תלמידים תמיד שואלים: "למה אני לא יכול להשתמש במחשבון בבחינה במתמטיקה? כיצד לחלץ את השורש הריבועי של מספר ללא מחשבון? בואו ננסה לענות על השאלה הזו.
כיצד לחלץ את השורש הריבועי של מספר ללא עזרה של מחשבון?
פעולה מיצוי שורש ריבועיההפך מריבוע.
√81= 9 9 2 =81
אם מ מספר חיובילוקחים את השורש הריבועי ומריבוע את התוצאה, נקבל את אותו מספר.
ממספרים קטנים שהם ריבועים מושלמים מספרים טבעיים, למשל 1, 4, 9, 16, 25, ..., ניתן לחלץ מילולית 100 שורשים מרובעים. בדרך כלל בבית הספר מלמדים טבלה של ריבועים של מספרים טבעיים עד עשרים. הכרת הטבלה הזו, קל לחלץ את השורשים הריבועיים מהמספרים 121,144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400. ממספרים גדולים מ-400, ניתן לחלץ בשיטת הבחירה בעזרת כמה עצות. בואו ננסה דוגמה לשקול שיטה זו.
דוגמא: חלץ את השורש של המספר 676.
אנו שמים לב ש-20 2 \u003d 400, ו-30 2 \u003d 900, כלומר 20< √676 < 900.
ריבועים מדויקים של מספרים טבעיים מסתיימים ב-0; אחד; ארבע; 5; 6; 9.
המספר 6 ניתן על ידי 4 2 ו-6 2.
אז אם השורש נלקח מ-676, אז הוא 24 או 26.
נותר לבדוק: 24 2 = 576, 26 2 = 676.
תשובה: √676 = 26 .
יותר דוגמא: √6889 .
מאז 80 2 \u003d 6400, ו-90 2 \u003d 8100, ואז 80< √6889 < 90.
המספר 9 ניתן על ידי 3 2 ו-7 2, ואז √6889 הוא 83 או 87.
בדיקה: 83 2 = 6889.
תשובה: √6889 = 83 .
אם אתה מתקשה לפתור בשיטת הבחירה, אז אתה יכול לפרק את ביטוי השורש.
לדוגמה, מצא √893025.
בוא נחלק את המספר 893025, תזכור, עשית את זה בכיתה ו'.
נקבל: √893025 = √3 6 ∙5 2 ∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945.
יותר דוגמה: √20736. בוא נחלק לגורמים את המספר 20736:
נקבל √20736 = √2 8 ∙3 4 = 2 4 ∙3 2 = 144.
כמובן, פקטורינג דורש ידע בקריטריונים לחלוקה וכישורי פקטורינג.
ולבסוף, יש כלל שורש מרובע. בואו נסתכל על הכלל הזה עם דוגמה.
חשב √279841.
כדי לחלץ את השורש של מספר שלם רב ספרתי, אנו מפצלים אותו מימין לשמאל לפרצופים המכילים 2 ספרות כל אחד (ייתכן שיש ספרה אחת בפנים הקיצוניות השמאלית). כתוב כך 27'98'41
כדי לקבל את הספרה הראשונה של השורש (5), נחלץ את השורש הריבועי של הריבוע המדויק הגדול ביותר שנמצא בפנים השמאלי הראשון (27).
לאחר מכן מופחת הריבוע של הספרה הראשונה של השורש (25) מהפנים הראשון והפנים הבא (98) מיוחס (נהרס) להפרש.
משמאל למספר המתקבל 298, הם כותבים את הספרה הכפולה של השורש (10), מחלקים בה את מספר כל העשרות של המספר שהושג קודם לכן (29/2 ≈ 2), חווים את המנה (102 ∙ 2 = 204 לא צריך להיות יותר מ-298) וכתוב (2) אחרי הספרה הראשונה של השורש.
לאחר מכן, המנה המתקבלת 204 מופחתת מ-298, והפן הבא (41) מיוחס (נהרס) להפרש (94).
משמאל למספר המתקבל 9441, הם כותבים את המכפלה הכפולה של ספרות השורש (52 ∙ 2 = 104), מחלקים במכפלה זה את מספר כל העשרות של המספר 9441 (944/104 ≈ 9), ניסיון המנה (1049 ∙ 9 = 9441) צריכה להיות 9441 ורשום אותה (9) אחרי הספרה השנייה של השורש.
קיבלנו את התשובה √279841 = 529.
לחלץ באופן דומה שורשים של עשרוניות. יש לחלק רק את המספר הרדיקלי לפרצופים כך שהפסיק יהיה בין הפרצופים.
דוגמא. מצא את הערך √0.00956484.
אתה רק צריך לזכור שאם נקודהיש מספר אי זוגי של מקומות עשרוניים, הוא לא לוקח בדיוק את השורש הריבועי.
