(!LANG:שורשים שליליים של משוואה ריבועית. שורשים של משוואה ריבועית

קומפלקס מספרים XI

§ 253. חילוץ שורשים מרובעים ממספרים שליליים.
פתרון משוואות ריבועיות עם מבחנים שליליים

כידוע,

אני 2 = - 1.

למרות זאת,

(- אני ) 2 = (- 1 אני ) 2 = (- 1) 2 אני 2 = -1.

לפיכך, ישנם לפחות שני ערכים לשורש הריבועי של - 1, כלומר אני ו - אני . אבל אולי יש עוד מספרים מרוכבים שהריבועים שלהם הם - 1?

כדי להבהיר שאלה זו, נניח שהריבוע של מספר מרוכב a + bi שווה - 1. ואז

(a + bi ) 2 = - 1,

א 2 + 2אבי - ב 2 = - 1

שני מספרים מרוכבים שווים אם ורק אם חלקיהם הממשיים ומקדמים של החלקים המדומים שווים. בגלל זה

{	א 2 - ב 2 = - 1 אב = 0 (1)

לפי המשוואה השנייה של המערכת (1), לפחות אחד מהמספרים א ו ב צריך להיות שווה לאפס. אם ב = 0, אז המשוואה הראשונה מניבה א 2 = - 1. מספר א אמיתי, ולכן א 2 > 0. לא מספר שלילי א 2 לא יכול להשתוות למספר שלילי - 1. לכן, שוויון ב = 0 הוא בלתי אפשרי במקרה זה. נותר להכיר בכך א = 0, אבל אז מהמשוואה הראשונה של המערכת נקבל: - ב 2 = - 1, ב = ± 1.

לכן, המספרים המרוכבים היחידים שהריבועים שלהם הם -1 הם המספרים אני ו - אני , זה נכתב באופן מותנה כך:

√-1 = ± אני .

לפי נימוק דומה, התלמידים יכולים לאמת שיש בדיוק שני מספרים שהריבועים שלהם שווים למספר שלילי - א . המספרים הללו הם √ א אני ו -√ א אני . באופן קונבנציונלי, זה כתוב כך:

√- א = ± √ א אני .

תחת √ א כאן הכוונה לשורש החשבון, כלומר החיובי. לדוגמה, √4 = 2, √9 =.3; בגלל זה

√-4 = + 2אני , √-9 = ± 3 אני

אם קודם לכן, כאשר בוחנים משוואות ריבועיות עם מבחנים שליליים, אמרנו שלמשוואות כאלה אין שורשים, עכשיו כבר אי אפשר לומר זאת. למשוואות ריבועיות עם מבחנים שליליים יש שורשים מורכבים. שורשים אלו מתקבלים על ידי נוסחאות המוכרות לנו. תנו, למשל, בהינתן המשוואה איקס 2 + 2איקס + 5 = 0; לאחר מכן

איקס 1.2 = - 1 ± √1 -5 = - 1 ± √-4 = - 1 ± 2 אני .

אז למשוואה הזו יש שני שורשים: איקס 1 = - 1 +2אני , איקס 2 = - 1 - 2אני . שורשים אלו מצומדים הדדית. מעניין לציין שהסכום שלהם שווה ל- 2, והמכפלה היא 5, אז משפט וייטה מתקיים.

תרגילים

2022. (Us tn o.) פתרו את המשוואות:

א) איקס 2 = - 16; ב) איקס 2 = - 2; ב 3 איקס 2 = - 5.

2023. מצא את כל המספרים המרוכבים שהריבועים שלהם שווים:

א) אני ; ב) 1/2 - √ 3/2 אני ;

2024. תחליט משוואות ריבועיות:

א) איקס 2 - 2איקס + 2 = 0; ב) 4 איקס 2 + 4איקס + 5 = 0; ב) איקס 2 - 14איקס + 74 = 0.

פתרו מערכות משוואות (מס' 2025, 2026):

{	x+y = 6 xy = 45

{	2איקס- 3y = 1 xy = 1

2027. הוכיחו שהשורשים של משוואה ריבועית עם מקדמים ממשיים ומבחין שלילי מצומדים הדדית.

2028. הוכח שמשפט וייטה נכון עבור כל משוואות ריבועיות, ולא רק עבור משוואות עם מבחין לא שלילי.

