משוואה ריבועית - קל לפתור! *בהמשך בטקסט "KU".חברים, נראה שבמתמטיקה זה יכול להיות קל יותר מאשר לפתור משוואה כזו. אבל משהו אמר לי שלהרבה אנשים יש בעיות איתו. החלטתי לראות כמה הופעות Yandex נותנת לכל בקשה לחודש. זה מה שקרה, תסתכל:
מה זה אומר? זה אומר שכ-70,000 אנשים בחודש מחפשים המידע הזה, מה הקשר של הקיץ הזה, ומה יקרה במהלך שנת הלימודים - יהיו פי שניים בקשות. זה לא מפתיע, כי אותם בחורים ונערות שסיימו זה מכבר את בית הספר ומתכוננים לבחינה מחפשים את המידע הזה, וגם תלמידי בית הספר מנסים לרענן את זכרונם.
למרות שיש הרבה אתרים שמספרים איך לפתור את המשוואה הזו, החלטתי גם לתרום ולפרסם את החומר. ראשית, אני רוצה שמבקרים יגיעו לאתר שלי בבקשה זו; שנית, במאמרים אחרים, כשהנאום "KU" יעלה, אתן קישור למאמר זה; שלישית, אספר לך קצת יותר על הפתרון שלו ממה שמצוין בדרך כלל באתרים אחרים. בואו נתחיל!תוכן המאמר:
משוואה ריבועית היא משוואה בצורה:
כאשר מקדמים a,בועם מספרים שרירותיים, עם a≠0.
בקורס הבית ספרי מועבר החומר הטופס הבא- באופן מותנה, המשוואות מחולקות לשלוש מחלקות:
1. יש שני שורשים.
2. * יש רק שורש אחד.
3. אין שורשים. ראוי לציין כאן שאין להם שורשים אמיתיים
איך מחשבים שורשים? רַק!
אנו מחשבים את המבחין. מתחת למילה "הנוראה" הזו מסתתרת נוסחה פשוטה מאוד:
נוסחאות השורש הן כדלקמן:
*נוסחאות אלו חייבות להיות ידועות בעל פה.
אתה יכול מיד לרשום ולפתור:
דוגמא:
1. אם D > 0, אז למשוואה יש שני שורשים.
2. אם D = 0, אז למשוואה יש שורש אחד.
3. אם ד< 0, то уравнение не имеет действительных корней.
בואו נסתכל על המשוואה:
בהזדמנות זו, כאשר המבחין הוא אפס, הקורס בבית הספר אומר שמתקבל שורש אחד, כאן הוא שווה לתשעה. זה נכון, זה כן, אבל...
ייצוג זה שגוי במקצת. למעשה, ישנם שני שורשים. כן, כן, אל תתפלאו, מסתבר שני שורשים שווים, וכדי להיות מדויק מתמטית, אז צריך לכתוב שני שורשים בתשובה:
x 1 = 3 x 2 = 3
אבל זה כך - סטייה קטנה. בבית הספר אפשר לרשום ולומר שיש רק שורש אחד.
עכשיו הדוגמה הבאה:
כידוע, השורש של מספר שלילי אינו מופק, ולכן אין פתרון במקרה זה.
זה כל תהליך ההחלטה.
פונקציה ריבועית.
כך נראה הפתרון מבחינה גיאומטרית. חשוב מאוד להבין זאת (בעתיד, באחד המאמרים, ננתח בפירוט את הפתרון של אי שוויון ריבועי).
זוהי פונקציה של הטופס:
כאשר x ו-y הם משתנים
a, b, c מקבלים מספרים, כאשר a ≠ 0
הגרף הוא פרבולה:
כלומר, מסתבר שבפתרון משוואה ריבועית עם "y" שווה לאפס, נמצא את נקודות החיתוך של הפרבולה עם ציר ה-x. יכולות להיות שתיים מהנקודות הללו (המבחין חיובי), אחת (המבחין הוא אפס) או אף אחת (המבחין הוא שלילי). עוד על הפונקציה הריבועית אתה יכול לצפותמאמר של אינה פלדמן.
