מיקום השורשים של המשוואה הריבועית בהתאם לפרמטר.docx - שיעור אופציונלי"Расположение корней квадратного уравнения в зависимости от параметра". Расположение корней квадратного трёхчлена в зависимости от значений параметра!}

הורד:

תצוגה מקדימה:

מוסד ממשלתי עירוני

בית ספר תיכון Ermolovskaya

מיקום השורש משוואה ריבועיתבמשימות עם פרמטרים

בביצוע גלקין סרגיי אנדרייביץ',

תלמיד כיתה ט'

ראש: מאלי נ.אי.,

מורה למתמטיקה

2013

מבוא…………………………………………………….. 3

חלק ראשי. מיקום שורשי המשוואה הריבועית ודוגמאות…………………………………………………..4-15

בדיקת איכות ישימות החומר המוצג..16

מסקנה……………………………………………………………….17

ספרות ………………………………………………………………….18

בקשה ……………………………………………………………… 19

יַעַד:

לנסח ולבסס הצהרות לגבי מיקום השורשים של משוואה ריבועית ולהראות את היישום של ההצהרות שהתקבלו לפתרון בעיות בפרמטרים.

משימות:

1. למד את הספרות בנושא זה.

2. נסח היגדים ונתן פרשנות גיאומטרית

מבוא

IN לָאַחֲרוֹנָהבחומרי בחינות הגמר, הבחינה במשימות בעלות מורכבות מוגברת, מוצעות משימות בנושא "משוואות עם פרמטרים"

תפקיד מיוחד בין משוואות עם פרמטרים ממלאות בעיות הקשורות למיקום השורשים של משוואה ריבועית.

שקול את שני הסוגים הנפוצים ביותר של בעיות כאלה.

הסוג הראשון של בעיה שבה חוקרים את מיקום השורשים ביחס לנקודה נתונה.

סוג שני של בעיה שבה נחקר מיקום השורשים ביחס למרווח המספרי

הצהרות על מיקום השורשים של משוואה ריבועית

תן f(x)=ax 2 +bx+c יש שורשים אמיתיים x 1 ו-x2 , ו-M הוא מספר ממשי כלשהו, ​​D=b 2-4ac.

הצהרה 1. על מנת ששני השורשים של המשוואה הריבועית יהיו קטנים מהמספר M (כלומר, שוכבים על הציר האמיתי משמאל לנקודה M), יש צורך ומספיק שהתנאים הבאים יתקיימו:

אוֹ

דוגמה 1:

מצא את כל הערכים של הפרמטר a ששני השורשים של המשוואה הריבועית x²+4ax+(1-2a+4a²)=0 פחות מ-1.

פִּתָרוֹן:

שקול את הפונקציה y=x²+4ax+1(1-2a+4a²)

תשובה: (1; +∞).

הצהרה 2. כדי שאחד משורשי המשוואה הריבועית יהיה קטן מהמספר M, והשני יותר מהמספר M (כלומר, הנקודה M תהיה מונחת בין השורשים), יש צורך ומספיק שהתנאים הבאים יהיו מרוצה:

דוגמה 2:

מצא את כל הערכים של פרמטר m, עבור כל אחד מהם שורש אחד של המשוואה 2mx²-2x-3m-2=0 גדול מ-1, והשני קטן מ-1.

פִּתָרוֹן:

2mf(1)

2m(2m-2-3m-2)

2 מ"ר-8

2 מ'(מ+4)

m(m+4)>0

תשובה: (-∞; -4)U(0; + ∞).

הצהרה 3. על מנת ששני השורשים של המשוואה הריבועית יהיו גדולים מהמספר M (כלומר, שוכבים על הציר הריאלי מימין לנקודה M), יש צורך ומספיק שהתנאים הבאים יתקיימו:

אוֹ

דוגמה 3:

מצא את כל הערכים של הפרמטר a ששני השורשים של המשוואה הריבועית x²-6ax+(2-2a+9a²)=0 גדולים מ-3

פתרון: f(x)=x²-6ax+(2-2a+9a²)

תשובה: א>11/9

הצהרה 4. על מנת ששני השורשים של המשוואה הריבועית יהיו גדולים ממספר M, אך פחות ממספר N(M ) , כלומר שוכבים במרווח בין M ל-N, זה הכרחי ומספיק:

אוֹ

דוגמה 4:

עבור אילו ערכים של m נמצאים שורשי המשוואה 4x²-(3m+1)x-m-2=0 בין -1 ל-2?

פִּתָרוֹן:

תשובה:(- ; ).

הצהרה 5. על מנת שרק השורש הגדול ביותר של המשוואה הריבועית יהיה במרווח[ M , N ](M נ) , הכרחי ומספיק:

(במקרה זה, השורש הקטן יותר נמצא מחוץ לקטע).

5. מצא את כל הערכים של a שעבור כל x מהמרווח (-3; -1] הערך של הביטוי
(משימה ג3 מהבחינה).

פִּתָרוֹן:

1. הערכים של הביטויים שצוינו אינם שווים זה לזה אם ורק אם מתקיים התנאי:

סמן t=x², ואז t²-8t-2בְּ.

t²-8t-at-2=t²-(a+8)t-2 0

f(t)=t²-(a+8)t-2 0

לכן, הבעיה דורשת שלמשוואה f(t)=0 אין שורשים במרווח , הכרחי ומספיק:

(בעוד השורש הגדול יותר נמצא מחוץ למקטע[מ, נ]).

הצהרה 7. על מנת שאחד משורשי המשוואה הריבועית יהיה קטן מ-M, והשני גדול מ-N (M [M, N] נמצא לחלוטין במרווח בין השורשים, זה הכרחי ומספיק:

דוגמה 6:

מצא את כל הערכים של הפרמטר a שעבורם השורש הקטן יותר של המשוואה x²+(a+1)x+3=0 נמצא במרווח (-1; 3)

פִּתָרוֹן:

תשובה: (-∞; -5)

דוגמה 7:

באילו ערכים של הפרמטר שורש אחד של המשוואה x²-(3a+2)x+2a-1=0 קטן מ-1, והשני גדול מ-2.

פִּתָרוֹן:

תשובה: אין פתרונות.

בדיקת איכות ישימות החומר המוצג

עבודת המבחן בוצעה על ידי ארבעה אנשים: שלושה תלמידי כיתה י"א ותלמיד אחד מכיתה י' (ראה את המשימות בנספח)

כתוצאה מהניתוח עבודת אימותזוהה הצורך לשפר את המיומנויות של פתרון בעיות במיקום שורשי המשוואה הריבועית

סיכום:

במהלך המחקר נבחנו המקרים העיקריים של מיקום השורשים של משוואה ריבועית, ניתנו הצהרות, להן ניתנו איורים שיעזרו להבין כיצד נגזרות הצהרות אלו. חומר זה יקל על הבנת הפתרונות למשימות המכילות פרמטרים על מיקום השורשים של משוואה ריבועית. זה יכול לשמש ללמידה פרטנית, כמו גם לפעילויות חוץ וחוץ-לימודיות במתמטיקה.

סִפְרוּת:

1. בעיות עם P.I. גורנשטיין, .ב. פולונסקי, מ.ס. יקיר

3. חוברת עבודהלהתכונן להסמכה הסופית במתמטיקה ב צורה חדשה(לא מדינה מוסד חינוכי"תקשורת בינלאומית")

4. בית ספר לפתרון בעיות עם פרמטרים, המחברים Sevryukov P.F., Smolyakov A.N.

