כידוע, כאשר מכפילים ביטויים בחזקות, המעריכים שלהם תמיד מצטברים (a b * a c = a b + c). חוק מתמטי זה נגזר על ידי ארכימדס, ומאוחר יותר, במאה ה-8, יצר המתמטיקאי ויראסן טבלה של אינדיקטורים שלמים. הם היו אלה ששימשו לגילוי נוסף של לוגריתמים. דוגמאות לשימוש בפונקציה זו ניתן למצוא כמעט בכל מקום בו נדרש לפשט כפל מסורבל לחיבור פשוט. אם תשקיעו 10 דקות בקריאת המאמר הזה, נסביר לכם מהם לוגריתמים וכיצד לעבוד איתם. שפה פשוטה ונגישה.
הגדרה במתמטיקה
הלוגריתם הוא ביטוי של הצורה הבאה: log a b=c, כלומר הלוגריתם של כל מספר לא שלילי (כלומר, כל חיובי) "b" לפי הבסיס שלו "a" נחשב בחזקת "c" ", שאליו יש צורך להעלות את הבסיס "a", כך שבסופו של דבר מקבלים את הערך "b". בוא ננתח את הלוגריתם בעזרת דוגמאות, נניח שיש ביטוי log 2 8. איך מוצאים את התשובה? זה מאוד פשוט, צריך למצוא תואר כזה שמ-2 ועד לתואר הנדרש מקבלים 8. אחרי שעשינו כמה חישובים בראש, אנחנו מקבלים את המספר 3! ובצדק, כי 2 בחזקת 3 נותן את המספר 8 בתשובה.
זנים של לוגריתמים
עבור תלמידים וסטודנטים רבים, נושא זה נראה מסובך ובלתי מובן, אך למעשה, לוגריתמים אינם כל כך מפחידים, העיקר הוא להבין את המשמעות הכללית שלהם ולזכור את המאפיינים שלהם וכמה כללים. ישנם שלושה סוגים נפרדים של ביטויים לוגריתמיים:
- לוגריתם טבעי ln a, כאשר הבסיס הוא מספר אוילר (e = 2.7).
- עשרוני a, כאשר הבסיס הוא 10.
- הלוגריתם של כל מספר b לבסיס a>1.
כל אחד מהם נפתר בצורה סטנדרטית, כולל פישוט, צמצום והפחתה שלאחר מכן ללוגריתם אחד באמצעות משפטים לוגריתמיים. כדי לקבל את הערכים הנכונים של הלוגריתמים, יש לזכור את תכונותיהם ואת סדר הפעולות בהחלטותיהם.
כללים וכמה הגבלות
במתמטיקה, יש כמה כללים-מגבלות שמקובלים כאקסיומה, כלומר, הם אינם נתונים לדיון והם נכונים. למשל, אי אפשר לחלק מספרים באפס, ואי אפשר גם לחלץ שורש של מעלה זוגית ממספרים שליליים. ללוגריתמים יש גם כללים משלהם, שבעקבותיהם תוכלו ללמוד בקלות כיצד לעבוד גם עם ביטויים לוגריתמיים ארוכים ומרווחים:
- הבסיס "a" חייב להיות תמיד גדול מאפס, ויחד עם זאת לא להיות שווה ל-1, אחרת הביטוי יאבד את משמעותו, כי "1" ו-"0" בכל דרגה שווים תמיד לערכים שלהם;
- אם a > 0, אז a b > 0, מסתבר ש-"c" חייב להיות גדול מאפס.
איך פותרים לוגריתמים?
לדוגמה, המשימה ניתנה למצוא את התשובה למשוואה 10 x \u003d 100. זה מאוד קל, אתה צריך לבחור כוח כזה, להעלות את המספר עשר אליו נקבל 100. זה, כמובן, הוא 10 2 \u003d 100.
עכשיו בואו נציג את הביטוי הזה כלוגריתמי. נקבל לוג 10 100 = 2. בעת פתרון לוגריתמים, כל הפעולות מתכנסות למעשה למציאת המידה שבה יש להזין את בסיס הלוגריתם כדי לקבל מספר נתון.
כדי לקבוע במדויק את הערך של תואר לא ידוע, עליך ללמוד כיצד לעבוד עם טבלת מעלות. זה נראה כמו זה:
כפי שאתה יכול לראות, ניתן לנחש כמה מעריכים באופן אינטואיטיבי אם יש לך חשיבה טכנית וידע בטבלת הכפל. עם זאת, עבור ערכים גדוליםאתה צריך טבלת מעלות. זה יכול לשמש גם למי שלא מבין כלום בכלל בנושאים מתמטיים מורכבים. העמודה השמאלית מכילה מספרים (בסיס a), שורת המספרים העליונה היא ערך החזקה c, שאליו מועלה המספר a. בצומת בתאים נקבעים ערכי המספרים שהם התשובה (a c =b). ניקח, למשל, את התא הראשון עם המספר 10 ונריבוע אותו, נקבל את הערך 100, שמצוין במפגש של שני התאים שלנו. הכל כל כך פשוט וקל שאפילו ההומניסט האמיתי ביותר יבין!
משוואות ואי שוויון
מסתבר שבתנאים מסוימים, המעריך הוא הלוגריתם. לכן, כל ביטוי מספרי מתמטי יכול להיכתב כמשוואה לוגריתמית. לדוגמה, ניתן לכתוב 3 4 =81 כלוגריתם של 81 לבסיס 3, שהוא ארבע (לוג 3 81 = 4). ל כוחות שלילייםהכללים זהים: 2 -5 \u003d 1/32 אנו כותבים בצורה של לוגריתם, אנו מקבלים יומן 2 (1/32) \u003d -5. אחד הקטעים המרתקים ביותר במתמטיקה הוא נושא ה"לוגריתמים". נשקול דוגמאות ופתרונות של משוואות מעט נמוך יותר, מיד לאחר לימוד תכונותיהן. עכשיו בואו נסתכל איך נראים אי-שוויון ואיך להבדיל אותם ממשוואות.
