אז יש לנו כוחות של שניים. אם אתה לוקח את המספר מהשורה התחתונה, אתה יכול בקלות למצוא את הכוח שאליו אתה צריך להעלות שתיים כדי לקבל את המספר הזה. לדוגמה, כדי לקבל 16, אתה צריך להעלות שניים לחזקה רביעית. וכדי לקבל 64, אתה צריך להעלות שניים לחזקה השישית. ניתן לראות זאת מהטבלה.
ועכשיו - למעשה, ההגדרה של הלוגריתם:
הלוגריתם לבסיס a של הארגומנט x הוא החזקה שאליה יש להעלות את המספר a כדי לקבל את המספר x.
סימון: log a x \u003d b, כאשר a הוא הבסיס, x הוא הארגומנט, b הוא למעשה מה שהלוגריתם שווה לו.
לדוגמה, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (לוגריתם הבסיס 2 של 8 הוא שלוש כי 2 3 = 8). אפשר גם לרשום 2 64 = 6 כי 2 6 = 64.
פעולת מציאת הלוגריתם של מספר לבסיס נתון נקראת לוגריתם. אז בואו נוסיף שורה חדשה לטבלה שלנו:
| 2 1 | 2 2 | 2 3 | 2 4 | 2 5 | 2 6 |
| 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 |
| log 2 2 = 1 | log 2 4 = 2 | log 2 8 = 3 | log 2 16 = 4 | log 2 32 = 5 | log 2 64 = 6 |
למרבה הצער, לא כל הלוגריתמים נחשבים כל כך בקלות. לדוגמה, נסה למצוא יומן 2 5 . המספר 5 לא נמצא בטבלה, אבל ההיגיון מכתיב שהלוגריתם יהיה איפשהו על הקטע. כי 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.
מספרים כאלה נקראים אי-רציונליים: המספרים שאחרי הנקודה העשרונית יכולים להיכתב ללא הגבלה, והם לעולם לא חוזרים על עצמם. אם הלוגריתם מתברר כלא רציונלי, עדיף להשאיר אותו כך: log 2 5 , log 3 8 , log 5 100 .
חשוב להבין שהלוגריתם הוא ביטוי בעל שני משתנים (בסיס וארגומנט). בהתחלה, אנשים רבים מבלבלים היכן נמצא הבסיס והיכן הטיעון. כדי למנוע אי הבנות מעצבנות, פשוט תסתכל על התמונה:
לפנינו לא יותר מהגדרת הלוגריתם. זכור: הלוגריתם הוא הכוח, שאליו אתה צריך להעלות את הבסיס כדי לקבל את הטיעון. זה הבסיס שמורם לעוצמה - בתמונה הוא מודגש באדום. מסתבר שהבסיס תמיד בתחתית! את הכלל הנפלא הזה אני מספר לתלמידים שלי כבר בשיעור הראשון - ואין בלבול.
הבנו את ההגדרה - נותר ללמוד איך לספור לוגריתמים, כלומר. להיפטר מהסימן "יומן". ראשית, נציין ששתי עובדות חשובות נובעות מההגדרה:
- הארגומנט והבסיס חייבים תמיד להיות גדולים מאפס. הדבר נובע מהגדרת התואר על ידי מעריך רציונלי, שאליו מצטמצמת הגדרת הלוגריתם.
- הבסיס חייב להיות שונה מאחדות, שכן יחידה לכל כוח היא עדיין יחידה. בגלל זה, השאלה "לאיזה כוח צריך להעלות אחד כדי לקבל שניים" היא חסרת משמעות. אין תואר כזה!
הגבלות כאלה נקראות טווח חוקי(ODZ). מסתבר שה-ODZ של הלוגריתם נראה כך: log a x = b ⇒ x > 0 , a > 0 , a ≠ 1 .
שימו לב שאין הגבלות על המספר b (הערך של הלוגריתם) לא מוטל. לדוגמה, הלוגריתם עשוי להיות שלילי: log 2 0.5 \u003d -1, כי 0.5 = 2-1.
