פתרון משוואות ריבועיות. שיטות לפתרון משוואות אי-רציונליות

משוואות שבהן משתנה כלול תחת סימן השורש נקראות אי-רציונליות.

שיטות פתרון משוואות לא רציונליות, ככלל, מבוססים על האפשרות להחליף (בעזרת כמה טרנספורמציות) את המשוואה האי-רציונלית משוואה רציונלית, שהוא או שווה ערך למשוואה האי-רציונלית המקורית או שהוא התוצאה שלה. לרוב, שני הצדדים של המשוואה מועלים לאותה עוצמה. במקרה זה, מתקבלת משוואה, שהיא תוצאה של המשוואה המקורית.

בעת פתרון משוואות אי-רציונליות, יש לקחת בחשבון את הדברים הבאים:

1) אם מדד השורש הוא מספר זוגי, אז הביטוי הרדיקלי חייב להיות לא שלילי; גם ערכו של השורש אינו שלילי (ההגדרה של שורש עם מעריך זוגי);

2) אם מדד השורש הוא מספר אי זוגי, אז הביטוי הרדיקלי יכול להיות כל מספר ממשי; במקרה זה, סימן השורש זהה לסימן ביטוי השורש.

דוגמה 1פתור את המשוואה

בוא נרבוע את שני הצדדים של המשוואה.
x 2 - 3 \u003d 1;
אנו מעבירים -3 מהצד השמאלי של המשוואה לצד הימני ומבצעים הפחתה של איברים דומים.
x 2 \u003d 4;
למשוואה הריבועית הלא שלמה שהתקבלה יש שני שורשים -2 ו-2.

בואו נבדוק את השורשים שהתקבלו, לשם כך נחליף את ערכי המשתנה x במשוואה המקורית.
בְּדִיקָה.
כאשר x 1 \u003d -2 - נכון:
כאשר x 2 \u003d -2- נכון.
מכאן נובע שלמשוואה האי-רציונלית המקורית יש שני שורשים -2 ו-2.

דוגמה 2פתור את המשוואה .

ניתן לפתור את המשוואה הזו באותה שיטה כמו בדוגמה הראשונה, אך נעשה זאת אחרת.

הבה נמצא את ה-ODZ של המשוואה הזו. מהגדרת השורש הריבועי עולה כי במשוואה זו יש להתקיים בו זמנית שני תנאים:

ODZ של המשוואה הנתונה: x.

תשובה: אין שורשים.

דוגמה 3פתור את המשוואה =+ 2.

מציאת ה-ODZ במשוואה זו היא משימה קשה למדי. בוא נרבוע את שני הצדדים של המשוואה:
x 3 + 4x - 1 - 8= x 3 - 1 + 4+ 4x;
=0;
x 1 =1; x2=0.
לאחר בדיקה, אנו קובעים ש-x 2 \u003d 0 הוא שורש נוסף.
תשובה: x 1 \u003d 1.

דוגמה 4פתרו את המשוואה x =.

בדוגמה זו קל למצוא את ה-ODZ. ODZ של משוואה זו: x[-1;).

בוא נריבוע את שני הצדדים של המשוואה הזו, כתוצאה מכך נקבל את המשוואה x 2 \u003d x + 1. השורשים של המשוואה הזו:

קשה לבדוק את השורשים שנמצאו. אבל, למרות העובדה ששני השורשים שייכים ל-ODZ, אי אפשר לקבוע ששני השורשים הם השורשים של המשוואה המקורית. זה יגרום לשגיאה. במקרה זה, המשוואה האי-רציונלית שקולה לשילוב של שני אי-שוויון ומשוואה אחת:

x+10 ו x0 ו x 2 = x + 1, שממנו נובע מכך שורש שלילישכן משוואה לא רציונלית היא זר ויש לבטלה.

דוגמה 5.פתרו את המשוואה += 7.

בוא נריבוע את שני צדדי המשוואה ונבצע הפחתה של איברים דומים, נעביר את האיברים מחלק אחד של המשוואה לשני ונכפיל את שני החלקים ב-0.5. כתוצאה מכך, אנו מקבלים את המשוואה
= 12, (*) שהיא תוצאה של המקורי. בוא נרבוע שוב את שני הצדדים של המשוואה. נקבל את המשוואה (x + 5) (20 - x) = 144, שהיא תוצאה של המשוואה המקורית. המשוואה המתקבלת מצטמצמת לצורה x 2 - 15x + 44 =0.

למשוואה זו (שהיא גם תוצאה של המקורית) יש שורשים x 1 \u003d 4, x 2 \u003d 11. שני השורשים, כפי שמראה הבדיקה, עומדים במשוואה המקורית.

נציג x 1 = 4, x 2 = 11.

תגובה. בעת ריבוע משוואות, תלמידים לעתים קרובות במשוואות כמו (*) מכפילים ביטויי שורש, כלומר, במקום משוואה = 12, הם כותבים את המשוואה = 12. זה לא מוביל לשגיאות, שכן המשוואות הן השלכות של המשוואות. עם זאת, יש לזכור שבמקרה הכללי, כפל כזה של ביטויים רדיקליים נותן משוואות לא שוות.

בדוגמאות שנדונו לעיל, ניתן היה להעביר תחילה את אחד הרדיקלים לצד הימני של המשוואה. אז יישאר רדיקל אחד בצד השמאלי של המשוואה, ולאחר ריבוע שני הצדדים של המשוואה, תתקבל פונקציה רציונלית בצד השמאלי של המשוואה. טכניקה זו (הבדידות של הרדיקל) משמשת לעתים קרובות למדי בפתרון משוואות לא רציונליות.

דוגמה 6. פתור משוואה-= 3.

לאחר שבידוד הרדיקל הראשון, נקבל את המשוואה
=+ 3, שהוא שווה ערך למקורי.

בריבוע שני הצדדים של המשוואה הזו, נקבל את המשוואה

x 2 + 5x + 2 = x 2 - 3x + 3 + 6, שזה שווה ערך למשוואה

4x - 5 = 3(*). משוואה זו היא תוצאה של המשוואה המקורית. בריבוע שני הצדדים של המשוואה, נגיע למשוואה
16x 2 - 40x + 25 \u003d 9 (x 2 - Zx + 3), או

7x2 - 13x - 2 = 0.

משוואה זו היא תוצאה של המשוואה (*) (ומכאן המשוואה המקורית) ויש לה שורשים. השורש הראשון x 1 = 2 עונה על המשוואה המקורית, והשני x 2 =- לא.

תשובה: x = 2.

שים לב שאם היינו מיד, מבלי לבודד את אחד הרדיקלים, מרובע את שני חלקי המשוואה המקורית, היינו צריכים לבצע טרנספורמציות מסורבלות למדי.

כאשר פותרים משוואות לא רציונליות, בנוסף לבידוד של רדיקלים, נעשה שימוש גם בשיטות אחרות. שקול דוגמה לשימוש בשיטת החלפת הלא נודע (שיטת הכנסת משתנה עזר).

למרות שהמראה המפחיד של סמל השורש הריבועי יכול לגרום לאדם שאינו חזק במתמטיקה להתכווץ, בעיות שורש ריבועיות אינן קשות כפי שהן עשויות להיראות בהתחלה. לעתים קרובות ניתן לפתור בעיות פשוטות של שורש ריבועי באותה קלות כמו בעיות כפל או חילוק רגילים. מצד שני, משימות מורכבות יותר עשויות לדרוש קצת מאמץ, אבל עם הגישה הנכונה, אפילו הן לא יהיו קשות עבורך. התחל לפתור בעיות שורש היום כדי ללמוד את מיומנות המתמטיקה החדשה והרדיקלית הזו!