יישום

משימות:

1. מצא את כל הערכים של הפרמטר a שעבורם שורשי המשוואה 4x²+2(a-1)x-a²+a=0 קטנים מ-1.
2. מצא את כל הערכים של הפרמטר a שעבורם שורשי המשוואה x²+(a-4)x-2a=0 גדולים מ-1
3. באילו ערכים של הפרמטר a שני השורשים של המשוואה x²-ax+2=0 גדולים מ-1 אך פחות מ-3

4. מיקום שורשי טרינום מרובע בהתאם לפרמטר

לעתים קרובות יש בעיות עם פרמטרים שבהם נדרש לקבוע את מיקום השורשים של טרינום מרובע על הציר האמיתי. בהתבסס על ההוראות והסימונים העיקריים של הפסקה הקודמת, שקול את המקרים הבאים:

1. תן טרינום ריבועי, איפה
ונקודה Mעל סרן שׁוֹר. ואז שני הסוסים
טרינום מרובע
יהיה פחות בהחלט M

אוֹ

האיור הגיאומטרי מוצג באיורים 3.1 ו-3.2.

2. תנו טרינום ריבועי, איפה ונקודה Mעל סרן שׁוֹר. אי שיוויון
מחזיק רק אם ורק אם המספרים או
יש סימנים שונים, זה
(איור 4.1 ו-4.2.)

3. תנו טרינום ריבועי, היכן והנקודה Mעל סרן שׁוֹר. ואז שני הסוסים
טרינום ריבועי יהיה גדול יותר Mאם ורק אם מתקיימים התנאים הבאים:

אוֹ

איור גיאומטרי מוצג באיורים 5.1 ו-5.2.

4. תנו טרינום ריבועי, היכן והמרווח (M, M) אז שני השורשים של הטרינום הריבועי שייכים למרווח המצוין אם ורק אם מתקיימים התנאים הבאים:

אוֹ

האיור הגיאומטרי מוצג באיורים 6.1 ו-6.2.

5. תן טרינום ריבועי, שבו , הם השורשים והקטע שלו
. הקטע נמצא במרווח
אם ורק אם מתקיימים התנאים הבאים:

האיור הגיאומטרי מוצג באיורים 7.1 ו-7.2.

דוגמא.מצא את כל ערכי הפרמטריםא, עבור כל אחד מהם שני שורשי המשוואה
יותר מ-2.

פִּתָרוֹן.זה מצוין במצב המשימה. שלמשוואה יש שני שורשים, אז . המצב הנדון מתואר במקרה 3 ומוצג באיור 5.1. ו-5.2.

בוא נמצא,
,

בהתחשב בכל זה, אנו כותבים את הסט של שתי מערכות:

אוֹ

כשפותרים את שתי המערכות הללו, אנחנו מקבלים .

תשובה.עבור כל ערך פרמטר אמהפער, שני שורשי המשוואה גדולים מ-2.

דוגמא.באילו ערכים של הפרמטראאי שיוויון
בוצע עבור כל
?

פִּתָרוֹן.אם הסט איקסהוא הפתרון של אי השוויון הזה, אז מצב הבעיה אומר שהמרווח
חייב להיות בתוך הסט איקס, זה

.

שקול את כל הערכים האפשריים של הפרמטר א.

1. אם a=0, ואז אי השוויון מקבל את הצורה
, והפתרון שלו יהיה המרווח
. במקרה זה מתקיים התנאי ו a=0הוא הפתרון לבעיה.

2. אם
, אז הגרף של הצד הימני של אי השוויון הוא טרינום ריבועי, שענפיו מכוונים כלפי מעלה. הפתרון של אי השוויון תלוי בסימן של .

שקול את המקרה מתי
. לאחר מכן, כדי שהאי-שוויון יחזיק לכולם, נדרש ששורשי הטרינום הריבועי יהיו פחות ממספר-1, כלומר:

אוֹ

פתרון המערכת הזו, אנחנו מבינים
.

אם
, אז הפרבולה שוכנת מעל הציר על אודותאיקס, והפתרון של אי השוויון יהיה כל מספר מקבוצת המספרים הממשיים, כולל המרווח . בוא נמצא כאלה אמהתנאי:

אוֹ

פתרון המערכת הזו, אנחנו מבינים
.

3. אם
, ואז ב
הפתרון לאי השוויון הוא המרווח, שאינו יכול לכלול את המרווח, ואם
לחוסר השוויון הזה אין פתרונות.

שילוב כל הערכים שנמצאו א, אנחנו מקבלים את התשובה.

תשובה.עבור כל ערך פרמטר מהמרווח
אי השוויון מתקיים עבור כל .

דוגמא.עבור אילו ערכים של הפרמטר a קבוצת ערכי הפונקציה מכילה את הקטע
?

פִּתָרוֹן. 1. אם
, זה

א) בשעה א =פונקציה אחת תקבל את הצורה y = 2, וקבוצת הערכים שלו מורכבת מנקודה אחת 2 ואינה מכילה את הקטע;

ב) מתי א =פונקציה -1 תקבל את הצורה y = -2 איקס+2 . מכלול המשמעויות שלו
מכיל קטע, אז א =-1 הוא הפתרון לבעיה.

2. אם
, אז הענפים של הפרבולה מכוונים כלפי מעלה, הפונקציה לוקחת את הערך הקטן ביותר בקודקוד הפרבולה
:

,
.

קבוצת ערכי הפונקציה היא מרווח
, המכיל את הקטע
אם מתקיימים התנאים הבאים:

.

3. אם
, ואז הענפים של הפרבולה מכוונים כלפי מטה, הפונקציה מקבלת את הערך הגדול ביותר בקודקוד הפרבולה
. קבוצת ערכי הפונקציה היא מרווח
, שמכיל את הפלח אם מתקיימים התנאים הבאים:

פתרון מערכת אי השוויון הזו, אנחנו משיגים
.

שילוב הפתרונות, אנחנו מקבלים
.

תשובה.בְּ
קבוצת ערכי הפונקציה מכילה את הקטע.

משימות לפתרון עצמאי

1. מבלי לחשב את שורשי המשוואה הריבועית
, למצוא

א)
, ב)
, V)

2. מצא את קבוצת ערכי הפונקציה

א)
, ב)
, V)
, ז)

3. לפתור משוואות

א)
, ב)

4. באילו ערכים של הפרמטר אשני שורשי המשוואה
לשכב על המרווח (-5, 4)?

5. באילו ערכים של הפרמטר אאי השוויון תקף לכל הערכים איקס?

6. באילו ערכים של הפרמטר אערך הפונקציה הקטן ביותר

על הקטע
הוא -1?

7. באילו ערכים של הפרמטר אהמשוואה
יש שורשים?

קרפובה אירינה ויקטורובנה

תכנית וחומרים חינוכיים של קורס הבחירה במתמטיקה לתלמידי כיתות ח'-ט' "יסודות תורת ההסתברות וסטטיסטיקה מתמטית"

הערת הסבר

כיום, האוניברסליות של חוקים הסתברותיים-סטטיסטיים הופכת ברורה; הם הפכו לבסיס לתיאור התמונה המדעית של העולם. פיזיקה מודרנית, כימיה, ביולוגיה, דמוגרפיה, בלשנות, פילוסופיה, כל המכלול של מדעי החברה-כלכליים מתפתחים על בסיס הסתברותי-סטטיסטי.