אז, עכשיו ראית שלוש דרכים לחלץ את השורש. בחר את המתאים לך ביותר והתאמן. כדי ללמוד איך לפתור בעיות, אתה צריך לפתור אותן. ואם יש לך שאלות, הירשם לשיעורים שלי.
אתר, עם העתקה מלאה או חלקית של החומר, נדרש קישור למקור.
תיאור ביבליוגרפי: Pryamostanov S. M., Lysogorova L. V. שיטות מיצוי שורש ריבועי// מדען צעיר. 2017. №2.2. ש' 76-77..02.2019).
מילות מפתח : שורש ריבועי, מיצוי שורש ריבועי.
בשיעורי מתמטיקה הכרתי את המושג שורש ריבועי, ואת פעולת חילוץ השורש. התעניינתי בחילוץ השורש הריבועי אפשרי רק באמצעות טבלת ריבועים, באמצעות מחשבון, או שיש דרך לחלץ אותו ידנית. מצאתי כמה דרכים: הנוסחה של בבל העתיקה, דרך פתרון משוואות, שיטת ההשלכה ריבוע מלא, שיטת ניוטון, שיטה גיאומטרית, שיטה גרפית (, ), שיטת ניחוש, שיטת שאריות מספר אי זוגי.
שקול את השיטות הבאות:
בואו נתפרק לתוך גורמים ראשוניים, באמצעות סימני חלוקה 27225=5*5*3*3*11*11. בדרך זו
- ל שיטה קנדית.זֶה שיטה מהירהנפתח על ידי מדענים צעירים מאחת האוניברסיטאות המובילות בקנדה במאה ה-20. הדיוק שלו אינו עולה על שניים או שלושה מקומות עשרוניים.
כאשר x הוא המספר שממנו יש לקחת את השורש, c הוא המספר של הריבוע הקרוב ביותר), לדוגמה:
=5,92
- טור.שיטה זו מאפשרת לך למצוא את הערך המשוער של השורש של כל מספר ממשי עם כל דיוק שנקבע מראש. החסרונות של השיטה כוללים את המורכבות הגוברת של החישוב עם עלייה במספר הספרות שנמצאו. כדי לחלץ את השורש באופן ידני, נעשה שימוש בסימון הדומה לחלוקה בעמודה.
אלגוריתם שורש ריבועי
1. מחלקים בנפרד את החלק השברי ואת החלק השלם בנפרד מהפסיק על הקצה של שני מספריםבכל פנים ( נְשִׁיקָהחלק - מימין לשמאל; חֶלקִי- משמאל לימין). ייתכן שהחלק השלם עשוי להכיל ספרה אחת, והחלק השברי עשוי להכיל אפסים.
2. החילוץ מתחיל משמאל לימין, ואנחנו בוחרים מספר שהריבוע שלו אינו עולה על המספר שבפנים הראשון. אנחנו בריבוע את המספר הזה ונכתוב אותו מתחת למספר שבפנים הראשון.
3. נמצא את ההבדל בין המספר בפנים הראשון לריבוע של המספר הראשון שנבחר.
4. להפרש המתקבל אנו הורסים את הפנים הבאות, המספר המתקבל יהיה מִתחַלֵק. אנחנו יוצרים מחיצה. נכפיל את הספרה הנבחרת הראשונה של התשובה (כפילו ב-2), נקבל את מספר העשרות של המחלק, ומספר היחידות צריך להיות כזה שהמכפלה שלו במחלק כולו לא יחרוג מהדיבידנד. נכתוב את המספר הנבחר בתשובה.
5. להבדל המתקבל, אנו הורסים את הפרצוף הבא ומבצעים פעולות לפי האלגוריתם. אם הפנים האלה מתבררות כפנים של החלק השברירי, אז שים פסיק בתשובה. (איור 1.)
|
|
|
בדרך זו, ניתן לחלץ מספרים בדיוק שונה, למשל, בדיוק של אלפיות. (איור 2)
לוקח בחשבון דרכים שונותחילוץ השורש הריבועי, נוכל להסיק: בכל מקרה ספציפי, אתה צריך להחליט על הבחירה של השורש היעיל ביותר כדי להשקיע פחות זמן בפתרון
סִפְרוּת:
- קיסלב א. אלמנטים של אלגברה וניתוח. חלק ראשון.-מ.-1928
מילות מפתח: שורש ריבועי, שורש ריבועי.
הערה: המאמר מתאר שיטות לחילוץ שורש ריבועי, ומספק דוגמאות לחילוץ שורשים.