2029. כתוב משוואה ריבועית עם מקדמים ממשיים, ששורשיה הם:

א) איקס 1 = 5 - אני , איקס 2 = 5 + אני ; ב) איקס 1 = 3אני , איקס 2 = - 3אני .

2030. חבר משוואה ריבועית עם מקדמים ממשיים, שאחד משורשיה שווה ל- (3 - אני ) (2אני - 4).

2031. כתבו משוואה ריבועית עם מקדמים ממשיים, שאחד משורשיה הוא 32 - אני
1- 3אני .

משוואות ריבועיות נלמדות בכיתה ח', אז אין כאן שום דבר מסובך. היכולת לפתור אותם היא חיונית.

משוואה ריבועית היא משוואה בצורת ax 2 + bx + c = 0, כאשר המקדמים a , b ו- c הם מספרים שרירותיים, ו- a ≠ 0.

לפני לימוד שיטות פתרון ספציפיות, נציין שניתן לחלק את כל המשוואות הריבועיות לשלוש מחלקות:

1. אין שורשים;
2. יש להם בדיוק שורש אחד;
3. יש להם שני שורשים שונים.

זהו הבדל חשוב בין משוואות ריבועיות ולינאריות, כאשר השורש תמיד קיים והוא ייחודי. כיצד לקבוע כמה שורשים יש למשוואה? יש דבר נפלא לזה - מפלה.

מפלה

תינתן את המשוואה הריבועית ax 2 + bx + c = 0. אז המבחין הוא פשוט המספר D = b 2 − 4ac .

יש לדעת את הנוסחה הזו בעל פה. מאיפה זה בא זה לא חשוב עכשיו. דבר נוסף חשוב: לפי הסימן של המבחין, אתה יכול לקבוע כמה שורשים יש למשוואה ריבועית. כלומר:

1. אם ד< 0, корней нет;
2. אם D = 0, יש בדיוק שורש אחד;
3. אם D > 0, יהיו שני שורשים.

שימו לב: המבדיל מציין את מספר השורשים, ובכלל לא את הסימנים שלהם, כפי שמשום מה חושבים רבים. תסתכל על הדוגמאות ותבין הכל בעצמך:

משימה. כמה שורשים יש למשוואות ריבועיות:

1. x 2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

נכתוב את המקדמים עבור המשוואה הראשונה ונמצא את המבחין:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (-8) 2 - 4 1 12 = 64 - 48 = 16

אז, המבחין חיובי, אז למשוואה יש שני שורשים שונים. אנו מנתחים את המשוואה השנייה באותו אופן:
a = 5; b = 3; c = 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.

המפלה היא שלילית, אין שורשים. נשארה המשוואה האחרונה:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (-6) 2 - 4 1 9 = 36 - 36 = 0.

המבחין שווה לאפס - השורש יהיה אחד.

שימו לב שנכתבו מקדמים עבור כל משוואה. כן, זה ארוך, כן, זה מייגע - אבל לא תערבבו את הסיכויים ואל תעשו טעויות מטופשות. בחרו בעצמכם: מהירות או איכות.

אגב, אם "תמלא את ידך", לאחר זמן מה כבר לא תצטרך לכתוב את כל המקדמים. אתה תבצע פעולות כאלה בראש שלך. רוב האנשים מתחילים לעשות את זה איפשהו אחרי 50-70 משוואות שנפתרו - באופן כללי, לא כל כך הרבה.

השורשים של משוואה ריבועית

כעת נעבור לפתרון. אם המבחין D > 0, ניתן למצוא את השורשים באמצעות הנוסחאות:

הנוסחה הבסיסית לשורשים של משוואה ריבועית

כאשר D = 0, אתה יכול להשתמש בכל אחת מהנוסחאות האלה - אתה מקבל את אותו מספר, וזה יהיה התשובה. לבסוף, אם ד< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x2 = 0;
3. x2 + 12x + 36 = 0.

המשוואה הראשונה:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = -3;
D = (-2) 2 - 4 1 (-3) = 16.

D > 0 ⇒ למשוואה יש שני שורשים. בוא נמצא אותם:

משוואה שנייה:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (-2) 2 - 4 (-1) 15 = 64.

