(!LANG:הכפולה הפחות משותפת באינטרנט. כיצד למצוא את הכפולה הפחות משותפת של מספרים

שקול שלוש דרכים למצוא את הכפולה הפחות משותפת.

מציאת לפי פקטורינג

הדרך הראשונה היא למצוא את הכפולה המשותפת הפחותה על ידי חלוקת המספרים הנתונים לגורמים ראשוניים.

נניח שעלינו למצוא את ה-LCM של המספרים: 99, 30 ו-28. לשם כך, אנו מפרקים כל אחד מהמספרים הללו לגורמים ראשוניים:

כדי שהמספר הרצוי יהיה מתחלק ב-99, 30 ו-28, יש צורך ומספיק שהוא יכלול את כל הגורמים הראשוניים של מחלקים אלו. כדי לעשות זאת, עלינו לקחת את כל הגורמים הראשוניים של המספרים הללו לעוצמה הגבוהה ביותר המתרחשת ולהכפיל אותם יחד:

2 2 3 2 5 7 11 = 13 860

אז LCM (99, 30, 28) = 13,860. שום מספר אחר פחות מ-13,860 מתחלק באופן שווה ב-99, 30 או 28.

כדי למצוא את הכפולה המשותפת הפחותה של מספרים נתונים, עליך לחלק אותם לגורמים ראשוניים, ולאחר מכן לקחת כל גורם ראשוני עם המעריך הגדול ביותר איתו הוא מתרחש, ולהכפיל את הגורמים הללו יחד.

כי זה הדדי מספרים ראשונייםאין להם גורמים ראשוניים משותפים, אז הכפולה המשותפת הפחותה שלהם שווה למכפלת המספרים הללו. לדוגמה, שלושה מספרים: 20, 49 ו-33 הם ראשוניים. בגלל זה

LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32,340.

אותו הדבר צריך להיעשות כאשר מחפשים את הכפולה הפחות משותפת של ראשוניים שונים. לדוגמה, LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.

חיפוש לפי בחירה

הדרך השנייה היא למצוא את הכפולה הפחות משותפת על ידי התאמה.

דוגמה 1. כאשר הגדול מבין המספרים הנתונים מתחלק באופן שווה במספרים נתונים אחרים, אזי ה-LCM של המספרים הללו שווה לגדול שבהם. לדוגמה, בהינתן ארבעה מספרים: 60, 30, 10 ו-6. כל אחד מהם מתחלק ב-60, לכן:

NOC(60, 30, 10, 6) = 60

במקרים אחרים, כדי למצוא את הכפולה הנמוכה ביותר, נעשה שימוש בהליך הבא:

1. קבע את המספר הגדול ביותר מהמספרים הנתונים.
2. לאחר מכן, אנו מוצאים מספרים שהם כפולות של המספר הגדול ביותר, מכפילים אותו במספרים טבעיים בסדר עולה ובודקים אם המספרים הנתונים הנותרים מתחלקים במכפלה המתקבלת.

דוגמה 2. נתון שלושה מספרים 24, 3 ו-18. קבע את הגדול שבהם - זה המספר 24. לאחר מכן, מצא את הכפולות של 24, בדוק אם כל אחד מהם מתחלק ב-18 וב-3:

24 1 = 24 מתחלק ב-3 אך אינו מתחלק ב-18.

24 2 = 48 - מתחלק ב-3 אך לא מתחלק ב-18.

24 3 \u003d 72 - מתחלק ב-3 ו-18.

אז LCM(24, 3, 18) = 72.

איתור על ידי מציאת רצף LCM

הדרך השלישית היא למצוא את הכפולה הפחות משותפת על ידי מציאת ה-LCM ברציפות.

ה-LCM של שני מספרים נתונים שווה למכפלת המספרים הללו חלקי המחלק המשותף הגדול ביותר שלהם.

דוגמה 1. מצא את ה-LCM של שני מספרים נתונים: 12 ו-8. קבע את המחלק המשותף הגדול ביותר שלהם: GCD (12, 8) = 4. הכפל את המספרים האלה:

אנו מחלקים את המוצר ל-GCD שלהם:

אז LCM(12, 8) = 24.

