מספר הוא הפשטה המשמשת לכימות עצמים. מקורם של מספרים ב חברה פרימיטיביתבקשר עם הצורך של אנשים לספור חפצים. עם הזמן, עם התפתחות המדע, המספר הפך למושג המתמטי החשוב ביותר.
כדי לפתור בעיות ולהוכיח משפטים שונים, צריך להבין מהם סוגי המספרים. סוגי המספרים העיקריים כוללים: מספרים טבעיים, מספרים שלמים, מספר רציונלי, מספרים אמיתיים.
מספרים שלמים- אלו הם המספרים המתקבלים עם ספירה טבעית של עצמים, או ליתר דיוק, עם המספור שלהם ("ראשון", "שני", "שלישי" ...). הרבה מספרים טבעייםמסומן באות הלטינית נ (ניתן לזכור על סמך מילה אנגליתטִבעִי). אפשר לומר זאת נ ={1,2,3,....}
מספרים שלמיםהם מספרים מהקבוצה (0, 1, -1, 2, -2, ....). קבוצה זו מורכבת משלושה חלקים - מספרים טבעיים, מספרים שלמים שליליים (ההפך ממספרים טבעיים) והמספר 0 (אפס). מספרים שלמים מסומנים באות לטינית ז . אפשר לומר זאת ז ={1,2,3,....}.
מספר רציונליהם מספרים שניתן לייצג כשבר, כאשר m הוא מספר שלם ו-n הוא מספר טבעי. האות הלטינית משמשת לציון מספרים רציונליים ש . כל המספרים הטבעיים והשלמים הם רציונליים. כמו כן, כדוגמאות למספרים רציונליים, אתה יכול לתת: ,,.
מספרים אמיתיים (אמיתיים).הם מספרים המשמשים למדידת כמויות רציפות. קבוצת המספרים הממשיים מסומנת באות הלטינית R. מספרים ממשיים כוללים מספרים רציונליים ומספרים אי-רציונליים. מספרים אי-רציונליים הם מספרים הנובעים מעשייה פעולות שונותעם מספרים רציונליים (למשל, חילוץ שורש, חישוב לוגריתמים), אבל הם לא רציונליים. דוגמאות למספרים אי-רציונליים הם ,,.
כל מספר אמיתי יכול להיות מוצג על שורת המספרים:
עבור קבוצות המספרים המפורטות לעיל, ההצהרה הבאה נכונה:
כלומר, קבוצת המספרים הטבעיים נכללת בקבוצת המספרים השלמים. קבוצת המספרים השלמים נכללת בקבוצת המספרים הרציונליים. וקבוצת המספרים הרציונליים כלולה בקבוצת המספרים הממשיים. ניתן להמחיש הצהרה זו באמצעות עיגולי אוילר.
המידע במאמר זה יוצר רעיון כללי של מספרים שלמים. ראשית, ניתנת ההגדרה של מספרים שלמים ומובאות דוגמאות. לאחר מכן, נחשבים המספרים השלמים על קו המספרים, מהם מתברר אילו מספרים נקראים מספרים שלמים חיוביים, ואילו הם מספרים שלמים שליליים. לאחר מכן, מוצג כיצד שינויים בכמויות מתוארים באמצעות מספרים שלמים, ומספרים שלמים נחשבים. מספרים שלילייםמבחינת חובות.
ניווט בדף.
מספרים שלמים - הגדרה ודוגמאות
הַגדָרָה.
מספרים שלמיםהם מספרים טבעיים, המספר אפס, וכן מספרים מנוגדים לטבעיים.
ההגדרה של מספרים שלמים קובעת שכל אחד מהמספרים 1, 2, 3, …, המספר 0, וגם כל אחד מהמספרים −1, −2, −3, … הוא מספר שלם. עכשיו אנחנו יכולים להביא בקלות דוגמאות של מספרים שלמים. לדוגמה, המספר 38 הוא מספר שלם, המספר 70040 הוא גם מספר שלם, אפס הוא מספר שלם (זכור שאפס אינו מספר טבעי, אפס הוא מספר שלם), המספרים −999 , −1 , −8 934 832 הם גם דוגמאות למספרים שלמים.
נוח לייצג את כל המספרים השלמים כרצף של מספרים שלמים שיש לו התצוגה הבאה: 0, ±1, ±2, ±3, … ניתן לכתוב רצף של מספרים שלמים גם כך: …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …
מהגדרת המספרים השלמים עולה שקבוצת המספרים הטבעיים היא תת-קבוצה של קבוצת המספרים השלמים. לכן, כל מספר טבעי הוא מספר שלם, אך לא כל מספר שלם הוא מספר טבעי.
מספרים שלמים על קו הקואורדינטות
הַגדָרָה.
מספרים חיוביים שלמיםהם מספרים שלמים שגדולים מאפס.
הַגדָרָה.
מספרים שלילייםהם מספרים שלמים שהם פחות מאפס.
מספרים שלמים חיוביים ושליליים יכולים להיקבע גם על פי מיקומם על קו הקואורדינטות. על קו קואורדינטות אופקי, נקודות שהקואורדינטות שלהן הן מספרים שלמים חיוביים נמצאות מימין למקור. בתורו, נקודות עם קואורדינטות שלמות שליליות ממוקמות משמאל לנקודה O.
ברור שקבוצת כל המספרים השלמים החיוביים היא קבוצת המספרים הטבעיים. בתורו, קבוצת כל המספרים השלמים השליליים היא קבוצת כל המספרים המנוגדים למספרים טבעיים.
בנפרד, אנו מפנים את תשומת לבך לעובדה שאנו יכולים לקרוא בבטחה לכל מספר טבעי כמספר שלם, ואיננו יכולים לקרוא לכל מספר שלם מספר טבעי. אנחנו יכולים לקרוא לטבע רק כל שלם מספר חיובי, כי מספרים שלמים שליליים ואפס אינם מספרים טבעיים.
מספר שלם לא חיובי ומספר שלם לא שלילי
הבה ניתן הגדרות של מספרים שלמים לא חיוביים ושל מספרים שלמים לא שליליים.
הַגדָרָה.
כל המספרים השלמים החיוביים יחד עם אפס נקראים מספרים שלמים לא שליליים.
הַגדָרָה.
מספרים שלמים לא חיובייםכולם מספרים שלמים שליליים יחד עם המספר 0.
במילים אחרות, מספר שלם לא שלילי הוא מספר שלם שגדול או שווה לאפס, ומספר שלם לא חיובי הוא מספר שלם הקטן או שווה לאפס.
דוגמאות למספרים שלמים לא חיוביים הם המספרים -511, -10 030, 0, -2, וכדוגמאות למספרים שלמים לא שליליים, בוא ניתן את המספרים 45, 506, 0, 900 321.