ילד בחייו נתקל מדי יום במצבים הסתברותיים. מכלול הסוגיות הקשורות להבנת הקשר בין מושגי הסתברות ומהימנות, בעיית בחירת הפתרונות הטובים ביותר, הערכת מידת הסיכון וסיכויי ההצלחה - כל זאת בתחום האינטרסים האמיתיים של הגיבוש ו. התפתחות עצמית של הפרט.

כל האמור לעיל מחייב להכיר לילד דפוסים הסתברותיים-סטטיסטיים.

מטרת הקורס:להכיר לסטודנטים כמה דפוסים תיאורטיים והסתברותיים ושיטות סטטיסטיות לעיבוד נתונים.

מטרות הקורס

להכיר לתלמידים את המנגנון המושגי הבסיסי של תורת ההסתברות.

למד לקבוע את ההסתברות לאירועים בתכנית המבחנים הקלאסית.

הכירו את השיטות עיבוד ראשונימידע סטטיסטי.

דרישות לרמת השליטה בתכני הקורס

כתוצאה מהשליטה בתוכנית הקורס, התלמידים צריכים לָדַעַת:

מושגי יסוד של תורת ההסתברות: מבחן, תוצאת מבחן, מרחב אירועים יסודיים, אירועים אקראיים, אמינים, בלתי אפשריים, אירועים משותפים ובלתי תואמים;

תנאים של ערכת המבחנים הקלאסית וקביעת ההסתברות לאירוע בסכימת המבחנים הקלאסיים;

קביעת התדירות היחסית של התרחשות האירוע וההסתברות הסטטיסטית;

קביעת סדרת הווריאציות והמאפיינים המספריים העיקריים שלה.

במהלך הקורס על התלמידים לרכוש כישורים:

לקבוע את כל התוצאות האפשריות של הבדיקה, התאימות וחוסר ההתאמה של אירועים;

לפתור בעיות תיאורטיות והסתברותיות לחישוב ההסתברות בתכנית המבחנים הקלאסית;

לחשב את התדירות היחסית של התרחשות אירוע;

לעשות התפלגות סטטיסטית של המדגם ולחשב את המאפיינים המספריים שלו.

התכנית כרוכה בפיתוח תלמידים כישורים:

שימוש באלגוריתמים קיימים ובמידת הצורך העיבוד היצירתי שלהם בתנאים הספציפיים של הבעיה;

פתרון בעיות עצמאי;

שימוש בפתרון בעיות של סכמות כלליות המכילות הגדרות ונוסחאות בסיסיות.

היקף הקורס: הקורס המוצע הוא 20 שעות

תכנון נושאי

	נושאי שיעור	מספר שעות
	מושגי יסוד של תורת ההסתברות.
	ערכת מבחנים קלאסית. קביעת הסתברות בתכנית המבחנים הקלאסית.
	התדירות היא מוחלטת ויחסית.
	הגדרה סטטיסטית של הסתברות.
	אוכלוסיות כלליות ומדגמיות.
	התפלגות סטטיסטית של המדגם.
	מאפיינים מספריים של ההתפלגות הסטטיסטית.
	הערכה סטטיסטית ותחזית.

טקסט ידני

אנשים רבים אוהבים מתמטיקה על אמיתותיה הנצחיות: פעמיים שתיים הן תמיד ארבע, סכום המספרים הזוגיים הוא זוגי, ושטח המלבן שווה למכפלת הצלעות הסמוכות לו. בכל בעיה שפתרת בשיעור מתמטיקה, כולם קיבלו את אותה תשובה - פשוט לא צריך לטעות בפתרון.

החיים האמיתיים אינם כה פשוטים וחד משמעיים. אי אפשר לחזות מראש את התוצאות של תופעות רבות, לא משנה עד כמה יש לנו מידע מלא לגביהן. אי אפשר, למשל, לומר בוודאות באיזה צד ייפול מטבע שהוטל, מתי השלג הראשון יירד בשנה הבאה, או כמה אנשים בעיר ירצו להתקשר בטלפון בשעה הקרובה. אירועים בלתי צפויים כאלה נקראים אַקרַאִי.

עם זאת, למקרה יש גם חוקים משלו, שמתחילים להתבטא עם חזרה חוזרת ונשנית על תופעות אקראיות. אם זורקים מטבע 1000 פעמים, אז ה"נשר" ייפול בערך במחצית מהזמן, מה שאי אפשר לומר על שתיים ואפילו עשר הטלות. שימו לב למילה "בקירוב" - החוק לא קובע שמספר ה"נשרים" יהיה בדיוק 500 או יפול בין 490 ל-510. הוא לא קובע שום דבר בוודאות בכלל, אבל הוא נותן מידה מסוימת של ודאות שחלק אירוע אקראי יתרחש. . קביעות כאלה נלמדות על ידי ענף מיוחד של מתמטיקה - תאוריית ההסתברות.

תורת ההסתברות קשורה קשר בל יינתק עם שלנו חיי היום - יום. זה מספק הזדמנות יוצאת דופן לבסס חוקים הסתברותיים רבים באופן אמפירי, החוזר שוב ושוב על ניסויים אקראיים. החומרים לניסויים אלו יהיו לרוב מטבע רגיל, קוביות, סט של דומינו, רולטה ואפילו חפיסת קלפים. כל אחד מהפריטים הללו, כך או כך, קשור למשחקים. העובדה היא שהמקרה כאן מופיע בצורתו הטהורה ביותר, והבעיות ההסתברותיות הראשונות היו קשורות להערכת סיכויי השחקנים לנצח.

תורת ההסתברות המודרנית התרחקה ממשחקי מזל כמו גיאומטריה מבעיות של ניהול קרקעות, אבל האביזרים שלה הם עדיין מקור המזל הפשוט והאמין ביותר. על ידי תרגול עם גלגל רולטה וקוביה, תלמד כיצד לחשב את ההסתברות לאירועים אקראיים בחיים האמיתיים. מצבי חיים, שיאפשר לכם להעריך את סיכויי ההצלחה שלכם, לבחון השערות, לקבל החלטות לא רק במשחקים ובהגרלות.

סטטיסטיקה מתמטית היא ענף במתמטיקה החוקר שיטות לאיסוף, שיטתיות ועיבוד תוצאות של תצפיות על תופעות אקראיות המוניות במטרה לזהות דפוסים קיימים.

במובן מסוים, משימות סטטיסטיקה מתמטיתהפוכים לבעיות של תורת ההסתברות: עוסקים רק בערכים שהושגו בניסוי משתנים אקראיים, מטרת הסטטיסטיקה היא להעלות ולבדוק השערות לגבי התפלגות משתנים אקראיים אלה ולאמוד את הפרמטרים של התפלגותם.

1. אירועים אקראיים. איך להשוות אירועים?

כמו לכל ענף אחר במתמטיקה, לתורת ההסתברות יש מנגנון מושגי משלה, המשמש בניסוח הגדרות, הוכחת משפטים וגזירת נוסחאות. הבה נבחן את המושגים שבהם נשתמש בהמשך ההסבר של התיאוריה.

ניסוי- יישום של מערכת תנאים.

