סינוס, קוסינוס, טנגנס, קוטנגנט של זווית חדה. פונקציות טריגונומטריות. סינוס, קוסינוס, טנגנס וקוטנגנט בטריגונומטריה: הגדרות, דוגמאות

ראשית, שקול מעגל עם רדיוס 1 ובמרכזו (0;0). עבור כל αЄR אפשר לצייר רדיוס 0A כך שמידת הרדיאן של הזווית בין 0A לציר 0x שווה ל-α. הכיוון נגד כיוון השעון נחשב חיובי. תנו לקצה רדיוס A להיות קואורדינטות (a,b).

הגדרה של סינוס

הגדרה: המספר b, השווה לאידינטה של רדיוס היחידה הבנויה בצורה המתוארת, מסומן ב-sinα ונקרא סינוס של הזווית α.

דוגמה: sin 3π cos3π/2 = 0 0 = 0

הגדרה של קוסינוס

הגדרה: המספר a, השווה לאבססיסה של קצה רדיוס היחידה, בנוי בצורה המתוארת, מסומן ב-cosα ונקרא הקוסינוס של הזווית α.

דוגמה: cos0 cos3π + cos3.5π = 1 (-1) + 0 = 2

דוגמאות אלו משתמשות בהגדרה של הסינוס והקוסינוס של זווית במונחים של הקואורדינטות של קצה רדיוס היחידה ומעגל היחידה. עבור ייצוג חזותי יותר, יש צורך לצייר מעגל יחידה ולהניח בצד את הנקודות המתאימות עליו, ולאחר מכן לחשב את האבססיס שלהם כדי לחשב את הקוסינוס והאורדיטות כדי לחשב את הסינוס.

הגדרה של משיק

הגדרה: הפונקציה tgx=sinx/cosx עבור x≠π/2+πk, kЄZ, נקראת הקוטנגנט של הזווית x. התחום של הפונקציה tgx הוא כל המספרים הממשיים, מלבד x=π/2+πn, nЄZ.

דוגמה: tg0 tgπ = 0 0 = 0

דוגמה זו דומה לקודמתה. כדי לחשב את הטנגנס של זווית, אתה צריך לחלק את האסמינטה של נקודה באבססיס שלה.

הגדרה של קוטנגנט

הגדרה: הפונקציה ctgx=cosx/sinx ב-x≠πk, kЄZ נקראת הקוטנגנט של הזווית x. תְחוּם פונקציות ctgx= - כל המספרים הממשיים מלבד הנקודות x=πk, kЄZ.

שקול דוגמה על משולש ישר זווית רגילה

כדי להבהיר יותר, מהו קוסינוס, סינוס, טנגנס וקוטנגנטי. שקול דוגמה על משולש ישר זווית רגילה עם זווית y ו הצדדים a,b,c. Hypotenuse c, רגליים a ו-b, בהתאמה. זווית בין hypotenuse c לרגל b y.

הַגדָרָה:הסינוס של הזווית y הוא היחס בין הרגל הנגדית לתחתית: siny \u003d a / c

הַגדָרָה:הקוסינוס של הזווית y הוא היחס בין הרגל הסמוכה לתחתית: сosy= v/s

הַגדָרָה:הטנגנס של הזווית y הוא היחס בין הרגל הנגדית לזו הסמוכה: tgy = a / b

הַגדָרָה:הקוטנגנט של הזווית y הוא היחס בין הרגל הסמוכה לזו הנגדית: ctgy = in / a

סינוס, קוסינוס, טנגנס וקוטנגנט נקראים גם פונקציות טריגונומטריות. לכל זווית יש סינוס וקוסינוס משלה. וכמעט לכל אחד יש את המשיק והקוטנגנט שלו.

מאמינים שאם נותנים לנו זווית, אז הסינוס, הקוסינוס, הטנגנס והקוטנגנט שלו ידועים לנו! ולהיפך. בהינתן הסינוס, או כל פונקציה טריגונומטרית אחרת, בהתאמה, אנו יודעים את הזווית. אפילו טבלאות מיוחדות נוצרו, שבהן נכתבות פונקציות טריגונומטריות לכל זווית.

אני חושב שמגיע לך יותר מזה. הנה המפתח שלי לטריגונומטריה:

צייר את הכיפה, הקיר והתקרה
פונקציות טריגונומטריות אינן אלא אחוזים משלוש הצורות הללו.

מטפורה לסינוס ולקוסינוס: כיפה

במקום להסתכל רק על המשולשים עצמם, דמיינו אותם בפעולה על ידי מציאת דוגמה מסוימת מהחיים האמיתיים.

דמיינו שאתם באמצע כיפה ורוצים לתלות מסך מקרן קולנוע. אתה מפנה את האצבע שלך לעבר הכיפה בזווית "x", וצריך לתלות מסך מאותה נקודה.

הזווית שאתה מצביע עליה קובעת:

sine(x) = sin(x) = גובה המסך (נקודת ההרכבה של הרצפה עד הכיפה)
cosine(x) = cos(x) = מרחק ממך למסך (לפי קומה)
hypotenuse, המרחק ממך לחלק העליון של המסך, תמיד זהה, שווה לרדיוס הכיפה

האם אתה רוצה שהמסך יהיה כמה שיותר גדול? תלה אותו ממש מעליך.

האם אתה רוצה שהמסך יהיה תלוי כמה שיותר רחוק ממך? תלו אותו ישר בניצב. למסך יהיה גובה אפס במיקום זה וייתלה אחורה ככל שביקשתם.

הגובה והמרחק מהמסך הם פרופורציונליים הפוך: ככל שהמסך תלוי קרוב יותר, כך גובהו יהיה גבוה יותר.

סינוס וקוסינוס הם אחוזים

אף אחד בשנות לימודיי, אבוי, לא הסביר לי שהפונקציות הטריגונומטריות סינוס וקוסינוס אינן אלא אחוזים. הערכים שלהם נעים בין +100% ל-0 עד -100%, או ממקסימום חיובי לאפס למקסימום שלילי.

נניח ששילמתי מס של 14 רובל. אתה לא יודע כמה זה. אבל אם תגידו ששילמתי 95% מס, תבינו שפשוט עוררו אותי כמו דביק.

גובה מוחלט לא אומר כלום. אבל אם ערך הסינוס הוא 0.95, אז אני מבין שהטלוויזיה תלויה כמעט על הכיפה שלך. בקרוב מאוד הוא יגיע לגובה המרבי שלו במרכז הכיפה, ואז יתחיל לרדת שוב.

איך אנחנו יכולים לחשב את האחוז הזה? פשוט מאוד: חלקו את גובה המסך הנוכחי במקסימום האפשרי (רדיוס הכיפה, הנקרא גם hypotenuse).

בגלל זהנאמר לנו ש"קוסינוס = רגל נגדית / תחתון". כל זה על מנת לקבל אחוזים! הדרך הטובה ביותר להגדיר את הסינוס היא "אחוז הגובה הנוכחי מהמקסימום האפשרי". (הסינוס הופך לשלילי אם הזווית שלך מצביעה "מתחת לאדמה". הקוסינוס הופך לשלילי אם הזווית מצביעה על נקודת הכיפה מאחוריך.)

