(!LANG: מה מיוחד בפי? מתמטיקאי עונה. ההיסטוריה של פי

(), וזה הפך למקובל לאחר עבודתו של אוילר. ייעוד זה מגיע מ אות ראשוניתמילים יווניות περιφέρεια - מעגל, פריפריה ו-περίμετρος - היקף.

דירוגים

• 510 סימנים לאחר מטרה: π ≈ 3.141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 884 197 169 399 375 105 820 974 944 592 307 816 406 286 208 998 628 034 825 342 96666666 606 606 606 606 606 606 606 606 606 606 606 606 606 606 606 606 606 966 606 606 606 606 606 606 606 606 606 606 606 606 606 606 606 606 606 606 606 606 606 606 606 606 606 606 606 606 606 606 606 606 606 606 606 606 606 606 606 606 606 606 606 606 606 606 606 606 606 606 606 606 606 606 606 606 606 606 606 606 606 606606 60606 606 606 606AR 550 582 231 725 359 408 128 481 117 450 284 102 701 938 521 105 559 644 622 948 954 930 381 964 428 810 975 665 933 446 128 475 648 386222222. 607 260 249 141 273 724 587 006 606 315 588 174 881 520 920 962 829 254 091 715 364 367 892 590 360 011 330 548 820 466 521 384 146 951 941 511 6133 31031 319 319 3131 931 931 932 932 932 932 932 932 932 932 932 932 932 932 932 932 932 932 932 932 932 932 932 932 355 31 93 548 074 462 379 962 749 567 351 885 752 724 891 227 938 183 011 949 129 833 673 362…

נכסים

יחסים

ישנן נוסחאות רבות עם המספר π:

• נוסחת וואליס:

• זהותו של אוילר:

• ט.נ. "אינטגרל פויסון" או "אינטגרל גאוס"

התעלות וחוסר רציונליות

נושאים לא פתורים

• לא ידוע אם המספרים π ו העצמאי מבחינה אלגברית.
• לא ידוע אם המספרים π + ה , π − ה , π ה , π / ה , π ה , π π , ה הטרנסצנדנטי.
• עד כה, לא ידוע דבר על נורמליות המספר π; אפילו לא ידוע איזו מהספרות 0-9 מופיעה בייצוג העשרוני של המספר π אינסוף פעמים.

היסטוריית חישובים

וחודנובסקי

חוקי מנמוני

כדי לא לטעות, עלינו לקרוא נכון: שלוש, ארבע עשרה, חמש עשרה, תשעים ושתיים ושש. אתה רק צריך לנסות ולזכור הכל כמו שהוא: שלוש, ארבע עשרה, חמש עשרה, תשעים ושתיים ושש. שלוש, ארבע עשרה, חמש עשרה, תשע, שתיים, שש, חמש, שלוש, חמש. כדי לעסוק במדע, כולם צריכים לדעת את זה. אתה יכול פשוט לנסות ולחזור על כך לעתים קרובות יותר: "שלוש, ארבע עשרה, חמש עשרה, תשע, עשרים ושש וחמש."

2. ספור את מספר האותיות בכל מילה בביטויים למטה ( התעלמות מסימני פיסוק) ורשום את המספרים האלה ברצף - בלי לשכוח את הנקודה העשרונית אחרי הספרה הראשונה "3", כמובן. קבל מספר משוער של Pi.

זאת אני יודע וזוכר היטב: וסימנים רבים מיותרים לי, לשווא.

מי, בצחוק, ובקרוב מאחל שפיי ידע את המספר - כבר יודע!

אז מישה ואניוטה רצו לפיי כדי לברר את המספר שהם רוצים.

(הזכרון השני נכון (עם עיגול הספרה האחרונה) רקבעת שימוש בכתיב טרום-רפורמה: בעת ספירת מספר האותיות במילים, יש לקחת בחשבון סימנים קשים!)

גרסה נוספת של סימון המנמוני הזה:

אני יודע וזוכר היטב:
פי סימנים רבים מיותרים בעיני, לשווא.
בואו נסמוך על הידע הרב
מי שספר, מספרים ארמדה.

פעם אחת בקוליה וארינה קרענו את מיטות הנוצות. מוך לבן עף, הקיף, אמיץ, קפוא, מאושר החוצה הוא נתן לנו כְּאֵב רֹאשׁאישה זקנה. וואו, רוח מוך מסוכנת!