שקול דוגמאות:
דוגמה 1: להחליט 2x 2 +8 איקס–192=0
a=2 b=8 c= -192
D = ב 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600
תשובה: x 1 = 8 x 2 = -12
* ניתן לחלק מיד את הצד השמאלי והימני של המשוואה ב-2, כלומר לפשט אותה. החישובים יהיו קלים יותר.
דוגמה 2: לְהַחלִיט x2–22 x+121 = 0
a=1 b=-22 c=121
D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0
קיבלנו את זה x 1 \u003d 11 ו-x 2 \u003d 11
בתשובה מותר לכתוב x = 11.
תשובה: x = 11
דוגמה 3: לְהַחלִיט x 2 –8x+72 = 0
a=1 b= -8 c=72
D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224
המבחין הוא שלילי, אין פתרון במספרים ממשיים.
תשובה: אין פתרון
המפלה היא שלילית. יש פתרון!
כאן נדבר על פתרון המשוואה במקרה בו מתקבל אבחנה שלילית. האם אתה יודע משהו על מספרים מרוכבים? לא אפרט כאן מדוע והיכן הם התעוררו ומה תפקידם ונחיצותם הספציפיים במתמטיקה, זה נושא למאמר גדול נפרד.
הרעיון של מספר מרוכב.
קצת תיאוריה.
מספר מרוכב z הוא מספר של הצורה
z = a + bi
כאשר a ו-b הם מספרים ממשיים, i היא מה שנקרא יחידה דמיונית.
a+bi הוא מספר יחיד, לא תוספת.
היחידה הדמיונית שווה לשורש של מינוס אחד:
עכשיו שקול את המשוואה:
קבל שני שורשים מצומדים.
משוואה ריבועית לא שלמה.
שקול מקרים מיוחדים, זה כאשר מקדם "b" או "c" שווה לאפס (או שניהם שווים לאפס). הם נפתרים בקלות ללא כל אפליה.
מקרה 1. מקדם b = 0.
המשוואה לובשת את הצורה:
בואו נעשה שינוי:
דוגמא:
4x 2 -16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = -2
מקרה 2. מקדם c = 0.
המשוואה לובשת את הצורה:
הפוך, הפירוק לגורמים:
*המכפלה שווה לאפס כאשר לפחות אחד מהגורמים שווה לאפס.
דוגמא:
9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 או x–5 =0
x 1 = 0 x 2 = 5
מקרה 3. מקדמים b = 0 ו-c = 0.
כאן ברור שהפתרון למשוואה תמיד יהיה x = 0.
מאפיינים שימושיים ותבניות של מקדמים.
ישנן תכונות המאפשרות פתרון משוואות עם מקדמים גדולים.
אאיקס 2 + bx+ ג=0 שוויון
א + ב+ c = 0,זֶה
- אם למקדמי המשוואה אאיקס 2 + bx+ ג=0 שוויון
א+ עם =ב, זֶה
תכונות אלו עוזרות לפתור סוג מסוים של משוואה.
דוגמה 1: 5001 איקס 2 –4995 איקס – 6=0
סכום המקדמים הוא 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, אז
דוגמה 2: 2501 איקס 2 +2507 איקס+6=0
שוויון א+ עם =ב, אומר
סדירות של מקדמים.
1. אם במשוואה ax 2 + bx + c \u003d 0 מקדם "b" הוא (a 2 +1), ומקדם "c" שווה מספרית למקדם "a", אז השורשים שלו הם
ax 2 + (a 2 +1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d -a x 2 \u003d -1 / a.
דוגמא. שקול את המשוואה 6x 2 +37x+6 = 0.
x 1 \u003d -6 x 2 \u003d -1/6.
2. אם במשוואה ax 2 - bx + c \u003d 0, מקדם "b" הוא (a 2 +1), ומקדם "c" שווה מספרית למקדם "a", אז השורשים שלו הם
ax 2 - (a 2 + 1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d 1 / a.
דוגמא. שקול את המשוואה 15x 2 -226x +15 = 0.
x 1 = 15 x 2 = 1/15.
