הַגדָרָה

ביטויים כמו 2 x 2 + 3 x + 5 נקראים טרינום ריבועי. במקרה הכללי, טרינום ריבועי הוא ביטוי של הצורה a x 2 + b x + c, כאשר a, b, c a, b, c הם מספרים שרירותיים, ו- a ≠ 0.

שקול את הטרינום הריבועי x 2 - 4 x + 5. בוא נכתוב את זה בצורה הזו: x 2 - 2 2 x + 5. נוסיף 2 2 לביטוי הזה ונחסיר 2 2, נקבל: x 2 - 2 2 x + 2 2 - 2 2 + 5. שים לב ש-x 2 - 2 2 x + 2 2 = (x - 2) 2, אז x 2 - 4 x + 5 = (x - 2) 2 - 4 + 5 = (x - 2) 2 + 1 . הטרנספורמציה שעשינו נקראת "בחירה של ריבוע מלא מתוך טרינום ריבועי".

בחר את הריבוע המושלם מהטרינום הריבועי 9 x 2 + 3 x + 1.

שים לב ש-9 x 2 = (3 x) 2 , `3x=2*1/2*3x`. ואז `9x^2+3x+1=(3x)^2+2*1/2*3x+1`. הוסף וחסר לביטוי המתקבל `(1/2)^2`, נקבל

`((3x)^2+2*1/2*3x+(1/2)^2)+1-(1/2)^2=(3x+1/2)^2+3/4`.

הבה נראה כיצד שיטת הפקת ריבוע מלא מטרינום מרובע משמשת לחלוקת טרינום ריבועי לגורמים.

חשב את הטרינום הריבועי 4 x 2 - 12 x + 5.

אנו בוחרים את הריבוע המלא מהטרינום הריבועי: 2 x 2 - 2 2 x 3 + 3 2 - 3 2 + 5 = 2 x - 3 2 - 4 = (2 x - 3) 2 - 2 2 . כעת החל את הנוסחה a 2 - b 2 = (a - b) (a + b) , נקבל: (2 x - 3 - 2) (2 x - 3 + 2) = (2 x - 5) (2 x - 1 ).

חשב את הטרינום הריבועי - 9 x 2 + 12 x + 5.

9 x 2 + 12 x + 5 = - 9 x 2 - 12 x + 5 . כעת שימו לב ש-9 x 2 = 3 x 2, - 12 x = - 2 3 x 2.

נוסיף את המונח 2 2 לביטוי 9 x 2 - 12 x, נקבל:

3 x 2 - 2 3 x 2 + 2 2 - 2 2 + 5 = - 3 x - 2 2 - 4 + 5 = 3 x - 2 2 + 4 + 5 = - 3 x - 2 2 + 9 = 3 2 - 3 x - 2 2 .

אנו מיישמים את הנוסחה להפרש הריבועים, יש לנו:

9 x 2 + 12 x + 5 = 3 - 3 x - 2 3 + (3 x - 2) = (5 - 3 x) (3 x + 1) .

חשב את הטרינום הריבועי 3 x 2 - 14 x - 5.

אנחנו לא יכולים לייצג את הביטוי 3 x 2 כריבוע של ביטוי כלשהו כי עדיין לא למדנו את זה בבית הספר. את זה תעבור בהמשך, וכבר במשימה מס' 4 נלמד שורשים ריבועיים. הבה נראה כיצד אנו יכולים לפרק טרינום ריבועי נתון:

`3x^2-14x-5=3(x^2-14/3 x-5/3)=3(x^2-2*7/3 x+(7/3)^2-(7/3) ^2-5/3)=`

`=3((x-7/3)^2-49/9-5/3)=3((x-7/3)^2-64/9)=3((x-7/3)^ 2-8/3)^2)=`

`=3(x-7/3-8/3)(x-7/3+8/3)=3(x-5)(x+1/3)=(x-5)(3x+1) `.

נראה כיצד משתמשים בשיטת הריבוע המלא כדי למצוא את הערכים הגדולים או הקטנים ביותר של טרינום ריבועי.
שקול את הטרינום הריבועי x 2 - x + 3. בחירת ריבוע מלא:

`(x)^2-2*x*1/2+(1/2)^2-(1/2)^2+3=(x-1/2)^2+11/4`. שימו לב שכאשר `x=1/2` הערך של הטרינום הריבועי הוא `11/4`, וכאשר `x!=1/2` מתווסף הערך של `11/4` ל מספר חיובי, כך שנקבל מספר גדול מ-`11/4`. לפיכך, הערך הקטן ביותר של הטרינום הריבועי הוא `11/4` והוא מתקבל עם `x=1/2`.

מצא את הערך הגדול ביותר של הטרינום הריבועי - 16 2 + 8 x + 6.

