נוק והנהון דוגמאות ללא פתרון. מחלק המשותף הגדול ביותר (GCD)

כדי ללמוד איך למצוא את הגדול ביותר מחלק משותףשני מספרים או יותר, עליך להבין מהם מספרים טבעיים, ראשוניים ומרוכבים.

מספר טבעי הוא כל מספר המשמש לספירת מספרים שלמים.

אם ניתן לחלק מספר טבעי רק בעצמו ובאחד, אז הוא נקרא ראשוני.

ניתן לחלק את כל המספרים הטבעיים בעצמם ובאחד, אך המספר הראשוני הזוגי היחיד הוא 2, את כל השאר ניתן לחלק בשניים. לכן, רק מספרים אי-זוגיים יכולים להיות ראשוניים.

יותר מדי מספרים ראשוניים רשימה מלאההם לא קיימים. כדי למצוא את ה-GCD, נוח להשתמש בטבלאות מיוחדות עם מספרים כאלה.

רוֹב מספרים טבעייםניתן לחלק לא רק באחד, עצמם, אלא גם במספרים אחרים. כך, למשל, ניתן לחלק את המספר 15 ב-3 וב-5. כולם נקראים מחלקים של המספר 15.

לפיכך, המחלק של כל A הוא המספר שבו ניתן לחלק אותו ללא שארית. אם למספר יש יותר משני מחלקים טבעיים, הוא נקרא מורכב.

למספר 30 יש מחלקים כמו 1, 3, 5, 6, 15, 30.

אתה יכול לראות של-15 ו-30 יש את אותם מחלקים 1, 3, 5, 15. המחלק המשותף הגדול ביותר מבין שני המספרים הללו הוא 15.

לפיכך, המחלק המשותף של המספרים A ו-B הוא המספר שבו ניתן לחלק אותם לחלוטין. המקסימום יכול להיחשב למקסימום מספר כוללשאליו ניתן לחלק אותם.

כדי לפתור בעיות, נעשה שימוש בכיתוב המקוצר הבא:

GCD (A; B).

לדוגמה, GCD (15; 30) = 30.

כדי לרשום את כל המחלקים של מספר טבעי, נעשה שימוש בסימון:

D(15) = (1, 3, 5, 15)

gcd (9; 15) = 1

בדוגמה זו, למספרים טבעיים יש רק מחלק משותף אחד. הם נקראים coprime, בהתאמה, היחידה היא המחלק המשותף הגדול ביותר שלהם.

כיצד למצוא את המחלק המשותף הגדול ביותר של מספרים

כדי למצוא את ה-GCD של מספר מספרים, אתה צריך:

מצא את כל המחלקים של כל מספר טבעי בנפרד, כלומר, חלק אותם ( מספרים ראשוניים);

בחר את כל אותם הגורמים עבור מספרים נתונים;

תכפיל אותם יחד.

לדוגמה, כדי לחשב את המחלק המשותף הגדול ביותר של 30 ו-56, תכתוב את הדברים הבאים:

כדי לא להתבלבל עם , נוח לכתוב את המכפילים באמצעות עמודות אנכיות. בצד שמאל של הקו, אתה צריך למקם את הדיבידנד, ובצד ימין - המחלק. מתחת לדיבידנד, עליך לציין את המנה המתקבלת.

אז, בעמודה הימנית יהיו כל הגורמים הדרושים לפתרון.

ניתן להדגיש מחלקים זהים (נמצאו גורמים) מטעמי נוחות. יש לשכתב ולהכפיל אותם ולרשום את המחלק המשותף הגדול ביותר.

GCD (30; 56) = 2 * 5 = 10

זה באמת כל כך פשוט למצוא את המחלק המשותף הגדול ביותר של מספרים. עם קצת תרגול, אתה יכול לעשות זאת כמעט אוטומטית.

המחשבון המקוון מאפשר לך למצוא במהירות את המחלק המשותף הגדול ביותר ואת הכפולה המשותפת הפחותה של שניים או כל מספר אחר של מספרים.

מחשבון למציאת GCD ו-NOC

מצא את GCD ו-NOC

נמצאו GCD ו-NOC: 5806

כיצד להשתמש במחשבון

הזן מספרים בשדה הקלט
במקרה של הזנת תווים שגויים, שדה הקלט יודגש באדום
לחץ על הכפתור "מצא GCD ו-NOC"

כיצד להזין מספרים

מספרים מוזנים מופרדים על ידי רווחים, נקודות או פסיקים
אורך המספרים שהוזנו אינו מוגבל, אז למצוא את ה-gcd וה-lcm של מספרים ארוכים לא יהיה קשה

מה זה NOD ו-NOK?

מחלק המשותף הגדול ביותרשל מספר מספרים הוא המספר השלם הטבעי הגדול ביותר שבו כל המספרים המקוריים מתחלקים ללא שארית. המחלק המשותף הגדול ביותר מקוצר בשם GCD.
כפולה משותפת מינימאליתמספרים מרובים הוא המספר הקטן ביותר, שמתחלק בכל אחד מהמספרים המקוריים ללא שארית. הכפולה הפחות משותפת מקוצרת בשם NOC.

איך בודקים אם מספר מתחלק במספר אחר ללא שארית?

כדי לברר אם מספר אחד מתחלק באחר ללא שארית, אתה יכול להשתמש בכמה מאפיינים של חלוקה של מספרים. לאחר מכן, על ידי שילובם, ניתן לבדוק את ההתחלקות בכמה מהם ובשילובים שלהם.

כמה סימנים לחלוקה של מספרים

1. סימן לחלוקה של מספר ב-2
כדי לקבוע אם מספר מתחלק בשניים (האם הוא זוגי), מספיק להסתכל על הספרה האחרונה של מספר זה: אם הוא שווה ל-0, 2, 4, 6 או 8, אז המספר הוא זוגי, מה שאומר שהוא מתחלק ב-2.
דוגמא:קבע אם המספר 34938 מתחלק ב-2.
פִּתָרוֹן:תסתכל על הספרה האחרונה: 8 אומר שהמספר מתחלק בשניים.

2. סימן לחלוקה של מספר ב-3
מספר מתחלק ב-3 כאשר סכום הספרות שלו מתחלק ב-3. לפיכך, כדי לקבוע אם מספר מתחלק ב-3, צריך לחשב את סכום הספרות ולבדוק אם הוא מתחלק ב-3. גם אם התברר שסכום הספרות גדול מאוד, ניתן לחזור על אותו תהליך. שוב.
דוגמא:קבע אם המספר 34938 מתחלק ב-3.
פִּתָרוֹן:אנו סופרים את סכום הספרות: 3+4+9+3+8 = 27. 27 מתחלק ב-3, כלומר המספר מתחלק בשלוש.

3. סימן לחלוקה של מספר ב-5
מספר מתחלק ב-5 כאשר הספרה האחרונה שלו היא אפס או חמש.
דוגמא:קבע אם המספר 34938 מתחלק ב-5.
פִּתָרוֹן:תסתכל על הספרה האחרונה: 8 אומר שהמספר אינו מתחלק בחמש.