בוא נפשט את החישובים על ידי הנחה שאנו נמצאים במרכז מעגל היחידה (רדיוס = 1). אנחנו יכולים לדלג על החלוקה ופשוט לקחת את הסינוס שווה לגובה.

כל מעגל הוא בעצם מעגל בודד, בקנה מידה למעלה או למטה גודל נכון. אז קבע את הקשרים על מעגל היחידה והחל את התוצאות על גודל המעגל המסוים שלך.

ניסוי: קח כל פינה וראה איזה אחוז מגובה לרוחב היא מציגה:

גרף הצמיחה של ערך הסינוס אינו רק קו ישר. 45 המעלות הראשונות מכסות 70% מהגובה, ו-10 המעלות האחרונות (מ-80° ל-90°) מכסות רק 2%.

זה יבהיר לך יותר: אם אתה הולך במעגל, ב-0° אתה עולה כמעט אנכית, אבל ככל שמתקרבים לראש הכיפה, הגובה משתנה פחות ופחות.

טנג'נט וסיקנט. קִיר

יום אחד שכן בנה חומה ממש גב אל גבלכיפה שלך. בכי את הנוף שלך מהחלון ו מחיר טובלמכירה חוזרת!

אבל האם אפשר איכשהו לנצח במצב הזה?

כמובן שכן. מה אם נתלה מסך קולנוע ממש על הקיר של השכן? אתה מכוון לפינה (x) ומקבל:

tan(x) = tan(x) = גובה המסך על הקיר
מרחק ממך לקיר: 1 (זה הרדיוס של הכיפה שלך, הקיר לא זז ממך לשום מקום, נכון?)
secant(x) = sec(x) = "אורך הסולם" ממך שעומד במרכז הכיפה ועד לחלק העליון של המסך התלוי

בואו נבהיר כמה דברים לגבי המשיק, או גובה המסך.

הוא מתחיל ב-0, ויכול להגיע גבוה לאין שיעור. אתה יכול למתוח את המסך גבוה יותר ויותר על הקיר כדי לקבל רק קנבס אינסופי לצפייה בסרט האהוב עליך! (בשביל ענק כזה, כמובן, תצטרכו להוציא הרבה כסף).
טנגנס הוא רק גרסה מוגדלת של סינוס! ובעוד שצמיחת הסינוס מואטת ככל שמתקדמים לכיוון החלק העליון של הכיפה, הטנגנס ממשיך לגדול!

לסקאנסו יש גם במה להתפאר:

הקטע מתחיל ב-1 (הסולם נמצא על הרצפה, הרחק ממך לכיוון הקיר) ומתחיל לעלות משם
הסקאנט תמיד ארוך מהמשיק. הסולם המשופע שאתה תולה איתו את המסך שלך צריך להיות ארוך יותר מהמסך עצמו, נכון? (בגדלים לא מציאותיים, כשהמסך כל כך ארוך וצריך למקם את הסולם כמעט אנכית, הגדלים שלהם כמעט זהים. אבל גם אז הסקאנט יהיה קצת יותר ארוך).

זכרו שהערכים הם אָחוּז. אם תחליט לתלות את המסך בזווית של 50 מעלות, tan(50)=1.19. המסך שלך גדול ב-19% מהמרחק לקיר (רדיוס הכיפה).

(הזן x=0 ובדקו את האינטואיציה שלכם - tan(0) = 0 ו-sec(0) = 1.)

קוטנגנט וקוסקנט. תִקרָה

באופן לא ייאמן, השכן שלך החליט לבנות תקרה מעל הכיפה שלך. (מה נסגר איתו? הוא כנראה לא רוצה שתציץ עליו בזמן שהוא מסתובב בחצר עירום...)

ובכן, הגיע הזמן לבנות יציאה לגג ולדבר עם השכן. אתה בוחר את זווית הנטייה, ומתחיל לבנות:

המרחק האנכי בין מוצא הגג לרצפה הוא תמיד 1 (רדיוס הכיפה)
cotangent(x) = cot(x) = מרחק בין ראש הכיפה לנקודת היציאה
cosecant(x) = csc(x) = אורך הנתיב שלך לגג

המשיק והסקאנט מתארים את הקיר, ואילו הקוטנגנט והקוסקנט מתארים את הרצפה.

המסקנות האינטואיטיביות שלנו הפעם דומות למסקנות הקודמות:

אם אתה לוקח זווית של 0°, היציאה שלך לגג תימשך לנצח מכיוון שהיא לעולם לא תגיע לתקרה. בְּעָיָה.
ה"גרם מדרגות" הקצר ביותר לגג יתקבל אם תבנה אותו בזווית של 90 מעלות לרצפה. הקוטנגנט יהיה שווה ל-0 (אנחנו לא זזים לאורך הגג בכלל, אנחנו יוצאים בניצב לחלוטין), והקוסקנט יהיה שווה ל-1 ("אורך הסולם" יהיה מינימלי).

דמיינו חיבורים

אם כל שלושת המקרים מצוירים בשילוב כיפה-קיר-רצפה, יתקבלו הדברים הבאים:

ובכן, וואו, הכל אותו משולש, מוגדל בגודל כדי להגיע לקיר ולתקרה. יש לנו צלעות אנכיות (סינוס, טנגנס), צלעות אופקיות (קוסינוס, קוטנגנט) ו"היפוטנוזים" (סקאנט, קוסקונס). (ניתן לראות מהחצים עד כמה כל אלמנט מגיע. הקוסקונט הוא המרחק הכולל ממך לגג).

קצת קסם. כל המשולשים חולקים את אותו השוויון:

ממשפט פיתגורס (a 2 + b 2 = c 2) אנו רואים כיצד צלעותיו של כל משולש מחוברות. בנוסף, גם יחסי גובה-רוחב חייבים להיות זהים עבור כל המשולשים. (פשוט צעד אחורה מהמשולש הגדול ביותר לקטן יותר. כן, הגודל השתנה, אבל הפרופורציות של הצלעות יישארו זהות).

בידיעה איזו צלע בכל משולש היא 1 (רדיוס הכיפה), נוכל בקלות לחשב ש"sin/cos = tan/1".

תמיד ניסיתי לזכור את העובדות הללו באמצעות הדמיה פשוטה. בתמונה ניתן לראות בבירור את התלות הללו ולהבין מאיפה הן מגיעות. טכניקה זו עדיפה בהרבה משינון נוסחאות יבשות.

אל תשכח זוויות אחרות

ששש... אין צורך להיתלות בגרף אחד, מתוך מחשבה שהמשיק תמיד קטן מ-1. אם תגדיל את הזווית, תוכל להגיע לתקרה מבלי להגיע לקיר:

קשרים פיתגוריים תמיד עובדים, אבל הגדלים היחסיים יכולים להיות שונים.