אנו בוחרים את הריבוע המלא מהטרינום הריבועי: - 16 x 2 + 8 x + 6 = - 4 x 2 - 2 4 x 1 + 1 - 1 + 6 = - 4 x - 1 2 - 1 + 6 = - 4 x - 1 2 + 7 .

עם `x=1/4` הערך של הטרינום הריבועי הוא 7, ועם `x!=1/4` מופחת מספר חיובי מהמספר 7, כלומר נקבל מספר קטן מ-7. לפיכך, המספר 7 הוא הערך הגדול ביותר של הטרינום הריבועי, והוא מתקבל עם `x=1/4`.

חשב את המונה והמכנה של `(x^2+2x-15)/(x^2-6x+9)` ובטל את השבר.

שימו לב שהמכנה של השבר x 2 - 6 x + 9 = x - 3 2 . אנו מפרקים את מונה השבר לגורמים בשיטת חילוץ הריבוע המלא מהטרינום הריבועי. x 2 + 2 x - 15 = x 2 + 2 x 1 + 1 - 1 - 15 = x + 1 2 - 16 = x + 1 2 - 4 2 = = (x + 1 + 4) (x + 1 - 4 ) = (x + 5) (x - 3) .

שבר זה הצטמצם לצורה `((x+5)(x-3))/(x-3)^2` לאחר צמצום ב-(x - 3) נקבל `(x+5)/(x-3) )`.

חשב את הפולינום x 4 - 13 x 2 + 36.

הבה ניישם את שיטת הריבוע המלא על הפולינום הזה. `x^4-13x^2+36=(x^2)^2-2*x^2*13/2+(13/2)^2-(13/2)^2+36=(x^ 2-13/2)^2-169/4+36=(x^2-13/2)^2-25/4=`

כפי שכבר ציינתי, בחשבון אינטגרלי אין נוסחה נוחה לשילוב שבר. ולכן, ישנה מגמה עצובה: ככל שהשבר "מהודר" יותר, כך קשה יותר למצוא את האינטגרל ממנו. בעניין זה יש לנקוט בתחבולות שונות, עליהם אעמוד כעת. קוראים מוכנים יכולים להשתמש מיד תוכן העניינים:

• שיטת ההפחתה תחת סימן ההפרש עבור שברים פשוטים

מניין שיטת טרנספורמציה מלאכותית

דוגמה 1

אגב, ניתן לפתור את האינטגרל הנחשב גם על ידי שינוי שיטת המשתנה, המציין , אבל הפתרון יהיה הרבה יותר ארוך.

דוגמה 2

מצא את האינטגרל הבלתי מוגדר. הפעל בדיקה.

זו דוגמה של עשה זאת בעצמך. יש לציין שכאן שיטת החלפת המשתנה לא תעבוד יותר.

תשומת לב חשובה! דוגמאות מס' 1, 2 אופייניות ושכיחות. בפרט, אינטגרלים כאלה מתעוררים לעתים קרובות במהלך פתרון אינטגרלים אחרים, בפרט, בעת שילוב פונקציות אי-רציונליות (שורשים).

השיטה לעיל עובדת גם במקרה אם החזקה הגבוהה ביותר של המונה גדולה מהחזקה הגבוהה ביותר של המכנה.

דוגמה 3

מצא את האינטגרל הבלתי מוגדר. הפעל בדיקה.

נתחיל עם המונה.

אלגוריתם בחירת המונה הוא משהו כזה:

1) במונה אני צריך לארגן , אבל שם . מה לעשות? אני סוגר בסוגריים ומכפיל ב:.

2) עכשיו אני מנסה לפתוח את הסוגריים האלה, מה קורה? . הממ... כבר יותר טוב, אבל אין דיוק עם בהתחלה במונה. מה לעשות? אתה צריך להכפיל ב:

3) פתיחת הסוגריים שוב: . והנה ההצלחה הראשונה! נחוץ התברר! אבל הבעיה היא שהופיע מונח נוסף. מה לעשות? כדי שהביטוי לא ישתנה, אני חייב להוסיף אותו דבר לבנייה שלי:
. החיים הפכו לקלים יותר. האם אפשר להתארגן שוב במונה?

4) אתה יכול. אנחנו מנסים: . הרחב את הסוגריים של המונח השני:
. סליחה, אבל למעשה היה לי בשלב הקודם, ולא . מה לעשות? עלינו להכפיל את האיבר השני ב:

5) שוב, לאימות, אני פותח את הסוגריים בקדנציה השנייה:
. עכשיו זה נורמלי: מתקבל מהבנייה הסופית של פסקה 3! אבל שוב יש "אבל" קטן, הופיע מונח נוסף, מה שאומר שאני חייב להוסיף לביטוי שלי:

אם הכל נעשה כהלכה, אז כשפותחים את כל הסוגריים, אנחנו צריכים לקבל את המונה המקורי של האינטגרנד. אנחנו בודקים:
טוֹב.