ניתן ביטוי לצורה הבאה: log 2 (x-1) > 3 - זהו אי שוויון לוגריתמי, שכן הערך הלא ידוע "x" נמצא בסימן הלוגריתם. וגם בביטוי משווים שתי כמויות: הלוגריתם של המספר הרצוי בבסיס שני גדול מהמספר שלוש.
ההבדל החשוב ביותר בין משוואות לוגריתמיות לאי שוויון הוא שמשוואות עם לוגריתמים (לדוגמה, הלוגריתם של 2 x = √9) מרמזות על ערך מספרי ספציפי אחד או יותר בתשובה, בעוד שבפתרון אי השוויון, הן הטווח של ערכים מקובלים והנקודות ששוברות את הפונקציה הזו. כתוצאה מכך, התשובה אינה קבוצה פשוטה של מספרים בודדים, כמו בתשובת המשוואה, אלא סדרה או קבוצה רציפה של מספרים.
משפטים בסיסיים על לוגריתמים
בעת פתרון משימות פרימיטיביות על מציאת ערכי הלוגריתם, ייתכן שתכונותיו אינן ידועות. עם זאת, כאשר מדובר במשוואות לוגריתמיות או באי-שוויון, קודם כל, יש צורך להבין בבירור וליישם בפועל את כל המאפיינים הבסיסיים של הלוגריתמים. נכיר דוגמאות למשוואות בהמשך, ראשית ננתח כל תכונה ביתר פירוט.
- הזהות הבסיסית נראית כך: a logaB =B. זה חל רק אם a גדול מ-0, אינו שווה לאחד, ו-B גדול מאפס.
- הלוגריתם של המוצר יכול להיות מיוצג בנוסחה הבאה: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. במקרה זה, התנאי המוקדמים הוא: d, s 1 ו-s 2 > 0; a≠1. אתה יכול לתת הוכחה לנוסחת הלוגריתמים הזו, עם דוגמאות ופתרון. תן לוגן a s 1 = f 1 ו- log a s 2 = f 2, ואז a f1 = s 1, a f2 = s 2. נקבל ש- s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (מאפייני מעלות ), ועוד בהגדרה: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, שהיה צריך להוכיח.
- הלוגריתם של המנה נראה כך: log a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log a s 2.
- המשפט בצורת נוסחה מקבל התצוגה הבאה: log a q b n = n/q log a b.
נוסחה זו נקראת "תכונת מידת הלוגריתם". זה דומה למאפיינים של תארים רגילים, וזה לא מפתיע, כי כל המתמטיקה נשענת על פוסטולטים רגילים. בואו נסתכל על ההוכחה.
תן לרשום a b \u003d t, מסתבר א t \u003d b. אם תעלה את שני החלקים בחזקת m: a tn = b n ;
אבל מכיוון ש tn = (a q) nt/q = b n , מכאן לוג a q b n = (n*t)/t, אז log a q b n = n/q log a b. המשפט הוכח.
דוגמאות לבעיות ואי שוויון
הסוגים הנפוצים ביותר של בעיות לוגריתם הם דוגמאות של משוואות ואי-שוויון. הם נמצאים כמעט בכל ספרי הבעיות, ונכללים גם בחלק החובה של בחינות במתמטיקה. כדי להיכנס לאוניברסיטה או לעבור מבחני קבלה במתמטיקה, צריך לדעת איך לפתור משימות כאלה בצורה נכונה.
למרבה הצער, אין תוכנית או סכמה אחת לפתרון וקביעת הערך הלא ידוע של הלוגריתם, עם זאת, ניתן ליישם כללים מסוימים על כל אי שוויון מתמטי או משוואה לוגריתמית. קודם כל, כדאי לברר האם ניתן לפשט או לצמצם את הביטוי השקפה כללית. אתה יכול לפשט ביטויים לוגריתמיים ארוכים אם אתה משתמש במאפיינים שלהם בצורה נכונה. בואו להכיר אותם בקרוב.
כשמחליטים משוואות לוגריתמיות, יש צורך לקבוע איזה סוג של לוגריתם יש לפנינו: דוגמה לביטוי עשויה להכיל לוגריתם טבעי או עשרוני.
להלן דוגמאות ln100, ln1026. הפתרון שלהם מסתכם בעובדה שאתה צריך לקבוע את המידה שבה הבסיס 10 יהיה שווה ל-100 ו-1026, בהתאמה. עבור פתרונות של לוגריתמים טבעיים, יש ליישם זהויות לוגריתמיות או תכונותיהן. בואו נסתכל על דוגמאות לפתרון בעיות לוגריתמיות מסוגים שונים.
כיצד להשתמש בנוסחאות לוגריתם: עם דוגמאות ופתרונות
אז בואו נסתכל על דוגמאות לשימוש במשפטים העיקריים על לוגריתמים.
- ניתן להשתמש בתכונת הלוגריתם של המוצר במשימות שבהן יש צורך לפרק ערך גדול של המספר b לגורמים פשוטים יותר. לדוגמה, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. התשובה היא 9.
- log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1.5 - כפי שניתן לראות, באמצעות התכונה הרביעית של דרגת הלוגריתם, הצלחנו לפתור במבט ראשון ביטוי מורכב ובלתי ניתן לפתרון. יש צורך רק לחלק את הבסיס לגורמים ואז להוציא את ערכי המעריך מהסימן של הלוגריתם.