אם תעקבו אחר הגודל הפיוטי, תוכלו לזכור במהירות:

שלוש, ארבע עשרה, חמש עשרה, תשע שתיים, שש חמש, שלוש חמש
שמונה תשע, שבע ותשע, שלוש שתיים, שלוש שמונה, ארבעים ושש
שתיים שש ארבע, שלוש שלוש שמונה, שלוש שתיים שבע תשע, חמש אפס שתיים
שמונה שמונה וארבע תשע עשרה שבע אחת

עובדות מצחיקות

הערות

ראה מה זה "פי" במילונים אחרים:

מספר- מקור קבלה: GOST 111 90: זכוכית. מפרטים מסמך מקורי ראה גם מונחים קשורים: 109. מספר תנודות בטאטרון ... מילון-ספר עיון במונחים של תיעוד נורמטיבי וטכני

לדוגמה, ס., שימוש. לעתים קרובות מאוד מורפולוגיה: (לא) מה? מספרים למה? מספר, (ראה) מה? מספר מאשר? מספר על מה? לגבי המספר; pl. מה? מספרים, (לא) מה? מספרים למה? מספרים, (ראה) מה? מספרים מאשר? מספרים על מה? על מספרים במתמטיקה 1. מספר ... ... מילוןדמיטרייבה

NUMBER, מספרים, pl. מספרים, מספרים, מספרים, ראה. 1. מושג המשמש כביטוי לכמות, משהו שבעזרתו סופרים חפצים ותופעות (מט.). מספר שלם. מספר חלקי. מספר בשם. מספר ראשוני. (ראה ערך פשוט1 ב-1).… … מילון הסבר של אושקוב

ייעוד מופשט, נטול תוכן מיוחד, של כל חבר בסדרה מסוימת, שבו לפני חבר זה או אחריו חבר מוגדר אחר; תכונה אינדיבידואלית מופשטת המבדילה קבוצה אחת מ ... ... אנציקלופדיה פילוסופית

מספר- מספר היא קטגוריה דקדוקית המבטאת את המאפיינים הכמותיים של מושאי מחשבה. המספר הדקדוקי הוא אחד הביטויים של קטגוריה לשונית כללית יותר של כמות (ראה הקטגוריה הלשונית) יחד עם ביטוי מילוני ("לקסיקלי ... ... מילון אנציקלופדי לשוני

מספר שווה בקירוב ל-2.718, שנמצא לעתים קרובות במתמטיקה ובמדעים. לדוגמה, במהלך דעיכה של חומר רדיואקטיבי לאחר זמן t, נשאר שבר שווה ל-e kt מכמות החומר הראשונית, כאשר k הוא מספר, ... ... אנציקלופדיית קולייר

אבל; pl. מספרים, כפרים, סלאם; ראה. 1. יחידת חשבון המבטאת כמות כזו או אחרת. שברים, מספר שלם, שעות פשוטות. זוגיות, שעות אי-זוגיות. ספירה כמספרים עגולים (בקירוב, ספירה כיחידות שלמות או עשרות). שעות טבעיות (מספר שלם חיובי... מילון אנציקלופדי

היינו עושים כמות, ספירה, לשאלה: כמה? ועצם הסימן המבטא כמות, הדמות. ללא מספר; אין מספר, אין ספירה, הרבה הרבה. שים את המכשירים לפי מספר האורחים. מספרים רומיים, ערביים או כנסיות. מספר שלם, קונטרה. שבריר. ... ... מילון ההסבר של דאל

ההיסטוריה של פי מתחילה ב מצרים העתיקהוהולך יד ביד עם הפיתוח של כל המתמטיקה. אנחנו פוגשים את הערך הזה לראשונה בין כותלי בית הספר.

המספר Pi הוא אולי המסתורי ביותר מבין מספר אינסופי של אחרים. מוקדשים לו שירים, אמנים מגלמים אותו, ואף נעשה עליו סרט. במאמר שלנו, נבחן את ההיסטוריה של הפיתוח והמחשוב, כמו גם את תחומי היישום של קבוע Pi בחיינו.

פאי הוא קבוע מתמטי השווה ליחס בין היקף המעגל לאורך קוטרו. בתחילה, הוא נקרא מספר לודולף, והוצע לציון אותו באות Pi על ידי המתמטיקאי הבריטי ג'ונס ב-1706. לאחר עבודתו של לאונרד אוילר ב-1737, ייעוד זה הפך למקובל.

המספר Pi הוא אי-רציונלי, כלומר לא ניתן לבטא את ערכו בדיוק כשבר מ/n, כאשר m ו-n הם מספרים שלמים. זה הוכח לראשונה על ידי יוהאן למברט ב-1761.

ההיסטוריה של התפתחות המספר Pi כבר הייתה בסביבות 4000 שנים. אפילו המתמטיקאים המצרים והבבלים הקדמונים ידעו שהיחס בין ההיקף לקוטר זהה לכל עיגול וערכו הוא קצת יותר משלוש.

ארכימדס הציע שיטה מתמטית לחישוב פאי, בה הוא רשם במעגל ותיאר סביבו מצולעים רגילים. לפי החישובים שלו, Pi היה שווה בקירוב ל-22/7 ≈ 3.142857142857143.

במאה ה-2, Zhang Heng הציע שני ערכים עבור pi: ≈ 3.1724 ו≈ 3.1622.

המתמטיקאים ההודיים אריאבהאטה ובהאסקרה מצאו ערך משוער של 3.1416.

הקירוב המדויק ביותר של pi במשך 900 שנה היה חישוב של המתמטיקאי הסיני Zu Chongzhi בשנות ה-480. הוא הסיק ש-Pi ≈ 355/113 והראה ש-3.1415926< Пи < 3,1415927.