לכן:

מוּכָן. בקדנציה האחרונה, יישמתי את השיטה של ​​הכנסת הפונקציה תחת הדיפרנציאל.

אם נמצא את הנגזרת של התשובה ונביא את הביטוי למכנה משותף, אז נקבל בדיוק את האינטגרנד המקורי. שיטת ההרחבה הנחשבת לסכום אינה אלא פעולה הפוכה להביא את הביטוי למכנה משותף.

אלגוריתם בחירת המונה בדוגמאות כאלה מתבצע בצורה הטובה ביותר בטיוטה. עם כמה כישורים, זה יעבוד גם מנטלית. אני זוכר זמן שיא כשעשיתי בחירה בחזקת 11, והרחבת המונה לקחה כמעט שתי שורות של Werd.

דוגמה 4

מצא את האינטגרל הבלתי מוגדר. הפעל בדיקה.

זו דוגמה של עשה זאת בעצמך.

שיטת ההפחתה תחת סימן ההפרש עבור שברים פשוטים

נעבור לסוג השברים הבא.
, , , (המקדמים ואינם שווים לאפס).

למעשה, כמה מקרים עם arcsine ו- arctangent כבר החליקו בשיעור שיטת שינוי משתנה באינטגרל בלתי מוגבל. דוגמאות כאלה נפתרות על ידי הכנסת הפונקציה תחת סימן הדיפרנציאל ולאחר מכן שילוב באמצעות הטבלה. הנה עוד כמה דוגמאות טיפוסיות עם לוגריתם ארוך וגבוה:

דוגמה 5

דוגמה 6

כאן מומלץ להרים טבלת אינטגרלים ולעקוב אחר אילו נוסחאות ו אֵיךמתרחשת טרנספורמציה. הערה, איך ולמהריבועים מודגשים בדוגמאות אלה. בפרט, בדוגמה 6, ראשית עלינו לייצג את המכנה כ , ואז להביא מתחת לסימן ההפרש. ואתה צריך לעשות את כל זה כדי להשתמש בנוסחה הטבלה הסטנדרטית .

אבל מה להסתכל, נסה לפתור דוגמאות מס' 7,8 בעצמך, במיוחד מכיוון שהן די קצרות:

דוגמה 7

דוגמה 8

מצא את האינטגרל הבלתי מוגדר:

אם אתה יכול גם לבדוק את הדוגמאות האלה, אז כבוד גדול הוא כישורי הבידול שלך במיטבם.

שיטת בחירת ריבוע מלאה

אינטגרלים של הצורה, (מקדמים ואינם שווים לאפס) נפתרים שיטת בחירת ריבוע מלאה, שכבר הופיע בשיעור טרנספורמציות עלילה גיאומטרית.

למעשה, אינטגרלים כאלה מצטמצמים לאחד מארבעת אינטגרלי הטבלה שעליהם שקלנו זה עתה. וזה מושג באמצעות נוסחאות הכפל המקוצרת המוכרות:

נוסחאות מיושמות בכיוון זה, כלומר, הרעיון של השיטה הוא לארגן באופן מלאכותי את הביטויים במכנה, ולאחר מכן להמיר אותם, בהתאמה, ל- או .

דוגמה 9

מצא את האינטגרל הבלתי מוגדר

זֶה הדוגמה הפשוטה ביותר, שבה עם המונח - מקדם יחידה(ולא איזה מספר או מינוס).

אנחנו מסתכלים על המכנה, כאן כל העניין מצטמצם בבירור למקרה. בואו נתחיל להמיר את המכנה:

ברור שצריך להוסיף 4. וכדי שהביטוי לא ישתנה - אותם ארבע ותחסיר:

עכשיו אתה יכול ליישם את הנוסחה:

לאחר סיום ההמרה תמידרצוי לבצע מהלך הפוך: הכל בסדר, אין שגיאות.

העיצוב הנקי של הדוגמה המדוברת צריך להיראות בערך כך:

מוּכָן. הבאת פונקציה מורכבת "חופשית" תחת הסימן הדיפרנציאלי:, באופן עקרוני, ניתן להזניח

דוגמה 10

מצא את האינטגרל הבלתי מוגדר:

זו דוגמה לפתרון עצמי, התשובה נמצאת בסוף השיעור.

דוגמה 11

מצא את האינטגרל הבלתי מוגדר:

מה לעשות כשיש מינוס מלפנים? במקרה זה, עליך להוציא את המינוס מהסוגריים ולסדר את התנאים לפי הסדר שאנו צריכים:. קָבוּעַ("כפול" במקרה זה) אין לגעת!