D > 0 ⇒ למשוואה שוב יש שני שורשים. בואו נמצא אותם

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(align)\]

לבסוף, המשוואה השלישית:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 - 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ למשוואה יש שורש אחד. ניתן להשתמש בכל נוסחה. לדוגמה, הראשון:

כפי שניתן לראות מהדוגמאות, הכל מאוד פשוט. אם אתה יודע את הנוסחאות ותוכל לספור, לא יהיו בעיות. לרוב, שגיאות מתרחשות כאשר מחליפים מקדמים שליליים בנוסחה. כאן, שוב, הטכניקה שתוארה לעיל תעזור: תסתכל על הנוסחה פשוטו כמשמעו, צבע כל שלב - והיפטר מטעויות בקרוב מאוד.

משוואות ריבועיות לא שלמות

קורה שהמשוואה הריבועית שונה במקצת ממה שניתן בהגדרה. לדוגמה:

1. x2 + 9x = 0;
2. x2 − 16 = 0.

קל לראות שאחד המונחים חסר במשוואות אלו. משוואות ריבועיות כאלה קלות אפילו יותר לפתרון מאשר משוואות סטנדרטיות: הן אפילו לא צריכות לחשב את המבחין. אז בואו נציג קונספט חדש:

המשוואה ax 2 + bx + c = 0 נקראת משוואה ריבועית לא שלמה אם b = 0 או c = 0, כלומר. המקדם של המשתנה x או האלמנט החופשי שווה לאפס.

כמובן, מקרה קשה מאוד אפשרי כאשר שני המקדמים הללו שווים לאפס: b \u003d c \u003d 0. במקרה זה, המשוואה לובשת את הצורה ax 2 \u003d 0. ברור שלמשוואה כזו יש יחידה אחת root: x \u003d 0.

בואו נשקול מקרים אחרים. תן b \u003d 0, אז נקבל משוואה ריבועית לא שלמה בצורת ax 2 + c \u003d 0. בואו נשנה אותה מעט:

מכיוון שהשורש הריבועי האריתמטי קיים רק ממספר לא שלילי, השוויון האחרון הגיוני רק כאשר (−c / a ) ≥ 0. מסקנה:

1. אם משוואה ריבועית לא שלמה בצורה ax 2 + c = 0 מספקת את אי השוויון (−c / a ) ≥ 0, יהיו שני שורשים. הנוסחה ניתנת לעיל;
2. אם (-c / a)< 0, корней нет.

כפי שניתן לראות, המבחין לא היה נדרש - אין חישובים מורכבים כלל במשוואות ריבועיות לא שלמות. למעשה, אין צורך אפילו לזכור את אי השוויון (−c / a ) ≥ 0. מספיק לבטא את הערך של x 2 ולראות מה יש בצד השני של סימן השוויון. אם יש מספר חיובי, יהיו שני שורשים. אם שלילי, לא יהיו שורשים בכלל.

כעת נעסוק במשוואות בצורה ax 2 + bx = 0, שבהן האלמנט החופשי שווה לאפס. הכל פשוט כאן: תמיד יהיו שני שורשים. מספיק לחלק את הפולינום לגורמים:

הוצאת הגורם המשותף מהסוגר

המכפלה שווה לאפס כאשר לפחות אחד מהגורמים שווה לאפס. מכאן מגיעים השורשים. לסיכום, ננתח כמה מהמשוואות הללו:

משימה. לפתור משוואות ריבועיות:

1. x2 − 7x = 0;
2. 5x2 + 30 = 0;
3. 4x2 - 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7.

5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6. אין שורשים, כי הריבוע לא יכול להיות שווה למספר שלילי.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1.5; x 2 \u003d -1.5.

יותר בצורה פשוטה. לשם כך, הוציאו את z מהסוגריים. אתה מקבל: z(az + b) = 0. ניתן לכתוב גורמים: z=0 ו-az + b = 0, מכיוון ששניהם יכולים להביא לאפס. בסימון az + b = 0, נעביר את השני ימינה עם סימן אחר. מכאן נקבל z1 = 0 ו- z2 = -b/a. אלו הם השורשים של המקור.

אם יש משוואה לא שלמהמהצורה az² + c = 0, במקרה זה הם נמצאים על ידי העברת האיבר החופשי לצד ימין של המשוואה. גם לשנות את הסימן שלו. אתה מקבל את הרשומה az² \u003d -s. Express z² = -c/a. קח את השורש ורשום שני פתרונות - ערך חיובי ושלילי של השורש הריבועי.

הערה

אם יש מקדמים שברים במשוואה, הכפל את המשוואה כולה בגורם המתאים כדי להיפטר מהשברים.