לרוב, המונחים "מספרים שלמים לא חיוביים" ו"מספרים שלמים לא שליליים" משמשים לקיצור. לדוגמה, במקום הביטוי "המספר a הוא מספר שלם, ו-a גדול מאפס או שווה לאפס", אתה יכול לומר "a הוא מספר שלם לא שלילי".
תיאור של ערכים משתנים באמצעות מספרים שלמים
הגיע הזמן לדבר על מה מיועדים מספרים שלמים.
המטרה העיקרית של מספרים שלמים היא שבעזרתם נוח לתאר את השינוי במספר הפריטים כלשהם. בואו נתמודד עם זה עם דוגמאות.
נניח שיש כמות מסוימת של חלקים במלאי. אם למשל יובאו למחסן עוד 400 חלקים, אז מספר החלקים במחסן יגדל, והמספר 400 מבטא את השינוי הזה בכמות בכיוון חיובי (בכיוון הגידול). אם, למשל, 100 חלקים נלקחים מהמחסן, אז מספר החלקים במחסן יקטן, והמספר 100 יבטא את השינוי בכמות ב. צד שלילי(בכיוון של ירידה). חלקים לא יובאו למחסן, וחלקים לא יילקחו מהמחסן, אז אפשר לדבר על אי משתנה של מספר החלקים (כלומר אפשר לדבר על שינוי אפס בכמות).
בדוגמאות שניתנו, ניתן לתאר את השינוי במספר החלקים באמצעות המספרים השלמים 400, −100 ו-0, בהתאמה. מספר שלם חיובי 400 מציין שינוי חיובי בכמות (עלייה). המספר השלילי השלילי -100 מבטא שינוי שלילי בכמות (ירידה). המספר השלם 0 מציין שהכמות לא השתנתה.
הנוחות בשימוש במספרים שלמים לעומת שימוש במספרים טבעיים היא שאין צורך לציין במפורש האם הכמות עולה או יורדת – המספר השלם קובע את השינוי באופן כמותי, והסימן של המספר השלם מציין את כיוון השינוי.
מספרים שלמים יכולים גם לבטא לא רק שינוי בכמות, אלא גם שינוי בערך כלשהו. בואו נתמודד עם זה באמצעות הדוגמה של שינוי טמפרטורה.
עלייה בטמפרטורה של, למשל, 4 מעלות מתבטאת כמספר שלם חיובי 4 . ירידה בטמפרטורה, למשל, ב-12 מעלות יכולה להיות מתוארת במספר שלם שלילי -12. והאיווריות של הטמפרטורה היא השינוי שלה, שנקבע על ידי המספר השלם 0.
בנפרד, יש לומר על הפרשנות של מספרים שלמים שליליים כסכום החוב. לדוגמה, אם יש לנו 3 תפוחים, אז המספר השלם החיובי 3 מייצג את מספר התפוחים שבבעלותנו. מצד שני, אם אנחנו צריכים לתת 5 תפוחים למישהו, ואין לנו אותם זמינים, אז אפשר לתאר את המצב הזה באמצעות מספר שלם שלילי −5. במקרה זה, אנו "בעלים" -5 תפוחים, סימן המינוס מציין חוב, והמספר 5 מכמת חוב.
ההבנה של מספר שלם שלילי כחוב מאפשרת, למשל, להצדיק את הכלל להוספת מספרים שלמים שליליים. בואו ניקח דוגמה. אם מישהו חייב 2 תפוחים לאדם אחד ותפוח אחד למשנהו, אז החוב הכולל הוא 2+1=3 תפוחים, כך −2+(−1)=−3 .
בִּיבּלִיוֹגְרָפִיָה.
- Vilenkin N.Ya. וכו' מתמטיקה. כיתה ו': ספר לימוד למוסדות חינוך.
נניח שאכילס רץ פי עשר מהר יותר מהצב ונמצא אחריו אלף צעדים. במהלך הזמן שבו אכילס רץ את המרחק הזה, הצב זוחל מאה צעדים באותו כיוון. כשאכילס רץ מאה צעדים, הצב יזחל עוד עשרה צעדים, וכן הלאה. התהליך יימשך ללא הגבלת זמן, אכילס לעולם לא ישיג את הצב.
נימוק זה הפך לזעזוע הגיוני עבור כל הדורות הבאים. אריסטו, דיוגנס, קאנט, הגל, גילברט... כולם, בדרך זו או אחרת, נחשבו לאפוריות של זנון. ההלם היה כל כך חזק ש" ... דיונים נמשכים בזמן הנוכחי, הקהילה המדעית עדיין לא הצליחה להגיע לדעה משותפת לגבי מהות הפרדוקסים ... ניתוח מתמטי, תורת הקבוצות, גישות פיזיקליות ופילוסופיות חדשות; אף אחד מהם לא הפך לפתרון מקובל לבעיה..."[ויקיפדיה", האפוריות של זינו "]. כולם מבינים שמטעים אותם, אבל אף אחד לא מבין מהי ההונאה.
מנקודת המבט של המתמטיקה, זנון באפוריה שלו הדגים בבירור את המעבר מהערך ל. מעבר זה מרמז על יישום במקום קבועים. עד כמה שהבנתי, המנגנון המתמטי להחלת יחידות מדידה משתנות או שעדיין לא פותח, או שהוא לא הוחל על האפוריה של זנון. יישום ההיגיון הרגיל שלנו מוביל אותנו למלכודת. אנו, על ידי האינרציה של החשיבה, מיישמים יחידות זמן קבועות על ההדדיות. מנקודת מבט פיזית, זה נראה כאילו הזמן מאט עד לעצירה מוחלטת ברגע שבו אכילס משיג את הצב. אם הזמן עוצר, אכילס כבר לא יכול לעקוף את הצב.
אם נהפוך את ההיגיון אליו אנו רגילים, הכל יסתדר. אכילס רץ במהירות קבועה. כל קטע עוקב של הנתיב שלו קצר פי עשרה מהקודם. בהתאם לכך, הזמן המושקע בהתגברות עליו קטן פי עשרה מהקודם. אם ניישם את המושג "אינסוף" במצב זה, אז נכון יהיה לומר "אכילס יעקוף את הצב במהירות אינסופית".
איך להימנע מהמלכודת ההגיונית הזו? הישאר ביחידות זמן קבועות ואל תעבור לערכים הדדיים. בשפתו של זינו, זה נראה כך:
בזמן שלוקח לאכילס לרוץ אלף צעדים, הצב זוחל מאה צעדים באותו כיוון. במהלך מרווח הזמן הבא, שווה לראשון, אכילס ירוץ עוד אלף צעדים, והצב יזחל מאה צעדים. כעת אכילס מקדים את הצב בשמונה מאות צעדים.
גישה זו מתארת בצורה נאותה את המציאות ללא כל פרדוקסים לוגיים. אבל זה לא פתרון מלאבעיות. האמירה של איינשטיין על הבלתי עבירות של מהירות האור דומה מאוד לאפוריה של זנון "אכילס והצב". טרם למדנו, לחשוב מחדש ולפתור את הבעיה הזו. ואת הפתרון יש לחפש לא במספרים גדולים לאין שיעור, אלא ביחידות מדידה.