שלבים

חלק 1

הבנת ריבועי מספר ושורשים מרובעים

1. ריבוע המספר על ידי הכפלתו בעצמו.כדי להבין שורשים מרובעים, עדיף להתחיל בריבועי המספרים. ריבועי המספרים פשוטים למדי: ריבוע של מספר פירושו הכפלתו בעצמה. לדוגמה, 3 בריבוע זהה ל-3 × 3 = 9, ו-9 בריבוע זהה ל-9 × 9 = 81. ריבועים מסומנים על ידי כתיבת "2" קטן מימין מעל המספר בריבוע. דוגמה: 3 2 , 9 2 , 100 2 וכן הלאה.

   • נסה לריבוע עוד כמה מספרים בעצמך כדי לנסות את הרעיון. זכור, ריבוע של מספר אומר שיש להכפיל את המספר בעצמו. זה אפילו יכול להיעשות עבור מספרים שליליים. במקרה זה, התוצאה תמיד תהיה חיובית. לדוגמה: -8 2 = -8 × -8 = 64 .

2. כשמדובר בשורשים ריבועיים, הנה תהליך הפוך של ריבוע.סמל השורש (√, נקרא גם רדיקל) פירושו בעצם ההפך מסמל 2. כאשר אתה רואה רדיקל, אתה צריך לשאול את עצמך: "איזה מספר ניתן להכפיל בעצמו כדי לקבל את המספר מתחת לשורש?". לדוגמה, אם אתה רואה √(9), עליך למצוא את המספר שבריבוע ייתן את המספר תשע. במקרה שלנו, המספר הזה יהיה שלוש, כי 3 2 = 9.

   • שקול דוגמה נוספת ומצא את השורש של 25 (√(25)). זה אומר שאנחנו צריכים למצוא מספר שריבוע נותן לנו 25. מכיוון ש-52 = 5 × 5 = 25, אפשר לומר ש- √(25) = 5.
   • אתה יכול גם לחשוב על זה כעל "ביטול" הריבוע. לדוגמה, אם אנחנו צריכים למצוא את √(64), השורש הריבועי של 64, אז בואו נחשוב על המספר הזה כ-8 2. מכיוון שסמל השורש "מבטל" ריבוע, אנו יכולים לומר ש- √(64) = √(8 2) = 8.

3. דע את ההבדל בין ריבוע מושלם ולא מושלם.עד כה, התשובות לבעיות הרדיקליות שלנו היו מספרים טובים ועגולים, אבל זה לא תמיד כך. התשובות לבעיות שורש ריבועיות יכולות להיות מספרים עשרוניים ארוכים ומגושמים מאוד. מספרים ששורשיהם הם מספרים שלמים (במילים אחרות, מספרים שאינם שברים) נקראים ריבועים מושלמים. כל הדוגמאות לעיל (9, 25 ו-64) הן ריבועים מושלמים מכיוון שהשורש שלהם יהיה מספר שלם (3.5 ו-8).

   • מצד שני, מספרים שכאשר מועלים לשורש אינם נותנים מספר שלם, נקראים ריבועים לא שלמים. אם אתה שם אחד מהמספרים האלה מתחת לשורש, אתה מקבל מספר עם שבר עשרוני. לפעמים מספר זה יכול להיות ארוך למדי. לדוגמה, √(13) = 3.605551275464...

4. זכור את 1-12 הריבועים המלאים הראשונים.כפי שבטח כבר שמתם לב, למצוא את השורש של ריבוע מושלם זה די קל! בגלל שהבעיות האלה כל כך קלות, כדאי לזכור את השורשים של תריסר הריבועים המלאים הראשונים. אתה תיתקל במספרים אלה יותר מפעם אחת, אז הקדיש זמן לשנן אותם מוקדם ולחסוך זמן בעתיד.

   • 1 2 = 1 × 1 = 1
   • 2 2 = 2 × 2 = 4
   • 3 2 = 3 × 3 = 9
   • 4 2 = 4 × 4 = 16
   • 5 2 = 5 × 5 = 25
   • 6 2 = 6 × 6 = 36
   • 7 2 = 7 × 7 = 49
   • 8 2 = 8 × 8 = 64
   • 9 2 = 9 × 9 = 81
   • 10 2 = 10 × 10 = 100
   • 11 2 = 11 × 11 = 121
   • 12 2 = 12 × 12 = 144

5. פשט שורשים על ידי הסרה ריבועים מלאים, אם אפשר.למצוא את השורש של ריבוע לא שלם יכול לפעמים להיות מסובך, במיוחד אם אינך משתמש במחשבון (ראה את הסעיף למטה לכמה טריקים כדי להקל על התהליך). עם זאת, לעתים קרובות אתה יכול לפשט את מספר השורש כדי להקל על העבודה איתו. כדי לעשות זאת, אתה רק צריך לחלק את המספר מתחת לשורש לפי גורמים, ואז למצוא את שורש הגורם, שהוא ריבוע מושלם, ולכתוב אותו מחוץ לשורש. זה קל יותר ממה שזה נראה. המשך לקרוא למידע נוסף.

   • נניח שאנחנו צריכים למצוא את השורש הריבועי של 900. במבט ראשון, זו נראית כמו משימה די מרתיעה! עם זאת, זה לא יהיה כל כך קשה אם נחלק את המספר 900 לפי גורמים. גורמים הם מספרים המוכפלים זה בזה כדי לתת מספר חדש. לדוגמה, ניתן לקבל את המספר 6 על ידי הכפלה של 1 × 6 ו-2 × 3, הגורמים שלו יהיו המספרים 1, 2, 3 ו-6.
   • במקום לחפש את השורש של 900, שזה קצת מסובך, בוא נכתוב 900 ככפל של 9 × 100. עכשיו כש-9, שהוא ריבוע מושלם, מופרד מ-100, נוכל למצוא את השורש שלו. √(9 × 100) = √(9) × √(100) = 3 × √(100). במילים אחרות, √(900) = 3√(100).
   • אנו יכולים אפילו ללכת רחוק יותר על ידי חלוקת 100 בשני גורמים, 25 ו-4. √(100) = √(25 × 4) = √(25) × √(4) = 5 × 2 = 10. אז אנחנו יכולים לומר ש √(900) = 3(10) = 30

6. השתמש במספרים דמיוניים כדי למצוא את השורש של מספר שלילי.שאלו את עצמכם, איזה מספר, כשהוא מוכפל בעצמו, נותן -16? זה לא 4 או -4, שכן ריבוע המספרים האלה ייתן לנו מספר חיובי 16. לוותר? למעשה, אין דרך לכתוב את השורש -16 או כל מספר שלילי אחר מספרים רגילים. במקרה כזה, עלינו להחליף מספרים דמיוניים (בדרך כלל בצורת אותיות או סמלים) כך שיופיעו במקום שורש המספר השלילי. לדוגמה, המשתנה "i" משמש בדרך כלל כדי לקחת את השורש של המספר -1. ככלל, השורש של מספר שלילי תמיד יהיה המספר הדמיוני (או כלול בו).