משימות מהבחינה
לוגריתמים נמצאים לעתים קרובות במבחני כניסה, במיוחד הרבה בעיות לוגריתמיות בבחינת המדינה המאוחדת (בחינה ממלכתית לכל בוגרי בית הספר). בדרך כלל משימות אלו קיימות לא רק בחלק א' (חלק המבחן הקל ביותר בבחינה), אלא גם בחלק ג' (המשימות הקשות והנפחיות ביותר). הבחינה מרמזת על ידע מדויק ומושלם בנושא "לוגריתמים טבעיים".
דוגמאות ופתרונות לבעיה לקוחים מפקיד השתמש באפשרויות. בואו נראה איך משימות כאלה נפתרות.
נתון יומן 2 (2x-1) = 4. פתרון:
נכתוב מחדש את הביטוי, ונפשט אותו מעט לוג 2 (2x-1) = 2 2 , לפי הגדרת הלוגריתם נקבל ש- 2x-1 = 2 4 , ולכן 2x = 17; x = 8.5.
- כל הלוגריתמים עדיף לצמצם לאותו בסיס כדי שהפתרון לא יהיה מסורבל ומבלבל.
- כל הביטויים תחת סימן הלוגריתם מסומנים כחיוביים, לכן, כאשר מוציאים את המעריך של המעריך של הביטוי, שנמצא תחת סימן הלוגריתם וכבסיס שלו, הביטוי שנשאר מתחת ללוגריתם חייב להיות חיובי.
(מיוונית λόγος - "מילה", "יחס" ו-ἀριθμός - "מספר") בעל ידי סיבה א(לוג α ב) נקרא מספר כזה ג, ו ב= א ג, כלומר, log α ב=גו b=aגשוות ערך. הלוגריתם הגיוני אם a > 0, a ≠ 1, b > 0.
במילים אחרות לוֹגָרִיתְםמספרים בעל ידי סיבה אמנוסח כמעריך שאליו יש להעלות מספר אכדי לקבל את המספר ב(הלוגריתם קיים רק עבור מספרים חיוביים).
מניסוח זה נובע שהחישוב x= log α ב, שווה ערך לפתרון המשוואה a x =b.
לדוגמה:
log 2 8 = 3 כי 8=2 3 .
נציין כי הניסוח המצוין של הלוגריתם מאפשר לקבוע מיד ערך לוגריתםכאשר המספר מתחת לסימן הלוגריתם הוא חזקה מסוימת של הבסיס. אכן, ניסוח הלוגריתם מאפשר להצדיק שאם b=a ג, ואז הלוגריתם של המספר בעל ידי סיבה אשווים עם. ברור גם שנושא הלוגריתם קשור קשר הדוק לנושא דרגת מספר.
מתייחסים לחישוב הלוגריתם לוֹגָרִיתְם. לוגריתם הוא הפעולה המתמטית של לקיחת לוגריתם. כאשר לוקחים לוגריתם, תוצרי הגורמים הופכים לסכומים של איברים.
פוטנציציההיא הפעולה המתמטית הפוכה ללוגריתם. בעת פוטנציציה, הבסיס הנתון מועלה לעוצמת הביטוי שעליו מתבצעת הפוטנציציה. במקרה זה, סכומי האיברים הופכים למכפלה של גורמים.
לעתים קרובות, נעשה שימוש בלוגריתמים אמיתיים עם בסיסים 2 (בינארי), מספר e אוילר e ≈ 2.718 (לוגריתם טבעי) ו-10 (עשרוני).
בשלב זה כדאי לקחת בחשבון דוגמאות של לוגריתמיםיומן 7 2 , ב √ 5, lg0.0001.
והערכים lg (-3), log -3 3.2, log -1 -4.3 אינם הגיוניים, מכיוון שבראשון שבהם ממוקם מספר שלילי מתחת לסימן הלוגריתם, בשני - מספר שליליבבסיס, ובשלישי - ומספר שלילי בסימן הלוגריתם ויחידה בבסיס.
תנאים לקביעת הלוגריתם.
כדאי לשקול בנפרד את התנאים a > 0, a ≠ 1, b > 0. הגדרה של לוגריתם.הבה נבחן מדוע נוקטים ההגבלות הללו. זה יעזור לנו עם שוויון בצורה x = log α ב, הנקראת הזהות הלוגריתמית הבסיסית, הנובעת ישירות מהגדרת הלוגריתם שניתנה לעיל.
קח את התנאי a≠1. מכיוון שאחד שווה לאחד בחזקת כל, אז השוויון x=log α ביכול להתקיים רק כאשר b=1, אבל יומן 1 1 יהיה כל מספר ממשי. כדי לבטל את העמימות הזו, אנחנו לוקחים a≠1.
הבה נוכיח את נחיצות התנאי a>0. בְּ a=0על פי ניסוח הלוגריתם, יכול להתקיים רק כאשר b=0. ואז בהתאם log 0 0יכול להיות כל מספר ממשי שאינו אפס, שכן אפס לכל חזקה שאינה אפס הוא אפס. כדי לבטל את העמימות הזו, התנאי a≠0. ומתי א<0 נצטרך לדחות את הניתוח של הערכים הרציונליים והאי-רציונליים של הלוגריתם, מכיוון שהמעריך עם מעריך רציונלי ואי-רציונלי מוגדר רק עבור בסיסים לא שליליים. מסיבה זו התנאי a>0.
והתנאי האחרון b>0נובע מאי השוויון a>0, שכן x=log α ב, וערך התואר עם בסיס חיובי אתמיד חיובי.
תכונות של לוגריתמים.
לוגריתמיםמאופיין במיוחד מאפיינים, מה שהוביל לשימוש נרחב בהם כדי להקל מאוד על חישובים קפדניים. במעבר "לעולם הלוגריתמים" הופכים את הכפל לחיבור הרבה יותר קל, חלוקה לחיסור, והעלאה לחזק והורדת שורש הופכים לכפל וחילוק במעריך, בהתאמה.