על המעגל היא הראתה כיצד ניתן לחלץ שורשים מרובעים בעמודה. אתה יכול לחשב את השורש בדיוק שרירותי, למצוא בו כמה ספרות שתרצה. סימון עשרוני, גם אם יתברר שזה לא הגיוני. האלגוריתם נזכר, אך נותרו שאלות. לא היה ברור מאיפה הגיעה השיטה ומדוע היא נותנת את התוצאה הנכונה. זה לא היה בספרים, או שאולי סתם חיפשתי בספרים הלא נכונים. כתוצאה מכך, כמו הרבה ממה שאני יודע ויכול לעשות היום, הוצאתי את זה החוצה בעצמי. אני חולק את הידע שלי כאן. אגב, אני עדיין לא יודע איפה ניתן הרציונל לאלגוריתם)))
אז, ראשית, עם דוגמה, אני אומר לך "איך המערכת עובדת", ואז אני מסביר למה היא באמת עובדת.
בואו ניקח מספר (המספר נלקח "מהתקרה", זה פשוט עלה בדעתי).
1. אנו מחלקים את המספרים שלו לזוגות: אלה שנמצאים משמאל לנקודה העשרונית, נקבץ שניים מימין לשמאל, ואלו מימין - שניים משמאל לימין. אנחנו מקבלים .
2. נחלץ את השורש הריבועי מקבוצת הספרות הראשונה משמאל - במקרה שלנו הוא כן (ברור שאולי לא ניתן לחלץ את השורש המדויק, ניקח את המספר שהריבוע שלו קרוב ככל האפשר למספר שלנו שנוצר על ידי ה- קבוצת הספרות הראשונה, אך אינה חורגת ממנה). במקרה שלנו, זה יהיה מספר. אנו כותבים בתגובה - זוהי הספרה הגבוהה ביותר של השורש.
3. נעלה את המספר שכבר נמצא בתשובה - זהו - בריבוע ונחסר מקבוצת המספרים הראשונה משמאל - מהמספר. במקרה שלנו זה נשאר
4. אנו מייחסים את הקבוצה הבאה של שני מספרים מימין: . המספר שכבר בתשובה מוכפל ב-, אנו מקבלים.
5. עכשיו צפו היטב. עלינו להוסיף ספרה אחת למספר בצד ימין, ולהכפיל את המספר ב-, כלומר באותה ספרה שהוקצתה. התוצאה צריכה להיות קרובה ככל האפשר ל-, אך שוב לא יותר ממספר זה. במקרה שלנו זה יהיה מספר, אנחנו כותבים אותו בתגובה ליד, בצד ימין. זוהי הספרה הבאה בסימון העשרוני עבור השורש הריבועי שלנו.
6. בהפחתת המוצר מ , נקבל .
7. לאחר מכן, נחזור על הפעולות המוכרות: אנו מקצים את קבוצת הספרות הבאה ימינה, נכפיל במספר המתקבל > מקצה ספרה אחת ימינה, כך שכאשר מכפילים בה, נקבל מספר קטן יותר, אבל הכי קרוב ל זה - זה המספר - הספרה הבאה בסימון העשרוני של השורש.
החישובים ייכתבו כך:
ועכשיו ההסבר המובטח. האלגוריתם מבוסס על הנוסחה
הערות: 50
2 אנטון:
מבולגן ומבלבל מדי. פרק הכל ומספר אותם. בנוסף: הסבר היכן בכל פעולה אנו מחליפים את הערכים הדרושים. מעולם לא חישבתי את השורש בטור לפני כן - הבנתי את זה בקושי.
5 יוליה:
6 :
ג'וליה, בת 23 הרגע הזהכתוב בצד ימין, אלו הן שתי הספרות הראשונות (בצד שמאל) שכבר התקבלו מהשורש שנמצאות בתשובה. נכפיל ב-2 לפי האלגוריתם. אנו חוזרים על השלבים המתוארים בסעיף 4.
7zzz:
שגיאה ב-"6. מ-167 נחסר את המכפלה 43 * 3 = 123 (129 נאדה), נקבל 38."
לא ברור איך אחרי הפסיק יצא 08 ...9 פדוטוב אלכסנדר:
וגם בעידן טרום המחשבון, לימדו אותנו בבית הספר לא רק את הריבוע, אלא גם את שורש הקובייה בעמוד לחלץ, אבל זו עבודה מייגעת וקפדנית יותר. היה קל יותר להשתמש בטבלאות Bradis או בכלל השקופיות, שכבר למדנו בתיכון.
10 :
אלכסנדר, אתה צודק, אתה יכול לחלץ לתוך טור ושורשים של מעלות גדולות. אני הולך לכתוב רק על איך למצוא את שורש הקובייה.
12 סרגיי ולנטינוביץ':
אליזבת אלכסנדרובנה היקרה! בסוף שנות ה-70 פיתחתי תכנית לחישוב אוטומטי (כלומר, לא על ידי בחירה) של ריבועים. root במכונת ההוספה של פליקס. אם אתה מעוניין, אוכל לשלוח תיאור.