ידע כיצד לפתור משוואות ריבועיות הכרחי הן לתלמידי בית הספר והן לתלמידים, לפעמים זה יכול לעזור למבוגר ב חיים רגילים. ישנן מספר שיטות החלטה ספציפיות.

פתרון משוואות ריבועיות

משוואה ריבועית בצורה a*x^2+b*x+c=0. מקדם x הוא המשתנה הרצוי, a, b, c - מקדמים מספריים. זכור שהסימן "+" יכול להשתנות לסימן "-".

על מנת לפתור משוואה זו, עליך להשתמש במשפט Vieta או למצוא את המבחין. הדרך הנפוצה ביותר היא למצוא את המבחין, שכן עבור כמה ערכים של a, b, c לא ניתן להשתמש במשפט Vieta.

כדי למצוא את המבחין (D), עליך לכתוב את הנוסחה D=b^2 - 4*a*c. הערך של D יכול להיות גדול מ-, קטן או שווה לאפס. אם D גדול או קטן מאפס, אז יהיו שני שורשים, אם D = 0, אז נשאר רק שורש אחד, ליתר דיוק, אפשר לומר של-D במקרה זה יש שני שורשים שווים. החליפו את המקדמים הידועים a,b,c בנוסחה וחשבו את הערך.

לאחר שמצאת את המבחין, כדי למצוא את x, השתמש בנוסחאות: x(1) = (- b+sqrt(D))/2*a; x(2) = (- b-sqrt(D))/2*a כאשר sqrt היא פונקציה שמשמעותה חילוץ שורש ריבועימהמספר הזה. לאחר חישוב הביטויים הללו, תמצא את שני השורשים של המשוואה שלך, ולאחר מכן המשוואה נחשבת כפתורה.

אם D קטן מאפס, עדיין יש לו שורשים. בבית הספר, חלק זה כמעט לא נלמד. סטודנטים באוניברסיטה צריכים להיות מודעים לכך שמספר שלילי מופיע מתחת לשורש. הוא מבוטל על ידי הפרדת החלק הדמיוני, כלומר -1 מתחת לשורש שווה תמיד ליסוד הדמיוני "i", המוכפל בשורש עם אותו הדבר. מספר חיובי. לדוגמה, אם D=sqrt(-20), לאחר השינוי, מתקבל D=sqrt(20)*i. לאחר טרנספורמציה זו, פתרון המשוואה מצטמצם לאותו ממצא של השורשים, כפי שתואר לעיל.

משפט וייטה מורכב מבחירה של ערכי x(1) ו-x(2). נעשה שימוש בשתי משוואות זהות: x(1) + x(2)= -b; x(1)*x(2)=s. ומאוד נקודה חשובההוא הסימן לפני מקדם b, זכור שהסימן הזה הוא ההפך מזה שבמשוואה. במבט ראשון נראה שחישוב x(1) ו-x(2) הוא פשוט מאוד, אך בעת הפתרון תיתקלו בעובדה שיהיה צורך לבחור במדויק את המספרים.

יסודות לפתרון משוואות ריבועיות

על פי כללי המתמטיקה, חלקם ניתנים לגורמים: (a + x (1)) * (b-x (2)) \u003d 0, אם הצלחת לשנות את המשוואה הריבועית הזו בדרך זו באמצעות נוסחאות מתמטיות, אל תהסס לעשות לרשום את התשובה. x(1) ו-x(2) יהיו שווים למקדמים הסמוכים בסוגריים, אבל עם סימן הפוך.

כמו כן, אל תשכח משוואות ריבועיות לא שלמות. ייתכן שחסרים לך חלק מהמונחים, אם כן, אז כל המקדמים שלו פשוט שווים לאפס. אם לפני x^2 או x אין כלום, אז המקדמים a ו-b שווים ל-1.

בין כל הקורס של תכנית הלימודים בבית הספר של אלגברה, אחד הנושאים הנרחבים ביותר הוא נושא המשוואות הריבועיות. במקרה זה, משוואה ריבועית מובנת כמשוואה בצורה ax 2 + bx + c \u003d 0, כאשר a ≠ 0 (נכתב: כפל ב-x בריבוע פלוס x פלוס ce שווה לאפס, כאשר a אינו שווה לאפס). במקרה זה, המקום העיקרי תפוס על ידי הנוסחאות למציאת המבחין של המשוואה הריבועית סוג שצוין, המובן כביטוי המאפשר לקבוע את נוכחותם או היעדרם של שורשים במשוואה ריבועית, וכן את מספרם (אם יש).