עם זאת, כעת אנו שוקלים רק ביטויים מספריים, שבהם אין צורך לדעת את ה-ODZ של הלוגריתם. כל ההגבלות כבר נלקחו בחשבון על ידי מהדרים של הבעיות. אבל כאשר משוואות לוגריתמיות ואי-שוויון נכנסות לפעולה, דרישות ה-DHS יהפכו לחובה. אכן, בבסיס ובטיעון יכולות להיות קונסטרוקציות חזקות מאוד, שאינן בהכרח תואמות את ההגבלות הנ"ל.
עכשיו תשקול תכנית כלליתחישובי לוגריתם. זה מורכב משלושה שלבים:
- הביעו את הבסיס a ואת הארגומנט x כחזקה עם הבסיס הקטן ביותר האפשרי גדול מאחד. על הדרך, עדיף להיפטר משברים עשרוניים;
- פתרו את המשוואה עבור המשתנה b: x = a b ;
- המספר b המתקבל יהיה התשובה.
זה הכל! אם הלוגריתם יתברר כלא רציונלי, זה ייראה כבר בשלב הראשון. הדרישה שהבסיס יהיה גדול מאחד רלוונטית מאוד: זה מקטין את הסבירות לטעות ומפשט מאוד את החישובים. דומה ל עשרונים: אם תתרגם אותם מיד לרגילים, יהיו הרבה פעמים פחות שגיאות.
בוא נראה איך תכנית זו פועלת עם דוגמאות ספציפיות:
משימה. חשב את הלוגריתם: log 5 25
- בואו נציג את הבסיס והארגומנט בחזקת חמש: 5 = 5 1 ; 25 = 52;
- קיבל תשובה: 2.
בואו ניצור ונפתור את המשוואה:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2 ;
משימה. חשב את הלוגריתם:
משימה. חשב את הלוגריתם: log 4 64
- הבה נציג את הבסיס ואת הארגומנט בחזקת שתיים: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
- בואו ניצור ונפתור את המשוואה:
log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3 ; - קיבל תשובה: 3.
משימה. חשב את הלוגריתם: יומן 16 1
- הבה נציג את הבסיס ואת הארגומנט בחזקת שתיים: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
- בואו ניצור ונפתור את המשוואה:
log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0 ; - התקבלה תגובה: 0.
משימה. חשב את הלוגריתם: log 7 14
- הבה נציג את הבסיס ואת הארגומנט בחזקת שבע: 7 = 7 1 ; 14 אינו מיוצג בחזקת שבע, כי 7 1< 14 < 7 2 ;
- מהפסקה הקודמת עולה שהלוגריתם אינו נחשב;
- התשובה היא ללא שינוי: יומן 7 14.
הערה קטנה לגבי הדוגמה האחרונה. איך לוודא שמספר אינו חזקת מדוייקת של מספר אחר? פשוט מאוד - פשוט הרחב את זה לתוך גורמים ראשוניים. אם יש לפחות שני גורמים ברורים בהרחבה, המספר אינו כוח מדויק.
משימה. גלה אם החזקות המדויקות של המספר הן: 8; 48; 81; 35; ארבעה עשר .
8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - התואר המדויק, מכיוון יש רק מכפיל אחד;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 אינו כוח מדויק כי ישנם שני גורמים: 3 ו-2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - תואר מדויק;
35 = 7 5 - שוב לא תואר מדויק;
14 \u003d 7 2 - שוב לא תואר מדויק;
נציין גם שאנחנו מספרים ראשונייםהם תמיד כוחות מדויקים של עצמם.
לוגריתם עשרוני
כמה לוגריתמים כל כך נפוצים שיש להם שם וייעוד מיוחדים.
הלוגריתם העשרוני של הארגומנט x הוא הלוגריתם הבסיסי 10, כלומר. העוצמה שאליה צריך להעלות את המספר 10 כדי לקבל את המספר x. ייעוד: lg x .
לדוגמה, יומן 10 = 1; log 100 = 2; lg 1000 = 3 - וכו'.