14 ולאד אוס אנגלסטט:
(((חילוץ השורש הריבועי לעמודה)))
האלגוריתם מפושט אם אתה משתמש במערכת המספרים השניה, שנלמדת במדעי המחשב, אך היא שימושית גם במתמטיקה. א.נ. קולמוגורוב ציטט את האלגוריתם הזה בהרצאות פופולריות לתלמידי בית ספר. את המאמר שלו ניתן למצוא ב"אוסף צ'בישב" (כתב עת מתמטי, חפשו קישור אליו באינטרנט)
לרגל האירוע, אמור:
ג' לייבניץ מיהר בעבר עם הרעיון של מעבר ממערכת המספרים העשירית לבינארית בגלל הפשטות והנגישות שלה למתחילים ( תלמידי חטיבת ביניים). אבל לשבור את המסורות הקבועות זה כמו לשבור את שערי המבצר עם המצח: זה אפשרי, אבל זה חסר תועלת. כך מסתבר, כפי לפי הפילוסוף המזוקן שהכי מצוטט בימים עברו: המסורות של כל הדורות המתים מדכאות את תודעת החיים.נתראה בפעם הבאה.
15 ולאד אוס אנגלסשטאט:
)) סרגיי ולנטינוביץ', כן, אני מעוניין ... ((
אני בטוח שזו וריאציה של "פליקס" של השיטה הבבלית לחילוץ הסוס. שיטת ריבועקירובים עוקבים. אלגוריתם זה נדחק על ידי שיטת ניוטון (שיטת טנג'נט)
מעניין אם טעיתי בתחזית?
18 :
2Vlad aus Engelsstadt
כן, האלגוריתם מערכת בינאריתצריך להיות פשוט יותר, זה די ברור.
על שיטת ניוטון. אולי כן, אבל זה עדיין מעניין
20 סיריל:
תודה רבה. אבל האלגוריתם עדיין לא קיים, לא ידוע מאיפה הוא הגיע, אבל התוצאה נכונה. תודה רבה! חיפשתי את זה כבר הרבה זמן
21 אלכסנדר:
ואיך תלך חילוץ השורש מהמספר, שם הקבוצה השנייה משמאל לימין קטנה מאוד? לדוגמה, המספר המועדף על כולם הוא 4 398 046 511 104. לאחר החיסור הראשון, אי אפשר להמשיך הכל לפי האלגוריתם. אתה יכול להסביר בבקשה.
22 אלכסיי:
כן, אני יודע ככה. אני זוכר שקראתי את זה בספר "אלגברה" באיזו מהדורה ישנה. ואז, באנלוגיה, הוא עצמו הסיק כיצד לחלץ את שורש הקובייה באותו טור. אבל זה כבר יותר מסובך שם: כל ספרה כבר לא נקבעת באחד (כמו לריבוע), אלא בשתי חיסורים, וגם שם בכל פעם צריך להכפיל מספרים ארוכים.
23 ארטם:
ישנן שגיאות הקלדה בדוגמה של נטילת השורש הריבועי של 56789.321. קבוצת המספרים 32 מוקצית פעמיים למספרים 145 ו-243, במספר 2388025 יש להחליף את ה-8 השני ב-3. לאחר מכן יש לכתוב את החיסור האחרון באופן הבא: 2431000 - 2383025 = 47975.
בנוסף, כאשר מחלקים את היתרה בערך הכפול של התשובה (למעט פסיק), נקבל מספר נוסף של ספרות משמעותיות (47975/(2*238305) = 0.100658819...), שיש להוסיף לתשובה (√56789.321 = 238.305… = 238.305100659).24 סרגיי:
כנראה שהאלגוריתם הגיע מספרו של אייזק ניוטון "אריתמטיקה כללית או ספר על סינתזה וניתוח אריתמטיים". הנה קטע מתוכו:
על שורשים
כדי לחלץ את השורש הריבועי ממספר, קודם כל, כדאי לשים נקודה מעל המספרים שלו דרך אחד, החל מיחידות. לאחר מכן יש צורך לכתוב במנה או בשורש את המספר שהריבוע שלו שווה או הקרוב בפגם למספרים או לדמות שלפני הנקודה הראשונה. לאחר הפחתת הריבוע הזה, שאר הספרות של השורש יימצאו ברציפות על ידי חלוקת השארית פי שניים בערך של החלק שכבר חולץ של השורש והפחתת כל פעם משאר הריבוע את הספרה האחרונה שנמצאה והמכפלה שלה פי עשרה על ידי המחלק הנקרא.