כדי למצוא את ה-LCM של שלושה או יותר מספרים, נעשה שימוש בהליך הבא:

1. ראשית, נמצא ה-LCM של כל שניים מהמספרים הנתונים.
2. לאחר מכן, ה-LCM של הכפולה הפחות משותפת שנמצאה והמספר השלישי הנתון.
3. לאחר מכן, ה-LCM של הכפולה הפחות משותפת שהתקבלה והמספר הרביעי, וכן הלאה.
4. לפיכך החיפוש LCM ממשיך כל עוד יש מספרים.

דוגמה 2. בוא נמצא את LCM של שלושה מספרים נתונים: 12, 8 ו-9. כבר מצאנו את LCM של המספרים 12 ו-8 בדוגמה הקודמת (זה המספר 24). נותר למצוא את הכפולה הפחות משותפת של 24 ואת המספר השלישי הנתון - 9. קבע את המחלק המשותף הגדול ביותר שלהם: gcd (24, 9) = 3. הכפל LCM עם המספר 9:

אנו מחלקים את המוצר ל-GCD שלהם:

אז LCM(12, 8, 9) = 72.

ביטויים ומשימות מתמטיות דורשות הרבה ידע נוסף. NOC הוא אחד המרכזיים שבהם נעשה שימוש לעתים קרובות במיוחד בנושא. הנושא נלמד בתיכון, אמנם לא קשה במיוחד להבין חומר, אך לאדם הבקיא בכוחות ובלוח הכפל לא יהיה קשה לבחור את המספרים הדרושים ומצא את התוצאה.

הַגדָרָה

כפולה משותפת היא מספר שניתן לחלקו לחלוטין לשני מספרים בו זמנית (א ו-ב). לרוב, מספר זה מתקבל על ידי הכפלת המספרים המקוריים a ו-b. המספר חייב להיות מתחלק בשני המספרים בבת אחת, ללא סטיות.

NOC הוא המונח המקובל עבור כותרת קצרה, המורכב מהאותיות הראשונות.

דרכים להשיג מספר

כדי למצוא את ה-LCM, שיטת הכפלת המספרים לא תמיד מתאימה, היא מתאימה הרבה יותר למספרים חד ספרתיים או דו ספרתיים פשוטים. נהוג לחלק לפי גורמים, ככל שהמספר גדול יותר, ה יותר מכפיליםיהיה.

דוגמה מס' 1

עבור הדוגמה הפשוטה ביותר, בתי ספר בדרך כלל לוקחים מספרים פשוטים, חד ספרתיים או דו ספרתיים. לדוגמה, אתה צריך לפתור את המשימה הבאה, למצוא את הכפולה הפחות משותפת של המספרים 7 ו-3, הפתרון די פשוט, פשוט תכפיל אותם. כתוצאה מכך, יש את המספר 21, פשוט אין מספר קטן יותר.

דוגמה מס' 2

האפשרות השנייה היא הרבה יותר קשה. המספרים 300 ו-1260 ניתנים, מציאת ה-LCM היא חובה. כדי לפתור את המשימה, מניחים את הפעולות הבאות:

פירוק של המספרים הראשון והשני לגורמים הפשוטים ביותר. 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 * 5 * 7. השלב הראשון הושלם.

השלב השני כולל עבודה עם הנתונים שכבר הושגו. כל אחד מהמספרים המתקבלים חייב להשתתף בחישוב התוצאה הסופית. עבור כל מכפיל, הכי הרבה מספר גדולהתרחשויות. NOC הוא מספר כולל, לכן יש לחזור על הגורמים מהמספרים בו עד האחרון, אפילו אלה שקיימים במופע אחד. לשני המספרים הראשוניים יש בהרכבם את המספרים 2, 3 ו-5, ב מעלות משתנות, 7 קיים רק במקרה אחד.

כדי לחשב את התוצאה הסופית, עליך לקחת כל מספר במשוואה הגדולה ביותר מבין החזקות המיוצגות שלו. נותר רק להכפיל ולקבל את התשובה, עם המילוי הנכון, המשימה מתאימה לשני שלבים ללא הסבר:

1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.

2) NOK = 6300.

זו כל המשימה, אם תנסה לחשב את המספר הרצוי על ידי הכפלה, אז התשובה בהחלט לא תהיה נכונה, שכן 300 * 1260 = 378,000.

בְּדִיקָה:

6300 / 300 = 21 - נכון;

6300 / 1260 = 5 נכון.

נכונות התוצאה נקבעת על ידי בדיקה - חלוקת LCM בשני המספרים המקוריים, אם המספר הוא מספר שלם בשני המקרים, אז התשובה נכונה.