   • דעו שלמרות שלא ניתן לייצג מספרים דמיוניים על ידי מספרים רגילים, עדיין ניתן להתייחס אליהם ככאלה. לדוגמה, ניתן לריבוע את השורש הריבועי של מספר שלילי כדי לתת למספרים השליליים הללו, כמו כל אחד אחר, שורש ריבועי. לדוגמה, i 2 = -1

   חלק 2

   שימוש באלגוריתם חלוקת העמודות

   1. כתוב את בעיית השורש כבעיית חלוקה.למרות שזה יכול להיות די זמן רב, כך תוכלו לפתור את שורש הבעיה של ריבועים לא שלמים מבלי להיעזר במחשבון. לשם כך, נשתמש בשיטת פתרון (או באלגוריתם) הדומה (אך לא בדיוק זהה) לחלוקה רגילה בעמודה.

      • ראשית, רשום את הבעיה עם השורש באותה צורה שבה מחלקים בעמודה. נניח שאנו רוצים למצוא את השורש הריבועי של 6.45, שהוא בהחלט לא ריבוע מושלם. ראשית נכתוב את סמל הריבוע הרגיל, ולאחר מכן נכתוב מתחתיו מספר. לאחר מכן, נצייר קו על המספר כך שהוא יהיה ב"קופסה" קטנה, בדיוק כמו כאשר מחלקים בעמודה. לאחר מכן, נקבל שורש עם זנב ארוךוהמספר 6.45 מתחתיו.
      • מעל השורש נכתוב מספרים, אז הקפידו להשאיר שם מקום.

   2. קבץ את המספרים בזוגות.על מנת להתחיל לפתור את הבעיה, יש צורך לקבץ את ספרות המספר מתחת לרדיקל לזוגות, החל מנקודה ב שבר עשרוני. אם רוצים, אפשר לעשות סימנים קטנים (כמו נקודות, צלעות, פסיקים וכו') בין הזוגות כדי לא להתבלבל.

      • בדוגמה שלנו, עלינו לשייך את המספר 6.45 באופן הבא: 6-,45-00. שימו לב שישנה ספרה "נותרת" בצד שמאל - זה נורמלי.

   3. מצא את המספר הגדול ביותר שהריבוע שלו קטן או שווה ל"קבוצה" הראשונה.התחל עם המספר או הזוג הראשון משמאל. בחר את המספר הגדול ביותר שהריבוע שלו קטן או שווה ל"קבוצה" שנותרה. לדוגמה, אם הקבוצה הייתה 37, היית בוחר את המספר 6 כי 6 2 = 36< 37, а 7 2 = 49 >37. כתוב את המספר הזה על הקבוצה הראשונה. זו תהיה הספרה הראשונה בתשובתך.

      • בדוגמה שלנו, הקבוצה הראשונה ב-6-45-00 תהיה המספר 6. המספר הגדול ביותר, אשר בריבוע יהיה קטן או שווה ל-6 הוא 2 2 = 4. כתוב את המספר 2 מעל המספר 6, שנמצא מתחת לשורש.

   4. הכפילו את המספר שזה עתה נכתב, ואז שחרר אותו מתחת לשורש ותחסיר אותו.קח את הספרה הראשונה של התשובה שלך (המספר שזה עתה מצאת) והכפיל אותה. כתוב את התוצאה מתחת לקבוצה הראשונה שלך וחסר כדי למצוא את ההפרש. השמט את צמד המספרים הבא ליד התשובה שלך. לבסוף, כתוב בצד שמאל את הספרה האחרונה של הכפלת הספרה הראשונה של תשובתך, והשאירו רווח לצידה.

      • בדוגמה שלנו, נתחיל בהכפלת המספר 2, שהיא הספרה הראשונה בתשובה שלנו. 2 × 2 = 4. ואז נחסר 4 מ-6 (ה"קבוצה" הראשונה שלנו), ונקבל 2. לאחר מכן, נשאיר את הקבוצה הבאה (45) כדי לקבל 245. רווח קטן בסוף, כך: 4_

   5. מלא את החסר.לאחר מכן עליך להוסיף את הספרה בצד ימין של המספר הכתוב, שנמצא בצד שמאל. בחר את המספר שככפל עם המספר החדש שלך ייתן לך את התוצאה הגדולה ביותר האפשרית, אך יהיה קטן או שווה ל"מספר המושמט". לדוגמה, אם המספר ה"מושמט" שלך הוא 1700, והמספר שלך משמאל הוא 40_, עליך לכתוב את המספר 4 ברווח, שכן 404 × 4 = 1616< 1700, в то время как 405 × 5 = 2025. Найденная в этом шаге цифра и будет второй цифрой вашего ответа, так вы можете записать ее над знаком корня.

      • בדוגמה שלנו, עלינו למצוא מספר ולכתוב אותו לרווחים 4_ × _, מה שיהפוך את התשובה לגדולה ככל האפשר, אך עדיין קטנה או שווה ל-245. במקרה שלנו, זה המספר 5. 45 × 5 = 225, בעוד 46 × 6 = 276

   6. המשך להשתמש במספרים ריקים כדי למצוא את התשובה.המשיכו לפתור את החלוקה המתוקנת הזו בעמודה עד שתתחילו לקבל אפסים בהפחתת המספר "המושמט", או עד שתקבלו את רמת הדיוק הרצויה בתשובה. כשתסיים, המספרים שבהם השתמשת כדי להשלים את החסר בכל שלב (בתוספת המספר הראשון ממש) יהוו את מספר התשובה שלך.

      • בהמשך הדוגמה שלנו, נחסר 225 מ-245 כדי לקבל 20. לאחר מכן, נשמט את זוג המספרים הבא, 00, כדי לקבל 2000. נכפיל את המספר מעל סימן השורש. נקבל 25 × 2 = 50. פתרון הדוגמה עם רווחים, 50_ × _ =/< 2,000, мы получим 3. На этом этапе над радикалом у нас будет написано 253, а повторив этот процесс снова, следующим нашим числом будет цифра 9.

   7. הזז את הנקודה העשרונית קדימה ממספר ה"דיבידנד" המקורי.כדי להשלים את תשובתך, עליך לשים את הנקודה העשרונית ב מקום נכון. למרבה המזל, זה די קל לעשות. כל מה שאתה צריך לעשות הוא ליישר אותו עם הנקודה של המספר המקורי. לדוגמה, אם המספר 49.8 נמצא מתחת לשורש, תצטרך לשים נקודה בין שני המספרים מעל התשע והשמונה.

      • בדוגמה שלנו, המספר מתחת לרדיקל הוא 6.45, אז פשוט נעביר את הנקודה ונשים אותה בין המספרים 2 ו-5 בתשובה שלנו, ונקבל את התשובה שווה ל-2.539.

   חלק 3

   ספירה מהירה של ריבועים לא שלמים

   1. מצא ריבועים לא שלמים על ידי ספירתם.כאשר אתה משנן ריבועים מושלמים, מציאת השורש של ריבועים לא שלמים הופך להרבה יותר קל. מכיוון שאתה כבר יודע תריסר ריבועים מושלמים, ניתן למצוא כל מספר הנופל בין שני הריבועים המושלמים הללו על ידי צמצום הכל לספירה גסה בין הערכים הללו. התחל בחיפוש אחר שני ריבועים מושלמים שביניהם נמצא המספר שלך. לאחר מכן קבע לאיזה מבין המספרים הללו המספר שלך קרוב יותר.