מעתה ואילך, כאשר מופיע ביטוי כמו "מצא lg 0.01" בספר הלימוד, דעו שזו לא שגיאת הקלדה. זהו הלוגריתם העשרוני. עם זאת, אם אתה לא רגיל לייעוד כזה, אתה תמיד יכול לכתוב אותו מחדש:
log x = log 10 x
כל מה שנכון ללוגריתמים רגילים נכון גם לעשרונים.
לוגריתם טבעי
יש לוגריתם אחר שיש לו סימון משלו. במובן מסוים, זה אפילו יותר חשוב מהעשרוני. זהו הלוגריתם הטבעי.
הלוגריתם הטבעי של x הוא לוגריתם הבסיס e, כלומר. החזקה שאליה יש להעלות את המספר e כדי לקבל את המספר x. ייעוד: ln x .
רבים ישאלו: מה עוד המספר e? זהו מספר אי-רציונלי, לא ניתן למצוא ולכתוב את ערכו המדויק. הנה רק המספרים הראשונים:
e = 2.718281828459...
לא נתעמק מהו המספר הזה ומדוע הוא נחוץ. רק זכור ש-e הוא הבסיס של הלוגריתם הטבעי:
ln x = log e x
לפיכך ln e = 1; log e 2 = 2; ln e 16 = 16 - וכו'. מצד שני, ln 2 הוא מספר אי רציונלי. בדרך כלל, לוגריתם טבעיכל מספר ראציונאלילא הגיוני. מלבד, כמובן, אחדות: ln 1 = 0.
עבור לוגריתמים טבעיים, כל הכללים שנכונים ללוגריתמים רגילים תקפים.
הפרטיות שלך חשובה לנו. מסיבה זו, פיתחנו מדיניות פרטיות המתארת כיצד אנו משתמשים ומאחסנים את המידע שלך. אנא קרא את מדיניות הפרטיות שלנו ויידע אותנו אם יש לך שאלות כלשהן.
איסוף ושימוש במידע אישי
מידע אישי מתייחס לנתונים שניתן להשתמש בהם כדי לזהות או ליצור קשר עם אדם ספציפי.
ייתכן שתתבקש לספק את המידע האישי שלך בכל עת בעת יצירת קשר.
להלן מספר דוגמאות לסוגי המידע האישי שאנו עשויים לאסוף וכיצד אנו עשויים להשתמש במידע כזה.
איזה מידע אישי אנחנו אוספים:
- בעת הגשת בקשה לאתר, אנו עשויים לאסוף פרטים שונים, לרבות שמך, מספר הטלפון, כתובתך אימיילוכו '
כיצד אנו משתמשים במידע האישי שלך:
- המידע האישי שאנו אוספים מאפשר לנו ליצור איתך קשר וליידע אותך לגבי הצעות ייחודיות, מבצעים ואירועים אחרים ואירועים קרובים.
- מעת לעת, אנו עשויים להשתמש במידע האישי שלך כדי לשלוח לך הודעות והודעות חשובות.
- אנו עשויים להשתמש במידע אישי גם למטרות פנימיות, כגון ביצוע ביקורות, ניתוח נתונים ומחקרים שונים על מנת לשפר את השירותים שאנו מספקים ולספק לך המלצות לגבי השירותים שלנו.
- אם תצטרף להגרלת פרס, לתחרות או תמריץ דומה, אנו עשויים להשתמש במידע שאתה מספק כדי לנהל תוכניות כאלה.
חשיפה לצדדים שלישיים
איננו חושפים מידע שהתקבל ממך לצדדים שלישיים.
חריגים:
- במידת הצורך - בהתאם לחוק, צו שיפוטי, ב ליטיגציה, ו/או בהתבסס על בקשות ציבוריות או בקשות מ סוכנויות ממשלתיותבשטח הפדרציה הרוסית - לחשוף את המידע האישי שלך. אנו עשויים גם לחשוף מידע אודותיך אם נקבע כי חשיפה כזו היא הכרחית או מתאימה עבור אבטחה, אכיפת חוק או ציבור אחר אירועים חשובים.
