מה המשמעות של מספר שלם

אז, שקול אילו מספרים נקראים מספרים שלמים.

לפיכך, מספרים שלמים יציינו מספרים כאלה: $0$, $±1$, $±2$, $±3$, $±4$ וכו'.

קבוצת המספרים הטבעיים היא תת-קבוצה של קבוצת המספרים השלמים, כלומר. כל טבעי יהיה מספר שלם, אבל לא כל מספר שלם הוא מספר טבעי.

מספר שלם חיובי ומספר שלם שלילי

הגדרה 2

יתרון.

המספרים $3, 78, 569, 10450$ הם מספרים שלמים מספרים חיוביים.

הגדרה 3

הם מספרים שלמים חתומים מִינוּס.

המספרים $−3, −78, −569, -10450$ הם מספרים שלמים מספרים שליליים.

הערה 1

המספר אפס אינו מתייחס לא למספרים שלמים חיוביים ולא למספרים שלמים שליליים.

מספרים חיוביים שלמיםהם מספרים שלמים גדולים מאפס.

מספרים שליליים שלמיםהם מספרים שלמים פחות מאפס.

קבוצת המספרים השלמים הטבעיים היא קבוצת כל המספרים השלמים החיוביים, וקבוצת כל ההפכים של המספרים הטבעיים היא קבוצת כל המספרים השלמים השליליים.

מספר שלם לא חיובי ומספר שלם לא שלילי

כל המספרים השלמים החיוביים והמספר אפס נקראים מספרים שלמים לא שליליים.

מספרים שלמים לא חיובייםכולם מספרים שלמים שליליים והמספר $0$.

הערה 2

בדרך זו, מספר לא שלילי שלםהם מספרים שלמים גדולים מאפס או שווים לאפס, ו מספר שלם לא חיוביהם מספרים שלמים קטנים מאפס או שווים לאפס.

לדוגמה, מספרים שלמים לא חיוביים: $−32, −123, 0, −5$, ומספרים שלמים לא שליליים: $54, 123, 0.856 342.$

תיאור של ערכים משתנים באמצעות מספרים שלמים

מספרים שלמים משמשים לתיאור שינויים במספר של פריטים כלשהם.

שקול דוגמאות.

דוגמה 1

נניח שחנות מוכרת מספר מסוים של פריטים. כאשר החנות מקבלת $520$ של פריטים, מספר הפריטים בחנות יגדל, ומספר $520$ מראה על שינוי חיובי במספר. כאשר החנות מוכרת $50$ של פריטים, מספר הפריטים בחנות יקטן, והמספר $50$ יבטא את השינוי במספר ב צד שלילי. אם החנות לא תביא ולא תמכור את הסחורה, אז מספר הסחורה יישאר ללא שינוי (כלומר, אפשר לדבר על שינוי אפס במספר).

בדוגמה שלמעלה, השינוי במספר הסחורות מתואר באמצעות המספרים השלמים $520$, $−50$ ו-$0$, בהתאמה. ערך חיובי של המספר השלם $520$ מציין שינוי חיובי במספר. ערך שלילי של המספר השלם $−50$ מציין שינוי שלילי במספר. המספר השלם $0$ מציין את חוסר השינוי של המספר.

מספרים שלמים נוחים לשימוש, כי אין צורך באינדיקציה מפורשת של עלייה במספר או ירידה - סימן המספר השלם מציין את כיוון השינוי, והערך מציין שינוי כמותי.

באמצעות מספרים שלמים, אתה יכול לבטא לא רק שינוי בכמות, אלא גם שינוי בכל ערך.

שקול דוגמה לשינוי בעלות של מוצר.

דוגמה 2

עלייה בעלות, למשל, ב-$20$ רובל מתבטאת באמצעות מספר שלם חיובי של $20$. הקטנת העלות, למשל, ב-$5$ רובל מתוארת באמצעות מספר שלם שלילי $−5$. אם אין שינויים בעלויות, שינוי כזה נקבע באמצעות המספר השלם $0$.

בנפרד, שקול את הערך של מספרים שלמים שליליים כגודל החוב.

דוגמה 3

לדוגמה, לאדם יש 5,000 רובל. לאחר מכן, באמצעות מספר שלם חיובי $5,000$, אתה יכול להראות את מספר הרובלים שיש לו. אדם צריך לשלם שכר דירה בסכום של $7,000 רובל, אבל אין לו סוג כזה של כסף; במקרה זה, מצב כזה מתואר על ידי מספר שלם שלילי $-7,000 $. במקרה זה, לאדם יש $−7,000$ רובל, כאשר "-" מציין חוב, והמספר $7,000$ מראה את סכום החוב.

בתוך המספרים הטבעיים ניתן להחסיר מהגדול רק את המספר הקטן יותר, והחוק הקומוטטיבי אינו כולל חיסור - למשל, הביטוי 3 + 4 - 5 (\displaystyle 3+4-5)תקף, וביטוי עם אופרנדים מתומרים 3 - 5 + 4 (\displaystyle 3-5+4)לא מקובל...

הוספת מספרים שליליים ואפס למספרים טבעיים עושה פעולה אפשריתחיסור עבור כל זוג של מספרים טבעיים. כתוצאה מהרחבה כזו, מתקבלת קבוצה (טבעת) של "מספרים שלמים". עם הרחבות נוספות של קבוצת המספרים על ידי מספרים רציונליים, ממשיים, מורכבים ואחרים, הערכים השליליים המתאימים מתקבלים עבורם באותו אופן.

כל המספרים השליליים, ורק הם, קטנים מאפס. על קו המספרים, מספרים שליליים ממוקמים משמאל לאפס. עבורם, כמו גם עבור מספרים חיוביים, מוגדר סדר היחס, המאפשר להשוות מספר שלם אחד לאחר.