ניסוח הלוגריתמים וטבלת ערכיהם (עבור פונקציות טריגונומטריות) פורסם לראשונה בשנת 1614 על ידי המתמטיקאי הסקוטי ג'ון נאפייר. טבלאות לוגריתמיות, שהוגדלו ומפורטות על ידי מדענים אחרים, היו בשימוש נרחב בחישובים מדעיים והנדסיים, ונשארו רלוונטיות עד שהחלו להשתמש במחשבונים ובמחשבים אלקטרוניים.
ביטויים לוגריתמיים, פתרון דוגמאות. במאמר זה נשקול בעיות הקשורות לפתרון לוגריתמים. המשימות מעלות את שאלת מציאת ערך הביטוי. יש לציין כי מושג הלוגריתם משמש במשימות רבות וחשוב ביותר להבין את משמעותו. באשר ל-USE, הלוגריתם משמש בפתרון משוואות, בבעיות יישומיות וגם במשימות הקשורות לחקר פונקציות.
הנה דוגמאות להבנת עצם המשמעות של הלוגריתם:
זהות לוגריתמית בסיסית:
מאפיינים של לוגריתמים שעליכם לזכור תמיד:
*לוגריתם של המוצר שווה לסכוםהלוגריתמים של הגורמים.
* * *
* הלוגריתם של המנה (שבר) שווה להפרש הלוגריתמים של הגורמים.
* * *
*לוגריתם של תואר שווה למוצרמעריך ללוגריתם של הבסיס שלו.
* * *
*מעבר לבסיס חדש
* * *
נכסים נוספים:
* * *
מחשוב לוגריתמים קשור קשר הדוק לשימוש במאפיינים של מעריכים.
אנו מפרטים כמה מהם:
המהות של תכונה זו היא שכאשר מעבירים את המונה למכנה ולהיפך, סימן המעריך משתנה להיפך. לדוגמה:
תוצאה של נכס זה:
* * *
כאשר מעלים כוח לחזקה, הבסיס נשאר זהה, אבל המעריכים מוכפלים.
* * *
כפי שאתה יכול לראות, עצם הרעיון של הלוגריתם הוא פשוט. העיקר מה צריך אימון טוב, מה שנותן מיומנות מסוימת. אין ספק שידע בנוסחאות הוא חובה. אם המיומנות בהמרת לוגריתמים יסודיים אינה נוצרת, אז כשפותרים משימות פשוטות, אפשר בקלות לטעות.
תרגל, פתרו תחילה את הדוגמאות הפשוטות ביותר מהקורס במתמטיקה, ואז עברו לדוגמאות מורכבות יותר. בעתיד, אני בהחלט אראה כיצד פותרים את הלוגריתמים ה"מכוערים", לא יהיו כאלה בבחינה, אבל הם מעניינים, אל תפספסו את זה!
זה הכל! בהצלחה לך!
בברכה, אלכסנדר קרוטיסקיך
נ.ב: אודה לך אם תספר על האתר ברשתות החברתיות.
מאפיינים בסיסיים.
- logax + logay = log(x y);
- logax − logay = log(x: y).
אותם נימוקים
log6 4 + log6 9.
עכשיו בואו נסבך מעט את המשימה.
דוגמאות לפתרון לוגריתמים
מה אם יש תואר בבסיס או בארגומנט של הלוגריתם? אז ניתן להוציא את המעריך של תואר זה מהסימן של הלוגריתם לפי הכללים הבאים:
כמובן, כל הכללים הללו הגיוניים אם הלוגריתם של ODZ מתקיים: a > 0, a ≠ 1, x >
מְשִׁימָה. מצא את הערך של הביטוי:
מעבר לקרן חדשה
תנו ללוגקס הלוגריתם להינתן. אז עבור כל מספר c כך ש-c > 0 ו-c ≠ 1, השוויון נכון:
מְשִׁימָה. מצא את הערך של הביטוי:
ראה גם:
מאפיינים בסיסיים של הלוגריתם
1.
2.
3.
4.
5. 
6.
7.
8.
9.
10.
11. 
12.
13.
14. 
15.
המעריך הוא 2.718281828... כדי לזכור את המעריך, אתה יכול ללמוד את הכלל: המעריך הוא 2.7 ופעמיים בשנת הלידה של ליאו טולסטוי.
מאפיינים בסיסיים של לוגריתמים
בידיעת הכלל הזה, תדע גם את הערך המדויק של המעריך וגם את תאריך הלידה של ליאו טולסטוי.
דוגמאות ללוגריתמים
קח את הלוגריתם של הביטויים
דוגמה 1
א). x=10ac^2 (a>0, c>0).
לפי מאפיינים 3,5 אנו מחשבים 
2.
3. 
4. 
איפה 
.
דוגמה 2 מצא את x if
דוגמה 3. ניתן לתת את הערך של הלוגריתמים
חשב log(x) if
מאפיינים בסיסיים של לוגריתמים
לוגריתמים, כמו כל מספר, ניתן להוסיף, לגרוע ולהמיר בכל דרך אפשרית. אבל מאז לוגריתמים הם לא באמת מספרים רגילים, יש כאן כללים, שנקראים מאפיינים בסיסיים.
יש להכיר את הכללים הללו - בלעדיהם, אף לא רציני בעיה לוגריתמית. בנוסף, יש מעט מאוד מהם - הכל ניתן ללמוד ביום אחד. אז בואו נתחיל.
חיבור וחיסור של לוגריתמים
שקול שני לוגריתמים עם אותו בסיס: לוגקס ולוגאי. לאחר מכן ניתן להוסיף ולהחסיר אותם, ו:
- logax + logay = log(x y);
- logax − logay = log(x: y).