- במקרה של ארגון מחדש, מיזוג או מכירה, אנו עשויים להעביר את המידע האישי שאנו אוספים ליורש הצד השלישי הרלוונטי.
הגנה על מידע אישי
אנו נוקטים באמצעי זהירות - לרבות מנהליים, טכניים ופיסיים - כדי להגן על המידע האישי שלך מפני אובדן, גניבה ושימוש לרעה, כמו גם מפני גישה לא מורשית, חשיפה, שינוי והרס.
שמירה על פרטיותך ברמת החברה
כדי להבטיח שהמידע האישי שלך מאובטח, אנו מעבירים לעובדים שלנו נוהלי פרטיות ואבטחה ואוכפים בקפדנות את נוהלי הפרטיות.
נגזר מהגדרתו. וכך הלוגריתם של המספר בעל ידי סיבה אמוגדר כמעריך אליו יש להעלות מספר אכדי לקבל את המספר ב(הלוגריתם קיים רק עבור מספרים חיוביים).
מניסוח זה עולה כי החישוב x=log a b, שווה ערך לפתרון המשוואה ax=b.לדוגמה, log 2 8 = 3כי 8 = 2 3 . ניסוח הלוגריתם מאפשר להצדיק שאם b=a ג, ואז הלוגריתם של המספר בעל ידי סיבה אשווים עם. ברור גם שנושא הלוגריתם קשור קשר הדוק לנושא העוצמה של מספר.
עם לוגריתמים, כמו עם כל מספרים, אתה יכול לבצע פעולות של חיבור, חיסורולשנות בכל דרך אפשרית. אבל לאור העובדה שהלוגריתמים אינם מספרים רגילים, חלים כאן כללים מיוחדים משלהם, הנקראים מאפיינים בסיסיים.
חיבור וחיסור של לוגריתמים.
קח שני לוגריתמים עם אותו בסיס: log xו התחבר א. לאחר מכן הסר אפשר לבצע פעולות חיבור וחיסור:
log a x+ log a y= log a (x y);
log a x - log a y = log a (x:y).
יומן א(איקס 1 . איקס 2 . איקס 3 ... x k) = log x 1 + log x 2 + log x 3 + ... + log a x k.
מ משפטי לוגריתם מנהניתן לקבל עוד תכונה אחת של הלוגריתם. ידוע כי יומן א 1=0, לכן,
עֵץ א 1 /ב= יומן א 1 - יומן א ב= -לוג א ב.
אז יש שוויון:
log a 1 / b = - log a b.
לוגריתמים של שני מספרים הדדייםעל אותו בסיס יהיו שונים זה מזה רק בסימן. כך:
יומן 3 9= - יומן 3 1 / 9 ; log 5 1 / 125 = -log 5 125.
לוגריתמים, כמו כל מספר, ניתן להוסיף, לגרוע ולהמיר בכל דרך אפשרית. אבל מאז לוגריתמים הם לא בדיוק מספרים רגילים, יש כאן כללים, שנקראים מאפיינים בסיסיים.
חוקים אלו חייבים להיות ידועים - לא ניתן לפתור בעיה לוגריתמית רצינית בלעדיהם. בנוסף, יש מעט מאוד מהם - הכל ניתן ללמוד ביום אחד. אז בואו נתחיל.
חיבור וחיסור של לוגריתמים
שקול שני לוגריתמים עם אותו בסיס: log א איקסויומן א y. לאחר מכן ניתן להוסיף ולהחסיר אותם, ו:
- עֵץ א איקס+ יומן א y= יומן א (איקס · y);
- עֵץ א איקס−לוג א y= יומן א (איקס : y).
אז, סכום הלוגריתמים שווה ללוגריתם של המכפלה, וההבדל הוא הלוגריתם של המנה. הערה: רגע מפתחכאן - אותם נימוקים. אם הבסיסים שונים, הכללים האלה לא עובדים!