      • לדוגמה, נניח שעלינו למצוא את השורש הריבועי של 40. מכיוון ששיננו ריבועים מושלמים, אנו יכולים לומר ש-40 הוא בין 62 ל-72, או 36 ל-49. מכיוון ש-40 גדול מ-62, השורש שלו יהיה גדול יותר מ-6, ומכיוון שהוא קטן מ-7 2, גם השורש שלו יהיה פחות מ-7. 40 הוא קצת יותר קרוב ל-36 מאשר ל-49, כך שהתשובה צפויה להיות קצת יותר קרובה ל-6. כמה צעדים, נצמצם את התשובה שלנו. .
      הדבר הבא שעליך לעשות הוא לריבוע את המספר המשוער. סביר להניח שלא יהיה לך מזל ולא תקבל את המספר המקורי. זה יהיה קצת יותר או קצת יותר קטן. אם התוצאה שלך גבוהה מדי, אז נסה שוב עם מספר כדורסל נמוך מעט (ולהיפך אם התוצאה נמוכה מדי).
      • תכפילו 6.4 בעצמו ותקבלו 6.4 × 6.4 = 40.96, שזה קצת יותר מהמספר המקורי.
      • מכיוון שהתברר שהתשובה שלנו היא יותר, עלינו להכפיל את המספר בעשירית פחות מהמקור ולקבל את הדברים הבאים: 6.3 × 6.3 = 39.69. זה מעט פחות מהמספר המקורי. המשמעות היא שהשורש הריבועי של 40 הוא בין 6.3 ל-6.4. שוב, מכיוון ש-39.69 קרוב יותר ל-40 מ-40.96, אנו יודעים שהשורש הריבועי יהיה קרוב יותר ל-6.3 מאשר ל-6.4.

   2. המשך בחישוב.בשלב זה, אם אתה מרוצה מהתשובה שלך, אתה יכול פשוט לקחת את הניחוש הראשון שניחשתם. עם זאת, אם אתה רוצה תשובה מדויקת יותר, כל מה שאתה צריך לעשות הוא לבחור ערך משוער עם שני מקומות עשרוניים שממקם את הערך המשוער בין שני המספרים הראשונים. על ידי המשך ספירה זו, תוכל לקבל שלושה, ארבעה או יותר מקומות עשרוניים עבור התשובה שלך. הכל תלוי כמה רחוק אתה רוצה ללכת.

      • בדוגמה שלנו, בוא נבחר 6.33 כערך משוער עם שני מקומות עשרוניים. הכפל 6.33 בפני עצמו כדי לקבל 6.33 × 6.33 = 40.0689. מכיוון שזה קצת יותר גדול מהמספר שלנו, ניקח מספר קטן יותר, למשל, 6.32. 6.32 × 6.32 = 39.9424. תשובה זו קטנה מעט מהמספר שלנו, כך שאנו יודעים שהשורש הריבועי המדויק הוא בין 6.32 ל-6.33. אם היינו רוצים להמשיך היינו ממשיכים להשתמש באותה גישה על מנת לקבל תשובה שתהיה יותר ויותר מדויקת.
   • כדי למצוא פתרון במהירות, השתמש במחשבון. רוב המחשבונים המודרניים יכולים למצוא באופן מיידי את השורש הריבועי של מספר. כל מה שאתה צריך לעשות הוא להזין את המספר שלך ולאחר מכן ללחוץ על הכפתור עם סימן השורש. לדוגמה, כדי למצוא את השורש 841, תצטרך ללחוץ על 8, 4, 1 ו- (√). כתוצאה מכך, תקבל את התשובה 39.

כל פעולה חדשה במתמטיקה מייצרת באופן מיידי את ההיפך שלה. פעם, היוונים הקדמונים גילו ששטח אדמה מרובע באורך 2 מטרים וברוחב של 2 מטרים יהיה בעל שטח של 2*2 = 4 מטרים רבועים (להלן מ' 2). ועכשיו, להיפך, אם היווני היה יודע שחלקת האדמה שלו מרובעת ובשטחה של 4 מ"ר, איך הוא ידע כמה אורך וכמה רחב תהיה פיסת האדמה שלו? הוכנסה פעולה שהייתה ההפוכה לפעולת הריבוע ונודעת כחילוץ השורש הריבועי. אנשים התחילו להבין ש-2 בריבוע (2^2) שווה ל-4. לעומת זאת, השורש הריבועי של 4 (להלן √ (4)) יהיה שווה לשניים. מודלים הפכו מורכבים יותר, רשומות המתארות תהליכים עם שורשים גם הפכו מסובכים יותר. השאלה עלתה פעמים רבות כיצד פותרים משוואה עם שורש.

תן איזה ערך x, כאשר מוכפל בעצמו פעם אחת, נותן 9. זה יכול להיכתב כ-x * x \u003d 9. או דרך התואר: x^2=9. כדי למצוא את x, עליך לקחת את השורש של 9, שהוא כבר במידה מסוימת משוואה עם רדיקל: x=√(9) . ניתן לחלץ את השורש בעל פה או להשתמש במחשבון לשם כך. לאחר מכן, שקול את הבעיה ההפוכה. ערך מסוים, כשחולצים ממנו את השורש הריבועי, נותן את הערך 7. אם נכתוב זאת כמשוואה לא רציונלית, נקבל: √ (x) = 7. כדי לפתור בעיה כזו, יש לריבוע את שני חלקי הביטוי. . בהינתן ש√(x) *√(x) =x, מסתבר ש-x = 49. השורש מוכן מיד בצורתו הטהורה. לאחר מכן, עלינו לנתח יותר דוגמאות מורכבותמשוואות עם שורשים.

נגרע 5 מערך מסוים, ואז הביטוי מועלה בחזקת 1/2. כתוצאה מכך התקבל המספר 3. כעת יש לכתוב את התנאי הזה כמשוואה: √ (x-5) =3. לאחר מכן, יש להכפיל כל חלק במשוואה בעצמו: x-5 = 3. לאחר העלאה לחזקה השנייה, הביטוי השתחרר מרדיקלים. עכשיו הגיע הזמן לפתור את הפשוט ביותר משוואה לינארית, מזיזים את החמישה לצד ימין ומשנים את הסימן שלו. x = 5+3. x = 8. למרבה הצער, לא כולם תהליכי חייםניתן לתאר על ידי משוואות פשוטות כאלה. לעתים קרובות מאוד אתה יכול למצוא ביטויים עם כמה רדיקלים, לפעמים דרגת השורש יכולה להיות גבוהה יותר מהשני. אין זהויות כאלה. אלגוריתם מאוחדפתרונות. לכל משוואה כדאי לחפש גישה מיוחדת. ניתנת דוגמה שבה למשוואה עם שורש יש מדרגה שלישית.