(בטח שמתם לב שהיחס בין סינוס לקוסינוס הוא תמיד הקטן ביותר מכיוון שהם סגורים בתוך כיפה.)

לסיכום: מה אנחנו צריכים לזכור?

עבור רובנו, הייתי אומר שזה יספיק:

טריגונומטריה מסבירה את האנטומיה של עצמים מתמטיים כמו עיגולים ומרווחים חוזרים
אנלוגיית הכיפה/קיר/גג מראה את הקשר בין פונקציות טריגונומטריות שונות
תוֹצָאָה פונקציות טריגונומטריותהם האחוזים שאנו מיישמים על התרחיש שלנו.

אתה לא צריך לשנן נוסחאות כמו 1 2 + cot 2 = csc 2 . הם מתאימים רק למבחנים מטופשים שבהם הכרת עובדה מוצגת כהבנתה. קחו דקה לצייר חצי עיגול בצורת כיפה, קיר וגג, חתמו על האלמנטים, וכל הנוסחאות יתבקשו עבורכם על הנייר.

יישום: פונקציות הפוכות

כל פונקציה טריגונומטרית לוקחת זווית כקלט ומחזירה את התוצאה באחוזים. sin(30) = 0.5. המשמעות היא שזווית של 30 מעלות תופסת 50% מהגובה המרבי.

הפונקציה הטריגונומטרית ההפוכה נכתבת כ-sin -1 או arcsin ("ארקסין"). זה כתוב לעתים קרובות גם בשפות תכנות שונות.

אם הגובה שלנו הוא 25% מגובה הכיפה, מה הזווית שלנו?

בטבלת הפרופורציות שלנו, ניתן למצוא את היחס שבו מחלקים את הסקאנט ב-1. לדוגמה, הסקאנט ב-1 (היפותנוסה לאופקית) יהיה שווה ל-1 חלקי הקוסינוס:

נניח שהסקאנט שלנו הוא 3.5, כלומר. 350% מרדיוס מעגל היחידה. לאיזו זווית נטייה לקיר מתאים ערך זה?

נספח: כמה דוגמאות

דוגמה: מצא את הסינוס של זווית x.

משימה משעממת. בואו נסבך את ה"מצא את הסינוס" הבנאלי ל"מהו הגובה כאחוז מהמקסימום (היפוטנוז)?".

ראשית, שימו לב שהמשולש מסובב. אין בזה שום דבר רע. למשולש יש גם גובה, הוא מוצג בירוק באיור.

למה שווה התחתון? לפי משפט פיתגורס, אנו יודעים ש:

3 2 + 4 2 = hypotenuse 2 25 = hypotenuse 2 5 = hypotenuse

טוֹב! הסינוס הוא אחוז הגובה מהצלע הארוכה ביותר של המשולש, או התחתון. בדוגמה שלנו, הסינוס הוא 3/5 או 0.60.

כמובן, אנחנו יכולים ללכת בכמה דרכים. עכשיו אנחנו יודעים שהסינוס הוא 0.60 ואנחנו יכולים פשוט למצוא את הקשת:

Asin(0.6)=36.9

והנה גישה נוספת. שימו לב שהמשולש הוא "פנים אל פנים עם הקיר", ולכן נוכל להשתמש בטנג' במקום בסינוס. הגובה הוא 3, המרחק לקיר הוא 4, כך שהמשיק הוא ¾ או 75%. נוכל להשתמש בממשק הקשת כדי לעבור מאחוז חזרה לזווית:

Tan = 3/4 = 0.75 atan(0.75) = 36.9 דוגמה: האם תשחה לחוף?

אתה בסירה ויש לך מספיק דלק כדי להפליג 2 ק"מ. אתה נמצא כעת 0.25 ק"מ מהחוף. באיזו זווית מקסימלית לחוף אתה יכול לשחות אליו כדי שיהיה לך מספיק דלק? תוספת למצב הבעיה: יש לנו רק טבלה של ערכי קוסינוס קשת.

מה יש לנו? ניתן לייצג את קו החוף כ"קיר" במשולש המפורסם שלנו, ואת "אורך המדרגות" המחוברים לקיר ניתן לייצג כמרחק המקסימלי האפשרי בסירה לחוף (2 ק"מ). מגיח קטע.

ראשית, עליך לעבור לאחוזים. יש לנו 2 / 0.25 = 8, מה שאומר שאנחנו יכולים לשחות פי 8 מהמרחק הישר לחוף (או לקיר).

נשאלת השאלה "מהו הסקאנט 8?". אבל אנחנו לא יכולים לתת לזה תשובה, מכיוון שיש לנו רק קוסינוס קשת.

אנו משתמשים בתלות שנגזרו בעבר כדי למפות את הסקאנט לקוסינוס: "sec/1 = 1/cos"

הססקנט של 8 שווה לקוסינוס של ⅛. זווית שהקוסינוס שלה הוא ⅛ היא acos(1/8) = 82.8. וזו הזווית הגדולה ביותר שאנו יכולים להרשות לעצמנו על סירה עם כמות הדלק שצוינה.

לא נורא, נכון? ללא האנלוגיה של כיפה-קיר-תקרה, הייתי מתבלבל בחבורה של נוסחאות וחישובים. הדמיה של הבעיה מפשטת מאוד את החיפוש אחר פתרון, חוץ מזה, מעניין לראות איזו פונקציה טריגונומטרית תעזור בסופו של דבר.

עבור כל משימה, חשבו כך: האם אני מעוניין בכיפה (sin/cos), קיר (שיזוף/שנייה) או תקרה (מיטת תינוק/csc)?

והטריגונומטריה תהפוך להרבה יותר נעימה. חישובים קלים עבורך!

במאמר זה נראה כיצד הגדרות של סינוס, קוסינוס, טנגנס וקוטנגנט של זווית ומספר בטריגונומטריה. כאן נדבר על סימון, ניתן דוגמאות לרשומות, ניתן איורים גרפיים. לסיכום, אנו יוצרים הקבלה בין ההגדרות של סינוס, קוסינוס, טנגנס וקוטנגנט בטריגונומטריה ובגיאומטריה.

ניווט בדף.

הגדרה של סינוס, קוסינוס, טנגנס וקוטנגנטי

בואו לעקוב אחר איך נוצר המושג סינוס, קוסינוס, טנגנס וקוטנגנט בקורס המתמטיקה בבית הספר. בשיעורי גיאומטריה ניתנת ההגדרה של סינוס, קוסינוס, טנגנס וקוטנגנט זוית חדהבמשולש ישר זווית. ובהמשך נלמדת טריגונומטריה, המתייחסת לסינוס, קוסינוס, טנגנס וקוטנגנט של זווית הסיבוב והמספר. אנו נותנים את כל ההגדרות הללו, נותנים דוגמאות ונותנים את ההערות הנדרשות.

זווית חדה במשולש ישר זווית

ממהלך הגיאומטריה ידועות ההגדרות של הסינוס, הקוסינוס, הטנגנס והקוטנגנטי של זווית חדה במשולש ישר זווית. הם ניתנים כיחס בין הצלעות של משולש ישר זווית. אנו מציגים את הניסוחים שלהם.