אז, סכום הלוגריתמים שווה ללוגריתם של המכפלה, וההבדל הוא הלוגריתם של המנה. הערה: רגע מפתחכאן - אותם נימוקים. אם הבסיסים שונים, הכללים האלה לא עובדים!
נוסחאות אלו יסייעו בחישוב הביטוי הלוגריתמי גם כאשר חלקיו הבודדים אינם נחשבים (ראה השיעור "מהו לוגריתם"). תסתכל על הדוגמאות וראה:
מכיוון שהבסיסים של הלוגריתמים זהים, אנו משתמשים בנוסחת הסכום:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.
מְשִׁימָה. מצא את הערך של הביטוי: log2 48 − log2 3.
הבסיסים זהים, אנו משתמשים בנוסחת ההבדל:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.
מְשִׁימָה. מצא את הערך של הביטוי: log3 135 − log3 5.
שוב, הבסיסים זהים, אז יש לנו:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.
כפי שניתן לראות, הביטויים המקוריים מורכבים מלוגריתמים "רעים", שאינם נחשבים בנפרד. אבל לאחר טרנספורמציות מסתבר מספרים נורמליים למדי. בהתבסס על עובדה זו, רבים עבודות מבחן. כן, שליטה - ביטויים דומים במלוא הרצינות (לפעמים - כמעט ללא שינויים) מוצעים בבחינה.
הסרת המעריך מהלוגריתם
קל לראות שהכלל האחרון עוקב אחר השניים הראשונים שלהם. אבל עדיף בכל זאת לזכור - במקרים מסוימים זה יקטין משמעותית את כמות החישובים.
כמובן, כל הכללים האלה הגיוניים אם מתקיים הלוגריתם של ODZ: a > 0, a ≠ 1, x > 0. ועוד דבר: למד ליישם את כל הנוסחאות לא רק משמאל לימין, אלא גם להיפך, כלומר. אתה יכול להזין את המספרים לפני הסימן של הלוגריתם לתוך הלוגריתם עצמו. זה מה שנדרש לרוב.
מְשִׁימָה. מצא את הערך של הביטוי: log7 496.
בואו נפטר מהדרגה בטיעון לפי הנוסחה הראשונה:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12
מְשִׁימָה. מצא את הערך של הביטוי:
שימו לב שהמכנה הוא לוגריתם שהבסיס והארגומנט שלו הם בחזקות מדויקות: 16 = 24; 49 = 72. יש לנו:
אני חושב שהדוגמה האחרונה דורשת הבהרה. לאן נעלמו הלוגריתמים? עד הרגע האחרון אנחנו עובדים רק עם המכנה.
נוסחאות לוגריתמים. לוגריתמים הם דוגמאות לפתרונות.
הם הציגו את הבסיס והטיעון של הלוגריתם שעומד שם בצורה של מעלות והוציאו את האינדיקטורים - הם קיבלו שבר של "שלוש קומות".
עכשיו בואו נסתכל על השבר העיקרי. למונה ולמכנה יש אותו מספר: log2 7. מכיוון ש-log2 7 ≠ 0, נוכל לצמצם את השבר - 2/4 יישאר במכנה. לפי כללי החשבון ניתן להעביר את הארבעה למונה, מה שנעשה. התוצאה היא התשובה: 2.
מעבר לקרן חדשה
כשדיברתי על הכללים לחיבור והפחתה של לוגריתמים, הדגשתי במיוחד שהם עובדים רק עם אותם בסיסים. מה אם הבסיסים שונים? מה אם הם לא חזקות מדויקות של אותו מספר?
נוסחאות למעבר לבסיס חדש באות לעזרה. אנו מנסחים אותם בצורה של משפט:
תנו ללוגקס הלוגריתם להינתן. אז עבור כל מספר c כך ש-c > 0 ו-c ≠ 1, השוויון נכון:
בפרט, אם נשים את c = x, נקבל:
מהנוסחה השנייה עולה שאפשר להחליף בין הבסיס לבין הטיעון של הלוגריתם, אבל במקרה זה הביטוי כולו "מתהפך", כלומר. הלוגריתם נמצא במכנה.
נוסחאות אלה נמצאות רק לעתים נדירות בביטויים מספריים רגילים. אפשר להעריך עד כמה הם נוחים רק כאשר פותרים משוואות ואי-שוויון לוגריתמיות.
עם זאת, ישנן משימות שלא ניתן לפתור כלל מלבד מעבר לקרן חדשה. בואו נשקול כמה כאלה:
מְשִׁימָה. מצא את הערך של הביטוי: log5 16 log2 25.
שימו לב שהארגומנטים של שני הלוגריתמים הם אקספוננטים מדויקים. הבה נוציא את האינדיקטורים: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;
כעת נהפוך את הלוגריתם השני:
מכיוון שהמכפלה לא משתנה מתמורה של גורמים, הכפלנו בשלווה ארבע ושתיים, ואז הבנו את הלוגריתמים.
מְשִׁימָה. מצא את הערך של הביטוי: log9 100 lg 3.
הבסיס והטיעון של הלוגריתם הראשון הם חזקות מדויקות. בואו נרשום את זה ונפטר מהאינדיקטורים:
עכשיו בואו נפטר מהלוגריתם העשרוני על ידי מעבר לבסיס חדש:
זהות לוגריתמית בסיסית
לעתים קרובות בתהליך הפתרון נדרש לייצג מספר כלוגריתם לבסיס נתון. במקרה זה, הנוסחאות יעזרו לנו:
במקרה הראשון, המספר n הופך למעריך בארגומנט. המספר n יכול להיות כל דבר, כי זה רק הערך של הלוגריתם.
