המרת שבר מעורב לשבר לא תקין. איך להמיר שבר לא תקין לשבר תקין. איך להמיר שבר לא תקין לשבר תקין. איך להמיר שבר לא תקין לשבר מעורב

בחומר זה, ננתח דבר כזה כמו מספרים מעורבים. נתחיל, כמו תמיד, עם הגדרה ודוגמאות קטנות, ואז נסביר את הקשר בין מספרים מעורבים לשברים לא תקינים. לאחר מכן, נלמד כיצד לחלץ נכון את החלק השלם משבר ולקבל מספר שלם כתוצאה מכך.

הרעיון של מספר מעורב

אם ניקח את הסכום n + a b, כאשר הערך של n יכול להיות כל מספר טבעי, ו-a b הוא שבר רגיל תקין, אז נוכל לכתוב את אותו הדבר מבלי להשתמש בפלוס: n a b. ניקח מספרים ספציפיים לצורך הבהירות: אז, 28 + 5 7 זהה ל-28 5 7. כתיבת שבר ליד מספר שלם נקראת מספר מעורב.

הגדרה 1

מספר מעורבהוא מספר השווה לסכום של מספר טבעי n עם שבר רגיל תקין a b . במקרה זה, n הוא החלק השלם של המספר, ו- a b הוא החלק השברי שלו.

מההגדרה עולה שכל מספר מעורב שווה למה שייגרם מהוספת חלקיו השלמים והשברים. לפיכך, השוויון n a b = n + a b יתקיים.

אפשר לכתוב אותו גם כ-n + a b = n a b.

מהן כמה דוגמאות למספרים מעורבים? אז, 5 1 8 שייך להם, בעוד שחמש הוא כל החלק שלו, ושמינית היא חלקית. דוגמאות נוספות: 1 1 2 , 234 34 53 , 34000 6 25 .

כתבנו למעלה שרק שבר תקין צריך להיות בחלק השבר של מספר מעורב. לפעמים אתה יכול למצוא ערכים כמו 5 22 3 , 75 7 2 . הם לא מספרים מעורבים, כי החלק השברי שלהם שגוי. יש להבין אותם כסכום של מספר שלם וחלק שברי. ניתן לצמצם מספרים כאלה לסימון הסטנדרטי של מספרים מעורבים על ידי בחירת החלק השלם מ-not חלק ראויוהוספתו ל-5 ול-75 בדוגמאות אלו בהתאמה.

גם מספרים מהצורה 0 3 14 אינם מעורבים. חלקו הראשון של התנאי אינו מתקיים כאן: יש לייצג את החלק כולו בלבד מספר טבעי, ואפס לא.

כיצד קשורים שברים לא תקינים ומספרים מעורבים?

הקשר הזה הוא הכי קל להתחקות על דוגמה ספציפית.

דוגמה 1

ניקח עוגה שלמה ועוד שלושה רבעים מאותה. על פי כללי ההוספה, יש לנו 1 + 3 4 עוגות על השולחן. סכום זה יכול להיות מיוצג כמספר מעורב כ-1 3 4 עוגות. אם ניקח עוגה שלמה וגם נחתוך אותה לארבעה חלקים שווים, אז יהיו לנו 7 4 עוגות על השולחן. ברור שהכמות לא גדלה מחיתוך, ו- 1 3 4 = 7 4 .

הדוגמה שלנו מוכיחה שכל שבר לא תקין יכול להיות מיוצג כמספר מעורב.

בואו נחזור ל-7 4 העוגות שלנו שנותרו על השולחן. בואו נחזיר עוגה אחת מהחתיכות שלה (1 + 3 4). שוב יהיה לנו 1 3 4 .

תשובה: 7 4 = 1 3 4 .

הבנו איך להמיר שבר לא תקין למספר מעורב. אם המונה של שבר פסול מכיל מספר שניתן לחלק במכנה ללא שארית, אז אתה יכול לעשות זאת, ואז השבר הבלתי תקין שלנו יהפוך למספר טבעי.

דוגמה 2

לדוגמה,

8 4 = 2 מאז 8: 4 = 2 .

כיצד להמיר מספר מעורב לשבר לא תקין

כדי לפתור בעיות בהצלחה, כדאי להיות מסוגל לבצע את הפעולה ההפוכה, כלומר ליצור שברים לא תקינים ממספרים מעורבים. בפסקה זו ננתח כיצד לעשות זאת נכון.

כדי לעשות זאת, עליך לשחזר את רצף הפעולות הבא:

1. מלכתחילה, אנו מציגים את המספר המעורב הזמין n a b כסכום של החלקים השלמים והשברים. מסתבר n + a b

3. לאחר מכן, אנו מבצעים פעולה מוכרת כבר - נוסיף שני שברים רגילים n 1 ו-b. השבר הלא תקין שיתקבל יהיה שווה למספר המעורב שניתן בתנאי.

בואו ננתח את הפעולה הזו על דוגמה ספציפית.

דוגמה 3

כתוב 5 3 7 כשבר לא תקין.

פִּתָרוֹן

אנו מבצעים את השלבים של האלגוריתם לעיל ברצף. המספר שלנו 5 3 7 הוא סכום החלקים השלמים והשברים, כלומר 5 + 3 7. כעת נכתוב את החמישה כ-5 1. קיבלנו את הסכום 5 1 + 3 7.

השלב האחרון הוא הוספת שברים עם מכנים שונים:

5 1 + 3 7 = 35 7 + 3 7 = 38 7

כל הפתרון ל צורה קצרהניתן לכתוב כ-5 3 7 = 5 + 3 7 = 5 1 + 3 7 = 35 7 + 3 7 = 38 7.