4. סימן לחלוקה של מספר ב-9
סימן זה דומה מאוד לסימן ההתחלקות בשלוש: מספר מתחלק ב-9 כאשר סכום ספרותיו מתחלק ב-9.
דוגמא:קבע אם המספר 34938 מתחלק ב-9.
פִּתָרוֹן:אנו מחשבים את סכום הספרות: 3+4+9+3+8 = 27. 27 מתחלק ב-9, כלומר המספר מתחלק בתשע.

כיצד למצוא GCD ו-LCM של שני מספרים

כיצד למצוא את ה-GCD של שני מספרים

רוב בצורה פשוטהחישוב המחלק המשותף הגדול ביותר של שני מספרים הוא למצוא את כל המחלקים האפשריים של המספרים הללו ולבחור את הגדול שבהם.

שקול שיטה זו באמצעות הדוגמה של מציאת GCD(28, 36):

אנו מפרקים את שני המספרים: 28 = 1 2 2 7 , 36 = 1 2 2 3 3
אנו מוצאים גורמים משותפים, כלומר אלו שיש לשני המספרים: 1, 2 ו-2.
אנו מחשבים את המכפלה של גורמים אלה: 1 2 2 \u003d 4 - זהו המחלק המשותף הגדול ביותר של המספרים 28 ו-36.

כיצד למצוא את ה-LCM של שני מספרים

ישנן שתי דרכים נפוצות ביותר למצוא את הכפולה הקטנה ביותר של שני מספרים. הדרך הראשונה היא שאתה יכול לכתוב את הכפולות הראשונות של שני מספרים, ולאחר מכן לבחור מביניהם מספר כזה שיהיה משותף לשני המספרים ובו בזמן הקטן ביותר. והשנייה היא למצוא את ה-GCD של המספרים האלה. בואו רק נשקול את זה.

כדי לחשב את ה-LCM, עליך לחשב את המכפלה של המספרים המקוריים ולאחר מכן לחלק אותו ב-GCD שנמצא קודם לכן. בוא נמצא את ה-LCM עבור אותם המספרים 28 ו-36:

מצא את המכפלה של המספרים 28 ו-36: 28 36 = 1008
gcd(28, 36) כבר ידוע כ-4
LCM(28, 36) = 1008 / 4 = 252 .

מציאת GCD ו-LCM עבור מספרים מרובים

ניתן למצוא את המחלק המשותף הגדול ביותר עבור מספר מספרים, ולא רק עבור שניים. לשם כך, המספרים שניתן למצוא עבור המחלק המשותף הגדול ביותר מפורקים ל גורמים ראשוניים, ואז מצא את המכפלה של גורמים ראשוניים משותפים של המספרים הללו. כמו כן, כדי למצוא את ה-GCD של מספר מספרים, אתה יכול להשתמש בקשר הבא: gcd(a,b,c) = gcd(gcd(a,b),c).

יחס דומה חל גם על הכפולה הפחות משותפת של מספרים: LCM(a,b,c) = LCM(LCM(a,b),c)‎

דוגמא:מצא GCD ו-LCM עבור המספרים 12, 32 ו-36.

ראשית, נחלק את המספרים לגורמים: 12 = 1 2 2 3 , 32 = 1 2 2 2 2 2 , 36 = 1 2 2 3 3 .
בואו נמצא גורמים משותפים: 1, 2 ו-2.
המוצר שלהם ייתן gcd: 1 2 2 = 4
עכשיו בואו נמצא את ה-LCM: לשם כך נמצא תחילה את ה-LCM(12, 32): 12 32 / 4 = 96.
כדי למצוא את ה-NOC של כולם שלושה מספרים, עליך למצוא gcd(96, 36): 96 = 1 2 2 2 2 2 3 , 36 = 1 2 2 3 3 , gcd = 1 2 2 3 = 12 .
LCM(12, 32, 36) = 96 36 / 12 = 288 .

מאמר זה עוסק ב מציאת המחלק המשותף הגדול ביותר (gcd)שני מספרים או יותר. ראשית, שקול את האלגוריתם של אוקלידס, הוא מאפשר לך למצוא את ה-GCD של שני מספרים. לאחר מכן, נתעכב על שיטה המאפשרת לנו לחשב את GCD של מספרים כמכפלה של הגורמים הראשוניים המשותפים שלהם. לאחר מכן, נעסוק במציאת המחלק המשותף הגדול ביותר של שלושה מספרים או יותר, וכן ניתן דוגמאות לחישוב ה-GCD של מספרים שליליים.

ניווט בדף.

האלגוריתם של אוקלידס למציאת GCD

שימו לב שאם היינו פונים לטבלת המספרים הראשוניים כבר מההתחלה, היינו מגלים שהמספרים 661 ו-113 הם ראשוניים, וממנו נוכל לומר מיד שהמחלק המשותף הגדול ביותר שלהם הוא 1.

תשובה:

gcd(661, 113)=1 .

מציאת GCD על ידי הפקת מספרים לגורמים ראשוניים

שקול דרך אחרת למצוא את ה-GCD. ניתן למצוא את המחלק המשותף הגדול ביותר על ידי פירוק מספרים לגורמים ראשוניים. בואו ננסח את הכלל: GCD של שני מספרים שלמים מספרים חיובייםא ו-ב שווה למוצרשל כל הגורמים הראשוניים הנפוצים שנמצאו בפירוק של a ו-b לגורמים ראשוניים.

הבה ניתן דוגמה כדי להסביר את הכלל למציאת ה-GCD. ספר לנו על ההרחבות של המספרים 220 ו-600 לגורמים ראשוניים, יש להם את הצורה 220=2 2 5 11 ו-600=2 2 2 3 5 5 . גורמים ראשוניים נפוצים המעורבים בהרחבת המספרים 220 ו-600 הם 2, 2 ו-5. לכן gcd(220, 600)=2 2 5=20 .

לפיכך, אם נפרק את המספרים a ו-b לגורמים ראשוניים ונמצא את המכפלה של כל הגורמים המשותפים שלהם, אז זה ימצא את המחלק המשותף הגדול ביותר של המספרים a ו-b.

שקול דוגמה למציאת ה-GCD על פי הכלל המוכרז.

דוגמא.

מצא את המחלק המשותף הגדול ביותר של 72 ו-96.

פִּתָרוֹן.

בוא נחלק לגורמים את המספרים 72 ו-96:

כלומר, 72=2 2 2 3 3 ו-96=2 2 2 2 2 3 . גורמים ראשוניים נפוצים הם 2, 2, 2 ו-3. אז gcd(72, 96)=2 2 2 3=24 .

תשובה:

gcd(72, 96)=24 .

לסיכום סעיף זה, נציין כי תוקפו של הכלל הנ"ל למציאת ה-gcd נובע מהמאפיין של המחלק המשותף הגדול ביותר, הקובע כי GCD(m a 1 , m b 1)=m GCD(a 1 , b 1), כאשר m הוא כל מספר שלם חיובי.