מה המשמעות של NOC במתמטיקה

כידוע, אין פונקציה אחת חסרת תועלת במתמטיקה, זו אינה יוצאת דופן. המטרה הנפוצה ביותר של מספר זה היא להביא שברים למכנה משותף. מה לומדים בדרך כלל בכיתות ה'-ו' בית ספר תיכון. כמו כן בנוסף הוא מחלק משותףעבור כל המספרים המרובים, אם תנאים כאלה נמצאים בבעיה. ביטוי כזה יכול למצוא כפולה לא רק של שני מספרים, אלא גם של מספר גדול בהרבה - שלוש, חמש וכן הלאה. ככל שיותר מספרים - יותר פעולות במשימה, אבל המורכבות של זה לא גדלה.

לדוגמה, בהינתן המספרים 250, 600 ו-1500, עליך למצוא את ה-LCM הכולל שלהם:

1) 250 = 25 * 10 = 5 2 * 5 * 2 = 5 3 * 2 - דוגמה זו מתארת ​​את הפירוק בפירוט, ללא הפחתה.

2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;

3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;

על מנת להרכיב ביטוי, נדרש לציין את כל הגורמים, במקרה זה ניתנים 2, 5, 3 - עבור כל המספרים הללו נדרש לקבוע את המידה המקסימלית.

שימו לב: יש להביא את כל המכפילים לפישוט מלא, במידת האפשר, לפירוק לרמה של ספרות בודדות.

בְּדִיקָה:

1) 3000 / 250 = 12 - נכון;

2) 3000 / 600 = 5 - נכון;

3) 3000 / 1500 = 2 נכון.

שיטה זו אינה דורשת שום טריקים או יכולות ברמה גאונית, הכל פשוט וברור.

דרך נוספת

במתמטיקה הרבה קשור, הרבה אפשר לפתור בשתי דרכים או יותר, אותו דבר לגבי מציאת הכפולה הפחות משותפת, LCM. ניתן להשתמש בשיטה הבאה במקרה של מספרים דו ספרתיים וחד ספרתיים פשוטים. נערכת טבלה שבה הכפיל מוזן אנכית, המכפיל אופקית, והמכפלה מצוין בתאים המצטלבים של העמודה. אתה יכול לשקף את הטבלה באמצעות קו, מספר נלקח ותוצאות הכפלת המספר הזה במספרים שלמים כתובות בשורה, מ-1 עד אינסוף, לפעמים מספיקות 3-5 נקודות, המספרים השניים והאחרים ניתנים לאותו תהליך חישובי. הכל קורה עד שנמצא מכפלה משותפת.

בהינתן המספרים 30, 35, 42, עליך למצוא את ה-LCM שמחבר את כל המספרים:

1) כפולות של 30: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250 וכו'.

2) כפולות של 35: 70, 105, 140, 175, 210, 245 וכו'.

3) כפולות של 42: 84, 126, 168, 210, 252 וכו'.

ניתן להבחין שכל המספרים די שונים, המספר הנפוץ היחיד ביניהם הוא 210, אז זה יהיה ה-LCM. בין התהליכים הקשורים לחישוב זה, קיים גם המחלק המשותף הגדול ביותר, אשר מחושב על פי עקרונות דומים, ולעתים קרובות נתקלים בו בבעיות שכנות. ההבדל קטן, אבל משמעותי מספיק, LCM כולל חישוב של מספר שמתחלק בכל הערכים ההתחלתיים הנתונים, ו-GCD מניח את חישוב הערך הגדול ביותר שבו מחולקים המספרים ההתחלתיים.

המחשבון המקוון מאפשר לך למצוא במהירות את המחלק המשותף הגדול ביותר ואת הכפולה המשותפת הפחותה של שניים או כל מספר אחר של מספרים.

מחשבון למציאת GCD ו-NOC

מצא את GCD ו-NOC

נמצאו GCD ו-NOC: 5806

כיצד להשתמש במחשבון

• הזן מספרים בשדה הקלט
• במקרה של הזנת תווים שגויים, שדה הקלט יודגש באדום
• לחץ על הכפתור "מצא GCD ו-NOC"

כיצד להזין מספרים

• מספרים מוזנים מופרדים על ידי רווחים, נקודות או פסיקים
• אורך המספרים שהוזנו אינו מוגבל, אז למצוא את ה-gcd וה-lcm של מספרים ארוכים לא יהיה קשה

מה זה NOD ו-NOK?