3. אם במשוואה ax 2 + bx - c = 0 מקדם "b" שווה (א 2 – 1), והמקדם "c" שווה מספרית למקדם "a", אז השורשים שלו שווים
ax 2 + (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d - a x 2 \u003d 1 / a.
דוגמא. שקול את המשוואה 17x 2 + 288x - 17 = 0.
x 1 \u003d - 17 x 2 \u003d 1/17.
4. אם במשוואה ax 2 - bx - c \u003d 0, מקדם "b" שווה ל (a 2 - 1), ומקדם c שווה מספרית למקדם "a", אז השורשים שלו הם
ax 2 - (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d - 1 / a.
דוגמא. שקול את המשוואה 10x2 - 99x -10 = 0.
x 1 \u003d 10 x 2 \u003d - 1/10
משפט וייטה.
משפט וייטה נקרא על שמו של המתמטיקאי הצרפתי המפורסם פרנסואה וייטה. באמצעות משפט Vieta, ניתן לבטא את הסכום והמכפלה של השורשים של KU שרירותי במונחים של המקדמים שלו.
45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.
בסיכום, המספר 14 נותן רק 5 ו-9. אלו השורשים. עם מיומנות מסוימת, באמצעות המשפט המוצג, אתה יכול לפתור משוואות ריבועיות רבות באופן מיידי בעל פה.
יתר על כן, משפט וייטה. נוח כי לאחר פתרון המשוואה הריבועית בדרך הרגילה (דרך המבחין), ניתן לבדוק את השורשים המתקבלים. אני ממליץ לעשות את זה כל הזמן.
שיטת העברה
בשיטה זו, מקדם "a" מוכפל במונח החופשי, כאילו "מועבר" אליו, ולכן הוא נקרא שיטת העברה.שיטה זו משמשת כאשר קל למצוא את השורשים של משוואה באמצעות משפט Vieta, והכי חשוב, כאשר המבחין הוא ריבוע מדויק.
אם א± b+c≠ 0, אז נעשה שימוש בטכניקת ההעברה, לדוגמה:
2איקס 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => איקס 2 – 11x+ 10 = 0 (2)
לפי משפט Vieta במשוואה (2), קל לקבוע ש-x 1 \u003d 10 x 2 \u003d 1
יש לחלק את השורשים המתקבלים של המשוואה ב-2 (מכיוון שהשניים "הושלכו" מ-x 2), נקבל
x 1 \u003d 5 x 2 \u003d 0.5.
מה הרציונל? תראה מה קורה.
המבחנים של משוואות (1) ו-(2) הם:
אם מסתכלים על שורשי המשוואות, מתקבלים רק מכנים שונים, והתוצאה תלויה בדיוק במקדם ב-x 2:
השורשים השניים (המשונים) גדולים פי 2.
לכן, נחלק את התוצאה ב-2.
*אם נגלגל שלוש בנות אז נחלק את התוצאה ב-3 וכו'.
תשובה: x 1 = 5 x 2 = 0.5
מ"ר ur-ie והבחינה.
אני אגיד בקצרה על חשיבותו - אתה צריך להיות מסוגל להחליט במהירות ובלי לחשוב, אתה צריך לדעת את נוסחאות השורשים והמבחין בעל פה. הרבה מהמשימות שהן חלק ממשימות ה-USE מסתכמות בפתרון משוואה ריבועית (כולל גיאומטרית).
מה כדאי לשים לב!
1. צורת המשוואה יכולה להיות "מרומזת". לדוגמה, הערך הבא אפשרי:
15+ 9x 2 - 45x = 0 או 15x+42+9x 2 - 45x=0 או 15 -5x+10x 2 = 0.
אתה צריך להביא את זה לטופס סטנדרטי (כדי לא להתבלבל בעת הפתרון).
2. זכרו ש-x הוא ערך לא ידוע וניתן לסמן אותו בכל אות אחרת - t, q, p, h ואחרות.
בעיות במשוואה הריבועית נלמדות גם ב מערכת של ביהסובאוניברסיטאות. הם מובנים כמשוואות בצורה a * x ^ 2 + b * x + c \u003d 0, כאשר איקס-משתנה, a,b,c - קבועים; א<>0 . הבעיה היא למצוא את שורשי המשוואה.
