עשרונים: הגדרות, סימון, דוגמאות, פעולות עם עשרונים. מתמטיקה: פעולות עם שברים. פעולות עם שברים עשרוניים ושברים נפוצים

פרק ג'.

שברים עשרוניים.

§ 31. משימות ודוגמאות לכל הפעולות עם עשרונים.

בצע את השלבים הבאים:

767. מצא את מנת החלוקה:

הפעל פעולות:

772. לחשב:

למצוא איקס , אם:

776. המספר הלא ידוע הוכפל בהפרש בין המספרים 1 ו-0.57 ובמכפל קיבלנו 3.44. מצא מספר לא ידוע.

777. הסכום של המספר הלא ידוע ו-0.9 הוכפל בהפרש בין 1 ל-0.4 ובמכפל קיבלנו 2.412. מצא מספר לא ידוע.

778. על פי התרשים על התכת ברזל ב-RSFSR (איור 36), צור בעיה, שעבורה יש צורך ליישם את פעולות החיבור, החיסור והחילוק.

779. 1) אורכה של תעלת סואץ הוא 165.8 ק"מ, אורכה של תעלת פנמה קטן ב-84.7 ק"מ מתעלת סואץ, ואורכה של תעלת הים הלבן-בלטי ארוך ב-145.9 ק"מ מאורך תעלת פנמה. מה אורכה של תעלת הים הלבן-בלטי?

2) המטרו של מוסקבה (עד 1959) נבנה ב-5 שלבים. אורכו של הקו הראשון של המטרו 11.6 ק"מ, השני - 14.9 ק"מ, אורכו של השלישי קטן ב-1.1 ק"מ מאורך הקו השני, אורכו של הקו הרביעי גדול ב-9.6 ק"מ מהקו השלישי. , ואורך הקו החמישי הוא 11.5 ק"מ פחות רביעי. מה אורכו של המטרו במוסקבה עד תחילת 1959?

780. 1) העומק הגדול ביותר של האוקיינוס ​​האטלנטי הוא 8.5 ק"מ, העומק הגדול ביותר של האוקיינוס ​​השקט הוא 2.3 ק"מ יותר מעומק האוקיינוס ​​האטלנטי, והעומק הגדול ביותר של האוקיינוס ​​הארקטי קטן פי 2 מהעומק הגדול ביותר של האוקיינוס ​​השקט. מהו העומק הגדול ביותר של האוקיינוס ​​הארקטי?

2) מכונית מוסקוביץ' צורכת 9 ליטר בנזין לכל 100 ק"מ, מכונית פובדה צורכת 4.5 ליטר יותר ממה שהמושקוביץ' צורכת, והוולגה פי 1.1 מהפובדה. כמה בנזין משתמשת במכונית וולגה לכל ק"מ? (תשובה עגולה ל-0.01 ליטר הקרוב.)

781. 1) התלמיד הלך לסבו במהלך החגים. ברכבת הוא רכב 8.5 שעות, ומהתחנה רכוב על סוס 1.5 שעות. בסך הכל נסע 440 ק"מ. באיזו מהירות רכב התלמיד על מסילת הברזל אם הוא רכב על סוסים במהירות של 10 ק"מ לשעה?

2) החקלאי הקיבוצי היה צריך להיות בנקודה שנמצאת במרחק של 134.7 ק"מ מביתו. במשך 2.4 שעות הוא נסע באוטובוס במהירות ממוצעת של 55 ק"מ לשעה, ואת שאר הדרך הוא הלך במהירות של 4.5 ק"מ לשעה. כמה זמן הוא הלך?

782. 1) במהלך הקיץ, גופר אחד הורס כ-0.12 סנט לחם. חלוצים השמידו 1,250 סנאים קרקעיים על 37.5 דונם באביב. כמה לחם חסכו תלמידי בית הספר למשק הקיבוצי? כמה לחם נחסך לכל דונם?

2) החווה הקיבוצית חישבה שבאמצעות השמדת גופרים בשטח של 15 דונם של אדמה לעיבוד, תלמידי בית הספר חסכו 3.6 טון תבואה. כמה סנאי קרקע מושמדים בממוצע לכל דונם אדמה אם סנאי קרקע אחד משמיד 0.012 טון תבואה במהלך הקיץ?

783. 1) בטחינת חיטה לקמח יורדים 0.1 ממשקלה ובאפייה מתקבלת אפייה השווה ל-0.4 ממשקל הקמח. כמה לחם אפוי יתקבל מ-2.5 טון חיטה?

2) החווה הקיבוצית קצרה 560 טונות של גרעיני חמניות. כמה שמן חמניות יופק מהדגן שנקטף אם משקל הדגן הוא 0.7 ממשקל גרעיני החמנייה, ומשקל השמן המתקבל הוא 0.25 ממשקל הדגן?

784. 1) תפוקת שמנת מחלב היא 0.16 משקל חלב ותפוקת חמאה משמנת היא 0.25 משקל שמנת. כמה חלב (במשקל) צריך כדי להשיג 1 קוינטל חמאה?

2) כמה קילוגרמים של פטריות פורצ'יני יש לאסוף כדי לקבל 1 ק"ג פטריות מיובשות, אם נשאר 0.5 משקל במהלך ההכנה לייבוש, ונשאר 0.1 משקל מהפטרייה המעובדת במהלך הייבוש?

785. 1) הקרקע שהוקצתה למשק הקיבוצי מנוצלת כדלקמן: 55% ממנה תפוסה בשטחי עיבוד, 35% בכרי דשא, ושאר הקרקע בהיקף של 330.2 דונם מוקצים לגן המשק הקיבוצי ולעבור אחוזות החקלאים הקיבוציים. כמה קרקע יש בחווה הקיבוצית?

2) המשק הקיבוצי זרע 75% מכלל השטח הנזרע בגידולי תבואה, 20% בירקות והשאר בעשבי מספוא. כמה שטח נזרע היה לחווה הקיבוצית אם היא זרעה 60 דונם עם עשבי מספוא?

786. 1) כמה סנטנרים של זרעים יידרשו כדי לזרוע שדה בצורת מלבן באורך 875 מ' ורוחב של 640 מ', אם נזרעים 1.5 סנטנרים של זרעים ל-1 דונם?

2) כמה סנטים של זרעים יידרשו כדי לזרוע שדה שיש לו צורת מלבן אם היקפו הוא 1.6 ק"מ? רוחב השדה הוא 300 מ'. לזריעה של 1 דונם נדרשים 1.5 ר' זרעים.

787. כמה לוחות מרובעים עם דופן של 0.2 ד"מ יתאימו במלבן בגודל 0.4 ד"מ על 10 ד"מ?

788. חדר הקריאה במידות של 9.6 מ' על 5 מ' על 4.5 מ'. מ' של אוויר?

789. 1) איזה שטח באחו יכסח טרקטור עם נגרר של ארבע מכסחות תוך 8 שעות, אם רוחב העבודה של כל מכסחת הוא 1.56 מ' ומהירות הטרקטור היא 4.5 ק"מ לשעה? (הזמן לעצירות אינו נלקח בחשבון.) (תשובה עגולה ל-0.1 דונם הקרוב.)

2) רוחב העבודה של מזרע ירקות הטרקטור הוא 2.8 מ' איזה שטח ניתן לזרוע עם מזרע זה תוך 8 שעות. לעבוד במהירות של 5 ק"מ לשעה?

790. 1) מצא את התפוקה של מחרשה טרקטור בעלת שלושה תלמים תוך 10 שעות. עבודה, אם מהירות הטרקטור היא 5 ק"מ לשעה, לכידת גוף אחד היא 35 ס"מ, ובזבוז הזמן היה 0.1 מכלל הזמן שהושקע. (תשובה עגולה ל-0.1 דונם הקרוב.)

2) מצא את התפוקה של מחרשה טרקטור בעלת חמישה תלמים תוך 6 שעות. עבודה, אם מהירות הטרקטור היא 4.5 ק"מ לשעה, לכידת גוף אחד היא 30 ס"מ, ובזבוז הזמן היה 0.1 מכלל הזמן שהושקע. (תשובה עגולה ל-0.1 דונם הקרוב.)

791. צריכת מים ל-5 ק"מ ריצה לקטר קיטור של רכבת נוסעים היא 0.75 טון. מיכל המים של המכרז מכיל 16.5 טון מים. כמה קילומטרים יהיו מספיק מים לרכבת אם המיכל היה מלא עד 0.9 מהקיבולת שלו?

792. רק 120 קרונות משא יכולים להתאים לציפוי, באורך עגלה ממוצע של 7.6 מ' כמה קרונות נוסעים עם ארבעה סרנים, כל אחד באורך 19.2 מ', יתאימו למסילה זו אם יוצבו על מסילה זו 24 קרונות משא נוספים?

793. לחוזק סוללת הרכבת מומלץ לחזק את המדרונות על ידי זריעת עשבים שדה. עבור כל מטר מרובע של סוללה, נדרשים 2.8 גרם זרעים בשווי 0.25 רובל. עבור 1 ק"ג. כמה יעלה לזרוע 1.02 דונם של מדרונות אם עלות העבודה היא 0.4 מעלות זרעים? (עיגל את התשובה לשפשוף אחד הקרוב ביותר.)

794. מפעל לבנים נמסר לתחנה מסילת רכבתלבנים. 25 סוסים ו-10 משאיות עבדו להובלת לבנים. כל סוס נשא 0.7 טון לטיול ועשה 4 נסיעות ביום. כל מכונית הובילה 2.5 טון לנסיעה ועשתה 15 נסיעות ביום. המסע ארך 4 ימים. כמה חתיכות לבנים נמסרו לתחנה אם המשקל הממוצע של לבנה אחת הוא 3.75 ק"ג? (עיגל את התשובה ל-1,000 החלקים הקרובים ביותר.)

795. מלאי הקמח התחלק בין שלוש מאפיות: הראשונה קיבלה 0.4 מכלל המלאי, השנייה 0.4 מהשאריות, והמאפייה השלישית קיבלה 1.6 טון פחות קמח מהראשונה. כמה קמח חולק בסך הכל?