נוסחה (משוואה) של המבחין של משוואה ריבועית

הנוסחה המקובלת בדרך כלל לאבחנה של משוואה ריבועית היא כדלקמן: D \u003d b 2 - 4ac. על ידי חישוב המבחין באמצעות הנוסחה המצוינת, ניתן לא רק לקבוע את נוכחות ומספר השורשים של משוואה ריבועית, אלא גם לבחור שיטה למציאת שורשים אלו, מהם ישנם כמה בהתאם לסוג המשוואה הריבועית.

מה זה אומר אם המבחין הוא אפס \ נוסחת השורשים של משוואה ריבועית אם המבחין הוא אפס

המבחין, כדלקמן מהנוסחה, מסומן באות הלטינית D. במקרה שבו המבחין הוא אפס, יש להסיק כי המשוואה הריבועית של הצורה ax 2 + bx + c = 0, כאשר a ≠ 0 , יש רק שורש אחד, אשר מחושב מנוסחה פשוטה. נוסחה זו חלה רק כאשר המבחין הוא אפס ונראה כך: x = –b/2a, כאשר x הוא השורש של המשוואה הריבועית, b ו-a הם המשתנים המתאימים של המשוואה הריבועית. כדי למצוא את השורש של משוואה ריבועית, יש צורך לחלק את הערך השלילי של המשתנה b בכפול מערכו של המשתנה a. הביטוי שיתקבל יהיה פתרון משוואה ריבועית.

פתרון משוואה ריבועית באמצעות המבחין

אם, בעת חישוב המבחין באמצעות הנוסחה לעיל, מתקבל ערך חיובי (D גדול מאפס), אז למשוואה הריבועית יש שני שורשים, המחושבים באמצעות הנוסחאות הבאות: x 1 = (–b + vD) / 2a, x 2 = (–b - vD) /2a. לרוב, המבחין לא מחושב בנפרד, אלא את ביטוי השורש בצורת נוסחת הבחנה פשוט מחליפים לערך D, ממנו מוצאים את השורש. אם למשתנה b יש ערך זוגי, אז כדי לחשב את השורשים של משוואה ריבועית בצורה ax 2 + bx + c = 0, כאשר a ≠ 0, אתה יכול גם להשתמש בנוסחאות הבאות: x 1 = (–k + v(k2 – ac))/a , x 2 = (–k + v(k2 – ac))/a, כאשר k = b/2.

במקרים מסוימים, לפתרון מעשי של משוואות ריבועיות, אתה יכול להשתמש במשפט Vieta, שאומר כי עבור סכום השורשים של משוואה ריבועית בצורה x 2 + px + q \u003d 0, הערך x 1 + x 2 \u003d -p יהיה נכון, ולמכפלת השורשים של המשוואה שצוינה - ביטוי x 1 x x 2 = q.

האם המבחין יכול להיות פחות מאפס?

בחישוב שווי המבחנה עלולים להיתקל במצב שאינו נופל באף אחד מהמקרים המתוארים - כאשר למבחין יש ערך שלילי (כלומר פחות מאפס). במקרה זה, נחשב כי המשוואה הריבועית של הצורה ax 2 + bx + c = 0, כאשר a ≠ 0, אין לה שורשים ממשיים, לכן, הפתרון שלה יהיה מוגבל לחישוב המבחין, והנוסחאות לעיל עבור שורשי המשוואה הריבועית במקרה זה לא יחולו רצון. יחד עם זאת, בתשובה למשוואה הריבועית נכתב כי "למשוואה אין שורשים ממשיים".

סרטון הסבר:

בעיות במשוואה הריבועית נלמדות גם ב מערכת של ביהסובאוניברסיטאות. הם מובנים כמשוואות בצורה a * x ^ 2 + b * x + c \u003d 0, כאשר איקס-משתנה, a,b,c - קבועים; א<>0 . הבעיה היא למצוא את שורשי המשוואה.

המשמעות הגיאומטרית של המשוואה הריבועית

הגרף של פונקציה שמיוצגת על ידי משוואה ריבועית הוא פרבולה. הפתרונות (השורשים) של משוואה ריבועית הם נקודות החיתוך של הפרבולה עם ציר ה-x. מכאן נובע שיש שלושה מקרים אפשריים:
1) לפרבולה אין נקודות חיתוך עם ציר ה-x. זה אומר שהוא נמצא במישור העליון עם ענפים למעלה או התחתון עם ענפים למטה. במקרים כאלה, למשוואה הריבועית אין שורשים אמיתיים (יש לה שני שורשים מורכבים).