מציאת GCD של שלושה מספרים או יותר

ניתן לצמצם את מציאת המחלק המשותף הגדול ביותר של שלושה מספרים או יותר למציאת ה-gcd של שני מספרים ברציפות. הזכרנו זאת כאשר חקרנו את המאפיינים של GCD. שם ניסחנו והוכחנו את המשפט: המחלק המשותף הגדול ביותר של מספר מספרים a 1 , a 2 , …, a k שווה למספר d k , שנמצא בחישוב הרציף של gcd(a 1 , a 2)=d 2 , gcd(d 2 , a 3) =d 3 , GCD(d 3 , a 4)=d 4 , …, GCD(d k-1 , a k)=d k .

בואו נראה איך נראה תהליך מציאת ה-GCD של מספר מספרים על ידי בחינת הפתרון של הדוגמה.

דוגמא.

מצא את המחלק המשותף הגדול ביותר מבין ארבעת המספרים 78, 294, 570 ו-36.

פִּתָרוֹן.

בדוגמה זו a 1 =78, a 2 =294, a 3 =570, a 4 =36.

ראשית, באמצעות אלגוריתם אוקלידס, אנו קובעים את המחלק המשותף הגדול ביותר d 2 מבין שני המספרים הראשונים 78 ו-294. כאשר מחלקים, נקבל את השוויון 294=78 3+60; 78=60 1+18 ; 60=18 3+6 ו-18=6 3 . לפיכך, d 2 =GCD(78, 294)=6 .

עכשיו בואו נעשה חישוב d 3 \u003d GCD (d 2, a 3) \u003d GCD (6, 570). שוב אנו מיישמים את האלגוריתם של אוקלידס: 570=6·95, לכן, d 3 =GCD(6, 570)=6 .

נשאר לחשב d 4 \u003d GCD (d 3, a 4) \u003d GCD (6, 36). מכיוון ש-36 מתחלק ב-6, אז d 4 \u003d GCD (6, 36) \u003d 6.

לפיכך, המחלק המשותף הגדול ביותר מבין ארבעת המספרים הנתונים הוא d 4 =6 , כלומר, gcd(78, 294, 570, 36)=6 .

תשובה:

gcd(78, 294, 570, 36)=6 .

פירוק מספרים לגורמים ראשוניים מאפשר לך גם לחשב את ה-GCD של שלושה מספרים או יותר. במקרה זה, המחלק המשותף הגדול ביותר נמצא כמכפלה של כל הגורמים הראשוניים המשותפים של המספרים הנתונים.

דוגמא.

חשב את ה-GCD של המספרים מהדוגמה הקודמת באמצעות הפקטוריזציות הראשוניות שלהם.

פִּתָרוֹן.

אנו מפרקים את המספרים 78, 294, 570 ו-36 לגורמים ראשוניים, נקבל 78=2 3 13, 294=2 3 7 7, 570=2 3 5 19, 36=2 2 3. 3. הגורמים הראשוניים המשותפים של כל ארבעת המספרים הניתנים הם המספרים 2 ו-3. כתוצאה מכך, GCD(78, 294, 570, 36)=2 3=6.

בואו נפתור את הבעיה. יש לנו שני סוגים של עוגיות. חלקם שוקולד וחלקם רגילים. יש 48 חתיכות שוקולד, ופשוטות 36. יש צורך להכין מהעוגיות הללו את המספר המרבי האפשרי של מתנות, ויש להשתמש בכולן.

ראשית, נרשום את כל המחלקים של כל אחד משני המספרים הללו, שכן שני המספרים הללו חייבים להיות מתחלקים במספר המתנות.

אנחנו מקבלים

48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.
36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.

הבה נמצא בין המחלקים את הנפוצים שיש גם למספר הראשון וגם למספר השני.

המחלקים הנפוצים יהיו: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

המחלק המשותף הגדול מכולם הוא 12. מספר זה נקרא המחלק המשותף הגדול ביותר של 36 ו-48.

על סמך התוצאה, אנו יכולים להסיק שניתן להכין 12 מתנות מכל העוגיות. במתנה אחת כזו יהיו 4 עוגיות שוקולד צ'יפסו-3 עוגיות רגילות.

מציאת המחלק המשותף הגדול ביותר

המספר הטבעי הגדול ביותר שבו שני מספרים a ו-b מתחלקים ללא שארית נקרא המחלק המשותף הגדול ביותר של המספרים הללו.

לפעמים הקיצור GCD משמש לקיצור הערך.

לכמה זוגות של מספרים יש אחד כמחלק המשותף הגדול ביותר שלהם. מספרים כאלה נקראים מספרים ראשוניים.לדוגמה, מספרים 24 ו-35. יש GCD =1.

כיצד למצוא את המחלק המשותף הגדול ביותר

כדי למצוא את המחלק המשותף הגדול ביותר, אין צורך לכתוב את כל המחלקים של המספרים הללו.

אתה יכול לעשות אחרת. ראשית, חלק את שני המספרים לגורמים ראשוניים.

48 = 2*2*2*2*3,
36 = 2*2*3*3.

כעת, מהגורמים הנכללים בהרחבת המספר הראשון, אנו מוחקים את כל אלו שאינם נכללים בהרחבה של המספר השני. במקרה שלנו, מדובר בשני צלילים.

48 = 2*2*2*2*3 ,
36 = 2*2*3 *3.

נותרו הגורמים 2, 2 ו-3. המכפלה שלהם היא 12. מספר זה יהיה המחלק המשותף הגדול ביותר של המספרים 48 ו-36.

ניתן להרחיב כלל זה למקרה של שלושה, ארבעה וכדומה. מספרים.

סכימה כללית למציאת המחלק המשותף הגדול ביותר

1. פירוק מספרים לגורמים ראשוניים.
2. מתוך הגורמים הכלולים בהרחבה של אחד מספרים אלה, חוצים את אלה שאינם כלולים בהרחבה של מספרים אחרים.
3. חשב את מכפלת הגורמים הנותרים.

המספר הטבעי הגדול ביותר שבו מתחלקים המספרים a ו-b ללא שארית נקרא המחלק המשותף הגדול ביותרהמספרים הללו. סמן GCD(a,b).

שקול למצוא את ה-GCD באמצעות הדוגמה של שני המספרים הטבעיים 18 ו-60:

1 בואו נפרק את המספרים לגורמים ראשוניים:
18 = 2×3×3
60 = 2×2×3×5

2 למחוק מהרחבת המספר הראשון את כל הגורמים שאינם כלולים בהרחבה של המספר השני, נקבל 2×3×3 .

3 נכפיל את הגורמים הראשוניים הנותרים לאחר המחצה ונקבל את המחלק המשותף הגדול ביותר של מספרים: gcd ( 18 , 60 )=2×3= 6 .

4 שימו לב שזה לא משנה מהמספר הראשון או השני שנמחק את הגורמים, התוצאה תהיה זהה:
18 = 2×3×3
60 = 2×2×3×5

324 , 111 ו 432

בואו נפרק את המספרים לגורמים ראשוניים:

324 = 2×2×3×3×3×3

111 = 3×37

432 = 2×2×2×2×3×3×3

למחוק מהמספר הראשון, שהגורמים שלו אינם במספרים השני והשלישי, נקבל:

2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3 = 3

כתוצאה מ-GCD( 324 , 111 , 432 )=3

מציאת GCD עם האלגוריתם של אוקלידס

הדרך השנייה למצוא את המחלק המשותף הגדול ביותר באמצעות האלגוריתם של אוקלידס. האלגוריתם של אוקלידס הוא הכי הרבה דרך יעילהמִמצָא GCD, באמצעותו אתה צריך למצוא כל הזמן את שאר החלוקה של המספרים ולהחיל נוסחה חוזרת.