הנוסחה השנייה היא למעשה הגדרה פרפרזה. זה נקרא כך:
ואכן, מה יקרה אם המספר b יועלה לדרגה כזו שהמספר b בדרגה זו נותן את המספר a? נכון: זה אותו מספר א'. קרא שוב את הפסקה הזו בעיון - אנשים רבים "תולים" בה.
כמו נוסחאות המרת הבסיס החדשות, הזהות הלוגריתמית הבסיסית היא לפעמים הפתרון האפשרי היחיד.
מְשִׁימָה. מצא את הערך של הביטוי:
שימו לב ש-log25 64 = log5 8 - פשוט הוציאו את הריבוע מהבסיס ואת הארגומנט של הלוגריתם. בהינתן הכללים להכפלת כוחות עם אותו בסיס, אנחנו מקבלים:
אם מישהו לא יודע, זו הייתה משימה אמיתית מבחינת המדינה המאוחדת 🙂
יחידה לוגריתמית ואפס לוגריתמי
לסיכום, אתן שתי זהויות שקשה לקרוא להן תכונות – אלא, אלו השלכות מהגדרת הלוגריתם. הם נמצאים כל הזמן בבעיות ובאופן מפתיע יוצרים בעיות גם לתלמידים "מתקדמים".
- logaa = 1 הוא. זכור אחת ולתמיד: הלוגריתם לכל בסיס a מאותו בסיס עצמו שווה לאחד.
- loga 1 = 0 הוא. הבסיס a יכול להיות כל דבר, אבל אם הארגומנט הוא אחד, הלוגריתם הוא אפס! כי a0 = 1 היא תוצאה ישירה של ההגדרה.
זה כל הנכסים. הקפד לתרגל ליישם אותם! הורידו את דף הצ'יט בתחילת השיעור, הדפיסו אותו ופתרו את הבעיות.
ראה גם:
הלוגריתם של המספר b לבסיס a מציין את הביטוי. לחשב את הלוגריתם פירושו למצוא חזקת x() כזו שבה השוויון נכון
מאפיינים בסיסיים של הלוגריתם
המאפיינים שלעיל צריכים להיות ידועים, שכן, על בסיסם, כמעט כל הבעיות והדוגמאות נפתרות על סמך לוגריתמים. את המאפיינים האקזוטיים הנותרים ניתן להפיק על ידי מניפולציות מתמטיות עם נוסחאות אלה
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
בעת חישוב הנוסחאות עבור הסכום וההפרש של לוגריתמים (3.4) נתקלים לעתים קרובות למדי. השאר מורכבים במקצת, אך במספר משימות הם הכרחיים לפישוט ביטויים מורכבים וחישוב ערכיהם.
מקרים נפוצים של לוגריתמים
חלק מהלוגריתמים הנפוצים הם אלו שבהם הבסיס הוא אפילו עשר, אקספוננציאלי או דווק.
הלוגריתם של בסיס עשר נקרא בדרך כלל לוגריתם הבסיס עשר והוא מסומן בפשטות lg(x).
ניתן לראות מהרשומה שהיסודות אינם כתובים ברשומה. לדוגמה
הלוגריתם הטבעי הוא הלוגריתם שהבסיס שלו הוא המעריך (מסומן ln(x)).
המעריך הוא 2.718281828... כדי לזכור את המעריך, אתה יכול ללמוד את הכלל: המעריך הוא 2.7 ופעמיים בשנת הלידה של ליאו טולסטוי. בידיעת הכלל הזה, תדע גם את הערך המדויק של המעריך וגם את תאריך הלידה של ליאו טולסטוי.
ועוד לוגריתם בסיס שני חשוב הוא
הנגזרת של הלוגריתם של הפונקציה שווה לאחד חלקי המשתנה
הלוגריתם האינטגרלי או האנטי-נגזרת נקבע על פי התלות
החומר הנ"ל מספיק בשבילך כדי לפתור מחלקה רחבה של בעיות הקשורות ללוגריתמים וללוגריתמים. למען הבנת החומר, אתן רק כמה דוגמאות נפוצות מ מערכת של ביהסואוניברסיטאות.
דוגמאות ללוגריתמים
קח את הלוגריתם של הביטויים
דוגמה 1
א). x=10ac^2 (a>0, c>0).
לפי מאפיינים 3,5 אנו מחשבים
2.
לפי תכונת ההבדל של לוגריתמים, יש לנו
3.
באמצעות מאפיינים 3.5 אנו מוצאים
4. איפה .
ביטוי מורכב לכאורה באמצעות סדרה של כללים מפושט לצורה
מציאת ערכי לוגריתם
דוגמה 2 מצא את x if
פִּתָרוֹן. לצורך החישוב, אנו מיישמים את המאפיינים 5 ו-13 עד לקדנציה האחרונה
מחליף בפרוטוקול ומתאבל
מכיוון שהבסיסים שווים, אנו משווים את הביטויים
לוגריתמים. שלב ראשון.
תן את הערך של הלוגריתמים
חשב log(x) if
פתרון: קח את הלוגריתם של המשתנה כדי לכתוב את הלוגריתם דרך סכום האיברים
זוהי רק ההתחלה של היכרות עם לוגריתמים ותכונותיהם. תרגל חישובים, העשיר את הכישורים המעשיים שלך - בקרוב תזדקק לידע הנרכש כדי לפתור משוואות לוגריתמיות. לאחר שלמדנו את השיטות הבסיסיות לפתרון משוואות כאלה, נרחיב את הידע שלך לנושא חשוב לא פחות - אי שוויון לוגריתמי ...
מאפיינים בסיסיים של לוגריתמים
לוגריתמים, כמו כל מספר, ניתן להוסיף, לגרוע ולהמיר בכל דרך אפשרית. אבל מכיוון שהלוגריתמים אינם מספרים רגילים לגמרי, יש כאן חוקים שנקראים מאפיינים בסיסיים.