עד האלף השני, לא חושבו יותר מ-10 ספרות של Pi. רק עם פיתוח ניתוח מתמטי, ובמיוחד עם גילוי הסדרות, נרשמו התקדמויות גדולות לאחר מכן בחישוב הקבוע.

בשנות ה-1400, מדבה הצליח לחשב Pi=3.14159265359. שיאו נשבר על ידי המתמטיקאי הפרסי אל-קאשי ב-1424. הוא בעבודתו "מסכת על ההיקף" ציטט 17 ספרות של Pi, 16 מהן התבררו כנכונות.

המתמטיקאי ההולנדי לודולף ואן זאולן הגיע ל-20 מספרים בחישוביו, והעניק 10 שנים מחייו על כך. לאחר מותו, התגלו 15 ספרות נוספות של פאי ברשימותיו. הוא הוריש שדמויות אלו נחצבו על מצבתו.

עם הופעת המחשבים, למספר Pi כיום יש כמה טריליון ספרות וזה לא הגבול. אבל, כפי שצוין בפרקטלים לכיתה, למרות כל החשיבות של pi, "קשה למצוא אזורים בחישובים מדעיים הדורשים יותר מעשרים מקומות עשרוניים."

בחיינו, המספר Pi משמש בתחומים מדעיים רבים. פיזיקה, אלקטרוניקה, תורת הסתברות, כימיה, בנייה, ניווט, פרמקולוגיה - אלה הם רק חלק מהם שפשוט אי אפשר לדמיין בלי המספר המסתורי הזה.

רוצה לדעת ולהיות מסוגל לעשות יותר בעצמך?

אנו מציעים לכם הכשרה בתחומים הבאים: מחשבים, תוכנות, אדמיניסטרציה, שרתים, רשתות, בניית אתרים, SEO ועוד. גלה את הפרטים עכשיו!

על פי האתר Calculator888.ru - מספר פאי - משמעות, היסטוריה, מי המציא אותו.

המשמעות של המספר "פי", כמו גם הסמליות שלו, ידועה בכל העולם. מונח זה מציין מספרים אי-רציונליים (כלומר, לא ניתן לבטא את ערכם בדיוק כשבר y/x, כאשר y ו-x הם מספרים שלמים) והוא מושאל מ יחידה ביטוי יוונית עתיקה"פריפריה", שניתן לתרגם לרוסית כ"היקף".
המספר "Pi" במתמטיקה מציין את היחס בין היקף מעגל לאורך קוטרו.ההיסטוריה של מקור המספר "פי" נכנסת לעבר הרחוק. היסטוריונים רבים ניסו לקבוע מתי ועל ידי מי הומצא הסמל הזה, אך הם לא הצליחו לגלות.

פאי"הוא מספר טרנסצנדנטי, או באמירה במילים פשוטותזה לא יכול להיות שורש של פולינום כלשהו עם מקדמים שלמים. זה יכול להיות מסומן כמספר ממשי או כמספר עקיף שאינו אלגברי.

Pi הוא 3.1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510...

פאי"יכול להיות לא רק מספר אי-רציונלי שלא ניתן לבטא באמצעות כמה מספרים שונים. המספר "pi" יכול להיות מיוצג על ידי מסוים שבר עשרוני, שיש לו מספר אינסופי של ספרות אחרי הנקודה העשרונית. עוד נקודה מעניינת - כל המספרים האלה לא מסוגלים לחזור.

פאי"ניתן לתאם עם המספר השברי 22/7, מה שנקרא "אוקטבה משולשת". מספר זה היה ידוע אפילו על ידי כמרים יווניים עתיקים. בנוסף, אפילו תושבים רגילים יכלו להשתמש בו כדי לפתור כל בעיה יומיומית, כמו גם להשתמש בו כדי לעצב מבנים מורכבים כמו קברים.
לדברי המדען והחוקר היינס, ניתן לאתר מספר דומה בין חורבות סטונהנג', וגם למצוא אותו בפירמידות המקסיקניות.

פאי"מוזכר בכתביו אחמס, מהנדס ידוע באותה תקופה. הוא ניסה לחשב אותו בצורה מדויקת ככל האפשר על ידי מדידת קוטר של עיגול מהריבועים שצוירו בתוכו. כנראה, במובן מסוים, למספר הזה יש משמעות מיסטית וקדושה מסוימת עבור הקדמונים.

פאי"למעשה הכי מסתורי סמל מתמטי. אפשר לסווג את זה כדלתא, אומגה וכו'. זו גישה כזו שתתברר שזהה לחלוטין, ללא קשר לאיזו נקודה ביקום יהיה הצופה. בנוסף, הוא לא ישתנה מאובייקט המדידה.

סביר להניח שהאדם הראשון שהחליט לחשב את המספר "פי" בשיטה המתמטית הוא ארכימדס. הוא החליט שהוא מצייר מצולעים רגילים במעגל. בהתחשב בקוטר המעגל כיחידה, המדען ציין את היקף המצולע שצויר במעגל, תוך התייחסות להיקף המצולע הכתוב כאומדן עליון, אך כהערכה נמוכה יותר של ההיקף.