796. בשנה ב' של המכון לומדים 176 תלמידים, מתוכם 0.875 בשנה ג', ופי אחד וחצי יותר מאשר בשנה ג' בשנה א'. מספר הסטודנטים בשנים א', ב' ו-ג' היה 0.75 מכלל הסטודנטים של מכון זה. כמה תלמידים היו במכון?

797. מצא את הממוצע האריתמטי:

1) שני מספרים: 56.8 ו-53.4; 705.3 ו-707.5;

2) שלושה מספרים: 46.5; 37.8 ו-36; 0.84; 0.69 ו-0.81;

3) ארבעה מספרים: 5.48; 1.36; 3.24 ו-2.04.

798. 1) בבוקר הטמפרטורה הייתה 13.6°, בצהריים 25.5°, ובערב 15.2°. חשב את הטמפרטורה הממוצעת לאותו יום.

2) מהי הטמפרטורה הממוצעת לשבוע, אם במהלך השבוע המדחום הראה: 21 °; 20.3°; 22.2°; 23.5°; 21.1°; 22.1°; 20.8 מעלות?

799. 1) צוות בית הספר ניכש 4.2 דונם סלק ביום הראשון, 3.9 דונם ביום השני, ו-4.5 דונם ביום השלישי. קבע את התפוקה הממוצעת של החטיבה ליום.

2) כדי לקבוע את נורמת הזמן לייצור חלק חדש, סופקו 3 טרנרים. הראשון עשה את החלק ב-3.2 דקות, השני ב-3.8 דקות, והשלישי ב-4.1 דקות. חשב את הזמן הסטנדרטי שנקבע לייצור החלק.

800. 1) הממוצע האריתמטי של שני מספרים הוא 36.4. אחד המספרים הללו הוא 36.8. למצוא אחר.

2) טמפרטורת האוויר נמדדה שלוש פעמים ביום: בבוקר, בצהריים ובערב. מצאו את טמפרטורת האוויר בבוקר, אם בצהריים היא הייתה 28.4 מעלות צלזיוס, בערב 18.2 מעלות צלזיוס, והטמפרטורה הממוצעת של היום היא 20.4 מעלות צלזיוס.

801. 1) המכונית נסעה 98.5 ק"מ בשעתיים הראשונות, ו-138 ק"מ בשלוש השעות הבאות. כמה קילומטרים נסעה המכונית בממוצע בשעה?

2) תפיסת ניסוי ושקילה של בני שנה הראו שמתוך 10 קרפיונים 4 שקלו 0.6 ק"ג, 3 שקלו 0.65 ק"ג, 2 שקלו 0.7 ק"ג ו-1 שקל 0.8 ק"ג. מהו המשקל הממוצע של קרפיון בן שנה?

802. 1) עד 2 ליטר סירופ בשווי 1.05 רובל. עבור 1 ליטר הוסיפו 8 ליטר מים. כמה עולה ליטר מים עם סירופ?

2) המארחת קנתה קופסת שימורים של 0.5 ליטר בורשט ב-36 קופיקות. ומבושלים עם 1.5 ליטר מים. כמה עלתה צלחת בורשט אם הנפח שלה הוא 0.5 ליטר?

803. עבודת מעבדה "מדידת המרחק בין שתי נקודות",

קבלת פנים 1. מדידה עם סרט מדידה (סרט מדידה). הכיתה מחולקת ליחידות של שלושה אנשים כל אחת. אביזרים: 5-6 אבני דרך ו-8-10 תגיות.

התקדמות העבודה: 1) נקודות A ו-B מסומנות ומשורטט ביניהן קו ישר (ראה משימה 178); 2) הניחו את סרט המדידה לאורך הקו הישר הקבוע ובכל פעם סמנו את סוף סרט המידה בתג. קבלת פנים 2. מדידה, שלבים. הכיתה מחולקת ליחידות של שלושה אנשים כל אחת. כל תלמיד הולך את המרחק מא' ל-ב', סופר את מספר הצעדים שהוא עושה. הכפל את האורך הממוצע של הצעד שלך במספר הצעדים המתקבל, מצא את המרחק מ-A ל-B.

קבלת פנים 3. מדידה בעין. כל תלמיד מצייר יד שמאלעם אגודל מורם (איור 37) ומכוון אֲגוּדָלעל אבן דרך לנקודה B (בתמונה - עץ) כך שהעין השמאלית (נקודה A), אגודל ונקודה B נמצאים על אותו קו ישר. מבלי לשנות את המיקום, סגור את עין שמאל והסתכל ישר על האגודל. העקירה המתקבלת נמדדת בעין ומוגדלת בפקטור של 10. זה המרחק מ-A ל-B.

804. 1) לפי מפקד האוכלוסין של 1959, אוכלוסיית ברית המועצות הייתה 208.8 מיליון נפש, והאוכלוסייה הכפרית הייתה 9.2 מיליון יותר מהאוכלוסייה העירונית. כמה היו עירוניים וכמה אוכלוסייה כפרית בברית המועצות בשנת 1959?

2) לפי מפקד האוכלוסין של 1913, אוכלוסיית רוסיה הייתה 159.2 מיליון נפש, והאוכלוסייה העירונית הייתה 103.0 מיליון נפש פחות מהאוכלוסייה הכפרית. כמה היו האוכלוסייה העירונית והכפרית ברוסיה בשנת 1913?

805. 1) אורך החוט 24.5 מ' חוט זה נחתך לשני חלקים כך שהחלק הראשון התברר כ-6.8 מ' ארוך מהשני. כמה מטרים אורכו כל חתיכה?

2) הסכום של שני מספרים הוא 100.05. מספר אחד הוא 97.06 יותר מאשר מספר אחר. מצא את המספרים האלה.

806. 1) בשלושה מחסני פחם יש 8656.2 טון פחם, במחסן השני יש 247.3 טון יותר פחם מהראשון, ובשלישי 50.8 טון יותר מהשני. כמה טונות של פחם יש בכל מחסן?

2) הסכום של שלושה מספרים הוא 446.73. המספר הראשון קטן מהשני ב-73.17 וגדול מהשלישי ב-32.22. מצא את המספרים האלה.

807. 1) הסירה נעה לאורך הנהר במהירות של 14.5 ק"מ לשעה, ונגד הזרם במהירות של 9.5 ק"מ לשעה. מהי מהירות הסירה במים שקטים ומהי מהירות הנהר?

2) סירת הקיטור נסעה 85.6 ק"מ לאורך הנהר ב-4 שעות, ו-46.2 ק"מ נגד הזרם ב-3 שעות. מהי מהירות הסירה במים שקטים ומהי מהירות הנהר?

808. 1) שתי ספינות סיפקו 3,500 טון מטען, ואוניה אחת סיפקה פי 1.5 יותר מטען מהשניה. כמה מטען סיפקה כל ספינה?

2) שטחם של שני חדרים הוא 37.2 מ"ר. מ.השטח של חדר אחד גדול פי 2 מהשני. מהו השטח של כל חדר?

809. 1) משני ישובים שהמרחק ביניהם הוא 32.4 ק"מ, רוכב אופנוע ורוכב אופניים עזבו בו זמנית זה לכיוון זה. כמה קילומטרים ייסע כל אחד מהם לפני מפגש אם מהירותו של רוכב האופנוע תהיה פי 4 מזו של רוכב האופניים?

2) מצא שני מספרים שסכומם הוא 26.35, והמנה של חלוקת מספר אחד בשני היא 7.5.

810. 1) המפעל שלח שלושה סוגי מטענים במשקל כולל של 19.2 טון משקלו של סוג המטען הראשון היה פי שלושה יותר משקלמטען מהסוג השני, ומשקל המטען מהסוג השלישי היה חצי ממשקל המטען מהסוג הראשון והשני ביחד. מה משקלו של כל סוג מטען?

2) במשך שלושה חודשים כרה צוות כורים 52.5 אלף טונות של עפרות ברזל. במרץ הוא נכרה פי 1.3, בפברואר פי 1.2 יותר מאשר בינואר. כמה עפרה כרתה החטיבה מדי חודש?

811. 1) צינור הגז סרטוב-מוסקבה ארוך מתעלת מוסקבה ב-672 ק"מ. מצא את אורך שני המבנים אם אורך צינור הגז הוא פי 6.25 מאורך תעלת מוסקבה.

2) אורכו של נהר הדון הוא פי 3.934 מאורך נהר מוסקבה. מצא את אורכו של כל נהר אם אורכו של נהר הדון ארוך ב-1467 ק"מ מאורך נהר מוסקבה.

812. 1) ההפרש של שני מספרים הוא 5.2, והמנה מחלוקת מספר אחד במספר אחר היא 5. מצא את המספרים הללו.

2) ההפרש של שני מספרים הוא 0.96, ומנתם היא 1.2. מצא את המספרים האלה.

813. 1) מספר אחד קטן ב-0.3 מהשני והוא 0.75 ממנו. מצא את המספרים האלה.

2) מספר אחד הוא 3.9 יותר ממספר אחר. אם המספר הקטן יותר מוכפל, אז הוא יהיה 0.5 מהגדול יותר. מצא את המספרים האלה.

814. 1) החווה הקיבוצית זרעה 2,600 דונם אדמה עם חיטה ושיפון. כמה דונם של אדמה נזרעו עם חיטה וכמה עם שיפון, אם 0.8 מהשטח שנזרע בחיטה שווה ל-0.5 מהשטח שנזרע בשיפון?

2) אוסף שני בנים יחד הוא 660 בולים. כמה בולים יש באוסף של כל ילד אם 0.5 ממספר הבולים של הנער הראשון שווה ל-0.6 ממספר הבולים של האוסף של הנער השני?

815. לשני תלמידים יחד היו 5.4 רובל. לאחר שהראשון הוציא 0.75 מכספו, והשני 0.8 מכספו, נשאר להם כסף שווה. כמה כסף היה לכל תלמיד?

816. 1) שתי ספינות שנותרו זו לזו משני נמלים, שהמרחק ביניהן הוא 501.9 ק"מ. כמה זמן ייקח להם להיפגש אם המהירות של ספינת הקיטור הראשונה היא 25.5 קמ"ש ומהירות השנייה היא 22.3 קמ"ש?

