חיבור וחיסור של מספרים שלמים. הוספת מספרים עם סימנים שונים, כלל, דוגמאות

כלל להוספת מספרים עם סימנים שונים

דוגמאות להוספת מספרים עם סימנים שונים

מה אם המכנים שונים

מה אם לשבר יש חלק שלם

תקציר: תכנית מחשוב כללית

דוגמאות של חיבור וחיסור מספרים שלמים

כללים לחיבור והפחתה של מספרים שלמים

מערך שיעור:

II. עדכון הידע הבסיסי של התלמידים

1. פעילות גופנית הדדית. שאלות בקרה(חדר אדים צורה ארגוניתעבודה - בדיקה הדדית).
2. עבודה בעל פה עם הערות (צורת עבודה ארגונית קבוצתית).
3. עבודה עצמאית(צורת עבודה ארגונית פרטנית, בדיקה עצמית).

III. הודעת נושא השיעור

צורת עבודה ארגונית קבוצתית, הצגת השערה, ניסוח כלל.

1. מילוי משימות הדרכה לפי ספר הלימוד (צורת עבודה ארגונית קבוצתית).
2. עבודת תלמידים חזקים בקלפים (צורת עבודה ארגונית פרטנית).

VI. הפסקה פיזית

ט. שיעורי בית.

יַעַד:היווצרות המיומנות של הוספת מספרים עם סימנים שונים.

משימות:

נסח כלל להוספת מספרים עם סימנים שונים.
תרגל הוספת מספרים עם סימנים שונים.
לפתח חשיבה לוגית.
לטפח את היכולת לעבוד בזוגות, כבוד הדדי.

חומר לשיעור:קלפים לאימון הדדי, טבלאות תוצאות עבודה, קלפים בודדים לחזרה וגיבוש חומר, מוטו לעבודה אישית, קלפים עם כלל.

במהלך השיעורים

אני. ארגון זמן

נתחיל את השיעור בבדיקת שיעורי בית בודדים. המוטו של השיעור שלנו יהיו דבריו של יאן עמוס קמנסקי. בבית, היית צריך לחשוב על דבריו. איך אתה מבין את זה? ("תחשיב לעצמך את היום או השעה ההיא שבה לא למדת שום דבר חדש ולא הוספת שום דבר להשכלתך")
– איך אתה מבין את דברי המחבר? (אם לא נלמד שום דבר חדש, לא נקבל ידע חדש, אז יום זה יכול להיחשב אבוד או לא מאושר. עלינו לשאוף לרכוש ידע חדש).
– והיום לא יהיה אומלל כי שוב נלמד משהו חדש.

II. עדכון הידע הבסיסי של התלמידים

- כדי ללמוד חומר חדש, אתה צריך לחזור על העבר.
בבית הייתה משימה - לחזור על הכללים ועכשיו תראה את הידע שלך על ידי עבודה עם שאלות בקרה.

(שאלות מבחן בנושא "מספרים חיוביים ושליליים")

עבודה זוגית. אימות הדדי. תוצאות העבודה מצוינות בטבלה)

איך קוראים למספרים מימין למקור?	חִיוּבִי
מהם המספרים ההפוכים?	שני מספרים הנבדלים זה מזה רק בסימנים נקראים מספרים מנוגדים.
מהו המודולוס של מספר?	מרחק מנקודה א(א)לפני תחילת הספירה לאחור, כלומר לנקודה O(0),נקרא מודולוס של מספר
מהו המודולוס של מספר?	סוֹגְרַיִם
מהו הכלל להוספת מספרים שליליים?	כדי להוסיף שני מספרים שליליים, צריך להוסיף את המודולוס שלהם ולשים סימן מינוס
איך קוראים למספרים משמאל למקור?	שלילי
מה ההפך מאפס?	0
האם הערך המוחלט של מספר כלשהו יכול להיות שלילי?	לא. מרחק לעולם אינו שלילי
תן שם את הכלל להשוואת מספרים שליליים	מבין שני מספרים שליליים, הגדול הוא זה שהמודלוס שלו קטן וקטן מזה שהמודלוס שלו גדול יותר
מהו סכום המספרים ההפוכים?	0

התשובות לשאלות "+" נכונות, "-" אינו נכון קריטריוני הערכה: 5 - "5"; 4 - "4"; 3 - "3"

אילו שאלות היו הקשות ביותר?
מה אתה צריך כדי לעבור את שאלות המבחן בהצלחה? (הכר את החוקים)

2. עבודה בעל פה עם פרשנות

– 45 + (– 45) = (– 90)
– 100 + (– 38) = (– 138)
– 3, 5 + (–2, 4) = (– 5,9)
– 17/70 + (– 26/70) = (– 43/70)
– 20 + (– 15) = (– 35)

– איזה ידע היית צריך כדי לפתור 1-5 דוגמאות?

3. עבודה עצמאית

– 86, 52 + (– 6, 3) =	– 92,82
– 49/91 + (– 27/91) =	– 76/91
– 76 + (– 99) =	– 175
– 14 + (– 47) =	– 61
– 123,5 + (– 25, 18) =	– 148,68
6 + (– 10) =

(בדיקה עצמית. פתוח בזמן תשובות למבחן)

למה הדוגמה האחרונה הקשה עליך?
- סכום אילו מספרים צריכים להימצא, ואת סכום אילו מספרים אנו יודעים למצוא?

III. הודעת נושא השיעור

- היום בשיעור נלמד את הכלל של הוספת מספרים עם סימנים שונים. נלמד להוסיף מספרים עם סימנים שונים. לימוד עצמי בסוף השיעור יראה את ההתקדמות שלך.

IV. לימוד חומר חדש

- נפתח מחברות, נכתוב תאריך, עבודה בכיתה, נושא השיעור הוא "הוספת מספרים בסימנים שונים".
- מה יש על הלוח? (קו קואורדינטות)

- להוכיח שזה קו קואורדינטות? (יש נקודת התייחסות, כיוון התייחסות, קטע בודד)
- כעת נלמד יחד להוסיף מספרים עם סימנים שונים באמצעות קו קואורדינטות.