25 סרגיי:
תקן את כותרת הספר "חשבון כללי או ספר על סינתזה וניתוח אריתמטיים"
26 אלכסנדר:
תודה על התוכן המעניין. אבל השיטה הזו נראית לי קצת יותר מסובכת ממה שהיא הכרחית, למשל, לתלמיד בית ספר. אני משתמש בשיטה פשוטה יותר המבוססת על הרחבה של פונקציה ריבועית באמצעות שתי הנגזרות הראשונות. הנוסחה שלו היא:
sqrt(x)=A1+A2-A3 שבו
A1 הוא מספר שלם שהריבוע שלו הכי קרוב ל-x;
A2 הוא שבר, במונה x-A1, במכנה 2*A1.
עבור רוב המספרים שנתקלים בקורס בית הספר, זה מספיק כדי לקבל תוצאה מדויקת עד המאה.
אם אתה צריך תוצאה מדויקת יותר, קח
A3 הוא שבר, במונה A2 בריבוע, במכנה 2 * A1 + 1.
כמובן שצריך טבלה של ריבועים של מספרים שלמים כדי ליישם, אבל זו לא בעיה בבית הספר. לזכור את הנוסחה הזו היא די פשוטה.
עם זאת, זה מבלבל אותי שקיבלתי A3 באופן אמפירי כתוצאה מניסויים עם גיליון אלקטרוני ולא ממש מבין למה למונח הזה יש צורה כזו. אולי תוכל לייעץ?27 אלכסנדר:
כן, גם אני שקלתי את השיקולים האלה, אבל השטן נמצא בפרטים. אתה כותב:
"כי a2 ו-b כבר נבדלים די הרבה." השאלה היא בדיוק כמה מעט.
הנוסחה הזו עובדת היטב על המספרים של העשר השניות והרבה יותר גרוע (לא עד מאיות, רק עד עשיריות) על המספרים של העשירייה הראשונה. למה זה קורה כבר קשה להבין בלי לערב נגזרות.28 אלכסנדר:
אבהיר היכן אני רואה את היתרון של הנוסחה שהצעתי. זה לא מצריך פיצול לא לגמרי טבעי של מספרים לזוגות של ספרות, שכפי שמראה הניסיון, מבוצע לעתים קרובות עם שגיאות. המשמעות שלו ברורה, אבל עבור אדם שמכיר את הניתוח היא טריוויאלית. עובד היטב על מספרים מ-100 עד 1000, הנפוץ ביותר בבית הספר.
29 אלכסנדר:
אגב, חפרתי קצת ומצאתי את הביטוי המדויק של A3 בנוסחה שלי:
A3= A22 /2(A1+A2)30 וסיל שטריז'אק:
כיום, שימוש בכל מקום מדעי המחשב, השאלה של חילוץ סוס מרובע ממספר מנקודת מבט מעשית לא שווה את זה. אבל עבור אוהבי מתמטיקה, כמובן, הם מעניינים אפשרויות שונותפתרון לבעיה זו. בְּ מערכת של ביהסשיטת החישוב ללא מעורבות של כספים נוספים צריכה להתבצע בשורה אחת עם כפל וחילוק בעמודה. אלגוריתם החישוב צריך להיות לא רק בעל פה, אלא גם מובן. השיטה הקלאסית המסופקת בחומר זה לדיון עם חשיפת המהות תואמת באופן מלא את הקריטריונים לעיל.
חסרון משמעותי של השיטה שהציע אלכסנדר הוא השימוש בטבלה של ריבועים של מספרים שלמים. באיזה רוב של המספרים שנתקלו בקורס בית הספר הוא מוגבל, המחבר שותק. לגבי הנוסחה, בסך הכל היא מרשימה אותי לאור הדיוק הגבוה יחסית של החישוב.31 אלכסנדר:
עבור 30 vasil stryzhak
לא פספסתי כלום. ההנחה היא שטבלת הריבועים היא עד 1000. בזמן שלי בבית הספר פשוט שיננו אותה בבית הספר וזה היה בכל ספרי הלימוד במתמטיקה. קראתי במפורש למרווח הזה.
לגבי טכנולוגיית מחשבים, היא לא משמשת בעיקר בשיעורי מתמטיקה, אלא אם ישנו נושא מיוחד של שימוש במחשבון. מחשבונים מובנים כעת במכשירים האסורים לשימוש בבחינה.32 vasil stryzhak:
אלכסנדר, תודה על ההבהרה! חשבתי שלשיטה המוצעת יש צורך תיאורטית לזכור או להשתמש בטבלת הריבועים של כל המספרים הדו-ספרתיים. ואז למספרים רדיקליים שאינם נכללים במרווח בין 100 ל-10000, ניתן להשתמש השיטה להגדיל או להקטין אותם במספר ההזמנות הנדרש על ידי הזזת הפסיק.