כעת נוסיף אחד בסוגריים. בניתוח הביטוי, אנו מגיעים למסקנה שאנו צריכים אחד מאחורי הסוגר - הוסף:

הנה הנוסחה, החל:

תמידאנו מבצעים בדיקה על הטיוטה:
, שהיה אמור להיות מאומת.

העיצוב הנקי של הדוגמה נראה בערך כך:

אנחנו מסבכים את המשימה

דוגמה 12

מצא את האינטגרל הבלתי מוגדר:

כאן, עם המונח, זה כבר לא מקדם יחיד, אלא "חמישה".

(1) אם נמצא קבוע ב, נוציא אותו מיד מסוגריים.

(2) באופן כללי, תמיד עדיף להוציא את הקבוע הזה מהאינטגרל, כדי שלא יפריע.

(3) ברור שהכל יצטמצם לנוסחה. יש צורך להבין את המונח, כלומר, לקבל "שתיים"

(4) כן,. אז, נוסיף לביטוי, ונחסיר את אותו שבר.

(5) כעת בחר ריבוע שלם. במקרה הכללי, יש צורך גם לחשב , אבל כאן יש לנו נוסחת לוגריתם ארוכה , ואת הפעולה לא הגיוני לבצע, למה - זה יתברר קצת יותר נמוך.

(6) למעשה, אנו יכולים ליישם את הנוסחה , רק במקום "x" יש לנו, מה שלא שולל את תקפות האינטגרל הטבלאי. באופן קפדני, חסר שלב אחד - לפני האינטגרציה, הפונקציה הייתה צריכה להיות תחת הסימן הדיפרנציאלי: , אבל, כפי שציינתי שוב ושוב, זה מוזנח לעתים קרובות.

(7) בתשובה מתחת לשורש, רצוי לפתוח את כל הסוגריים בחזרה:

קָשֶׁה? זה לא הקשה ביותר בחשבון אינטגרלי. אמנם, הדוגמאות הנחשבות אינן כל כך מסובכות מכיוון שהן דורשות טכניקת חישוב טובה.

דוגמה 13

מצא את האינטגרל הבלתי מוגדר:

זו דוגמה של עשה זאת בעצמך. ענה בסוף השיעור.

ישנם אינטגרלים עם שורשים במכנה, שבעזרת החלפה מצטמצמים לאינטגרלים מהסוג הנחשב, עליהם תוכלו לקרוא במאמר אינטגרלים מורכבים, אבל זה מיועד לתלמידים מוכנים מאוד.

הבאת המונה מתחת לסימן ההפרש

זהו החלק האחרון של השיעור, אולם אינטגרלים מסוג זה נפוצים למדי! אם הצטברה עייפות, אולי עדיף לקרוא מחר? ;)

האינטגרלים שנבחן דומים לאינטגרלים של הפסקה הקודמת, יש להם את הצורה: או (המקדמים , ואינם שווים לאפס).

כלומר, יש לנו פונקציה לינארית במונה. איך פותרים אינטגרלים כאלה?

בשיעור זה, נזכיר את כל השיטות שנלמדו בעבר לפירוק פולינום ונשקול דוגמאות ליישום שלהן, בנוסף, נלמד שיטה חדשה- שיטת בחירת הריבוע המלא וללמוד כיצד ליישם אותו בפתרון בעיות שונות.

נושא:פקטורינג פולינומים

שיעור:פקטוריזציה של פולינומים. שיטת בחירת ריבוע מלאה. שילוב של שיטות

זכור את השיטות העיקריות לפירוק פולינום שנחקרו קודם לכן:

שיטת הוצאת גורם משותף מסוגריים, כלומר גורם שקיים בכל איברי הפולינום. שקול דוגמה:

נזכיר שמונומיאל הוא תוצר של כוחות ומספרים. בדוגמה שלנו, לשני האיברים יש כמה אלמנטים זהים ומשותפים.

אז, בואו נוציא את הגורם המשותף בין סוגריים:

;

נזכיר כי על ידי הכפלת מכפיל העיבוד בסוגר, ניתן לבדוק את נכונות העיבוד.

שיטת קיבוץ. לא תמיד ניתן להוציא גורם משותף בפולינום. במקרה כזה צריך לחלק את החברים שלו לקבוצות כך שבכל קבוצה אפשר להוציא גורם משותף ולנסות לפרק אותו כך שלאחר הוצאת הגורמים בקבוצות יופיע גורם משותף ל- הביטוי כולו, והרחבה אפשר להמשיך. שקול דוגמה:

קבץ את המונח הראשון עם הרביעי, השני עם החמישי, והשלישי עם השישי, בהתאמה:

הבה נוציא את הגורמים המשותפים בקבוצות:

לביטוי יש גורם משותף. בוא נוציא את זה:

יישום נוסחאות כפל מקוצר. שקול דוגמה:

;

בואו נכתוב את הביטוי בפירוט:

ברור שלפנינו הנוסחה לריבוע ההפרש, שכן ישנו סכום של הריבועים של שני ביטויים וממנו מופחת המכפלה הכפולה שלהם. בואו נעבור לפי הנוסחה:

היום נלמד דרך נוספת - שיטת בחירת הריבוע המלא. הוא מבוסס על הנוסחאות של ריבוע הסכום וריבוע ההפרש. תזכרו אותם:

הנוסחה לריבוע הסכום (הפרש);

הייחודיות של הנוסחאות הללו היא שהן מכילות ריבועים של שני ביטויים והמכפלה הכפולה שלהם. שקול דוגמה:

בוא נכתוב את הביטוי:

אז הביטוי הראשון הוא , והשני .

כדי ליצור נוסחה לריבוע הסכום או ההפרש, המכפלה הכפולה של הביטויים אינה מספיקה. צריך להוסיף ולגרוע:

בואו נצמצם את הריבוע המלא של הסכום:

בואו נשנה את הביטוי שהתקבל:

אנו מיישמים את נוסחת הפרש הריבועים, נזכיר שההפרש של הריבועים של שני ביטויים הוא המכפלה והסכומים לפי ההפרש שלהם:

אז, שיטה זו מורכבת, קודם כל, בעובדה שיש צורך לזהות את הביטויים a ו-b בריבוע, כלומר לקבוע אילו ביטויים בריבוע בדוגמה זו. לאחר מכן, צריך לבדוק את נוכחותו של מכפלה כפולה ואם הוא לא שם, להוסיף ולחסיר אותו, זה לא ישנה את המשמעות של הדוגמה, אבל את הפולינום ניתן לחשב לפי הנוסחאות של הריבוע של הסכום או ההפרש וההפרש של ריבועים, אם אפשר.

נעבור לפתרון דוגמאות.

דוגמה 1 - הפירוק לגורמים:

מצא ביטויים בריבוע:

בואו נרשום מה המוצר הכפול שלהם צריך להיות:

בואו נוסיף ונחסיר את המכפלה הכפולה:

בואו נצמצם את הריבוע המלא של הסכום וניתן דומים:

נכתוב לפי נוסחת הפרש הריבועים:

דוגמה 2 - פתרו את המשוואה:

;

יש טרינום בצד שמאל של המשוואה. אתה צריך לפרט את זה. אנו משתמשים בנוסחה של ריבוע ההפרש:

יש לנו את הריבוע של הביטוי הראשון והמכפלה הכפולה, הריבוע של הביטוי השני חסר, בוא נוסיף ונחסר:

הבה נצמצם את הריבוע המלא וניתן מונחים דומים:

בוא ניישם את נוסחת ההבדל בין הריבועים:

אז יש לנו את המשוואה

אנו יודעים שהמכפלה שווה לאפס רק אם לפחות אחד מהגורמים שווה לאפס. על סמך זה נכתוב משוואות:

בואו נפתור את המשוואה הראשונה:

בואו נפתור את המשוואה השנייה:

תשובה: או

;

אנו פועלים בדומה לדוגמא הקודמת - בחר את הריבוע של ההפרש.

מחשבון מקוון.
בחירת ריבוע הבינומי והפירוק לגורמים של הטרינום הריבועי.

תוכנית המתמטיקה הזו מחלץ את הריבוע של הבינומי מהטרינום הריבועי, כלומר עושה טרנספורמציה של הצורה:
\(ax^2+bx+c \rightarrow a(x+p)^2+q \) ו מפרק את הטרינום הריבועי: \(ax^2+bx+c \rightarrow a(x+n)(x+m) \)

הָהֵן. הבעיות מצטמצמות למציאת המספרים \(p, q \) ו-\(n, m \)

התוכנית לא רק נותנת את התשובה לבעיה, אלא גם מציגה את תהליך הפתרון.

תוכנית זו יכולה להיות שימושית עבור תלמידי תיכון בתי ספר לחינוך כללילקראת עבודת בקרהובחינות, כאשר בודקים ידע לפני הבחינה, ההורים לשלוט בפתרון בעיות רבות במתמטיקה ובאלגברה. או שאולי זה יקר מדי בשבילך לשכור מורה או לקנות ספרי לימוד חדשים? או שאתה פשוט רוצה לעשות את זה בהקדם האפשרי? שיעורי ביתמתמטיקה או אלגברה? במקרה זה, תוכל גם להשתמש בתוכנות שלנו עם פתרון מפורט.

כך תוכלו לערוך הכשרה משלכם ו/או הכשרה של אחיכם או אחיותיכם הקטנים, תוך עלייה ברמת ההשכלה בתחום המשימות לפתרון.

אם אינכם מכירים את כללי הכניסה לטרינום מרובע, אנו ממליצים לכם להכיר אותם.