(הסבר על התלמידים בהנחיית מורה).

- בוא נמצא את המספר 0 על קו הקואורדינטות. יש להוסיף את המספר 6 ל-0. אנחנו עושים 6 צעדים ב צד ימיןמהמקור, כי המספר 6 חיובי (שמנו מגנט צבעוני על המספר 6 שהתקבל). נוסיף את המספר (-10) ל-6, נלך 10 צעדים משמאל למקור, כי (- 10) הוא מספר שלילי (שים מגנט צבעוני על המספר המתקבל (- 4).)
- מה הייתה התשובה? (- 4)
איך השגת את המספר 4? (10 - 6)
מסקנה: מהמספר בעל מודולוס גדול, מפחיתים את המספר בעל מודולוס קטן יותר.
- איך השגת את סימן המינוס בתשובה?
מסקנה: לקחנו את הסימן של מספר עם מודול גדול.
בוא נכתוב דוגמה במחברת:

6 + (–10) = – (10 – 6) = – 4
10 + (-3) = + (10 - 3) = 7 (פתור באופן דומה)

הכניסה מתקבלת:

6 + (– 10) = – (10 – 6) = – 4
10 + (– 3) = + (10 – 3) = 7

- חבר'ה, אתם בעצמכם ניסחתם עכשיו את הכלל להוספת מספרים עם סימנים שונים. אנחנו נכנה את הניחושים שלך הַשׁעָרָה. עשית עבודה אינטלקטואלית חשובה מאוד. כמו מדענים העלו השערה וגילו כלל חדש. בוא נבדוק את ההשערה שלך עם הכלל (הגיליון עם הכלל המודפס מונח על השולחן). בואו נקרא ביחד כְּלָלהוספת מספרים עם סימנים שונים

- הכלל חשוב מאוד! זה מאפשר לך להוסיף מספרים של סימנים שונים ללא עזרה של קו קואורדינטות.
- מה לא ברור?
- איפה אפשר לטעות?
- כדי לחשב נכון וללא שגיאות משימות עם מספרים חיוביים ושליליים, צריך לדעת את הכללים.

ו. איחוד החומר הנלמד

האם אתה יכול למצוא את סכום המספרים הללו על קו הקואורדינטות?
- קשה לפתור דוגמה כזו בעזרת קו קואורדינטות, ולכן נשתמש בכלל שגיליתם בעת הפתרון.
המשימה כתובה על הלוח:
ספר לימוד - עמ'. 45; מס' 179 (ג, ד); מס' 180 (א, ב); מס' 181 (ב, ג)
(תלמיד חזק פועל כדי לחזק את הנושא הזה עם כרטיס נוסף.)

VI. הפסקה פיזית(בצע עמידה)

- לאדם יש תכונות חיוביות ושליליות. חלק את התכונות הללו על קו הקואורדינטות.
(איכויות חיוביות נמצאות מימין לנקודת ההתייחסות, איכויות שליליות נמצאות משמאל לנקודת הייחוס.)
- אם האיכות שלילית - מחאו כפיים פעם אחת, חיובית - פעמיים. הזהר!
– חסד, כעס, חמדנות , סיוע הדדי, הֲבָנָה, גסות רוח, וכמובן, כוח הרצוןו שואפים לניצחון, אשר תזדקק לו כעת, כי לפניך עבודה עצמאית)
VII. מטלה אישיתואחריו ביקורת עמיתים

אופציה 1	אפשרות 2
– 100 + (20) =	– 100 + (30) =
100 + (– 20) =	100 + (– 30) =
56 + (– 28) =	73 + (– 28) =
4,61 + (– 2,2) =	5, 74 + (– 3,15) =
– 43 + 65 =	– 43 + 35 =

עבודה פרטנית (עבור חָזָקתלמידים) עם אימות הדדי לאחר מכן

אופציה 1	אפשרות 2
– 100 + (20) =	– 100 + (30) =
100 + (– 20) =	100 + (– 30) =
56 + (– 28) =	73 + (– 28) =
4,61 + (– 2,2) =	5, 74 + (– 3,15) =
– 43 + 65 =	– 43 + 35 =
100 + (– 28) =	100 + (– 39) =
56 + (– 27) =	73 + (– 24) =
– 4,61 + (– 2,22) =	– 5, 74 + (– 3,15) =
– 43 + 68 =	– 43 + 39 =

ח. מסכם את השיעור. הִשׁתַקְפוּת

– אני מאמין שעבדת באופן פעיל, בחריצות, השתתפת בגילוי ידע חדש, הבעת את דעתך, עכשיו אני יכול להעריך את עבודתך.
- תגידו לי, חבר'ה, מה יותר יעיל: לקבל מידע מוכן או לחשוב בעצמכם?
- מה למדנו בשיעור? (למד כיצד להוסיף מספרים עם סימנים שונים.)
תן שם את הכלל להוספת מספרים עם סימנים שונים.
– תגיד לי, השיעור שלנו היום לא היה לשווא?
- למה? (קבל ידע חדש.)
נחזור לסלוגן. אז יאן עמוס קמנסקי צדק כשאמר: "תחשוב על היום או השעה המצערת שבה לא למדת שום דבר חדש ולא הוספת שום דבר להשכלתך."

ט. שיעורי בית

למד את הכלל (כרטיס), עמ' 45, מס' 184.
משימה אישית - איך אתה מבין את המילים של רוג'ר בייקון: "אדם שאינו יודע מתמטיקה אינו מסוגל לשום מדעים אחרים. יתרה מכך, הוא אפילו לא מסוגל להעריך את רמת הבורות שלו?

במאמר זה נעסוק הוספת מספרים עם סימנים שונים. כאן אנו נותנים כלל להוספת מספר חיובי ושלילי, ונחשוב על דוגמאות ליישום כלל זה בעת הוספת מספרים בעלי סימנים שונים.

ניווט בדף.

