(!LANG: מה זה אומר לחלק מספרים לגורמים ראשוניים. חלוקת הפרש מעלות

ניתן לפרק כל מספר מורכב גורמים ראשוניים. ישנן מספר דרכים לפירוק. כל אחת מהשיטות מניבה את אותה תוצאה.

איך לפרק מספר לגורמים ראשוניים בצורה הנוחה ביותר? הבה נבחן כיצד לעשות זאת טוב יותר, באמצעות דוגמאות ספציפיות.

דוגמאות. 1) לפרק את המספר 1400 לגורמים ראשוניים.

1400 מתחלק ב-2. 2 הוא מספר ראשוני, אין צורך לפקוד אותו. נקבל 700. נחלק אותו ב-2. נקבל 350. נחלק גם 350 ב-2. ניתן לחלק את המספר המתקבל 175 ב-5. התוצאה היא z5 - נחלק שוב ב-5. סך הכל - 7. זה יכול להיות רק לחלק ב-7. קיבלנו 1, החלוקה הסתיימה.

ניתן לפרק את אותו מספר לגורמים ראשוניים בצורה שונה:

1400 מחולק בנוחות ב-10. 10 לא מספר ראשוני, אז יש לפרק אותו לגורמים ראשוניים: 10=2∙5. התוצאה היא 140. שוב נחלק אותה ב-10=2∙5. נקבל 14. אם 14 מחולק ב-14, אז יש לפרק אותו גם למכפלה של גורמים ראשוניים: 14=2∙7.

כך, שוב הגענו לאותו פירוק כמו במקרה הראשון, אך מהר יותר.

מסקנה: בעת פירוק מספר, אין צורך לחלק אותו רק במחלקים ראשוניים. אנחנו מחלקים במה שנוח יותר, למשל, ב-10. אנחנו צריכים רק לזכור לפרק את המחלקים המרוכבים לגורמים פשוטים.

2) לפרק את המספר 1620 לגורמים ראשוניים.

המספר 1620 מחולק בצורה נוחה ביותר ב-10. מכיוון ש-10 אינו מספר ראשוני, אנו מייצגים אותו כמכפלה של גורמים ראשוניים: 10=2∙5. קיבלנו 162. נוח לחלק אותו ב-2. התוצאה היא 81. ניתן לחלק את המספר 81 ב-3, אבל 9 נוח יותר. מכיוון ש-9 אינו מספר ראשוני, אנו מפרקים אותו כ-9=3∙3. קיבלנו 9. אנחנו גם מחלקים אותו ב-9 ומפרקים אותו למכפלה של גורמים ראשוניים.

שקול, באמצעות דוגמאות ספציפיות, כיצד לחלק פולינום לגורמים.

נרחיב פולינומים בהתאם ל.

חלוקת פולינומים:

בדוק אם יש גורם משותף. כן, זה שווה ל-7cd. בוא נוציא את זה מהסוגריים:

הביטוי בסוגריים מורכב משני מונחים. אין עוד גורם משותף, הביטוי אינו נוסחה לסכום הקוביות, כלומר הפירוק הושלם.

בדוק אם יש גורם משותף. לא. הפולינום מורכב משלושה איברים, אז אנחנו בודקים אם יש נוסחה ריבועית מלאה. שני איברים הם הריבועים של הביטויים: 25x²=(5x)², 9y²=(3y)², האיבר השלישי שווה לכפול מהמכפלה של הביטויים הללו: 2∙5x∙3y=30xy. אז הפולינום הזה הוא ריבוע מלא. מכיוון שהמוצר הכפול הוא עם סימן מינוס, אז זה:

אנו בודקים האם ניתן להוציא את הגורם המשותף מסוגריים. יש גורם משותף, הוא שווה ל-a. בוא נוציא את זה מהסוגריים:

יש שני מונחים בסוגריים. אנחנו בודקים אם יש נוסחה להפרש של ריבועים או להפרש של קוביות. a² הוא הריבוע של a, 1=1². אז ניתן לכתוב את הביטוי בסוגריים לפי נוסחת ההבדל בין הריבועים:

יש גורם משותף, הוא שווה ל-5. אנחנו מוציאים אותו מסוגריים:

בסוגריים הם שלושה מונחים. בדוק אם הביטוי הוא ריבוע מושלם. שני איברים הם ריבועים: 16=4² ו-a² הוא הריבוע של a, האיבר השלישי שווה לכפול מכפלה של 4 ו-a: 2∙4∙a=8a. לכן, זהו ריבוע מושלם. מכיוון שכל האיברים הם עם סימן "+", הביטוי בסוגריים הוא הריבוע המלא של הסכום:

הגורם המשותף -2x נלקח מתוך סוגריים:

בסוגריים הוא סכום שני האיברים. אנו בודקים אם הביטוי הנתון הוא סכום הקוביות. 64=4³, x³-קוביה x. אז, ניתן להרחיב את הבינומי לפי הנוסחה:

יש גורם משותף. אבל, מכיוון שהפולינום מורכב מ-4 איברים, קודם כל, ורק אז נוציא את הגורם המשותף מסוגריים. אנו מקבצים את המונח הראשון עם הרביעי, בשני - עם השלישי:

מהסוגריים הראשונים נוציא את הגורם המשותף 4a, מהשני - 8b:

אין עדיין מכפיל משותף. כדי לקבל את זה, מהסוגריים השניים נוציא את הסוגריים "-", כאשר כל סימן בסוגריים ישתנה להיפך:

כעת אנו מוציאים את הגורם המשותף (1-3a) מתוך סוגריים:

בסוגריים השניים יש גורם משותף 4 (זה אותו גורם שלא הוצאנו מהסוגריים בתחילת הדוגמה):

מכיוון שהפולינום מורכב מארבעה איברים, אנו מבצעים קיבוץ. אנו מקבצים את המונח הראשון עם השני, השלישי עם הרביעי:

אין גורם משותף בסוגריים הראשונים, אבל יש נוסחה להפרש הריבועים, בסוגריים השניים הגורם המשותף הוא -5:

הופיע גורם משותף (4m-3n). בוא נוציא את זה מהסוגריים.

מה זה אומר לפרק לגורמים? איך לעשות את זה? מה ניתן ללמוד מפירוק מספר לגורמים ראשוניים? התשובות לשאלות אלו מומחשות בדוגמאות ספציפיות.

הגדרות:

מספר ראשוני הוא מספר שיש לו בדיוק שני מחלקים נפרדים.

מספר מורכב הוא מספר שיש לו יותר משני מחלקים.

לְפַרֵק מספר טבעילגורמים פירושו לייצג אותו כתוצר של מספרים טבעיים.

לחלק מספר טבעי לגורמים ראשוניים פירושו לייצג אותו כמכפלה של מספרים ראשוניים.

הערות:

• בהתרחבות של מספר ראשוני, אחד הגורמים שווה לאחד, והשני שווה למספר הזה עצמו.
• אין טעם לדבר על פירוק האחדות לגורמים.
• ניתן לפרק מספר מורכב לגורמים, שכל אחד מהם שונה מ-1.

	בוא נחלק את המספר 150 לגורמים. לדוגמה, 150 זה 15 כפול 10. 15 הוא מספר מורכב. ניתן לפרק אותו לגורמים ראשוניים של 5 ו-3. 10 הוא מספר מורכב. ניתן לפרק אותו לגורמים ראשוניים של 5 ו-2. לאחר שרשמנו את ההרחבות שלהם לגורמים ראשוניים במקום 15 ו-10, השגנו פירוק של המספר 150.
	המספר 150 יכול להיות מושפע בדרך אחרת. לדוגמה, 150 הוא המכפלה של המספרים 5 ו-30. 5 הוא מספר ראשוני. 30 הוא מספר מורכב. זה יכול להיות מיוצג כמכפלה של 10 ו-3. 10 הוא מספר מורכב. ניתן לפרק אותו לגורמים ראשוניים של 5 ו-2. השגנו את הפירוק של המספר 150 לגורמים ראשוניים בדרך אחרת.
	שימו לב שההרחבה הראשונה והשנייה זהות. הם נבדלים רק בסדר המכפילים. נהוג לכתוב את הגורמים בסדר עולה.
ניתן לפרק כל מספר מורכב לגורמים ראשוניים בצורה ייחודית עד לסדר הגורמים.