2) שתי רכבות שנותרו זו לזו משתי נקודות שהמרחק ביניהן הוא 382.2 ק"מ. אחרי איזה שעה הם ייפגשו אם המהירות הממוצעת של הרכבת הראשונה הייתה 52.8 ק"מ לשעה, והשנייה 56.4 ק"מ לשעה?

817. 1) משתי ערים, שהמרחק ביניהן הוא 462 ק"מ, יצאו שתי מכוניות בו זמנית ונפגשו לאחר 3.5 שעות. מצא את המהירות של כל מכונית אם מהירות המכונית הראשונה הייתה 12 ק"מ לשעה יותר ממהירות המכונית השנייה.

2) מבין השניים הסדרים, המרחק ביניהם הוא 63 ק"מ, רוכב אופנוע ורוכב אופניים עזבו בו זמנית זה לקראת זה ונפגשו לאחר 1.2 שעות. מצא את המהירות של רוכב האופנוע אם רוכב האופנוע נסע במהירות של 27.5 ק"מ לשעה פחות ממהירותו של רוכב האופנוע.

818. התלמיד הבחין שרכבת המורכבת מקטר ו-40 קרונות חלפה על פניו במשך 35 שניות. קבעו את מהירות הרכבת לשעה אם אורך הקטר 18.5 מ' ואורך הקרון 6.2 מ' (תנו את התשובה בדיוק של 1 ק"מ לשעה).

819. 1) רוכב אופניים יצא מ-A ל-B במהירות ממוצעת של 12.4 ק"מ לשעה. לאחר 3 שעות 15 דקות. רוכב אופניים נוסף עזב את B לעברו במהירות ממוצעת של 10.8 קמ"ש. לאחר כמה שעות ובאיזה מרחק מ-A הם יפגשו אם 0.32 המרחק בין A ל-B הוא 76 ק"מ?

2) מערים א' ו-ב', שהמרחק ביניהן הוא 164.7 ק"מ, נסעו זה לכיוון זה משאית מעיר א' ורכב נוסעים מעיר ב'. מהירות מַשָׂאִית 36 ק"מ, והנוסע הוא פי 1.25 יותר. מכונית הנוסעים יצאה 1.2 שעות מאוחר יותר מהמשאית. לאחר כמה זמן ובאיזה מרחק מעיר ב' מכונית נוסעלפגוש את המטען?

820. שתי ספינות יצאו באותו זמן מאותו נמל ופונות לאותו כיוון. כלי הקיטור הראשון נוסע 37.5 ק"מ כל 1.5 שעות, והשני נוסע 45 ק"מ כל שעתיים. כמה זמן ייקח עד שהספינה הראשונה תהיה במרחק של 10 ק"מ מהשנייה?

821. מנקודה אחת יצא תחילה הולך רגל וכעבור שעה וחצי לאחר יציאתו יצא רוכב אופניים לאותו כיוון. באיזה מרחק מהנקודה השיג רוכב האופניים את הולך הרגל אם הולך הרגל במהירות של 4.25 ק"מ לשעה, ורוכב האופניים נסע במהירות של 17 ק"מ לשעה?

822. הרכבת יצאה ממוסקבה ללנינגרד בשעה 6. 10 דק. בבוקר והלך במהירות ממוצעת של 50 קמ"ש. מאוחר יותר המריא מטוס נוסעים ממוסקבה ללנינגרד והגיע ללנינגרד במקביל להגעת הרכבת. מהירות ממוצעתהמטוס היה 325 ק"מ לשעה, והמרחק בין מוסקבה ללנינגרד היה 650 ק"מ. מתי המריא המטוס ממוסקבה?

823. ספינת הקיטור ירדה במורד הזרם במשך 5 שעות, ונגד הזרם במשך 3 שעות ועברה רק 165 ק"מ. כמה קילומטרים הוא ירד במורד הנהר וכמה במעלה הנהר, אם מהירות הנהר היא 2.5 ק"מ לשעה?

824. הרכבת יצאה מ-A וחייבת להגיע ל-B בשעה מסוימת; לאחר שנסעה באמצע הדרך ועשתה 0.8 ק"מ בדקה אחת, הרכבת נעצרה למשך 0.25 שעות; עלייה נוספת של המהירות ב-100 מ' ל-1 מיליון, הרכבת הגיעה ל-B בזמן. מצא את המרחק בין A ל-B.

825. מהחווה הקיבוצית לעיר 23 ק"מ. דוור רכב על אופניים מהעיר לחווה הקיבוצית במהירות של 12.5 קמ"ש. תוך 0.4 שעות לאחר ה-IW הזה של החווה הקיבוצית, חקלאי קיבוצי נסע לעיר על סוס במהירות מוקדמת של 0.6 ממהירות הדוור. כמה זמן לאחר עזיבתו יפגוש החקלאי הקיבוצי את הדוור?

826. מכונית נסעה מעיר א' לעיר ב', במרחק 234 ק"מ מ-A, במהירות של 32 ק"מ לשעה. כעבור 1.75 שעות יצאה מכונית שנייה מעיר B לכיוון הראשונה, שמהירותה היא פי 1.225 ממהירותה של הראשונה. תוך כמה שעות לאחר יציאתו יפגוש המכונית השנייה את הראשונה?

827. 1) קלדנית אחת יכולה להקליד מחדש כתב יד תוך 1.6 שעות, ואחרת תוך 2.5 שעות. כמה זמן ייקח לשתי הקלדניות להקליד מחדש את כתב היד הזה, תוך עבודה משותפת? (תשובה עגולה ל-0.1 שעה הקרובה.)

2) הבריכה מלאה בשתי משאבות בעלות הספק שונה. המשאבה הראשונה, שעובדת לבד, יכולה למלא את הבריכה תוך 3.2 שעות, והשנייה תוך 4 שעות. כמה זמן לוקח למלא את הבריכה בהפעלה בו-זמנית של משאבות אלו? (עגל את התשובה ל-0.1 הקרוב.)

828. 1) צוות אחד יכול להשלים הזמנה כלשהי תוך 8 ימים. השני צריך פי 0.5 מהראשון כדי להשלים הזמנה זו. החטיבה השלישית יכולה להשלים הזמנה זו תוך 5 ימים. כמה ימים תושלם ההזמנה כולה עם מפרק עבודה של שלושהחטיבות? (תשובה עגולה ל-0.1 יום הקרוב.)

2) העובד הראשון יכול להשלים את ההזמנה תוך 4 שעות, השני פי 1.25 מהר יותר, והשלישי תוך 5 שעות. תוך כמה שעות תושלם ההזמנה אם שלושה עובדים יעבדו יחד? (תשובה עגולה ל-0.1 שעה הקרובה.)

829. שתי מכוניות עובדות בניקיון הרחוב. הראשון מהם יכול לנקות את כל הרחוב תוך 40 דקות, השני דורש 75% מהזמן של הראשון. שתי המכונות התחילו באותו זמן. לאחר עבודה משותפת של 0.25 שעות הפסיקה המכונה השנייה לעבוד. כמה זמן לאחר מכן סיימה המכונית הראשונה לנקות את הרחוב?

830. 1) אחת מצלעות המשולש היא 2.25 ס"מ, השנייה גדולה ב-3.5 ס"מ מהראשונה, והשלישית קטנה ב-1.25 ס"מ מהשנייה. מצא את היקף המשולש.

2) אחת מצלעות המשולש היא 4.5 ס"מ, השנייה קטנה ב-1.4 ​​ס"מ מהראשונה, והצלע השלישית היא מחצית מסכום שתי הצלעות הראשונות. מהו היקף המשולש?

831 . 1) בסיס המשולש הוא 4.5 ס"מ, וגובהו קטן ב-1.5 ס"מ. מצא את השטח של משולש.

2) גובה המשולש 4.25 ס"מ, ובסיסו גדול פי 3. מצא את השטח של משולש. (עגל את התשובה ל-0.1 הקרוב.)

832. מצא את האזורים של הדמויות המוצללות (איור 38).

833. איזה שטח גדול יותר: מלבן עם צלעות 5 ס"מ ו-4 ס"מ, ריבוע עם צלעות 4.5 ס"מ, או משולש שבסיסו וגובהו 6 ס"מ כל אחת?

834. אורך החדר 8.5 מ', רוחב 5.6 מ' וגובה 2.75 מ' שטח החלונות, הדלתות והתנורים הוא 0.1 משטח קירות החדר הכולל. כמה חתיכות טפט יהיה צורך לכסות את החדר הזה אם פיסת הטפט באורך 7 מ' ורוחבה 0.75 מ'? (תשובה עגולה לחלק אחד הקרוב ביותר.)

835. יש צורך לטיח ולסייד בית חד קומתי מבחוץ שמידותיו הן: אורך 12 מ' רוחב 8 מ' וגובה 4.5 מ' לבית 7 חלונות כל אחד בגודל 0.75 מ' על 1.2 מ' ו-2 דלתות כל אחד. 0.75 מ' על 2.5 מ' כמה תעלה כל העבודה אם הלבנה וסיוד הוא 1 מ"ר. מ' עולה 24 קופיקות.? (עיגל את התשובה לשפשוף אחד הקרוב ביותר.)

836. חשב את שטח הפנים והנפח של החדר שלך. מצא את מידות החדר על ידי מדידה.

837. לגינה צורת מלבן שאורכו 32 מ', רוחבו 10 מ'. 0.05 מכל שטח הגינה זרועים בגזר, ובשאר הגינה נטועים תפוחי אדמה ובצל , והשטח נטוע עם תפוחי אדמה גדולים פי 7 מאשר עם בצל. כמה אדמה נטועה בנפרד עם תפוחי אדמה, בצל וגזר?

838. לגינה צורת מלבן שאורכו 30 מ' ורוחב 12 מ'. מ' יותר מגזר. כמה קרקע בנפרד מתחת לתפוחי אדמה, סלק וגזר?

839. 1) קופסה בצורת קובייה עטופה מכל הצדדים בדיקט. כמה דיקט משמש אם קצה הקוביה הוא 8.2 דמ"מ? (עיגל את התשובה ל-0.1 מ"ר דמ"ר הקרוב)

2) כמה צבע נדרש כדי לצבוע קובייה עם קצה של 28 ס"מ, אם לכל 1 מ"ר. ס"מ יוציאו 0.4 גרם צבע? (תשובה, עיגל ל-0.1 ק"ג הקרוב.)