תוצאת המבחן (אירוע יסודי)- כל תוצאה שעלולה להתרחש במהלך הבדיקה.

דוגמאות.

1) ניסוי:

תוצאות מבחן:ω 1 - נקודה אחת הופיעה על הפנים העליון של הקובייה;

ω 2 - שתי נקודות הופיעו על הפנים העליון של הקובייה;

ω 3 - שלוש נקודות הופיעו על הפנים העליון של הקוביה;

ω 4 - ארבע נקודות הופיעו על הפנים העליון של הקוביה;

ω 5 - חמש נקודות הופיעו על הפנים העליון של הקובייה;

ω 6 - שש נקודות הופיעו על החלק העליון של הקובייה.

בסך הכל, 6 תוצאות מבחן (או 6 אירועים יסודיים) אפשריים.

2) ניסוי:התלמיד ניגשים לבחינה.

תוצאות מבחן:ω 1 - התלמיד קיבל צמד;

ω 2 - התלמיד קיבל שלשה;

ω 3 - התלמיד קיבל ארבע;

ω 4 - התלמיד קיבל חמישייה.

בסך הכל, 4 תוצאות מבחן (או 4 אירועים יסודיים) אפשריים.

תגובה. הסימון ω הוא הסימון הסטנדרטי לאירוע יסודי, בהמשך נשתמש בסימון זה.

נכנה את תוצאות הבדיקה הזו אפשרי באותה מידהאם לתוצאות המשפט יש סיכוי זהה להופיע.

מרחב של אירועים יסודיים- מכלול כל האירועים היסודיים (תוצרי המבחן) שעלולים להופיע במהלך המבחן.

בדוגמאות ששקלנו לעיל, תוארו למעשה מרחבי האירועים היסודיים של מבחנים אלה.

תגובה.מספר הנקודות במרחב האירועים היסודיים (PES), כלומר. מספר האירועים היסודיים יצוין באות נ.

הבה נבחן את המושג העיקרי, בו נשתמש בהמשך.

הגדרה 1.1.אירוע הוא אוסף של מספר מסוים של נקודות TEC.

בעתיד, נסמן אירועים באותיות לטיניות גדולות: א ב ג.

הגדרה 1.2.אירוע שעשוי להתרחש או לא במהלך מבחן נקרא אירוע אקראי.

על ידי קניית כרטיס לוטו, אנו עשויים לזכות או לא; בבחירות הבאות, מפלגת השלטון עשויה לנצח או לא לנצח; בשיעור אפשר לקרוא לך ללוח, או לא לקרוא להם וכו'. כל אלו הן דוגמאות לאירועים אקראיים שבאותם תנאים עשויים להתרחש או לא להתרחש במהלך מבחן.

תגובה.כל אירוע יסודי הוא גם אירוע אקראי.

הגדרה 1.3.אירוע שמתרחש עבור כל תוצאה של משפט נקרא אירוע מסוים.

הגדרה 1.4.אירוע שלא יכול להתרחש בשום תוצאה של הבדיקה נקרא אירוע בלתי אפשרי.

דוגמא.

1) ניסוי:זורקים קובייה.

אירוע א':מספר זוגי של נקודות נפלו על החלק העליון של הקובייה;

אירוע ב':בצד העליון של הקוביה, נפלו מספר נקודות, כפולה של 3;

אירוע ג': 7 נקודות נפלו על החלק העליון של הקוביה;

אירוע D:מספר הנקודות פחות מ-7 נפלו על החלק העליון של הקוביה.

אירועים או INעלול להתרחש או לא להתרחש במהלך הבדיקה, כך שמדובר באירועים אקראיים.

מִקרֶה עםלעולם לא יכול לקרות, אז זה אירוע בלתי אפשרי.

מִקרֶה דמתרחש עם כל תוצאה של הבדיקה, אז זהו אירוע אמין.

אמרנו שאירועים אקראיים באותם תנאים עשויים להתרחש או לא. יחד עם זאת, לאירועים אקראיים מסוימים יש יותר סיכוי להתרחש (מה שאומר שהם יותר סבירים - קרובים יותר לאמינים), בעוד שלאחרים יש פחות סיכויים (הם פחות סבירים - קרובים יותר לבלתי אפשריים). לכן, כקירוב ראשון, ניתן להגדיר את ההסתברות כמידת האפשרות להתרחשות של אירוע.

ברור שאירועים סבירים יותר יתרחשו לעתים קרובות יותר מאשר סבירים פחות. אז אתה יכול להשוות הסתברויות לפי התדירות שבה מתרחשים אירועים.

הבה ננסה למקם את האירועים הבאים בסולם הסתברות מיוחד לפי סדר הגדלת ההסתברות להתרחשותם.

אירוע א':בשנה הבאה יירד השלג הראשון בחברובסק ביום ראשון;

אירוע ב':הכריך שנפל מהשולחן נפל לצד החמאה כלפי מטה;

אירוע ג':כאשר זורקים קובייה, 6 נקודות ייפלו;

אירוע D:כאשר זורקים קובייה, מספר זוגי של נקודות ייפול;

אירוע E:בעת זריקת קובייה, נפלו 7 נקודות;

אירוע ו':כאשר מטילים קובייה, יעלו מספר נקודות פחות מ-7.

לכן, בנקודת ההתחלה של הסולם שלנו, נציב אירועים בלתי אפשריים, שכן מידת האפשרות של התרחשותם (ההסתברות) כמעט שווה ל-0. לפיכך, זה יהיה אירוע ה. IN נקודת סיוםבקנה מידה שלנו, בואו נארגן אירועים אמינים - ו. כל שאר האירועים הם אקראיים, הבה ננסה לסדר אותם על קנה המידה לפי דרגת התרחשותם הגוברת. לשם כך, עלינו לברר אילו מהם סבירים פחות ואילו סבירים יותר. נתחיל באירוע ד: כשאנחנו מגלגלים קובייה, לכל אחד מ-6 הפרצופים יש סיכוי שווה להיות בראש. מספר זוגי של נקודות - על שלוש פנים של הקוביה, בשלוש האחרות - אי זוגי. אז בדיוק חצי מהסיכוי (3 מתוך 6) שהאירוע דיקרה. לכן, אנו מעמידים את האירוע דבאמצע הסקאלה שלנו.

באירוע עםרק הזדמנות אחת מתוך 6 בזמן שיש לאירוע ד- שלוש הזדמנויות מתוך 6 (כפי שגילינו). בגלל זה עםפחות סביר והוא יהיה ממוקם על הסקאלה משמאל לאירוע ד.

מִקרֶה אאפילו פחות סביר מאשר עם, מכיוון שיש 7 ימים בשבועות ובכל אחד מהם השלג הראשון יכול לרדת בסבירות שווה, כך שהאירוע אהזדמנות אחת ב-7. אירוע א, לפיכך, ימוקם אפילו יותר משמאל מהאירוע עם.

הדבר שהכי קשה להציב על הסקאלה הוא אירוע IN. כאן אי אפשר לחשב במדויק את הסיכויים, אבל אפשר להעזר בניסיון החיים: סנדוויץ' נופל על הרצפה עם חמאה למטה לעתים קרובות יותר (יש אפילו "חוק סנדוויץ'"), אז האירוע INהרבה יותר סביר מ ד, אז על הסולם אנו מניחים אותו ימינה מאשר ד. לפיכך, אנו מקבלים את הסולם:

E A C D B F

בלתי אפשרי אקראי ודאי

סולם ההסתברות הבנוי אינו ממש אמיתי - אין לו סימנים מספריים, חלוקות. לפנינו המשימה ללמוד כיצד לחשב את מידת האפשרות של התרחשות (הסתברות) של אירוע.

