיכון הוא מדד לסטייה של הרווח בפועל מהרווח הצפוי. לכן, ניתן לזהות אותו עם שונות הרווח עבור ניירות ערך מסוג i וסוג j. כאן M הוא ייעוד הציפייה המתמטית.

למודל המתמטי של הבעיה המקורית יש את הצורה:

תחת הגבלות

,
,
,
. (1.8)

השגנו את מודל מרקוביץ המוכר לאופטימיזציה של מבנה תיק ניירות ערך.

מודל (1.8.) הוא דוגמה למודל אופטימיזציה מסוג סטוכסטי (עם אלמנטים של אקראיות).

דוגמה 1.5.4.

על הבסיס ארגון סחרישנם n סוגים של אחד ממוצרי המבחר המינימלי. יש לספק לחנות רק אחד מסוגי מוצר זה. יש לבחור את סוג הסחורה שרצוי להביא לחנות. אם סוג המוצר ייהיה ביקוש, אז החנות תרוויח מהמכירה שלה ר י, אם זה לא מבוקש - הפסד ש י .

לפני הדוגמנות, נדון בכמה נקודות יסוד. בבעיה זו, מקבל ההחלטות (DM) הוא החנות. עם זאת, התוצאה (קבלת הרווח המקסימלי) תלויה לא רק בהחלטתו, אלא גם אם הסחורה המיובאת תהיה מבוקשת, כלומר האם היא נקנתה על ידי האוכלוסייה (ההנחה היא שמסיבה כלשהי החנות עושה זאת. אין לי הזדמנות ללמוד את הביקוש של האוכלוסייה). לכן, האוכלוסייה יכולה להיחשב כמקבלת ההחלטות השנייה, בוחרת את סוג הסחורה על פי העדפותיה. ה"החלטה" הגרועה ביותר של האוכלוסייה עבור החנות היא: "הסחורה המיובאת אינה מבוקשת". לכן, על מנת לקחת בחשבון כל מיני מצבים, החנות צריכה להתייחס לאוכלוסיה כ"יריב" שלה (על תנאי), מתוך מטרה הפוכה - למזער את הרווח של החנות.

אז יש לנו בעיית החלטה עם שני משתתפים שחותרים אחר מטרות הפוכות. נבהיר שהחנות בוחרת באחד מסוגי הסחורה למכירה (ישנם n פתרונות), והאוכלוסייה בוחרת באחד מסוגי הסחורה המבוקשים ביותר ( נאפשרויות פתרון).

כדי להרכיב מודל מתמטי, אנו מציירים טבלה עם נקווים ו נעמודות (סה"כ נ 2 תאים) ומסכים שהשורות מתאימות לבחירת החנות, והעמודות מתאימות לבחירת האוכלוסייה. ואז התא (אני, י)מתאים למצב שבו החנות בוחרת אניסוג טובין ( אני-הקו), והאוכלוסייה בוחרת יסוג טובין ( j-העמודה ה'). בכל תא אנו כותבים הערכה מספרית (רווח או הפסד) של המצב המתאים מנקודת המבט של החנות:

מספרים ש אניכתוב עם מינוס כדי לשקף את אובדן החנות; בכל מצב, ה"תמורה" של האוכלוסייה שווה (בתנאי) ל"התמורה" של החנות, בסימן ההפוך.

תצוגה מקוצרת של דגם זה היא כדלקמן:

(1.9)

קיבלנו את מה שנקרא משחק מטריקס. מודל (1.9.) הוא דוגמה למודלים של קבלת החלטות במשחק.