מחלק המשותף הגדול ביותרשל מספר מספרים הוא המספר השלם הטבעי הגדול ביותר שבו כל המספרים המקוריים מתחלקים ללא שארית. המחלק המשותף הגדול ביותר מקוצר בשם GCD.
כפולה משותפת מינימאליתמספר מספרים הוא המספר הקטן ביותר שמתחלק בכל אחד מהמספרים המקוריים ללא שארית. הכפולה הפחות משותפת מקוצרת בשם NOC.

איך בודקים אם מספר מתחלק במספר אחר ללא שארית?

כדי לברר אם מספר אחד מתחלק באחר ללא שארית, אתה יכול להשתמש בכמה מאפיינים של חלוקה של מספרים. לאחר מכן, על ידי שילובם, ניתן לבדוק את ההתחלקות בכמה מהם ובשילובים שלהם.

כמה סימנים לחלוקה של מספרים

1. סימן לחלוקה של מספר ב-2
כדי לקבוע אם מספר מתחלק בשניים (האם הוא זוגי), מספיק להסתכל על הספרה האחרונה של מספר זה: אם הוא שווה ל-0, 2, 4, 6 או 8, אז המספר הוא זוגי, מה שאומר שהוא מתחלק ב-2.
דוגמא:קבע אם המספר 34938 מתחלק ב-2.
פִּתָרוֹן:תסתכל על הספרה האחרונה: 8 אומר שהמספר מתחלק בשניים.

2. סימן לחלוקה של מספר ב-3
מספר מתחלק ב-3 כאשר סכום הספרות שלו מתחלק ב-3. לפיכך, כדי לקבוע אם מספר מתחלק ב-3, צריך לחשב את סכום הספרות ולבדוק אם הוא מתחלק ב-3. גם אם התברר שסכום הספרות גדול מאוד, ניתן לחזור על אותו תהליך. שוב.
דוגמא:קבע אם המספר 34938 מתחלק ב-3.
פִּתָרוֹן:אנו סופרים את סכום הספרות: 3+4+9+3+8 = 27. 27 מתחלק ב-3, כלומר המספר מתחלק בשלוש.

3. סימן לחלוקה של מספר ב-5
מספר מתחלק ב-5 כאשר הספרה האחרונה שלו היא אפס או חמש.
דוגמא:קבע אם המספר 34938 מתחלק ב-5.
פִּתָרוֹן:תסתכל על הספרה האחרונה: 8 אומר שהמספר אינו מתחלק בחמש.

4. סימן לחלוקה של מספר ב-9
סימן זה דומה מאוד לסימן ההתחלקות בשלוש: מספר מתחלק ב-9 כאשר סכום ספרותיו מתחלק ב-9.
דוגמא:קבע אם המספר 34938 מתחלק ב-9.
פִּתָרוֹן:אנו מחשבים את סכום הספרות: 3+4+9+3+8 = 27. 27 מתחלק ב-9, כלומר המספר מתחלק בתשע.

כיצד למצוא GCD ו-LCM של שני מספרים

כיצד למצוא את ה-GCD של שני מספרים

רוב בצורה פשוטהחישוב המחלק המשותף הגדול ביותר של שני מספרים הוא למצוא את כל המחלקים האפשריים של המספרים הללו ולבחור את הגדול שבהם.

שקול שיטה זו באמצעות הדוגמה של מציאת GCD(28, 36):

1. אנו מפרקים את שני המספרים: 28 = 1 2 2 7 , 36 = 1 2 2 3 3
2. אנו מוצאים גורמים משותפים, כלומר אלו שיש לשני המספרים: 1, 2 ו-2.
3. אנו מחשבים את המכפלה של גורמים אלה: 1 2 2 \u003d 4 - זהו המחלק המשותף הגדול ביותר של המספרים 28 ו-36.

כיצד למצוא את ה-LCM של שני מספרים

ישנן שתי דרכים נפוצות ביותר למצוא את הכפולה הקטנה ביותר של שני מספרים. הדרך הראשונה היא שאתה יכול לכתוב את הכפולות הראשונות של שני מספרים, ולאחר מכן לבחור מביניהם מספר כזה שיהיה משותף לשני המספרים ובו בזמן הקטן ביותר. והשנייה היא למצוא את ה-GCD של המספרים האלה. בואו רק נשקול את זה.