נוסחה חוזרתעבור GCD, gcd(a, b)=gcd(b, a mod b), כאשר a mod b הוא שאר חלוקת a ב-b.

האלגוריתם של אוקלידס

דוגמה מצא את המחלק המשותף הגדול ביותר של מספרים 7920 ו 594

בוא נמצא את GCD( 7920 , 594 ) בעזרת אלגוריתם אוקלידס, נחשב את יתרת החלוקה באמצעות מחשבון.

GCD( 7920 , 594 )

GCD( 594 , 7920 mod 594 ) = gcd( 594 , 198 )

GCD( 198 , 594 mod 198 ) = gcd( 198 , 0 )

GCD( 198 , 0 ) = 198

7920 mod 594 = 7920 - 13 × 594 = 198
594 mod 198 = 594 - 3 × 198 = 0

כתוצאה מכך, אנו מקבלים GCD( 7920 , 594 ) = 198

כפולה משותפת מינימאלית

מציאת מכנה משותף בעת חיבור וחיסור שברים מכנים שוניםצריך לדעת ולהיות מסוגל לחשב כפולה משותפת מינימאלית(NOC).

כפולה של המספר "a" היא מספר שמתחלק בעצמו במספר "a" ללא שארית.

מספרים שהם כפולות של 8 (כלומר, המספרים הללו יחולקו ב-8 ללא שארית): אלו הם המספרים 16, 24, 32 ...

כפולות של 9: 18, 27, 36, 45...

יש אינסוף כפולות של מספר נתון a, בניגוד למחלקים של אותו מספר. מחלקים - מספר סופי.

כפולה משותפת של שני מספרים טבעיים היא מספר המתחלק באופן שווה בשני המספרים הללו..

כפולה משותפת מינימאלית(LCM) של שני מספרים טבעיים או יותר הוא המספר הטבעי הקטן ביותר שמתחלק בעצמו בכל אחד מהמספרים הללו.

כיצד למצוא את ה-NOC

ניתן למצוא ולכתוב LCM בשתי דרכים.

הדרך הראשונה למצוא את ה-LCM

שיטה זו משמשת בדרך כלל למספרים קטנים.

נכתוב את הכפולות של כל אחד מהמספרים בשורה עד שתהיה כפולה זהה לשני המספרים.
כפולה של המספר "a" מסומנת באות גדולה "K".

דוגמא. מצא את LCM 6 ו-8.

הדרך השנייה למצוא את ה-LCM

שיטה זו נוחה לשימוש כדי למצוא את ה-LCM עבור שלושה מספרים או יותר.

מספר הגורמים הזהים בהרחבות המספרים יכול להיות שונה.

בהרחבה של המספר הקטן יותר (מספרים קטנים יותר), הדגש את הגורמים שלא נכללו בהרחבת המספר הגדול יותר (בדוגמה שלנו, זה 2) והוסיפו את הגורמים הללו להרחבת המספר הגדול יותר.
LCM (24, 60) = 2 2 3 5 2

רשום את העבודה שהתקבלה בתגובה.
תשובה: LCM (24, 60) = 120

אתה יכול גם לנסח את מציאת הכפולה הפחות משותפת (LCM) באופן הבא. בוא נמצא את ה-LCM (12, 16, 24) .

24 = 2 2 2 3

כפי שאנו יכולים לראות מהרחבת המספרים, כל הגורמים של 12 נכללים בהרחבה של 24 (הגדול מבין המספרים), ולכן נוסיף רק 2 אחד מהרחבת המספר 16 ל-LCM.

LCM (12, 16, 24) = 2 2 2 3 2 = 48

תשובה: LCM (12, 16, 24) = 48

מקרים מיוחדים של מציאת NOCs

אם אחד המספרים מתחלק שווה בשווה באחרים, הרי שהכפולה הפחות משותפת של המספרים הללו שווה למספר זה.

לדוגמה, LCM(60, 15) = 60
מכיוון שלמספרים ראשוניים אין מחלקים ראשוניים משותפים, הכפולה הפחות משותפת שלהם שווה למכפלת המספרים הללו.

באתר שלנו, אתה יכול גם להשתמש במחשבון מיוחד כדי למצוא את הכפולה הפחות נפוצה באינטרנט כדי לבדוק את החישובים שלך.

אם מספר טבעי מתחלק רק ב-1 ובעצמו, אז הוא נקרא ראשוני.

כל מספר טבעי מתחלק תמיד ב-1 ובעצמו.

המספר 2 הוא המספר הראשוני הקטן ביותר. זהו המספר הראשוני הזוגי היחיד, שאר המספרים הראשוניים הם אי-זוגיים.

ישנם מספרים ראשוניים רבים, והראשון ביניהם הוא המספר 2. עם זאת, אין מספר ראשוני אחרון. בסעיף "למחקר", אתה יכול להוריד טבלה של מספרים ראשוניים עד 997.

אבל מספרים טבעיים רבים ניתנים לחלוקה שווה במספרים טבעיים אחרים.

המספר 12 מתחלק ב-1, ב-2, ב-3, ב-4, ב-6, ב-12;
36 מתחלק ב-1, ב-2, ב-3, ב-4, ב-6, ב-12, ב-18, ב-36.

המספרים שבהם המספר מתחלק באופן שווה (עבור 12 אלו 1, 2, 3, 4, 6 ו-12) נקראים מחלקים של המספר.

המחלק של מספר טבעי a הוא מספר טבעי כזה שמחלק את המספר הנתון "a" ללא שארית.

מספר טבעי שיש בו יותר משני גורמים נקרא מספר מורכב.

שימו לב שלמספרים 12 ו-36 יש מחלקים משותפים. אלו הם מספרים: 1, 2, 3, 4, 6, 12. המחלק הגדול ביותר של המספרים הללו הוא 12.

המחלק המשותף של שני מספרים נתונים "a" ו-"b" הוא המספר שבו שני המספרים הנתונים "a" ו-"b" מחולקים ללא שארית.

מחלק המשותף הגדול ביותר(gcd) של שני מספרים נתונים "a" ו-"b" הוא המספר הגדול ביותר, לפיו שני המספרים "a" ו-"b" מתחלקים ללא שארית.

בקצרה, המחלק המשותף הגדול ביותר של המספרים "a" ו-"b" נכתב כדלקמן:

דוגמה: gcd (12; 36) = 12 .

מחלקי המספרים ברשומת הפתרון מסומנים באות גדולה "D".

למספרים 7 ו-9 יש רק מחלק משותף אחד - המספר 1. מספרים כאלה נקראים מספרים ראשוניים.

מספרים ראשונייםהם מספרים טבעיים שיש להם רק מחלק משותף אחד - המספר 1. ה-GCD שלהם הוא 1.