שורש הקובייה יסומן 3√. מצא את הנפח של מיכל בעל צורה של קובייה עם צד של 5 מטרים. תן לנפח להיות x m^3. אז שורש הקובייה של הנפח יהיה שווה לצד הקובייה ושווה לחמישה מטרים. מתקבלת המשוואה: 3√(x) =5. כדי לפתור אותה, יש צורך להעלות את שני החלקים לחזקה שלישית, x = 125. תשובה: 125 מטר מעוקב. להלן דוגמה למשוואה עם סכום שורשים. √(x) +√(x-1) =5. ראשית עליך לריבוע את שני החלקים. לשם כך כדאי לזכור את נוסחת הכפל המקוצר לריבוע הסכום: (a+b) ^2=a^2+2*ab+b^2. החל על המשוואה, מתברר: x + 2 * √ (x) * √ (x-1) + x-1 = 25. יתר על כן, השורשים נשארים בצד שמאל, וכל השאר מועבר לימין : 2 * √ (x) * √ (x-1) = 26 - 2x. נוח לחלק את שני חלקי הביטוי ב-2: √((x) (x-1)) = 13 - x. מתקבלת משוואה אי-רציונלית פשוטה יותר.

אז שוב, שני החלקים צריכים להיות בריבוע: x * (x-1) \u003d 169 - 26x + x ^ 2. יש צורך לפתוח את הסוגריים ולהביא מונחים כמו: x ^ 2 - x \u003d 169 - 26x + x ^ 2. החזקה השנייה נעלמת, ומכאן 25x = 169. x = 169/25 = 6.6. לאחר השלמת הבדיקה, החלפת השורש המתקבל במשוואה המקורית: √ (6.6) + √ (6.6-1) \u003d 2.6 + √ (5.6) \u003d 2.6 + 2.4 \u003d 5, אתה יכול לקבל תשובה מספקת. כמו כן, חשוב מאוד להבין שביטוי עם שורש זוגי אינו יכול להיות שלילי. ואכן, כשכפלים כל מספר בעצמו מספר זוגי של פעמים, אי אפשר לקבל ערך קטן מאפס. לכן, משוואות כגון √ (x ^ 2 + 7x-11) = -3 לא ניתנות לפתרון בבטחה, אלא לכתוב שלמשוואה אין שורשים. כפי שהוזכר לעיל, הפתרון של משוואות עם רדיקלים יכול ללבוש מגוון רחב של צורות.

דוגמה פשוטה למשוואה שבה אתה צריך לשנות משתנים. √(y) - 5*4√(y) +6 = 0, כאשר 4√(y) הוא השורש הרביעי של y. ההחלפה המוצעת היא כדלקמן: x = 4√(y) . לאחר ביצוע זה, מתברר: x ^ 2 - 5x + 6 = 0. המשוואה הריבועית המתקבלת מתקבלת. המבחין שלו: 25 - 4*6 = 25 - 24 = 1. השורש הראשון x1 יהיה שווה ל- (5 + √1) /2 = 6/2 = 3. השורש השני x2 = (5 - √1) / 2 = 4/ 2 = 2. אתה יכול גם למצוא את השורשים באמצעות התוצאה של משפט וייטה. השורשים נמצאים, יש לבצע החלפה הפוכה. 4√(y) = 3, ומכאן y1 = 1.6. גם 4√(y) = 2, אם לוקחים את השורש הרביעי מסתבר ש-y2 = 1.9. הערכים מחושבים במחשבון. אבל הם לא יכולים להיעשות, משאיר את התשובה בצורה של רדיקלים.

פיתוחים מתודולוגיים לקורס הבחירה

"שיטות לפתרון משוואות לא רציונליות""

מבוא

קורס הבחירה המוצע "שיטות לפתרון משוואות לא רציונליות" מיועד לתלמידי כיתה יא' בית ספר תיכוןוממוקדת נושאים, שמטרתה להרחיב את הידע התיאורטי והמעשי של התלמידים. קורס הבחירה מבוסס על הידע והמיומנויות שרוכשים התלמידים תוך כדי לימודי מתמטיקה בתיכון.

הספציפיות של קורס זה נעוצה בעובדה שהוא מיועד בעיקר לסטודנטים שרוצים להרחיב, להעמיק, לעשות שיטתיות, להכליל את הידע המתמטי שלהם, ללמוד שיטות וטכניקות נפוצות לפתרון משוואות אי-רציונליות. התכנית כוללת שאלות החורגות בחלקן מהתוכניות הנוכחיות במתמטיקה ו שיטות לא סטנדרטיותהמאפשרים לנו לפתור בעיות שונות בצורה יעילה יותר.

רוב מטלות ה-USE דורשות מהבוגרים להחזיק שיטות שונותפתרונות סוג אחרמשוואות והמערכות שלהן.חומר הקשור למשוואות ולמערכות משוואות הוא חלק משמעותי בקורס המתמטיקה בבית הספר. הרלוונטיות של בחירת הנושא קורס בחירהנקבעת על ידי חשיבות הנושא "משוואות אי-רציונליות" בקורס המתמטיקה בבית הספר, ובמקביל, על ידי חוסר זמן לשקול שיטות וגישות לא סטנדרטיות לפתרון משוואות אי-רציונליות שנמצאות במשימות של " קבוצת C" של בחינת המדינה המאוחדת.

לצד המשימה העיקרית של הוראת מתמטיקה - הבטחת שליטה חזקה ומודעת של מערכת הידע והמיומנויות המתמטיות על ידי התלמידים - קורס בחירה זה מספק גיבוש של עניין בר קיימא בנושא, פיתוח יכולות מתמטיות, שיפור של רמת התרבות המתמטית של התלמידים, יוצרת את הבסיס למעבר מוצלח של הבחינה והשכלה מתמשכת באוניברסיטאות.

מטרת הקורס:

להעלות את רמת ההבנה וההכשרה המעשית בפתרון משוואות לא רציונליות;

ללמוד את הטכניקות והשיטות לפתרון משוואות אי-רציונליות;

כדי ליצור את היכולת לנתח, להדגיש את העיקר, ליצור אלמנטים של חיפוש יצירתי המבוסס על טכניקות הכללה;

כדי להרחיב את הידע של התלמידים בנושא זה, לשפר את המיומנויות והיכולות לפתור בעיות שונות למעבר מוצלח של הבחינה.

מטרות הקורס:

הרחבת הידע על שיטות ודרכי פתרון משוואות אלגבריות;

הכללה ושיטתיות של הידע בהוראה בכיתות י'-יא' והכנה לבחינה;

פיתוח היכולת לרכוש וליישם ידע באופן עצמאי;

היכרות עם התלמידים לעבודה עם ספרות מתמטית;

פיתוח חשיבה לוגית של תלמידים, תרבותם האלגוריתמית והאינטואיציה המתמטית;

שיפור התרבות המתמטית של התלמיד.

תכנית קורס הבחירה כוללת לימוד שיטות וגישות שונות בפתרון משוואות לא רציונליות, פיתוח מיומנויות מעשיות בנושאים הנידונים. הקורס מיועד ל-17 שעות.

התכנית סבוכה, עולה על מסלול הלימודים המקובל, מקדמת פיתוח חשיבה מופשטת ומרחיבה את תחום הידע של התלמיד. יחד עם זאת, היא שומרת על המשכיות עם תוכניות קיימות, בהיותן המשכו ההגיוני.

תכנית חינוכית ותמטית

№P n

נוֹשֵׂא

מספר שעות

פתרון משוואות תוך התחשבות בטווח הערכים המקובלים

פתרון משוואות לא רציונליות על ידי העלאה ל תואר טבעי

פתרון משוואות על ידי הכנסת משתני עזר (שיטת החלפה)

פתרון משוואה עם רדיקל מהמעלה השלישית.