משרד החינוך ומדיניות הנוער של הרפובליקה החובשית

מוסד אוטונומי של הרפובליקה החובשית

"המכללה החקלאית והטכנולוגית ציבילסקי"

כיוון - פיזית ומתמטית וטכנולוגיית מידע

עבודת מחקר:

מיקום השורשים של טרינום מרובע

העבודה הושלמה:

תלמיד שנה א' גר.14 B

מומחיות "כלכלה"

מְפַקֵחַ:

אשמיקין

אירינה אנטולייבנה,

מורה למתמטיקה

ציווילסק 2012

1. הקדמה.

2. חלק תיאורטי

2.1. מיקום השורשים של טרינום מרובע.

2.2. עשרה כללים למיקום השורשים של טרינום מרובע

3. חלק מעשי

3.1. דוגמאות לפתרון בעיות

3.2. מיקום השורשים ביחס לנקודה אחת.

3.3. מיקום השורשים ביחס לשתי נקודות או יותר.

4. מסקנות.

5. ספרות משומשת.

6. יישומים

מבוא

רלוונטיות: במשימות של ה-GIA (חלק 2) וה-USE במתמטיקה עם תשובה מפורטת (חלק ג'), ישנן משימות עם פרמטרים שגורמות לרוב לקשיים גדולים לתלמידים. יתר על כן, תלמידים חווים לעתים קרובות בעיות פסיכולוגיות, לפחד מבעיות כאלה, כי בבית הספר ובבית הספר הטכני כמעט ולא פותרים בעיות המכילות פרמטרים.

קשיים בפתרון בעיות בפרמטרים נובעים מהעובדה שנוכחותו של פרמטר מאלצת אותנו לפתור את הבעיה לא לפי תבנית, אלא לשקול אירועים שונים, עבור כל אחד מהם שיטות הפתרון שונות באופן משמעותי זו מזו.

בעיות רבות בפרמטרים מצטמצמות לחקר מיקום השורשים של טרינום מרובע ביחס לנקודה נתונה או למרווח נתון (קטע, מרווח, קרן).

מטרת העבודה: לחקור את מיקום השורשים של טרינום ריבועי ביחס לנקודה נתונה או למרווח נתון.

אסוף חומר בנושא זה שקול את הכללים למיקום השורשים של טרינום מרובע. פתרו בעיות באמצעות הכללים למיקום השורשים של טרינום מרובע.

מושא הלימוד: טרינום מרובע ומיקום שורשיו.

1. חיפוש - קולקטיבי.

משמעות מעשית: חומר זה יסייע לסטודנטים המעוניינים להמשיך את לימודיהם באוניברסיטה בהכנה לבחינה.

חלק תיאורטי

2.1. מיקום השורשים של טרינום מרובע

בעיות רבות בפרמטרים מצטמצמות לחקר המיקום של השורשים של טרינום מרובע ביחס לנקודה נתונה או למרווח נתון:

באילו ערכים של הפרמטר השורשים (או השורש) של המשוואה הריבועית גדולים יותר (פחות, לא יותר, לא פחות) ממספר נתון; ממוקם בין שני מספרים נתונים; לא שייכים למרווחים הנתונים וכו' וכו'.

לגרף של הפונקציה הריבועית y \u003d ax² + in + c יש את המיקומים הבאים ביחס לציר ה-x.

https://pandia.ru/text/78/376/images/image002_6.jpg" align="right hspace=12" width="196" height="202"> משוואה ריבועית x²+px+q=0 או לא יש פתרון (פרבולה בצורה D), או שיש לו אחד או שניים שורשים חיוביים(ג) או שיש לו אחד או שניים שורשים שליליים(א), או שיש לו שורשים של סימנים שונים (ב).

הבה ננתח את הפרבולה C. על מנת שלמשוואה יהיו שורשים, יש צורך שהמבחן D ≥ 0. מכיוון ששני שורשי המשוואה חייבים להיות חיוביים בבנייה, האבססיס של קודקוד הפרבולה השוכן בין השורשים הוא חיובי, xb > 0.

הקורינטה של ​​הקודקוד f(xv) ≤ 0 בשל העובדה שדרשנו את קיומם של שורשים.

אם התנאי f(0) > 0 נדרש, אזי, עקב המשכיות הפונקציה הנחקרת, יש נקודה x1(0;xb) כך ש-f(x1) = 0. ברור שזה השורש הקטן יותר של המשוואה. אז, באיסוף כל התנאים יחד, נקבל: למשוואה הריבועית x² + px + q \u003d 0 יש שני שורשים, שיכולים להיות כפולות x1, x2>

מתווכחים בצורה דומה, אנו גוזרים בעקבות הכלליםמיקום השורשים של טרינום מרובע.

2.2. עשרה כללים למיקום השורשים של טרינום מרובע

חוק מספר 1המשוואה הריבועית ax2 + bx + c = 0 (ל-a ≠ אין פתרונות אז

ורק כאשר ד< 0.

כלל 2.1.למשוואה הריבועית (1) יש שני שורשים שונים אם ורק אם,

כאשר D > 0.

כלל 2.2.למשוואה ריבועית (1) יש שני שורשים, אולי מרובים, ואז ו

רק כאשר D ≥ 0.

כלל 3.1.למשוואה ריבועית (1) יש שני שורשים x1< М и х2 >מ' אז ורק

https://pandia.ru/text/78/376/images/image007_15.gif" align="left" width="74 height=42" height="42"> רק כאשר

כלל 4.1.למשוואה הריבועית x2 + px + q = 0 עבור a ≠ 0) יש שניים

שורשים שונים x1, x2 > M if ורק אם

איפה =

כלל 4.2.למשוואה ריבועית יש שני שורשים מרובים אפשריים

x1, x2 > M אם ורק אם

כלל 4.3.למשוואה הריבועית יש שני שורשים שונים x1, x2 ≥ M ואז ו

רק כאשר

https://pandia.ru/text/78/376/images/image018_3.gif" width="162" height="74 src=">

כלל 4.4.למשוואה ריבועית יש 2, יכול להיות שורשים מרובים

x1, x2 ≥ M אם ורק אם

https://pandia.ru/text/78/376/images/image020_2.gif" width="166" height="74 src=">

כלל 5.1.למשוואה ריבועית יש 2 שורשים שונים x1, x2< М тогда и

רק כאשר

כלל 6.1. < N < M < х2 тогда и

רק כאשר

https://pandia.ru/text/78/376/images/image026_1.gif" width="137 height=48" height="48">

כלל 6.2.למשוואה הריבועית יש שורשים x1 = N< М < х2

אם ורק אם

כלל 6.3.למשוואה הריבועית יש שורשים x1< N < M = х2

אם ורק אם

כלל 7.1.למשוואה הריבועית יש שורשים x1< m < x2 < M тогда и только

אז מתי

https://pandia.ru/text/78/376/images/image032_0.gif" width="128 height=48" height="48">

כלל 7.2. ללמשוואה ריבועית יש שורשים N< x1 < M < x2 тогда и только

אז מתי

כלל 8.1. נ < x1 < x2 < M (может быть

שורשים מרובים של N< x1 ≤ x2 < M) тогда и только тогда, когда

https://pandia.ru/text/78/376/images/image039_1.gif" width="142" height="98">

כלל 8.3.למשוואה ריבועית (1) יש שורשים שונים נ≤ x1< x2 ≤ M (может

להיות שורשים מרובים של N< x1 ≤ x2 ≤ M) тогда и только тогда, когда

כלל 8.4.למשוואה ריבועית (1) יש שורשים שונים N ≤ x1< x2 ≤ M (может

להיות מספר שורשים N ≤ x1 ≤ x2 ≤ M) אם ורק אם

https://pandia.ru/text/78/376/images/image044_1.gif" width="144" height="98">

כלל 9למשוואה הריבועית יש שורש אחד בתוך המרווח (N; M),

והשני ממוקם מחוץ למרווח זה אם ורק אם

f(N)f(M)< 0.