המשמעות הגיאומטרית של המשוואה הריבועית
הגרף של פונקציה שמיוצגת על ידי משוואה ריבועית הוא פרבולה. הפתרונות (השורשים) של משוואה ריבועית הם נקודות החיתוך של הפרבולה עם ציר ה-x. מכאן נובע שיש שלושה מקרים אפשריים:
1) לפרבולה אין נקודות חיתוך עם ציר ה-x. זה אומר שהוא נמצא במישור העליון עם ענפים למעלה או התחתון עם ענפים למטה. במקרים כאלה, למשוואה הריבועית אין שורשים אמיתיים (יש לה שני שורשים מורכבים).
2) לפרבולה יש נקודת חיתוך אחת עם ציר השור. נקודה כזו נקראת קודקוד הפרבולה, והמשוואה הריבועית בה מקבלת את ערכה המינימלי או המקסימלי. במקרה זה, למשוואה הריבועית יש שורש אמיתי אחד (או שני שורשים זהים).
3) המקרה האחרון מעניין יותר בפועל - ישנן שתי נקודות חיתוך של הפרבולה עם ציר האבשיסה. זה אומר שיש שני שורשים אמיתיים של המשוואה.
בהתבסס על ניתוח המקדמים בחזקות המשתנים, ניתן להסיק מסקנות מעניינות לגבי מיקום הפרבולה.
1) אם מקדם a גדול מאפס, אז הפרבולה מכוונת כלפי מעלה, אם שלילית, ענפי הפרבולה מכוונים כלפי מטה.
2) אם מקדם b גדול מאפס, אז קודקוד הפרבולה נמצא בחצי המישור השמאלי, אם הוא מקבל ערך שלילי, אז בימין.
גזירת נוסחה לפתרון משוואה ריבועית
נעביר את הקבוע מהמשוואה הריבועית 
עבור סימן השוויון, אנו מקבלים את הביטוי
הכפל את שני הצדדים ב-4a 
לצאת שמאלה ריבוע מלאהוסף בשני החלקים b^2 ובצע את השינוי
מכאן אנו מוצאים
נוסחת המבחין ושורשי המשוואה הריבועית
המבחין הוא הערך של הביטוי הרדיקלי, אם הוא חיובי, אז למשוואה יש שני שורשים ממשיים, המחושבים לפי הנוסחה 
כאשר המבחין הוא אפס, למשוואה הריבועית יש פתרון אחד (שני שורשים חופפים), שקל להשיג מהנוסחה לעיל עבור D=0. כאשר המבחין שלילי, אין שורשים אמיתיים של המשוואה. עם זאת, כדי ללמוד את הפתרונות של המשוואה הריבועית במישור המורכב, וערכם מחושב על ידי הנוסחה 
משפט וייטה
שקול שני שורשים של משוואה ריבועית ובנה משוואה ריבועית על בסיסם. מהסימון, משפט Vieta עצמו עולה בקלות: אם יש לנו משוואה ריבועית של הצורה 
אז סכום השורשים שלו שווה למקדם p שנלקח ממנו סימן הפוך, ומכפלת שורשי המשוואה שווה לאיבר החופשי q. הנוסחה של האמור לעיל תיראה כך אם הקבוע a במשוואה הקלאסית אינו אפס, אז אתה צריך לחלק את המשוואה כולה, ולאחר מכן ליישם את משפט Vieta.
לוח זמנים של המשוואה הריבועית על גורמים
תנו למשימה להיות מוגדרת: לפרק את המשוואה הריבועית לגורמים. כדי לבצע אותו, פותרים תחילה את המשוואה (מוצאים את השורשים). לאחר מכן, נחליף את השורשים שנמצאו בנוסחה להרחבת המשוואה הריבועית.בעיה זו תיפתר.
משימות למשוואה ריבועית
משימה 1. מצא את השורשים של משוואה ריבועית
x^2-26x+120=0 .