כדי לחשב את ה-LCM, עליך לחשב את המכפלה של המספרים המקוריים ולאחר מכן לחלק אותו ב-GCD שנמצא קודם לכן. בוא נמצא את ה-LCM עבור אותם המספרים 28 ו-36:

1. מצא את המכפלה של המספרים 28 ו-36: 28 36 = 1008
2. gcd(28, 36) כבר ידוע כ-4
3. LCM(28, 36) = 1008 / 4 = 252 .

מציאת GCD ו-LCM עבור מספרים מרובים

ניתן למצוא את המחלק המשותף הגדול ביותר עבור מספר מספרים, ולא רק עבור שניים. לשם כך, המספרים שניתן למצוא עבור המחלק המשותף הגדול ביותר מפורקים לגורמים ראשוניים, ואז נמצא המכפלה של הגורמים הראשוניים המשותפים של המספרים הללו. כמו כן, כדי למצוא את ה-GCD של מספר מספרים, אתה יכול להשתמש בקשר הבא: gcd(a,b,c) = gcd(gcd(a,b),c).

יחס דומה חל גם על הכפולה הפחות משותפת של מספרים: LCM(a,b,c) = LCM(LCM(a,b),c)‎

דוגמא:מצא GCD ו-LCM עבור המספרים 12, 32 ו-36.

1. ראשית, נחלק את המספרים לגורמים: 12 = 1 2 2 3 , 32 = 1 2 2 2 2 2 , 36 = 1 2 2 3 3 .
2. בואו נמצא גורמים משותפים: 1, 2 ו-2.
3. המוצר שלהם ייתן gcd: 1 2 2 = 4
4. עכשיו בואו נמצא את ה-LCM: לשם כך נמצא תחילה את ה-LCM(12, 32): 12 32 / 4 = 96.
5. כדי למצוא את ה-NOC של כולם שלושה מספרים, עליך למצוא gcd(96, 36): 96 = 1 2 2 2 2 2 3 , 36 = 1 2 2 3 3 , gcd = 1 2 2 3 = 12 .
6. LCM(12, 32, 36) = 96 36 / 12 = 288 .

מחלק המשותף הגדול ביותר

הגדרה 2

אם מספר טבעי a מתחלק במספר טבעי $b$, אז $b$ נקרא מחלק של $a$, והמספר $a$ נקרא כפולה של $b$.

תנו ל-$a$ ו-$b$ להיות מספרים טבעיים. המספר $c$ נקרא מחלק משותף עבור $a$ ו-$b$ כאחד.

קבוצת המחלקים המשותפים של המספרים $a$ ו-$b$ היא סופית, מכיוון שאף אחד מהמחלקים הללו לא יכול להיות גדול מ$a$. המשמעות היא שבין המחלקים הללו יש את הגדול ביותר, הנקרא המחלק המשותף הגדול ביותר של המספרים $a$ ו-$b$, והסימונים משמשים לציון אותו:

$gcd \ (a;b) \​או \ D \ (a;b)$

כדי למצוא את המחלק המשותף הגדול ביותר של שני מספרים:

1. מצא את המכפלה של המספרים שנמצאו בשלב 2. המספר שיתקבל יהיה המחלק המשותף הגדול ביותר הרצוי.

דוגמה 1

מצא את ה-gcd של המספרים $121$ ו-$132.$

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

בחר את המספרים הנכללים בהרחבה של המספרים הללו

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

מצא את המכפלה של המספרים שנמצאו בשלב 2. המספר שיתקבל יהיה המחלק המשותף הגדול ביותר הרצוי.

$gcd=2\cdot 11=22$

דוגמה 2

מצא את ה-GCD של המונומיאלים $63$ ו$81$.

נמצא לפי האלגוריתם המוצג. לזה:

בואו נפרק מספרים לגורמים ראשוניים

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

אנו בוחרים את המספרים הנכללים בהרחבה של המספרים הללו

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

בוא נמצא את המכפלה של המספרים שנמצאו בשלב 2. המספר שיתקבל יהיה המחלק המשותף הגדול ביותר הרצוי.

$gcd=3\cdot 3=9$

אתה יכול למצוא את ה-GCD של שני מספרים בדרך אחרת, באמצעות קבוצת המחלקים של המספרים.