כלל 10למשוואה ריבועית (1) יש החלטה בלבד x1 = x2 > M

(x1 = x2< М) тогда и только тогда, когда

חלק מעשי

3.1. דוגמאות לפתרון בעיות.

דוגמה 1. עבור אילו ערכים של a המשוואה x² - 2ax + a² + 2a - 3 = 0

א) אין לו שורשים; ב) יש שורשים של סימנים שונים;

ג) יש שורשים חיוביים; ד) יש שני שורשים שליליים שונים?

פתרון: א) לפי כלל 1, אין פתרונות כאשר המבחין D = - 4(2a-3)< 0, откуда а > 3/2.

ב) לפי כלל 3.1 עבור М = 0 יש לנו f(0)=a² + 2a - 3< 0, откуда а(-3;1).

ג) לפי כלל 4.2 עבור М=0

איפה .

ד) לפי כלל 5.1 עבור М=0

היכן ש< - 3.

3.2. מיקום השורשים ביחס לנקודה אחת.

דוגמה 2 עבור אילו ערכים של הפרמטר a, שורשי המשוואה x² + 2(a + 1) x + a² + a + 1 = 0 נמצאים על הקרן (-2; + ∞).

בואו נעשה ניתוח גרפי של הבעיה. לפי מצב הבעיה, רק שני המקרים הבאים של מיקום הגרף של הפונקציה f (x) \u003d x² + 2 (a + 1) x + a² + a + 1 ביחס לנקודה x \u003d -2 אפשריים.

xv \u003d - a - 1

שני המקרים הללו מתוארים בצורה אנליטית לפי התנאים

זה מרמז ש-0 ≤ a< .

דוגמה 3 . מצא את כל הערכים של הפרמטר a שעבורם שורשי הטרינום הריבועי x² + x + a נבדלים ולא גדולים מ-a. (נספח 1)

3.3. מיקום השורשים ביחס לשתי נקודות או יותר.

דוגמה 4. עבור אילו ערכים של הפרמטר m שורשי המשוואה x² - 2 mx + m² -1= 0 כלולים בין המספרים -2 ו-4.

המבחין של המשוואה D = 4m² - 4m² + 4 = 4 הוא ריבוע מלא. בוא נמצא את שורשי המשוואה: x1 = m + 1, x2 = m - 1. שורשים אלה עומדים בתנאי הנתון אם

תשובה: עבור m(-1;3).

דוגמה 5 באילו ערכים של הפרמטר a יש למשוואה 2x² + (a-4)x + a + 2 = 0 שורשים שונים העונים על אי השוויון ‌│x-1│>2. (נספח 2)

ניתן לכתוב את הפתרון של משוואות ריבועיות עם פרמטרים כסכימה לחקר בעיות הקשורות למיקום השורשים של הטרינום הריבועי Ax² + Bx + C.

לימוד המקרה A = 0 (אם זה תלוי בפרמטרים).

1. מציאת המבחין D במקרה A≠0.

2. אם D הוא הריבוע המלא של ביטוי כלשהו, ​​אז למצוא את השורשים x1, x2 ולהכפיף אותם לתנאי הבעיה.

3. אם השורש הריבועי של D לא מופק, אז הניתוח הגרפי של הבעיה.

4. תיאור אנליטי של מקרים מתאימים למיקום הפרבולה, שלגביהם נלקחים בחשבון הדברים הבאים:

סימן Ø (ערך) של המקדם ב-x²;

Ø סימן (ערך) של המפלה;

Ø סימנים (ערכים) של הפונקציה הריבועית בנקודות הנחקרות;

Ø מיקום החלק העליון של הפרבולה ביחס לנקודות הנבדקות.

4. שילוב של כמה אי-שוויון (מערכות).

5. פתרון המערכות שהתקבלו.

מצאתי 10 כללים למיקום השורשים של טרינום מרובע. פתרו בעיות במיקום השורשים ביחס לנקודה אחת; מיקום השורשים ביחס לשתי נקודות או יותר.

בעלות טכניקות לפתרון בעיות בפרמטרים יכולה להיחשב כקריטריון להכרת הסעיפים העיקריים של המתמטיקה, רמת החשיבה המתמטית והלוגית ותרבות מתמטית.

הפניות

1. מוצ'לוב, ואי-שוויון עם פרמטרים / , .-

צ'בוקסארי: הוצאת Chuvash. אוניברסיטה, שנות ה-200.

2. קוז'וחוב, שיטות לפתרון בעיות בפרמטרים / // מתמטיקה בבית הספר. - 1998. - מס' 6.

3. מוסף חינוכי ומתודולוגי שבועי לעיתון "ראשון בספטמבר" "מתמטיקה" מס' 18, 2002

נספח 1

דוגמה 3 . מצא את כל הערכים של הפרמטר a שעבורם שורשי הטרינום הריבועי x² + x + a נבדלים ולא גדולים מ-a.

xv = -1/2

מצא את המבחין D = 1 - 4a. בהתחשב בכך שהוא לא מופק, בואו נפתור את הדוגמה בצורה גרפית.

בואו נעשה ניתוח גרפי. מכיוון שהשורשים x1, x2 של הפונקציה f(x) = x² + x + a שונים ו-x1 ≤ a, x2 ≤ a, הגרף שלה יכול לקבל רק את המיקומים הבאים.