לשקול דוגמאות להוספת מספרים עם סימנים שוניםלפי הכלל שנדון בפסקה הקודמת. נתחיל בדוגמה פשוטה.

דוגמא.

הוסף את המספרים -5 ו-2.

פִּתָרוֹן.

אנחנו צריכים להוסיף מספרים עם סימנים שונים. בואו נבצע את כל השלבים שנקבעו על ידי הכלל של הוספת מספרים חיוביים ושליליים.

ראשית, אנו מוצאים את המודולים של המונחים, הם שווים ל-5 ו-2, בהתאמה.

המודולוס של המספר −5 גדול מהמודלוס של המספר 2, אז זכור את סימן המינוס.

נותר לשים את סימן המינוס המשונן לפני המספר המתקבל, נקבל −3. זה משלים את הוספה של מספרים עם סימנים שונים.

תשובה:

(−5)+2=−3 .

לקפל מספר רציונליעם סימנים שונים שאינם מספרים שלמים, הם צריכים להיות מיוצגים כשברים רגילים (אפשר לעבוד עם שברים עשרוניים, אם זה נוח). בואו נסתכל על נקודה זו בדוגמה הבאה.

דוגמא.

הוסף מספר חיובי ומספר שלילי -1.25.

פִּתָרוֹן.

בואו נציג את המספרים בטופס שברים רגילים, לשם כך נבצע את המעבר ממספר מעורב לשבר לא תקין: , ונתרגם את השבר העשרוני לשבר רגיל: .

כעת תוכל להשתמש בכלל להוספת מספרים עם סימנים שונים.

המודולים של המספרים שנוספו הם 17/8 ו-5/4. לנוחות ביצוע פעולות נוספות, אנו מצמצמים את השברים למכנה משותף, כתוצאה מכך יש לנו 17/8 ו-10/8.

כעת עלינו להשוות את השברים הנפוצים 17/8 ו-10/8. מאז 17>10, אז . לפיכך, למונח עם סימן פלוס יש מודולוס גדול יותר, לכן, זכור את סימן הפלוס.

כעת נחסר את הקטן מהמודול הגדול יותר, כלומר, נחסר שברים עם אותם מכנים: .

נותר לשים סימן פלוס בעל בעל פה לפני המספר המתקבל, אנחנו מקבלים, אבל - זה המספר 7/8.

שברים הם מספרים רגילים, ניתן גם להוסיף ולגרוע אותם. אבל בשל העובדה שיש להם מכנה, נדרשים כאן כללים מורכבים יותר מאשר עבור מספרים שלמים.

שקול את המקרה הפשוט ביותר, כאשר יש שני שברים עם אותם מכנים. לאחר מכן:

כדי להוסיף שברים עם אותם מכנים, הוסף את המונים שלהם והשאר את המכנה ללא שינוי.

כדי להחסיר שברים עם אותם מכנים, יש צורך להחסיר את המונה של השני מהמונה של השבר הראשון, ושוב להשאיר את המכנה ללא שינוי.

בתוך כל ביטוי, המכנים של השברים שווים. בהגדרה של חיבור וחיסור של שברים, אנו מקבלים:

כפי שאתה יכול לראות, שום דבר לא מסובך: פשוט הוסף או הוריד את המונים - וזהו.

אבל גם בכזה פעולות פשוטותאנשים מצליחים לעשות טעויות. לרוב הם שוכחים שהמכנה לא משתנה. למשל, כשמוסיפים אותם, הם גם מתחילים להצטבר, וזה שגוי מיסודו.

להיפטר הרגל מגונההוספת המכנים קלה מספיק. נסה לעשות את אותו הדבר בעת חיסור. כתוצאה מכך, המכנה יהיה אפס, והשבר (פתאום!) יאבד את משמעותו.

לכן זכרו אחת ולתמיד: בחיבור ובחיסור המכנה לא משתנה!

כמו כן, אנשים רבים עושים טעויות כאשר מוסיפים מספר שברים שליליים. יש בלבול עם הסימנים: איפה לשים מינוס, ואיפה - פלוס.

גם בעיה זו קלה מאוד לפתרון. מספיק לזכור שתמיד אפשר להעביר את המינוס לפני סימן השבר למונה - ולהיפך. וכמובן, אל תשכח שני כללים פשוטים:

פלוס פעמים מינוס נותן מינוס;
שתי שליליות גורמות לחיוב.

בואו ננתח את כל זה בעזרת דוגמאות ספציפיות:

מְשִׁימָה. מצא את הערך של הביטוי:

במקרה הראשון, הכל פשוט, ובשני, נוסיף מינוסים למספרי השברים:

הוספת שברים ישירות מכנים שוניםזה אסור. לפחות, השיטה הזו לא מוכרת לי. עם זאת, תמיד ניתן לשכתב את השברים המקוריים כך שהמכנים יהיו זהים.

ישנן דרכים רבות להמיר שברים. שלושה מהם נדונים בשיעור "הבאת שברים למכנה משותף", ולכן לא נתעכב עליהם כאן. בואו נסתכל על כמה דוגמאות:

מְשִׁימָה. מצא את הערך של הביטוי:

במקרה הראשון, אנו מביאים את השברים למכנה משותף בשיטת "הצלבה". בשני, נחפש את ה-LCM. שימו לב ש-6 = 2 3; 9 = 3 · 3. הגורמים האחרונים בהרחבות אלו שווים, והראשונים הם קופריים. לכן, LCM(6; 9) = 2 3 3 = 18.

אני יכול לרצות אותך: מכנים שונים של שברים הם לא הרוע הגדול ביותר. הרבה יותר שגיאות מתרחשות כאשר החלק כולו מודגש במונחי השבר.

כמובן, עבור שברים כאלה יש אלגוריתמי חיבור וחיסור משלהם, אבל הם די מסובכים ודורשים לימוד ארוך. עדיף להשתמש בתרשים הפשוט להלן:

המר את כל השברים המכילים חלק שלם לבלתי תקין. אנו מקבלים מונחים רגילים (גם אם עם מכנים שונים), המחושבים לפי הכללים שנדונו לעיל;
למעשה, חשב את הסכום או ההפרש של השברים המתקבלים. כתוצאה מכך, למעשה נמצא את התשובה;
אם זה כל מה שנדרש במשימה, אנו מבצעים את הטרנספורמציה ההפוכה, כלומר. אנו נפטרים מהשבר הלא תקין, ומדגישים את החלק השלם שבו.