טרנספורמציות של זהות בפתרון משוואות לא רציונליות

משימות לא מסורתיות. משימות של קבוצה "C" USE

צורות שליטה:שליטה בבית, עבודה עצמאית, מאמרים ועבודות מחקר.

כתוצאה מהוראת קורס בחירה זה, על התלמידים להיות מסוגלים לפתור משוואות אי-רציונליות שונות תוך שימוש בשיטות וטכניקות סטנדרטיות ולא סטנדרטיות;

לשלוט באלגוריתם לפתרון משוואות אי-רציונליות סטנדרטיות;

להיות מסוגל להשתמש במאפיינים של משוואות כדי לפתור משימות לא סטנדרטיות;

להיות מסוגל לבצע טרנספורמציות זהות בעת פתרון משוואות;

יש הבנה ברורה של הנושאים של בחינת המדינה המאוחדת, השיטות העיקריות לפתרון שלהם;

לצבור ניסיון בבחירת שיטות לפתרון בעיות לא סטנדרטיות.

חלק ראשי.

נקראות משוואות שבהן הכמות הלא ידועה נמצאת בסימן הרדיקל לא הגיוני.

המשוואות האי-רציונליות הפשוטות ביותר כוללות משוואות בצורה:

הרעיון המרכזי של הפתרוןמשוואה אי-רציונלית היא לצמצם אותה למשוואה אלגברית רציונלית, שהיא או שקולה למשוואה האי-רציונלית המקורית, או שהיא התוצאה שלה. כשפותרים משוואות לא רציונליות, אנחנו תמיד מדברים על מציאת שורשים אמיתיים.

שקול כמה דרכים לפתור משוואות לא רציונליות.

1. הפתרון של משוואות אי-רציונליות, תוך התחשבות בטווח הערכים המותרים (ODZ).

תחום הערכים הקבילים של משוואה לא רציונלית מורכב מאותם ערכים של הלא ידועים שעבורם כל הביטויים תחת סימן רדיקלי מדרגה שווה אינם שליליים.

לפעמים הכרת ה-ODZ מאפשרת לנו להוכיח שלמשוואה אין פתרונות, ולפעמים היא מאפשרת לנו למצוא פתרונות למשוואה על ידי החלפה ישירה של מספרים מה-ODZ..

דוגמה1 . פתור את המשוואה.

פִּתָרוֹן . לאחר שמצאנו את ה-ODZ של משוואה זו, אנו מגיעים למסקנה שה-ODZ של המשוואה המקורית היא קבוצה בעלת אלמנט אחד. מחליףx=2לתוך המשוואה הזו, אנחנו מסיקים את זהx=2הוא השורש של המשוואה המקורית.

תשובה : 2 .

דוגמה2.

למשוואה אין פתרונות, כי עבור כל ערך חוקי של המשתנה, הסכום של שני מספרים לא שליליים אינו יכול להיות שלילי.

דוגמה 3
+ 3 =
.

ODZ:

משוואת ODZ היא קבוצה ריקה.

תשובה: למשוואה אין שורשים.

דוגמה 4. 3
−4
−
=−(2+
).

ODZ:

ODZ:
. על ידי בדיקה אנו משוכנעים ש-x \u003d 1 הוא שורש המשוואה.

תשובה 1.

הוכח שלמשוואה אין

שורשים.

1.
= 0.

2.
=1.

3. 5
.

4.
+
=2.

5.
=
.

פתור את המשוואה.

1. .

2. = 0.

3.
= 92.

4. = 0.

5.
+
+(x+3)(2005−x)=0.

2. ב העלאת שני הצדדים של המשוואה לכוח טבעי , כלומר המעבר מהמשוואה

(1)

למשוואה

. (2)

ההצהרות הבאות נכונות:

1) עבור כל משוואה (2) היא תוצאה של משוואה (1);

2) אם ( נהוא מספר אי זוגי), ואז משוואות (1) ו-(2 ) שוות ערך;

3) אם ( נהוא מספר זוגי), אז משוואה (2) שווה ערך למשוואה

, (3)

ומשוואה (3) שוות ערך לקבוצת המשוואות

. (4)

במיוחד המשוואה

(5)

שווה לקבוצת המשוואות (4).

דוגמה 1. פתור את המשוואה

.

המשוואה שווה למערכת

מכאן נובע ש-x=1, והשורש אינו מקיים את אי השוויון השני. יחד עם זאת, פתרון מוכשר אינו דורש אימות.

תשובה:x=1 .

דוגמה 2. פתור את המשוואה.

פתרון המשוואה הראשונה של מערכת זו, המקבילה למשוואה , אנחנו מקבלים את השורשים ו . עם זאת, עבור ערכים אלה איקסאי השוויון אינו מסופק, ולכן למשוואה זו אין שורשים.

תשובה: אין שורשים.

דוגמה 3. פתור את המשוואה

לאחר שבידוד הרדיקל הראשון, נקבל את המשוואה

שווה למקור.

ריבוע שני הצדדים של המשוואה הזו, מכיוון ששניהם חיוביים, נקבל את המשוואה

,

שהיא תוצאה של המשוואה המקורית. ריבוע שני הצדדים של המשוואה הזו בתנאי , נגיע למשוואה

.

למשוואה זו יש שורשים, . השורש הראשון מקיים את התנאי ההתחלתי, והשני לא.

תשובה: x=2 .

אם המשוואה מכילה שני רדיקלים או יותר, אז הם מבודדים תחילה, ולאחר מכן בריבוע.

דוגמה 1

לאחר שבידוד את הרדיקל הראשון, נקבל משוואה המקבילה לנתונה. בוא נרבוע את שני הצדדים של המשוואה:

לאחר שביצענו את הטרנספורמציות הדרושות, אנו מעבירים את המשוואה המתקבלת בריבוע

לאחר בדיקה, אנו מבחינים בכך

אינו בטווח המותר.

תשובה: 8.

תשובה: 2

תשובה: 3; 1.4.

3. משוואות אי-רציונליות רבות נפתרות על ידי הכנסת משתני עזר.

אמצעי נוח לפתרון משוואות אי-רציונליות הוא לפעמים השיטה של ​​הכנסת משתנה חדש, או שיטת החלפה.השיטה מיושמת בדרך כלל אם במשוואה ביטוי כלשהו מתרחש שוב ושוב, בהתאם לערך הלא ידוע. אז הגיוני לייעד את הביטוי הזה באיזו אות חדשה ולנסות לפתור את המשוואה תחילה ביחס לבלתי ידוע שהוכנס, ואז למצוא את הבלתי ידוע המקורי.

בחירה טובה של משתנה חדש הופכת את מבנה המשוואה לשקוף יותר. המשתנה החדש לפעמים ברור, לפעמים מעט מצועף, אבל "מורגש", ולפעמים "מופיע" רק בתהליך של טרנספורמציה.

דוגמה 1

לתת
t>0, אם כן

t =
,

t 2 +5t-14=0,

t 1 \u003d -7, t 2 \u003d 2. t=-7 אינו עומד בתנאי t>0, אם כן

,

x 2 -2x-5 \u003d 0,

x 1 \u003d 1-
, x 2 \u003d 1+
.

תשובה 1-
; 1+
.