לכל מספר טבעי ניש מספר שלילי אחד ויחיד, מסומן ב -נ, אשר משלים נלאפס:

n + (− n) = 0. (\displaystyle n+\left(-n\right)=0.)

שני המספרים נקראים הפכים אחד של השני. חיסור של מספר שלם אממספר שלם אחר בזה בגדר הוספה בעם ההפך עבור א:

b − a = b + (− a) . (\displaystyle b-a=b+\left(-a\right).)

דוגמא: 25 − 75 = − 50. (\displaystyle 25-75=-50.)

יוטיוב אנציקלופדית

1 / 3

מתמטיקה כיתה ו'. מספרים חיוביים ושליליים. קואורדינאטות על הישר.

מתמטיקה כיתה ו'. מספרים חיוביים ושליליים

מספרים שליליים. מספרים הפוכים (Slupko M.V.). שיעור וידאו במתמטיקה כיתה ו'

כתוביות

מאפיינים של מספרים שליליים

מספרים שליליים מצייתים כמעט לאותם כללים אלגבריים כמו מספרים טבעיים, אך יש להם כמה מוזרויות.

1. אם קבוצה כלשהי של מספרים חיוביים מוגבלת מתחת, אז כל קבוצה של מספרים שליליים מוגבלת למעלה.
2. כאשר מכפילים מספרים שלמים, כלל סימן: מכפלה של מספרים עם סימנים שוניםשלילי, עם אותו הדבר - חיובי.
3. כאשר שני הצדדים של אי השוויון מוכפלים במספר שלילי, סימן אי השוויון מתהפך. לדוגמה, הכפלת אי השוויון 3< 5 на −2, мы получаем: −6 > −10.

כאשר מחלקים עם שארית, למנה יכולה להיות כל סימן, אבל השארית, לפי מוסכמה, היא תמיד לא שלילית (אחרת היא לא נקבעת באופן ייחודי). לדוגמה, בואו נחלק את −24 ב-5 עם שארית:

− 24 = 5 ⋅ (− 5) + 1 = 5 ⋅ (− 4) − 4 (\displaystyle -24=5\cdot (-5)+1=5\cdot (-4)-4).

וריאציות והכללות

ניתן להגדיר את המושגים של מספרים חיוביים ושליליים בכל טבעת מסודרת. לרוב, מושגים אלה מתייחסים לאחת ממערכות המספרים הבאות:

המאפיינים לעיל 1-3 מתקיימים גם במקרה הכללי. המושגים "חיובי" ו"שלילי" אינם מתאימים למספרים מרוכבים.

מתווה היסטורי

מצרים העתיקה, בבל ויוון העתיקה לא השתמשו במספרים שליליים, ואם התקבלו שורשים שליליים של משוואות (במחסור), הם נדחו כבלתי אפשריים. היוצא מן הכלל היה דיופנטוס, שבמאה ה-3 כבר ידע כלל סימןוידע להכפיל מספרים שליליים. עם זאת, הוא ראה אותם רק כשלב ביניים, שימושי לחישוב התוצאה הסופית והחיובית.

בפעם הראשונה, מספרים שליליים עברו לגליזציה חלקית בסין, ולאחר מכן (מהמאה ה-7 בערך) בהודו, שם הם פורשו כחוב (מחסור), או, כמו דיופנטוס, הם הוכרו כערכים זמניים. כפל וחילוק למספרים שליליים טרם הוגדרו. התועלת והחוקיות של מספרים שליליים נקבעו בהדרגה. המתמטיקאי ההודי ברהמגופטה (המאה השביעית) כבר ראה אותם בשורה אחת עם אלה החיוביים.

באירופה ההכרה הגיעה אלף שנים מאוחר יותר, וגם אז במשך זמן רבמספרים שליליים נקראו "שקר", "דמיוני" או "אבסורד". התיאור הראשון שלהם בספרות האירופית הופיע ב"ספר הטבק" מאת לאונרד מפיזה (1202), שפירש מספרים שליליים כחוב. בומבלי וג'ירארד בכתביהם ראו מספרים שליליים כמקובלים ושימושיים למדי, במיוחד כדי להצביע על היעדר משהו. אפילו במאה ה-17, פסקל האמין בכך 0 − 4 = 0 (\displaystyle 0-4=0)כי "שום דבר לא יכול להיות פחות מכלום". הד לאותם זמנים הוא העובדה שבחשבון המודרני פעולת החיסור וסימן המספרים השליליים מסומנים באותו סמל (מינוס), אם כי מבחינה אלגברית מדובר במושגים שונים לחלוטין.

במאה ה-17, עם הופעת הגיאומטריה האנליטית, מספרים שליליים קיבלו ייצוג גיאומטרי חזותי על

מספרים שלילייםהם מספרים עם סימן מינוס (-), למשל -1, -2, -3. קוראים כמו: מינוס אחד, מינוס שניים, מינוס שלוש.

דוגמה ליישום מספרים שלילייםהוא מדחום המראה את הטמפרטורה של הגוף, האוויר, האדמה או המים. בחורף, כשבחוץ קר מאוד, הטמפרטורה שלילית (או, כמו שאומרים, "מינוס").

לדוגמה, -10 מעלות קר:

המספרים הרגילים ששקלנו קודם, כמו 1, 2, 3, נקראים חיוביים. מספרים חיוביים הם מספרים עם סימן פלוס (+).

כשכותבים מספרים חיוביים, הסימן + לא נרשם, ולכן אנו רואים את המספרים 1, 2, 3 המוכרים לנו. אך יש לזכור כי המספרים החיוביים הללו נראים כך: +1, + 2, +3.