כאשר מפורקים מספרים גדוליםעבור גורמים ראשוניים השתמש בסימון עמודות:

	המספר הראשוני הקטן ביותר ש-216 מתחלק בו הוא 2. חלקו 216 ב-2. נקבל 108.
	המספר המתקבל 108 מתחלק ב-2. בוא נעשה את החלוקה. אנחנו מקבלים 54 כתוצאה מכך.
	לפי מבחן ההתחלקות ב-2, המספר 54 מתחלק ב-2. לאחר חלוקה נקבל 27.
	המספר 27 מסתיים במספר אי זוגי 7. זה לא מתחלק ב-2. המספר הראשוני הבא הוא 3. נחלק 27 ב-3. נקבל 9. ראשוני הקטן ביותר המספר ש-9 מתחלק בו הוא 3. שלוש הוא עצמו מספר ראשוני, המתחלק בעצמו ובאחד. בואו נחלק 3 בעצמנו. כתוצאה מכך, קיבלנו 1.

• מספר מתחלק רק באותם מספרים ראשוניים שהם חלק מהרחבתו.
• מספר מתחלק רק באותם מספרים מרוכבים, שפירוקם לגורמים ראשוניים כלול בו לחלוטין.

שקול דוגמאות:

	4900 מתחלק במספרים הראשוניים 2, 5 ו-7 (הם כלולים בהרחבה של המספר 4900), אך אינו מתחלק, למשל, ב-13.
	11 550 75. זאת משום שהרחבת המספר 75 כלולה לחלוטין בהרחבה של המספר 11550. תוצאת החלוקה תהיה מכפלה של גורמים 2, 7 ו-11. 11550 אינו מתחלק ב-4 כי יש עוד 2 בהרחבה של 4.

מצא את המנה של חלוקת המספר a במספר b, אם המספרים הללו מפורקים לגורמים ראשוניים כדלקמן a=2∙2∙2∙3∙3∙3∙5∙5∙19; b=2∙2∙3∙3∙5∙19

	הפירוק של המספר b מוכל לחלוטין בפירוק המספר a.
	התוצאה של חלוקת a ב-b היא המכפלה של שלושת המספרים שנותרו בהרחבה של a. אז התשובה היא: 30.

בִּיבּלִיוֹגְרָפִיָה

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. מתמטיקה 6. - M.: Mnemosyne, 2012.
2. מרזליאק א.ג., פולונסקי V.V., יקיר מ.ש. מתמטיקה כיתה ו'. - גימנסיה. 2006.
3. Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. מאחורי דפי ספר מתמטיקה. - מ.: נאורות, 1989.
4. Rurukin A.N., Tchaikovsky I.V. משימות לקורס מתמטיקה כיתה ה'-ו'. - מ.: ZSh MEPhI, 2011.
5. Rurukin A.N., Sochilov S.V., Tchaikovsky K.G. מתמטיקה 5-6. מדריך לתלמידי כיתה ו' של בית הספר להתכתבות MEPhI. - מ.: ZSh MEPhI, 2011.
6. שברין L.N., Gein A.G., Koryakov I.O., Volkov M.V. מתמטיקה: ספר לימוד לבני שיח לכיתות ה'-ו' בית ספר תיכון. - מ.: חינוך, ספריית מורים למתמטיקה, 1989.

1. פורטל האינטרנט Matematika-na.ru ().
2. פורטל האינטרנט Math-portal.ru ().

שיעורי בית

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. מתמטיקה 6. - מ': מנמוזינה, 2012. מס' 127, מס' 129, מס' 141.
2. משימות נוספות: מס' 133, מס' 144.

מאמר זה נותן תשובות לשאלה לגבי הפקת מספר לגיליונות. שקול רעיון כללי של פירוק עם דוגמאות. הבה ננתח את הצורה הקנונית של הפירוק ואת האלגוריתם שלו. הכל ייחשב דרכים חלופיותשימוש בסימני חלוקה ובלוח הכפל.

Yandex.RTB R-A-339285-1

מה זה אומר לחלק מספר לגורמים ראשוניים?

בואו נסתכל על הרעיון של גורמים ראשוניים. ידוע שכל גורם ראשוני הוא מספר ראשוני. במכפלה של הצורה 2 7 7 23 יש לנו 4 גורמים ראשוניים בצורה 2 , 7 , 7 , 23 .

פקטורינג כרוך בייצוג שלו כמוצרים של ראשוניים. אם אתה צריך לפרק את המספר 30, אז נקבל 2, 3, 5. הערך יקבל את הטופס 30 = 2 3 5 . ייתכן שניתן לחזור על המכפילים. למספר כמו 144 יש 144 = 2 2 2 2 3 3 .