כללי מעבר ל שברים לא תקיניםובחירת החלק השלם מתוארים בפירוט בשיעור "מהו שבר". אם אתה לא זוכר, הקפד לחזור. דוגמאות:

מְשִׁימָה. מצא את הערך של הביטוי:

הכל פשוט כאן. המכנים בתוך כל ביטוי שווים, ולכן נותר להמיר את כל השברים לשברים לא תקינים ולספור. יש לנו:

כדי לפשט את החישובים, דילגתי על כמה שלבים ברורים בדוגמאות האחרונות.

הערה קטנה לשתי הדוגמאות האחרונות, שבהן מופחתים שברים עם חלק שלם מודגש. המינוס לפני השבר השני אומר שהשבר השלם הוא שנגרע, ולא רק את כל החלק שלו.

קרא שוב את המשפט הזה, הסתכל בדוגמאות וחשוב על זה. זה המקום שבו מתחילים עושים הרבה טעויות. הם אוהבים לתת משימות כאלה עבודת בקרה. כמו כן, תפגשו אותם שוב ושוב במבחנים לשיעור זה, שיתפרסמו בקרוב.

לסיכום, אתן אלגוריתם כללי שיעזור לך למצוא את הסכום או ההפרש של שני שברים או יותר:

אם חלק שלם מסומן בשברים אחד או יותר, המר את השברים האלה לשברים לא תקינים;
הביאו את כל השברים למכנה משותף בכל דרך שנוחה לכם (אלא אם כן, כמובן, המהדרים של הבעיות עשו זאת);
הוסף או הורד את המספרים המתקבלים לפי כללי החיבור וההפחתה של שברים בעלי אותם מכנים;
הפחיתו את התוצאה במידת האפשר. אם התברר שהשבר אינו נכון, בחר את החלק כולו.

זכרו שעדיף להדגיש את כל החלק ממש בסוף המשימה, רגע לפני כתיבת התשובה.

>> מתמטיקה: הוספת מספרים עם סימנים שונים

33. הוספת מספרים עם סימנים שונים

אם טמפרטורת האוויר הייתה שווה ל-9 מעלות צלזיוס, ואז היא השתנתה ב-6 מעלות צלזיוס (כלומר, ירדה ב-6 מעלות צלזיוס), אז היא הפכה שווה ל-9 + (- 6) מעלות (איור 83).

כדי להוסיף את המספרים 9 ו- 6 בעזרת, עליך להזיז את נקודה A (9) שמאלה ב-6 מקטעי יחידות (איור 84). נקבל את נקודה B (3).

לפיכך, 9+(- 6) = 3. למספר 3 יש סימן זהה למונח 9, והמספר שלו מודולשווה להפרש בין המודולים של המונחים 9 ו-6.

אכן, |3| =3 ו-|9| - |- 6| == 9 - 6 = 3.

אם אותה טמפרטורת אוויר של 9 מעלות צלזיוס השתנתה ב-12 מעלות צלזיוס (כלומר, ירדה ב-12 מעלות צלזיוס), אז היא הפכה להיות שווה ל-9 + (-12) מעלות (איור 85). הוספת המספרים 9 ו-12 באמצעות קו הקואורדינטות (איור 86), נקבל 9 + (-12) \u003d -3. למספר -3 יש סימן זהה למונח -12, והמודלוס שלו שווה להפרש בין המודולים של האיברים -12 ו-9.

אכן, | - 3| = 3 ו | -12| - | -9| \u003d 12 - 9 \u003d 3.

כדי להוסיף שני מספרים עם סימנים שונים:

1) הורידו את הקטן מהמודול הגדול יותר של מונחים;

2) שימו לפני המספר המתקבל את הסימן של המונח, שהמודלוס שלו גדול יותר.

בדרך כלל, סימן הסכום נקבע תחילה ונרשם, ולאחר מכן נמצא ההפרש של המודולים.

לדוגמה:

1) 6,1+(- 4,2)= +(6,1 - 4,2)= 1,9,
או קצר מ-6.1+(-4.2) = 6.1 - 4.2 = 1.9;

בעת הוספת מספרים חיוביים ושליליים, אתה יכול להשתמש מַחשְׁבוֹן. כדי להזין מספר שלילי למחשבון, עליך להזין את המודולוס של מספר זה, ולאחר מכן ללחוץ על מקש "שינוי סימן" |/-/|. לדוגמה, כדי להזין את המספר -56.81, עליך ללחוץ על המקשים ברצף: | 5 |, | 6 |, | ¦ |, | 8 |, | 1 |, |/-/|. פעולות על מספרים של כל סימן מבוצעות על מחשבון מיקרו באותו אופן כמו על מספרים חיוביים.

לדוגמה, הסכום -6.1 + 3.8 מחושב מתוך תכנית

? למספרים a ו-b יש סימנים שונים. איזה סימן יהיה לסכום המספרים הללו אם למודולוס הגדול יותר יש מספר שלילי?

אם למודול הקטן יותר יש מספר שלילי?

אם למודול הגדול יותר יש מספר חיובי?

אם למודול הקטן יש מספר חיובי?

נסח כלל להוספת מספרים עם סימנים שונים. כיצד להזין מספר שלילי במיקרו מחשבון?

ל 1045. המספר 6 שונה ל-10. באיזה צד של המקור נמצא המספר המתקבל? כמה רחוק מהמקור? למה שווה סְכוּם 6 ו-10?

1046. המספר 10 שונה ל-6. באיזה צד של המקור נמצא המספר המתקבל? כמה רחוק מהמקור? מהו הסכום של 10 ו-6?

1047. המספר -10 שונה ל-3. באיזה צד מהמקור נמצא המספר המתקבל? כמה רחוק מהמקור? מה הסכום של -10 ו-3?