פתרון: רשמו את המקדמים והחליפו בנוסחת ההבחנה
השורש של ערך זה הוא 14, קל למצוא אותו עם מחשבון, או לזכור אותו בשימוש תכוף, אולם, מטעמי נוחות, בסוף המאמר אתן לך רשימה של ריבועי מספרים שניתן לעתים קרובות נמצא במשימות כאלה.
הערך שנמצא מוחלף בנוסחת השורש 
ואנחנו מקבלים 
משימה 2. פתור את המשוואה
2x2+x-3=0.
פתרון: יש לנו משוואה ריבועית מלאה, רשום את המקדמים ומצא את המבחין 
בעזרת נוסחאות ידועות, אנו מוצאים את השורשים של המשוואה הריבועית 
משימה 3. פתור את המשוואה
9x2 -12x+4=0.
פתרון: יש לנו משוואה ריבועית מלאה. קבע את המפלה
קיבלנו את המקרה כשהשורשים חופפים. אנו מוצאים את ערכי השורשים לפי הנוסחה 
משימה 4. פתור את המשוואה
x^2+x-6=0 .
פתרון: במקרים בהם יש מקדמים קטנים ל-x, רצוי ליישם את משפט Vieta. לפי מצבו, נקבל שתי משוואות
מהתנאי השני, נקבל שהמוצר חייב להיות שווה ל-6. זה אומר שאחד השורשים הוא שלילי. יש לנו את צמד הפתרונות האפשריים הבא(-3;2), (3;-2) . בהתחשב בתנאי הראשון, אנו דוחים את צמד הפתרונות השני.
שורשי המשוואה הם
משימה 5. מצא את אורכי הצלעות של מלבן אם היקפו הוא 18 ס"מ והשטח הוא 77 ס"מ 2.
פתרון: חצי היקף של מלבן שווה לסכום הצלעות הסמוכות. נסמן את x - הצלע הגדולה יותר, ואז 18-x הוא הצלע הקטנה שלה. שטחו של מלבן שווה למכפלת האורכים הללו:
x(18x)=77;
אוֹ
x 2 -18x + 77 \u003d 0.
מצא את המבחין של המשוואה
אנו מחשבים את שורשי המשוואה 
אם x=11,זֶה 18x=7 ,להיפך הוא גם נכון (אם x=7, אז 21-x=9).
בעיה 6. עשה פקטוריון את המשוואה הריבועית 10x 2 -11x+3=0.
פתרון: חשב את שורשי המשוואה, לשם כך נמצא את המבחין 
אנחנו מחליפים את הערך שנמצא בנוסחת השורשים ומחשבים 
אנו מיישמים את הנוסחה להרחבת המשוואה הריבועית במונחים של שורשים 
אם מרחיבים את הסוגריים, אנחנו מקבלים את הזהות.
משוואה ריבועית עם פרמטר
דוגמה 1. עבור אילו ערכים של הפרמטר א ,האם למשוואה (a-3) x 2 + (3-a) x-1 / 4 \u003d 0 יש שורש אחד?
פתרון: על ידי החלפה ישירה של הערך a=3, אנו רואים שאין לו פתרון. יתר על כן, נשתמש בעובדה שעם אפסי אבחנה, למשוואה יש שורש אחד של ריבוי 2. בוא נכתוב את המפלה 
לפשט אותו ולהשוות לאפס
קיבלנו משוואה ריבועית ביחס לפרמטר a, שקל להשיג את הפתרון שלה באמצעות משפט וייטה. סכום השורשים הוא 7, והתוצר שלהם הוא 12. על ידי ספירה פשוטה, אנו קובעים שהמספרים 3.4 יהיו שורשי המשוואה. מכיוון שכבר דחינו את הפתרון a=3 בתחילת החישובים, הנכון היחיד יהיה - a=4.לפיכך, עבור a = 4, למשוואה יש שורש אחד.
דוגמה 2. עבור אילו ערכים של הפרמטר א ,המשוואה a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0יש יותר משורש אחד?
פתרון: שקול תחילה את הנקודות הסינגולריות, הן יהיו הערכים a=0 ו-a=-3. כאשר a=0, המשוואה תפושט לצורה 6x-9=0; x=3/2 ויהיה שורש אחד. עבור a= -3 נקבל את הזהות 0=0 .