לא כל המספרים מועדים לפירוק. ניתן לחשב מספרים שגדולים מ-1 והם מספרים שלמים. מספרים ראשוניים מתחלקים רק ב-1 ובעצמם כאשר הם מפורקים, כך שאי אפשר לייצג את המספרים הללו כמכפלה.

כאשר z מתייחס למספרים שלמים, הוא מיוצג כמכפלה של a ו-b, כאשר z מחולק ב-a ו-b. מספרים מרוכבים מפורקים לגורמים ראשוניים באמצעות המשפט הבסיסי של חשבון. אם המספר גדול מ-1, אז הפיזור שלו לגורמים p 1 , p 2 , … , p n מקבל את הצורה a = p 1 , p 2 , … , p n . ההנחה היא פירוק בגרסה אחת.

פירוק קנוני של מספר לגורמים ראשוניים

ניתן לחזור על גורמים במהלך הפירוק. הם נכתבים בצורה קומפקטית באמצעות תואר. אם, בעת פירוק המספר a, יש לנו גורם p 1, המתרחש s 1 פעמים וכן הלאה p n - s n פעמים. לפיכך, הפירוק מקבל את הצורה a=p 1 s 1 a = p 1 s 1 p 2 s 2 … p n s n. ערך זה נקרא פירוק קנוני של מספר לגורמים ראשוניים.

כאשר מפרקים את המספר 609840, נקבל ש-609 840 = 2 2 2 2 3 3 5 7 11 11, הצורה הקנונית שלו תהיה 609 840 = 2 4 3 2 5 7 11 2. באמצעות ההרחבה הקנונית, ניתן למצוא את כל המחלקים של מספר ומספרם.

כדי לחלק כראוי לגורמים, עליך להיות בעל הבנה של מספרים ראשוניים ומרוכבים. הנקודה היא לקבל מספר רצוף של מחלקים מהצורה p 1 , p 2 , … , p n מספרים a , a 1 , a 2 , … , a n - 1, זה מאפשר להשיג a = p 1 a 1, כאשר a 1 \u003d a: p 1, a \u003d p 1 a 1 \u003d p 1 p 2 a 2, כאשר a 2 \u003d a 1: p 2, ..., a \u003d p 1 p 2 . .. ... p n a n , איפה a n = a n - 1: p n. עם קבלה a n = 1ואז השוויון a = p 1 p 2 … p nאנו מקבלים את הפירוק הנדרש של המספר a לגורמים ראשוניים. שים לב ש p 1 ≤ p 2 ≤ p 3 ≤ … ≤ p n.

כדי למצוא את המחלקים הפחות נפוצים, עליך להשתמש בטבלת המספרים הראשוניים. זה נעשה באמצעות הדוגמה של מציאת המחלק הראשוני הקטן ביותר של המספר z. כשלוקחים את המספרים הראשוניים 2, 3, 5, 11 וכן הלאה, ונחלק את המספר z בהם. מכיוון ש-z אינו מספר ראשוני, זכור שהמחלק הראשוני הקטן ביותר לא יהיה גדול מ-z. ניתן לראות שאין מחלקים של z, אז ברור ש-z הוא מספר ראשוני.

דוגמה 1

שקול את הדוגמה של המספר 87. כאשר הוא מחולק ב-2, יש לנו את זה 87: 2 \u003d 43 עם השארית של 1. מכאן נובע ש-2 אינו יכול להיות מחלק, החלוקה חייבת להתבצע במלואה. כאשר מחלקים ב-3, נקבל ש-87:3 = 29. מכאן המסקנה - 3 הוא המחלק הראשוני הקטן ביותר של המספר 87.

בעת פירוק לגורמים ראשוניים, יש צורך להשתמש בטבלה של מספרים ראשוניים, כאשר א. בעת פירוק 95, יש להשתמש בכ-10 ראשוניים, ובפירוק 846653, כ-1000.