כללים להזנת פולינום ריבועי

כל אות לטינית יכולה לפעול כמשתנה.
לדוגמה: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) וכו'.

ניתן להזין מספרים כמספרים שלמים או שברים.
יתר על כן, ניתן להזין מספרים שברים לא רק בצורה של שבר עשרוני, אלא גם בצורה של שבר רגיל.

כללים להזנת שברים עשרוניים.
בשברים עשרוניים, ניתן להפריד את החלק השברי מהמספר השלם באמצעות נקודה או פסיק.
לדוגמה, אתה יכול להיכנס עשרוניםאז: 2.5x - 3.5x^2

כללים להזנת שברים רגילים.
רק מספר שלם יכול לשמש כחלק המונה, המכנה והמספר השלם של שבר.

המכנה לא יכול להיות שלילי.

בעת הזנת שבר מספרי, המונה מופרד מהמכנה בסימן חלוקה: /
החלק השלם מופרד מהשבר באמצעות אמפרסנד: &
קלט: 3&1/3 - 5&6/5x +1/7x^2
תוצאה: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) x + \frac(1)(7)x^2 \)

בעת הזנת ביטוי אתה יכול להשתמש בסוגריים. במקרה זה, בעת הפתרון, הביטוי המובא מפושט תחילה.
לדוגמה: 1/2(x-1)(x+1)-(5x-10&1/2)

דוגמא פתרון מפורט

בחירת הריבוע של הבינומי.$$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+p)^2+q $$ $$2x^2+2x-4 = $$ $$2x^2 +2 \cdot 2 \cdot\left( \frac(1)(2) \right)\cdot x+2 \cdot \left(\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) = $$ $$2\left (x^2 + 2 \cdot\left(\frac(1)(2) \right)\cdot x + \left(\frac(1)(2) \right)^2 \right)-\frac(9 )(2) = $$ $$2\left(x+\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) $$ תשובה:$$2x^2+2x-4 = 2\left(x+\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) $$ פירוק לגורמים.$$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+n)(x+m) $$ $$2x^2+2x-4 = $$
$$ 2\left(x^2+x-2 \right) = $$
$$ 2 \left(x^2+2x-1x-1 \cdot 2 \right) = $$ $$ 2 \left(x \left(x +2 \right) -1 \left(x +2 \right) ) \right) = $$ $$ 2 \left(x -1 \right) \left(x +2 \right) $$ תשובה:$$2x^2+2x-4 = 2 \left(x -1 \right) \left(x +2 \right) $$

לְהַחלִיט

נמצא שחלק מהסקריפטים הדרושים לפתרון משימה זו לא נטענו, וייתכן שהתוכנית לא תעבוד.
ייתכן שהפעלת את AdBlock.
במקרה זה, השבת אותו ורענן את הדף.

השבתת JavaScript בדפדפן שלך.
יש להפעיל JavaScript כדי שהפתרון יופיע.
להלן הוראות כיצד להפעיל JavaScript בדפדפן שלך.

כי יש הרבה אנשים שרוצים לפתור את הבעיה, הבקשה שלך עומדת בתור.
לאחר מספר שניות, הפתרון יופיע למטה.
המתן בבקשה שניה...

אם אתה הבחין בשגיאה בפתרון, אז תוכל לכתוב על זה בטופס המשוב .
אל תשכח לציין איזו משימהאתה מחליט מה להזין בשדות.

המשחקים, הפאזלים, האמולטורים שלנו:

קצת תיאוריה.

חילוץ של בינום מרובע מטרינום מרובע

אם הציר הטרינומי הריבועי 2 + bx + c מיוצג כ-a (x + p) 2 + q, כאשר p ו-q הם מספרים ממשיים, אז הם אומרים שמתוך טרינום ריבועי, הריבוע של הבינומי מודגש.

הבה נחלץ את הריבוע של הבינומי מהטרינום 2x 2 +12x+14.

\(2x^2+12x+14 = 2(x^2+6x+7) \)

לשם כך, אנו מייצגים את 6x כמכפלה של 2 * 3 * x, ולאחר מכן נוסיף ונחסיר 3 2. אנחנו מקבלים:
$$ 2(x^2+2 \cdot 3 \cdot x + 3^2-3^2+7) = 2((x+3)^2-3^2+7) = $$ $$ = 2 ((x+3)^2-2) = 2(x+3)^2-4 $$

זֶה. אָנוּ בחר את הריבוע של הבינומי מהטרינום הריבועי, והראה כי:
$$ 2x^2+12x+14 = 2(x+3)^2-4 $$

פקטוריזציה של טרינום מרובע

אם הציר הטרינומי הריבועי 2 +bx+c מיוצג כ-a(x+n)(x+m), כאשר n ו-m הם מספרים ממשיים, אזי אומרים שהפעולה תתבצע פירוקים של טרינום מרובע.