מהו המספר "פי"

פאי
הסמל PI מייצג את היחס בין היקף מעגל לקוטרו. בפעם הראשונה במובן זה, הסמל p שימש את וו. ג'ונס בשנת 1707, ול. אוילר, לאחר שקיבל את הכינוי הזה, הכניס אותו לשימוש מדעי. אפילו בימי קדם, מתמטיקאים ידעו שחישוב הערך של p ושטח המעגל הן משימות קשורות קשר הדוק. הסינים הקדמונים והיהודים הקדמונים חשבו שהמספר p שווה ל-3. הערך של p, השווה ל-3.1605, מצוי בפפירוס המצרי הקדום של הסופר אחמס (בערך 1650 לפנה"ס). בסביבות 225 לפני הספירה ה. ארכימדס, תוך שימוש ב-96 גונים רגילים כתובים ומוקפים, התקרב לשטח המעגל בשיטה שהביאה לערך PI בין 31/7 ל-310/71. ערך משוער נוסף של p, שווה ערך לייצוג העשרוני הרגיל של מספר זה 3.1416, ידוע מאז המאה ה-2. L. van Zeulen (1540-1610) חישב את הערך של PI עם 32 מקומות עשרוניים. עד סוף המאה ה-17. שיטות חדשות של ניתוח מתמטי אפשרו לחשב את הערך של p לפי הסט דרכים שונות. בשנת 1593 גזר F. Viet (1540-1603) את הנוסחה

בשנת 1665 הוכיח ג'יי וואליס (1616-1703) את זה

בשנת 1658, W. Brounker מצא ייצוג של המספר p בצורה של שבר המשך

ג' לייבניץ ב-1673 פרסם סדרה

סדרות מאפשרות לך לחשב את הערך של p עם כל מספר של מקומות עשרוניים. בְּ השנים האחרונותעם הופעת המחשבים האלקטרוניים, הערך של p נמצא עם יותר מ-10,000 תווים. עם עשר ספרות, הערך של PI הוא 3.1415926536. כמספר, ל-PI יש כמה תכונות מעניינות. לדוגמה, לא ניתן לייצג אותו כיחס של שני מספרים שלמים או כעשרוני מחזורי; המספר PI הוא טרנסצנדנטי, כלומר. לא ניתן לייצג כשורש של משוואה אלגברית עם מקדמים רציונליים. מספר ה-PI כלול בנוסחאות מתמטיות, פיזיקליות וטכניות רבות, כולל כאלה שאינן קשורות ישירות לשטח של מעגל או לאורך של קשת מעגל. לדוגמה, השטח של אליפסה A ניתן על ידי A = pab, כאשר a ו-b הם אורכי הצירים הגדולים והקטנים למחצה.

אנציקלופדיית קולייר. - חברה פתוחה. 2000 .

ראה מה זה "מספר PI" במילונים אחרים:

מספר- מקור קבלה: GOST 111 90: זכוכית. מפרטים מסמך מקורי ראה גם מונחים קשורים: 109. מספר תנודות בטאטרון ... מילון-ספר עיון במונחים של תיעוד נורמטיבי וטכני

לדוגמה, ס., שימוש. לעתים קרובות מאוד מורפולוגיה: (לא) מה? מספרים למה? מספר, (ראה) מה? מספר מאשר? מספר על מה? לגבי המספר; pl. מה? מספרים, (לא) מה? מספרים למה? מספרים, (ראה) מה? מספרים מאשר? מספרים על מה? על מספרים במתמטיקה 1. מספר ... ... מילון דמיטרייב

NUMBER, מספרים, pl. מספרים, מספרים, מספרים, ראה. 1. מושג המשמש כביטוי לכמות, משהו שבעזרתו סופרים חפצים ותופעות (מט.). מספר שלם. מספר חלקי. מספר בשם. מספר ראשוני. (ראה ערך פשוט1 ב-1).… … מילון הסבר של אושקוב

ייעוד מופשט, נטול תוכן מיוחד, של כל חבר בסדרה מסוימת, שבו לפני חבר זה או אחריו חבר מוגדר אחר; תכונה אינדיבידואלית מופשטת המבדילה קבוצה אחת מ ... ... אנציקלופדיה פילוסופית

מספר- מספר היא קטגוריה דקדוקית המבטאת את המאפיינים הכמותיים של מושאי מחשבה. המספר הדקדוקי הוא אחד הביטויים של קטגוריה לשונית כללית יותר של כמות (ראה הקטגוריה הלשונית) יחד עם ביטוי מילוני ("לקסיקלי ... ... מילון אנציקלופדי לשוני

מספר שווה בקירוב ל-2.718, שנמצא לעתים קרובות במתמטיקה ובמדעים. לדוגמה, במהלך דעיכה של חומר רדיואקטיבי לאחר זמן t, נשאר שבר שווה ל-e kt מכמות החומר הראשונית, כאשר k הוא מספר, ... ... אנציקלופדיית קולייר

אבל; pl. מספרים, כפרים, סלאם; ראה. 1. יחידת חשבון המבטאת כמות כזו או אחרת. שברים, מספר שלם, שעות פשוטות. זוגיות, שעות אי-זוגיות. ספירה כמספרים עגולים (בקירוב, ספירה כיחידות שלמות או עשרות). שעות טבעיות (מספר שלם חיובי... מילון אנציקלופדי