חשב את המבחין 
ולמצוא את הערכים של זה שהוא חיובי עבורו 
מהתנאי הראשון נקבל a>3. עבור השני, אנו מוצאים את המבחין ואת שורשי המשוואה 
הבה נגדיר את המרווחים שבהם הפונקציה מקבלת ערכים חיוביים. על ידי החלפת הנקודה a=0 נקבל 3>0
.
אז מחוץ למרווח (-3; 1/3) הפונקציה שלילית. אל תשכח את הנקודה a=0מה שצריך להחריג, שכן במשוואה המקורית יש שורש אחד.
כתוצאה מכך, אנו מקבלים שני מרווחים העונים על מצב הבעיה 
יהיו הרבה משימות דומות בפועל, נסו להתמודד עם המשימות בעצמכם ואל תשכחו לקחת בחשבון את התנאים המוציאים זה את זה. למד היטב את הנוסחאות לפתרון משוואות ריבועיות, הן נחוצות לעתים קרובות למדי בחישובים בבעיות ובמדעים שונים.
משוואה ריבועית היא משוואה שנראית כמו ax 2 + dx + c = 0. יש לזה משמעות א, גו עםכל מספר, בעוד אלא שווה לאפס.
כל המשוואות הריבועיות מחולקות למספר סוגים, כלומר:
משוואות עם שורש אחד בלבד.
- משוואות עם שני שורשים שונים.
- משוואות שאין בהן שורשים כלל.
זה מבדיל משוואות ליניאריותשבהם השורש תמיד זהה, מרובעים. כדי להבין כמה שורשים בביטוי, אתה צריך אבחנה ריבועית.
נניח שהמשוואה שלנו ax 2 + dx + c =0. אומר אבחנה של משוואה ריבועית -
D \u003d b 2 - 4 ac
ואת זה צריך לזכור לנצח. בעזרת משוואה זו אנו קובעים את מספר השורשים במשוואה ריבועית. ואנחנו עושים את זה ככה:
כאשר D קטן מאפס, למשוואה אין שורשים.
- כאשר D הוא אפס, יש רק שורש אחד.
- כאשר D גדול מאפס, בהתאמה, יש שני שורשים במשוואה.
זכרו שהאבחנה מראה כמה שורשים יש במשוואה מבלי לשנות סימנים.
שקול לצורך הבהירות:
אתה צריך לגלות כמה שורשים במשוואה ריבועית זו.
1) x 2 - 8x + 12 = 0
2) 5x 2 + 3x + 7 = 0
3) x 2 -6x + 9 = 0
נזין את הערכים במשוואה הראשונה, נמצא את המבחין.
a = 1, b = -8, c = 12
D = (-8) 2 - 4 * 1 * 12 = 64 - 48 = 16
המבחין עם סימן פלוס אומר שיש שני שורשים בשוויון הזה.
עשה את אותו הדבר עם המשוואה השנייה
a=1, b=3, c=7
D = 3 2 - 4 * 5 * 7 = 9 - 140 = - 131
הערך הוא מינוס, כלומר אין שורשים בשוויון הזה.
אנו מרחיבים את המשוואה הבאה באנלוגיה.
a = 1, b = -6, c = 9
D = (-6) 2 - 4 * 1 * 9 = 36 - 36 = 0
כתוצאה מכך, יש לנו שורש אחד במשוואה.
חשוב שבכל משוואה כתבנו את המקדמים. כמובן שזה לא תהליך ארוך במיוחד, אבל זה עזר לנו לא להתבלבל ומנע טעויות. אם אתה פותר משוואות כאלה לעתים קרובות מאוד, אז אתה יכול לבצע חישובים מנטלית ולדעת מראש כמה שורשים יש למשוואה.