דוגמה 3

מצא את ה-gcd של המספרים $48$ ו-$60$.

פִּתָרוֹן:

מצא את קבוצת המחלקים של $48$: $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$

כעת בוא נמצא את קבוצת המחלקים של $60$:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right\)$

בוא נמצא את ההצטלבות של קבוצות אלה: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - קבוצה זו תקבע את קבוצת המחלקים המשותפים של המספרים $48$ ו-$60 $. המרכיב הגדול ביותר בסט זה יהיה המספר $12$. אז המחלק המשותף הגדול ביותר של $48$ ו$60$ הוא $12$.

הגדרה של NOC

הגדרה 3

כפולה משותפת מספרים טבעיים $a$ ו-$b$ הוא מספר טבעי שהוא כפולה של $a$ ו-$b$.

כפולות משותפות של מספרים הן מספרים שמתחלקים במקור ללא שארית. לדוגמה, עבור המספרים $25$ ו-$50$, הכפולות המשותפת יהיו המספרים $50,100,150,200$ וכו'.

הכפולה הפחות משותפת תיקרא הכפולה הפחות משותפת ותסומן ב-LCM$(a;b)$ או K$(a;b).$

כדי למצוא את ה-LCM של שני מספרים, אתה צריך:

1. פירוק מספרים לגורמים ראשוניים
2. כתבו את הגורמים שהם חלק מהמספר הראשון והוסיפו אליהם את הגורמים שהם חלק מהשני ולא הולכים לראשון

דוגמה 4

מצא את ה-LCM של המספרים $99$ ו-$77$.

נמצא לפי האלגוריתם המוצג. לזה

פירוק מספרים לגורמים ראשוניים

$99=3\cdot 3\cdot 11$

רשום את הגורמים הכלולים בראשון

מוסיפים להם גורמים שהם חלק מהשני ולא הולכים לראשון

מצא את המכפלה של המספרים שנמצאו בשלב 2. המספר שיתקבל יהיה הכפולה הפחות משותפת הרצויה

$LCC=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

חיבור רשימות של מחלקים של מספרים הוא לעתים קרובות מאוד זמן רב. יש דרך למצוא GCD שנקראת האלגוריתם של אוקלידס.

הצהרות שעליהן מבוסס האלגוריתם של אוקלידס:

אם $a$ ו-$b$ הם מספרים טבעיים, ו-$a\vdots b$, אז $D(a;b)=b$

אם $a$ ו-$b$ הם מספרים טבעיים כך ש-$b

באמצעות $D(a;b)= D(a-b;b)$, נוכל להקטין ברציפות את המספרים הנחשבים עד שנגיע לזוג מספרים כך שאחד מהם מתחלק בשני. אז הקטן מבין המספרים הללו יהיה המחלק המשותף הגדול ביותר הרצוי עבור המספרים $a$ ו-$b$.

מאפיינים של GCD ו-LCM

1. כל כפולה משותפת של $a$ ו-$b$ מתחלקת ב-K$(a;b)$
2. אם $a\vdots b$ , אז K$(a;b)=a$

אם K$(a;b)=k$ ו-$m$-מספר טבעי, אז K$(am;bm)=km$

אם $d$ הוא מחלק משותף עבור $a$ ו-$b$, אז K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d) ) $

אם $a\vdots c$ ו-$b\vdots c$ , אז $\frac(ab)(c)$ הוא כפולה משותפת של $a$ ו-$b$

עבור כל מספרים טבעיים $a$ ו-$b$ השוויון

$D(a;b)\cdot K(a;b)=ab$

כל מחלק משותף של $a$ ו-$b$ הוא מחלק של $D(a;b)$

כפולה של מספר היא מספר המתחלק במספר נתון ללא שארית. הכפולה הפחות משותפת (LCM) של קבוצת מספרים היא המספר הקטן ביותר שמתחלק באופן שווה בכל מספר בקבוצה. כדי למצוא את הכפולה המשותפת הפחותה, עליך למצוא את הגורמים הראשוניים של המספרים הנתונים. כמו כן, ניתן לחשב LCM באמצעות מספר שיטות אחרות החלות על קבוצות של שני מספרים או יותר.

שלבים

מספר כפולות

תסתכל על המספרים האלה.השיטה המתוארת כאן משמשת בצורה הטובה ביותר כאשר ניתנים שני מספרים, כל אחד קטן מ-10. אם ניתן מספרים גדולים, השתמש בשיטה אחרת.