1048. המספר -10 שונה ל-15. באיזה צד של המקור נמצא המספר המתקבל? כמה רחוק מהמקור? מה הסכום של -10 ו-15?

1049. במחצית הראשונה של היום הטמפרטורה השתנתה ב -4 מעלות צלזיוס, ובשנייה - ב -12 מעלות צלזיוס. בכמה מעלות השתנתה הטמפרטורה במהלך היום?

1050. בצע הוספה:

1051. הוסף:

א) לסכום של -6 ו -12 המספר 20;
ב) למספר 2.6 הסכום הוא -1.8 ו-5.2;
ג) לסכום של -10 ו -1.3 הסכום של 5 ו-8.7;
ד) לסכום של 11 ו-6.5 הסכום של -3.2 ו-6.

1052. איזה מהמספרים 8; 7.1; -7.1; -7; -0.5 הוא השורש משוואות- 6 + x \u003d -13.1?

1053. נחשו את שורש המשוואה ובדקו:

א) x + (-3) = -11; ג) m + (-12) = 2;
ב) - 5 + y=15; ד) 3 + n = -10.

1054. מצא את הערך של הביטוי:

1055. בצע פעולות בעזרת מחשבון מיקרו:

א) - 3.2579 + (-12.308); ד) -3.8564+ (-0.8397) +7.84;
ב) 7.8547+ (- 9.239); ה) -0.083 + (-6.378) + 3.9834;
ג) -0.00154 + 0.0837; ו) -0.0085+ 0.00354+ (-0.00921).

פ 1056. מצא את הערך של הסכום:

1057. מצא את הערך של הביטוי:

1058. כמה מספרים שלמים נמצאים בין מספרים:

א) 0 ו-24; ב) -12 ו -3; ג) -20 ו-7?

1059. הבע את המספר -10 כסכום של שני איברים שליליים כך:

א) שני האיברים היו מספרים שלמים;
ב) שני האיברים היו שברים עשרוניים;
ג) אחד המונחים היה רגיל רגיל בְּעִיטָה.

1060. מהו המרחק (בקטעי יחידה) בין נקודות קו הקואורדינטות עם קואורדינטות:

א) 0 ו-a; ב) -א ו-א; ג) -a ו-0; ד) א ו-זא?

M 1061. רדיוסי המקבילים הגיאוגרפיים של פני כדור הארץ, עליהם ממוקמות הערים אתונה ומוסקבה, הם 5040 ק"מ ו-3580 ק"מ בהתאמה (איור 87). כמה קצרה המקבילה במוסקבה מהמקבילה באתונה?

1062. ערכו משוואה לפתרון הבעיה: "שדה בשטח של 2.4 דונם חולק לשני חלקים. למצוא כיכרכל סעיף, אם ידוע שאחד מהסעיפים:

א) 0.8 דונם יותר מהשני;
ב) 0.2 דונם פחות מהשני;
ג) פי 3 מהשני;
ד) פי 1.5 פחות מהשני;
ה) מהווה אחר;
ו) הוא 0.2 של אחר;
ז) הוא 60% מהשני;
ח) הוא 140% מהאחר."

1063. פתור את הבעיה:

1) ביום הראשון נסעו המטיילים 240 ק"מ, ביום השני 140 ק"מ, ביום השלישי נסעו פי 3 מאשר ביום השני, וביום הרביעי נחו. כמה קילומטרים הם נסעו ביום החמישי אם הם נסעו בממוצע 230 קילומטרים ביום ב-5 ימים?

2) ההכנסה החודשית של האב היא 280 רובל. המלגה של הבת קטנה פי 4. כמה מרוויחה אמא לחודש אם יש 4 אנשים במשפחה, הבן הצעיר הוא תלמיד בית ספר ולכל אחד יש בממוצע 135 רובל?

1064. בצע את הפעולות הבאות:

1) (2,35 + 4,65) 5,3:(40-2,9);

2) (7,63-5,13) 0,4:(3,17 + 6,83).

1066. הבע כסכום של שני איברים שווים כל אחד מהמספרים:

1067. מצא את הערך a + b אם:

a) a = -1.6, b = 3.2; ב) a = - 2.6, b = 1.9; V)

1068. בקומה אחת של בניין מגורים היו 8 דירות. 2 דירות בשטח מגורים של 22.8 מ"ר, 3 דירות - 16.2 מ"ר כל אחת, 2 דירות - 34 מ"ר כל אחת. איזה אזור מגורים היה לדירה השמינית אם בקומה זו, בממוצע, לכל דירה היה 24.7 מ"ר של שטח מגורים?

1069. ברכבת המשא היו 42 קרונות. היו פי 1.2 יותר קרונות מכוסים מאשר רציפים, ומספר הטנקים היה שווה למספר הרציפים. כמה קרונות מכל סוג היו ברכבת?

1070. מצא את הערך של הביטוי

נ.יא.וילנקין, א.ס. צ'סנוקוב, ש.י. Schwarzburd, V.I. Zhokhov, מתמטיקה לכיתה ו', ספר לימוד עבור בית ספר תיכון

תכנון מתמטיקה, ספרי לימוד וספרים באינטרנט, קורסים ומשימות במתמטיקה לכיתה ו' להורדה

תוכן השיעור סיכום שיעורתמיכה מסגרת שיעור מצגת שיטות האצה טכנולוגיות אינטראקטיביות תרגול משימות ותרגילים סדנאות בדיקה עצמית, הדרכות, מקרים, קווסטים שאלות דיון שיעורי בית שאלות רטוריות של תלמידים איורים אודיו, וידאו קליפים ומולטימדיהתצלומים, תמונות גרפיקה, טבלאות, תוכניות הומור, אנקדוטות, בדיחות, משלי קומיקס, אמרות, תשבצים, ציטוטים תוספות תקציריםמאמרים שבבים עבור גיליונות רמאות סקרנים ספרי לימוד בסיסי ומילון מונחים נוסף של מונחים אחרים שיפור ספרי לימוד ושיעוריםתיקון שגיאות בספר הלימודעדכון קטע בספר הלימוד אלמנטים של חדשנות בשיעור החלפת ידע מיושן בידע חדש רק למורים שיעורים מושלמים תוכנית לוח שנהלשנה הנחיותתוכניות דיון שיעורים משולבים

בשיעור זה נלמד חיבור וחיסור של מספרים שלמים, וכן כללים לחיבור וחיסור שלהם.