תוכן השיעור

זהו קו ישר שעליו נמצאים כל המספרים: גם שלילי וגם חיובי. כדלהלן:

מוצגים כאן מספרים מ-5 עד 5. למעשה, קו הקואורדינטות הוא אינסופי. האיור מציג רק חלק קטן ממנו.

המספרים על קו הקואורדינטות מסומנים כנקודות. שמנוני בתמונה נקודה שחורההיא נקודת המוצא. הספירה לאחור מתחילה מאפס. משמאל לנקודת ההתייחסות מסומנים מספרים שליליים, ומימין חיוביים.

קו הקואורדינטות ממשיך ללא הגבלת זמן משני הצדדים. אינסוף במתמטיקה מסומן בסמל ∞. הכיוון השלילי יסומן בסמל −∞, והחיובי בסמל +∞. אז נוכל לומר שכל המספרים ממינוס אינסוף ועד פלוס אינסוף ממוקמים על קו הקואורדינטות:

לכל נקודה על קו הקואורדינטות יש שם וקואורדינטה משלה. שֵׁםהיא כל אות לטינית. לְתַאֵםהוא מספר המציין את מיקומה של נקודה על קו זה. במילים פשוטות, הקואורדינטה היא אותו מספר שאנו רוצים לסמן על קו הקואורדינטות.

לדוגמה, נקודה A(2) נכתבת כ "נקודה A עם קואורדינטה 2" והוא יסומן על קו הקואורדינטות באופן הבא:

כאן אהוא שם הנקודה, 2 הוא הקואורדינטה של ​​הנקודה א.

דוגמה 2נקודה ב(4) נכתבת כ "נקודה B בקואורדינטה 4"

כאן בהוא שם הנקודה, 4 הוא הקואורדינטה של ​​הנקודה ב.

דוגמה 3הנקודה M(−3) נקראת כ "נקודה M עם קואורדינטה מינוס שלוש" והוא יסומן על קו הקואורדינטות באופן הבא:

כאן Mהוא שם הנקודה, −3 הוא הקואורדינטה של ​​הנקודה M .

ניתן לציין נקודות בכל אותיות. אבל בדרך כלל מקובל לציין אותם באותיות לטיניות גדולות. יתר על כן, תחילת הדו"ח, שנקרא אחרת מָקוֹרמסומן בדרך כלל באות גדולה O

קל לראות שמספרים שליליים נמצאים משמאל למקור, ומספרים חיוביים מימין.

יש ביטויים כמו "כמה שיותר שמאלה, פחות"ו "כמה שיותר ימינה, יותר". בטח כבר ניחשתם על מה אנחנו מדברים. עם כל צעד שמאלה, המספר יקטן כלפי מטה. ובכל צעד ימינה, המספר יגדל. החץ המצביע ימינה מציין את הכיוון החיובי של הספירה.

השוואה בין מספרים שליליים וחיוביים

חוק מספר 1 כל מספר שלילי קטן מכל מספר חיובי.

לדוגמה, הבה נשווה שני מספרים: −5 ו-3. מינוס חמש פָּחוּתמשלוש, למרות העובדה שהחמישה מושכים את העין מלכתחילה, כמספר גדול משלוש.

הסיבה לכך היא ש-5 הוא שלילי ו-3 הוא חיובי. על קו הקואורדינטות, אתה יכול לראות היכן ממוקמים המספרים -5 ו-3

ניתן לראות ש-5 נמצא משמאל, ו-3 מימין. ואת זה אמרנו "כמה שיותר שמאלה, פחות" . והכלל אומר שכל מספר שלילי קטן מכל מספר חיובי. מכאן נובע מכך

−5 < 3

"מינוס חמש זה פחות משלוש"

כלל 2 מבין שני המספרים השליליים, הקטן יותר הוא זה שנמצא משמאל על קו הקואורדינטות.

לדוגמה, הבה נשווה את המספרים -4 ו -1. מינוס ארבע פָּחוּתמאשר מינוס אחד.

זה שוב נובע מהעובדה שעל קו הקואורדינטות −4 ממוקם יותר משמאל מאשר −1

ניתן לראות ש-4 שוכב משמאל, ו-1 מימין. ואת זה אמרנו "כמה שיותר שמאלה, פחות" . והכלל אומר שמבין שני מספרים שליליים, זה שנמצא משמאל על קו הקואורדינטות קטן. מכאן נובע מכך

מינוס ארבע הוא פחות ממינוס אחד

כלל 3 אפס גדול מכל מספר שלילי.

לדוגמה, הבה נשווה בין 0 ל-3. אֶפֶס יותרממינוס שלוש. זאת בשל העובדה שעל קו הקואורדינטות 0 ממוקם מימין מ-3

ניתן לראות ש-0 נמצא ימינה, ו-3 לשמאל. ואת זה אמרנו "כמה שיותר ימינה, יותר" . והכלל אומר שאפס גדול מכל מספר שלילי. מכאן נובע מכך

אפס גדול ממינוס שלוש

כלל 4 אפס הוא פחות מכל מספר חיובי.