840. אורכו של בילט ברזל יצוק בעל צורה קוביד, שווה ל-24.5 ס"מ, רוחב 4.2 ס"מ וגובה 3.8 ס"מ. כמה שוקלים 200 בילטים מברזל יצוק אם 1 מ"ק. dm ברזל יצוק שוקל 7.8 ק"ג? (תשובה עגולה ל-1 ק"ג הקרוב ביותר.)

841. 1) אורך הקופסה (עם מכסה), בעלת צורת מקבילה מלבני, הוא 62.4 ס"מ, רוחב 40.5 ס"מ, גובה 30 ס"מ. יש לקפוץ? (עיגל את התשובה ל-0.1 מ"ר הקרובים ביותר)

2) תחתון ו קירות צדדייםבורות, בעלי צורה של מקבילי מלבני, חייבים להיות מצופים עם לוחות. אורך הבור 72.5 מ', רוחב 4.6 מ' וגובה 2.2 מ'. כמה מ"ר של לוחות שימשו לציפוי אם פסולת הקרשים היא 0.2 מהמשטח שיש לנדן בקרשים? (עיגל את התשובה ל-1 מ"ר הקרוב ביותר)

842. 1) אורך המרתף, שצורתו מקבילית מלבני, 20.5 מ', רוחב 0.6 מאורכו וגובהו 3.2 מ'. המרתף היה מלא בתפוחי אדמה ב-0.8 מנפחו. כמה טון תפוחי אדמה נכנסים למרתף אם 1 מטר מעוקב של תפוחי אדמה שוקל 1.5 טון? (תשובה עגולה לטון הקרוב ביותר.)

2) אורך המיכל שצורתו מקבילית מלבני הוא 2.5 מ', רוחבו 0.4 מאורכו וגובהו 1.4 מ' המיכל מלא ב-0.6 מנפחו בנפט. כמה טונות של נפט מוזגים למיכל, אם משקל נפט בנפח של 1 מטר מעוקב. m שווה ל-0.9 t? (תשובה עגולה ל-0.1 טון הקרובים ביותר.)

843. 1) באיזו שעה ניתן לחדש את האוויר בחדר שאורכו 8.5 מ', רוחב 6 מ' וגובה 3.2 מ', אם דרך החלון תוך שנייה אחת. עובר 0.1 קוב. מ' של אוויר?

2) חשב את הזמן הדרוש לעדכון האוויר בחדר שלך.

844. מידות גוש הבטון לבניית הקירות הם כדלקמן: 2.7 מ' על 1.4 מ' על 0.5 מ' החלל הוא 30% מנפח הגוש. כמה קוב בטון יידרש לייצור 100 בלוקים כאלה?

845. מעלית מדרגות (מכונה לחפירת תעלות) תוך 8 שעות. העבודה עושה תעלה ברוחב 30 ס"מ, עומק 34 ס"מ ואורך 15 ק"מ. כמה חופרים מחליפה מכונה כזו אם חופר אחד יכול להוציא 0.8 מ"ק. מ' לשעה? (עיגב את התוצאה.)

846. הפח בצורת מקבילי מלבני באורך 12 מטרים ורוחבו 8 מטרים. בפח זה יוצקים תבואה עד לגובה של 1.5 מ', כדי לברר כמה שוקל התבואה השלמה לקחו קופסה באורך 0.5 מ', 0.5 מ' רוחב ו-0.4 מ' גובה, מילאו אותה בתבואה ושקלו. כמה שקל התבואה בפח אם התבואה בקופסה שקלה 80 ק"ג?

848. 1) שימוש בתרשים "התכת פלדה ב-RSFSR" (איור 39). ענה על השאלות הבאות:

א) בכמה מיליון טון גדל ייצור הפלדה ב-1959 לעומת 1945?

ב) כמה פעמים היה ייצור הפלדה ב-1959 יותר מאשר ב-1913? (עד 0.1.)

2) בעזרת התרשים "אזורי פרות ב-RSFSR" (איור 40), ענו על השאלות הבאות:

א) בכמה מיליוני דונם גדל השטח שנזרע בשנת 1959 לעומת 1945?

ב) כמה פעמים היה השטח שנזרע בשנת 1959 גדול משטח הנזרע בשנת 1913?

849. בנו תרשים ליניארי של גידול האוכלוסייה העירונית בברית המועצות, אם בשנת 1913 האוכלוסייה העירונית הייתה 28.1 מיליון איש, בשנת 1926 - 24.7 מיליון, בשנת 1939 - 56.1 מיליון ובשנת 1959 - 99, 8 מיליון איש.

850. 1) ערכו הערכה לשיפוץ חדר הכיתה שלכם, אם אתם צריכים לטייח את הקירות והתקרה, וכן לצבוע את הרצפה. בררו את הנתונים לעריכת אומדן (גודל כיתה, עלות הלבנה 1 מ"ר, עלות צביעת הרצפה 1 מ"ר) אצל מנהל האספקה ​​של בית הספר.

2) לשתילה בגינה קנה בית הספר שתילים: 30 עצי תפוח ב-0.65 רובל. לכל חתיכה, 50 דובדבנים עבור 0.4 רובל. לכל חתיכה, 40 שיחי דומדמניות עבור 0.2 רובל. ו -100 שיחי פטל עבור 0.03 רובל. עבור שיח כתוב חשבונית עבור רכישה זו לפי הדגם:

מבין השברים הרבים שנמצאו בחשבון, אלה עם 10, 100, 1000 במכנה ראויים לתשומת לב מיוחדת - באופן כללי, כל חזקת עשר. לשברים אלה יש שם וסימון מיוחדים.

עשרוני הוא כל מספר שהמכנה שלו הוא חזקת עשר.

דוגמאות עשרוניות:

מדוע היה צורך לבודד שברים כאלה בכלל? למה הם צריכים טופס הרשמה משלהם? יש לכך לפחות שלוש סיבות:

1. הרבה יותר קל להשוות בין מספרים עשרוניים. זכרו: לשם השוואה שברים רגיליםיש לגרוע אותם זה מזה, ובמיוחד להביא שברים למכנה משותף. בשברים עשרוניים, כל זה לא נדרש;
2. צמצום חישובים. מספרים עשרוניים מתווספים ומכפילים ב חוקים משלו, ואחרי קצת אימון תעבוד איתם הרבה יותר מהר מאשר עם רגילים;
3. קלות הקלטה. בניגוד לשברים רגילים, עשרוניות נכתבות בשורה אחת ללא אובדן בהירות.

רוב המחשבונים גם נותנים תשובות בעשרוניות. במקרים מסוימים, פורמט הקלטה שונה עלול לגרום לבעיות. לדוגמה, מה אם אתה דורש שינוי בסכום של 2/3 רובל בחנות :)

כללים לכתיבת שברים עשרוניים

היתרון העיקרי של שברים עשרוניים הוא סימון נוח וחזותי. כלומר:

סימון עשרוני הוא צורה של סימון עשרוני שבו החלק השלם מופרד מהחלק השברי באמצעות נקודה או פסיק רגילים. במקרה זה, המפריד עצמו (נקודה או פסיק) נקרא הנקודה העשרונית.

לדוגמה, 0.3 (קרא: "אפס שלם, 3 עשיריות"); 7.25 (7 מספרים שלמים, 25 מאיות); 3.049 (3 מספרים שלמים, 49 אלפיות). כל הדוגמאות לקוחות מההגדרה הקודמת.

בכתיבה, פסיק משמש בדרך כלל כנקודה עשרונית. כאן ולמטה, הפסיק ישמש גם בכל האתר.

כדי לכתוב שבר עשרוני שרירותי בצורה שצוינה, עליך לבצע שלושה שלבים פשוטים:

1. כתוב את המונה בנפרד;
2. העבר את הנקודה העשרונית שמאלה בכמה מקומות שיש אפסים במכנה. נניח שבתחילה הנקודה העשרונית נמצאת מימין לכל הספרות;
3. אם הנקודה העשרונית זזה, ואחריה יש אפסים בסוף הרשומה, יש למחוק אותם.

קורה שבשלב השני למונה אין מספיק ספרות כדי להשלים את המשמרת. במקרה זה, המיקומים החסרים מתמלאים באפסים. ובכלל, ניתן להקצות כל מספר של אפסים משמאל לכל מספר מבלי לפגוע בבריאות. זה מכוער, אבל לפעמים שימושי.

במבט ראשון, אלגוריתם זה עשוי להיראות מסובך למדי. למעשה, הכל מאוד מאוד פשוט - צריך רק להתאמן קצת. תסתכל על הדוגמאות:

מְשִׁימָה. עבור כל שבר, ציין אותו סימון עשרוני:

המונה של השבר הראשון: 73. נעביר את הנקודה העשרונית בסימן אחד (כי המכנה הוא 10) - נקבל 7.3.

המונה של השבר השני: 9. נעביר את הנקודה העשרונית בשתי ספרות (מכיוון שהמכנה הוא 100) - נקבל 0.09. הייתי צריך להוסיף אפס אחד אחרי הנקודה העשרונית ועוד אחד לפניה, כדי לא להשאיר סימון מוזר כמו ".09".

המונה של השבר השלישי: 10029. נעביר את הנקודה העשרונית בשלוש ספרות (מכיוון שהמכנה הוא 1000) - נקבל 10.029.

המונה של השבר האחרון: 10500. שוב נעביר את הנקודה בשלוש ספרות - נקבל 10.500. יש אפסים נוספים בסוף המספר. נחצה אותם - נקבל 10.5.

שימו לב לשתי הדוגמאות האחרונות: המספרים 10.029 ו-10.5. לפי הכללים יש למחוק את האפסים מימין, כפי שנעשה בדוגמה האחרונה. עם זאת, בשום מקרה אסור לעשות זאת עם אפסים שנמצאים בתוך המספר (שמוקפים בספרות אחרות). לכן קיבלנו 10.029 ו-10.5, ולא 1.29 ו-1.5.

אז, הבנו את ההגדרה והצורה של רישום שברים עשרוניים. עכשיו בואו נגלה כיצד להמיר שברים רגילים לעשרונים - ולהיפך.