אפוריה מעניינת נוספת של זינו מספרת על חץ מעופף:
חץ מעופף הוא ללא תנועה, שכן בכל רגע של זמן הוא במנוחה, ומכיוון שהוא במנוחה בכל רגע של זמן, הוא תמיד במנוחה.
באפוריה זו מתגברים על הפרדוקס הלוגי בפשטות רבה - מספיק להבהיר שבכל רגע של זמן החץ המעופף נח בנקודות שונות במרחב, שהיא, למעשה, תנועה. יש כאן נקודה נוספת שצריך לציין. מתצלום אחד של מכונית על הכביש, אי אפשר לקבוע לא את עובדת תנועתה ולא את המרחק אליה. כדי לקבוע את עובדת תנועת המכונית, יש צורך בשני תצלומים שצולמו מאותה נקודה בנקודות זמן שונות, אך לא ניתן להשתמש בהם כדי לקבוע את המרחק. כדי לקבוע את המרחק למכונית, אתה צריך שני תמונות שצולמו מנקודות שונות בחלל בו זמנית, אבל אתה לא יכול לקבוע את עובדת התנועה מהם (מטבע הדברים, אתה עדיין צריך נתונים נוספים לחישובים, טריגונומטריה תעזור לך). במה אני רוצה להתמקד תשומת - לב מיוחדת, הוא ששתי נקודות זמן ושתי נקודות במרחב הן דברים שונים שאסור לבלבל, כי הם מספקים הזדמנויות שונות לחקר.
יום רביעי, 4 ביולי, 2018
טוב מאוד ההבדלים בין קבוצה למולטי-ערכה מתוארים בויקיפדיה. אנחנו מסתכלים.
כפי שניתן לראות, "לסט לא יכולים להיות שני אלמנטים זהים", אבל אם יש אלמנטים זהים בסט, קבוצה כזו נקראת "רב-ערכה". יצורים סבירים לעולם לא יבינו היגיון אבסורד שכזה. זו הרמה תוכים מדבריםוקופים מאומנים, שבהם המוח נעדר מהמילה "לגמרי". מתמטיקאים פועלים כמאמנים רגילים, ומטיפים לנו את הרעיונות האבסורדיים שלהם.
פעם, המהנדסים שבנו את הגשר היו בסירה מתחת לגשר במהלך בדיקות הגשר. אם הגשר קרס, המהנדס הבינוני מת מתחת להריסות יצירתו. אם הגשר היה יכול לעמוד בעומס, המהנדס המוכשר בנה גשרים אחרים.
לא משנה איך מתמטיקאים מסתתרים מאחורי המשפט "תזכור לי, אני בבית", או ליתר דיוק "מתמטיקה חוקרת מושגים מופשטים", יש חבל טבור אחד שמקשר אותם באופן בלתי נפרד עם המציאות. חבל הטבור הזה הוא כסף. הבה ניישם את תורת הקבוצות המתמטית על המתמטיקאים עצמם.
למדנו מתמטיקה טוב מאוד ועכשיו אנחנו יושבים ליד הקופה ומשלמים משכורות. כאן בא אלינו מתמטיקאי בשביל הכסף שלו. אנחנו סופרים לו את כל הסכום ופורסים אותו על שולחננו לערימות שונות, שבהן שמים שטרות מאותה ערך. אחר כך אנחנו לוקחים שטר אחד מכל ערימה ונותנים למתמטיקאי את "ערכת השכר המתמטית" שלו. אנו מסבירים את המתמטיקה שהוא יקבל את שאר השטרות רק כאשר יוכיח שהקבוצה ללא יסודות זהים אינה שווה לקבוצה עם יסודות זהים. כאן מתחיל הכיף.
קודם כל, ההיגיון של הצירים יעבוד: "אתה יכול להחיל את זה על אחרים, אבל לא עליי!" יתרה מכך, יתחילו הבטחות שישנם מספרי שטרות שונים על שטרות מאותה ערכה, מה שאומר שהם לא יכולים להיחשב אלמנטים זהים. ובכן, אנחנו סופרים את השכר במטבעות - אין מספרים על המטבעות. כאן המתמטיקאי יתחיל להיזכר בעוויתי בפיזיקה: על מטבעות שונים יש כמות שונהלכלוך, מבנה גבישי וסידור אטומי של כל מטבע הוא ייחודי...
ועכשיו יש לי הכי הרבה עניין שאל: היכן נמצא הגבול שמעבר לו הופכים אלמנטים של קבוצה למרכיבים של קבוצה ולהיפך? קו כזה לא קיים - הכל נקבע על ידי שמאנים, המדע כאן אפילו לא קרוב.
תסתכל כאן. אנו בוחרים אצטדיוני כדורגל עם אותו שטח מגרש. שטח השדות זהה, מה שאומר שיש לנו ריבוי ערכות. אבל אם ניקח בחשבון את השמות של אותם אצטדיונים, נקבל הרבה, כי השמות שונים. כפי שאתה יכול לראות, אותה קבוצה של אלמנטים היא גם קבוצה וגם קבוצה מרובת בו-זמנית. כמה נכון? והנה המתמטיקאי-שמאן-שולר מוציא אס מנצח מהשרוול שלו ומתחיל לספר לנו או על סט או על רב-סט. בכל מקרה הוא ישכנע אותנו שהוא צודק.
כדי להבין כיצד שמאנים מודרניים פועלים עם תורת הקבוצות, קושרים אותה למציאות, מספיק לענות על שאלה אחת: במה שונים האלמנטים של קבוצה אחת מהאלמנטים של קבוצה אחרת? אני אראה לך, בלי שום "מתקבל על הדעת כמכלול אחד" או "אינו מתקבל על הדעת כמכלול אחד".
יום ראשון, 18 במרץ, 2018
סכום הספרות של מספר הוא ריקוד של שמאנים עם טמבורין, שאין לו שום קשר למתמטיקה. כן, בשיעורי מתמטיקה מלמדים אותנו למצוא את סכום הספרות של מספר ולהשתמש בו, אבל הם שמאנים בשביל זה, כדי ללמד את צאצאיהם את כישוריהם וחוכמתם, אחרת השמאנים פשוט ימותו.
אתה צריך הוכחה? פתח את ויקיפדיה ונסה למצוא את הדף "סכום ספרות של מספר". היא לא קיימת. אין נוסחה במתמטיקה לפיה ניתן למצוא את סכום הספרות של כל מספר. הרי מספרים הם סמלים גרפיים איתם אנו כותבים מספרים, ובשפת המתמטיקה המשימה נשמעת כך: "מצא את סכום הסמלים הגרפיים המייצגים מספר כלשהו". מתמטיקאים לא יכולים לפתור בעיה זו, אבל שמאנים יכולים לעשות זאת באופן יסודי.