בואו נסתכל על דוגמה נוספת:
1) x 2 - 2x - 3 = 0
2) 15 - 2x - x 2 = 0
3) x 2 + 12x + 36 = 0
פורסים את הראשון
a = 1, b = -2, c = -3
D =(-2) 2 - 4 * 1 * (-3) = 16, שהוא גדול מאפס, זה אומר שני שורשים, נגזר אותם
x 1 = 2+?16/2 * 1 = 3, x 2 = 2-?16/2 * 1 = -1.
אנחנו פורסים את השני
a = -1, b = -2, c = 15
D = (-2) 2 - 4 * 4 * (-1) * 15 = 64, שהוא גדול מאפס ויש לו גם שני שורשים. בואו נוציא אותם:
x 1 = 2+?64/2 * (-1) = -5, x 2 = 2-?64/2 *(-1) = 3.
אנחנו פורסים את השלישי
a = 1, b = 12, c = 36
D \u003d 12 2 - 4 * 1 * 36 \u003d 0, שהוא אפס ויש לו שורש אחד
x \u003d -12 +? 0 / 2 * 1 \u003d -6.
פתרון המשוואות הללו אינו קשה.
אם ניתנת לנו משוואה ריבועית לא שלמה. כמו
1x 2 + 9x = 0
2x 2 - 16 = 0
משוואות אלו שונות מאלו שלמעלה, מכיוון שהיא אינה שלמה, אין לה ערך שלישי. אך למרות זאת, היא פשוטה יותר מהמשוואה הריבועית המלאה ואין צורך לחפש בה את המבחין.
מה לעשות כשצריך דחוף עבודה לתואר שניאו חיבור, אבל אין זמן לכתוב אותו? את כל זה ועוד הרבה יותר ניתן להזמין באתר Deeplom.by (http://deeplom.by/) ולקבל את הציון הגבוה ביותר.
אני מקווה שלאחר לימוד מאמר זה, תלמד כיצד למצוא את השורשים של משוואה ריבועית שלמה.
בעזרת המבחין פותרים רק משוואות ריבועיות שלמות, לפתרון משוואות ריבועיות לא שלמות משתמשים בשיטות אחרות אותן תמצאו במאמר "פתרון משוואות ריבועיות לא שלמות".
אילו משוואות ריבועיות נקראות שלמות? זֶה משוואות בצורה ax 2 + b x + c = 0, כאשר המקדמים a, b ו-c אינם שווים לאפס. לכן, כדי לפתור את המשוואה הריבועית השלמה, עליך לחשב את המבחין D.
D \u003d b 2 - 4ac.
בהתאם לאיזה ערך יש למבחין, נכתוב את התשובה.
אם המפלה מספר שלילי(ד< 0),то корней нет.
אם המבחין הוא אפס, אז x \u003d (-b) / 2a. כאשר המפלה מספר חיובי(D > 0),
ואז x 1 = (-b - √D)/2a, ו-x 2 = (-b + √D)/2a.
לדוגמה. פתור את המשוואה x 2– 4x + 4= 0.
D \u003d 4 2 - 4 4 \u003d 0
x = (- (-4))/2 = 2
תשובה: 2.
פתור משוואה 2 x 2 + x + 3 = 0.
D \u003d 1 2 - 4 2 3 \u003d - 23
תשובה: אין שורשים.
פתור משוואה 2 x 2 + 5x - 7 = 0.
D \u003d 5 2 - 4 2 (-7) \u003d 81
x 1 \u003d (-5 - √81) / (2 2) \u003d (-5 - 9) / 4 \u003d - 3.5
x 2 \u003d (-5 + √81) / (2 2) \u003d (-5 + 9) / 4 \u003d 1
תשובה: - 3.5; 1.
אז בואו נדמיין את הפתרון של משוואות ריבועיות שלמות לפי הסכימה באיור 1.
ניתן להשתמש בנוסחאות אלו כדי לפתור כל משוואה ריבועית שלמה. אתה רק צריך להיזהר המשוואה נכתבה כפולינום בצורה סטנדרטית
א x 2 + bx + c,אחרת אתה יכול לעשות טעות. לדוגמה, בכתיבת המשוואה x + 3 + 2x 2 = 0, אתה יכול להחליט בטעות
a = 1, b = 3 ו-c = 2. לאחר מכן
D \u003d 3 2 - 4 1 2 \u003d 1 ואז למשוואה יש שני שורשים. וזה לא נכון. (ראה דוגמה 2 פתרון למעלה).