שינוי משברים לעשרונים

שקול שבר מספרי פשוט מהצורה a/b. אפשר להשתמש בתכונה הבסיסית של שבר ולהכפיל את המונה והמכנה במספר כזה שתקבל מתחת חזקה של עשר. אבל לפני שתעשה זאת, אנא קרא את הדברים הבאים:

יש מכנים שאינם מצטמצמים בחזקת עשר. למד לזהות שברים כאלה, כי לא ניתן לעבוד איתם לפי האלגוריתם המתואר להלן.

זהו זה. ובכן, איך להבין אם המכנה מצטמצם בחזקת עשר או לא?

התשובה פשוטה: חלק את המכנה גורמים ראשוניים. אם רק גורמים 2 ו-5 קיימים בהרחבה, ניתן להפחית את המספר הזה בחזקת עשר. אם יש מספרים אחרים (3, 7, 11 - מה שלא יהיה), אתה יכול לשכוח מהדרגה של עשר.

מְשִׁימָה. בדוק אם ניתן לייצג את השברים שצוינו כעשרונים:

אנו כותבים ומחלקים לגורמים את המכנים של השברים האלה:

20 \u003d 4 5 \u003d 2 2 5 - קיימים רק המספרים 2 ו- 5. לכן, השבר יכול להיות מיוצג כעשרוני.

12 \u003d 4 3 \u003d 2 2 3 - יש גורם "אסור" 3. לא ניתן לייצג את השבר כעשרוני.

640 \u003d 8 8 10 \u003d 2 3 2 3 2 5 \u003d 2 7 5. הכל בסדר: אין שום דבר מלבד המספרים 2 ו-5. שבר מיוצג כשבר עשרוני.

48 \u003d 6 8 \u003d 2 3 2 3 \u003d 2 4 3. הגורם 3 "עלה" שוב. לא ניתן לייצג אותו כשבר עשרוני.

אז, הבנו את המכנה - כעת נשקול את האלגוריתם כולו למעבר לשברים עשרוניים:

1. עשה פקטוריון של המכנה של השבר המקורי וודא שהוא בדרך כלל ניתן לייצוג בתור עשרוני. הָהֵן. בדוק שרק גורמים 2 ו-5 קיימים בהרחבה. אחרת, האלגוריתם לא עובד;
2. ספרו כמה שתיים וחמישיות יש בפירוק (לא יהיו שם מספרים אחרים, זוכרים?). בחר מכפיל נוסף כזה כך שמספר השתיים והחמישיות יהיה שווה.
3. למעשה, מכפילים את המונה והמכנה של השבר המקורי בגורם זה - נקבל את הייצוג הרצוי, כלומר. המכנה יהיה חזקת עשר.

כמובן שגם הגורם הנוסף יתפרק רק לשניים וחמישיות. יחד עם זאת, כדי לא לסבך את חייך, עליך לבחור את הגורם הקטן ביותר מבין כל האפשריים.

ועוד משהו: אם יש חלק שלם בשבר המקורי, הקפידו להמיר את השבר הזה לשבר לא תקין - ורק אז יישמו את האלגוריתם המתואר.

מְשִׁימָה. המר את המספרים האלה לעשרונים:

בוא נחלק לגורמים את המכנה של השבר הראשון: 4 = 2 · 2 = 2 2 . לכן, שבר יכול להיות מיוצג כשבר עשרוני. בהרחבה יש שתי שתיים ואין חמישיות, כך שהגורם הנוסף הוא 5 2 = 25. מספר השתיים והחמישיות יהיה שווה לו. יש לנו:

כעת נעסוק בשבר השני. לשם כך, שים לב ש-24 \u003d 3 8 \u003d 3 2 3 - יש שלשה בהרחבה, כך שלא ניתן לייצג את השבר כעשרוני.

לשני השברים האחרונים יש מכנים 5 (מספר ראשוני) ו-20 = 4 5 = 2 2 5 בהתאמה - רק שניים וחמישיות נמצאים בכל מקום. עם זאת, במקרה הראשון, עבור אושר מוחלט" חסר פקטור של 2, ובשני - 5. אנחנו מקבלים:

מעבר מעשרוני לרגיל

ההמרה ההפוכה - מסימון עשרוני לנורמלי - הרבה יותר קלה. אין הגבלות ובדיקות מיוחדות, כך שאתה תמיד יכול להמיר שבר עשרוני לשבר קלאסי "דו-קומתי".

אלגוריתם התרגום הוא כדלקמן:

1. חוצים את כל האפסים בצד שמאל של הנקודה העשרונית, כמו גם את הנקודה העשרונית. זה יהיה המונה של השבר הרצוי. העיקר - אל תגזימו ואל תחצו את האפסים הפנימיים המוקפים במספרים אחרים;
2. חשב כמה ספרות יש בשבר העשרוני המקורי אחרי הנקודה העשרונית. קח את המספר 1 והוסף כמה אפסים ימינה כפי שספרת את התווים. זה יהיה המכנה;
3. למעשה, רשום את השבר שאת המונה והמכנה שלו מצאנו זה עתה. הפחיתו אם אפשר. אם היה חלק שלם בשבר המקורי, עכשיו אנחנו מקבלים שבר לא תקין, וזה מאוד נוח לחישובים נוספים.

מְשִׁימָה. המרת עשרונים לרגילים: 0.008; 3.107; 2.25; 7,2008.

נחצה את האפסים משמאל ואת הפסיקים - נקבל את המספרים הבאים (אלה יהיו מונים): 8; 3107; 225; 72008.

בשבר הראשון והשני אחרי הנקודה העשרונית יש 3 מקומות עשרוניים, בשני - 2, ובשלישי - עד 4 מקומות עשרוניים. נקבל את המכנים: 1000; 1000; 100; 10000.

לבסוף, בואו נשלב את המונים והמכנים לשברים רגילים:

כפי שניתן לראות מהדוגמאות, לעתים קרובות ניתן להפחית את השבר המתקבל. שוב, אני מציין שכל שבר עשרוני יכול להיות מיוצג כשבר רגיל. הטרנספורמציה ההפוכה לא תמיד אפשרית.

שבריר- מספר המורכב ממספר שלם של שברים של אחד ומיוצג כ: a / b

מונה שברים (א)- המספר שמעל לקו השבר ומראה את מספר המניות שאליהן חולקה היחידה.

מכנה שבר (ב)- המספר מתחת לקו השבר ומראה כמה מניות חולקה היחידה.

2. הבאת שברים למכנה משותף

3. פעולות אריתמטיות על שברים רגילים

3.1. חיבור של שברים רגילים

3.2. חיסור של שברים רגילים

3.3. הכפלה של שברים רגילים

3.4. חלוקה של שברים רגילים

4. מספרים הדדיים

5. עשרוניות

6. פעולות אריתמטיות על שברים עשרוניים

6.1. הוספת עשרונים

6.2. חיסור של עשרונים

6.3. כפל עשרוני

6.4. חלוקה עשרונית

#1. תכונה בסיסית של שבר

אם המונה והמכנה של שבר מוכפלים או מחולקים באותו מספר שאינו שווה לאפס, אז יתקבל שבר השווה לנתון.

3/7=3*3/7*3=9/21 כלומר 3/7=9/21

a/b=a*m/b*m - כך נראית התכונה העיקרית של שבר.

במילים אחרות, אנו מקבלים שבר שווה לשבר הנתון על ידי הכפלה או חלוקה של המונה והמכנה של השבר המקורי באותו מספר טבעי.

אם ad=bc, ואז שני שברים a/b =c /d נחשבים שווים.

לדוגמה, השברים 3/5 ו-9/15 יהיו שווים, שכן 3*15=5*9, כלומר 45=45

הפחתת שברהוא תהליך של החלפת שבר, שבו השבר החדש שווה למקור, אך עם מונה ומכנה קטנים יותר.

נהוג לצמצם שברים על סמך התכונה העיקרית של שבר.

לדוגמה, 45/60=15/ ​ ​20 =9/12=3/4 ​ ​ ​ (המונה והמכנה מתחלקים ב-3, ב-5 וב-15).

חלק בלתי ניתן לצמצוםהוא חלק מהצורה 3/4 ​ ​ , כאשר המונה והמכנה הם הדדיים מספרים ראשוניים. המטרה העיקרית של הפחתת השבר היא להפוך את השבר לבלתי ניתן לצמצום.

2. הפחתת שברים למכנה משותף

כדי להביא שני שברים למכנה משותף:

1) לפרק את המכנה של כל שבר לגורמים ראשוניים;

2) הכפל את המונה והמכנה של השבר הראשון בחסרים

גורמים מהרחבת המכנה השני;

3) הכפל את המונה והמכנה של השבר השני בגורמים החסרים מההרחבה הראשונה.

דוגמאות: צמצום שברים למכנה משותף.

בואו נפרק את המכנים לגורמים ראשוניים: 18=3∙3∙2, 15=3∙5

הכפלנו את המונה והמכנה של השבר בגורם החסר 5 מההרחבה השנייה.

מונה ומכנה של השבר לפי הגורמים החסרים 3 ו-2 מההרחבה הראשונה.

=, 90 הוא המכנה המשותף של שברים.

3. פעולות חשבון על שברים רגילים

3.1. חיבור של שברים רגילים

א) עם אותם מכנים, המונה של השבר הראשון מתווסף למונה של השבר השני, ומשאיר את המכנה זהה. כפי שניתן לראות בדוגמה:

a/b+c/b=(a+c)/b ​ ​ ;

ב) מתי מכנים שוניםתחילה מצמצמים את השברים למכנה משותף, ולאחר מכן מוסיפים את המונים לפי כלל א):

7/3+1/4=7*4/12+1*3/12=(28+3)/12=31/12

3.2. חיסור של שברים רגילים

א) עם אותם מכנים, הורידו את המונה של השבר השני מהמונה של השבר הראשון, ותותירו את המכנה זהה:

a/b-c/b=(a-c)/b ​ ​ ;

ב) אם המכנים של השברים שונים, אז תחילה מצמצמים את השברים למכנה משותף, ולאחר מכן חוזרים על השלבים כמו בפסקה א).

3.3. הכפלה של שברים רגילים

כפל שברים מציית לכלל הבא:

a/b*c/d=a*c/b*d,

כלומר, להכפיל את המונים והמכנים בנפרד.