היינו עושים כמות, ספירה, לשאלה: כמה? ועצם הסימן המבטא כמות, הדמות. ללא מספר; אין מספר, אין ספירה, הרבה הרבה. שים את המכשירים לפי מספר האורחים. מספרים רומיים, ערביים או כנסיות. מספר שלם, קונטרה. שבריר. ... ... מילון ההסבר של דאל

NUMBER, a, pl. מספרים, כפרים, סלאם, cf. 1. המושג הבסיסי של המתמטיקה הוא הערך, בעזרתו מחשבים את הנחיל. שעות שלמים שעות שבריות שעות אמיתיות שעות מורכבות שעות טבעיות (מספר שלם מספר חיובי). פשוט ח. ( מספר טבעי, לא … … מילון הסבר של אוז'גוב

מספר "E" (EXP), מספר אי-רציונלי המשמש כבסיס לוגריתמים טבעיים. המספר העשרוני האמיתי הזה, שבר אינסופי השווה ל-2.7182818284590...., הוא הגבול של הביטוי (1/) כאשר n הולך לאינסוף. למעשה,… … מילון אנציקלופדי מדעי וטכני

כמות, מזומן, הרכב, חוזק, מותנה, כמות, נתון; יום.. רביעי. . ראה יום, כמות. מספר קטן, ללא מספר, גדל במספר... מילון מילים נרדפות וביטויים רוסים דומים במשמעותם. תַחַת. ed. נ. אברמובה, מ.: רוסים ... ... מילון מילים נרדפות

ספרים

• מספר שם. סודות הנומרולוגיה. יציאה מהגוף לעצלנים. ספר לימוד על תפיסה חוץ-חושית (מספר כרכים: 3)
• מספר שם. מבט חדש על מספרים. נומרולוגיה - דרך הידע (מספר כרכים: 3), לורנס שירלי. מספר שם. סודות הנומרולוגיה. ספרה של שירלי ב' לורנס הוא מחקר מקיף על המערכת האזוטרית העתיקה - הנומרולוגיה. כדי ללמוד כיצד להשתמש ברטט מספר כדי...

מבוא

המאמר מכיל נוסחאות מתמטיות, לכן לקריאה היכנסו לאתר להצגתן הנכונה.למספר \(\pi \) יש היסטוריה עשירה. קבוע זה מציין את היחס בין היקף המעגל לקוטרו.

במדע, המספר \(\pi \) משמש בכל חישוב שבו יש עיגולים. החל מנפח של פחית סודה, ועד למסלולים של לוויינים. ולא רק מעגלים. ואכן, במחקר של קווים מעוקלים, המספר \(\pi \) עוזר להבין מערכות מחזוריות ותנודות. למשל, גלים אלקטרומגנטיים ואפילו מוזיקה.

בשנת 1706, בספר "מבוא חדש למתמטיקה" מאת המדען הבריטי ויליאם ג'ונס (1675-1749), נעשה לראשונה שימוש באות האלפבית היווני \(\pi\) לציון המספר 3.141592. .. ייעוד זה מגיע מהאות הראשונית של המילים היווניות περιϕερεια - מעגל, פריפריה ו-περιµετρoς - היקף. הכינוי המקובל הפך לאחר עבודתו של לאונרד אוילר ב-1737.

תקופה גיאומטרית

הקביעות של היחס בין אורך כל עיגול לקוטרו מורגשת במשך זמן רב. תושבי מסופוטמיה השתמשו בקירוב גס למדי של המספר \(\pi \). כדלקמן מבעיות קדומות, הם משתמשים בערך \(\pi ≈ 3 \) בחישוביהם.

ערך מדויק יותר עבור \(\pi \) שימש את המצרים הקדמונים. בלונדון ובניו יורק שומרים שני חלקים מפפירוס מצרי עתיק, המכונה "פפירוס רינדה". הפפירוס חובר על ידי הסופר ארמס בין השנים 2000-1700 לערך לפני הספירה. לפני הספירה ארמס כתב בפפירוס שלו ששטח מעגל עם רדיוס \(r\) שווה לשטח של ריבוע עם צלע שווה ל-\(\frac(8)(9) \) מקוטר המעגל \(\frac(8 )(9) \cdot 2r \), כלומר \(\frac(256)(81) \cdot r^2 = \pi r^2 \). מכאן \(\pi = 3,16\).

המתמטיקאי היווני הקדום ארכימדס (287-212 לפנה"ס) הציב לראשונה את המשימה של מדידת מעגל על ​​בסיס מדעי. הוא קיבל את הציון \(3\frac(10)(71)< \pi < 3\frac{1}{7}\), рассмотрев отношение периметров вписанного и описанного 96-угольника к диаметру окружности. Архимед выразил приближение числа \(\pi \) в виде дроби \(\frac{22}{7}\), которое до сих называется архимедовым числом.