כיצד למצוא את המחלק המשותף הגדול ביותר

כדי למצוא את ה-gcd של שני מספרים טבעיים או יותר אתה צריך:

לפרק את מחלקי המספרים לגורמים ראשוניים;

חישובים נכתבים בצורה נוחה באמצעות פס אנכי. משמאל לשורה רשמו תחילה את הדיבידנד, מימין - המחלק. בהמשך העמודה השמאלית אנו רושמים את הערכים של פרטי.

בואו נסביר מיד עם דוגמה. בוא נחלק את המספרים 28 ו-64 לגורמים ראשוניים.

64 = 2 2 2 2 2 2
אנו מוצאים את המכפלה של גורמים ראשוניים זהים ורושמים את התשובה;
GCD (28; 64) = 2 2 = 4

תשובה: GCD (28; 64) = 4

אתה יכול לסדר את המיקום של ה-GCD בשתי דרכים: בעמודה (כפי שנעשה למעלה) או "בשורה".

הדרך הראשונה לכתוב GCD

מצא את GCD 48 ו-36.

GCD (48; 36) = 2 2 3 = 12

הדרך השנייה לכתוב GCD

כעת נכתוב את פתרון החיפוש של GCD בשורה. מצא את GCD 10 ו-15.

באתר המידע שלנו, תוכל גם למצוא את המחלק המשותף הגדול ביותר באינטרנט באמצעות תוכנת העזר כדי לבדוק את החישובים שלך.

מציאת הכפולה הכי פחות משותפת, שיטות, דוגמאות למציאת ה-LCM.

החומר המוצג להלן הוא המשך הגיוני לתיאוריה מהמאמר תחת הכותרת LCM - Least Common Multiple, הגדרה, דוגמאות, קשר בין LCM ל-GCD. כאן נדבר על מציאת הכפולה הפחות משותפת (LCM), ו תשומת - לב מיוחדתבואו נסתכל על הדוגמאות. תחילה נראה כיצד ה-LCM של שני מספרים מחושב במונחים של GCD של המספרים הללו. לאחר מכן, שקול למצוא את הכפולה המשותפת הפחותה על ידי פירוק מספרים לגורמים ראשוניים. לאחר מכן, נתמקד במציאת LCM של שלושה מספרים או יותר, ונשים לב גם לחישוב ה-LCM של מספרים שליליים.

ניווט בדף.

חישוב של הכפולה הפחות משותפת (LCM) דרך gcd

אחת הדרכים למצוא את הכפולה הפחות משותפת מבוססת על הקשר בין LCM ל-GCD. הקשר הקיים בין LCM ל-GCD מאפשר לך לחשב את הכפולה הפחות משותפת של שני מספרים שלמים חיוביים באמצעות המחלק המשותף הגדול ביותר הידוע. לנוסחה המתאימה יש את הצורה LCM(a,b)=a b: GCM(a,b). שקול דוגמאות למציאת LCM לפי הנוסחה לעיל.

מצא את הכפולה המשותפת הפחותה מבין שני המספרים 126 ו-70.

בדוגמה זו a=126 , b=70 . בוא נשתמש בקישור של LCM עם GCD, שמתבטא בנוסחה LCM(a,b)=a b: GCM(a,b) . כלומר, ראשית עלינו למצוא את המחלק המשותף הגדול ביותר של המספרים 70 ו-126, ולאחר מכן נוכל לחשב את ה-LCM של המספרים הללו לפי הנוסחה הכתובה.

מצא את gcd(126, 70) באמצעות האלגוריתם של אוקלידס: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , ומכאן gcd(126, 70)=14 .

כעת אנו מוצאים את הכפולה הפחות משותפת הנדרשת: LCM(126, 70)=126 70:GCD(126, 70)= 126 70:14=630 .

מה זה LCM(68, 34)?

מכיוון ש-68 מתחלק באופן שווה ב-34, אז gcd(68, 34)=34. כעת אנו מחשבים את הכפולה הפחות משותפת: LCM(68, 34)=68 34:GCD(68, 34)= 68 34:34=68 .

שימו לב שהדוגמה הקודמת מתאימה לכלל הבא למציאת ה-LCM עבור מספרים שלמים חיוביים a ו-b: אם המספר a מתחלק ב-b, אז הכפולה הפחות משותפת של המספרים הללו היא a .

מציאת ה-LCM על ידי הפקת מספרים לגורמים ראשוניים

דרך נוספת למצוא את הכפולה הפחות משותפת מבוססת על פירוק מספרים לגורמים ראשוניים. אם נעשה מכפלה של כל הגורמים הראשוניים של המספרים הללו, ולאחר מכן נשלל ממכפלה זה את כל הגורמים הראשוניים המשותפים הקיימים בהרחבות של המספרים הללו, אז המכפלה המתקבלת תהיה שווה לכפולה המשותפת הפחותה של המספרים הללו.

הכלל המוכרז למציאת ה-LCM נובע מהשוויון LCM(a,b)=a b: GCM(a,b) . אכן, מכפלת המספרים a ו-b שווה למכפלת כל הגורמים המעורבים בהרחבות של המספרים a ו-b. בתורו, gcd(a,b) שווה למכפלת כל הגורמים הראשוניים הנמצאים בו-זמנית בהרחבות של המספרים a ו-b (אשר מתואר בסעיף על מציאת ה-gcd באמצעות פירוק המספרים לגורמים ראשוניים ).

בואו ניקח דוגמה. נדע ש-75=3 5 5 ו-210=2 3 5 7 . חבר את התוצר של כל הגורמים של הרחבות אלה: 2 3 3 5 5 5 7 . כעת אנו מוציאים ממוצר זה את כל הגורמים הקיימים הן בהרחבה של המספר 75 והן בהרחבה של המספר 210 (גורמים כאלה הם 3 ו-5), ואז המוצר יקבל את הצורה 2 3 5 5 7 . הערך של מוצר זה שווה לכפולה הפחות משותפת של 75 ו-210, כלומר LCM(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050 .

לאחר חלוקת המספרים 441 ו-700 לגורמים ראשוניים, מצא את הכפולה הפחות משותפת של המספרים הללו.

בואו נפרק את המספרים 441 ו-700 לגורמים ראשוניים:

נקבל 441=3 3 7 7 ו-700=2 2 5 5 7.

עכשיו בואו נעשה מכפלה של כל הגורמים המעורבים בהרחבות של המספרים האלה: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . הבה נוציא מהמוצר הזה את כל הגורמים שנמצאים בו זמנית בשתי ההרחבות (יש רק גורם אחד כזה - זה המספר 7): 2 2 3 3 5 5 7 7 . אז LCM(441, 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100 .

LCM(441, 700)= 44 100 .

הכלל למציאת ה-LCM באמצעות פירוק המספרים לגורמים ראשוניים יכול להתנסח קצת אחרת. אם נוסיף את הגורמים החסרים מהתרחבות המספר b לגורמים מהתרחבות המספר a, אז הערך של המכפלה המתקבל יהיה שווה לכפולה המשותפת הפחותה של המספרים a ו-b.

לדוגמה, ניקח את כל אותם המספרים 75 ו-210, ההרחבות שלהם לגורמים ראשוניים הם כדלקמן: 75=3 5 5 ו-210=2 3 5 7 . לגורמים 3, 5 ו-5 מפירוק המספר 75, נוסיף את הגורמים החסרים 2 ו-7 מפירוק המספר 210, נקבל את המכפלה 2 3 5 5 7 , שערכו הוא LCM(75 , 210).