לדוגמה, השוו בין 0 ל-4. אפס פָּחוּתמאשר 4. באופן עקרוני, זה ברור ונכון. אבל ננסה לראות את זה במו עינינו, שוב על קו הקואורדינטות:

ניתן לראות שבקואורדינטות קו 0 ממוקם משמאל, ו-4 מימין. ואת זה אמרנו "כמה שיותר שמאלה, פחות" . והכלל אומר שאפס הוא פחות מכל מספר חיובי. מכאן נובע מכך

אפס הוא פחות מארבע

אהבתם את השיעור?
הצטרף לקבוצת Vkontakte החדשה שלנו והתחל לקבל הודעות על שיעורים חדשים

שלב ראשון

הכפול המשותף הגדול והקטן ביותר מחלק משותף. קריטריונים לחלוקה ושיטות קיבוץ (2019)

כדי לפשט את חייך בהרבה כשאתה צריך לחשב משהו, לזכות בזמן יקר ב-OGE או ב-USE, לעשות פחות טעויות טיפשיות - קרא את הסעיף הזה!

הנה מה שתלמד:

• כיצד לחשב מהר יותר, קל יותר ומדויק יותר באמצעותקיבוץ מספריםבעת חיבור וחיסור,
• כיצד להכפיל ולחלק במהירות ללא שגיאות באמצעות כללי כפל וקריטריונים לחלוקה,
• כיצד להאיץ משמעותית את החישובים באמצעות כפולה משותפת מינימאלית(NOC) ו המחלק המשותף הגדול ביותר(GCD).

החזקה בטכניקות של סעיף זה יכולה להטות את הכף לכיוון זה או אחר... בין אם תיכנסו לאוניברסיטה של ​​חלומותיכם ובין אם לא, אתם או ההורים שלכם תצטרכו לשלם הרבה כסף לחינוך או שתיכנסו לתקציב .

בוא נצלול ישר פנימה... (בוא נלך!)

הערה חשובה!אם במקום נוסחאות אתה רואה ג'יבריש, נקה את המטמון שלך. כדי לעשות זאת, הקש CTRL+F5 (ב-Windows) או Cmd+R (ב-Mac)

הרבה מספרים שלמיםמורכב מ-3 חלקים:

1. מספרים שלמים(נשקול אותם בפירוט רב יותר להלן);
2. מספרים הפוכים למספרים טבעיים(הכל ייפול למקומו ברגע שתדעו מהם מספרים טבעיים);
3. אפס -" " (איפה בלי זה?)

האות ז.

מספרים שלמים

"אלוהים ברא מספרים טבעיים, כל השאר הוא מעשה ידי אדם" (ג) המתמטיקאי הגרמני קרונקר.

המספרים הטבעיים הםהמספרים שבהם אנו משתמשים כדי לספור חפצים ועל זה מבוססת היסטוריית ההתרחשות שלהם - הצורך לספור חצים, עורות וכו'.

1, 2, 3, 4...n

האות נ.

בהתאם, הגדרה זו אינה כוללת (אי אפשר לספור מה אין?) ועוד יותר מכך אינה כוללת ערכים שליליים (יש תפוח?).

בנוסף, כל המספרים השבריים אינם כלולים (אנחנו גם לא יכולים לומר "יש לי מחשב נייד", או "מכרתי מכוניות")

כל מספר טבעי ניתן לכתוב באמצעות 10 ספרות:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

אז 14 זה לא מספר. זהו מספר. מאיזה מספרים הוא מורכב? נכון, ממספרים ו.

חיבור. קיבוץ בעת הוספה לספירה מהירה יותר ופחות טעויות

אילו דברים מעניינים אתה יכול לומר על ההליך הזה? כמובן שכעת תענה "ערך הסכום אינו משתנה מהסידור מחדש של התנאים". נראה כי כלל פרימיטיבי מוכר מהמעמד הראשון, לעומת זאת, בעת פתרון דוגמאות נהדרותזה נשכח מיידית!

אל תשכח ממנולהשתמש בקיבוץ, על מנת להקל על תהליך הספירה ולהפחית את הסבירות לטעויות, כי לא יהיה לכם מחשבון לבחינה.

ראה בעצמך איזה ביטוי קל יותר להוסיף?

• 4 + 5 + 3 + 6
• 4 + 6 + 5 + 3

כמובן השני! למרות שהתוצאה זהה. אבל! בהתחשב בדרך השנייה, יש פחות סיכוי לטעות ותעשה הכל מהר יותר!

אז, בראש שלך, אתה חושב כך:

4 + 5 + 3 + 6 = 4 + 6 + 5 + 3 = 10 + 5 + 3 = 18

חִסוּר. קיבוץ בעת חיסור לספירה מהירה יותר ופחות שגיאות

בעת חיסור, נוכל גם לקבץ מספרים מופחתים, למשל:

32 - 5 - 2 - 6 = (32 - 2) - 5 - 6 = 30 - 5 - 6 = 19

מה אם חיסור משולב בחיבור בדוגמה? אפשר גם לקבץ, תענה, ובצדק. רק בבקשה, אל תשכח את הסימנים מול המספרים, למשל: 32 - 5 - 2 - 6 = (32 - 2) - (6 + 5) = 30 - 11 = 19

זכרו: שילוט לא נכון יוביל לתוצאה שגויה.

כֶּפֶל. איך להרבות בנפשך

ברור שגם ערך המוצר לא ישתנה משינוי מקומות הגורמים:

2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ 5 = (2 ⋅ 5 ) ⋅ (4 ⋅ 6 ) = 1 0 ⋅ 2 4 = 2 4 0

אני לא אגיד לך "להשתמש בזה כשפותרים בעיות" (הבנת את הרמז בעצמך, נכון?), אלא אגיד לך איך להכפיל במהירות כמה מספרים בראש שלך. אז, התבונן היטב בטבלה:

ועוד קצת על הכפל. בטח אתה זוכר שניים אירוע מיוחד… נחשו למה אני מתכוון? הנה על זה:

אה כן, בוא נסתכל סימני חלוקה. בסך הכל, ישנם 7 כללים לסימני חלוקה, מתוכם אתם כבר יודעים את 3 הראשונים בוודאות!