הבה נתאר את הגרפים הללו בצורה אנליטית.

https://pandia.ru/text/78/376/images/image062_1.gif" width="149" height="48">

אנו מגלים עבור איזה a שורשי המשוואה שונים, כלומר המבחין D = a²-16a חיובי, או ששניהם קטנים מ-1, או ששניהם גדולים מ-3, או שאחד מהם קטן מ-1 , והשני גדול מ-3. גרף של הפונקציה f( x) \u003d 2x² + (a-4) x + a + 2 במקרים אלה מכיל את המיקומים הבאים:

מבחינה אנליטית, הגרפים הללו מתוארים לפי התנאים

משוואות ריבועיות עם פרמטרים

(פיתוח מתודולוגי לתלמידי כיתות ט-יא)

מורה למתמטיקה בקטגוריית ההסמכה הגבוהה ביותר,

סגן מנהל UVR

מגיון 2013

הַקדָמָה

https://pandia.ru/text/80/021/images/image002.png" height="22 src=">2. יישום משפט Vieta

עבודה מדעית פיתוח מתמטיאישיות, אבל גם בכל אחר מחקר מדעי. לכן פתרון בעיות בפרמטרים ובפרט פתרון משוואות ריבועיות עם פרמטרים הוא פרופדיוטיקהעבודת מחקר של תלמידים. ב-USE במתמטיקה (לעתים קרובות משימות C5), GIA (משימות של חלק 2) ובבחינות הכניסה, יש בעיקר שני סוגי משימות עם פרמטרים. ראשית: "עבור כל ערך של הפרמטר, מצא את כל הפתרונות למשוואה או אי-שוויון כלשהי." שנית: "מצא את כל הערכים של הפרמטר, שלכל אחד מהם מתקיימים כמה תנאים עבור משוואה או אי-שוויון נתון." בהתאם לכך, התשובות בשני סוגי הבעיות הללו שונות במהותן. בתשובה לבעיה מהסוג הראשון, רשומים כל הערכים האפשריים של הפרמטר, ופתרונות למשוואה נכתבים עבור כל אחד מהערכים הללו. בתשובה לבעיה מהסוג השני, מצוינים כל ערכי הפרמטרים שבהם מתקיימים התנאים המפורטים בבעיה.

כידוע, מעט מאוד תשומת לב מוקדשת לפתרון בעיות בפרמטרים בבית הספר. לכן, פתרון בעיות בפרמטרים גורם תמיד לקשיים גדולים לתלמידים; קשה לצפות שסטודנטים שהכשרתם לא כללה "טיפול פרמטרי" יצליחו להתמודד בהצלחה עם משימות כאלה באווירה הקשה של מבחן תחרותי, לכן, על התלמידים להתכונן במיוחד ל"מפגש עם פרמטרים". תלמידים רבים תופסים את הפרמטר כמספר "רגיל". אכן, בבעיות מסוימות הפרמטר יכול להיחשב כערך קבוע, אך ערך קבוע זה מקבל ערכים לא ידועים. לכן, יש צורך לשקול את הבעיה עבור כל הערכים האפשריים של זה ערך קבוע. בבעיות אחרות, ייתכן שיהיה נוח להכריז באופן מלאכותי על אחד מהלא ידועים כפרמטר.

לבעיות בפרמטרים יש ערך אבחוני ופרוגנוסטי - בעזרת בעיות בפרמטרים ניתן לבדוק את הידע של הסעיפים המרכזיים במתמטיקה בבית הספר, רמת החשיבה המתמטית והלוגית, המיומנויות הראשוניות של פעילויות המחקר, והכי חשוב, מבטיחים. הזדמנויות לשלוט בהצלחה בקורס המתמטיקה של אוניברסיטה נתונה.

אָנָלִיזָה השתמש באפשרויותבמתמטיקה ובבחינות קבלה לאוניברסיטאות שונות מראה שרוב המשימות המוצעות עם פרמטרים קשורות למיקום השורשים של טרינום מרובע. בהיותה העיקרית בקורס המתמטיקה בבית הספר, הפונקציה הריבועית יוצרת מחלקה נרחבת של בעיות עם פרמטרים, מגוונות בצורה ובתוכן, אך מאוחדת. רעיון נפוץ– הפתרון שלהם מבוסס על תכונות של פונקציה ריבועית. בעת פתרון בעיות כאלה, מומלץ לעבוד עם שלושה סוגים של מודלים:

1. מודל מילולי - תיאור מילולי של המשימה;

2. מודל גיאומטרי - שרטוט של גרף של פונקציה ריבועית;

3. מודל אנליטי - מערכת אי-שוויון, המתארת ​​את המודל הגיאומטרי.

המדריך מכיל משפטים על מיקום השורשים של טרינום ריבועי (תנאים הכרחיים ומספיקים למיקום השורשים של פונקציה ריבועית ביחס ל נקודות שניתנו), היישום של משפט Vieta לפתרון משוואות ריבועיות עם פרמטרים. נָתוּן פתרונות מפורטים 15 משימות עם המלצות מתודולוגיות. מטרת מדריך זה היא לסייע לבוגר ולמורה למתמטיקה בהכנה לקראת מעבר בחינת המדינה המאוחדת וה-GIA במתמטיקה, ובחינת הכניסה לאוניברסיטה בצורה של מבחן או בצורה המסורתית.

https://pandia.ru/text/80/021/images/image004.png" width="16" height="32 src="> - נמצא מימין לקו x = n (תנאי xb>n) ;

3. הפרבולה חותכת עם הישר x = n בנקודה השוכנת בחצי המישור העליון עבור a>0 ובנקודה השוכנת בחצי המישור התחתון עבור a<0 (условие a∙f(n) >0).

https://pandia.ru/text/80/021/images/image007.png" width="266" height="264">.png" width="311" height="264">.png" width= "280" height="240">.png" width="38" height="31 src=">.png" width="263" height="264">.png" width="266" height=" 264">.png" width="311" height="264">.png" width="280" height="264">.png" width="266" height="264">.png" width= "263" height="264">.png" width="280" height="264">.png" width="311" height="264">.png" width="263" height="264" >.png" width="266" height="264">.png" width="290" height="264">.png" width="266" height="264">.png" width="290 " height="264">.png" width="266" height="264">.png" width="263" height="264">.png" width="266" height="264">. png" width="153" height="43 src=">

משפט 10.משוואות ריבועיות x2 + p1x + q1 = 0 ו-x2 + p2x + q2 = 0,

שהמבחנים שלהם אינם שליליים יש לפחות שורש משותף אחד אם ורק אם (q2 – q1)2 = (p2 – p1)(p1q2 – q1p2).

הוכחה.

תן f1(x) = x2 + p1x + q1, f2(x) = x2 + p2x + q2, והמספרים x1, x2 הם השורשים של המשוואה f1(x) = 0. כדי לקבל את המשוואות f1(x) ) = 0 ו- f2( x) = 0 יש לפחות שורש משותף אחד, הכרחי ומספיק ש- f1(x)∙f2(x) = 0, כלומר (x12 + p2x1 + q2)(x22 + p2x2 + q2) = 0 אנו מייצגים את השוויון האחרון בצורה

(x12 + p1x1 + q1 + (p2 – p1)x1 + q2 – q1) (x22 + p1x2 + q1 + (p2 – p1)x2 + q2 – q1) = 0.

מכיוון ש-x12 + p1x1 + q1 = 0 ו-x22 + p1x2 + q1 = 0, אנו מקבלים

((p2 – p1)x1 + (q2 – q1))((p2 – p1)x2 + (q2 – q1)) = 0, כלומר.

(p2 – p1)2x1x2 + (q2 – q1)(p2 – p1)(x1 + x2) + (q2 – q1)2 = 0.