נוסחאות אלו יעזרו לך לחשב את הביטוי הלוגריתמי גם כאשר חלקיו הבודדים אינם נחשבים (ראה השיעור "מהו לוגריתם"). תסתכל על הדוגמאות וראה:
log 6 4 + log 6 9.
מכיוון שהבסיסים של הלוגריתמים זהים, אנו משתמשים בנוסחת הסכום:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.
משימה. מצא את הערך של הביטוי: log 2 48 − log 2 3.
הבסיסים זהים, אנו משתמשים בנוסחת ההבדל:
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.
משימה. מצא את הערך של הביטוי: log 3 135 − log 3 5.
שוב, הבסיסים זהים, אז יש לנו:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.
כפי שניתן לראות, הביטויים המקוריים מורכבים מלוגריתמים "רעים", שאינם נחשבים בנפרד. אבל לאחר טרנספורמציות מסתבר מספרים נורמליים למדי. בהתבסס על עובדה זו, רבים עבודות מבחן. כן, שליטה - ביטויים דומים במלוא הרצינות (לפעמים - כמעט ללא שינויים) מוצעים בבחינה.
הסרת המעריך מהלוגריתם
עכשיו בואו נסבך מעט את המשימה. מה אם יש תואר בבסיס או בארגומנט של הלוגריתם? אז ניתן להוציא את המעריך של תואר זה מהסימן של הלוגריתם לפי הכללים הבאים:
קל לראות שהכלל האחרון עוקב אחר השניים הראשונים שלהם. אבל עדיף בכל זאת לזכור - במקרים מסוימים זה יקטין משמעותית את כמות החישובים.
כמובן, כל הכללים האלה הגיוניים אם הלוגריתם של ODZ נשמר: א > 0, א ≠ 1, איקס> 0. ועוד דבר: למד ליישם את כל הנוסחאות לא רק משמאל לימין, אלא גם להיפך, כלומר. אתה יכול להזין את המספרים לפני הסימן של הלוגריתם לתוך הלוגריתם עצמו. זה מה שנדרש לרוב.
משימה. מצא את הערך של הביטוי: log 7 49 6 .
בואו נפטר מהדרגה בטיעון לפי הנוסחה הראשונה:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12
משימה. מצא את הערך של הביטוי:
[כיתוב תמונה]
שימו לב שהמכנה הוא לוגריתם שהבסיס והארגומנט שלו הם בחזקות מדויקות: 16 = 2 4 ; 49 = 72. יש לנו:
[כיתוב תמונה] אני חושב שהדוגמה האחרונה דורשת הבהרה. לאן נעלמו הלוגריתמים? עד הרגע האחרון אנחנו עובדים רק עם המכנה. הם הציגו את הבסיס והטיעון של הלוגריתם שעומד שם בצורה של מעלות והוציאו את האינדיקטורים - הם קיבלו שבר של "שלוש קומות".
עכשיו בואו נסתכל על השבר העיקרי. למונה ולמכנה יש אותו מספר: log 2 7. מכיוון שלוג 2 7 ≠ 0, נוכל לצמצם את השבר - 2/4 יישאר במכנה. לפי כללי החשבון ניתן להעביר את הארבעה למונה, מה שנעשה. התוצאה היא התשובה: 2.
מעבר לקרן חדשה
כשדיברתי על הכללים לחיבור והפחתה של לוגריתמים, הדגשתי במיוחד שהם עובדים רק עם אותם בסיסים. מה אם הבסיסים שונים? מה אם הם לא חזקות מדויקות של אותו מספר?
נוסחאות למעבר לבסיס חדש באות לעזרה. אנו מנסחים אותם בצורה של משפט:
תן ללוגריתם להירשם א איקס. ואז לכל מספר גכך ש ג> 0 ו ג≠ 1, השוויון נכון:
[כיתוב תמונה]
בפרט, אם נשים ג = איקס, אנחנו מקבלים:
[כיתוב תמונה]
מהנוסחה השנייה עולה שאפשר להחליף בין הבסיס לבין הטיעון של הלוגריתם, אבל במקרה זה הביטוי כולו "מתהפך", כלומר. הלוגריתם נמצא במכנה.