שקול את אלגוריתם הפקטוריזציה הראשונית:

• מציאת הגורם הקטן ביותר עם מחלק p 1 של מספר אלפי הנוסחה a 1 \u003d a: p 1, כאשר a 1 \u003d 1, אז a הוא מספר ראשוני ונכלל בפירוק, כאשר אינו שווה ל-1, אז a \u003d p 1 a 1 ופעל לנקודה למטה;
• מציאת מחלק ראשוני p 2 מתוך 1 על ידי ספירה רציפה של מספרים ראשוניים, באמצעות a 2 = a 1: p 2 , כאשר 2 = 1 , ואז ההרחבה מקבלת את הצורה a = p 1 p 2 , כאשר 2 \u003d 1, אז \u003d p 1 p 2 a 2 , ואנחנו עושים את המעבר לשלב הבא;
• איטרציה על מספרים ראשוניים ומציאת מחלק ראשוני עמ' 3מספרים א 2לפי הנוסחה a 3 \u003d a 2: p 3 כאשר a 3 \u003d 1 , אז נקבל ש-a = p 1 p 2 p 3 , כאשר אינו שווה ל-1 אז a = p 1 p 2 p 3 a 3 והמשך לשלב הבא;
• למצוא מחלק ראשוני P nמספרים a n - 1על ידי ספירה של מספרים ראשוניים עם p n - 1, ממש כמו a n = a n - 1: p n, כאשר a n = 1 , השלב הוא סופי, כתוצאה מכך נקבל כי a = p 1 p 2 … p n .

תוצאת האלגוריתם נכתבת בצורה של טבלה עם גורמים מפורקים עם פס אנכי ברצף בעמודה. שקול את האיור למטה.

ניתן ליישם את האלגוריתם המתקבל על ידי פירוק מספרים לגורמים ראשוניים.

כאשר מפרקים לגורמים ראשוניים, יש לפעול לפי האלגוריתם הבסיסי.

דוגמה 2

לפרק את המספר 78 לגורמים ראשוניים.

פִּתָרוֹן

כדי למצוא את המחלק הראשוני הקטן ביותר, יש צורך למנות את כל המספרים הראשוניים ב-78. כלומר, 78:2 = 39. חלוקה ללא שארית, אז זהו המחלק הראשוני הראשון, אותו אנו מציינים כ-p 1. נקבל ש-a 1 = a: p 1 = 78: 2 = 39. הגענו לשוויון בצורה a = p 1 a 1 , כאשר 78 = 2 39 . ואז 1 = 39, כלומר, עליך לעבור לשלב הבא.

בואו נתמקד במציאת מחלק ראשוני p2מספרים a 1 = 39. עליך למיין מספרים ראשוניים, כלומר 39: 2 = 19 (נותר 1). מכיוון שלחלוקה יש שארית, 2 אינו מחלק. כשבוחרים את המספר 3, נקבל ש-39:3 = 13. המשמעות היא ש-p 2 = 3 הוא המחלק הראשוני הקטן ביותר של 39 ב-a 2 = a 1: p 2 = 39: 3 = 13. אנחנו מקבלים שוויון של הטופס a = p 1 p 2 a 2בצורה 78 = 2 3 13 . יש לנו ש-2 = 13 אינו שווה ל-1, אז עלינו להמשיך הלאה.

המחלק הראשוני הקטן ביותר של המספר a 2 = 13 נמצא על ידי ספירה של מספרים, החל מ-3. אנחנו מקבלים את זה 13: 3 = 4 (מנוחה. 1). זה מראה ש-13 אינו מתחלק ב-5, 7, 11, כי 13: 5 = 2 (מנוחה. 3), 13: 7 = 1 (מנוחה. 6) ו-13: 11 = 1 (מנוחה. 2). ניתן לראות ש-13 הוא מספר ראשוני. הנוסחה נראית כך: a 3 \u003d a 2: p 3 \u003d 13: 13 \u003d 1. קיבלנו ש-3 = 1, כלומר סוף האלגוריתם. כעת הגורמים נכתבים כ-78 = 2 3 13 (a = p 1 p 2 p 3) .

תשובה: 78 = 2 3 13 .

דוגמה 3

לפרק את המספר 83,006 לגורמים ראשוניים.

פִּתָרוֹן

השלב הראשון כולל הפקטורינג p 1 = 2ו a 1 \u003d a: p 1 \u003d 83 006: 2 \u003d 41 503, כאשר 83 006 = 2 41 503 .

השלב השני מניח ש-2, 3 ו-5 אינם מחלקים ראשוניים עבור a 1 = 41503 אלא 7 הוא מחלק ראשוני כי 41503: 7 = 5929. אנחנו מקבלים את זה p 2 \u003d 7, a 2 \u003d a 1: p 2 \u003d 41 503: 7 \u003d 5 929. ברור, 83 006 = 2 7 5 929.