• לדוגמה, מצא את הכפולה הפחות משותפת של המספרים 5 ו-8. אלו הם מספרים קטנים, כך שניתן להשתמש בשיטה זו.

1. כפולה של מספר היא מספר המתחלק במספר נתון ללא שארית. ניתן למצוא מספרים מרובים בטבלת הכפל.

   • לדוגמה, מספרים שהם כפולות של 5 הם: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.

2. רשום סדרה של מספרים שהם כפולות של המספר הראשון.עשה זאת תחת כפולות של המספר הראשון כדי להשוות בין שתי שורות של מספרים.

   • לדוגמה, מספרים שהם כפולות של 8 הם: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 ו-64.

3. מצא את המספר הקטן ביותר שמופיע בשתי סדרות הכפולות.ייתכן שיהיה עליך לכתוב סדרות ארוכות של כפולות כדי למצוא את הסכום הכולל. המספר הקטן ביותר המופיע בשתי סדרות הכפולות הוא הכפולה הפחות משותפת.

   • לדוגמה, המספר הקטן ביותר, המופיע בסדרת הכפולות של 5 ו-8, הוא המספר 40. לכן, 40 היא הכפולה הפחות משותפת של המספרים 5 ו-8.

   פירוק לגורמים ראשוניים

   1. תסתכל על המספרים האלה.השיטה המתוארת כאן היא הטובה ביותר לשימוש כאשר ניתנים שני מספרים ששניהם גדולים מ-10. אם ניתנים מספרים קטנים יותר, השתמש בשיטה אחרת.

      • לדוגמה, מצא את הכפולה הפחות משותפת של המספרים 20 ו-84. כל אחד מהמספרים גדול מ-10, כך שניתן להשתמש בשיטה זו.

   2. עשה פקטוריון את המספר הראשון.כלומר, אתה צריך למצוא מספרים ראשוניים כאלה, כאשר מכפילים, אתה מקבל מספר נתון. לאחר שמצאתי גורמים ראשוניים, רשום אותם כשוויון.

      • לדוגמה, 2 × 10 = 20 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 10=20)ו 2 × 5 = 10 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times (\mathbf (5) )=10). בדרך זו, גורמים ראשונייםהמספרים 20 הם המספרים 2, 2 ו-5. רשמו אותם כביטוי:.

   3. חלק את המספר השני לגורמים ראשוניים.עשה זאת באותו אופן שבו פירקתם את המספר הראשון, כלומר, מצאו מספרים ראשוניים כאלה שכאשר מכפילים אותם, יקבלו את המספר הזה.

      • לדוגמה, 2 × 42 = 84 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 42=84), 7 × 6 = 42 (\displaystyle (\mathbf (7) )\times 6=42)ו 3 × 2 = 6 (\displaystyle (\mathbf (3) )\times (\mathbf (2) )=6). לפיכך, הגורמים הראשוניים של המספר 84 הם המספרים 2, 7, 3 ו-2. רשמו אותם כביטוי:.

   4. רשום את הגורמים המשותפים לשני המספרים.כתוב גורמים כגון פעולת כפל. בזמן שאתה כותב כל גורם, חוצים אותו בשני הביטויים (ביטויים המתארים את פירוק המספרים לגורמים ראשוניים).

      • לדוגמה, הגורם המשותף לשני המספרים הוא 2, אז כתוב 2 × (\displaystyle 2\times )וחוצים את ה-2 בשני הביטויים.
      • הגורם המשותף לשני המספרים הוא גורם נוסף של 2, אז כתוב 2 × 2 (\displaystyle 2\times 2)וחוצים את ה-2 השני בשני הביטויים.

   5. הוסף את הגורמים הנותרים לפעולת הכפל.אלו גורמים שאינם מחוצים בשני הביטויים, כלומר גורמים שאינם משותפים לשני המספרים.

      • למשל, בביטוי 20 = 2 × 2 × 5 (\displaystyle 20=2\times 2\times 5)שני השניים (2) מחוקים מכיוון שהם גורמים משותפים. הגורם 5 אינו מחוצה, אז כתוב את פעולת הכפל באופן הבא: 2 × 2 × 5 (\displaystyle 2\times 2\times 5)
      • בביטוי 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\displaystyle 84=2\times 7\times 3\times 2)שני הצירים (2) מחוצים גם הם. גורמים 7 ו-3 אינם מחוצים, אז כתוב את פעולת הכפל באופן הבא: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\displaystyle 2\times 2\times 5\times 7\times 3).