בואו נבין מה ואיך אנחנו עושים כדי למצוא את סכום הספרות של מספר נתון. וכך, נניח שיש לנו את המספר 12345. מה צריך לעשות כדי למצוא את סכום הספרות של המספר הזה? הבה נשקול את כל השלבים לפי הסדר.
1. רשמו את המספר על פיסת נייר. מה עשינו? המרנו את המספר לסמל גרפי של מספר. זו לא פעולה מתמטית.
2. חתכנו תמונה אחת שהתקבלה למספר תמונות המכילות מספרים נפרדים. חיתוך תמונה אינו פעולה מתמטית.
3. המר תווים גרפיים בודדים למספרים. זו לא פעולה מתמטית.
4. חבר את המספרים המתקבלים. עכשיו זה מתמטיקה.
סכום הספרות של המספר 12345 הוא 15. אלו הם "קורסי הגזירה והתפירה" משמאנים שבהם השתמשו מתמטיקאים. אבל זה לא הכל.
מנקודת מבט של מתמטיקה, אין זה משנה באיזו מערכת מספרים נכתוב את המספר. לכן, במערכות מספרים שונות, סכום הספרות של אותו מספר יהיה שונה. במתמטיקה, מערכת המספרים מצוינת כמנוי מימין למספר. מ מספר גדול 12345 אני לא רוצה לשטות בראש, קחו בחשבון את המספר 26 מהמאמר על. בוא נכתוב את המספר הזה במערכות מספרים בינאריות, אוקטליות, עשרוניות והקסדצימליות. לא נשקול כל שלב במיקרוסקופ, כבר עשינו את זה. בואו נסתכל על התוצאה.
כפי שניתן לראות, במערכות מספרים שונות, סכום הספרות של אותו מספר שונה. לתוצאה הזו אין שום קשר למתמטיקה. זה כמו למצוא את השטח של מלבן במטרים ובסנטימטרים ייתן לך תוצאות שונות לחלוטין.
אפס בכל מערכות המספרים נראה אותו הדבר ואין לו סכום ספרות. זוהי טענה נוספת בעד העובדה ש. שאלה למתמטיקאים: איך זה מסומן במתמטיקה מה שאינו מספר? מה, עבור מתמטיקאים, לא קיים דבר מלבד מספרים? עבור שמאנים, אני יכול לאפשר זאת, אבל עבור מדענים, לא. המציאות היא לא רק מספרים.
יש לראות בתוצאה המתקבלת כהוכחה לכך שמערכות מספרים הן יחידות מדידה של מספרים. אחרי הכל, אנחנו לא יכולים להשוות מספרים עם יחידות מדידה שונות. אם אותן פעולות עם יחידות מדידה שונות של אותה כמות מביאות לתוצאות שונות לאחר השוואה ביניהן, אז אין לזה שום קשר למתמטיקה.
מהי מתמטיקה אמיתית? זאת כאשר התוצאה של פעולה מתמטית אינה תלויה בערך המספר, יחידת המידה בה משתמשים ובמי שמבצע פעולה זו.
אאוץ! זה לא שירות הנשים?
- אישה צעירה! זוהי מעבדה ללימוד קדושת הנשמות הבלתי מוגבלת עם עליית השמים! נימבוס למעלה וחץ למעלה. איזה עוד שירותים?
נקבה... הילה למעלה וחץ למטה הוא זכר.
אם יש לך יצירת אומנות עיצובית כזו מהבהבת לנגד עיניך מספר פעמים ביום,
אז זה לא מפתיע שפתאום אתה מוצא אייקון מוזר במכונית שלך:
באופן אישי, אני עושה מאמץ על עצמי לראות מינוס ארבע מעלות באדם עושה קקי (תמונה אחת) (הרכב של מספר תמונות: סימן מינוס, מספר ארבע, ציון מעלות). ואני לא חושב שהבחורה הזאת טיפשה, לא מי יודע פיזיקה. יש לה פשוט סטריאוטיפ קשת של תפיסה של תמונות גרפיות. ומתמטיקאים מלמדים אותנו את זה כל הזמן. הנה דוגמה.
1A אינו "מינוס ארבע מעלות" או "א אחת". זה "אדם עושה קקי" או המספר "עשרים ושש" במערכת המספרים ההקסדצימליים. אותם אנשים שעובדים כל הזמן במערכת המספרים הזו תופסים אוטומטית את המספר והאות כסמל גרפי אחד.
תכונות אלגבריות
קישורים
קרן ויקימדיה. 2010 .
- מנשק שוטרים
- דברים שלמים
ראה מה זה "מספרים שלמים" במילונים אחרים:
מספרים שלמים גאוסים- (מספרים גאוסים, מספרים שלמים מרוכבים) אלו הם מספרים מרוכבים שבהם גם החלק הממשי וגם החלק הדמיוני הם מספרים שלמים. הוצג על ידי גאוס בשנת 1825. תוכן 1 הגדרה ופעולות 2 תורת החלוקה ... ויקיפדיה
מלא מספרים- במכניקת הקוונטים ובסטטיסטיקת הקוונטים, מספרים המציינים את מידת המילוי הקוונטי. קובע ח tsami מכאני קוונטית. מערכות של חלקיקים זהים רבים. למערכות h c עם ספין חצי שלם (פרמיונים) Ch. יכול לקחת רק שני ערכים... אנציקלופדיה פיזית
מספרי צוקרמן- מספרי צוקרמן הם מספרים טבעיים כאלה שמתחלקים במכפלת הספרות שלהם. דוגמה 212 היא מספר צוקרמן, שכן ו. רצף כל המספרים השלמים מ-1 עד 9 הם מספרי צוקרמן. כל המספרים כולל אפס אינם ... ... ויקיפדיה
מספרים אלגבריים שלמים- מספרים אלגבריים שלמים נקראים שורשים מורכבים (ובפרט ממשיים) של פולינומים עם מקדמים שלמים ועם מקדם מוביל השווה לאחד. ביחס לחיבור וכפל של מספרים מרוכבים, מספרים שלמים אלגבריים ... ... ויקיפדיה
מספרים מרוכבים שלמים- מספרים גאוסים, מספרים מהצורה a + bi, כאשר a ו-b הם מספרים שלמים (לדוגמה, 4 7i). הם מיוצגים גיאומטרית על ידי נקודות של המישור המורכב בעלות קואורדינטות שלמות. ג' עד ח הוצגו על ידי ק' גאוס בשנת 1831 בקשר למחקר על התיאוריה ... ...