מצא את הכפולה הפחות משותפת של 84 ו-648.

תחילה נקבל את הפירוק של המספרים 84 ו-648 לגורמים ראשוניים. הם נראים כמו 84=2 2 3 7 ו-648=2 2 2 3 3 3 3 . לגורמים 2, 2, 3 ו-7 מפירוק המספר 84 נוסיף את הגורמים החסרים 2, 3, 3 ו-3 מפירוק המספר 648, נקבל את המכפלה 2 2 2 3 3 3 3 7, שהוא שווה ל-4 536. לפיכך, הכפולה הפחות משותפת הרצויה של המספרים 84 ו-648 היא 4,536.

מציאת ה-LCM של שלושה מספרים או יותר

ניתן למצוא את הכפולה המשותפת הפחותה של שלושה או יותר על ידי מציאת LCM של שני מספרים ברציפות. זכור את המשפט המתאים, הנותן דרך למצוא את ה-LCM של שלושה מספרים או יותר.

ניתן לתת מספרים שלמים חיוביים a 1 , a 2 , …, a k, הכפולה הפחות משותפת m k של המספרים הללו נמצאת בחישוב הרציף m 2 = LCM (a 1 , a 2), m 3 = LCM (m 2, a 3) , … , m k =LCM(m k−1 , a k) .

שקול את היישום של משפט זה על הדוגמה של מציאת הכפולה הפחות משותפת של ארבעה מספרים.

מצא את ה-LCM של ארבעת המספרים 140, 9, 54 ו-250.

ראשית נמצא m 2 = LCM (a 1, a 2) = LCM (140, 9) . לשם כך, באמצעות האלגוריתם האוקלידי, אנו קובעים gcd(140, 9) , יש לנו 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , לכן, gcd( 140, 9)=1 , ומכאן LCM(140, 9)=140 9: GCD(140, 9)= 140 9:1=1 260 . כלומר, m 2 =1 260.

כעת אנו מוצאים את m 3 = LCM (m 2, a 3) = LCM (1 260, 54) . הבה נחשב אותו באמצעות gcd(1 260, 54) , אשר נקבע גם על ידי אלגוריתם אוקלידס: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . ואז gcd(1 260, 54)=18 , ומכאן LCM(1 260, 54)= 1 260 54:gcd(1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780 . כלומר, m 3 \u003d 3 780.

נותר למצוא את m 4 = LCM (m 3, a 4) = LCM (3 780, 250) . לשם כך, אנו מוצאים את GCD(3 780, 250) באמצעות אלגוריתם אוקלידס: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . לכן, gcd(3 780, 250)=10 , ומכאן LCM(3 780, 250)= 3 780 250:gcd(3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500 . כלומר, m 4 \u003d 94 500.

אז הכפולה הפחות משותפת של ארבעת המספרים המקוריים היא 94,500.

LCM(140, 9, 54, 250)=94500 .

במקרים רבים, הכפולה הפחות משותפת של שלושה או יותר מספרים נמצאת בצורה נוחה באמצעות פירוק ראשוני של מספרים נתונים. יחד עם זאת, צריך לדבוק הכלל הבא. הכפולה הפחות משותפת של מספר מספרים שווה למכפלה, המורכבת כך: הגורמים החסרים מהתרחבות המספר השני מתווספים לכל הגורמים מהתרחבות המספר הראשון, הגורמים החסרים מהתרחבות של המספר השלישי מתווספים לגורמים המתקבלים, וכן הלאה.

שקול דוגמה למציאת הכפולה הפחות משותפת באמצעות פירוק של מספרים לגורמים ראשוניים.

מצא את הכפולה הפחות משותפת של חמישה מספרים 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .

ראשית, נקבל פירוק של המספרים הללו לגורמים ראשוניים: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 (7 הוא מספר ראשוני, הוא עולה בקנה אחד עם הפירוק שלו לגורמים ראשוניים) ו 143=11 13 .

כדי למצוא את ה-LCM של המספרים הללו, לגורמים של המספר הראשון 84 (הם 2, 2, 3 ו-7) צריך להוסיף את הגורמים החסרים מהפירוק של המספר השני 6. הרחבה של המספר 6 אינה מכילה גורמים חסרים, שכן גם 2 וגם 3 קיימים כבר בהרחבה של המספר הראשון 84. בהמשך לגורמים 2, 2, 3 ו-7 נוסיף את הגורמים החסרים 2 ו-2 מהרחבת המספר השלישי 48, נקבל קבוצה של גורמים 2, 2, 2, 2, 3 ו-7. אין צורך להוסיף גורמים לסט זה בשלב הבא, מכיוון ש-7 כבר כלול בו. לבסוף, לגורמים 2, 2, 2, 2, 3 ו-7 נוסיף את הגורמים החסרים 11 ו-13 מהרחבת המספר 143. נקבל את המוצר 2 2 2 2 3 7 11 13, ששווה ל-48 048.

לכן, LCM(84, 6, 48, 7, 143)=48048 .

LCM(84, 6, 48, 7, 143)=48048 .

מציאת הכפולה הנמוכה ביותר של מספרים שליליים

לפעמים יש משימות שבהן אתה צריך למצוא את הכפולה הפחות משותפת של מספרים, ביניהם אחד, כמה או כל המספרים הם שליליים. במקרים אלו, כולם מספרים שלילייםאתה צריך להחליף אותם במספרים ההפוכים שלהם, ואז למצוא את LCM של מספרים חיוביים. זו הדרך למצוא את LCM של מספרים שליליים. לדוגמה, LCM(54, −34)=LCM(54, 34) ו-LCM(−622, −46, −54, −888)= LCM(622, 46, 54, 888) .

אנו יכולים לעשות זאת מכיוון שקבוצת הכפולות של a זהה לקבוצת הכפולות של −a (a ו-a הם מספרים מנוגדים). ואכן, תן b להיות כפולה כלשהי של a, אז b מתחלק ב-a, ומושג ההתחלקות טוען את קיומו של מספר שלם כזה ש-b=a q. אבל גם השוויון b=(−a)·(−q) יהיה נכון, אשר מתוקף אותו מושג חלוקה אומר ש-b מתחלק ב--a, כלומר, b הוא כפולה של −a. ההצהרה ההפוכה נכונה גם היא: אם b הוא כפולה כלשהי של −a , אז b הוא גם כפולה של a .

מצא את הכפולה הפחות משותפת של המספרים השליליים -145 ו -45.

הבה נחליף את המספרים השליליים -145 ו -45 במספרים ההפוכים שלהם 145 ו -45 . יש לנו LCM(−145, −45)=LCM(145, 45) . לאחר שקבענו gcd(145, 45)=5 (לדוגמה, באמצעות אלגוריתם אוקלידס), אנו מחשבים LCM(145, 45)=145 45:gcd(145, 45)= 145 45:5=1 305 . לפיכך, הכפולה הפחות משותפת של המספרים השלמים השליליים -145 ו -45 היא 1,305.

www.cleverstudents.ru

אנחנו ממשיכים ללמוד חטיבה. בשיעור זה נבחן מושגים כגון GCDו NOC.