לפי משפט Vieta x1 +x2 = - p1 ו-x1x2 =q1; לָכֵן,

(p2 – p1)2q1 – (q2 – q1)(p2 - p1)p1 + (q2 – q1)2 = 0, או

(q2 – q1)2 = (p2 - p1)((q2 – q1)p1 - (p2 - p1)q1) = (p2 – p1)(q2p1 – q1p1 – p2q1 + p1q1) =

(p2 – p1)(q2p1 – p2q1), שהיה צריך להוכיח.

https://pandia.ru/text/80/021/images/image040.png" width="116" height="65 src=">

משוואה ריבועית גַרזֶן 2 + bx + ג = 0

1) יש שני שורשים חיוביים אמיתיים אם ורק אם מתקיימים בו זמנית התנאים הבאים:

;

2) יש שני שורשים שליליים אמיתיים אם ורק אם התנאים מתקיימים בו זמנית:

;

3) יש שני שורשים אמיתיים של סימנים שונים אם ורק אם התנאים הבאים מתקיימים בו זמנית:

;

4) יש שני שורשים אמיתיים של אותו סימן אם

הערה 1. אם המקדם ב איקס 2 מכיל פרמטר, יש צורך לנתח את המקרה כאשר הוא נעלם.

הערה 2. אם המבחין של משוואה ריבועית הוא ריבוע מושלם, אז בהתחלה נוח יותר למצוא ביטויים מפורשים לשורשים שלה.

הערה 3. אם משוואה המכילה כמה אלמונים היא ריבועית ביחס לאחד מהם, אז המפתח לפתרון הבעיה הוא לעתים קרובות לימוד המבחין שלה.

אנו מציגים תכנית לחקר בעיות הקשורות למיקום השורשים של טרינום מרובעו(איקס) = גַרזֶן2 + bx + ג:

1. לימוד המקרה a = o (אם המקדם הראשון תלוי בפרמטרים).

2. מציאת המבחין D במקרה a≠0.

3. אם D הוא הריבוע המלא של ביטוי כלשהו, ​​אז מציאת השורשים x1, x2 והכפיפות התנאים של הבעיה.

4..png" width="13" height="22 src="> 3. דוגמאות לפתרון בעיות להכנה ל-GIA ולבחינת המדינה המאוחדת במתמטיקה

דוגמה 1פתור את המשוואה ( א - 2)איקס 2 – 2גַרזֶן + 2א – 3 = 0.

פִּתָרוֹן. שקול שני מקרים: a = 2 ו- a ≠ 2. במקרה הראשון, המשוואה המקורית לובשת את הצורה - 4 איקס+ 1 = 0..png" width="255" height="58 src=">

עבור \u003d 1 או \u003d 6, המבחין הוא אפס ולמשוואה הריבועית יש שורש אחד: , כלומר, עבור \u003d 1 נקבל את השורש , ועבור a = 6 - השורש.

ב 1< א < 6 дискриминант положителен и квадратное уравнение имеет два корня: https://pandia.ru/text/80/021/images/image053.png" width="163" height="24 src=">למשוואה אין שורשים; עבור a = 1 למשוואה יש שורש אחד איקס= -1; בְּ- למשוואה יש שני שורשים ; בְּ- א= 2 למשוואה יש שורש בודד; בְּ- א= 6 למשוואה יש שורש בודד.

דוגמה 2באיזה ערך של הפרמטר אהמשוואה ( א - 2)איקס 2 + (4 – 2א)איקס+ 3 = 0 יש שורש ייחודי?

פִּתָרוֹן . אם א= 2, אז המשוואה הופכת ללינארית∙ איקס+ 3 = 0; שאין לו שורשים.

אם א≠ 2, אז המשוואה היא ריבועית ויש לה שורש בודד עם אפס מבחין ד.

ד= 0 ב א 1 = 2 ו א 2 = 5. משמעות א= 2 אינו נכלל, מכיוון שהוא סותר את התנאי שהמשוואה המקורית היא ריבועית.

תשובה : א = 5.

4.

(א - 1)איקס 2 + (2א + 3)איקס + א+ 2 = 0 יש שורשים מאותו סימן?

פִּתָרוֹן. מכיוון שלפי מצב הבעיה, המשוואה הנחשבת היא ריבועית, זה אומר ש א≠ 1. ברור שמצב הבעיה מרמז גם על קיומם של שורשים של המשוואה הריבועית, כלומר המבחין אינו שלילי

ד = (2א + 3)2 – 4(א - 1)(א + 2) = 8א + 17.

מכיוון שלפי תנאי, השורשים חייבים להיות מאותו סימן, אם כן איקס 1∙איקס 2 > 0, כלומר..png" width="149" height="21 src=">. בכפוף לתנאים ד≥ 0 ו א≠ 1 נקבל https://pandia.ru/text/80/021/images/image060.png" width="191" height="52 src=">.

דוגמה 3מצא את כל הערכים של a שעבורם יש למשוואה x2 - 2(a - 1)x + (2a + 1) = 0 שני שורשים חיוביים.

פִּתָרוֹן. ממשפט Vieta, על מנת ששני השורשים x1 ו-x2 של משוואה זו יהיו חיוביים, יש צורך ומספיק שהמבחן של הטרינום הריבועי x2 - 2(a - 1)x + (2a + 1) יהיה לא- שלילי, והמכפלה x1 ∙ x2 והסכום x1 + x2 היו חיוביים. אנחנו מבינים שכל זה מספק את המערכת

ורק הם הפתרונות לבעיה. מערכת זו מקבילה למערכת

הפתרון שלו, ומכאן הבעיה עצמה, הם כולם מספרים מהמרווח
, זה
נחזור לדוגמא 1: מצא את כל הערכים של הפרמטר c עבור שניהם
השורשים של המשוואה הריבועית x2+4cx+(1−2c+4c2)=0 שונים ו
פחות מ- 1. (לפתרון יש צורך להשתמש במשפט
1.)
דוגמה 2: עבור אילו ערכים אמיתיים של k שני השורשים (כולל
כפולות) של המשוואה (1 + k)x2 - 3kx + 4k = 0 גדול מ-1? (לפתרונות
יש צורך להשתמש בקביעה 3.)
II. איחוד החומר המכוסה. עבודה מעשית ב
קבוצות.
קבוצה אחת:
1. עבור אילו ערכים של k הוא המספר 2 בין השורשים של משוואת 2x2
1
2 x + (k - 3)(k + 5) = 0?
–
2. באילו ערכים של הפרמטר a שני השורשים של המשוואה x2 - ax + 2 = 0
לשכב במרווח (0; 3)?

קבוצה 2:
1. עבור אילו ערכים של k הוא המספר 3 בין שורשי המשוואה x2
+
x + (k - 1)(k + 7) = 0?
2. האם ישנם ערכים של הפרמטר a כך ששורשי המשוואה x2 +
2x + a = 0 נמצאים בין -1 ל-1?
קבוצה 3:
1. מצא את קבוצת הערכים של הפרמטר k, כאשר המספר 2 הוא
בין שורשי המשוואה 9x2 - 6x - (k - 2) (k + 2) = 3.
2. עבור אילו ערכים של הפרמטר a כל הפתרונות של המשוואה (a - 1)x2 - (a +
1) x + a = 0 יש פתרון ייחודי המקיים את התנאי 0<
איקס< 3?
III. שיעורי בית.
1. עבור אילו ערכים של הפרמטר a שני שורשי המשוואה (a + 4)x2 - 2(a +
2)x + 3(a + 6) = 0 הם חיוביים?
2. באילו ערכים של הפרמטר a שני השורשים של המשוואה (a - 3)x2 - 3(a -
4) x + 4a - 16 = 0 שייכים למרווח (2; 5)?
3. באילו ערכים של הפרמטר אחד משורשי המשוואה 2x2 - 2x -
3a - 2 = 0 גדול מ-1 והשני קטן מ-1?