נזכיר שמספרים שלמים הם כולם מספרים חיוביים ושליליים, כמו גם המספר 0. לדוגמה, המספרים הבאים הם מספרים שלמים:

−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3

מספרים חיוביים הם קלים, ו. למרבה הצער, לא ניתן לומר זאת על מספרים שליליים, המבלבלים מתחילים רבים עם המינוסים שלהם לפני כל ספרה. כפי שמראה בפועל, טעויות שנעשו עקב מספרים שליליים מטרידות את התלמידים ביותר.

תוכן השיעור

הדבר הראשון שצריך ללמוד הוא להוסיף ולהחסיר מספרים שלמים באמצעות קו הקואורדינטות. אין צורך לצייר קו קואורדינטות. מספיק לדמיין את זה במחשבות שלך ולראות איפה המספרים השליליים ואיפה החיוביים.

שקול את הביטוי הפשוט ביותר: 1 + 3. הערך של ביטוי זה הוא 4:

ניתן להבין דוגמה זו באמצעות קו הקואורדינטות. כדי לעשות זאת, מהנקודה שבה נמצא המספר 1, אתה צריך לזוז שלושה שלבים ימינה. כתוצאה מכך, נמצא את עצמנו בנקודה בה נמצא המספר 4. באיור ניתן לראות כיצד זה קורה:

סימן הפלוס בביטוי 1 + 3 אומר לנו שעלינו לנוע ימינה בכיוון של גידול במספרים.

דוגמה 2בוא נמצא את הערך של הביטוי 1 − 3.

הערך של ביטוי זה הוא −2

ניתן להבין שוב דוגמה זו באמצעות קו הקואורדינטות. כדי לעשות זאת, מהנקודה שבה נמצא המספר 1, אתה צריך לזוז שלושה שלבים שמאלה. כתוצאה מכך, נמצא את עצמנו בנקודה שבה נמצא המספר השלילי −2. האיור מראה כיצד זה קורה:

סימן המינוס בביטוי 1 − 3 אומר לנו שעלינו לנוע שמאלה בכיוון של ירידה במספרים.

באופן כללי, עלינו לזכור שאם מתבצעת הוספה, אז צריך לנוע ימינה לכיוון הגידול. אם מתבצעת חיסור, אז אתה צריך לנוע שמאלה לכיוון הירידה.

דוגמה 3מצא את הערך של הביטוי −2 + 4

הערך של ביטוי זה הוא 2

ניתן להבין שוב דוגמה זו באמצעות קו הקואורדינטות. כדי לעשות זאת, מהנקודה שבה נמצא המספר השלילי -2, אתה צריך לזוז ארבעה שלבים ימינה. כתוצאה מכך, נמצא את עצמנו בנקודה בה נמצא המספר החיובי 2.

ניתן לראות שעברנו מהנקודה בה נמצא המספר השלילי −2 ימינה בארבעה שלבים, והגענו לנקודה בה נמצא המספר החיובי 2.

סימן הפלוס בביטוי -2 + 4 אומר לנו שעלינו לנוע ימינה בכיוון של גידול במספרים.

דוגמה 4מצא את הערך של הביטוי −1 − 3

הערך של ביטוי זה הוא −4

ניתן לפתור את הדוגמה הזו שוב באמצעות קו קואורדינטות. כדי לעשות זאת, מהנקודה שבה נמצא המספר השלילי −1, אתה צריך לזוז שלושה שלבים שמאלה. כתוצאה מכך, נמצא את עצמנו בנקודה בה נמצא המספר השלילי -4

ניתן לראות שעברנו מהנקודה אליה נמצא המספר השלילי −1 צד שמאלשלושה שלבים, והגיעו לנקודה שבה נמצא המספר השלילי −4.

סימן המינוס בביטוי -1 - 3 אומר לנו שעלינו לנוע שמאלה בכיוון של ירידה במספרים.

דוגמה 5מצא את הערך של הביטוי −2 + 2

הערך של ביטוי זה הוא 0

ניתן לפתור דוגמה זו באמצעות קו קואורדינטות. כדי לעשות זאת, מהנקודה שבה נמצא המספר השלילי −2, אתה צריך לזוז שני שלבים ימינה. כתוצאה מכך, נמצא את עצמנו בנקודה שבה נמצא המספר 0

ניתן לראות שעברנו מהנקודה בה נמצא המספר השלילי −2 ימינה בשני שלבים והגענו לנקודה בה נמצא המספר 0.

סימן הפלוס בביטוי -2 + 2 אומר לנו שעלינו לנוע ימינה בכיוון של גידול במספרים.

שאלה/שאלות

עצמי/עבודה

אינד'/ עבודה

כדי להוסיף או להחסיר מספרים שלמים, אין בכלל צורך לדמיין קו קואורדינטות בכל פעם, שלא לדבר על לצייר אותו. יותר נוח להשתמש בכללים מוכנים.

בעת יישום הכללים, עליך לשים לב לסימן הפעולה ולסימני המספרים שיש להוסיף או לגרוע. זה יקבע איזה כלל ליישם.

דוגמה 1מצא את הערך של הביטוי −2 + 5

כאן מתווסף מספר חיובי למספר שלילי. במילים אחרות, הוספת מספרים עם סימנים שונים מתבצעת. −2 הוא שלילי ו-5 הוא חיובי. במקרים כאלה חל הכלל הבא:

כדי להוסיף מספרים עם סימנים שונים, צריך להחסיר מודול קטן יותר ממודול גדול יותר, ולשים את הסימן של המספר שהמודול שלו גדול יותר לפני התשובה.