GCDהוא המחלק המשותף הגדול ביותר.

NOCהיא הכפולה הפחות משותפת.

הנושא די משעמם, אבל יש צורך להבין אותו. בלי להבין את הנושא הזה, לא תוכל לעבוד ביעילות עם שברים, שהם מכשול אמיתי במתמטיקה.

מחלק המשותף הגדול ביותר

הַגדָרָה. המחלק המשותף הגדול ביותר של המספרים או ב או במחולק ללא שארית.

על מנת להבין היטב את ההגדרה הזו, אנו מחליפים במקום משתנים או בכל שני מספרים, למשל, במקום משתנה אהחלף את המספר 12, ובמקום המשתנה במספר 9. עכשיו בואו ננסה לקרוא את ההגדרה הזו:

המחלק המשותף הגדול ביותר של המספרים 12 ו 9 הוא המספר הגדול ביותר שבו 12 ו 9 מחולק ללא שארית.

ברור מההגדרה שאנחנו מדברים על מחלק משותף של המספרים 12 ו-9, ומחלק זה הוא הגדול מכל המחלקים הקיימים. יש למצוא את המחלק המשותף הגדול ביותר (gcd).

כדי למצוא את המחלק המשותף הגדול ביותר של שני מספרים, משתמשים בשלוש שיטות. השיטה הראשונה די גוזלת זמן, אבל היא מאפשרת להבין היטב את מהות הנושא ולהרגיש את כל המשמעות שלו.

השיטה השנייה והשלישית די פשוטות ומאפשרות למצוא במהירות את ה-GCD. נשקול את כל שלוש השיטות. ומה ליישם בפועל - אתה בוחר.

הדרך הראשונה היא למצוא את כל המחלקים האפשריים של שני מספרים ולבחור את הגדול שבהם. הבה נשקול שיטה זו בדוגמה הבאה: מצא את המחלק המשותף הגדול ביותר של המספרים 12 ו-9.

ראשית, נמצא את כל המחלקים האפשריים של המספר 12. לשם כך נחלק את 12 לכל המחלקים בטווח שבין 1 ל-12. אם המחלק מאפשר לחלק 12 ללא שארית, אז נדגיש אותו בכחול וניצור הסבר מתאים בסוגריים.

12: 1 = 12
(12 חלקי 1 ללא שארית, אז 1 הוא מחלק של 12)

12: 2 = 6
(12 חלקי 2 ללא שארית, אז 2 הוא מחלק של 12)

12: 3 = 4
(12 חלקי 3 ללא שארית, כך ש-3 הוא מחלק של 12)

12: 4 = 3
(12 חלקי 4 ללא שארית, אז 4 הוא מחלק של 12)

12:5 = 2 (2 נותרו)
(12 אינו מחולק ב-5 ללא שארית, כך ש-5 אינו מחלק של 12)

12: 6 = 2
(12 חלקי 6 ללא שארית, כך ש-6 הוא מחלק של 12)

12: 7 = 1 (5 נותרו)
(12 אינו מחולק ב-7 ללא שארית, כך ש-7 אינו מחלק של 12)

12: 8 = 1 (נותרו 4)
(12 אינו מחולק ב-8 ללא שארית, כך ש-8 אינו מחלק של 12)

12:9 = 1 (נותרו 3)
(12 אינו מחולק ב-9 ללא שארית, כך ש-9 אינו מחלק של 12)

12: 10 = 1 (נותרו 2)
(12 אינו מחולק ב-10 ללא שארית, כך ש-10 אינו מחלק של 12)

12:11 = 1 (1 נותר)
(12 אינו מחולק ב-11 ללא שארית, כך ש-11 אינו מחלק של 12)

12: 12 = 1
(12 חלקי 12 ללא שארית, אז 12 הוא מחלק של 12)

כעת נמצא את המחלקים של המספר 9. לשם כך, בדוק את כל המחלקים מ-1 עד 9

9: 1 = 9
(9 חלקי 1 ללא שארית, אז 1 הוא מחלק של 9)

9: 2 = 4 (1 נותר)
(9 אינו מחולק ב-2 ללא שארית, כך ש-2 אינו מחלק של 9)

9: 3 = 3
(9 חלקי 3 ללא שארית, אז 3 הוא מחלק של 9)

9: 4 = 2 (1 נותר)
(9 אינו מחולק ב-4 ללא שארית, כך ש-4 אינו מחלק של 9)

9:5 = 1 (נותרו 4)
(9 אינו מחולק ב-5 ללא שארית, כך ש-5 אינו מחלק של 9)

9: 6 = 1 (נותרו 3)
(9 לא חילק ב-6 ללא שארית, כך ש-6 אינו מחלק של 9)

9:7 = 1 (2 נותרו)
(9 אינו מחולק ב-7 ללא שארית, כך ש-7 אינו מחלק של 9)

9:8 = 1 (1 נותר)
(9 אינו מחולק ב-8 ללא שארית, כך ש-8 אינו מחלק של 9)

9: 9 = 1
(9 חלקי 9 ללא שארית, אז 9 הוא מחלק של 9)

כעת רשום את המחלקים של שני המספרים. המספרים המודגשים בכחול הם המחלקים. בואו נכתוב אותם:

לאחר שכתבת את המחלקים, אתה יכול מיד לקבוע איזה מהם הוא הגדול והנפוץ ביותר.

בהגדרה, המחלק המשותף הגדול ביותר של 12 ו-9 הוא המספר שבו 12 ו-9 מתחלקים באופן שווה. המחלק הגדול והמשותף של המספרים 12 ו-9 הוא המספר 3

גם המספר 12 וגם המספר 9 מתחלקים ב-3 ללא שארית:

אז gcd (12 ו-9) = 3

הדרך השנייה למצוא GCD

עכשיו שקול את הדרך השנייה למצוא את המחלק המשותף הגדול ביותר. המהות של שיטה זו היא לפרק את שני המספרים לגורמים ראשוניים ולהכפיל את הנפוצים.

דוגמה 1. מצא את GCD של המספרים 24 ו-18

ראשית, הבה נמנה את שני המספרים לגורמים ראשוניים:

כעת אנו מכפילים את הגורמים המשותפים שלהם. כדי לא להתבלבל, ניתן להדגיש את הגורמים המשותפים.

אנחנו מסתכלים על פירוק המספר 24. הגורם הראשון שלו הוא 2. אנחנו מחפשים את אותו גורם בפירוק המספר 18 ורואים שהוא גם שם. אנו מדגישים את שני השניים:

שוב אנו מסתכלים על פירוק המספר 24. הגורם השני שלו הוא גם 2. אנו מחפשים את אותו גורם בפירוק המספר 18 ורואים שהוא לא שם בפעם השנייה. אז אנחנו לא מדגישים שום דבר.

השניים הבאים בהרחבה של המספר 24 חסרים גם בהרחבה של המספר 18.