הַגדָרָה.

סינוס של זווית חדה במשולש ישר זוויתהוא היחס בין הרגל הנגדית לתחתית.

הַגדָרָה.

קוסינוס של זווית חדה במשולש ישר זוויתהוא היחס בין הרגל הסמוכה לתחתית.

הַגדָרָה.

טנגנט של זווית חדה במשולש ישר זוויתהוא היחס בין הרגל הנגדית לרגל הסמוכה.

הַגדָרָה.

קוטנגנט של זווית חדה במשולש ישר זוויתהוא היחס בין הרגל הסמוכה לרגל הנגדית.

גם הסימון של סינוס, קוסינוס, טנגנס וקוטנגנט מובא שם - sin, cos, tg ו-ctg, בהתאמה.

לדוגמה, אם ABC הוא משולש ישר זווית עם זווית ישרה C, אזי הסינוס של הזווית החדה A שווה ליחס בין הרגל הנגדית BC לבין היריעה AB, כלומר sin∠A=BC/AB.

הגדרות אלה מאפשרות לך לחשב את ערכי הסינוס, הקוסינוס, הטנגנס והקוטנגנטי של זווית חדה מהאורכים הידועים של הצלעות של משולש ישר זווית, כמו גם מהערכים הידועים של הסינוס, הקוסינוס, משיק, קוטנגנט ואורך של אחת הצלעות, מצא את אורכי הצלעות האחרות. לדוגמה, אם היינו יודעים שבמשולש ישר זווית הרגל AC היא 3 והתחתון AB הוא 7, אז נוכל לחשב את הקוסינוס של הזווית החדה A בהגדרה: cos∠A=AC/AB=3/7 .

זווית סיבוב

בטריגונומטריה הם מתחילים להסתכל על הזווית בצורה רחבה יותר - הם מציגים את המושג זווית סיבוב. זווית הסיבוב, בניגוד לזווית חדה, אינה מוגבלת על ידי מסגרות מ-0 עד 90 מעלות, זווית הסיבוב במעלות (וברדיאנים) יכולה להתבטא בכל מספר ממשי מ-∞ עד +∞.

לאור זה, ההגדרות של הסינוס, הקוסינוס, הטנגנס והקוטנגנט אינן עוד זווית חדה, אלא זווית בסדר גודל שרירותי - זווית הסיבוב. הם ניתנים דרך קואורדינטות ה-x וה-y של הנקודה A 1, שאליה עוברת מה שנקרא נקודת ההתחלה A(1, 0) לאחר שהיא מסתובבת דרך זווית α סביב הנקודה O - תחילתה של מערכת קואורדינטות קרטזית מלבנית. ומרכז מעגל היחידה.

הַגדָרָה.

סינוס זווית סיבובα הוא הסמין של הנקודה A 1 , כלומר, sinα=y .

הַגדָרָה.

קוסינוס של זווית הסיבובα נקראת האבססיס של הנקודה A 1 , כלומר cosα=x .

הַגדָרָה.

טג'נט של זווית סיבובα הוא היחס בין הסמין של נקודה A 1 לאבסקיסה שלה, כלומר tgα=y/x .

הַגדָרָה.

הקוטנגנט של זווית הסיבובα הוא היחס בין האבססיס של הנקודה A 1 לארינטה שלה, כלומר, ctgα=x/y .

הסינוס והקוסינוס מוגדרים לכל זווית α , מכיוון שתמיד נוכל לקבוע את האבססיס והאורדינטה של נקודה, שמתקבלת על ידי סיבוב נקודת ההתחלה דרך הזווית α . ומשיק וקוטנגנט אינם מוגדרים לכל זווית. המשיק אינו מוגדר עבור זוויות כאלה α שבהן הנקודה ההתחלתית הולכת לנקודה בעלת אבססיס אפס (0, 1) או (0, −1), וזה מתרחש בזוויות 90°+180° k , k∈Z (π /2+π k רד). ואכן, בזוויות סיבוב כאלה, הביטוי tgα=y/x אינו הגיוני, מכיוון שהוא מכיל חלוקה באפס. באשר לקוטנגנט, הוא לא מוגדר עבור זוויות כאלה α שבהן נקודת ההתחלה הולכת לנקודה בעלת סדין אפס (1, 0) או (−1, 0), וזה המקרה עבור זוויות 180° k , k ∈Z (π k רד).

אז, הסינוס והקוסינוס מוגדרים עבור כל זוויות סיבוב, הטנגנס מוגדר עבור כל הזוויות מלבד 90°+180° k , k∈Z (π/2+π k rad), והקוטנגנט הוא עבור כל הזוויות מלבד 180 ° ·k , k∈Z (π·k רד).

הסימונים שכבר ידועים לנו מופיעים בהגדרות sin, cos, tg ו-ctg, הם משמשים גם לציון הסינוס, הקוסינוס, הטנגנס והקוטנגנט של זווית הסיבוב (לעיתים ניתן למצוא את הסימון tan ו-cot המקביל tangens ו קוטנגנט). אז ניתן לכתוב את הסינוס של זווית הסיבוב של 30 מעלות כ-sin30°, הרשומות tg(−24°17′) ו-ctgα מתאימות לטנגנס של זווית הסיבוב −24 מעלות 17 דקות ולקוטנגנט של זווית הסיבוב α . נזכיר שכאשר כותבים את מידת הרדיאן של זווית, לעתים קרובות מושמט הסימון "רד". לדוגמה, הקוסינוס של זווית סיבוב של שלושה pi rads מסומן בדרך כלל cos3 π .

לסיכום פסקה זו, ראוי לציין שבדיבור על הסינוס, הקוסינוס, הטנגנס והקוטנגנט של זווית הסיבוב, מושמט לעתים קרובות את הביטוי "זווית סיבוב" או המילה "סיבוב". כלומר, במקום הביטוי "סינוס של זווית הסיבוב אלפא", בדרך כלל משתמשים בביטוי "סינוס של זווית אלפא", או אפילו יותר קצר - "סינוס של אלפא". אותו הדבר חל על קוסינוס, וטנגנס, וקוטנגנט.

נניח גם שההגדרות של הסינוס, הקוסינוס, הטנגנס והקוטנגנט של זווית חדה במשולש ישר זווית תואמות את ההגדרות שניתנו זה עתה עבור הסינוס, הקוסינוס, הטנגנס והקוטנגנטי של זווית סיבוב הנעה בין 0 ל-90 מעלות. אנו נבסס זאת.

מספרים

הַגדָרָה.

סינוס, קוסינוס, טנגנס וקוטנגנט של מספר t נקרא מספר, שווה לסינוס, קוסינוס, טנגנס וקוטנגנט של זווית הסיבוב ברדיאנים t, בהתאמה.

לדוגמה, הקוסינוס של 8 π הוא, בהגדרה, מספר השווה לקוסינוס של זווית של 8 π רד. והקוסינוס של הזווית ב-8 π רד שווה לאחד, לכן הקוסינוס של המספר 8 π שווה ל-1.