השיטה פשוטה למדי, אך בהיעדר טבלאות מוכנות פונקציות טריגונומטריותנדרשת מיצוי שורשים. בנוסף, הקירוב ל-\(\pi \) מתכנס לאט מאוד: בכל איטרציה, השגיאה פוחתת רק בפקטור ארבע.

תקופה אנליטית

למרות זאת, עד אמצע המאה ה-17, כל הניסיונות של מדענים אירופאים לחשב את המספר \ (\ pi \) צומצמו להגדלת צלעות המצולע. לדוגמה, המתמטיקאי ההולנדי לודולף ואן זיילן (1540-1610) חישב את הערך המשוער של המספר \(\pi \) בדיוק של 20 ספרות עשרוניות.

לקח לו 10 שנים להבין את זה. על ידי הכפלת מספר הצלעות של המצולעים הכתובים והמוקפים לפי שיטת ארכימדס, הוא הגיע ל-\(60 \cdot 2^(29) \) - ריבוע על מנת לחשב \(\pi \) עם 20 מקומות עשרוניים.

לאחר מותו נמצאו בכתבי היד שלו 15 ספרות מדויקות יותר של המספר \(\pi \). לודולף הוריש שהסימנים שמצא נחצבו על מצבתו. לכבודו, המספר \(\pi \) נקרא לפעמים "מספר לודולף" או "קבוע לודולף".

אחד הראשונים שהציגו שיטה שונה מזו של ארכימדס היה פרנסואה וייט (1540-1603). הוא הגיע לתוצאה שלמעגל שקוטרו שווה לאחד יש שטח:

\[\frac(1)(2 \sqrt(\frac(1)(2)) \cdot \sqrt(\frac(1)(2) + \frac(1)(2) \sqrt(\frac(1) )(2)) ) \cdot \sqrt(\frac(1)(2) + \frac(1)(2) \sqrt(\frac(1)(2) + \frac(1)(2) \sqrt (\frac(1)(2) \cdots )))) \]

מצד שני, השטח הוא \(\frac(\pi)(4) \). החלפה ופישוט של הביטוי, נוכל לקבל את נוסחת המכפלה האינסופית הבאה לחישוב הערך המשוער \(\frac(\pi)(2) \):

\[\frac(\pi)(2) = \frac(2)(\sqrt(2)) \cdot \frac(2)(\sqrt(2 + \sqrt(2))) \cdot \frac(2) )(\sqrt(2+ \sqrt(2 + \sqrt(2))))) \cdots \]

הנוסחה המתקבלת היא הביטוי האנליטי המדויק הראשון עבור המספר \(\pi \). בנוסף לנוסחה זו, וייטה, בשיטת ארכימדס, נתנה בעזרת מצולעים כתובים ותוחמים, החל ב-6-גון וכלה במצולע עם \(2^(16) \cdot 6 \) צלעות, קירוב של המספר \(\pi \) עם 9 סימנים נכונים.

המתמטיקאי האנגלי ויליאם ברונקר (1620-1684) השתמש בשבר ההמשך כדי לחשב את \(\frac(\pi)(4)\) באופן הבא:

\[\frac(4)(\pi) = 1 + \frac(1^2)(2 + \frac(3^2)(2 + \frac(5^2)(2 + \frac(7^2) )(2 + \frac(9^2)(2 + \frac(11^2)(2 + \cdots ))))))) \]

שיטה זו של חישוב הקירוב של המספר \(\frac(4)(\pi) \) דורשת די הרבה חישובים כדי לקבל לפחות קירוב קטן.

הערכים שהושגו כתוצאה מהחלפה הם או גדולים יותר או פחות ממספר\(\pi \), ובכל פעם מתקרבים ל ערך אמיתי, אבל קבלת הערך 3.141592 ידרוש די הרבה חישובים.

מתמטיקאי אנגלי אחר ג'ון מאצ'ין (1686-1751) בשנת 1706 השתמש בנוסחה שנגזרה על ידי לייבניץ בשנת 1673 כדי לחשב את המספר \(\pi \) עם 100 מקומות עשרוניים, ויישם אותה באופן הבא:

\[\frac(\pi)(4) = 4 arctg\frac(1)(5) – arctg\frac(1)(239) \]

הסדרה מתכנסת במהירות וניתן להשתמש בה כדי לחשב את המספר \(\pi \) בדיוק רב. נוסחאות מסוג זה שימשו לקביעת מספר שיאים בעידן המחשבים.

במאה ה-17 עם תחילת התקופה של מתמטיקה בסדר גודל משתנה הגיע שלב חדשבחישוב \(\pi \). המתמטיקאי הגרמני גוטפריד וילהלם לייבניץ (1646-1716) בשנת 1673 מצא את הרחבת המספר \(\pi \), ב השקפה כלליתזה יכול להיכתב בתור הסדרה האינסופית הבאה:

\[ \pi = 1 - 4(\frac(1)(3) + \frac(1)(5) - \frac(1)(7) + \frac(1)(9) - \frac(1) (11) + \cdots) \]

הסדרה מתקבלת על ידי החלפת x = 1 לתוך \(arctg x = x - \frac(x^3)(3) + \frac(x^5)(5) - \frac(x^7)(7) + \frac (x^9)(9) - \cdots\)

לאונרד אוילר מפתח את הרעיון של לייבניץ בעבודתו על השימוש בסדרות עבור arctg x בעת חישוב המספר \(\pi \). בחיבור "De variis modis circuli quadraturam numeris proxime exprimendi" (O שיטות שונותביטויים לריבוע מעגל עם מספרים משוערים), שנכתבו ב-1738, דן בשיטות לשיפור חישובים באמצעות נוסחת לייבניץ.