מציאת המחלק הראשוני הקטן ביותר p 4 למספר a 3 = 847 הוא 7. ניתן לראות כי 4 \u003d a 3: p 4 \u003d 847: 7 \u003d 121, לכן 83 006 \u003d 2 7 7 7 121.

כדי למצוא את המחלק הראשוני של המספר a 4 = 121, אנו משתמשים במספר 11, כלומר, p 5 = 11. ואז נקבל ביטוי של הצורה a 5 \u003d a 4: p 5 \u003d 121: 11 \u003d 11, ו 83 006 = 2 7 7 7 11 11 .

למספר a 5 = 11מספר p6 = 11הוא המחלק הראשוני הקטן ביותר. לפיכך 6 \u003d a 5: p 6 \u003d 11: 11 \u003d 1. ואז 6 = 1. זה מציין את סוף האלגוריתם. המכפילים ייכתבו כ-83006 = 2 7 7 7 11 11.

הסימון הקנוני של התשובה יקבל את הצורה 83 006 = 2 7 3 11 2 .

תשובה: 83 006 = 2 7 7 7 11 11 = 2 7 3 11 2 .

דוגמה 4

בצע פקטוריון את המספר 897 924 289.

פִּתָרוֹן

כדי למצוא את הגורם הראשוני הראשון, חזור על המספרים הראשוניים, החל מ-2. סוף הספירה נופל על המספר 937. ואז p 1 = 937, a 1 = a: p 1 = 897 924 289: 937 = 958 297 ו-897 924 289 = 937 958 297.

השלב השני של האלגוריתם הוא למנות ראשוניים קטנים יותר. כלומר, אנחנו מתחילים עם המספר 937. המספר 967 יכול להיחשב ראשוני, מכיוון שהוא מחלק ראשוני של המספר a 1 = 958 297. מכאן אנו מקבלים את זה p 2 \u003d 967, ואז 2 \u003d a 1: p 1 \u003d 958 297: 967 \u003d 991 ו-897 924 289 \u003d 937 967 991.

השלב השלישי אומר ש-991 הוא מספר ראשוני, מכיוון שאין לו מחלק ראשוני הקטן או שווה ל-991. הערך המשוער של הביטוי הרדיקלי הוא 991< 40 2 . Иначе запишем как 991 < 40 2 . מכאן ניתן לראות כי p 3 \u003d 991 ו- 3 \u003d a 2: p 3 \u003d 991: 991 \u003d 1. אנו מקבלים שהפירוק של המספר 897 924 289 לגורמים ראשוניים מתקבל כ-897 924 289 \u003d 937 967 991.

תשובה: 897 924 289 = 937 967 991 .

שימוש במבחני חלוקה ל-Prime Factorization

כדי לפרק מספר לגורמים ראשוניים, עליך לפעול לפי האלגוריתם. כשיש מספרים קטנים, מותר להשתמש בטבלת הכפל ובסימני ההתחלקות. בואו נסתכל על זה עם דוגמאות.

דוגמה 5

אם יש צורך לחלק 10 לגורמים, אז הטבלה מציגה: 2 5 \u003d 10. המספרים 2 ו-5 המתקבלים הם ראשוניים, ולכן הם גורמים ראשוניים למספר 10.

דוגמה 6

אם יש צורך לפרק את המספר 48, אז הטבלה מציגה: 48 \u003d 6 8. אבל 6 ו-8 אינם גורמים ראשוניים, שכן ניתן לפרק אותם גם כ-6 = 2 3 ו-8 = 2 4. ואז הפירוק המלא מכאן מתקבל כ-48 = 6 · 8 = 2 · 3 · 2 · 4 . הסימון הקנוני יקבל את הצורה 48 = 2 4 3.

דוגמה 7

בעת פירוק המספר 3400, ניתן להשתמש בסימני ההתחלקות. במקרה זה, סימני ההתחלקות ב-10 וב-100 רלוונטיים. מכאן אנו מקבלים את ה-3400 \u003d 34 100, כאשר ניתן לחלק את 100 ב-10, כלומר לכתוב כ-100 \u003d 10 10, כלומר 3400 \u003d 34 10 10. בהתבסס על סימן ההתחלקות, נקבל ש-3400 = 34 10 10 = 2 17 2 5 2 5. כל הגורמים פשוטים. ההרחבה הקנונית לובשת את הצורה 3400 = 2 3 5 2 17.