נוסחאות אלה נמצאות רק לעתים נדירות בביטויים מספריים רגילים. אפשר להעריך עד כמה הם נוחים רק כשמחליטים משוואות לוגריתמיותואי שוויון.
עם זאת, ישנן משימות שלא ניתן לפתור כלל מלבד מעבר לקרן חדשה. בואו נשקול כמה כאלה:
משימה. מצא את הערך של הביטוי: log 5 16 log 2 25.
שימו לב שהארגומנטים של שני הלוגריתמים הם אקספוננטים מדויקים. הבה נוציא את האינדיקטורים: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;
כעת נהפוך את הלוגריתם השני:
[כיתוב תמונה]מכיוון שהמכפלה לא משתנה מתמורה של גורמים, הכפלנו בשלווה ארבע ושתיים, ואז הבנו את הלוגריתמים.
משימה. מצא את הערך של הביטוי: log 9 100 lg 3.
הבסיס והטיעון של הלוגריתם הראשון הם חזקות מדויקות. בואו נרשום את זה ונפטר מהאינדיקטורים:
[כיתוב תמונה]עכשיו בואו נפטר מהלוגריתם העשרוני על ידי מעבר לבסיס חדש:
[כיתוב תמונה]זהות לוגריתמית בסיסית
לעתים קרובות בתהליך הפתרון נדרש לייצג מספר כלוגריתם לבסיס נתון. במקרה זה, הנוסחאות יעזרו לנו:
במקרה הראשון, המספר נהופך להיות המעריך של הטיעון. מספר ניכול להיות כל דבר, כי זה רק הערך של הלוגריתם.
הנוסחה השנייה היא למעשה הגדרה פרפרזה. זה נקרא הזהות הלוגריתמית הבסיסית.
אכן, מה יקרה אם המספר בלהעלות את הכוח כך בבמידה זו נותן מספר א? זה נכון: זה אותו מספר א. קרא שוב את הפסקה הזו בעיון - אנשים רבים "תולים" בה.
כמו נוסחאות המרת הבסיס החדשות, הזהות הלוגריתמית הבסיסית היא לפעמים הפתרון האפשרי היחיד.
משימה. מצא את הערך של הביטוי:
[כיתוב תמונה]
שימו לב שיומן 25 64 = יומן 5 8 - פשוט הוציאו את הריבוע מהבסיס ואת הארגומנט של הלוגריתם. בהינתן הכללים להכפלת כוחות עם אותו בסיס, אנחנו מקבלים:
[כיתוב תמונה]אם מישהו לא יודע, זו הייתה משימה אמיתית מהבחינה :)
יחידה לוגריתמית ואפס לוגריתמי
לסיכום, אתן שתי זהויות שקשה לקרוא להן תכונות – אלא, אלו השלכות מהגדרת הלוגריתם. הם נמצאים כל הזמן בבעיות ובאופן מפתיע יוצרים בעיות גם לתלמידים "מתקדמים".
- עֵץ א א= 1 היא היחידה הלוגריתמית. זכור אחת ולתמיד: הלוגריתם לכל בסיס אמהבסיס הזה עצמו שווה לאחד.
- עֵץ א 1 = 0 הוא אפס לוגריתמי. בסיס איכול להיות כל דבר, אבל אם הארגומנט הוא אחד, הלוגריתם הוא אפס! כי א 0 = 1 הוא תוצאה ישירה של ההגדרה.
זה כל הנכסים. הקפד לתרגל ליישם אותם! הורידו את דף הצ'יט בתחילת השיעור, הדפיסו אותו ופתרו את הבעיות.
הוראה
רשום את הביטוי הלוגריתמי הנתון. אם הביטוי משתמש בלוגריתם של 10, הסימון שלו מתקצר ונראה כך: lg b הוא הלוגריתם העשרוני. אם ללוגריתם יש את המספר e כבסיס, אז הביטוי נכתב: ln b הוא הלוגריתם הטבעי. מובן שהתוצאה של כל היא החזקה אליה יש להעלות את מספר הבסיס כדי לקבל את המספר b.