אבל את השאר בכלל לא קשה לזכור.

7 סימני חלוקה של מספרים שיעזרו לך לספור במהירות בראש שלך!

• אתה, כמובן, מכיר את שלושת הכללים הראשונים.
• קל לזכור את הרביעית והחמישית - כשמחלקים ב- ונבדוק אם סכום הספרות המרכיבות את המספר מתחלק בזה.
• כשמחלקים לפי, נשים לב לשתי הספרות האחרונות של המספר - האם המספר שהן מרכיבות מתחלק לפיו?
• כאשר מחלקים במספר, הוא חייב להיות ניתן לחלוקה בו זמנית. זה הכל חוכמה.

האם אתה חושב עכשיו - "למה אני צריך את כל זה"?

ראשית, הבחינה היא ללא מחשבוןוכללים אלה יעזרו לך לנווט בין הדוגמאות.

ושנית, שמעת על המשימות GCDו NOC? קיצור מוכר? בואו נתחיל לזכור ולהבין.

המחלק המשותף הגדול ביותר (gcd) - נחוץ להפחתת שברים וחישובים מהירים

נניח שיש לך שני מספרים: ו. מה המספר הגדול ביותרהאם שני המספרים ניתנים לחלוקה? אתה תענה ללא היסוס, כי אתה יודע ש:

12 = 4 * 3 = 2 * 2 * 3

8 = 4 * 2 = 2 * 2 * 2

אילו מספרים בהרחבה נפוצים? נכון, 2 * 2 = 4. זו הייתה התשובה שלך. אם תזכור את הדוגמה הפשוטה הזו, לא תשכח את האלגוריתם לחיפוש GCD. נסה "לבנות" את זה בראש שלך. קרה?

כדי למצוא את ה-NOD אתה צריך:

1. חלק את המספרים ל גורמים ראשוניים(למספרים שלא ניתן לחלק בשום דבר מלבד עצמו או למשל ב-3, 7, 11, 13 וכו').
2. תכפיל אותם.

אתה מבין למה היינו צריכים סימני חלוקה? כדי שתסתכל על המספר ותוכל להתחיל לחלק בלי שארית.

לדוגמה, בוא נמצא את ה-GCD של המספרים 290 ו-485

מספר ראשון - .

כשמסתכלים על זה, אתה יכול מיד לדעת במה הוא מתחלק, בוא נכתוב:

אתה לא יכול לחלק את זה לשום דבר אחר, אבל אתה יכול - ואנחנו מקבלים:

290 = 29 * 5 * 2

ניקח מספר אחר - 485.

לפי סימני ההתחלקות, יש לחלק אותו ללא שארית, שכן הוא מסתיים ב. אנו חולקים:

בואו ננתח את המספר המקורי.

• לא ניתן לחלק אותו ב(הספרה האחרונה היא אי זוגית),
• - אינו מתחלק ב, כך שהמספר גם אינו מתחלק ב,
• גם אינו מתחלק ב- ו (סכום הספרות במספר אינו מתחלק ב- וב-)
• הוא גם לא מתחלק, כי זה לא מתחלק ב-ו,
• גם אינו מתחלק ב-ו, מאחר ואינו מתחלק ב-ו.
• אי אפשר לחלק לגמרי

אז ניתן לפרק את המספר רק ל- ו.

ועכשיו בואו נמצא GCDהמספרים האלה (ו). מה זה המספר הזה? נכונה, .

נתאמן?

משימה מספר 1. מצא GCD של המספרים 6240 ו-6800

1) אני מחלק מיד ב, מכיוון ששני המספרים מתחלקים ב-100% ב:

2) מחלקים לשאר מספרים גדולים(ו), כיון שבלי שארית מחלקים אותם (יחד עם זאת, לא אתפרק - זה כבר מחלק משותף):

6 2 4 0 = 1 0 ⋅ 4 ⋅ 1 5 6

6 8 0 0 = 1 0 ⋅ 4 ⋅ 1 7 0

3) אני אעזוב לבד ואתחיל לשקול את המספרים ו. שני המספרים מתחלקים במדויק על ידי (מסתיימים בספרות זוגיות (במקרה זה, אנו מציגים כ, אך ניתן לחלק אותם ב):

4) אנו עובדים עם מספרים ו. האם יש להם מחלקים משותפים? זה קל כמו בשלבים הקודמים, ואתה לא יכול לומר, אז אנחנו פשוט נפרק אותם לגורמים פשוטים:

5) כפי שאנו רואים, צדקנו: ואין לנו מחלקים משותפים, ועכשיו צריך להכפיל.
GCD

משימה מספר 2. מצא את GCD של המספרים 345 ו-324

אני לא מצליח למצוא כאן לפחות מחלק משותף אחד, אז אני פשוט מתפרק לגורמים ראשוניים (כמה שפחות):

בדיוק, GCD ואני לא בדקנו בתחילה את קריטריון ההתחלקות, ואולי לא אצטרך לעשות כל כך הרבה פעולות. אבל בדקת, נכון? כל הכבוד! כפי שאתה יכול לראות, זה די קל.

הכיפול המשותף (LCM) - חוסך זמן, עוזר לפתור בעיות מחוץ לקופסה

נניח שיש לך שני מספרים - ו. מהו המספר הקטן ביותר שמתחלק בו בלי עקבות(כלומר לגמרי)? קשה לדמיין? הנה רמז ויזואלי בשבילך:

אתה זוכר מה משמעות המכתב? נכון, פשוט מספרים שלמים.אז מה המספר הקטן ביותרמתאים x? :

במקרה הזה.