33 vasil stryzhak:
39 אלכסנדר:
התוכנית הראשונה שלי בשפה "YAMB" במכונה הסובייטית "ISKRA 555" נכתבה כדי לחלץ את השורש הריבועי ממספר על פי החילוץ לאלגוריתם של עמודות! ועכשיו שכחתי איך לחלץ את זה ידנית!
כאשר פותרים בעיות שונות מהקורס של מתמטיקה ופיזיקה, תלמידים וסטודנטים מתמודדים לעתים קרובות עם הצורך לחלץ שורשים מהתואר השני, השלישי או ה-n'. כמובן, במאה טכנולוגיות מידעזה לא יהיה קשה לפתור בעיה כזו באמצעות מחשבון. עם זאת, ישנם מצבים בהם אי אפשר להשתמש בעוזר אלקטרוני.
למשל, אסור להביא אלקטרוניקה להרבה בחינות. בנוסף, ייתכן שהמחשבון לא יהיה בהישג יד. במקרים כאלה, כדאי לדעת לפחות כמה שיטות לחישוב ידני של רדיקלים.
אחת הדרכים הפשוטות ביותר לחשב שורשים היא באמצעות שולחן מיוחד. מה זה ואיך להשתמש בו נכון?
באמצעות הטבלה, ניתן למצוא את הריבוע של כל מספר מ-10 עד 99. במקביל, שורות הטבלה מכילות ערכי עשרות, והעמודות מכילות ערכי יחידה. התא בצומת של שורה ועמודה מכיל ריבוע מספר דו ספרתי. כדי לחשב את הריבוע של 63 צריך למצוא שורה עם ערך 6 ועמודה עם ערך 3. בצומת נמצא תא עם המספר 3969.
מכיוון שחילוץ השורש הוא הפעולה ההפוכה של הריבוע, כדי לבצע פעולה זו, עליך לעשות את ההיפך: תחילה מצא את התא עם המספר שאת הרדיקל שלו אתה רוצה לחשב, ואז קבע את התשובה מערכי העמודה והשורה. כדוגמה, שקול את החישוב של השורש הריבועי של 169.
נמצא תא עם המספר הזה בטבלה, אופקית קובעים את העשרות - 1, אנכית נמצא את האחדים - 3. תשובה: √169 = 13.
באופן דומה, ניתן לחשב את השורשים של המדרגה המעוקבת וה-n-ה, באמצעות הטבלאות המתאימות.
היתרון של השיטה הוא בפשטותה ובהיעדר חישובים נוספים. החסרונות ברורים: השיטה יכולה לשמש רק לטווח מוגבל של מספרים (המספר שעבורו נמצא השורש חייב להיות בין 100 ל-9801). בנוסף, זה לא יעבוד אם המספר הנתון לא נמצא בטבלה.
פירוק לגורמים ראשוניים
אם טבלת הריבועים אינה בהישג יד או בעזרתה אי אפשר היה למצוא את השורש, אתה יכול לנסות לפרק את המספר מתחת לשורש לגורמים ראשוניים. גורמים ראשוניים הם אלה שניתן לחלק לחלוטין (ללא שארית) רק בעצמם או באחד. דוגמאות יהיו 2, 3, 5, 7, 11, 13 וכו'.
שקול את חישוב השורש באמצעות הדוגמה √576. בואו נפרק את זה לגורמים פשוטים. נקבל את התוצאה הבאה: √576 = √(2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3∙ 3) = √(2 ∙ 2 ∙ 2)² ∙ √3². בעזרת התכונה העיקרית של השורשים √a² = a, נפטר מהשורשים והריבועים, ולאחר מכן מחשבים את התשובה: 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 = 24.
מה לעשות אם לאחד מהגורמים אין זוג משלו? לדוגמה, שקול את החישוב של √54. לאחר הפירוק, נקבל את התוצאה הטופס הבא: √54 = √(2 ∙ 3∙ 3 ∙ 3) = √3² ∙ √(2 ∙ 3) = 3√6. את החלק שאינו ניתן להסרה ניתן להשאיר מתחת לשורש. עבור רוב הבעיות בגיאומטריה ובאלגברה, תשובה כזו תיספר כתשובה הסופית. אבל אם יש צורך לחשב ערכים משוערים, אתה יכול להשתמש בשיטות שיידונו בהמשך.
השיטה של הרון
מה לעשות כשצריך לדעת לפחות בערך מה השורש שחולץ (אם אי אפשר לקבל ערך שלם)? תוצאה מהירה ומדויקת למדי מתקבלת על ידי יישום שיטת הרון.. המהות שלו טמונה בשימוש בנוסחה משוערת:
√R = √a + (R - a) / 2√a,
כאשר R הוא המספר שיש לחשב את השורש שלו, a הוא המספר הקרוב ביותר שערך השורש שלו ידוע.