לדוגמה:

3/5*4/8=3*4/5*8=12/40.

3.4. חלוקה של שברים רגילים

שברים מחולקים בצורה הבאה:

a/b:c/d=a*d/b*c,

כלומר, השבר a/b מוכפל בהדדיות של הנתון, כלומר, הוא מוכפל ב-d/c.

דוגמה: 7/2:1/8=7/2*8/1=56/2=28

4. מספרים הדדיים

אם a*b=1,אז המספר b הוא מספר הפוךלמספר א.

דוגמה: עבור המספר 9, ההפך הוא 1/9 ​ ​ , מאז 9*1/9 = 1 , עבור המספר 5 - מספר הדדי 1/5 ​ ​ , כי 5* ​ 1/5 ​ ​ = 1 .

5. עשרוניות

נקודההוא שבר תקין שהמכנה שלו הוא 10, 1000, 10000, …, 10^n 1 0 , 1 0 0 0 , 1 0 0 0 0 , . . . , 1 0 ​ נ​ ​ .

לדוגמה: 6/10 =0,6; 44/1000=0,044 ​ .

באותו אופן, שגויים נכתבים עם מכנה 10^nאו מספרים מעורבים.

לדוגמה: 51/10= 5,1; 763/100=7,63

בצורה של שבר עשרוני, מיוצג כל שבר רגיל בעל מכנה שהוא מחלק בחזק מסוים של המספר 10.

מכנה, שהוא מחלק של חזקה מסוימת של המספר 10.

דוגמה: 5 הוא מחלק של 100, אז שבר 1/5=1 *20/5*20=20/100=0,2 ​ 0 = 0 , 2 .

6. פעולות חשבון על שברים עשרוניים

6.1. הוספת עשרונים

כדי להוסיף שני שברים עשרוניים, עליך לסדר אותם כך שאותן ספרות ופסיק מתחת לפסיק יופיעו זה מתחת לזה, ולאחר מכן להוסיף את השברים כמספרים רגילים.

6.2. חיסור של עשרונים

זה עובד באותו אופן כמו הוספה.

6.3. כפל עשרוני

כאשר מכפילים מספרים עשרוניים, מספיק להכפיל את המספרים הנתונים, תוך התעלמות מהפסיקים (כמספרים טבעיים), ובתשובה המתקבלת, הפסיק בצד ימין מפריד בין מספר הספרות שיש אחרי הנקודה העשרונית בשני הגורמים בסך הכל. .

בוא נעשה את הכפל של 2.7 ב-1.3. יש לנו 27\cdot 13=351 2 7 ⋅ 1 3 = 3 5 1 . אנו מפרידים שתי ספרות עם פסיק בצד ימין (למספר הראשון והשני יש ספרה אחת אחרי הנקודה העשרונית; 1+1=2 1 + 1 = 2 ). כתוצאה מכך, אנחנו מקבלים 2.7\cdot 1.3=3.51 2 , 7 ⋅ 1 , 3 = 3 , 5 1 .

אם התוצאה היא פחות ספרות ממה שצריך להפריד בפסיק, אז האפסים החסרים נכתבים מלפנים, למשל:

כדי להכפיל ב-10, 100, 1000, בשבר עשרוני, הזיזו את הפסיק 1, 2, 3 ימינה (במידת הצורך, מספר מסוים של אפסים מוקצים ימינה).

לדוגמה: 1.47 \cdot 10,000 = 14,700 1 , 4 7 ⋅ 1 0 0 0 0 = 1 4 7 0 0 .

6.4. חלוקה עשרונית

חלוקת שבר עשרוני במספר טבעי מתבצעת באותו אופן כמו חלוקת מספר טבעי במספר טבעי. פסיק בפרט מוצב לאחר השלמת חלוקת החלק השלם.

אם החלק השלם של הדיבידנד פחות מחלק, אז התשובה היא אפס מספרים שלמים, לדוגמה:

שקול לחלק עשרוני בעשרוני. נניח שעלינו לחלק את 2.576 ב-1.12. קודם כל, נכפיל את הדיבידנד ואת המחלק של השבר ב-100, כלומר, נעביר את הפסיק ימינה בדיווידנד והמחלק במספר תווים שיש במחלק אחרי הנקודה העשרונית (בדוגמה זו , שתיים). אז אתה צריך לחלק את השבר 257.6 במספר הטבעי 112, כלומר, הבעיה מצטמצמת למקרה שכבר נחשב:

קורה שהשבר העשרוני הסופי לא תמיד מתקבל כאשר מחלקים מספר אחד במספר אחר. התוצאה היא אינסוף עשרוני. במקרים כאלה, עבור לשברים רגילים.

לדוגמה, 2.8: 0.09= 28/10: 9/100= 28*100/10*9=2800/90=280/9= ​ 31 1/9 ​ ​ .

במתמטיקה סוגים שוניםמספרים נחקרו מאז הקמתו. קיים מספר גדול שלקבוצות וקבוצות משנה של מספרים. ביניהם מספרים שלמים, רציונליים, לא רציונליים, טבעיים, זוגיים, אי זוגיים, מורכבים ושברים. היום ננתח מידע על הסט האחרון - מספרים שברים.

הגדרה של שברים

שברים הם מספרים המורכבים מחלק שלם ושברים של יחידה. בדיוק כמו מספרים שלמים, יש מספר אינסופי של מספרים שברים בין שני מספרים שלמים. במתמטיקה מבצעים פעולות עם שברים, כמו עם מספרים שלמים ומספרים טבעיים. זה די פשוט וניתן ללמוד בכמה שיעורים.

המאמר מציג שני סוגים

שברים נפוצים

שברים רגילים הם החלק השלם a ושני מספרים שנכתבים דרך פס השברים b/c. שברים נפוצים יכולים להיות שימושיים ביותר אם לא ניתן לייצג את החלק השבר בצורה עשרונית רציונלית. בנוסף, נוח יותר לבצע פעולות אריתמטיות באמצעות קו שבר. החלק העליון נקרא מונה, החלק התחתון הוא המכנה.

פעולות עם שברים רגילים: דוגמאות

תכונה בסיסית של שבר. בְּהכפלת המונה והמכנה באותו מספר שאינו אפס, התוצאה היא מספר השווה לנתון. תכונה זו של שבר עוזרת להביא מכנה לחיבור (על זה נדון בהמשך) או להקטין שבר, מה שהופך אותו לנוח יותר לספירה. a/b = a*c/b*c. לדוגמה, 36/24 = 6/4 או 9/13 = 18/26

צמצום למכנה משותף.כדי להביא את המכנה של שבר, אתה צריך לייצג את המכנה בצורה של גורמים, ולאחר מכן להכפיל במספרים החסרים. לדוגמה, 15/7 ו-30/12; 7/5*3 ו-12/5*3*2. אנו רואים שהמכנים נבדלים בשניים, ולכן נכפיל את המונה והמכנה של השבר הראשון ב-2. נקבל: 14/30 ו-12/30.

שברים מורכבים- שברים רגילים עם חלק שלם מודגש. (A b/c) כדי לייצג שבר מורכב כשבר משותף, הכפל את המספר שלפני השבר במכנה ולאחר מכן הוסף אותו למונה: (A*c + b)/c.

פעולות אריתמטיות עם שברים

לא יהיה מיותר לשקול את פעולות החשבון הידועות רק כאשר עובדים עם מספרים שברים.

חיבור וחיסור.הוספה והפחתה של שברים היא קלה בדיוק כמו מספרים שלמים, למעט קושי אחד - נוכחות של קו שבר. כאשר מוסיפים שברים עם אותו מכנה, יש צורך להוסיף רק את המונים של שני השברים, המכנים נשארים ללא שינוי. לדוגמה: 5/7 + 1/7 = (5+1)/7 = 6/7

אם המכנים של שני שברים הם מספרים שוניםראשית עליך להביא אותם למשותף (איך לעשות זאת נדון לעיל). 1/8 + 3/2 = 1/2*2*2 + 3/2 = 1/8 + 3*4/2*4 = 1/8 + 12/8 = 13/8. חיסור מתרחש בדיוק על פי אותו עיקרון: 8/9 - 2/3 \u003d 8/9 - 6/9 \u003d 2/9.

כפל וחילוק. פעולותעם שברים בכפל מתרחשים על פי העיקרון הבא: המונים והמכנים מוכפלים בנפרד. IN השקפה כלליתנוסחת הכפל נראית כך: a/b *c/d = a*c/b*d. בנוסף, תוך כדי הכפלה, ניתן להקטין את השבר על ידי ביטול אותם גורמים מהמונה והמכנה. בשפה אחרת, המונה והמכנה מתחלקים באותו מספר: 4/16 = 4/4*4 = 1/4.

כדי לחלק שבר רגיל אחד בשני, עליך לשנות את המונה והמכנה של המחלק ולבצע הכפלה של שני שברים, לפי העיקרון שנדון קודם לכן: 5/11: 25/11 = 5/11 * 11/25 = 5*11/11*25 = 1/5

עשרוניות

עשרונים הם הגרסה הפופולרית והנפוצה יותר של מספרים שברים. קל יותר לרשום אותם בשורה או להציג אותם במחשב. המבנה של השבר העשרוני הוא כדלקמן: תחילה נכתב המספר השלם, ולאחר מכן, לאחר הנקודה העשרונית, נכתב החלק השברי. בבסיסם, שברים עשרוניים הם שברים מורכבים, אך החלק השבר שלהם מיוצג על ידי מספר חלקי בכפולה של 10. מכאן שמם. פעולות עם שברים עשרוניים דומות לפעולות עם מספרים שלמים, שכן הן כתובות גם במערכת המספרים העשרונית. כמו כן, בניגוד לשברים רגילים, עשרונים יכולים להיות לא רציונליים. זה אומר שהם יכולים להיות אינסופיים. הם כתובים כ-7,(3). נקרא הערך הבא: שבעה שלמים, שלוש עשיריות בתקופה.