   6. חשב את הכפולה הפחות משותפת.לשם כך, הכפל את המספרים בפעולת הכפל הכתובה.

      • לדוגמה, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\displaystyle 2\times 2\times 5\times 7\times 3=420). אז הכפולה הפחות משותפת של 20 ו-84 היא 420.

   מציאת מחלקים משותפים

   1. צייר רשת כמו שאתה עושה למשחק של טיק-טק.רשת כזו מורכבת משני קווים מקבילים החותכים (בזוויות ישרות) עם שני ישרים מקבילים אחרים. זה יביא לשלוש שורות ושלוש עמודות (הרשת דומה מאוד לסימן #). כתוב את המספר הראשון בשורה הראשונה ובעמודה השנייה. כתוב את המספר השני בשורה הראשונה ובעמודה השלישית.

      • לדוגמה, מצא את הכפולה הפחות משותפת של 18 ו-30. כתוב 18 בשורה הראשונה ובעמודה השנייה, וכתוב 30 בשורה הראשונה ובעמודה השלישית.

   2. מצא את המחלק המשותף לשני המספרים.רשום את זה בשורה הראשונה ובעמודה הראשונה. עדיף לחפש מחלקים ראשוניים, אבל זה לא תנאי מוקדם.

      • לדוגמה, 18 ו-30 הם מספרים זוגיים, ולכן המחלק המשותף שלהם הוא 2. אז כתוב 2 בשורה הראשונה ובעמודה הראשונה.

   3. מחלקים כל מספר במחלק הראשון.כתוב כל מנה תחת המספר המתאים. המנה היא תוצאה של חלוקת שני מספרים.

      • לדוגמה, 18 ÷ 2 = 9 (\displaystyle 18\div 2=9), אז כתוב 9 מתחת לגיל 18.
      • 30 ÷ 2 = 15 (\displaystyle 30\div 2=15), אז כתוב 15 מתחת ל-30.

   4. מצא מחלק משותף לשתי המנות.אם אין מחלק כזה, דלג על שני השלבים הבאים. אחרת, רשום את המחלק בשורה השנייה ובעמודה הראשונה.

      • לדוגמה, 9 ו-15 מתחלקים ב-3, אז כתוב 3 בשורה השנייה ובעמודה הראשונה.

   5. מחלקים כל מנה במחלק השני.כתוב כל תוצאת חלוקה תחת המנה המתאימה.

      • לדוגמה, 9 ÷ 3 = 3 (\displaystyle 9\div 3=3), אז כתוב 3 מתחת ל-9.
      • 15 ÷ 3 = 5 (\displaystyle 15\div 3=5), אז כתוב 5 מתחת ל-15.

   6. במידת הצורך, השלימו את הרשת בתאים נוספים.חזור על השלבים שלעיל עד למנות יש מחלק משותף.

   7. הקף את המספרים בעמודה הראשונה ובשורה האחרונה של הרשת.לאחר מכן כתוב את המספרים המודגשים כפעולת כפל.

      • לדוגמה, המספרים 2 ו-3 נמצאים בעמודה הראשונה, והמספרים 3 ו-5 נמצאים בשורה האחרונה, אז כתוב את פעולת הכפל כך: 2 × 3 × 3 × 5 (\displaystyle 2\times 3\times 3\times 5).

   8. מצא את התוצאה של הכפלת מספרים.זה יחשב את הכפולה הפחות משותפת של שני המספרים הנתונים.

      • לדוגמה, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\displaystyle 2\times 3\times 3\times 5=90). אז הכפולה הפחות משותפת של 18 ו-30 היא 90.

   האלגוריתם של אוקלידס

   1. זכור את הטרמינולוגיה הקשורה לפעולת החלוקה.הדיבידנד הוא המספר שמתחלק. המחלק הוא המספר שבו מחלקים. המנה היא תוצאה של חלוקת שני מספרים. השאר הוא המספר שנותר כאשר מחלקים שני מספרים.

      • למשל, בביטוי 15 ÷ 6 = 2 (\displaystyle 15\div 6=2)מנוחה. 3:
        15 הוא המתחלק
        6 הוא המחלק
        2 הוא פרטי
        3 זה השאר.