אז בואו נראה איזה מודול גדול יותר:

המודולוס של 5 גדול מהמודלוס של -2. הכלל מחייב להחסיר את הקטן מהמודול הגדול יותר. לכן, עלינו להחסיר 2 מ-5, ולפני התשובה המתקבלת לשים את הסימן של המספר שהמודלוס שלו גדול יותר.

למספר 5 יש מודולוס גדול יותר, ולכן הסימן של המספר הזה יהיה בתשובה. כלומר, התשובה תהיה חיובית:

−2 + 5 = 5 − 2 = 3

בדרך כלל נכתב קצר יותר: −2 + 5 = 3

דוגמה 2מצא את הערך של הביטוי 3 + (-2)

כאן, כמו בדוגמה הקודמת, מתבצעת הוספה של מספרים עם סימנים שונים. 3 הוא חיובי ו-2 הוא שלילי. שימו לב שהמספר -2 מוקף בסוגריים כדי להבהיר את הביטוי. ביטוי זה הרבה יותר קל להבנה מאשר הביטוי 3+−2.

אז, אנו מיישמים את הכלל של הוספת מספרים עם סימנים שונים. כמו בדוגמה הקודמת, נחסר את המודול הקטן מהמודול הגדול יותר ונשים את הסימן של המספר שהמודול שלו גדול יותר לפני התשובה:

3 + (−2) = |3| − |−2| = 3 − 2 = 1

המודולוס של המספר 3 גדול מהמודלוס של המספר −2, אז הורדנו 2 מ-3, ושמנו את הסימן של מספר המודולוס הגדול יותר לפני התשובה. למספר 3 יש מודול גדול יותר, אז הסימן של המספר הזה מוכנס בתשובה. כלומר, התשובה היא כן.

בדרך כלל נכתב קצר יותר 3 + (−2) = 1

דוגמה 3מצא את הערך של הביטוי 3 - 7

בביטוי זה, המספר הגדול מופחת מהמספר הקטן. במקרה כזה חל הכלל הבא:

כדי להחסיר מספר גדול ממספר קטן יותר, יותרהורידו את הקטן והניחו סימן מינוס לפני התשובה.

3 − 7 = 7 − 3 = −4

יש סתירה קלה בביטוי הזה. נזכיר שסימן השוויון (=) ממוקם בין ערכים וביטויים כאשר הם שווים זה לזה.

הערך של הביטוי 3 − 7, כפי שלמדנו, הוא −4. המשמעות היא שכל הטרנספורמציות שנבצע בביטוי הזה חייבות להיות שווה ל-4

אבל אנחנו רואים שהביטוי 7 − 3 נמצא בשלב השני, שאינו שווה ל- 4.

כדי לתקן מצב זה, יש לשים את הביטוי 7 - 3 בסוגריים ולשים מינוס לפני סוגריים זה:

3 − 7 = − (7 − 3) = − (4) = −4

במקרה זה, יישמר שוויון בכל שלב:

לאחר הערכת הביטוי, ניתן להסיר את הסוגריים, מה שעשינו.

אז ליתר דיוק, הפתרון צריך להיראות כך:

3 − 7 = − (7 − 3) = − (4) = − 4

ניתן לכתוב כלל זה באמצעות משתנים. זה ייראה כך:

a − b = − (b − a)

מספר רב של סוגריים וסימני פעולה יכולים לסבך את הפתרון של משימה פשוטה מאוד לכאורה, ולכן כדאי יותר ללמוד כיצד לכתוב דוגמאות כאלה בקצרה, למשל 3 − 7 = − 4.

למעשה, החיבור והחיסור של מספרים שלמים מצטמצמים לחיבור בלבד. זה אומר שאם רוצים להחסיר מספרים, ניתן להחליף את הפעולה הזו בחיבור.

אז בואו נכיר את הכלל החדש:

להחסיר מספר אחד ממספר אחר פירושו להוסיף למינונד מספר שיהיה ההפך מזה שחסר.

לדוגמה, שקול את הביטוי הפשוט ביותר 5 − 3. בשלבים הראשונים של לימוד מתמטיקה, שמנו סימן שוויון ורשמנו את התשובה:

אבל עכשיו אנחנו מתקדמים בלמידה, אז אנחנו צריכים להסתגל לכללים החדשים. הכלל החדש אומר שהפחתת מספר אחד ממספר אחר פירושו להוסיף למינונד מספר שייגרע.

בעזרת הביטוי 5 − 3 כדוגמה, בואו ננסה להבין את הכלל הזה. המינואנד בביטוי הזה הוא 5, והסיכוי הוא 3. הכלל אומר שכדי להחסיר 3 מ-5, צריך להוסיף ל-5 מספר כזה שיהיה מנוגד ל-3. המספר ההפוך למספר 3 הוא −3. אנו כותבים ביטוי חדש:

ואנחנו כבר יודעים איך למצוא ערכים לביטויים כאלה. זוהי תוספת של מספרים עם סימנים שונים, שעליה דנו קודם. כדי להוסיף מספרים עם סימנים שונים, נחסר מודול קטן יותר ממודול גדול יותר, ונשים את הסימן של המספר שהמודול שלו גדול יותר לפני שהתקבלה התשובה:

5 + (−3) = |5| − |−3| = 5 − 3 = 2

המודולוס של 5 גדול מהמודלוס של -3. לכן, הורדנו 3 מ-5 וקיבלנו 2. למספר 5 יש מודולוס גדול יותר, ולכן סימן המספר הזה הוכנס בתשובה. כלומר, התשובה חיובית.

בהתחלה, לא כולם מצליחים להחליף במהירות חיסור בחיבור. זה נובע מהעובדה ש מספרים חיובייםכתוב ללא סימן פלוס.

לדוגמה, בביטוי 3 − 1, סימן המינוס המציין חיסור הוא הסימן של הפעולה ואינו מתייחס לאחד. היחידה במקרה זה היא מספר חיובי, ויש לה סימן פלוס משלה, אבל אנחנו לא רואים אותו, כי פלוס לא נכתב לפני מספרים חיוביים.