דוגמה 2פתור משוואה לא רציונלית

תַחֲלִיף:

החלפה הפוכה: /

תשובה:

דוגמה 3פתור את המשוואה .

בואו נעשה החלפות: , . המשוואה המקורית תיכתב מחדש בצורה , ומשם נמצא זאת א = 4בו. יתר על כן, העלאת שני הצדדים של המשוואה בריבוע, נקבל: מכאן איקס= 15 . נותר לבדוק:

- ימין!

תשובה: 15.

דוגמה 4. פתור את המשוואה

הגדרה, אנו מקבלים משוואה אי-רציונלית הרבה יותר פשוטה. בוא נרבוע את שני הצדדים של המשוואה: .

; ;

; ; , .

בדיקת הערכים שנמצאו, החלפתם במשוואה מראה שזהו השורש של המשוואה, והוא שורש חיצוני.

חוזרים למשתנה המקורי איקס, נקבל משוואה, כלומר משוואה ריבועית, פותרים אותה אנו מוצאים שני שורשים:,. שני השורשים עומדים במשוואה המקורית.

תשובה: , .

ההחלפה שימושית במיוחד אם תושג איכות חדשה כתוצאה מכך, למשל, משוואה לא רציונלית הופכת לרציונלית.

דוגמה 6. פתור את המשוואה.

בוא נשכתב את המשוואה כך:

ניתן לראות שאם נכניס משתנה חדש , אז המשוואה תקבל את הצורה , מנין שורש זר ו.

מהמשוואה נקבל , .

תשובה: , .

דוגמה 7. פתור את המשוואה .

בואו נציג משתנה חדש , .

כתוצאה מכך, המשוואה האי-רציונלית המקורית לובשת צורה של ריבוע

,

מכאן, בהתחשב באילוץ, אנו מקבלים . פותרים את המשוואה, נקבל את השורש. תשובה: 2,5.

משימות להחלטה עצמאית.

1.
+
=
.

2.
+
=.

3.
.

5.
.

4.שיטה להכנסת שני משתני עזר.

משוואות של הצורה (כאן א , ב , ג , ד – כמה מספרים M , נ – מספרים טבעיים) ומספר משוואות אחרות ניתן לעתים קרובות לפתור על ידי הצגת שני לא ידועים נלווים:ו, לאן והמעבר שלאחר מכן מערכת מקבילה של משוואות רציונליות.

דוגמה 1. פתור את המשוואה.

העלאת שני הצדדים של המשוואה הזו לחזקה רביעית אינה מבשרת טובות. אם נשים , , אז המשוואה המקורית נכתבת מחדש באופן הבא: . מכיוון שהצגנו שני אלמונים חדשים, עלינו למצוא משוואה אחת נוספת הקשורה yו ז. לשם כך, אנו מעלים את השוויון לכוח הרביעי ומציינים ש. אז, אנחנו צריכים לפתור את מערכת המשוואות

על ידי ריבוע נקבל:

לאחר ההחלפה יש לנו: או . אז למערכת יש שני פתרונות: , ; , , ולמערכת אין פתרונות.

נותר לפתור את מערכת שתי המשוואות עם אחת לא ידועה

והמערכת הראשון שבהם נותן , השני נותן .

תשובה: , .

דוגמה 2

לתת

תשובה:

5. משוואות עם רדיקל מהמעלה השלישית.
בעת פתרון משוואות המכילות רדיקלים מדרגה שלישית, זה יכול להיות שימושי להשתמש בזהויות הוספה:

דוגמה 1 .
בואו נעלה את שני הצדדים של המשוואה הזו לחזק השלישי ונשתמש בזהות שלמעלה:

שימו לב שהביטוי בסוגריים שווה ל-1, העולה מהמשוואה המקורית. אם לוקחים זאת בחשבון ומביאים מונחים דומים, אנו מקבלים:
בואו נפתח את הסוגריים, נותנים מונחים דומים ונפתור את המשוואה הריבועית. השורשים שלוו. אם נניח (בהגדרה) שניתן לחלץ את השורש של מדרגה אי זוגית גם ממספרים שליליים, אז שני המספרים המתקבלים הם פתרונות למשוואה המקורית.
תשובה:.

6. הכפלת שני חלקי המשוואה בביטוי המצומד של אחד מהם.

לפעמים ניתן לפתור משוואה לא רציונלית די מהר אם שני הצדדים מוכפלים בפונקציה שנבחרה היטב. כמובן שכאשר שני הצדדים של המשוואה מוכפלים בפונקציה כלשהי, עשויים להופיע פתרונות זרים, הם עשויים להתברר כאפסים של הפונקציה הזו עצמה. לכן, השיטה המוצעת מחייבת מחקר חובהערכים המתקבלים.

דוגמה 1פתור את המשוואה

פִּתָרוֹן:בוא נבחר פונקציה

הכפל את שני הצדדים של המשוואה בפונקציה שנבחרה:

אנו מביאים מונחים דומים ומקבלים משוואה מקבילה

נוסיף את המשוואה המקורית ואת האחרונה, נקבל

תשובה: .

7. טרנספורמציות של זהות בפתרון משוואות לא רציונליות

בעת פתרון משוואות אי-רציונליות, יש צורך לעתים קרובות ליישם טרנספורמציות זהות הקשורות לשימוש בנוסחאות ידועות. למרבה הצער, פעולות אלו אינן בטוחות לעתים כמו העלאה לעוצמה שווה - ניתן להשיג או לאבד פתרונות.

בואו נסתכל על כמה מצבים שבהם הבעיות הללו מתרחשות, ונלמד כיצד לזהות ולמנוע אותן.

אני. דוגמה 1. פתור את המשוואה.

פִּתָרוֹן.הנוסחה חלה כאן .

אתה רק צריך לחשוב על הבטיחות של השימוש בו. קל לראות שלצד שמאל וימין שלה יש תחומי הגדרה שונים וששוויון זה נכון רק בתנאי. לכן, המשוואה המקורית שווה למערכת

פתרון המשוואה של מערכת זו, נקבל את השורשים ואת . השורש השני אינו מספק את קבוצת אי השוויון של המערכת, ולכן הוא שורש חיצוני של המשוואה המקורית.

תשובה: -1 .

IIהטרנספורמציה המסוכנת הבאה בפתרון משוואות אי-רציונליות נקבעת על ידי הנוסחה.

אם אתה משתמש בנוסחה זו משמאל לימין, ה-DPV מתרחב וניתן לרכוש פתרונות של צד שלישי. אכן, שניהם מתפקדים וחייבים להיות לא שליליים בצד שמאל; והמוצר שלהם חייב להיות לא שלילי בצד ימין.

שקול דוגמה שבה הבעיה מיושמת באמצעות הנוסחה.

דוגמה 2. פתור את המשוואה.

פִּתָרוֹן.בוא ננסה לפתור את המשוואה הזו על ידי הפקת פקטורים

שימו לב שבמהלך פעולה זו, התברר שהפתרון אבד, מכיוון שהוא מתאים למשוואה המקורית ואינו מתאים יותר למשוואה שהתקבלה: זה לא הגיוני עבור . לכן, משוואה זו נפתרת בצורה הטובה ביותר על ידי הריבוע הרגיל

פתרון המשוואה של מערכת זו, נקבל את השורשים ואת . שני השורשים מספקים את אי השוויון של המערכת.

תשובה: , .

III.יש אפילו יותר פעולה מסוכנת- הפחתה על ידי גורם משותף.