ישנה גישה נוספת להגדרת הסינוס, הקוסינוס, הטנגנס והקוטנגנטי של מספר. היא מורכבת מהעובדה שלכל מספר ממשי t מוקצית נקודה של מעגל היחידה שמרכזה במקור מערכת הקואורדינטות המלבנית, והסינוס, הקוסינוס, הטנגנס והקוטנגנטי נקבעים במונחים של הקואורדינטות של נקודה זו. בואו נתעכב על זה ביתר פירוט.

הבה נראה כיצד נוצרת ההתאמה בין מספרים ממשיים ונקודות של המעגל:

למספר 0 מוקצית נקודת ההתחלה A(1, 0);
מספר חיובי t מתאימה לנקודת מעגל היחידה, אליה נגיע אם ננוע לאורך המעגל מנקודת ההתחלה נגד כיוון השעון ונעבור דרך באורך t;
מספר שלילי t מתאימה לנקודה על מעגל היחידה, אליה נגיע אם נע סביב המעגל מנקודת ההתחלה בכיוון השעון ונעבור דרך באורך |t| .

כעת נעבור להגדרות של סינוס, קוסינוס, טנגנס וקוטנגנטי של המספר t. נניח שהמספר t מתאים לנקודה של המעגל A 1 (x, y) (לדוגמה, המספר &pi/2; מתאים לנקודה A 1 (0, 1) ).

הַגדָרָה.

הסינוס של מספר t היא הסמין של נקודת מעגל היחידה המקבילה למספר t , כלומר, sint=y .

הַגדָרָה.

קוסינוס של מספר t נקראת האבססיס של נקודת מעגל היחידה המקבילה למספר t , כלומר עלות=x .

הַגדָרָה.

טנגנט של מספר t הוא היחס בין האסמינטה לאבססיסה של נקודת מעגל היחידה המקבילה למספר t, כלומר tgt=y/x. בניסוח מקביל אחר, הטנגנס של המספר t הוא היחס בין הסינוס של מספר זה לקוסינוס, כלומר tgt=sint/עלות .

הַגדָרָה.

קוטנגנט של מספר t הוא היחס בין האבשיסה לארדיינטה של נקודת מעגל היחידה המקבילה למספר t, כלומר ctgt=x/y. ניסוח נוסף הוא כדלקמן: הטנגנס של המספר t הוא היחס בין הקוסינוס של המספר t לסינוס של המספר t : ctgt=cost/sint .

כאן נציין כי ההגדרות שניתנו זה עתה מתאימות להגדרה שניתנה בתחילת סעיף קטן זה. ואכן, נקודת מעגל היחידה המקבילה למספר t חופפת לנקודה המתקבלת על ידי סיבוב נקודת ההתחלה בזווית של t רדיאנים.

ראוי להבהיר גם נקודה זו. נניח שיש לנו ערך sin3. כיצד להבין האם מדובר בסינוס של המספר 3 או בסינוס של זווית הסיבוב של 3 רדיאנים? זה בדרך כלל ברור מההקשר, אחרת זה כנראה לא משנה.

פונקציות טריגונומטריות של ארגומנט זוויתי ומספרי

לפי ההגדרות שניתנו בפסקה הקודמת, כל זווית סיבוב α מתאימה לערך המוגדר היטב sin α , וכן לערך cos α . בנוסף, כל זוויות הסיבוב מלבד 90°+180° k , k∈Z (π/2+π k rad) מתאימות לערכים tgα , ולמעט 180° k , k∈Z (π k rad ) הם הערכים של ctgα. לכן sinα, cosα, tgα ו-ctgα הם פונקציות של הזווית α. במילים אחרות, אלו הן פונקציות של הארגומנט הזוויתי.

באופן דומה, אנו יכולים לדבר על הפונקציות סינוס, קוסינוס, טנגנס וקוטנגנט של ארגומנט מספרי. ואכן, כל מספר ממשי t מתאים לערך מוגדר היטב של sint, כמו גם לעלות. בנוסף, כל המספרים מלבד π/2+π·k , k∈Z תואמים את הערכים tgt , והמספרים π·k , k∈Z תואמים את ערכי ctgt .

הפונקציות סינוס, קוסינוס, טנגנס וקוטנגנט נקראות פונקציות טריגונומטריות בסיסיות.

בדרך כלל ברור מההקשר שעסקינן בפונקציות טריגונומטריות של ארגומנט זוויתי או ארגומנט מספרי. אחרת, נוכל לשקול את המשתנה הבלתי תלוי גם כמדד לזווית (ארגומנט הזווית) וגם כארגומנט מספרי.

עם זאת, בית הספר לומד בעיקר פונקציות מספריות, כלומר פונקציות שהארגומנטים שלהן, כמו גם ערכי הפונקציות המתאימים להן, הם מספרים. לכן, אם אנחנו מדברים על פונקציות, אז רצוי להתייחס לפונקציות טריגונומטריות כפונקציות של ארגומנטים מספריים.

חיבור הגדרות מגיאומטריה וטריגונומטריה

אם ניקח בחשבון את זווית הסיבוב α מ-0 עד 90 מעלות, אזי הנתונים בהקשר של טריגונומטריה של הגדרת הסינוס, הקוסינוס, הטנגנס והקוטנגנטי של זווית הסיבוב תואמים לחלוטין את ההגדרות של הסינוס, הקוסינוס. , משיק וקוטנגנט של זווית חדה במשולש ישר זווית, הניתנים במהלך הגיאומטריה. בואו נבסס את זה.

צייר מעגל יחידה במערכת הקואורדינטות הקרטזית המלבנית אוקסי. שימו לב לנקודת ההתחלה A(1, 0) . בואו נסובב אותו בזווית α הנעה בין 0 ל-90 מעלות, נקבל את הנקודה A 1 (x, y) . בוא נשאיר את האנך A 1 H מהנקודה A 1 לציר השור.

קל לראות שבמשולש ישר זווית הזווית A 1 OH שווה לזווית הסיבוב α, אורך הרגל OH הסמוכה לזווית זו שווה לאבשיסה של הנקודה A 1, כלומר |OH |=x, אורך הרגל שממול לזווית A 1 H שווה לקוסמינטה של הנקודה A 1 , כלומר |A 1 H|=y , ואורך התחתון OA 1 שווה לאחד , שכן זהו הרדיוס של מעגל היחידה. אז, בהגדרה מהגיאומטריה, הסינוס של זווית חדה α במשולש ישר זווית A 1 OH שווה ליחס בין הרגל הנגדית לתחתית, כלומר, sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= y/1=y . ולפי הגדרה מהטריגונומטריה, הסינוס של זווית הסיבוב α שווה לאידינטה של הנקודה A 1, כלומר, sinα=y. זה מראה שהגדרת הסינוס של זווית חדה במשולש ישר זווית שווה להגדרת הסינוס של זווית הסיבוב α עבור α מ-0 עד 90 מעלות.