אנחנו עוברים לגורם האחרון בפירוק המספר 24. זה הגורם 3. אנחנו מחפשים את אותו גורם בפירוק המספר 18 ורואים שהוא גם שם. נדגיש את שני השלשות:

אז, הגורמים המשותפים של המספרים 24 ו-18 הם הגורמים 2 ו-3. כדי לקבל את ה-GCD, יש להכפיל את הגורמים האלה:

אז gcd (24 ו-18) = 6

הדרך השלישית למצוא GCD

עכשיו שקול את הדרך השלישית למצוא את המחלק המשותף הגדול ביותר. המהות של שיטה זו טמונה בעובדה שהמספרים שיש לחפש אחר המחלק המשותף הגדול ביותר מפורקים לגורמים ראשוניים. לאחר מכן, מפירוק המספר הראשון, נמחקים גורמים שאינם כלולים בפירוק המספר השני. המספרים הנותרים בהרחבה הראשונה מוכפלים ומקבלים GCD.

לדוגמה, בוא נמצא את ה-GCD עבור המספרים 28 ו-16 בדרך זו. קודם כל, אנו מפרקים את המספרים הללו לגורמים ראשוניים:

יש לנו שתי הרחבות: ו

כעת, מהרחבת המספר הראשון, אנו מוחקים את הגורמים שאינם כלולים בהרחבה של המספר השני. הרחבת המספר השני אינה כוללת שבע. אנו נמחק אותו מההרחבה הראשונה:

כעת נכפיל את הגורמים הנותרים ונקבל את ה-GCD:

המספר 4 הוא המחלק המשותף הגדול ביותר מבין המספרים 28 ו-16. שני המספרים הללו מתחלקים ב-4 ללא שארית:

דוגמה 2מצא GCD של המספרים 100 ו-40

חיסול המספר 100

חיסול המספר 40

יש לנו שתי הרחבות:

כעת, מהרחבת המספר הראשון, אנו מוחקים את הגורמים שאינם כלולים בהרחבה של המספר השני. הרחבה של המספר השני לא כוללת חמש אחת (יש רק חמש אחת). אנו מוחקים אותו מהפירוק הראשון

הכפל את המספרים הנותרים:

קיבלנו את התשובה 20. אז המספר 20 הוא המחלק המשותף הגדול ביותר מבין המספרים 100 ו-40. שני המספרים הללו מתחלקים ב-20 ללא שארית:

GCD (100 ו-40) = 20.

דוגמה 3מצא את ה-gcd של המספרים 72 ו-128

חלוקת המספר 72

חלוקת המספר 128

2×2×2×2×2×2×2

כעת, מהרחבת המספר הראשון, אנו מוחקים את הגורמים שאינם כלולים בהרחבה של המספר השני. הרחבה של המספר השני לא כוללת שתי שלישיות (אין כאלה בכלל). אנו מוחקים אותם מההרחבה הראשונה:

קיבלנו את התשובה 8. אז המספר 8 הוא המחלק המשותף הגדול ביותר מבין המספרים 72 ו-128. שני המספרים הללו מתחלקים ב-8 ללא שארית:

GCD (72 ו-128) = 8

מציאת GCD עבור מספרים מרובים

ניתן למצוא את המחלק המשותף הגדול ביותר עבור מספר מספרים, ולא רק עבור שניים. לשם כך, המספרים שניתן למצוא עבור המחלק המשותף הגדול ביותר מפורקים לגורמים ראשוניים, ואז נמצא המכפלה של הגורמים הראשוניים המשותפים של המספרים הללו.

לדוגמה, בואו נמצא את ה-GCD עבור המספרים 18, 24 ו-36

מביא בחשבון את המספר 18

מביא בחשבון את המספר 24

מביא בחשבון את המספר 36

יש לנו שלוש הרחבות:

כעת אנו בוחרים ומדגישים את הגורמים המשותפים במספרים אלה. יש לכלול גורמים משותפים בכל שלושת המספרים:

אנו רואים שהגורמים המשותפים למספרים 18, 24 ו-36 הם גורמים 2 ו-3. על ידי הכפלת גורמים אלו, אנו מקבלים את ה-GCD שאנו מחפשים:

קיבלנו את התשובה 6. אז המספר 6 הוא המחלק המשותף הגדול ביותר מבין המספרים 18, 24 ו-36. שלושת המספרים הללו מתחלקים ב-6 ללא שארית:

GCD (18, 24 ו-36) = 6

דוגמה 2מצא gcd עבור המספרים 12, 24, 36 ו-42

בואו נחלק כל מספר לגורמים. אז נמצא את המכפלה של הגורמים המשותפים של המספרים הללו.

גורם למספר 12

מביא בחשבון את המספר 42

יש לנו ארבע הרחבות:

כעת אנו בוחרים ומדגישים את הגורמים המשותפים במספרים אלה. יש לכלול גורמים משותפים בכל ארבעת המספרים:

אנו רואים שהגורמים המשותפים למספרים 12, 24, 36 ו-42 הם הגורמים 2 ו-3. על ידי הכפלת גורמים אלו, נקבל את ה-GCD שאנו מחפשים:

קיבלנו את התשובה 6. אז המספר 6 הוא המחלק המשותף הגדול ביותר של המספרים 12, 24, 36 ו-42. המספרים הללו מתחלקים ב-6 ללא שארית:

gcd(12, 24, 36 ו-42) = 6

מהשיעור הקודם אנו יודעים שאם מספר כלשהו מחולק במספר אחר ללא שארית, הוא נקרא כפולה של מספר זה.

מסתבר שכפולה יכולה להיות משותפת למספר מספרים. ועכשיו נתעניין בכפולה של שני מספרים, בעוד שהיא צריכה להיות קטנה ככל האפשר.

הַגדָרָה. הכפולה הפחות משותפת (LCM) של מספרים או ב- או ב אומספר ב.

ההגדרה מכילה שני משתנים או ב. בוא נחליף כל שני מספרים במשתנים אלה. למשל, במקום משתנה אהחלף את המספר 9, ובמקום המשתנה בבוא נחליף את המספר 12. כעת ננסה לקרוא את ההגדרה:

הכפולה הפחות משותפת (LCM) של מספרים 9 ו 12 - הוא המספר הקטן ביותר שהוא כפולה שלו 9 ו 12 . במילים אחרות, מדובר במספר כה קטן שמתחלק ללא שארית במספר 9 ועל המספר 12 .

ברור מההגדרה שה-LCM הוא המספר הקטן ביותר שמתחלק ללא שארית ב-9 וב-12. את ה-LCM הזה נדרש למצוא.

ישנן שתי דרכים למצוא את הכפולה הפחות משותפת (LCM). הדרך הראשונה היא שתוכל לרשום את הכפולות הראשונות של שני מספרים, ולאחר מכן לבחור מבין הכפולות הללו מספר כזה שיהיה משותף לשני מספרים וגם קטן. בואו ליישם שיטה זו.

קודם כל, בואו נמצא את הכפולות הראשונות של המספר 9. כדי למצוא את הכפולות של 9, צריך להכפיל את התשע הזה במספרים מ-1 עד 9 בתורו. התשובות שתקבלו יהיו כפולות של המספר 9. אז , בואו נתחיל. כפולות יודגשו באדום:

כעת אנו מוצאים כפולות למספר 12. לשם כך, נכפיל את 12 בכל המספרים 1 עד 12 בתורו.