מזה דוגמה פשוטהעוקבים אחר מספר כללים.

כללים לאיתור מהיר של ה-NOC

כלל 1. אם אחד משני מספרים טבעיים מתחלק במספר אחר, אזי הגדול מבין שני המספרים הללו הוא הכפולה הפחות משותפת שלהם.

מצא את המספרים הבאים:

• NOC (7;21)
• NOC (6;12)
• NOC (5;15)
• NOC (3;33)

כמובן, התמודדת בקלות עם המשימה הזו וקיבלת את התשובות -, ו.

שימו לב שבכלל אנחנו מדברים על שני מספרים, אם יש יותר מספרים אז הכלל לא עובד.

לדוגמה, LCM (7;14;21) אינו שווה ל-21, מכיוון שלא ניתן לחלק אותו ללא שארית ב.

כלל 2. אם שניים (או יותר משני) מספרים הם ראשוניים, אז הכפולה הפחות משותפת שווה למכפלתם.

למצוא NOCעבור המספרים הבאים:

• NOC (1;3;7)
• NOC (3;7;11)
• NOC (2;3;7)
• NOC (3;5;2)

ספרת? להלן התשובות - , ; .

כפי שאתם מבינים, לא תמיד קל לקחת ולהרים את אותו x, אז למספרים קצת יותר מורכבים יש את האלגוריתם הבא:

נתאמן?

מצא את הכפולה הפחות משותפת - LCM (345; 234)

בואו נחלק כל מספר:

למה בדיוק כתבתי? זכור את סימני ההתחלקות ב: מתחלק ב(הספרה האחרונה זוגית) וסכום הספרות מתחלק ב. בהתאם, אנו יכולים מיד לחלק על ידי, לכתוב את זה בתור.

כעת אנו כותבים את ההרחבה הארוכה ביותר בשורה - השנייה:

בוא נוסיף לזה את המספרים מההרחבה הראשונה, שאינם נמצאים במה שכתבנו:

הערה: כתבנו הכל למעט, מכיוון שכבר יש לנו את זה.

עכשיו אנחנו צריכים להכפיל את כל המספרים האלה!

מצא את הכפולה הפחות משותפת (LCM) בעצמך

איזה תשובות קיבלת?

זה מה שקרה לי:

כמה זמן לקח לך למצוא NOC? הזמן שלי הוא 2 דקות, אני באמת יודע טריק אחד, שאני מציע לך לפתוח עכשיו!

אם אתה מאוד קשוב, אז כנראה שמת לב שלמספרים הנתונים כבר חיפשנו GCDואתה יכול לקחת את הפירוק לגורמים של המספרים האלה מהדוגמה הזו, ובכך לפשט את המשימה שלך, אבל זה רחוק מלהיות הכל.

תסתכל על התמונה, אולי יעלו לך מחשבות אחרות:

נו? אתן לך רמז: נסו להרבות NOCו GCDבינם לבין עצמם ורשמו את כל הגורמים שיהיו בעת הכפלה. הסתדרת? אתה אמור לסיים עם שרשרת כזו:

תסתכל על זה מקרוב: השווה את הגורמים עם איך ומפורקים.

איזו מסקנה אתה יכול להסיק מכך? נכונה! אם נכפיל את הערכים NOCו GCDבינם לבין עצמם, אז נקבל את המכפלה של המספרים הללו.

בהתאם, בעל מספרים ומשמעות GCD(אוֹ NOC), אנחנו יכולים למצוא NOC(אוֹ GCD) בצורה הבאה:

1. מצא את המכפלה של המספרים:

2. אנו מחלקים את המוצר המתקבל לפי שלנו GCD (6240; 6800) = 80:

זה הכל.

בואו נכתוב את הכלל בצורה כללית:

נסה למצוא GCDאם ידוע ש:

הסתדרת? .

מספרים שליליים - "מספרים כוזבים" והכרתם על ידי האנושות.

כפי שכבר הבנתם, אלו מספרים הפוכים למספרים טבעיים, כלומר:

ניתן להוסיף, לגרוע, להכפיל ולחלק מספרים שליליים - בדיוק כמו מספרים טבעיים. נראה שהם כל כך מיוחדים? אבל העובדה היא שמספרים שליליים "זכו" במקומם הראוי במתמטיקה עד המאה ה-19 (עד אותו רגע הייתה כמות עצומה של מחלוקת אם הם קיימים או לא).

המספר השלילי עצמו נוצר בגלל פעולה כזו עם מספרים טבעיים כמו "חיסור". אכן, יש להחסיר מ- זה מספר שלילי. לכן קבוצת המספרים השליליים נקראת לעתים קרובות "הרחבה של הסט מספרים טבעיים».

מספרים שליליים לא זוהו על ידי אנשים במשך זמן רב. אז, מצרים העתיקה, בבל ו יוון העתיקה- אורות של זמנם, לא זיהו מספרים שליליים, ובמקרה של קבלה שורשים שלילייםבמשוואה (לדוגמה, כפי שיש לנו), השורשים נדחו כבלתי אפשריים.

בפעם הראשונה מספרים שליליים קיבלו את זכותם להתקיים בסין, ולאחר מכן במאה ה-7 בהודו. מה דעתך על הווידוי הזה? נכון, מספרים שליליים החלו לציין חובות (אחרת - מחסור). האמינו שמספרים שליליים הם ערך זמני, שכתוצאה מכך ישתנה לחיובי (כלומר, הכסף עדיין יוחזר לנושה). עם זאת, המתמטיקאי ההודי Brahmagupta כבר אז שקל מספרים שליליים על בסיס שווה עם אלה חיוביים.