באופן דומה, ניתן להראות שההגדרות של הקוסינוס, הטנגנס והקוטנגנט של זווית חדה α תואמות את ההגדרות של הקוסינוס, הטנגנס והקוטנגנטי של זווית הסיבוב α.

בִּיבּלִיוֹגְרָפִיָה.

גֵאוֹמֶטרִיָה. 7-9 כיתות: לימודים. לחינוך כללי מוסדות / [ל. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev ואחרים]. - מהדורה 20. מ': חינוך, 2010. - 384 עמ': חולה. - ISBN 978-5-09-023915-8.
Pogorelov A.V.גיאומטריה: פרוק. עבור 7-9 תאים. חינוך כללי מוסדות / A. V. Pogorelov. - מהדורה ב' - מ': הארה, 2001. - 224 עמ': ill. - ISBN 5-09-010803-X.
אלגברה ופונקציות יסודיות: הדרכהלתלמידי כיתה ט' בית ספר תיכון/ E. S. Kochetkov, E. S. Kochetkova; נערך ע"י דוקטור למדעי הפיזיקה והמתמטיקה O. N. Golovin. - מהדורה רביעית. מוסקבה: חינוך, 1969.
אַלגֶבּרָה:פרוק. עבור 9 תאים. ממוצע בית ספר / יו. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; אד. S. A. Telyakovsky.- מ.: הארה, 1990.- 272 עמ': איל.- ISBN 5-09-002727-7
אַלגֶבּרָהותחילת הניתוח: פרוק. עבור 10-11 תאים. חינוך כללי מוסדות / א.נ. קולמוגורוב, א.מ. אברמוב, יו.פ. דודניצין ואחרים; אד. A. N. Kolmogorova.- 14th ed.- M.: Enlightenment, 2004.- 384 p.: ill.- ISBN 5-09-013651-3.
מורדקוביץ' א.ג.אלגברה והתחלות הניתוח. כיתה י'. ב-2 עמ' פרק 1: הדרכה ל מוסדות חינוך(רמת פרופיל) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - מהדורה רביעית, הוסף. - M.: Mnemosyne, 2007. - 424 עמ': ill. ISBN 978-5-346-00792-0.
אַלגֶבּרָהולהתחיל ניתוח מתמטי. כיתה י': ספר לימוד. לחינוך כללי מוסדות: בסיסי ופרופיל. רמות /[יו. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; ed. א.ב ז'יז'צ'נקו. - מהדורה שלישית. - I .: Education, 2010. - 368 p.: Il. - ISBN 978-5-09-022771-1.
בשמקוב מ.י.אלגברה ותחילת הניתוח: פרוק. עבור 10-11 תאים. ממוצע בית ספר - מהדורה שלישית. - מ.: נאורות, 1993. - 351 עמ': ill. - ISBN 5-09-004617-4.
Gusev V. A., Mordkovich A. G.מתמטיקה (מדריך למועמדים לבתי ספר טכניים): פרוק. קצבה.- מ.; גבוה יותר בית ספר, 1984.-351 עמ', ill.

המושגים סינוס, קוסינוס, טנגנס וקוטנגנטי הם הקטגוריות העיקריות של הטריגונומטריה - ענף של מתמטיקה, וקשורים קשר בל יינתק עם הגדרת זווית. החזקה במדע מתמטי זה דורשת שינון והבנה של נוסחאות ומשפטים, כמו גם חשיבה מרחבית מפותחת. לכן חישובים טריגונומטריים גורמים לרוב לקשיים עבור תלמידי בית ספר ותלמידים. כדי להתגבר עליהם, כדאי להכיר יותר פונקציות ונוסחאות טריגונומטריות.

מושגים בטריגונומטריה

כדי להבין את המושגים הבסיסיים של טריגונומטריה, תחילה עליך להחליט מה הם משולש ישר זווית וזווית במעגל, ומדוע כל החישובים הטריגונומטריים הבסיסיים קשורים אליהם. משולש שבו אחת מהזוויות היא 90 מעלות הוא משולש ישר זווית. מבחינה היסטורית, דמות זו שימשה לעתים קרובות על ידי אנשים באדריכלות, ניווט, אמנות, אסטרונומיה. בהתאם, בלימוד וניתוח המאפיינים של נתון זה, אנשים הגיעו לחישוב היחסים המתאימים של הפרמטרים שלו.

הקטגוריות העיקריות הקשורות למשולשים ישרים הם התחתון והרגליים. התחתון הוא הצלע של משולש שממול זווית נכונה. הרגליים, בהתאמה, הן שני הצדדים האחרים. סכום הזוויות של כל משולש הוא תמיד 180 מעלות.

טריגונומטריה כדורית היא קטע של טריגונומטריה שלא לומדים בבית הספר, אך במדעים יישומיים כמו אסטרונומיה וגיאודזיה, מדענים משתמשים בה. תכונה של משולש בטריגונומטריה כדורית היא שתמיד יש לו סכום זוויות הגדול מ-180 מעלות.

זוויות של משולש

במשולש ישר זווית, הסינוס של זווית הוא היחס בין הרגל מול הזווית הרצויה לבין תחתית המשולש. בהתאם לכך, הקוסינוס הוא היחס בין הרגל הסמוכה לבין התחתון. לשני הערכים הללו תמיד יש ערך קטן מאחד, מכיוון שהתחתון הוא תמיד ארוך יותר מהרגל.

הטנגנס של זווית הוא ערך השווה ליחס בין הרגל הנגדית לרגל הסמוכה של הזווית הרצויה, או סינוס לקוסינוס. הקוטנגנט, בתורו, הוא היחס בין הרגל הסמוכה של הזווית הרצויה לקקטט הנגדי. ניתן לקבל את הקוטנגנט של זווית גם על ידי חלוקת היחידה בערך המשיק.

מעגל יחידה

מעגל יחידה בגיאומטריה הוא מעגל שהרדיוס שלו שווה לאחד. מעגל כזה נבנה במערכת הקואורדינטות הקרטזית, כאשר מרכז המעגל חופף לנקודת המוצא, והמיקום ההתחלתי של וקטור הרדיוס נקבע לפי הכיוון החיובי של ציר ה-X (ציר האבשסיס). לכל נקודה במעגל שתי קואורדינטות: XX ו-YY, כלומר הקואורדינטות של האבשיסה והאורדינטה. בחירת נקודה כלשהי במעגל במישור XX, והורדת האנך ממנה לציר האבססיס, נקבל משולש ישר זווית הנוצר מרדיוס לנקודה שנבחרה (בואו נסמן אותה באות C), מאונך שנמשך אל ציר X (נקודת החיתוך מסומנת באות G), וקטע את ציר האבססיס בין המקור (הנקודה מסומנת באות A) לנקודת החיתוך G. המשולש המתקבל ACG הוא משולש ישר זווית רשום ב מעגל, כאשר AG הוא התחתון, ו-AC ו-GC הם הרגליים. את הזווית בין רדיוס המעגל AC לקטע של ציר האבססיס עם הכינוי AG, אנו מגדירים כ-α (אלפא). אז, cos α = AG/AC. בהינתן ש-AC הוא הרדיוס של מעגל היחידה, והוא שווה לאחד, מסתבר ש-cos α=AG. באופן דומה, sin α=CG.