מספרי קאלן- במתמטיקה, מספרי קאלן הם מספרים טבעיים בצורה n 2n + 1 (כתוב Cn). מספרי קאלן נחקרו לראשונה על ידי ג'יימס קאלן בשנת 1905. מספרי קאלן הם סוג מיוחדמספרי פרוט. נכסים בשנת 1976, כריסטופר הולי (כריסטופר ... ... ויקיפדיה
מספרי נקודות קבועות- פורמט מספרים בנקודה קבועה לייצוג מספר ממשי בזיכרון המחשב כמספר שלם. יתרה מכך, המספר x עצמו והייצוג השלם שלו x′ קשורים בנוסחה, שבה z הוא הערך של הספרה הפחות משמעותית. הדוגמה הפשוטה ביותר לאריתמטיקה עם ... ... ויקיפדיה
מלא מספרים- במכניקת הקוונטים ובסטטיסטיקת הקוונטים, מספרים המציינים את מידת המילוי של מצבי קוונט על ידי חלקיקים של מערכת מכנית קוונטית של חלקיקים זהים רבים (ראה חלקיקי זהות). למערכת של חלקיקים עם ספין של חצי שלם ... ... האנציקלופדיה הסובייטית הגדולה
מספרי ליילנד- מספר ליילנד הוא מספר טבעי המבוטא כ-xy + yx, כאשר x ו-y הם מספרים שלמים הגדולים מ-1. 15 המספרים הראשונים של ליילנד הם: 8, 17, 32, 54, 57, 100, 145, 177, 320, 368 , 512, 593, 945, 1124, 1649 רצף A076980 ב-OEIS. ... ... ויקיפדיה
מספרים אלגבריים שלמים- מספרים שהם שורשים של משוואות בצורה xn + a1xn 1 +... + an = 0, כאשר a1,..., an הם מספרים שלמים רציונליים. לדוגמה, x1 = 2 + C. a. שעות, שכן x12 4x1 + 1 = 0. התיאוריה של C. a. שעות התעוררו ב-30 40 x שנים. המאה ה 19 בקשר למחקר של ק. ... ... האנציקלופדיה הסובייטית הגדולה
ספרים
- חשבון: מספרים שלמים. על חלוקת המספרים. מדידת כמויות. מערכת מדדים מטרית. רגיל, קיסלב, אנדריי פטרוביץ'. לקוראים מוצע ספר מאת המורה והמתמטיקאי הרוסי המצטיין A.P. Kiselev (1852-1940), המכיל קורס שיטתי בחשבון. הספר כולל שישה חלקים...
הערות חשובות!
1. אם במקום נוסחאות אתה רואה abrakadabra, נקה את המטמון. איך לעשות את זה בדפדפן שלך כתוב כאן:
2. לפני שאתם מתחילים לקרוא את המאמר, שימו לב לנווט שלנו לכל היותר משאב שימושיל
כדי לפשט את חייך בהרבה כשאתה צריך לחשב משהו, לזכות בזמן יקר ב-OGE או ב-USE, לעשות פחות טעויות טיפשיות - קרא את הסעיף הזה!
הנה מה שתלמד:
- כיצד לחשב מהר יותר, קל יותר ומדויק יותר באמצעותקיבוץ מספריםבעת חיבור וחיסור,
- כיצד להכפיל ולחלק במהירות ללא שגיאות באמצעות כללי כפל וקריטריונים לחלוקה,
- כיצד להאיץ משמעותית את החישובים באמצעות כפולה משותפת מינימאלית(NOC) ו המחלק המשותף הגדול ביותר(GCD).
החזקה בטכניקות של סעיף זה יכולה להטות את הכף לכיוון זה או אחר... בין אם תיכנסו לאוניברסיטה של חלומותיכם ובין אם לא, אתם או ההורים שלכם תצטרכו לשלם הרבה כסף על השכלה או שתיכנסו לתקציב .
בוא נצלול ישר פנימה... (בוא נלך!)
נ.ב. עצה אחרונה יקרת ערך...
הרבה מספרים שלמיםמורכב מ-3 חלקים:
- מספרים שלמים(נשקול אותם בפירוט רב יותר להלן);
- מספרים הפוכים למספרים טבעיים(הכל ייפול למקומו ברגע שתדעו מהם מספרים טבעיים);
- אפס -" " (איפה בלעדיו?)
האות ז.
מספרים שלמים
"אלוהים ברא מספרים טבעיים, כל השאר הוא מעשה ידי אדם" (ג) המתמטיקאי הגרמני קרונקר.
המספרים הטבעיים הםהמספרים שבהם אנו משתמשים כדי לספור חפצים ועל זה מבוססת היסטוריית ההתרחשות שלהם - הצורך לספור חצים, עורות וכו'.
1, 2, 3, 4...n
האות נ.
בהתאם לכך, הגדרה זו אינה כוללת (אי אפשר לספור מה אין?) ועוד יותר מכך אינה כוללת ערכים שליליים (יש תפוח?).
בנוסף, כל המספרים השבריים אינם כלולים (אנחנו גם לא יכולים לומר "יש לי מחשב נייד", או "מכרתי מכוניות")
כל מספר טבעיניתן לכתוב באמצעות 10 ספרות:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
אז 14 זה לא מספר. זהו מספר. מאיזה מספרים הוא מורכב? נכון, ממספרים ו.
חיבור. קיבוץ בעת הוספה לספירה מהירה יותר ופחות טעויות
אילו דברים מעניינים אתה יכול לומר על ההליך הזה? כמובן שכעת תענה "ערך הסכום אינו משתנה מהסידור מחדש של התנאים". נראה כי כלל פרימיטיבי מוכר מהמעמד הראשון, לעומת זאת, בעת פתרון דוגמאות נהדרותזה נשכח מיידית!
אל תשכח ממנולהשתמש בקיבוץ, על מנת להקל על תהליך הספירה ולהפחית את הסבירות לטעויות, כי לא יהיה לכם מחשבון לבחינה.
ראה בעצמך איזה ביטוי קל יותר להוסיף?
- 4 + 5 + 3 + 6
- 4 + 6 + 5 + 3
כמובן השני! למרות שהתוצאה זהה. אבל! בהתחשב בדרך השנייה, יש פחות סיכוי לטעות ותעשה הכל מהר יותר!
אז, בראש שלך, אתה חושב כך:
4 + 5 + 3 + 6 = 4 + 6 + 5 + 3 = 10 + 5 + 3 = 18
חִסוּר. קיבוץ בעת חיסור לספירה מהירה יותר ופחות שגיאות
בעת חיסור, נוכל גם לקבץ מספרים מופחתים, למשל:
32 - 5 - 2 - 6 = (32 - 2) - 5 - 6 = 30 - 5 - 6 = 19
מה אם חיסור משולב בחיבור בדוגמה? אפשר גם לקבץ, תענה, ובצדק. רק בבקשה, אל תשכח את הסימנים מול המספרים, למשל: 32 - 5 - 2 - 6 = (32 - 2) - (6 + 5) = 30 - 11 = 19
זכרו: שילוט לא נכון יוביל לתוצאה שגויה.