באירופה, התועלת של מספרים שליליים, כמו גם העובדה שהם יכולים לסמן חוב, הגיעה הרבה יותר מאוחר, כלומר, מאלף. האזכור הראשון נראה בשנת 1202 ב"ספר החשבונית" מאת לאונרד מפיזה (אני אומר מיד שלמחבר הספר אין שום קשר למגדל הנטוי של פיזה, אבל מספרי פיבונאצ'י הם יצירתו (ה הכינוי של ליאונרדו מפיזה הוא פיבונאצ'י)). יתר על כן, האירופים הגיעו למסקנה שמספרים שליליים יכולים להיות לא רק חובות, אלא גם חוסר במשהו, עם זאת, לא כולם הכירו בכך.

אז, במאה ה- XVII, פסקל האמין בכך. איך אתה חושב שהוא הצדיק את זה? זה נכון, "שום דבר לא יכול להיות פחות מכלום". הד של אותם זמנים נותרה העובדה שמספר שלילי ופעולת החיסור מסומנים באותו סמל - מינוס "-". ואמת: . האם המספר " " הוא חיובי, שנגרע ממנו, או שלילי, שמתווסף אליו? ... משהו מהסדרה "מה בא קודם: התרנגולת או הביצה?" הנה סוג כזה של פילוסופיה מתמטית זו.

מספרים שליליים הבטיחו את זכותם להתקיים עם הופעתה של הגיאומטריה האנליטית, במילים אחרות, כאשר מתמטיקאים הציגו דבר כזה כמו ציר אמיתי.

מרגע זה הגיע השוויון. עם זאת, עדיין היו יותר שאלות מתשובות, למשל:

פּרוֹפּוֹרצִיָה

פרופורציה זו נקראת פרדוקס ארנו. תחשוב על זה, מה ספק בזה?

בוא נדבר ביחד " " יותר מאשר " " נכון? אז באופן הגיוני, צד שמאלהפרופורציות צריכות להיות גדולות מהימין, אבל הן שוות... כאן זה הפרדוקס.

כתוצאה מכך, מתמטיקאים הסכימו שקרל גאוס (כן, כן, זה זה שחשב את הסכום (או) של המספרים) ב-1831 שם קץ לזה - הוא אמר שלמספרים שליליים יש אותן זכויות כמו לחיוביים, וכן העובדה שהם לא חלים על כל הדברים לא אומרת כלום, שכן גם שברים לא חלים על הרבה דברים (לא קורה שחופר חופר בור, אי אפשר לקנות כרטיס קולנוע וכו').

המתמטיקאים נרגעו רק במאה ה-19, כאשר תורת המספרים השליליים נוצרה על ידי ויליאם המילטון והרמן גרסמן.

עד כדי כך הם שנויים במחלוקת, המספרים השליליים האלה.

הופעתה של "ריקנות", או הביוגרפיה של אפס.

במתמטיקה - מספר מיוחד. במבט ראשון, זה כלום: הוסף, חיסור - שום דבר לא ישתנה, אבל אתה רק צריך לייחס את זה לימין "", והמספר שיתקבל יהיה גדול פי כמה מהמקורי. על ידי הכפלה באפס, אנו הופכים הכל ללאום, אך איננו יכולים לחלק ב"כלום". במילה אחת, מספר הקסם)

ההיסטוריה של האפס היא ארוכה ומסובכת. זכר לאפס נמצא בכתבים של הסינים בשנת 2000 לספירה. ועוד קודם לכן עם המאיה. השימוש הראשון בסמל האפס, כפי שהוא היום, נראה בקרב האסטרונומים היוונים.

ישנן גרסאות רבות מדוע נבחר כינוי כזה "כלום". כמה היסטוריונים נוטים להאמין שמדובר באומיקרון, כלומר. האות הראשונה של המילה היוונית לחינם היא אודן. לפי גרסה אחרת, המילה "אובול" (מטבע חסר ערך כמעט) העניקה חיים לסמל האפס.

אפס (או ריק) כ סמל מתמטימופיע לראשונה בקרב האינדיאנים (שימו לב שמספרים שליליים החלו "להתפתח" שם). העדות האמינה הראשונה לכתיבת אפס מתוארכת לשנת 876, ובהן "" הוא מרכיב של המספר.

גם אפס הגיע לאירופה באיחור - רק בשנת 1600, ובדיוק כמו מספרים שליליים, הוא התמודד עם התנגדות (מה אפשר לעשות, הם אירופאים).

"אפס היה לעתים קרובות שנוא, חששו, או אפילו נאסר מאז ומתמיד", כותב המתמטיקאי האמריקאי צ'רלס סייף. אז, הסולטן הטורקי עבדול-חמיד השני בסוף המאה ה-19. הורה לצנזוריו למחוק את נוסחת המים H2O מכל ספרי הלימוד בכימיה, כשהוא לוקח את האות "O" לאפס ולא רוצה שראשי התיבות שלו יוכפשו בגלל הקרבה לאפס הנתעב.

באינטרנט ניתן למצוא את המשפט: "אפס הוא הכוח החזק ביותר ביקום, הוא יכול לעשות הכל! האפס יוצר סדר במתמטיקה, והוא גם מכניס לתוכה כאוס. נקודה נכונה בהחלט :)

סיכום הסעיף ונוסחאות יסוד

קבוצת המספרים השלמים מורכבת מ-3 חלקים:

• מספרים טבעיים (נשקול אותם בפירוט רב יותר להלן);
• מספרים הפוכים למספרים טבעיים;
• אפס - ""

קבוצת המספרים השלמים מסומנת האות ז.

1. מספרים טבעיים

מספרים טבעיים הם המספרים שבהם אנו משתמשים כדי לספור עצמים.