חוקים אלו חייבים להיות ידועים - לא ניתן לפתור בעיה לוגריתמית רצינית בלעדיהם. בנוסף, יש מעט מאוד מהם - הכל ניתן ללמוד ביום אחד. אז בואו נתחיל.
חיבור וחיסור של לוגריתמים
שקול שני לוגריתמים עם אותו בסיס: לוגקס ולוגאי. לאחר מכן ניתן להוסיף ולהחסיר אותם, ו:
- logax + logay = log(x y);
- logax − logay = log(x: y).
אז, סכום הלוגריתמים שווה ללוגריתם של המכפלה, וההבדל הוא הלוגריתם של המנה. שימו לב: נקודת המפתח כאן היא - אותם נימוקים. אם הבסיסים שונים, הכללים האלה לא עובדים!
נוסחאות אלו יסייעו בחישוב הביטוי הלוגריתמי גם כאשר חלקיו הבודדים אינם נחשבים (ראה השיעור "מהו לוגריתם"). תסתכל על הדוגמאות וראה:
מְשִׁימָה. מצא את הערך של הביטוי: log6 4 + log6 9.
מכיוון שהבסיסים של הלוגריתמים זהים, אנו משתמשים בנוסחת הסכום:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.
מְשִׁימָה. מצא את הערך של הביטוי: log2 48 − log2 3.
הבסיסים זהים, אנו משתמשים בנוסחת ההבדל:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.
מְשִׁימָה. מצא את הערך של הביטוי: log3 135 − log3 5.
שוב, הבסיסים זהים, אז יש לנו:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.
כפי שניתן לראות, הביטויים המקוריים מורכבים מלוגריתמים "רעים", שאינם נחשבים בנפרד. אבל לאחר טרנספורמציות מסתבר מספרים נורמליים למדי. בדיקות רבות מבוססות על עובדה זו. כן, שליטה - ביטויים דומים במלוא הרצינות (לפעמים - כמעט ללא שינויים) מוצעים בבחינה.
הסרת המעריך מהלוגריתם
עכשיו בואו נסבך מעט את המשימה. מה אם יש תואר בבסיס או בארגומנט של הלוגריתם? אז ניתן להוציא את המעריך של תואר זה מהסימן של הלוגריתם לפי הכללים הבאים:
קל לראות שהכלל האחרון עוקב אחר השניים הראשונים שלהם. אבל עדיף בכל זאת לזכור - במקרים מסוימים זה יקטין משמעותית את כמות החישובים.
כמובן, כל הכללים האלה הגיוניים אם מתקיים הלוגריתם של ODZ: a > 0, a ≠ 1, x > 0. ועוד דבר: למד ליישם את כל הנוסחאות לא רק משמאל לימין, אלא גם להיפך, כלומר. אתה יכול להזין את המספרים לפני הסימן של הלוגריתם לתוך הלוגריתם עצמו.
כיצד לפתור לוגריתמים
זה מה שנדרש לרוב.
מְשִׁימָה. מצא את הערך של הביטוי: log7 496.
בואו נפטר מהדרגה בטיעון לפי הנוסחה הראשונה:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12
מְשִׁימָה. מצא את הערך של הביטוי:
שימו לב שהמכנה הוא לוגריתם שהבסיס והארגומנט שלו הם בחזקות מדויקות: 16 = 24; 49 = 72. יש לנו:
אני חושב שהדוגמה האחרונה דורשת הבהרה. לאן נעלמו הלוגריתמים? עד הרגע האחרון אנחנו עובדים רק עם המכנה. הם הציגו את הבסיס והטיעון של הלוגריתם שעומד שם בצורה של מעלות והוציאו את האינדיקטורים - הם קיבלו שבר של "שלוש קומות".
עכשיו בואו נסתכל על השבר העיקרי. למונה ולמכנה יש אותו מספר: log2 7. מכיוון ש-log2 7 ≠ 0, נוכל לצמצם את השבר - 2/4 יישאר במכנה. לפי כללי החשבון ניתן להעביר את הארבעה למונה, מה שנעשה. התוצאה היא התשובה: 2.
מעבר לקרן חדשה
כשדיברתי על הכללים לחיבור והפחתה של לוגריתמים, הדגשתי במיוחד שהם עובדים רק עם אותם בסיסים. מה אם הבסיסים שונים? מה אם הם לא חזקות מדויקות של אותו מספר?
נוסחאות למעבר לבסיס חדש באות לעזרה. אנו מנסחים אותם בצורה של משפט:
תנו ללוגקס הלוגריתם להינתן. אז עבור כל מספר c כך ש-c > 0 ו-c ≠ 1, השוויון נכון:
בפרט, אם נשים את c = x, נקבל:
מהנוסחה השנייה עולה שאפשר להחליף בין הבסיס לבין הטיעון של הלוגריתם, אבל במקרה זה הביטוי כולו "מתהפך", כלומר. הלוגריתם נמצא במכנה.
נוסחאות אלה נמצאות רק לעתים נדירות בביטויים מספריים רגילים. אפשר להעריך עד כמה הם נוחים רק כאשר פותרים משוואות ואי-שוויון לוגריתמיות.
עם זאת, ישנן משימות שלא ניתן לפתור כלל מלבד מעבר לקרן חדשה. בואו נשקול כמה כאלה:
מְשִׁימָה. מצא את הערך של הביטוי: log5 16 log2 25.
שימו לב שהארגומנטים של שני הלוגריתמים הם אקספוננטים מדויקים. הבה נוציא את האינדיקטורים: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;
כעת נהפוך את הלוגריתם השני:
מכיוון שהמכפלה לא משתנה מתמורה של גורמים, הכפלנו בשלווה ארבע ושתיים, ואז הבנו את הלוגריתמים.