הבה נשתמש בדוגמה כדי להראות כיצד השינוי הזה נעשה.

בוא נחלק את הטרינום הריבועי 2x 2 +4x-6.

הבה ניקח את מקדם a מתוך סוגריים, כלומר. 2:
\(2x^2+4x-6 = 2(x^2+2x-3) \)

בואו נשנה את הביטוי בסוגריים.
לשם כך, אנו מייצגים 2x כהפרש 3x-1x, ו-3 כ-1*3. אנחנו מקבלים:
$$ = 2(x^2+3 \cdot x -1 \cdot x -1 \cdot 3) = 2(x(x+3)-1 \cdot (x+3)) = $$
$$ = 2(x-1)(x+3) $$

זֶה. אָנוּ לחלק את הטרינום הריבועי לגורמים, והראה כי:
$$ 2x^2+4x-6 = 2(x-1)(x+3) $$

שים לב שהפירוק לגורמים של טרינום ריבועי אפשרי רק כאשר, משוואה ריבועיתהמתאים לטרינום הזה יש שורשים.
הָהֵן. במקרה שלנו, הפקת הטרינום 2x 2 +4x-6 אפשרית אם למשוואה הריבועית 2x 2 +4x-6 =0 יש שורשים. בתהליך הפירוק, מצאנו שלמשוואה 2x 2 +4x-6 =0 יש שני שורשים 1 ו-3, מכיוון עם ערכים אלה, המשוואה 2(x-1)(x+3)=0 הופכת לשוויון אמיתי.

ספרים (ספרי לימוד) תקצירים של בחינת המדינה המאוחדת ומבחני OGE מקוונים משחקים, חידות בניית גרפים של פונקציות איות מילון השפה הרוסית מילון הסלנג לנוער מדריך של בתי ספר ברוסית קטלוג בתי ספר תיכוניים ברוסיה קטלוג של אוניברסיטאות רוסיות רשימת משימות

שם x-

1.2.3. שימוש בזהויות כפל מקוצר

דוגמא. פקטור x 4 16.

x 4 16x 2 2 42 x 2 4x 2 4x 2x 2x 2 4 .

1.2.4. הפקטורון של פולינום באמצעות השורשים שלו

מִשׁפָּט. תן לפולינום P x שורש x 1. אז ניתן לחלק את הפולינום הזה באופן הבא: P x x x 1 S x , כאשר S x הוא פולינום כלשהו שהדרגה שלו היא אחת פחות מ-

ערכים לסירוגין לתוך הביטוי עבור P x. אנחנו מקבלים את זה עבור x 2 you-

הביטוי יהפוך ל-0, כלומר P 2 0, כלומר x 2 הוא השורש של הרב-

חבר. מחלקים את הפולינום P x ב-x2.

X 3 3x 2 10x 24
x 32 x 2	24 10 x	x2 x12

12x2412x24

P x x 2 x2 x12 x2 x2 3 x4 x12 x2 x x3 4 x3

x 2 x3 x4

1.3. מבחר ריבועי מלא

שיטת בחירת הריבוע המלא מבוססת על הנוסחאות: a 2 2ab b 2 a b 2 ,a 2 2ab b 2 a b 2 .

הבחירה בריבוע המלא היא טרנספורמציה זהה כזו שבה הטרינום הנתון מיוצג כ- b 2 הסכום או ההפרש של ריבוע הבינומי וביטוי מספרי או מילולי כלשהו.

טרינום ריבועי ביחס למשתנה הוא ביטוי של הצורה

ax 2 bx c , כאשר a ,b ו- c מקבלים מספרים, ו- a 0 .

אנו הופכים את הציר הטרינומי הריבועי 2 bx c באופן הבא.

x2 :

מְקַדֵם

אז נציג את הביטוי b x כ-2b x (מכפלה כפולה

x ):a x

לביטוי בסוגריים, הוסף והוריד ממנו את המספר

שהוא הריבוע של מספר

כתוצאה מכך, אנו מקבלים:

עכשיו שמים לב לזה

לקבל

4א 2

דוגמא. בחר ריבוע שלם.

2 x 12

2x2 4x5 2x2 2x5

2x2 2x1 15

2 x 12 7.

4 א 2,

1.4. פולינומים במספר משתנים

פולינומים במספר משתנים, כמו פולינומים במשתנה אחד, ניתן להוסיף, להכפיל ולהעלות לחזקה טבעית.

טרנספורמציה חשובה של זהות של פולינום במספר משתנים היא הפירוק לגורמים. כאן נעשה שימוש בטכניקות פקטורינג כגון חלוקת הגורם המשותף, קיבוץ, שימוש בזהויות כפל מקוצר, הדגשת הריבוע המלא, הכנסת משתני עזר.