לכן, אם המשוואה לא נכתבת כפולינום של הצורה הסטנדרטית, ראשית יש לכתוב את המשוואה הריבועית השלמה כפולינום של הצורה הסטנדרטית (מלכתחילה צריך להיות מונומיאל עם המעריך הגדול ביותר, כלומר א x 2 , ואז עם פחות – bx, ולאחר מכן המונח החופשי עם.
כאשר פותרים את המשוואה הריבועית לעיל ואת המשוואה הריבועית עם מקדם זוגי לאיבר השני, ניתן להשתמש גם בנוסחאות אחרות. בואו נכיר את הנוסחאות הללו. אם במשוואה הריבועית המלאה עם האיבר השני המקדם הוא זוגי (b = 2k), אז ניתן לפתור את המשוואה באמצעות הנוסחאות המוצגות בתרשים של איור 2.
משוואה ריבועית מלאה נקראת מופחתת אם המקדם ב x 2 שווה לאחדות והמשוואה לובשת את הצורה x 2 + px + q = 0. משוואה כזו יכולה להינתן לפתרון, או מתקבלת על ידי חלוקת כל המקדמים של המשוואה במקדם אעומד ב x 2 .
איור 3 מציג תרשים של הפתרון של הריבוע המצומצם 
משוואות. שקול את הדוגמה של יישום הנוסחאות הנדונות במאמר זה.
דוגמא. פתור את המשוואה
3x 2 + 6x - 6 = 0.
בואו נפתור את המשוואה הזו באמצעות הנוסחאות המוצגות באיור 1.
D \u003d 6 2 - 4 3 (- 6) \u003d 36 + 72 \u003d 108
√D = √108 = √(36 3) = 6√3
x 1 \u003d (-6 - 6 √ 3) / (2 3) \u003d (6 (-1- √ (3))) / 6 \u003d -1 - √ 3
x 2 \u003d (-6 + 6 √ 3) / (2 3) \u003d (6 (-1 + √ (3))) / 6 \u003d -1 + √ 3
תשובה: -1 - √3; –1 + √3
אתה יכול לראות שהמקדם ב-x במשוואה זו הוא מספר זוגי, כלומר, b \u003d 6 או b \u003d 2k, ומשם k \u003d 3. אז בואו ננסה לפתור את המשוואה באמצעות הנוסחאות המוצגות בתרשים האיור D 1 \u003d 3 2 - 3 (- 6 ) = 9 + 18 = 27
√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3
x 1 \u003d (-3 - 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 - √ (3))) / 3 \u003d - 1 - √3
x 2 \u003d (-3 + 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 + √ (3))) / 3 \u003d - 1 + √3
תשובה: -1 - √3; –1 + √3. כששמים לב שכל המקדמים במשוואה ריבועית זו מתחלקים ב-3 ומחלקים, נקבל את המשוואה הריבועית המופחתת x 2 + 2x - 2 = 0 אנו פותרים את המשוואה הזו באמצעות הנוסחאות של המשוואה הריבועית המוקטנת 
משוואות איור 3.
D 2 \u003d 2 2 - 4 (- 2) \u003d 4 + 8 \u003d 12
√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3
x 1 \u003d (-2 - 2√3) / 2 \u003d (2 (-1 - √ (3))) / 2 \u003d - 1 - √3
x 2 \u003d (-2 + 2 √ 3) / 2 \u003d (2 (-1 + √ (3))) / 2 \u003d - 1 + √ 3
תשובה: -1 - √3; –1 + √3.
כפי שאתה יכול לראות, כאשר פותרים את המשוואה הזו באמצעות נוסחאות שונות, קיבלנו את אותה תשובה. לכן, לאחר שליטת היטב בנוסחאות המוצגות בתרשים של איור 1, אתה תמיד יכול לפתור כל משוואה ריבועית שלמה.
blog.site, עם העתקה מלאה או חלקית של החומר, נדרש קישור למקור.