כֶּפֶל. איך להרבות בנפשך
ברור שגם ערך המוצר לא ישתנה משינוי מקומות הגורמים:
2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ 5 = (2 ⋅ 5 ) ⋅ (4 ⋅ 6 ) = 1 0 ⋅ 2 4 = 2 4 0
אני לא אגיד לך "להשתמש בזה בעת פתרון בעיות" (הבנת את הרמז בעצמך, נכון?), אלא אגיד לך איך להכפיל במהירות כמה מספרים בראש שלך. אז, התבונן היטב בטבלה:
ועוד קצת על הכפל. בטח אתה זוכר שניים אירוע מיוחד… נחשו למה אני מתכוון? הנה על זה:
אה כן, בוא נסתכל סימני חלוקה. בסך הכל, ישנם 7 כללים לסימני חלוקה, מתוכם אתם כבר יודעים את 3 הראשונים בוודאות!
אבל את השאר בכלל לא קשה לזכור.
7 סימני חלוקה של מספרים שיעזרו לך לספור במהירות בראש שלך!
- אתה, כמובן, מכיר את שלושת הכללים הראשונים.
- קל לזכור את הרביעית והחמישית - כשמחלקים ב- ונבדוק אם סכום הספרות המרכיבות את המספר מתחלק בזה.
- כשמחלקים לפי, נשים לב לשתי הספרות האחרונות של המספר - האם המספר שהן מרכיבות מתחלק לפיו?
- כאשר מחלקים במספר, הוא חייב להיות ניתן לחלוקה בו זמנית. זה הכל חוכמה.
האם אתה חושב עכשיו - "למה אני צריך את כל זה"?
ראשית, הבחינה היא ללא מחשבוןוכללים אלה יעזרו לך לנווט בין הדוגמאות.
ושנית, שמעת על המשימות GCDו NOC? קיצור מוכר? בואו נתחיל לזכור ולהבין.
המחלק המשותף הגדול ביותר (gcd) - נחוץ להפחתת שברים וחישובים מהירים
נניח שיש לך שני מספרים: ו. מה המספר הגדול ביותרהאם שני המספרים ניתנים לחלוקה? אתה תענה ללא היסוס, כי אתה יודע ש:
12 = 4 * 3 = 2 * 2 * 3
8 = 4 * 2 = 2 * 2 * 2
אילו מספרים בהרחבה נפוצים? נכון, 2 * 2 = 4. זו הייתה התשובה שלך. אם תזכור את הדוגמה הפשוטה הזו, לא תשכח את האלגוריתם לחיפוש GCD. נסה "לבנות" את זה בראש שלך. קרה?
כדי למצוא את ה-NOD אתה צריך:
- חלק את המספרים ל גורמים ראשוניים(למספרים שלא ניתן לחלק בשום דבר מלבד עצמו או למשל ב-3, 7, 11, 13 וכו').
- תכפיל אותם.
אתה מבין למה היינו צריכים סימני חלוקה? כדי שתסתכל על המספר ותוכל להתחיל לחלק בלי שארית.
לדוגמה, בוא נמצא את ה-GCD של המספרים 290 ו-485
מספר ראשון - .
כשמסתכלים על זה, אתה יכול מיד לדעת במה הוא מתחלק, בוא נכתוב:
אתה לא יכול לחלק את זה לשום דבר אחר, אבל אתה יכול - ואנחנו מקבלים:
290 = 29 * 5 * 2
ניקח מספר אחר - 485.
לפי סימני ההתחלקות, יש לחלק אותו ללא שארית, שכן הוא מסתיים ב. אנו חולקים:
בואו ננתח את המספר המקורי.
- לא ניתן לחלק אותו ב(הספרה האחרונה היא אי זוגית),
- - אינו מתחלק ב, כך שהמספר גם אינו מתחלק ב,
- גם אינו מתחלק ב- ו (סכום הספרות במספר אינו מתחלק ב- וב-)
- הוא גם לא מתחלק, כי זה לא מתחלק ב-ו,
- גם אינו מתחלק ב-ו, מאחר ואינו מתחלק ב-ו.
- אי אפשר לחלק לגמרי
אז ניתן לפרק את המספר רק ל- ו.
ועכשיו בואו נמצא GCDהמספרים האלה (ו). מה זה המספר הזה? נכונה, .
נתאמן?
משימה מספר 1. מצא GCD של המספרים 6240 ו-6800
1) אני מחלק מיד ב, מכיוון ששני המספרים מתחלקים ב-100% ב:
משימה מספר 2. מצא את GCD של המספרים 345 ו-324
אני לא מוצא אחד כאן מחלק משותף, אז אני רק מביא את זה לגורמים ראשוניים (כמה שפחות):
הכיפול המשותף (LCM) - חוסך זמן, עוזר לפתור בעיות מחוץ לקופסה
נניח שיש לך שני מספרים - ו. מהו המספר הקטן ביותר שמתחלק בו בלי עקבות(כלומר לגמרי)? קשה לדמיין? הנה רמז ויזואלי בשבילך:
אתה זוכר מה משמעות המכתב? נכון, פשוט מספרים שלמים.אז מה המספר הקטן ביותרמתאים x? :
במקרה הזה.
מזה דוגמה פשוטהעוקבים אחר מספר כללים.
כללים לאיתור מהיר של ה-NOC
כלל 1. אם אחד משני מספרים טבעיים מתחלק במספר אחר, אזי הגדול מבין שני המספרים הללו הוא הכפולה הפחות משותפת שלהם.
מצא את המספרים הבאים:
- NOC (7;21)
- NOC (6;12)
- NOC (5;15)
- NOC (3;33)
כמובן, התמודדת בקלות עם המשימה הזו וקיבלת את התשובות -, ו.
שימו לב שבכלל אנחנו מדברים על שני מספרים, אם יש יותר מספרים אז הכלל לא עובד.
לדוגמה, LCM (7;14;21) אינו שווה ל-21, מכיוון שלא ניתן לחלק אותו ללא שארית ב.
כלל 2. אם שניים (או יותר משני) מספרים הם ראשוניים, אז הכפולה הפחות משותפת שווה למכפלתם.
למצוא NOCעבור המספרים הבאים:
- NOC (1;3;7)
- NOC (3;7;11)
- NOC (2;3;7)
- NOC (3;5;2)
ספרת? להלן התשובות - , ; .
כפי שאתם מבינים, לא תמיד קל לקחת ולהרים את אותו x, אז למספרים קצת יותר מורכבים יש את האלגוריתם הבא:
נתאמן?
מצא את הכפולה הפחות משותפת - LCM (345; 234)
מצא את הכפולה הפחות משותפת (LCM) בעצמך
איזה תשובות קיבלת?
זה מה שקרה לי:
כמה זמן לקח לך למצוא NOC? הזמן שלי הוא 2 דקות, אני באמת יודע טריק אחד, שאני מציע לך לפתוח עכשיו!