פעולות בסיסיות עם מספרים עשרוניים

חיבור וחיסור של שברים עשרוניים.ביצוע פעולות עם שברים אינו קשה יותר מאשר עם מספרים טבעיים שלמים. הכללים זהים לחלוטין לאלה המשמשים לחיבור או חיסור. מספרים טבעיים. הם יכולים גם להיחשב עמודה באותו אופן, אבל במידת הצורך, החלף את המקומות החסרים באפסים. לדוגמה: 5.5697 - 1.12. על מנת לבצע חיסור עמודה, עליך להשוות את מספר המספרים לאחר הנקודה העשרונית: (5.5697 - 1.1200). אז, הערך המספרי לא ישתנה וניתן לספור אותו בעמודה.

לא ניתן לבצע פעולות עם שברים עשרוניים אם לאחת מהן יש צורה לא רציונלית. כדי לעשות זאת, עליך להמיר את שני המספרים לשברים רגילים, ולאחר מכן להשתמש בטכניקות שתוארו קודם לכן.

כפל וחילוק.הכפלת מספרים עשרוניים דומה להכפלת מספרים טבעיים. ניתן גם להכפיל אותם בעמודה, פשוט להתעלם מהפסיק, ולאחר מכן להפריד אותם בפסיק בערך הסופי באותו מספר ספרות כמו שהסכום אחרי הנקודה העשרונית היה בשני שברים עשרוניים. לדוגמה, 1.5 * 2.23 = 3.345. הכל מאוד פשוט, ולא אמור לגרום לקשיים אם כבר שולטת בכפל של מספרים טבעיים.

החלוקה חופפת גם לחלוקת המספרים הטבעיים, אך עם סטייה קלה. כדי לחלק במספר עשרוני בעמודה, עליך להשליך את הפסיק במחלק, ולהכפיל את הדיבידנד במספר הספרות שאחרי הנקודה העשרונית במחלק. לאחר מכן בצע חלוקה כמו במספרים טבעיים. בחלוקה לא מלאה, ניתן להוסיף אפסים לדיבידנד מימין, וגם להוסיף אפס אחרי הנקודה העשרונית.

דוגמאות לפעולות עם שברים עשרוניים.עשרוניות הם כלי שימושי מאוד לספירה אריתמטית. הם משלבים את הנוחות של מספרים טבעיים ושלמים ודיוק של שברים נפוצים. בנוסף, די פשוט להמיר שבר אחד לאחר. פעולות עם שברים אינן שונות מפעולות עם מספרים טבעיים.

1. תוספת: 1.5 + 2.7 = 4.2
2. חיסור: 3.1 - 1.6 = 1.5
3. כפל: 1.7 * 2.3 = 3.91
4. חלוקה: 3.6: 0.6 = 6

בנוסף, העשרונים מתאימים לייצוג אחוזים. אז, 100% = 1; 60% = 0.6; ולהיפך: 0.659 = 65.9%.

זה כל מה שאתה צריך לדעת על שברים. המאמר בחן שני סוגי שברים - רגיל ועשרוני. את שניהם קל למדי לחישוב, ואם יש לך שליטה מלאה במספרים טבעיים ובפעולות איתם, אתה יכול להתחיל ללמוד בבטחה שברים.

נקדיש את החומר הזה לנושא חשוב כמו שברים עשרוניים. ראשית, הבה נגדיר את ההגדרות הבסיסיות, ניתן דוגמאות ונתעכב על כללי הסימון העשרוני, וכן מהן הספרות של השברים העשרוניים. לאחר מכן, נדגיש את הסוגים העיקריים: סופי ואינסופי, שברים מחזוריים ולא מחזוריים. בחלק האחרון נראה כיצד ממוקמות הנקודות המתאימות למספרים שברים על ציר הקואורדינטות.

Yandex.RTB R-A-339285-1

מהו סימון עשרוני עבור מספרים שברים

מה שנקרא סימון עשרוני עבור מספרים שברים יכול לשמש הן עבור מספרים טבעיים והן עבור מספרים שברים. זה נראה כמו קבוצה של שניים או יותר מספרים עם פסיק ביניהם.

הנקודה העשרונית משמשת להפרדה בין החלק השלם לחלק השברי. ככלל, הספרה האחרונה של עשרונית היא אף פעם לא אפס, אלא אם הנקודה העשרונית נמצאת מיד אחרי האפס הראשון.

מהן כמה דוגמאות למספרים שבריים בסימון עשרוני? זה יכול להיות 34, 21, 0, 35035044, 0, 0001, 11 231 552, 9 וכו'.

בספרי לימוד מסוימים ניתן למצוא שימוש בנקודה במקום בפסיק (5. 67, 6789. 1011 וכו') אפשרות זו נחשבת שווה ערך, אך היא אופיינית יותר למקורות באנגלית.

הגדרה של עשרוניות

בהתבסס על הרעיון לעיל של סימון עשרוני, אנו יכולים לנסח את ההגדרה הבאה של שברים עשרוניים:

הגדרה 1

עשרונים הם מספרים חלקיים בסימון עשרוני.

למה אנחנו צריכים לכתוב שברים בצורה זו? זה נותן לנו כמה יתרונות על פני אלה רגילים, למשל, סימון קומפקטי יותר, במיוחד במקרים שבהם המכנה הוא 1000, 100, 10 וכו' או מספר מעורב. לדוגמה, במקום 6 10 נוכל לציין 0 , 6 , במקום 25 10000 - 0 , 0023 , במקום 512 3 100 - 512 , 03 .

כיצד לייצג נכון שברים רגילים עם עשרות, מאות, אלפים במכנה בצורה עשרונית יתואר בחומר נפרד.

כיצד לקרוא את הספרות העשרוניות בצורה נכונה

ישנם כמה כללים לקריאת רשומות של עשרוניות. אז, אותם שברים עשרוניים התואמים את המקבילות הרגילות הנכונות שלהם נקראים כמעט אותו דבר, אבל עם תוספת של המילים "אפס עשיריות" בהתחלה. אז, הערך 0 , 14 , המקביל ל- 14 100 , נקרא כ"אפס נקודה ארבע עשרה מאיות".

אם ניתן לשייך שבר עשרוני למספר מעורב, אזי הוא נקרא באותו אופן כמו מספר זה. לכן, אם יש לנו שבר 56, 002, המתאים ל-56 2 1000, אנו קוראים ערך כזה כמו "חמישים ושש נקודה אלפיות".

הערך של ספרה בסימון עשרוני תלוי במקום שבו היא ממוקמת (בדיוק כמו במקרה של מספרים טבעיים). אז, בשבר עשרוני 0, 7, שבע זה עשיריות, ב-0, 0007 זה עשר אלפיות, ובשבר 70,000, 345 זה אומר שבע עשרות אלפי יחידות שלמות. כך, בשברים עשרוניים, יש גם מושג של ספרה מספרית.

שמות הספרות הממוקמות לפני הפסיק דומים לאלה הקיימים במספרים טבעיים. השמות של אלה שממוקמים אחרי מוצגים בבירור בטבלה:

בואו ניקח דוגמה.

דוגמה 1

יש לנו 43, 098 עשרוני. יש לה ארבע במקום העשרות, שלשה במקום היחידות, אפס במקום העשירי, 9 במקום המאה ו-8 במקום האלף.

נהוג להבחין בין ספרות השברים העשרוניים לפי ותק. אם נעבור בין המספרים משמאל לימין, נעבור מספרות גבוהות לנמוכות. מסתבר שמאות מבוגרים מעשרות, ומיליוניות צעירות ממאייות. אם ניקח את השבר העשרוני הסופי הזה, שהבאנו כדוגמה למעלה, אז בו הבכירה, או הגבוהה ביותר, תהיה הספרה של מאות, והנמוכה ביותר, או הנמוכה ביותר, תהיה הספרה של 10 אלפיות.

ניתן לפרק כל שבר עשרוני לספרות נפרדות, כלומר, מיוצג כסכום. פעולה זו מתבצעת באותו אופן כמו עבור מספרים טבעיים.

דוגמה 2

בואו ננסה להרחיב את השבר 56, 0455 לספרות.

נוכל ל:

56 , 0455 = 50 + 6 + 0 , 4 + 0 , 005 + 0 , 0005

אם נזכור את תכונות החיבור, נוכל לייצג את השבר הזה בצורות אחרות, למשל, כסכום 56 + 0, 0455, או 56, 0055 + 0, 4 וכו'.

מה הם עשרונים נגררים

כל השברים עליהם דיברנו לעיל הם עשרונים נגררים. המשמעות היא שמספר הספרות אחרי הנקודה העשרונית הוא סופי. בואו נקבל את ההגדרה:

הגדרה 1

עשרונים נגררים הם סוג של עשרוני שיש לו מספר סופי של ספרות אחרי הפסיק.

דוגמאות לשברים כאלה יכולות להיות 0, 367, 3, 7, 55, 102567958, 231032, 49 וכו'.

ניתן להמיר כל אחד מהשברים הללו למספר מעורב (אם הערך של החלק השברי שלהם שונה מאפס), או לשבר רגיל (אם החלק השלם הוא אפס). הקדשנו חומר נפרד לאופן שבו זה נעשה. בוא נציין כאן כמה דוגמאות: לדוגמה, נוכל להביא את השבר העשרוני הסופי 5 , 63 לצורה 5 63 100 , ו- 0 , 2 מתאים ל- 2 10 (או כל שבר אחר השווה לו, למשל, 4 20 או 1 5.)

אבל התהליך ההפוך, כלומר. כתיבת שבר רגיל בצורה עשרונית לא תמיד תתבצע. אז לא ניתן להחליף את 5 13 בשבר שווה עם מכנה של 100, 10 וכו', מה שאומר שהשבר העשרוני הסופי לא יעבוד מתוכו.

הסוגים העיקריים של שברים עשרוניים אינסופיים: שברים מחזוריים ושברים לא מחזוריים

ציינו למעלה ששברים סופיים נקראים כך מכיוון שיש להם מספר סופי של ספרות אחרי הנקודה העשרונית. עם זאת, זה בהחלט יכול להיות אינסופי, ובמקרה זה גם השברים עצמם ייקראו אינסופיים.