1. הפקק את הפולינום P x ,y 2x 5 128x 2 y 3 .

2 x 5128 x 2y 32 x 2x 364 y ​​32 x 2x 4 y x 24 xy 16 y 2.

2. עשה פקטוריון P x ,y ,z 20x 2 3yz 15xy 4xz . החל את שיטת הקיבוץ

20 x2 3 yz15 xy4 xz20 x2 15 xy4 xz3 yz5 x4 x3 y z4 x3 y

4x3 y5xz.

3. עשה פקטוריון P x ,y x 4 4y 4 . בוא נבחר ריבוע שלם:

x 4y 4x 44 x 2y 24 y 24 x 2y 2x 22 y 2 2 4 x 2y 2

x2 2 y2 2 xy x2 2 y2 2 xy.

1.5. מאפייני תואר עם כל מעריך רציונלי

לתואר עם כל מעריך רציונלי יש את התכונות הבאות:

1. a r 1a r 2a r 1r 2,

	a r 1a r 2a r 1r 2,
3. a r 1r 2 a r 1r 2,
4. abr 1 ar 1 br 1,
	a r 1				אר 1
					br 1

כאשר a 0;b 0;r 1 ;r 2 הם מספרים רציונליים שרירותיים.

1. הכפל 8

x3 12x7.

24x23.

8 x 3 12 x 7 x 8 x 12 x 8 12 x 24

2. עשה פקטוריון

a2x3

1.6. תרגילים להגשמה עצמית

1. בצע פעולות באמצעות נוסחאות כפל מקוצר. 1) a 52;

2) 3 א 72;

3) a nb n2 .

4) 1 x 3;

	3 י 3 ;

7) 8a 2 8a 2 ;

8) א נב קא קב נא נב קא קב נ.

9) a 2 b a2 2 ab4 b2;

10) a 3a 2 3a 9;

11) a 2b 2a 4a 2b 2b 4. 3

2. חשב באמצעות זהויות הכפל המקוצר:

1) 53 2 432 ;

2) 22,4 2 22,32 ;

4) 30 2 2 ;

5) 51 2 ;

6) 99 2 ;

7) 17 2 2 17 23 232 ;

8) 85 2 2 85 15 152 .

3. הוכח את הזהויות:

1). x 2 13 3x 2 x 12 6x x 1 11x 3 32 2;

2) a 2b 2 2 2 ab 2 a 2b 2 2;

3) a 2 b2 x2 y2 ax by2 bx ay2 .

4. חשב את הפולינומים הבאים:

1) 3 x a2 a2;

2) ac 7 bc3 a21 b;

3) 63 מ 4נ 327 מ 3נ 445 מ 5נ 7;

4) 5 b2 c3 2 bc2 k2 k2 ;

5) 2 x3 y2 3 yz2 2 x2 yz3 z3 ;

6) 24ax38bx12a19b;

7) 25 a 21 b 2q 2;

8) 9 5 א 4ב 2 64א 2 ;

9 ) 121 ן 2 3נ 2ט 2 ;

10) 4 t 2 20tn 25n 2 36;

11) p 4 6 p2 k9 k2;

12) 16 p 3 q 8 72p 4 q 7 81p 5 q 6 ;

13) 6x3 36x 2 72x 48;

14) 15ax 3 45ax 2 45ax 15a;

15) 9 a 3 n 1 4.5a 2 n 1;

16) 5 p 2 n q n 15p 5 n q 2 n ;

17) 4 א 7ב 232 א 4ב 5;

18) 7 x 24 y 2 2 3 x 28 y 2 2;

19) 1000 ט 3 27ט 6 .

5. חשבו בצורה הפשוטה ביותר:

1) 59 3 413 ;

2) 67 3 523 67 52. 119

6. מצא את המנה והשארית של חלוקת פולינום P x על ידי פולינום Q x : 1)P x 2x 4 x 3 5; Q x x 3 9x ;

2) P x 2 x 2; Q x x3 2 x2 x; 3) P x x6 1; Qxx4 4x2 .

7. הוכח שהפולינום x 2 2x 2 אין שורשים אמיתיים.

8. מצא את השורשים של פולינום:

1) x 3 4 x;

2) x 3 3x 2 5x 15.

9. עשה פקטוריון:

1) 6 a 2 a 5 5a 3;

2) x 2 x 3 2x 32 4x 3 3x 2 ;

3) x 3 6x 2 11x 6.

10. פתרו משוואות על ידי בחירת ריבוע שלם:

1) x 2 2x 3 0;

2) x 2 13x 30 0 .

11. מצא ערכי ביטוי:

		4 3 85
		16 6
		2 520 9 519

1254

3) 5 3 25 7 ;

4) 0,01 2 ;

5) 06 .

12. חשב:

16 0,25

16 0,25