אוילר כותב שסדרת המשיק בקשת תתכנס מהר יותר אם הטיעון שואף לאפס. עבור \(x = 1\) ההתכנסות של הסדרה איטית מאוד: כדי לחשב בדיוק של עד 100 ספרות, יש צורך להוסיף מונחים \(10^(50)\) של הסדרה. אתה יכול להאיץ את החישובים על ידי הפחתת הערך של הארגומנט. אם ניקח \(x = \frac(\sqrt(3))(3)\), אז נקבל את הסדרה

\[ \frac(\pi)(6) = artctg\frac(\sqrt(3))(3) = \frac(\sqrt(3))(3)(1 - \frac(1)(3 \cdot 3) + \frac(1)(5 \cdot 3^2) - \frac(1)(7 \cdot 3^3) + \cdots) \]

לפי אוילר, אם ניקח 210 איברים מהסדרה הזו, נקבל 100 ספרות נכונות של המספר. הסדרה המתקבלת היא לא נוחה, כי יש צורך לדעת ערך מדויק למדי מספר לא רציונלי\(\sqrt(3)\). כמו כן, בחישוביו, אוילר השתמש בהרחבות של משיקי קשת לסכום משיקי קשת של ארגומנטים קטנים יותר:

\[כאשר x = n + \frac(n^2-1)(m-n), y = m + p, z = m + \frac(m^2+1)(p) \]

רחוק מכל הנוסחאות לחישוב \(\pi \) שבהן השתמש אוילר במחברותיו פורסמו. בעבודות ובמחברות שפורסמו, הוא שקל 3 סדרות שונות לחישוב משיק הקשת, וכן אמר הצהרות רבות לגבי מספר האיברים המסוכמים הדרושים כדי לקבל ערך משוער \(\pi \) בדיוק נתון.

בשנים שלאחר מכן, חידוד הערך של המספר \(\pi \) התרחש מהר יותר ויותר. כך, למשל, בשנת 1794, ג'ורג' וגה (1754-1802) כבר זיהה 140 סימנים, מתוכם רק 136 התבררו כנכונים.

תקופת מחשוב

המאה ה-20 הייתה בסימן שלב חדש לחלוטין בחישוב המספר \(\pi \). המתמטיקאי ההודי Srinivasa Ramanujan (1887-1920) גילה נוסחאות חדשות רבות עבור \(\pi\). בשנת 1910, הוא השיג נוסחה לחישוב \(\pi \) באמצעות הרחבת משיק הקשת בסדרת טיילור:

\[\pi = \frac(9801)(2\sqrt(2) \sum\limits_(k=1)^(\infty) \frac((1103+26390k) \cdot (4k){(4\cdot99)^{4k} (k!)^2}} .\]!}

עם k=100, מושג דיוק של 600 ספרות נכונות של המספר \(\pi \).

הופעת המחשבים אפשרה להגדיל באופן משמעותי את הדיוק של הערכים שהושגו עבור יותר מ זמן קצר. בשנת 1949, באמצעות ENIAC, קבוצת מדענים בראשות ג'ון פון נוימן (1903-1957) השיגה 2037 מקומות עשרוניים של \(\pi \) תוך 70 שעות בלבד. דוד וגרגורי צ'ודנובסקי בשנת 1987 השיגו נוסחה שבאמצעותה הצליחו לקבוע מספר שיאים בחישוב \(\pi \):

\[\frac(1)(\pi) = \frac(1)(426880\sqrt(10005)) \sum\limits_(k=1)^(\infty) \frac((6k)!(13591409+545140134k ))((3k)!(k!)^3(-640320)^(3k)).\]

כל חבר בסדרה נותן 14 ספרות. בשנת 1989 התקבלו 1,011,196,691 מקומות עשרוניים. נוסחה זו מתאימה היטב לחישוב \(\pi \) במחשבים אישיים. על הרגע הזההאחים הם פרופסורים במכון הפוליטכני של אוניברסיטת ניו יורק.