אם אתה מאוד קשוב, אז כנראה שמת לב שלמספרים הנתונים כבר חיפשנו GCDואתה יכול לקחת את הפירוק לגורמים של המספרים האלה מהדוגמה הזו, ובכך לפשט את המשימה שלך, אבל זה רחוק מלהיות הכל.
תסתכל על התמונה, אולי יעלו לך מחשבות אחרות:
נו? אתן לך רמז: נסו להרבות NOCו GCDבינם לבין עצמם ורשמו את כל הגורמים שיהיו בעת הכפלה. הסתדרת? אתה אמור לסיים עם שרשרת כזו:
תסתכל על זה מקרוב: השווה את הגורמים עם איך ומפורקים.
איזו מסקנה אתה יכול להסיק מכך? נכונה! אם נכפיל את הערכים NOCו GCDבינם לבין עצמם, אז נקבל את המכפלה של המספרים הללו.
בהתאם, בעל מספרים ומשמעות GCD(אוֹ NOC), אנחנו יכולים למצוא NOC(אוֹ GCD) בצורה הבאה:
1. מצא את המכפלה של המספרים:
2. אנו מחלקים את המוצר המתקבל לפי שלנו GCD (6240; 6800) = 80:
זה הכל.
בואו נכתוב את הכלל בצורה כללית:
נסה למצוא GCDאם ידוע ש:
הסתדרת? .
מספרים שליליים - "מספרים כוזבים" והכרתם על ידי האנושות.
כפי שכבר הבנתם, אלו מספרים הפוכים למספרים טבעיים, כלומר:
ניתן להוסיף, לגרוע, להכפיל ולחלק מספרים שליליים - בדיוק כמו מספרים טבעיים. נראה שהם כל כך מיוחדים? אבל העובדה היא שמספרים שליליים "זכו" במקומם הראוי במתמטיקה עד המאה ה-19 (עד אותו רגע הייתה כמות עצומה של מחלוקת אם הם קיימים או לא).
המספר השלילי עצמו נוצר בגלל פעולה כזו עם מספרים טבעיים כמו "חיסור". אכן, יש להחסיר מ- זה מספר שלילי. לכן קבוצת המספרים השליליים נקראת לעתים קרובות "הרחבה של הסט מספרים טבעיים».
מספרים שליליים לא זוהו על ידי אנשים במשך זמן רב. כך, מצרים העתיקה, בבל ו יוון העתיקה- אורות של זמנם, לא זיהו מספרים שליליים, ובמקרה של קבלה שורשים שלילייםבמשוואה (לדוגמה, כפי שיש לנו), השורשים נדחו כבלתי אפשריים.
בפעם הראשונה מספרים שליליים קיבלו את זכותם להתקיים בסין, ולאחר מכן במאה ה-7 בהודו. מה דעתך על הווידוי הזה? נכון, מספרים שליליים החלו לציין חובות (אחרת - מחסור). האמינו שמספרים שליליים הם ערך זמני, שכתוצאה מכך ישתנה לחיובי (כלומר, הכסף עדיין יוחזר לנושה). עם זאת, המתמטיקאי ההודי Brahmagupta כבר אז שקל מספרים שליליים על בסיס שווה עם אלה חיוביים.
באירופה, התועלת של מספרים שליליים, כמו גם העובדה שהם יכולים לסמן חוב, הגיעה הרבה יותר מאוחר, כלומר, מאלף. האזכור הראשון נראה בשנת 1202 ב"ספר החשבונית" מאת לאונרד מפיזה (אני אומר מיד שלמחבר הספר אין שום קשר למגדל הנטוי של פיזה, אבל מספרי פיבונאצ'י הם יצירתו (ה הכינוי של ליאונרדו מפיזה הוא פיבונאצ'י)). יתר על כן, האירופים הגיעו למסקנה שמספרים שליליים יכולים להיות לא רק חובות, אלא גם חוסר במשהו, עם זאת, לא כולם הכירו בכך.
אז, במאה ה- XVII, פסקל האמין בכך. איך אתה חושב שהוא הצדיק את זה? זה נכון, "שום דבר לא יכול להיות פחות מכלום". הד של אותם זמנים נותרה העובדה שמספר שלילי ופעולת החיסור מסומנים באותו סמל - מינוס "-". ואמת: . האם המספר " " הוא חיובי, שנגרע ממנו, או שלילי, שמתווסף אליו? ... משהו מהסדרה "מה בא קודם: התרנגולת או הביצה?" הנה סוג כזה של פילוסופיה מתמטית זו.
מספרים שליליים הבטיחו את זכותם להתקיים עם הופעתה של הגיאומטריה האנליטית, במילים אחרות, כאשר מתמטיקאים הציגו דבר כזה כמו ציר אמיתי. 
מרגע זה הגיע השוויון. עם זאת, עדיין היו יותר שאלות מתשובות, למשל:
פּרוֹפּוֹרצִיָה
פרופורציה זו נקראת פרדוקס ארנו. תחשוב על זה, מה ספק בזה?
בוא נדבר ביחד " " יותר מאשר " " נכון? אז באופן הגיוני, צד שמאלהפרופורציות צריכות להיות גדולות מהימין, אבל הן שוות... כאן זה הפרדוקס.
כתוצאה מכך, מתמטיקאים הסכימו שקרל גאוס (כן, כן, זה זה שחשב את הסכום (או) של המספרים) ב-1831 שם קץ לזה - הוא אמר שלמספרים שליליים יש אותן זכויות כמו לחיוביים, וכן העובדה שהם לא חלים על כל הדברים לא אומרת כלום, שכן גם שברים לא חלים על הרבה דברים (לא קורה שחופר חופר בור, אי אפשר לקנות כרטיס קולנוע וכו').
המתמטיקאים נרגעו רק במאה ה-19, כאשר תורת המספרים השליליים נוצרה על ידי ויליאם המילטון והרמן גרסמן.
עד כדי כך הם שנויים במחלוקת, המספרים השליליים האלה.
הופעתה של "ריקנות", או הביוגרפיה של אפס.
במתמטיקה - מספר מיוחד. במבט ראשון, זה כלום: הוסף, חיסור - שום דבר לא ישתנה, אבל אתה רק צריך לייחס את זה לימין "", והמספר שיתקבל יהיה גדול פי כמה מהמקורי. על ידי הכפלה באפס, אנו הופכים הכל ללאום, אך איננו יכולים לחלק ב"כלום". במילה אחת, מספר הקסם)
ההיסטוריה של האפס היא ארוכה ומסובכת. זכר לאפס נמצא בכתבים של הסינים בשנת 2000 לספירה. ועוד קודם לכן עם המאיה. השימוש הראשון בסמל האפס, כפי שהוא היום, נראה בקרב האסטרונומים היוונים.