כשמוצאים את הסכום של שתי פונקציות, אתה רק צריך להבדיל ביניהן אחת אחת, ולהוסיף את התוצאות: (u+v)" = u"+v";
כשמוצאים את הנגזרת של המכפלה של שתי פונקציות, יש צורך להכפיל את הנגזרת של הפונקציה הראשונה בשנייה ולהוסיף את הנגזרת של הפונקציה השנייה, כפול הפונקציה הראשונה: (u*v)" = u"* v+v"*u;
על מנת למצוא את הנגזרת של המנה של שתי פונקציות, יש צורך, ממכפלת הנגזרת של הדיבידנד כפול פונקציית המחלק, להחסיר את מכפלת הנגזרת של המחלק כפולה בפונקציית המחלק, ולחלק כל זה לפי פונקציית המחלק בריבוע. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;
אם ניתנת פונקציה מורכבת, אז יש צורך להכפיל את הנגזרת של תפקוד פנימיוהנגזרת של החיצוני. תן y=u(v(x)), ואז y"(x)=y"(u)*v"(x).
באמצעות המתקבל לעיל, אתה יכול להבדיל כמעט כל פונקציה. אז בואו נסתכל על כמה דוגמאות:
y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;
y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *איקס));
יש גם משימות לחישוב הנגזרת בנקודה. תן את הפונקציה y=e^(x^2+6x+5), אתה צריך למצוא את הערך של הפונקציה בנקודה x=1.
1) מצא את הנגזרת של הפונקציה: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).
2) חשב את הערך של הפונקציה ב נקודה נתונה y"(1)=8*e^0=8
סרטונים קשורים
למד את טבלת הנגזרות היסודיות. זה יחסוך הרבה זמן.
מקורות:
- נגזרת קבועה
אז מה שונה ir משוואה רציונליתמרציונלי? אם המשתנה הלא ידוע נמצא מתחת לסימן שורש ריבועי, אז המשוואה נחשבת לא רציונלית.
הוראה
השיטה העיקרית לפתרון משוואות כאלה היא השיטה של העלאת שני הצדדים משוואותלתוך ריבוע. למרות זאת. זה טבעי, הצעד הראשון הוא להיפטר מהשלט. מבחינה טכנית, שיטה זו אינה קשה, אך לפעמים היא עלולה להוביל לצרות. לדוגמה, המשוואה v(2x-5)=v(4x-7). על ידי ריבוע שני הצדדים, אתה מקבל 2x-5=4x-7. משוואה כזו לא קשה לפתרון; x=1. אבל המספר 1 לא יינתן משוואות. למה? החליפו את היחידה במשוואה במקום ערך x. והצד הימני והשמאלי יכילו ביטויים לא הגיוניים, כלומר. ערך כזה אינו תקף לשורש ריבועי. לכן, 1 הוא שורש חיצוני, ולכן למשוואה זו אין שורשים.
אז, המשוואה האי-רציונלית נפתרת באמצעות השיטה של ריבוע שני חלקיה. ולאחר שפתרו את המשוואה, יש צורך לחתוך שורשים זרים. כדי לעשות זאת, החלף את השורשים שנמצאו במשוואה המקורית.
שקול עוד אחד.
2x+vx-3=0
כמובן שניתן לפתור את המשוואה הזו באמצעות אותה משוואה כמו הקודמת. תרכובות העברה משוואות, שאין להם שורש ריבועי, לצד ימין ואז משתמשים בשיטת הריבוע. לפתור את המשוואה הרציונלית שהתקבלה ואת השורשים. אבל אחר, אלגנטי יותר. הזן משתנה חדש; vx=y. בהתאם, תקבל משוואה כמו 2y2+y-3=0. כלומר, הרגיל משוואה ריבועית. מצא את שורשיו; y1=1 ו-y2=-3/2. לאחר מכן, פתור שניים משוואות vx=1; vx \u003d -3/2. למשוואה השנייה אין שורשים, מהראשונה נמצא ש-x=1. אל תשכח את הצורך לבדוק את השורשים.