בנוסף, בידיעת הנתונים הללו, אתה יכול לקבוע את הקואורדינטה של נקודה C במעגל, שכן cos α \u003d AG, ו-sin α \u003d CG, מה שאומר שלנקודה C יש קואורדינטות נתונות(cos α;sin α). בידיעה שהטנגנס שווה ליחס בין הסינוס לקוסינוס, נוכל לקבוע ש-tg α \u003d y / x, ו-ctg α \u003d x / y. בהתחשב בזוויות במערכת קואורדינטות שליליות, אפשר לחשב שערכי הסינוס והקוסינוס של כמה זוויות יכולים להיות שליליים.

חישובים ונוסחאות בסיסיות

ערכים של פונקציות טריגונומטריות

לאחר שקלטנו את המהות של פונקציות טריגונומטריות דרך מעגל היחידה, נוכל לגזור את הערכים של פונקציות אלה עבור כמה זוויות. הערכים מפורטים בטבלה למטה.

הזהויות הטריגונומטריות הפשוטות ביותר

משוואות שבהן יש ערך לא ידוע בסימן הפונקציה הטריגונומטרית נקראות טריגונומטריות. זהויות עם הערך sin x = α, k הוא כל מספר שלם:

sin x = 0, x = πk.
2. sin x \u003d 1, x \u003d π / 2 + 2πk.
sin x \u003d -1, x \u003d -π / 2 + 2πk.
sin x = a, |a| > 1, אין פתרונות.
sin x = a, |a| ≦ 1, x = (-1)^k * arcsin α + πk.

זהויות עם הערך cos x = a, כאשר k הוא כל מספר שלם:

cos x = 0, x = π/2 + πk.
cos x = 1, x = 2πk.
cos x \u003d -1, x \u003d π + 2πk.
cos x = a, |a| > 1, אין פתרונות.
cos x = a, |a| ≦ 1, х = ±arccos α + 2πk.

זהויות עם הערך tg x = a, כאשר k הוא כל מספר שלם:

tg x = 0, x = π/2 + πk.
tg x \u003d a, x \u003d arctg α + πk.

זהויות עם הערך ctg x = a, כאשר k הוא כל מספר שלם:

ctg x = 0, x = π/2 + πk.
ctg x \u003d a, x \u003d arcctg α + πk.

נוסחאות יצוק

קטגוריה זו של נוסחאות קבועות מציינת שיטות שבאמצעותן ניתן לעבור מפונקציות טריגונומטריות של הצורה לפונקציות של הארגומנט, כלומר להמיר את הסינוס, הקוסינוס, הטנגנס והקוטנגנטי של זווית של כל ערך לאינדיקטורים המתאימים של הזווית של המרווח בין 0 ל-90 מעלות לנוחות רבה יותר של חישובים.

הנוסחאות להפחתת פונקציות עבור הסינוס של זווית נראות כך:

sin(900 - α) = α;
sin(900 + α) = cos α;
sin(1800 - α) = sin α;
sin(1800 + α) = -sin α;
sin(2700 - α) = -cos α;
sin(2700 + α) = -cos α;
sin(3600 - α) = -sin α;
sin(3600 + α) = sin α.

לקוסינוס של זווית:

cos(900 - α) = sin α;
cos(900 + α) = -sin α;
cos(1800 - α) = -cos α;
cos(1800 + α) = -cos α;
cos(2700 - α) = -sin α;
cos(2700 + α) = sin α;
cos(3600 - α) = cos α;
cos(3600 + α) = cos α.

השימוש בנוסחאות לעיל אפשרי בכפוף לשני כללים. ראשית, אם ניתן לייצג את הזווית כערך (π/2 ± a) או (3π/2 ± a), הערך של הפונקציה משתנה:

מחטא לקוס;
מקוס לחטא;
מ-tg ל-ctg;
מ-ctg ל-tg.

הערך של הפונקציה נשאר ללא שינוי אם ניתן לייצג את הזווית כ- (π ± a) או (2π ± a).

שנית, הסימן של הפונקציה המופחתת אינו משתנה: אם הוא היה חיובי בתחילה, הוא נשאר כך. הדבר נכון גם לגבי פונקציות שליליות.

נוסחאות תוספת

נוסחאות אלו מבטאות את ערכי הסינוס, הקוסינוס, הטנגנס והקוטנגנט של הסכום וההפרש של שתי זוויות סיבוב במונחים של הפונקציות הטריגונומטריות שלהן. זוויות מסומנות בדרך כלל כ- α ו- β.

הנוסחאות נראות כך:

sin(α ± β) = sin α * cos β ± cos α * sin.
cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * sin.
tan(α ± β) = (tan α ± tan β) / (1 ∓ tan α * tan β).
ctg(α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).

נוסחאות אלו תקפות לכל זוויות α ו-β.

נוסחאות זווית כפולה ומשולשת

הנוסחאות הטריגונומטריות של זווית כפולה ומשולשת הן נוסחאות המקשרות את הפונקציות של הזוויות 2α ו-3α, בהתאמה, לפונקציות הטריגונומטריות של הזווית α. נגזר מנוסחאות הוספה:

sin2α = 2sinα*cosα.
cos2α = 1 - 2sin^2α.
tg2α = 2tgα / (1 - tg^2 α).
sin3α = 3sinα - 4sin^3α.
cos3α = 4cos^3α - 3cosα.
tg3α = (3tgα - tg^3 α) / (1-tg^2 α).

מעבר מסכום למוצר

בהתחשב בכך ש-2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y), בפשטת נוסחה זו, נקבל את הזהות sinα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α − β)/2. באופן דומה, sinα - sinβ = 2sin(α - β)/2 * cos(α + β)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α − β)/2; cosα - cosβ = 2sin(α + β)/2 * sin(α − β)/2; tgα + tgβ = sin(α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = sin(α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α).

מעבר ממוצר לסכום

נוסחאות אלו נובעות מהזהויות למעבר של הסכום למוצר:

sinα * sinβ = 1/2*;
cosα * cosβ = 1/2*;
sinα * cosβ = 1/2*.

נוסחאות הפחתה

בזהויות אלה, ניתן לבטא את החזקות הריבועיות והמעוקבות של הסינוס והקוסינוס במונחים של הסינוס והקוסינוס של החזק הראשון של זווית מרובה:

sin^2 α = (1 - cos2α)/2;
cos^2α = (1 + cos2α)/2;
sin^3 α = (3 * sinα - sin3α)/4;
cos^3 α = (3 * cosα + cos3α)/4;
sin^4 α = (3 - 4cos2α + cos4α)/8;
cos^4 α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8.