ישנן גרסאות רבות מדוע נבחר כינוי כזה "כלום". כמה היסטוריונים נוטים להאמין שמדובר באומיקרון, כלומר. האות הראשונה של המילה היוונית לחינם היא אודן. לפי גרסה אחרת, המילה "אובול" (מטבע חסר ערך כמעט) העניקה חיים לסמל האפס.
אפס (או ריק) כ סמל מתמטימופיע לראשונה בקרב האינדיאנים (שימו לב שמספרים שליליים החלו "להתפתח" שם). העדות האמינה הראשונה לכתיבת אפס מתוארכת לשנת 876, ובהן "" הוא מרכיב של המספר.
גם אפס הגיע לאירופה באיחור - רק בשנת 1600, ובדיוק כמו מספרים שליליים, הוא התמודד עם התנגדות (מה אפשר לעשות, הם אירופאים).
"אפס היה לעתים קרובות שנוא, חששו, או אפילו נאסר מאז ומתמיד", כותב המתמטיקאי האמריקאי צ'רלס סייף. אז, הסולטן הטורקי עבדול-חמיד השני בסוף המאה ה-19. הורה לצנזורה שלו למחוק את נוסחת המים H2O מכל ספרי הלימוד בכימיה, כשהוא לוקח את האות "O" לאפס ולא רוצה שראשי התיבות שלו יוכפשו בגלל הקרבה לאפס הנתעב.
באינטרנט ניתן למצוא את המשפט: "אפס הוא הכוח החזק ביותר ביקום, הוא יכול לעשות הכל! האפס יוצר סדר במתמטיקה, והוא גם מכניס לתוכה כאוס. נקודה נכונה בהחלט :)
סיכום הסעיף ונוסחאות יסוד
קבוצת המספרים השלמים מורכבת מ-3 חלקים:
- מספרים טבעיים (נשקול אותם בפירוט רב יותר להלן);
- מספרים הפוכים למספרים טבעיים;
- אפס - ""
קבוצת המספרים השלמים מסומנת האות ז.
1. מספרים טבעיים
מספרים טבעיים הם המספרים שבהם אנו משתמשים כדי לספור עצמים.
קבוצת המספרים הטבעיים מסומנת האות נ.
בפעולות עם מספרים שלמים, תצטרך את היכולת למצוא GCD ו-LCM.
המחלק המשותף הגדול ביותר (GCD)
כדי למצוא את ה-NOD אתה צריך:
- מפרקים מספרים לגורמים ראשוניים (למספרים שאי אפשר לחלק בשום דבר מלבד עצמו או למשל, וכו').
- רשום את הגורמים שהם חלק משני המספרים.
- תכפיל אותם.
כפולה פחות משותפת (LCM)
כדי למצוא את ה-NOC אתה צריך:
- חלקו מספרים לגורמים ראשוניים (אתם כבר יודעים איך לעשות את זה טוב מאוד).
- רשום את הגורמים הכלולים בהרחבה של אחד המספרים (עדיף לקחת את השרשרת הארוכה ביותר).
- הוסף אליהם את הגורמים החסרים מהרחבות של המספרים הנותרים.
- מצא את המכפלה של הגורמים המתקבלים.
2. מספרים שליליים
אלו הם מספרים הפוכים למספרים טבעיים, כלומר:
עכשיו אני רוצה לשמוע ממך...
אני מקווה שהערכת את ה"טריקים" הסופר שימושיים של החלק הזה והבנת איך הם יעזרו לך בבחינה.
ויותר חשוב, בחיים. אני לא מדבר על זה, אבל תאמין לי, זה כן. היכולת לספור במהירות וללא שגיאות חוסכת במצבי חיים רבים.
עכשיו תורך!
כתוב, האם תשתמש בשיטות קיבוץ, קריטריונים לחלוקה, GCD ו-LCM בחישובים?
אולי השתמשת בהם בעבר? איפה ואיך?
אולי יש לך שאלות. או הצעות.
כתבו בתגובות איך אתם אוהבים את המאמר.
ובהצלחה במבחנים!
ובכן, הנושא הסתיים. אם אתה קורא שורות אלה, אתה מאוד מגניב.
כי רק 5% מהאנשים מסוגלים לשלוט במשהו בעצמם. ואם קראתם עד הסוף, אז אתם ב-5%!
עכשיו הדבר הכי חשוב.
הבנת את התיאוריה בנושא זה. ואני חוזר, זה... זה פשוט מעולה! אתה כבר יותר טוב מהרוב המכריע של עמיתיך.
הבעיה היא שאולי זה לא מספיק...
בשביל מה?
על מעבר מוצלח של הבחינה, על קבלה למכון בתקציב והכי חשוב לכל החיים.
אני לא אשכנע אותך בכלום, אני רק אגיד דבר אחד...
אנשים שקיבלו חינוך טוב, מרוויחים הרבה יותר מאלה שלא קיבלו. זו סטטיסטיקה.
אבל זה לא העיקר.
העיקר שהם יותר שמחים (יש מחקרים כאלה). אולי כי הרבה יותר הזדמנויות נפתחות בפניהם והחיים נעשים בהירים יותר? לא יודע...
אבל תחשוב בעצמך...
מה צריך כדי להיות בטוח להיות טוב יותר מאחרים בבחינה ולהיות בסופו של דבר... מאושר יותר?
מלא את היד שלך, פותר בעיות בנושא זה.
בבחינה לא ישאלו אותך תיאוריה.
אתה תצטרך לפתור בעיות בזמן.
ואם לא פתרת אותם (הרבה!), אתה בהחלט תעשה טעות מטופשת איפשהו או פשוט לא תעשה את זה בזמן.
זה כמו בספורט - צריך לחזור על זה הרבה פעמים כדי לנצח בוודאות.
מצא אוסף בכל מקום שתרצה בהכרח עם פתרונות ניתוח מפורט ולהחליט, להחליט, להחליט!
אתה יכול להשתמש במשימות שלנו (לא הכרחי) ואנחנו בהחלט ממליצים עליהן.
כדי לקבל יד בעזרת המשימות שלנו, אתה צריך לעזור להאריך את חיי ספר הלימוד YouClever שאתה קורא כעת.
אֵיך? ישנן שתי אפשרויות:
- בטל את נעילת הגישה לכל המשימות הנסתרות במאמר זה -
- בטל את הנעילה של גישה לכל המשימות הנסתרות בכל 99 המאמרים של המדריך - קנה ספר לימוד - 499 רובל
כן, יש לנו 99 מאמרים כאלה בספר הלימוד וניתן לפתוח מיד גישה לכל המשימות ולכל הטקסטים המוסתרים שבהם.
גישה לכל המשימות הנסתרות ניתנת למשך כל חיי האתר.
לסיכום...
אם אתה לא אוהב את המשימות שלנו, מצא אחרים. רק אל תפסיק עם התיאוריה.
"מובן" ו"אני יודע לפתור" הם כישורים שונים לחלוטין. אתה צריך את שניהם.
מצא בעיות ופתור!