התפתחות חשובה לאחרונה הייתה גילוי הנוסחה ב-1997 על ידי סיימון פלוף. זה מאפשר לך לחלץ כל ספרה הקסדצימלית של המספר \(\pi \) מבלי לחשב את הקודמים. הנוסחה נקראת "נוסחת ביילי-בורווין-פלוף" לכבודם של מחברי המאמר בו פורסמה הנוסחה לראשונה. זה נראה כמו זה:

\[\pi = \sum\limits_(k=1)^(\infty) \frac(1)(16^k) (\frac(4)(8k+1) – \frac(2)(8k+4) ) - \frac(1)(8k+5) - \frac(1)(8k+6)) .\]

בשנת 2006, סיימון, באמצעות PSLQ, המציא כמה נוסחאות נחמדות לחישוב \(\pi \). לדוגמה,

\[ \frac(\pi)(24) = \sum\limits_(n=1)^(\infty) \frac(1)(n) (\frac(3)(q^n - 1) - \frac (4)(q^(2n) -1) + \frac(1)(q^(4n) -1)), \]

\[ \frac(\pi^3)(180) = \sum\limits_(n=1)^(\infty) \frac(1)(n^3) (\frac(4)(q^(2n) – 1) – \frac(5)(q^(2n) -1) + \frac(1)(q^(4n) -1)), \]

כאשר \(q = e^(\pi)\). בשנת 2009, מדענים יפנים, באמצעות מחשב העל T2K Tsukuba System, השיגו את המספר \(\pi \) עם 2,576,980,377,524 מקומות עשרוניים. החישובים ארכו 73 שעות 36 דקות. המחשב צויד ב-640 מעבדי AMD Opteron ארבע ליבות, שסיפקו ביצועים של 95 טריליון פעולות בשנייה.

ההישג הבא בחישוב \(\pi \) שייך למתכנת הצרפתי Fabrice Bellard, שבסוף 2009 במחשבו האישי המריץ את Fedora 10 קבע שיא על ידי חישוב 2,699,999,990,000 מקומות עשרוניים של המספר \(\pi \). במהלך 14 השנים האחרונות, זהו שיא העולם הראשון שנקבע ללא שימוש במחשב על. לביצועים גבוהים השתמש פבריס בנוסחה של האחים צ'ודנובסקי. בסך הכל נמשך החישוב 131 ימים (103 ימי חישוב ו-13 ימי אימות). ההישג של בלאר הראה שעבור חישובים כאלה אין צורך להחזיק מחשב-על.

רק שישה חודשים לאחר מכן, השיא של פרנסואה נשבר על ידי המהנדסים אלכסנדר יי וזמר קונדו. כדי לקבוע שיא של 5 טריליון מקומות עשרוניים, נעשה שימוש גם במספר \(\pi \). מחשב אישי, אבל עם מאפיינים מרשימים יותר: שניים מעבד אינטל Xeon X5680 במהירות 3.33 גיגה-הרץ, 96 גיגה-בייט זיכרון גישה אקראית, 38 TB של אחסון והפעלה מערכת Windows Server 2008 R2 Enterprise x64. לחישובים השתמשו אלכסנדר וזינגר בנוסחה של האחים צ'ודנובסקי. תהליך החישוב ארך 90 יום ו-22 TB של שטח דיסק. בשנת 2011, הם קבעו שיא נוסף על ידי חישוב 10 טריליון מקומות עשרוניים עבור המספר \(\pi \). החישובים התבצעו על אותו מחשב שקבע את השיא הקודם שלהם ולקח בסך הכל 371 ימים. בסוף 2013, אלכסנדר וסינגרו שיפרו את השיא ל-12.1 טריליון ספרות של המספר \(\pi \), שלקח להם רק 94 ימים לחשב. שיפור זה בביצועים מושג באמצעות אופטימיזציות של ביצועים. תוֹכנָה, הגדלת מספר ליבות המעבד ושיפור משמעותי של סבילות התקלות בתוכנה.

השיא הנוכחי הוא של אלכסנדר יי וסינגרו קונדו, שהוא 12.1 טריליון מקומות עשרוניים של \(\pi \).

לפיכך, שקלנו שיטות לחישוב המספר \(\pi \) ששימשו בימי קדם, שיטות אנליטיות, וגם שקלנו שיטות מודרניותורשומות לחישוב המספר \(\pi \) במחשבים.

רשימת מקורות

1. ז'וקוב א.ו. המספר בכל מקום Pi - M.: LKI Publishing House, 2007 - 216 p.
2. פ.רודיו. על ריבוע המעגל, עם נספח תולדות השאלה, ערוך על ידי פ' רודיו. / Rudio F. - M .: ONTI NKTP USSR, 1936. - 235c.
3. Arndt, J. Pi Unleashed / J. Arndt, C. Haenel. - Springer, 2001. - 270p.
4. שוכמן, E.V. חישוב משוער של Pi באמצעות סדרה עבור arctg x ביצירות שפורסמו ולא פורסמו מאת Leonhard Euler / E.V. שוכמן. - תולדות המדע והטכנולוגיה, 2008 - מס' 4. - עמ' 2-17.
5. Euler, L. De variis modis circuliaturam numeris proxime exprimendi/ Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae. 1744 - כרך 9 - 222-236 עמ'.
6. שומיכין, ס' מספר פי. היסטוריה של 4000 שנה / ש' שומיחין, א' שומיחינא. – M.: Eksmo, 2011. – 192p.
7. בורווין, ג'יי.מ. רמנוג'אן ופאי. / Borwein, J.M., Borwein P.B. בעולם המדע. 1988 - מס' 4. - ש' 58-66.
8. אלכס יי. עולם המספרים. מצב גישה: numberworld.org

אהב?

לאמר