2) לפרבולה יש נקודת חיתוך אחת עם ציר השור. נקודה כזו נקראת קודקוד הפרבולה, והמשוואה הריבועית בה מקבלת את ערכה המינימלי או המקסימלי. במקרה זה, למשוואה הריבועית יש שורש אמיתי אחד (או שני שורשים זהים).

3) המקרה האחרון מעניין יותר בפועל - ישנן שתי נקודות חיתוך של הפרבולה עם ציר האבשיסה. זה אומר שיש שני שורשים אמיתיים של המשוואה.

בהתבסס על ניתוח המקדמים בחזקות המשתנים, ניתן להסיק מסקנות מעניינות לגבי מיקום הפרבולה.

1) אם מקדם a גדול מאפס, אז הפרבולה מכוונת כלפי מעלה, אם שלילית, ענפי הפרבולה מכוונים כלפי מטה.

2) אם מקדם b גדול מאפס, אז קודקוד הפרבולה נמצא בחצי המישור השמאלי, אם הוא מקבל ערך שלילי, אז בימין.

גזירת נוסחה לפתרון משוואה ריבועית

נעביר את הקבוע מהמשוואה הריבועית

עבור סימן השוויון, אנו מקבלים את הביטוי

הכפל את שני הצדדים ב-4a

לצאת שמאלה ריבוע מלאהוסף בשני החלקים b^2 ובצע את השינוי

מכאן אנו מוצאים

נוסחת המבחין ושורשי המשוואה הריבועית

המבחין הוא הערך של הביטוי הרדיקלי, אם הוא חיובי, אז למשוואה יש שני שורשים ממשיים, המחושבים לפי הנוסחה באפס אבחנה, למשוואה הריבועית יש פתרון אחד (שני שורשים חופפים), שקל להשיג מהנוסחה לעיל עבור D=0 אפליה שליליתאין משוואת שורש אמיתית. עם זאת, כדי ללמוד את הפתרונות של המשוואה הריבועית במישור המורכב, וערכם מחושב על ידי הנוסחה

משפט וייטה

שקול שני שורשים של משוואה ריבועית ובנה משוואה ריבועית על בסיסם. מהסימון, משפט Vieta עצמו עולה בקלות: אם יש לנו משוואה ריבועית של הצורה אז סכום השורשים שלו שווה למקדם p, שנלקח עם הסימן ההפוך, ומכפלת שורשי המשוואה שווה לאיבר החופשי q. הנוסחה של האמור לעיל תיראה כך אם הקבוע a במשוואה הקלאסית אינו אפס, אז אתה צריך לחלק את המשוואה כולה, ולאחר מכן ליישם את משפט Vieta.

לוח זמנים של המשוואה הריבועית על גורמים

תנו למשימה להיות מוגדרת: לפרק את המשוואה הריבועית לגורמים. כדי לבצע אותו, פותרים תחילה את המשוואה (מוצאים את השורשים). לאחר מכן, נחליף את השורשים שנמצאו בנוסחה להרחבת המשוואה הריבועית.בעיה זו תיפתר.

משימות למשוואה ריבועית

משימה 1. מצא את השורשים של משוואה ריבועית

x^2-26x+120=0 .

פתרון: רשמו את המקדמים והחליפו בנוסחת ההבחנה

השורש של ערך זה הוא 14, קל למצוא אותו באמצעות מחשבון, או לזכור אותו בשימוש תכוף, אולם, מטעמי נוחות, בסוף המאמר אתן לך רשימה של ריבועי מספרים שניתן לעתים קרובות נמצא במשימות כאלה.
הערך שנמצא מוחלף בנוסחת השורש

ואנחנו מקבלים

משימה 2. פתור את המשוואה

2x2+x-3=0.

פתרון: יש לנו משוואה ריבועית מלאה, רשום את המקדמים ומצא את המבחין


בעזרת נוסחאות ידועות, אנו מוצאים את השורשים של המשוואה הריבועית

משימה 3. פתור את המשוואה

9x2 -12x+4=0.