פתרון זהויות הוא די קל. זה דורש ביצוע טרנספורמציות זהות עד להשגת המטרה. כך, בעזרת פעולות החשבון הפשוטות ביותר, המשימה תיפתר.
אתה תצטרך
- - עיתון;
- - עט.
הוראה
הטרנספורמציות הפשוטות ביותר מסוג זה הן הכפלות מקוצרות אלגבריות (כגון ריבוע הסכום (הפרש), הפרש הריבועים, הסכום (הפרש), קוביית הסכום (הפרש)). בנוסף, יש הרבה נוסחאות טריגונומטריות, שהן בעצם אותן זהויות.
ואכן, ריבוע הסכום של שני איברים שווה לריבוע של הראשון פלוס פעמיים המכפלה של הראשון והשני פלוס הריבוע של השני, כלומר (a+b)^2= (a+b) )(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.
פשט את שניהם
עקרונות כלליים של פתרון
חזור על ספר הלימוד ניתוח מתמטיאו מתמטיקה גבוהה יותר, שהיא אינטגרל מובהק. כידוע, הפתרון של אינטגרל מוגדר הוא פונקציה שהנגזרת שלה תיתן אינטגרנד. פונקציה זו נקראת אנטי נגזרת. לפי עיקרון זה בנויים האינטגרלים הבסיסיים.קבע לפי צורת האינטגרנד איזה מבין אינטגרלי הטבלה מתאים במקרה זה. לא תמיד ניתן לקבוע זאת מיד. לעתים קרובות, הצורה הטבלאית הופכת בולטת רק לאחר מספר טרנספורמציות כדי לפשט את האינטגרנד.
שיטת החלפה משתנה
אם האינטגרנד הוא פונקציה טריגונומטרית, שהארגומנט שלו הוא פולינום כלשהו, אז נסה להשתמש בשיטת החלפת המשתנה. לשם כך, החלף את הפולינום בארגומנט של האינטגרנד במשתנה חדש כלשהו. בהתבסס על היחס בין המשתנה החדש והישן, קבע את גבולות האינטגרציה החדשים. על ידי הבחנה של ביטוי זה, מצא דיפרנציאל חדש ב. כך תקבל מהסוג החדשהאינטגרלי הקודם, קרוב או אפילו מקביל לכל טבלה.פתרון אינטגרלים מהסוג השני
אם האינטגרל הוא אינטגרל מהסוג השני, הצורה הווקטורית של האינטגרנד, אז תצטרך להשתמש בכללים למעבר מאינטגרלים אלו לסקלרים. כלל אחד כזה הוא יחס אוסטרוגרדסקי-גאוס. החוק הזהמאפשר מעבר מזרימת הרוטור של פונקציה וקטורית כלשהי לאינטגרל משולש על פני הסטייה של שדה וקטור נתון.החלפת גבולות האינטגרציה
לאחר מציאת הנגזרת האנטי-נגזרת, יש צורך להחליף את גבולות האינטגרציה. ראשית, החלף את הערך של הגבול העליון בביטוי עבור האנטי-נגזרת. תקבל מספר כלשהו. לאחר מכן, הפחיתו מהמספר המתקבל מספר נוסף, הגבול התחתון המתקבל לנגזרת האנטי. אם אחד מגבולות האינטגרציה הוא אינסוף, אז כאשר מחליפים אותו בפונקציה האנטי-נגזרת, יש צורך ללכת לגבול ולמצוא למה הביטוי נוטה.אם האינטגרל הוא דו-מימדי או תלת-מימדי, אז תצטרכו לייצג את הגבולות הגיאומטריים של האינטגרל על מנת להבין כיצד לחשב את האינטגרל. ואכן, במקרה של, נניח, אינטגרל תלת מימדי, גבולות האינטגרציה יכולים להיות מישורים שלמים המגבילים את הנפח שיש לשלב.