בואו נראה איך השיטה עובדת בפועל ונעריך עד כמה היא מדויקת. בוא נחשב למה שווה √111. המספר הקרוב ביותר ל-111, ששורשו ידוע, הוא 121. לפיכך, R = 111, a = 121. החלף את הערכים בנוסחה:
√111 = √121 + (111 - 121) / 2 ∙ √121 = 11 - 10 / 22 ≈ 10,55.
כעת נבדוק את דיוק השיטה:
10.55² = 111.3025.
השגיאה של השיטה הייתה בערך 0.3. אם יש צורך לשפר את הדיוק של השיטה, תוכל לחזור על השלבים שתוארו קודם לכן:
√111 = √111,3025 + (111 - 111,3025) / 2 ∙ √111,3025 = 10,55 - 0,3025 / 21,1 ≈ 10,536.
בואו נבדוק את הדיוק של החישוב:
10.536² = 111.0073.
לאחר שימוש חוזרשגיאת נוסחה הפכה קטנה מאוד.
חישוב השורש לפי חלוקה לעמודה
שיטה זו למציאת ערך השורש הריבועי היא קצת יותר מסובכת מהקודמות. עם זאת, הוא המדויק ביותר מבין שיטות החישוב האחרות ללא מחשבון..
נניח שצריך למצוא את השורש הריבועי בדיוק של 4 מקומות עשרוניים. בואו ננתח את אלגוריתם החישוב באמצעות הדוגמה של מספר שרירותי 1308.1912.
- חלקו את גיליון הנייר לשני חלקים עם קו אנכי, ולאחר מכן ציירו קו נוסף ממנו ימינה, מעט מתחת לקצה העליון. אנו כותבים את המספר בצד שמאל, מחלקים אותו לקבוצות של 2 ספרות, נעים ימינה ו צד שמאלמתוך פסיק. הספרה הראשונה משמאל יכולה להיות ללא זוג. אם חסר הסימן בצד ימין של המספר, יש להוסיף 0. במקרה שלנו נקבל 13 08.19 12.
- בואו לבחור הכי הרבה מספר גדול, שהריבוע שלו יהיה קטן או שווה לקבוצת הספרות הראשונה. במקרה שלנו זה 3. בוא נכתוב את זה בצד ימין למעלה; 3 היא הספרה הראשונה של התוצאה. בצד ימין למטה, אנו מציינים 3 × 3 = 9; זה יהיה נחוץ עבור חישובים הבאים. נחסר 9 מ-13 בעמודה, נקבל את השארית 4.
- בואו נוסיף את צמד המספרים הבא לשאר 4; אנחנו מקבלים 408.
- הכפל את המספר בצד ימין למעלה ב-2 וכתוב אותו בצד ימין למטה, הוסיפו לו _ x _ =. נקבל 6_ x _ =.
- במקום מקפים, אתה צריך להחליף את אותו מספר, קטן או שווה ל-408. נקבל 66 × 6 \u003d 396. בוא נכתוב 6 בצד ימין למעלה, מכיוון שזו הספרה השנייה של התוצאה. נחסר 396 מ-408, נקבל 12.
- בואו נחזור על שלבים 3-6. מכיוון שהמספרים הנישאים כלפי מטה נמצאים בחלק השברי של המספר, יש צורך לשים נקודה עשרונית בחלק העליון הימני של אחרי 6. בוא נכתוב את התוצאה הכפולה עם מקפים: 72_ x _ =. מספר מתאים יהיה 1: 721 × 1 = 721. בוא נרשום אותו כתשובה. בואו נחסר 1219 - 721 = 498.
- הבה נבצע את רצף הפעולות שניתנו בפסקה הקודמת שלוש פעמים נוספות כדי לקבל את המספר הדרוש של מקומות עשרוניים. אם אין מספיק סימנים לחישובים נוספים, יש להוסיף שני אפסים למספר הנוכחי משמאל.
כתוצאה מכך, אנו מקבלים את התשובה: √1308.1912 ≈ 36.1689. אם תבדקו את הפעולה עם מחשבון, תוכלו לוודא שכל התווים נקבעו נכון.
חישוב חלקי של ערך השורש הריבועי
השיטה מדוייקת ביותר. בנוסף, זה די מובן ואינו מצריך שינון נוסחאות או אלגוריתם מורכב של פעולות, שכן מהות השיטה היא בחירת התוצאה הנכונה.
הבה נחלץ את השורש מהמספר 781. הבה נשקול בפירוט את רצף הפעולות.
- גלה איזו ספרה בערך השורש הריבועי תהיה הגבוהה ביותר. לשם כך, נרשום בריבוע 0, 10, 100, 1000 וכו' ונברר בין מי מהם נמצא מספר השורש. אנחנו מקבלים את ה-10²< 781 < 100², т. е. старшим разрядом будут десятки.