פתרון: יש לנו משוואה ריבועית מלאה. קבע את המפלה

קיבלנו את המקרה כשהשורשים חופפים. אנו מוצאים את ערכי השורשים לפי הנוסחה

משימה 4. פתור את המשוואה

x^2+x-6=0 .

פתרון: במקרים בהם יש מקדמים קטנים ל-x, רצוי ליישם את משפט Vieta. לפי מצבו, נקבל שתי משוואות

מהתנאי השני, נקבל שהמוצר חייב להיות שווה ל-6. זה אומר שאחד השורשים הוא שלילי. יש לנו את צמד הפתרונות האפשריים הבא(-3;2), (3;-2) . בהתחשב בתנאי הראשון, אנו דוחים את צמד הפתרונות השני.
שורשי המשוואה הם

משימה 5. מצא את אורכי הצלעות של מלבן אם היקפו הוא 18 ס"מ והשטח הוא 77 ס"מ 2.

פתרון: חצי היקף של מלבן שווה לסכום הצלעות הסמוכות. נסמן את x - הצלע הגדולה יותר, ואז 18-x הוא הצלע הקטנה שלה. שטחו של מלבן שווה למכפלת האורכים הללו:
x(18x)=77;
אוֹ
x 2 -18x + 77 \u003d 0.
מצא את המבחין של המשוואה

אנו מחשבים את שורשי המשוואה

אם x=11,לאחר מכן 18x=7 ,להיפך הוא גם נכון (אם x=7, אז 21-x=9).

בעיה 6. עשה פקטוריון את המשוואה הריבועית 10x 2 -11x+3=0.

פתרון: חשב את שורשי המשוואה, לשם כך נמצא את המבחין

אנחנו מחליפים את הערך שנמצא בנוסחת השורשים ומחשבים

אנו מיישמים את הנוסחה להרחבת המשוואה הריבועית במונחים של שורשים

אם מרחיבים את הסוגריים, אנחנו מקבלים את הזהות.

משוואה ריבועית עם פרמטר

דוגמה 1. עבור אילו ערכים של הפרמטר א ,האם למשוואה (a-3) x 2 + (3-a) x-1 / 4 \u003d 0 יש שורש אחד?

פתרון: על ידי החלפה ישירה של הערך a=3, אנו רואים שאין לו פתרון. יתר על כן, נשתמש בעובדה שעם אפסי אבחנה, למשוואה יש שורש אחד של ריבוי 2. בוא נכתוב את המפלה

לפשט אותו ולהשוות לאפס

קיבלנו משוואה ריבועית ביחס לפרמטר a, שקל להשיג את הפתרון שלה באמצעות משפט וייטה. סכום השורשים הוא 7, והתוצר שלהם הוא 12. על ידי ספירה פשוטה, אנו קובעים שהמספרים 3.4 יהיו שורשי המשוואה. מכיוון שכבר דחינו את הפתרון a=3 בתחילת החישובים, הנכון היחיד יהיה - a=4.לפיכך, עבור a = 4, למשוואה יש שורש אחד.

דוגמה 2. עבור אילו ערכים של הפרמטר א ,המשוואה a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0יש יותר משורש אחד?

פתרון: שקול תחילה את הנקודות הסינגולריות, הן יהיו הערכים a=0 ו-a=-3. כאשר a=0, המשוואה תפושט לצורה 6x-9=0; x=3/2 ויהיה שורש אחד. עבור a= -3 נקבל את הזהות 0=0 .
חשב את המבחין

ולמצוא את הערכים של זה שהוא חיובי עבורו

מהתנאי הראשון נקבל a>3. עבור השני, אנו מוצאים את המבחין ואת שורשי המשוואה


הבה נגדיר את המרווחים שבהם הפונקציה מקבלת ערכים חיוביים. על ידי החלפת הנקודה a=0 נקבל 3>0 . אז מחוץ למרווח (-3; 1/3) הפונקציה שלילית. אל תשכח את הנקודה a=0מה שצריך להחריג, שכן במשוואה המקורית יש שורש אחד.
כתוצאה מכך, אנו מקבלים שני מרווחים העונים על מצב הבעיה

יהיו הרבה משימות דומות בפועל, נסו להתמודד עם המשימות בעצמכם ואל תשכחו לקחת בחשבון את התנאים המוציאים זה את זה. למד היטב את הנוסחאות לפתרון משוואות ריבועיות, הן נחוצות לעתים קרובות למדי בחישובים בבעיות ובמדעים שונים.