החלפה אוניברסלית

נוסחאות ההחלפה הטריגונומטריות האוניברסליות מבטאות פונקציות טריגונומטריות במונחים של טנגנס של חצי זווית.

sin x \u003d (2tgx / 2) * (1 + tg ^ 2 x / 2), בעוד x \u003d π + 2πn;
cos x = (1 - tg^2 x/2) / (1 + tg^2 x/2), כאשר x = π + 2πn;
tg x \u003d (2tgx / 2) / (1 - tg ^ 2 x / 2), כאשר x \u003d π + 2πn;
ctg x \u003d (1 - tg ^ 2 x / 2) / (2tgx / 2), בעוד x \u003d π + 2πn.

מקרים מיוחדים

מקרים מיוחדים מהפשוטים ביותר משוואות טריגונומטריותניתנים להלן (k הוא כל מספר שלם).

פרטי עבור סינוס:

sin x ערך	ערך x
0	pk
1	π/2 + 2πk
-1	-π/2 + 2πk
1/2	π/6 + 2πk או 5π/6 + 2πk
-1/2	-π/6 + 2πk או -5π/6 + 2πk
√2/2	π/4 + 2πk או 3π/4 + 2πk
-√2/2	-π/4 + 2πk או -3π/4 + 2πk
√3/2	π/3 + 2πk או 2π/3 + 2πk
-√3/2	-π/3 + 2πk או -2π/3 + 2πk

מנות קוסינוס:

cos x ערך	ערך x
0	π/2 + 2πk
1	2πk
-1	2 + 2πk
1/2	±π/3 + 2πk
-1/2	±2π/3 + 2πk
√2/2	±π/4 + 2πk
-√2/2	±3π/4 + 2πk
√3/2	±π/6 + 2πk
-√3/2	±5π/6 + 2πk

פרטי עבור משיק:

ערך tg x	ערך x
0	pk
1	π/4 + πk
-1	-π/4 + πk
√3/3	π/6 + πk
-√3/3	-π/6 + πk
√3	π/3 + πk
-√3	-π/3 + πk

מנות קוטנגנט:

ערך ctg x	ערך x
0	π/2 + πk
1	π/4 + πk
-1	-π/4 + πk
√3	π/6 + πk
-√3	-π/3 + πk
√3/3	π/3 + πk
-√3/3	-π/3 + πk

משפטים

משפט סינוס

ישנן שתי גרסאות למשפט - פשוטה ומורחבת. משפט סינוס פשוט: a/sin α = b/sin β = c/sin γ. במקרה זה, a, b, c הן צלעות המשולש, ו-α, β, γ הן הזוויות ההפוכות, בהתאמה.

משפט סינוס מורחב למשולש שרירותי: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R. בזהות זו, R מציין את רדיוס המעגל שבו רשום המשולש הנתון.

משפט קוסינוס

הזהות מוצגת בצורה זו: a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos α. בנוסחה, a, b, c הן צלעות המשולש, ו- α היא הזווית מול הצלע a.

משפט טנג'נט

הנוסחה מבטאת את היחס בין המשיקים של שתי זוויות, ואורך הצלעות מולן. הצלעות מסומנות a, b, c, והזוויות ההפוכות המתאימות הן α, β, γ. הנוסחה של משפט המשיק: (a - b) / (a+b) = tg((α - β)/2) / tg((α + β)/2).

משפט קוטנגנטי

משייך את רדיוס המעגל החתום במשולש עם אורך צלעותיו. אם a, b, c הן הצלעות של משולש, ו-A, B, C, בהתאמה, הן הזוויות ההפוכות שלהן, r הוא רדיוס המעגל הכתוב, ו- p הוא חצי ההיקף של המשולש, הזהויות הבאות לְהַחזִיק:

ctg A/2 = (p-a)/r;
ctg B/2 = (p-b)/r;
ctg C/2 = (p-c)/r.

יישומים

טריגונומטריה היא לא רק מדע תיאורטי הקשור לנוסחאות מתמטיות. המאפיינים, המשפטים והחוקים שלו משמשים הלכה למעשה ענפים שונים של הפעילות האנושית - אסטרונומיה, ניווט באוויר ובים, תורת המוזיקה, גיאודזיה, כימיה, אקוסטיקה, אופטיקה, אלקטרוניקה, אדריכלות, כלכלה, הנדסת מכונות, עבודת מדידה, גרפיקה ממוחשבת, קרטוגרפיה, אוקינוגרפיה ועוד רבים אחרים.

סינוס, קוסינוס, טנגנס וקוטנגנטי הם מושגי היסוד של הטריגונומטריה, בעזרתם ניתן לבטא באופן מתמטי את הקשר בין זוויות ואורכים של צלעות במשולש, ולמצוא את הכמויות הרצויות באמצעות זהויות, משפטים וכללים.

מאמר זה נאסף טבלאות של סינוסים, קוסינוסים, טנג'נסים וקוטנגנטים. ראשית, אנו נותנים טבלה של ערכים בסיסיים של פונקציות טריגונומטריות, כלומר, טבלה של סינוסים, קוסינוסים, טנגנסים וקוטנגנטים של זוויות 0, 30, 45, 60, 90, ..., 360 מעלות ( 0, π/6, π/4, π/3, π/2, …, 2πרדיאן). לאחר מכן, אנו נותנים טבלת סינוסים וקוסינוסים, וכן טבלת משיקים וקוטנגנטים מאת V.M. Bradis, ונראה כיצד להשתמש בטבלאות אלו בעת מציאת ערכי פונקציות טריגונומטריות.

ניווט בדף.

טבלת סינוסים, קוסינוסים, משיקים וקוטנגנטים עבור זוויות 0, 30, 45, 60, 90, ... מעלות

בִּיבּלִיוֹגְרָפִיָה.

אַלגֶבּרָה:פרוק. עבור 9 תאים. ממוצע בית ספר / יו. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; אד. S. A. Telyakovsky.- מ.: הארה, 1990.- 272 עמ': איל.- ISBN 5-09-002727-7
בשמקוב מ.י.אלגברה ותחילת הניתוח: פרוק. עבור 10-11 תאים. ממוצע בית ספר - מהדורה שלישית. - מ.: נאורות, 1993. - 351 עמ': ill. - ISBN 5-09-004617-4.
אַלגֶבּרָהותחילת הניתוח: פרוק. עבור 10-11 תאים. חינוך כללי מוסדות / א.נ. קולמוגורוב, א.מ. אברמוב, יו.פ. דודניצין ואחרים; אד. A. N. Kolmogorova.- 14th ed.- M.: Enlightenment, 2004.- 384 p.: ill.- ISBN 5-09-013651-3.
Gusev V. A., Mordkovich A. G.מתמטיקה (מדריך למועמדים לבתי ספר טכניים): פרוק. קצבה.- מ.; גבוה יותר בית ספר, 1984.-351 עמ', ill.
Bradis V. M.טבלאות מתמטיות בנות ארבע ספרות: להשכלה כללית. ספר לימוד מפעלים. - מהדורה שנייה. - M.: Bustard, 1999.- 96 p.: ill. ISBN 5-7107-2667-2