קבוצת המספרים הטבעיים מסומנת האות נ.

בפעולות עם מספרים שלמים, תצטרך את היכולת למצוא GCD ו-LCM.

המחלק המשותף הגדול ביותר (GCD)

כדי למצוא את ה-NOD אתה צריך:

1. מפרקים מספרים לגורמים ראשוניים (למספרים שאי אפשר לחלק בשום דבר מלבד עצמו או למשל, וכו').
2. רשום את הגורמים שהם חלק משני המספרים.
3. תכפיל אותם.

כפולה פחות משותפת (LCM)

כדי למצוא את ה-NOC אתה צריך:

1. חלקו מספרים לגורמים ראשוניים (אתם כבר יודעים איך לעשות את זה טוב מאוד).
2. רשום את הגורמים הכלולים בהרחבה של אחד המספרים (עדיף לקחת את השרשרת הארוכה ביותר).
3. הוסף אליהם את הגורמים החסרים מהרחבות של המספרים הנותרים.
4. מצא את המכפלה של הגורמים המתקבלים.

2. מספרים שליליים

אלו הם מספרים הפוכים למספרים טבעיים, כלומר:

עכשיו אני רוצה לשמוע ממך...

אני מקווה שהערכת את ה"טריקים" הסופר שימושיים של החלק הזה והבנת איך הם יעזרו לך בבחינה.

ויותר חשוב, בחיים. אני לא מדבר על זה, אבל תאמין לי, זה כן. היכולת לספור במהירות וללא שגיאות חוסכת במצבי חיים רבים.

עכשיו תורך!

כתוב, האם תשתמש בשיטות קיבוץ, קריטריונים לחלוקה, GCD ו-LCM בחישובים?

אולי השתמשת בהם בעבר? איפה ואיך?

אולי יש לך שאלות. או הצעות.

כתבו בתגובות איך אתם אוהבים את המאמר.

ובהצלחה במבחנים!

מספרים שלמים

הגדרת המספרים הטבעיים הם מספרים שלמים חיוביים. מספרים טבעיים משמשים לספירת עצמים ולמטרות רבות אחרות. הנה המספרים:

זוהי סדרה טבעית של מספרים.
אפס הוא מספר טבעי? לא, אפס אינו מספר טבעי.
כמה מספרים טבעיים יש? יש קבוצה אינסופית של מספרים טבעיים.
מהו המספר הטבעי הקטן ביותר? האחד הוא המספר הטבעי הקטן ביותר.
מהו המספר הטבעי הגדול ביותר? לא ניתן לציין זאת, כי יש קבוצה אינסופית של מספרים טבעיים.

סכום המספרים הטבעיים הוא מספר טבעי. אז, הוספת המספרים הטבעיים a ו-b:

המכפלה של המספרים הטבעיים הוא מספר טבעי. אז המכפלה של המספרים הטבעיים a ו-b:

c הוא תמיד מספר טבעי.

הבדל של מספרים טבעיים לא תמיד יש מספר טבעי. אם המינואנד גדול מהמשנה, אז ההפרש של המספרים הטבעיים הוא מספר טבעי, אחרת הוא לא.

המנה של המספרים הטבעיים לא תמיד יש מספר טבעי. אם למספרים טבעיים a ו-b

כאשר c הוא מספר טבעי, זה אומר ש-a מתחלק באופן שווה ב-b. בדוגמה זו, a הוא הדיבידנד, b הוא המחלק, c הוא המנה.

המחלק של מספר טבעי הוא המספר הטבעי שבו המספר הראשון מתחלק באופן שווה.

כל מספר טבעי מתחלק ב-1 ובעצמו.

מספרים טבעיים פשוטים מתחלקים רק ב-1 ובעצמם. כאן אנו מתכוונים לחלוקה מוחלטת. דוגמה, מספרים 2; 3; 5; 7 מתחלק רק ב-1 ובעצמו. אלו הם מספרים טבעיים פשוטים.

אחד לא נחשב למספר ראשוני.

מספרים שגדולים מאחד ושאינם ראשוניים נקראים מספרים מרוכבים. דוגמאות למספרים מורכבים:

אחד לא נחשב למספר מורכב.

קבוצת המספרים הטבעיים היא אחת, מספרים ראשונייםומספרים מורכבים.

קבוצת המספרים הטבעיים מסומנת באות הלטינית N.

תכונות של חיבור וכפל של מספרים טבעיים:

תכונה קומוטטיבית של חיבור

תכונה אסוציאטיבית של תוספת

(a + b) + c = a + (b + c);

תכונה קומוטטיבית של כפל

תכונה אסוציאטיבית של כפל

(ab)c = a(bc);

תכונה חלוקתית של כפל

A (b + c) = ab + ac;

מספרים שלמים

מספרים שלמים הם מספרים טבעיים, אפס וההפך ממספרים טבעיים.

מספרים הפוכים למספרים טבעיים הם מספרים שלמים שליליים, לדוגמה:

1; -2; -3; -4;...

קבוצת המספרים השלמים מסומנת באות הלטינית Z.

מספר רציונלי

מספרים רציונליים הם מספרים שלמים ושברים.

כל מספר ראציונאלייכול להיות מיוצג כשבר מחזורי. דוגמאות:

1,(0); 3,(6); 0,(0);...

ניתן לראות מהדוגמאות שכל מספר שלם הוא שבר מחזורי עם תקופה של אפס.

כל מספר רציונלי יכול להיות מיוצג כשבריר m/n, כאשר m הוא מספר שלם מספר, n טבעימספר. בואו נציג את המספר 3,(6) מהדוגמה הקודמת כשבר כזה.