כאשר אנו מוצאים גורמים ראשוניים, יש צורך להשתמש בסימני ההתחלקות ובלוח הכפל. אם אתה מייצג את המספר 75 כמכפלה של גורמים, עליך לקחת בחשבון את כלל ההתחלקות ב-5. אנו מקבלים ש-75 = 5 15 ו-15 = 3 5. כלומר, הפירוק הרצוי הוא דוגמה לצורת התוצר 75 = 5 · 3 · 5 .

אם אתה מבחין בטעות בטקסט, אנא סמן אותה והקש Ctrl+Enter

פקטורינג של משוואה הוא תהליך של מציאת מונחים או ביטויים שכאשר מכפילים אותם, מובילים למשוואה הראשונית. הפירוק לגורמים הוא מיומנות שימושיתלפתרון בעיות אלגבריות בסיסיות, והופך הכרחי כמעט כאשר עובדים עם משוואות ריבועיות ופולינומים אחרים. פקטורינג משמש כדי לפשט משוואות אלגבריות כדי להקל עליהן לפתור. פקטורינג יכול לעזור לך לשלול תשובות אפשריות מסוימות מהר יותר ממה שאתה יכול על ידי פתרון ידני של המשוואה.

צעדים

פקטוריזציה של מספרים וביטויים אלגבריים בסיסיים

1. פקטוריזציה של מספרים.הרעיון של פקטורינג הוא פשוט, אבל בפועל הפקטורינג יכול להיות מסובך (בהינתן משוואה מורכבת). אז בואו נתחיל מהמושג של הפקת פקטורים באמצעות מספרים כדוגמה, נמשיך עם משוואות פשוטות, ואז נעבור למשוואות מורכבות. הגורמים של מספר נתון הם המספרים שבכפל הם נותנים את המספר המקורי. לדוגמה, הגורמים של המספר 12 הם המספרים: 1, 12, 2, 6, 3, 4, שכן 1*12=12, 2*6=12, 3*4=12.

   • באופן דומה, אתה יכול לחשוב על הגורמים של מספר כמחלקים שלו, כלומר, המספרים שהמספר הנתון מתחלק בהם.
   • מצא את כל הגורמים של המספר 60. לעתים קרובות אנו משתמשים במספר 60 (לדוגמה, 60 דקות בשעה, 60 שניות בדקה וכו') ולמספר הזה יש די מספר גדול שלמכפילים.
     • 60 מכפילים: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 ו-60.

2. זכור:מונחים של ביטוי המכילים מקדם (מספר) ומשתנה ניתנים גם לגורם. לשם כך, מצא את מכפילי המקדם במשתנה. לדעת איך לחלק את המונחים של המשוואות, אתה יכול בקלות לפשט את המשוואה הזו.

   • לדוגמה, ניתן לכתוב את המונח 12x כמכפלה של 12 ו-x. אתה יכול גם לכתוב 12x כ-3(4x), 2(6x) וכו' על ידי חלוקת 12 לגורמים המתאימים לך ביותר.
     • אתה יכול לפרוס פי 12 מספר פעמים ברציפות. במילים אחרות, לא כדאי לעצור ב-3(4x) או 2(6x); המשך הרחבה: 3(2(2x)) או 2(3(2x)) (כמובן, 3(4x)=3(2(2x)) וכו')

3. החל את התכונה הדיפלקטורית של הכפל כדי לחלק משוואות אלגבריות לגורמים.לדעת כיצד לחלק מספרים ומונחים של ביטוי לגורמים (מקדמים עם משתנים), אתה יכול לפשט משוואות אלגבריות פשוטות על ידי מציאת הגורם המשותף של מספר ומונח של ביטוי. בדרך כלל, כדי לפשט את המשוואה, יש צורך למצוא את הגדול ביותר מחלק משותף(GCD). פישוט כזה אפשרי בשל התכונה החלוקתית של הכפל: עבור כל מספרים a, b, c, השוויון a (b + c) = ab + ac נכון.