- בואו ניקח את הערך של עשרות. לשם כך, נעלה בתורות בחזקת 10, 20, ..., 90, עד שנקבל מספר גדול מ-781. במקרה שלנו, נקבל 10² = 100, 20² = 400, 30² = 900. הערך של התוצאה n יהיה בתוך 20< n <30.
- בדומה לשלב הקודם, הערך של ספרת היחידות נבחר. אנו לסירוגין בריבוע 21.22, ..., 29: 21² = 441, 22² = 484, 23² = 529, 24² = 576, 25² = 625, 26² = 676, 27² = 729, 28.² נקבל את ה-78< n < 28.
- כל ספרה עוקבת (עשיריות, מאיות וכו') מחושבת באותו אופן כפי שמוצג לעיל. חישובים מתבצעים עד להשגת הדיוק הנדרש.
שורש נהחזקה של מספר טבעי אהמספר נקרא נשהכוח שלו שווה א. השורש מסומן באופן הבא: . הסמל √ נקרא סימן שורשאוֹ סימן של הרדיקל, מספר א - מספר שורש, נ - מעריך שורש.
הפעולה שבה נמצא השורש של תואר נתון נקראת מיצוי שורשים.
שכן, לפי הגדרת מושג השורש נתואר ה'
לאחר מכן מיצוי שורשים- הפעולה, ההפך מאקספונציה, שבעזרתה, לפי המדרגה הנתונה ולפי המעריך הנתון, נמצא בסיס התואר.
שורש ריבועי
השורש הריבועי של מספר אהוא המספר שהריבוע שלו א.
הפעולה שלפיה מחושב השורש הריבועי נקראת נטילת השורש הריבועי.
חילוץ השורש הריבועי- הפעולה ההפוכה של ריבוע (או העלאת מספר בחזקת שנייה). בעת ריבוע של מספר, אתה צריך למצוא את הריבוע שלו. כשחולצים את השורש הריבועי, הריבוע של המספר ידוע, נדרש למצוא ממנו את המספר עצמו.
לכן, כדי לבדוק את נכונות הפעולה שננקטה, ניתן להעלות את השורש המצוי למעלה השנייה, ואם המעלה שווה למספר השורש, אז השורש נמצא נכון.
שקול לחלץ את השורש הריבועי ואת האימות שלו עם דוגמה. אנו מחשבים או (מעריך השורש עם הערך 2 לרוב לא נכתב, מכיוון ש-2 הוא המעריך הקטן ביותר ויש לזכור שאם אין מעריך מעל סימן השורש, אז המעריך 2 מרומז), לשם כך אנו צריכים כדי למצוא את המספר, כאשר מועלים לשנייה המעלה תהיה 49. ברור שמספר זה הוא 7, שכן
7 7 = 7 2 = 49.
חישוב השורש הריבועי
אם המספר הנתון הוא 100 או פחות, אזי ניתן לחשב את השורש הריבועי שלו באמצעות לוח הכפל. לדוגמה, השורש הריבועי של 25 הוא 5 כי 5 x 5 = 25.
כעת שקול דרך למצוא את השורש הריבועי של מספר כלשהו מבלי להשתמש במחשבון. לדוגמה, ניקח את המספר 4489 ונתחיל לחשב שלב אחר שלב.
- הבה נקבע מאילו ספרות השורש הרצוי צריך להיות מורכב. מאז 10 2 \u003d 10 10 \u003d 100, ו- 100 2 \u003d 100 100 \u003d 10000, מתברר שהשורש הרצוי חייב להיות גדול מ-10 ופחות מ-100, כלומר. מורכבים מעשרות ויחידות.
- מצא את מספר העשרות של השורש. הכפלה של עשרות מייצרת מאות, המספר שלנו הוא 44, אז השורש חייב להכיל כל כך הרבה עשרות עד שריבוע העשרות נותן בערך 44 מאות. לכן, צריך להיות 6 עשרות בשורש, כי 60 2 \u003d 3600, ו 70 2 \u003d 4900 (זה יותר מדי). כך, גילינו שהשורש שלנו מכיל 6 עשרות וכמה אחדות, שכן הוא נמצא בטווח שבין 60 ל-70.
- לוח הכפל יעזור לקבוע את מספר היחידות בשורש. בהסתכלות על המספר 4489, אנו רואים שהספרה האחרונה בו היא 9. כעת אנו מסתכלים בטבלת הכפל ורואים שניתן לקבל 9 יחידות רק על ידי ריבוע של המספרים 3 ו-7. אז שורש המספר יהיה 63 או 67.
- אנו בודקים את המספרים שקיבלנו 63 ו-67 על ידי ריבוע אותם: 63 2 \u003d 3969, 67 2 \u003d 4489.