וכך, לשם הבהירות, ניתן לכתוב את הביטוי הזה באופן הבא:

(+3) − (+1)

מטעמי נוחות, מספרים עם הסימנים שלהם מוקפים בסוגריים. במקרה זה, החלפת חיסור בחיבור היא הרבה יותר קלה.

בביטוי (+3) − (+1), מספר זה מופחת (+1), והמספר הנגדי הוא (−1).

בוא נחליף חיסור בחיבור ובמקום subtrahend (+1) נרשום את המספר הנגדי (−1)

(+3) − (+1) = (+3) + (−1)

חישוב נוסף לא יהיה קשה.

(+3) − (+1) = (+3) + (−1) = |3| − |−1| = 3 − 1 = 2

במבט ראשון, נראה מה הטעם במחוות הנוספות האלה, אם אתה יכול להשתמש בשיטה הישנה והטובה לשים סימן שוויון ולרשום מיד את התשובה 2. למעשה, כלל זה יעזור לנו יותר מפעם אחת.

בואו נפתור את הדוגמה הקודמת 3 − 7 באמצעות כלל החיסור. ראשית, נביא את הביטוי לצורה ברורה, ונציב כל מספר עם הסימנים שלו.

לשלוש יש סימן פלוס כי הוא מספר חיובי. המינוס המציין חיסור אינו חל על השבעה. לשבע יש סימן פלוס כי הוא מספר חיובי:

בואו נחליף חיסור בחיבור:

(+3) − (+7) = (+3) + (−7)

חישוב נוסף לא קשה:

(+3) − (−7) = (+3) + (-7) = −(|−7| − |+3|) = −(7 − 3) = −(4) = −4

דוגמה 7מצא את הערך של הביטוי −4 − 5

לפנינו שוב פעולת החיסור. יש להחליף פעולה זו בתוספת. למינואנד (-4) נוסיף את המספר שממול ל-subtrahend (+5). המספר ההפוך ל-subtrahend (+5) הוא המספר (-5).

(−4) − (+5) = (−4) + (−5)

הגענו למצב שצריך להוסיף מספרים שליליים. במקרים כאלה חל הכלל הבא:

כדי להוסיף מספרים שליליים, עליך להוסיף את המודולים שלהם, ולשים מינוס לפני התשובה שהתקבלה.

אז בואו נוסיף את המודולים של המספרים, כפי שהכלל מחייב אותנו, ונשים מינוס לפני התשובה שהתקבלה:

(−4) − (+5) = (−4) + (−5) = |−4| + |−5| = 4 + 5 = −9

הערך עם מודולים חייב להיות מוקף בסוגריים ולשים מינוס לפני סוגריים אלו. אז אנחנו מספקים מינוס, שאמור לבוא לפני התשובה:

(−4) − (+5) = (−4) + (−5) = −(|−4| + |−5|) = −(4 + 5) = −(9) = −9

הפתרון לדוגמא זו יכול להיכתב בקצרה:

−4 − 5 = −(4 + 5) = −9

או אפילו קצר יותר:

−4 − 5 = −9

דוגמה 8מצא את הערך של הביטוי −3 − 5 − 7 − 9

בואו נביא את הביטוי לצורה ברורה. כאן, כל המספרים מלבד המספר −3 הם חיוביים, כך שיהיו להם סימני פלוס:

(−3) − (+5) − (+7) − (+9)

בואו נחליף חיסורים בתוספות. כל המינוסים, למעט המינוס שלפני הטריפל, ישתנו לפלוסים, וכל המספרים החיוביים ישתנו להפך:

(−3) − (+5) − (+7) − (+9) = (−3) + (−5) + (−7) + (−9)

כעת החל את הכלל להוספת מספרים שליליים. כדי להוסיף מספרים שליליים, עליך להוסיף את המודולים שלהם ולשים מינוס לפני התשובה שהתקבלה:

(−3) − (+5) − (+7) − (+9) = (−3) + (−5) + (−7) + (−9) =

= −(|−3| + |−5| + |−7| + |−9|) = −(3 + 5 + 7 + 9) = −(24) = −24

ניתן לכתוב את הפתרון לדוגמא הזו בקצרה יותר:

−3 − 5 − 7 − 9 = −(3 + 5 + 7 + 9) = −24

או אפילו קצר יותר:

−3 − 5 − 7 − 9 = −24

דוגמה 9מצא את הערך של הביטוי −10 + 6 − 15 + 11 − 7

בואו נביא את הביטוי לצורה ברורה:

(−10) + (+6) − (+15) + (+11) − (+7)

יש כאן שתי פעולות: חיבור וחיסור. החיבור נותר ללא שינוי, והחיסור מוחלף בחיבור:

(−10) + (+6) − (+15) + (+11) − (+7) = (−10) + (+6) + (−15) + (+11) + (−7)

בהתבוננות, נבצע כל פעולה בתורה, בהתבסס על הכללים שנלמדו קודם לכן. ניתן לדלג על ערכים עם מודולים:

פעולה ראשונה:

(−10) + (+6) = − (10 − 6) = − (4) = − 4

פעולה שנייה:

(−4) + (−15) = − (4 + 15) = − (19) = − 19

פעולה שלישית:

(−19) + (+11) = − (19 − 11) = − (8) = −8

פעולה רביעית:

(−8) + (−7) = − (8 + 7) = − (15) = − 15

לפיכך, הערך של הביטוי −10 + 6 − 15 + 11 − 7 הוא −15

הערה. אין צורך להביא את הביטוי לצורה ברורה על ידי הוספת מספרים בסוגריים. כאשר מתרחשת התרגלות מספרים שליליים, אתה יכול לדלג על שלב זה מכיוון שהוא גוזל זמן ועלול להיות מבלבל.

לכן, לחיבור והפחתה של מספרים שלמים, עליך לזכור את הכללים הבאים:

הצטרף לקבוצת Vkontakte החדשה שלנו והתחל לקבל הודעות על שיעורים חדשים