   • דוגמא. חשב את המשוואה 12x + 6. ראשית, מצא את gcd של 12x ו-6. 6 הוא המספר הגדול ביותר, שמחלק גם 12x וגם 6, כך שתוכל להרחיב את המשוואה הזו ל: 6(2x+1).
   • תהליך זה נכון גם עבור משוואות בעלות מונחים שליליים ושברים. לדוגמה, ניתן לפרק את x/2+4 ל-1/2(x+8); לדוגמה, -7x+(-21) ניתן לפרק ל-7(x+3).

   פקטוריזציה של משוואות ריבועיות

   1. ודא שהמשוואה היא בצורה ריבועית (ax 2 + bx + c = 0).משוואות ריבועיות הן: ax 2 + bx + c = 0, כאשר a, b, c הם מקדמים מספריים שאינם 0. אם ניתנת לך משוואה עם משתנה אחד (x) ולמשוואה זו יש איבר אחד או יותר עם סדר שני משתנה , אתה יכול להעביר את כל האיברים של המשוואה לצד אחד של המשוואה ולשוות אותו לאפס.

      • לדוגמה, בהינתן המשוואה: 5x 2 + 7x - 9 = 4x 2 + x - 18. ניתן להמיר אותו למשוואה x 2 + 6x + 9 = 0, שהיא משוואה ריבועית.
      • משוואות עם משתנה x של סדרים גדולים, למשל, x 3, x 4 וכו'. אינן משוואות ריבועיות. אלו הן משוואות מעוקבות, משוואות מסדר רביעי וכן הלאה (רק אם לא ניתן לפשט משוואות כאלה למשוואות ריבועיות עם המשתנה x בחזקת 2).

   2. משוואות ריבועיות, שבהן a \u003d 1, מפורקות ל- (x + d) (x + e), כאשר d * e \u003d c ו- d + e \u003d b.אם למשוואה הריבועית שניתנה לך יש את הצורה: x 2 + bx + c \u003d 0 (כלומר, המקדם ב-x 2 שווה ל-1), אז משוואה כזו יכולה (אך לא מובטחת) להתפרק לאמור לעיל גורמים. כדי לעשות זאת, אתה צריך למצוא שני מספרים שכפליים נותנים "c", וכאשר מוסיפים אותם - "b". לאחר שתמצא את שני המספרים הללו (d ו-e), החלף אותם בביטוי הבא: (x+d)(x+e), אשר, כאשר הסוגריים נפתחים, מוביל למשוואה המקורית.

      • לדוגמה, בהינתן המשוואה הריבועית x 2 + 5x + 6 = 0. 3*2=6 ו-3+2=5, כך שתוכל להרחיב את המשוואה ל-(x+3)(x+2).
      • למונחים שליליים, בצע את השינויים הקטנים הבאים בתהליך הפירוק לגורמים:
        • אם למשוואה הריבועית יש את הצורה x 2 -bx + c, אז היא מתפרקת ל: (x-_) (x-_).
        • אם למשוואה הריבועית יש את הצורה x 2 -bx-c, אז היא מתפרקת ל: (x + _) (x-_).
      • הערה: ניתן להחליף רווחים בשברים או עשרונים. לדוגמה, המשוואה x 2 + (21/2)x + 5 = 0 מפורקת ל-(x + 10) (x + 1/2).

   3. פקטוריזציה על ידי ניסוי וטעייה.לא מסובך משוואות ריבועיותניתן למנות אותו על ידי החלפת מספרים בפתרונות אפשריים עד שתמצא את הפתרון הנכון. אם למשוואה יש את הצורה ax 2 +bx+c, כאשר a>1, הפתרונות האפשריים נכתבים כ-(dx +/- _)(ex +/- _), כאשר d ו-e הם מקדמים מספריים שאינם אפס, שכאשר מכפלים נותנים א. או d או e (או שני המקדמים) יכולים להיות שווים ל-1. אם שני המקדמים שווים ל-1, השתמשו בשיטה שתוארה לעיל.

      • לדוגמה, בהינתן המשוואה 3x 2 - 8x + 4. כאן, ל-3 יש רק שני גורמים (3 ו-1), ולכן הפתרונות האפשריים נכתבים כ-(3x +/- _)(x +/- _). במקרה זה, החלפת -2 ברווחים, תמצא את התשובה הנכונה: -2*3x=-6x ו-2*x=-2x; - 6x+(-2x)=-8x ו-2*-2=4, כלומר הרחבה כזו בעת פתיחת הסוגריים תוביל למונחים של המשוואה המקורית.