דוגמה 3. פתור את המשוואה .

נימוק שגוי: אנו מצמצמים את שני הצדדים של המשוואה ב-, אנו מקבלים .

אין דבר יותר מסוכן ושגוי מהפעולה הזו. ראשית, אבד פתרון מתאים למשוואה המקורית; שנית, שני פתרונות של צד שלישי נרכשו. מסתבר שלמשוואה החדשה אין שום קשר למקור! אנחנו ניתן את הפתרון הנכון.

פִּתָרוֹן. בואו נעביר את כל המונחים ל צד שמאלמשוואה וגורם לה

.

משוואה זו מקבילה למערכת

שיש החלטה בלבד.

תשובה: 3 .

סיכום.

במסגרת לימוד קורס הבחירה מוצגים פתרונות לא סטנדרטיים משימות מאתגרותשמפתחים בהצלחה חשיבה לוגית, את היכולת למצוא בין שלל הדרכים לפתור את זו הנוחה לתלמיד והרציונלית. קורס זה דורש מהסטודנטים עבודה עצמאית, תורם להכנת התלמידים ללימודי המשך, העלאת רמת התרבות המתמטית.

המאמר בחן את השיטות העיקריות לפתרון משוואות לא רציונליות, כמה גישות לפתרון משוואות של דרגות גבוהות יותר, שהשימוש בהן אמור לשמש בעת פתרון משימות USE, כמו גם בעת כניסה לאוניברסיטאות והמשך חינוך מתמטי. כמו כן נחשף התוכן של המושגים וההיגדים העיקריים הקשורים לתיאוריה של פתרון משוואות אי-רציונליות. לאחר שקבענו את השיטה הנפוצה ביותר לפתרון משוואות, חשפנו את היישום שלה במצבים סטנדרטיים ולא סטנדרטיים. בנוסף, הם שקלו טעויות אופייניותבעת ביצוע טרנספורמציות זהות ודרכים להתגבר עליהן.

במהלך הקורס יזכו לסטודנטים לשלוט בשיטות וטכניקות שונות לפתרון משוואות, תוך לימוד שיטתיות והכללה של מידע תיאורטי, חיפוש עצמאי של פתרונות לבעיות מסוימות ובקשר לכך, לחבר מספר משימות ותרגילים בנושא הנושאים הללו. בחירת החומר המורכב תסייע לתלמידים לבטא את עצמם בפעילויות מחקר.

צד חיוביהקורס הוא האפשרות ליישום נוסף על ידי סטודנטים של החומר הנלמד בעת מעבר הבחינה, כניסה לאוניברסיטאות.

הצד השלילי הוא שלא כל תלמיד מסוגל לשלוט בכל הטכניקות של הקורס הזה, גם אם הוא רוצה, בגלל הקושי של רוב המשימות שיש לפתור.

סִפְרוּת:

Sharygin I.F. "מתמטיקה למועמדים לאוניברסיטאות." - מהדורה שלישית, - מ.: דרופה, 2000.

משוואות ואי שוויון. מדריך עזרה./ Vavilov V.V., Melnikov I.I., Olehnik S.N., Pasichenko P.I. –M.: מבחן, 1998.

Cherkasov O.Yu., Yakushev A.G. "מתמטיקה: קורס הכנה אינטנסיבי לבחינות". - מהדורה 8, כומר. ועוד - מ.: איריס, 2003. - (מורה ביתי)

Balayan E.N. תרגילים מורכבים ואפשרויות למשימות אימון למבחן במתמטיקה. רוסטוב על הדון: הוצאת הפניקס, 2004.

Scanavi M.I. "איסוף משימות במתמטיקה למועמדים לאוניברסיטאות". - מ., "בית ספר תיכון", 1998.

איגוסמן או.אס. "מתמטיקה בבחינה בעל פה". - מ', איריס, 1999.

חומרי בחינה להכנה לבחינת המדינה המאוחדת - 2008 - 2012.

V.V.Kochagin, M.N.Kochagina "USE - 2010. מתמטיקה. מורה "מוסקבה" הארה "2010.

V.A. Gusev, A.G. Mordkovich "מתמטיקה. חומרי עזר "מוסקווה" הארה "1988.

הפרטיות שלך חשובה לנו. מסיבה זו, פיתחנו מדיניות פרטיות המתארת ​​כיצד אנו משתמשים ומאחסנים את המידע שלך. אנא קרא את מדיניות הפרטיות שלנו ויידע אותנו אם יש לך שאלות כלשהן.

איסוף ושימוש במידע אישי

מידע אישי מתייחס לנתונים שניתן להשתמש בהם כדי לזהות או ליצור קשר עם אדם ספציפי.

ייתכן שתתבקש לספק את המידע האישי שלך בכל עת בעת יצירת קשר.

להלן מספר דוגמאות לסוגי המידע האישי שאנו עשויים לאסוף וכיצד אנו עשויים להשתמש במידע כזה.

איזה מידע אישי אנחנו אוספים:

• בעת הגשת בקשה לאתר, אנו עשויים לאסוף פרטים שונים, לרבות שמך, מספר הטלפון, כתובתך אימיילוכו '

כיצד אנו משתמשים במידע האישי שלך:

• המידע האישי שאנו אוספים מאפשר לנו ליצור איתך קשר וליידע אותך לגבי הצעות ייחודיות, מבצעים ואירועים אחרים ואירועים קרובים.
• מעת לעת, אנו עשויים להשתמש במידע האישי שלך כדי לשלוח לך הודעות והודעות חשובות.
• אנו עשויים להשתמש במידע אישי גם למטרות פנימיות, כגון ביצוע ביקורות, ניתוח נתונים ומחקרים שונים על מנת לשפר את השירותים שאנו מספקים ולספק לך המלצות לגבי השירותים שלנו.
• אם תצטרף להגרלת פרס, לתחרות או תמריץ דומה, אנו עשויים להשתמש במידע שאתה מספק כדי לנהל תוכניות כאלה.

חשיפה לצדדים שלישיים

איננו חושפים מידע שהתקבל ממך לצדדים שלישיים.

חריגים:

• במידת הצורך - בהתאם לחוק, צו שיפוטי,V ליטיגציה, ו/או בהתבסס על בקשות ציבוריות או בקשות מ סוכנויות ממשלתיותבשטח הפדרציה הרוסית - לחשוף את המידע האישי שלך. אנו עשויים גם לחשוף מידע אודותיך אם נקבע כי חשיפה כזו היא הכרחית או מתאימה עבור אבטחה, אכיפת חוק או ציבור אחר אירועים חשובים.
• במקרה של ארגון מחדש, מיזוג או מכירה, אנו עשויים להעביר את המידע האישי שאנו אוספים ליורש הצד השלישי הרלוונטי.

הגנה על מידע אישי

אנו נוקטים באמצעי זהירות - לרבות מנהליים, טכניים ופיסיים - כדי להגן על המידע האישי שלך מפני אובדן, גניבה ושימוש לרעה, כמו גם מפני גישה לא מורשית, חשיפה, שינוי והרס.

שמירה על פרטיותך ברמת החברה

כדי להבטיח שהמידע האישי שלך מאובטח, אנו מעבירים לעובדים שלנו נוהלי פרטיות ואבטחה ואוכפים בקפדנות את נוהלי הפרטיות.