הגדרה 2

אינסוף עשרוניים הם אלה שיש להם מספר אינסופי של ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

ברור שמספרים כאלה פשוט לא יכולים להיכתב במלואם, אז אנחנו מציינים רק חלק מהם ואז שמים אליפסיס. סימן זה מציין המשך אינסופי של רצף המקומות העשרוניים. דוגמאות לאינסופיות עשרוניות יהיו 0 , 143346732 ... , 3 , 1415989032 ... , 153 , 0245005 ... , 2 , 66666666666 ... , 69 , 74876815 ... וכו '

ב"זנב" של שבר כזה, יכולים להיות לא רק רצפים אקראיים לכאורה של מספרים, אלא חזרה מתמדת על אותה תו או קבוצת תווים. שברים עם חילופין אחרי הנקודה העשרונית נקראים מחזוריים.

הגדרה 3

שברים עשרוניים תקופתיים הם שברים עשרוניים אינסופיים שבהם ספרה אחת או קבוצה של מספר ספרות חוזרת על עצמה אחרי הנקודה העשרונית. החלק החוזר נקרא תקופת השבר.

לדוגמה, עבור השבר 3, 444444 ... . התקופה תהיה המספר 4, ולגבי 76, 134134134134 ... - הקבוצה 134.

מהו המספר המינימלי של תווים המותר בשבר מחזורי? עבור שברים תקופתיים, יספיק לכתוב את כל התקופה פעם אחת בסוגריים. אז, השבר הוא 3, 444444 ... . נכון יהיה לכתוב כ-3, (4) ו-76, 134134134134 ... - כ-76, (134) .

באופן כללי, לערכים עם מספר נקודות בסוגריים תהיה אותה משמעות בדיוק: לדוגמה, השבר המחזורי 0.677777 זהה ל-0.6 (7) ו-0.6 (77) וכו'. רשומות כמו 0 , 67777 (7) , 0 , 67 (7777) ואחרות מותרות גם כן.

על מנת למנוע טעויות, אנו מציגים את אחידות הסימון. נסכים לכתוב רק נקודה אחת (רצף הספרות הקצר ביותר האפשרי), הקרובה ביותר לנקודה העשרונית, ונכניס אותה בסוגריים.

כלומר, עבור השבר הנ"ל, ניקח בחשבון את הערך 0, 6 (7) כעיקרי, ולדוגמה, במקרה של השבר 8, 9134343434, נכתוב 8, 91 (34) .

אם המכנה של שבר רגיל מכיל גורמים ראשוניים שאינם שווים ל-5 ו-2, אז בהמרה לסימון עשרוני, יתקבלו מהם שברים אינסופיים.

באופן עקרוני, אנו יכולים לכתוב כל שבר סופי כמחזורי. כדי לעשות זאת, אנחנו רק צריכים להוסיף מספר אינסופי של אפסים ימינה. איך זה נראה בפרוטוקול? נניח שיש לנו שבר סופי 45, 32. בצורה תקופתית, זה ייראה כמו 45 , 32 (0) . פעולה זו אפשרית מכיוון שהוספת אפסים מימין לכל שבר עשרוני נותנת לנו שבר שווה לו כתוצאה מכך.

בנפרד, יש להתעכב על שברים תקופתיים עם תקופה של 9, למשל, 4, 89 (9), 31, 6 (9) . הם מהווים סימון חלופי לשברים דומים עם תקופה של 0, ולכן הם מוחלפים לעתים קרובות כשכותבים בשברים עם תקופה אפס. במקביל, מתווסף אחד לערך הספרה הבאה, ו-(0) מצוין בסוגריים. קל לבדוק את השוויון של המספרים המתקבלים על ידי הצגתם כשברים רגילים.

לדוגמה, ניתן להחליף את השבר 8, 31 (9) בשבר המקביל 8, 32 (0) . או 4 , (9) = 5 , (0) = 5 .

שברים מחזוריים עשרוניים אינסופיים הם מספרים רציונליים. במילים אחרות, כל שבר מחזורי יכול להיות מיוצג כשבר רגיל, ולהיפך.

יש גם שברים שבהם אין רצף חוזר אינסופי אחרי הנקודה העשרונית. במקרה זה, הם נקראים שברים לא מחזוריים.

הגדרה 4

שברים עשרוניים לא מחזוריים כוללים את אותם שברים עשרוניים אינסופיים שאינם מכילים נקודה אחרי הנקודה העשרונית, כלומר. קבוצה חוזרת של מספרים.

לפעמים שברים לא מחזוריים נראים דומים מאוד לשברים מחזוריים. לדוגמה, 9 , 03003000300003 ... במבט ראשון נראה שיש נקודה, אבל ניתוח מפורט של המקומות העשרוניים מאשר שעדיין מדובר בשבר לא מחזורי. אתה צריך להיות זהיר מאוד עם מספרים כאלה.

שברים לא מחזוריים הם מספרים אי - רציונליים. הם אינם מומרים לשברים רגילים.

פעולות בסיסיות עם ספרות עשרוניות

ניתן לבצע את הפעולות הבאות עם שברים עשרוניים: השוואה, חיסור, חיבור, חילוק וכפל. בואו ננתח כל אחד מהם בנפרד.

ניתן לצמצם השוואה בין עשרונים להשוואת שברים רגילים התואמים לעשרונים המקוריים. אבל אי אפשר לצמצם שברים לא-מחזוריים אינסופיים לצורה זו, והמרת שברים עשרוניים לשברים רגילים היא לרוב משימה קשה. איך לבצע במהירות פעולת השוואה אם ​​אנחנו צריכים לעשות אותה במהלך פתרון הבעיה? זה נוח להשוות שברים עשרוניים לפי ספרות באותו אופן כמו שאנחנו משווים מספרים טבעיים. לשיטה זו נקדיש מאמר נפרד.

כדי להוסיף שבר עשרוני אחד לשני, נוח להשתמש בשיטת הוספת העמודות, כמו למספרים טבעיים. כדי להוסיף שברים עשרוניים תקופתיים, תחילה עליך להחליף אותם בשברים רגילים ולספור לפי הסכימה הסטנדרטית. אם, לפי תנאי הבעיה, עלינו להוסיף אינסוף שברים לא מחזוריים, אז עלינו קודם כל לעגל אותם עד לספרה מסוימת, ולאחר מכן להוסיף אותם. ככל שהספרה אליה נעגל קטנה יותר, כך דיוק החישוב יהיה גבוה יותר. עבור חיסור, כפל וחלוקה של שברים אינסופיים, יש צורך גם עיגול ראשוני.

מציאת ההבדל בין שברים עשרוניים הוא ההפך מחיבור. למעשה, בעזרת חיסור נוכל למצוא מספר שסכומו עם השבר הנגרע ייתן לנו את המופחת. נדבר על כך ביתר פירוט במאמר נפרד.

הכפל של שברים עשרוניים נעשה באותו אופן כמו עבור מספרים טבעיים. גם שיטת החישוב לפי עמודה מתאימה לכך. אנו מצמצמים שוב פעולה זו עם שברים תקופתיים לכפל של שברים רגילים על פי הכללים שכבר למדו. שברים אינסופיים, כזכור, חייבים להיות מעוגלים לפני הספירה.

תהליך חלוקת העשרונים הוא הפוך מתהליך הכפל. בעת פתרון בעיות, אנו משתמשים גם בספירת עמודות.

ניתן להגדיר התאמה מדויקת בין הקצה העשרוני לנקודה על ציר הקואורדינטות. בואו להבין איך לסמן נקודה על הציר שתתאים בדיוק לשבר העשרוני הנדרש.

כבר למדנו כיצד לבנות נקודות המתאימות לשברים רגילים, וניתן לצמצם שברים עשרוניים לצורה זו. לדוגמה, שבר רגיל 14 10 זהה ל-1, 4, כך שהנקודה המתאימה לו תוסר מהמקור בכיוון החיובי באותו מרחק בדיוק:

אתה יכול לעשות בלי להחליף את השבר העשרוני בשבר רגיל, ולקחת את שיטת הרחבת הספרות כבסיס. לכן, אם נצטרך לסמן נקודה שהקואורדינטה שלה תהיה שווה ל-15, 4008, אז נציג תחילה את המספר הזה כסכום 15 + 0, 4 +, 0008. מלכתחילה, אנו מפרישים 15 קטעי יחידה שלמים בכיוון החיובי מהמקור, לאחר מכן 4 עשיריות מקטע אחד, ולאחר מכן 8 עשרת אלפים מקטע אחד. כתוצאה מכך, נקבל נקודת קואורדינטות, התואמת את השבר 15, 4008.

עבור שבר עשרוני אינסופי, עדיף להשתמש בשיטה הספציפית הזו, מכיוון שהיא מאפשרת לך להתקרב לנקודה הרצויה קרוב ככל שתרצה. במקרים מסוימים, ניתן לבנות התאמה מדויקת של שבר אינסופי על ציר הקואורדינטות: למשל, 2 = 1, 41421. . . , וניתן לשייך שבר זה לנקודה על קרן הקואורדינטות, המרוחקת מ-0 באורך האלכסון של הריבוע, שצלעותיה תהיה שווה לקטע יחידה אחד.

אם לא נמצא נקודה על הציר, אלא שבר עשרוני המתאים לה, אז הפעולה הזו נקראת מדידה עשרונית של הקטע. בוא נראה איך עושים את זה נכון.

נניח שעלינו להגיע מאפס לנקודה נתונה על ציר הקואורדינטות (או להתקרב ככל האפשר במקרה של שבר אינסופי). לשם כך, אנו מפרישים בהדרגה מקטעי יחידה מהמקור עד שנגיע אליו נקודה רצויה. לאחר קטעים שלמים, במידת הצורך, אנו מודדים עשיריות, מאיות וחלקים קטנים יותר כדי שההתכתבות תהיה כמה שיותר מדויקת. כתוצאה מכך, קיבלנו שבר עשרוני, המתאים ל נקודה נתונהעל ציר הקואורדינטות.

למעלה נתנו תמונה עם נקודה M. תסתכל על זה שוב: כדי להגיע לנקודה זו, עליך למדוד קטע יחידה אחד מאפס וארבע עשיריות ממנו, מכיוון שנקודה זו מתאימה לשבר העשרוני 1, 4.

אם איננו יכולים לפגוע בנקודה בתהליך המדידה העשרונית, אז זה אומר ששבר עשרוני אינסופי מתאים לה.

אם אתה מבחין בטעות בטקסט, אנא סמן אותה והקש Ctrl+Enter