מְשִׁימָה. מצא את הערך של הביטוי: log9 100 lg 3.
הבסיס והטיעון של הלוגריתם הראשון הם חזקות מדויקות. בואו נרשום את זה ונפטר מהאינדיקטורים:
עכשיו בואו נפטר מהלוגריתם העשרוני על ידי מעבר לבסיס חדש:
זהות לוגריתמית בסיסית
לעתים קרובות בתהליך הפתרון נדרש לייצג מספר כלוגריתם לבסיס נתון. במקרה זה, הנוסחאות יעזרו לנו:
במקרה הראשון, המספר n הופך למעריך בארגומנט. המספר n יכול להיות כל דבר, כי זה רק הערך של הלוגריתם.
הנוסחה השנייה היא למעשה הגדרה פרפרזה. זה נקרא כך:
ואכן, מה יקרה אם המספר b יועלה לדרגה כזו שהמספר b בדרגה זו נותן את המספר a? נכון: זה אותו מספר א'. קרא שוב את הפסקה הזו בעיון - אנשים רבים "תולים" בה.
כמו נוסחאות המרת הבסיס החדשות, הזהות הלוגריתמית הבסיסית היא לפעמים הפתרון האפשרי היחיד.
מְשִׁימָה. מצא את הערך של הביטוי:
שימו לב ש-log25 64 = log5 8 - פשוט הוציאו את הריבוע מהבסיס ואת הארגומנט של הלוגריתם. בהינתן הכללים להכפלת חזקות עם אותו בסיס, אנו מקבלים:
אם מישהו לא יודע, זו הייתה משימה אמיתית מבחינת המדינה המאוחדת 🙂
יחידה לוגריתמית ואפס לוגריתמי
לסיכום, אתן שתי זהויות שקשה לקרוא להן תכונות – אלא, אלו השלכות מהגדרת הלוגריתם. הם נמצאים כל הזמן בבעיות ובאופן מפתיע יוצרים בעיות גם לתלמידים "מתקדמים".
- logaa = 1 הוא. זכור אחת ולתמיד: הלוגריתם לכל בסיס a מאותו בסיס עצמו שווה לאחד.
- loga 1 = 0 הוא. הבסיס a יכול להיות כל דבר, אבל אם הארגומנט הוא אחד, הלוגריתם הוא אפס! כי a0 = 1 היא תוצאה ישירה של ההגדרה.
זה כל הנכסים. הקפד לתרגל ליישם אותם! הורידו את דף הצ'יט בתחילת השיעור, הדפיסו אותו ופתרו את הבעיות.
הפרטיות שלך חשובה לנו. מסיבה זו, פיתחנו מדיניות פרטיות המתארת כיצד אנו משתמשים ומאחסנים את המידע שלך. אנא קרא את מדיניות הפרטיות שלנו ויידע אותנו אם יש לך שאלות כלשהן.
איסוף ושימוש במידע אישי
מידע אישי מתייחס לנתונים שניתן להשתמש בהם כדי לזהות או ליצור קשר עם אדם ספציפי.
ייתכן שתתבקש לספק את המידע האישי שלך בכל עת בעת יצירת קשר.
להלן מספר דוגמאות לסוגי המידע האישי שאנו עשויים לאסוף וכיצד אנו עשויים להשתמש במידע כזה.
איזה מידע אישי אנחנו אוספים:
- בעת הגשת בקשה לאתר, אנו עשויים לאסוף פרטים שונים, לרבות שמך, מספר הטלפון, כתובתך אימיילוכו '
כיצד אנו משתמשים במידע האישי שלך:
- המידע האישי שאנו אוספים מאפשר לנו ליצור איתך קשר וליידע אותך לגבי הצעות ייחודיות, מבצעים ואירועים אחרים ואירועים קרובים.
- מעת לעת, אנו עשויים להשתמש במידע האישי שלך כדי לשלוח לך הודעות והודעות חשובות.
- אנו עשויים להשתמש במידע אישי גם למטרות פנימיות, כגון ביצוע ביקורות, ניתוח נתונים ומחקרים שונים על מנת לשפר את השירותים שאנו מספקים ולספק לך המלצות לגבי השירותים שלנו.
- אם תצטרף להגרלת פרס, לתחרות או תמריץ דומה, אנו עשויים להשתמש במידע שאתה מספק כדי לנהל תוכניות כאלה.
חשיפה לצדדים שלישיים
איננו חושפים מידע שהתקבל ממך לצדדים שלישיים.
חריגים:
- במידת הצורך - בהתאם לחוק, צו שיפוטי,V ליטיגציה, ו/או בהתבסס על בקשות ציבוריות או בקשות מ סוכנויות ממשלתיותבשטח הפדרציה הרוסית - לחשוף את המידע האישי שלך. אנו עשויים גם לחשוף מידע אודותיך אם נקבע כי חשיפה כזו היא הכרחית או מתאימה עבור אבטחה, אכיפת חוק או ציבור אחר אירועים חשובים.
- במקרה של ארגון מחדש, מיזוג או מכירה, אנו עשויים להעביר את המידע האישי שאנו אוספים ליורש הצד השלישי הרלוונטי.
הגנה על מידע אישי
אנו נוקטים באמצעי זהירות - לרבות מנהליים, טכניים ופיסיים - כדי להגן על המידע האישי שלך מפני אובדן, גניבה ושימוש לרעה, כמו גם מפני גישה לא מורשית, חשיפה, שינוי והרס.
שמירה על פרטיותך ברמת החברה
כדי להבטיח שהמידע האישי שלך מאובטח, אנו מעבירים נוהלי פרטיות ואבטחה לעובדים שלנו ואוכפים בקפדנות את נוהלי הפרטיות.