תשובה: 5 3 7 = 38 7 .

כך, בעזרת שרשרת הפעולות הנ"ל, נוכל להמיר כל מספר מעורב n a b לשבר לא תקין. קיבלנו את הנוסחה n a b = n b + a b , אותה ניקח כדי לפתור בעיות נוספות.

דוגמה 4

כתוב 15 2 5 כשבר לא תקין.

פִּתָרוֹן

קח את הנוסחה הזו והחלף בה את הערכים הרצויים. יש לנו n = 15 , a = 2 , b = 5 , לכן 15 2 5 = 15 5 + 2 5 = 77 5 .

תשובה: 15 2 5 = 77 5 .

בדרך כלל איננו מציינים את השבר הלא תקין כתשובה הסופית. נהוג להביא את החישובים לסוף ולהחליפו במספר טבעי (מחלק המונה במכנה) או במספר מעורב. ככלל, השיטה הראשונה משמשת כאשר ניתן לחלק את המונה במכנה ללא שארית, והשנייה - אם פעולה כזו בלתי אפשרית.

כאשר אנו מחלצים את כל החלק משבר לא תקין, אנו פשוט מחליפים אותו במספר מעורב שווה.

בוא נראה איך בדיוק זה נעשה.

הגדרה 2

אנו מציגים הוכחה לקביעה זו.

עלינו להסביר מדוע q r b = a b . לשם כך, המספר המעורב q r b חייב להיות מיוצג כשבר לא תקין על ידי ביצוע כל השלבים של האלגוריתם מהפסקה הקודמת. מכיוון שהוא מנה לא שלמה, ו-r הוא יתרת החלוקה של a ב-b, אז השוויון a = b · q + r חייב להתקיים.

אז q b + r b = a b אז q r b = a b . זו ההוכחה לקביעה שלנו. לסכם:

הגדרה 3

הבחירה של החלק השלם מהשבר הלא תקין a b מתבצעת באופן הבא:

1) נחלק את a ב-b עם שארית ונכתוב את המנה הלא מלאה q ואת השארית r בנפרד.

2) כתוב את התוצאות כ-q r b. זהו המספר המעורב שלנו, שווה לשבר המקורי הלא תקין.

דוגמה 5

הבע את 1074 כמספר מעורב.

פִּתָרוֹן

אנו מחלקים 104 ב-7 בעמודה:

חלוקת המונה a = 118 במכנה b = 7 נותנת לנו את המנה הלא מלאה q = 16 והשאר r = 6.

כתוצאה מכך, נקבל שהשבר הלא תקין 118 7 שווה למספר המעורב q r b = 16 6 7 .

תשובה: 118 7 = 16 6 7 .

נותר לנו לראות כיצד מחליפים שבר לא תקין במספר טבעי (בתנאי שהמונה שלו מתחלק במכנה ללא שארית).

כדי לעשות זאת, זכור מה הקשר בין שברים רגילים לחילוק. מכאן נוכל לגזור את השוויון: a b = a: b = c . מסתבר שאת השבר הפסול a b אפשר להחליף במספר טבעי c.

דוגמה 6

לדוגמה, אם התברר שהתשובה היא שבר לא תקין 27 3, נוכל לכתוב במקום 9, שכן 27 3 \u003d 27: 3 \u003d 9.

תשובה: 27 3 = 9 .

אם אתה מבחין בטעות בטקסט, אנא סמן אותה והקש Ctrl+Enter

הוראה

מצא את המונה של השבר המתקבל, שאמור להישאר לאחר חילוץ החלק השלם ממנו. לשם כך, הכפלו את החלק השלם המחושב (20) במכנה (23) והורידו את התוצאה (20*23=460) מהמונה של השבר המקורי (475). פעולה זו יכולה להיעשות גם במוח, בטור או באמצעות מחשבון (475-460=15).

אסוף נתונים מחושבים לרשומה אחת בטופס שבר מעורב- תחילה כתוב את החלק השלם (20), לאחר מכן, ולאחר מכן שים את החלק הנכון עם המונה (15) ו-(23). עבור הדוגמה המשמשת כמדגם, ההפיכה של שבר לא תקין לשבר נכון (ליתר דיוק, למעורב) יכולה להיכתב באופן הבא: 475/23=20 15/23.

לעתים קרובות אתה צריך לחלק משהו לחלקים, והחלקים האלה שלתוכם מחולק השלם הם שברים. במתמטיקה ישנם מספר סוגי שברים: עשרוני (0.1; 2.5 וכן הלאה) ורגיל (1/3; 5/9; 67/89 וכן הלאה). שברים נפוצים הם צודקים ולא נכונים.

הוראה

רגיל שברירנקרא נכון אם המספר במונה שלו הוא פחות ממספר, שנמצא במכנה. הפחתת השברים נעשית כדי לעבוד עם המינימום מספרים גדולים.

הוראה

לתרגום מספר מעורב

כללים וטריקים מתמטיים פשוטים, אם לא משתמשים בהם כל הזמן, נשכחים הכי מהר. מונחים מתפוגגים מהזיכרון אפילו מהר יותר.

אחד מאלה פעולות פשוטות- המרת שבר לא תקין לשבר תקין או, במילים אחרות, מעורב.

שבר לא תקין

שבר לא תקין הוא שבר שבו המונה (המספר שמעל לסרגל השבר) גדול או שווה למכנה (המספר שמתחת לסרגל). שבר כזה מתקבל על ידי חיבור שברים או הכפלה של שבר במספר שלם. על פי כללי המתמטיקה, יש להפוך שבר כזה לשבר רגיל.

חלק ראוי

זה הגיוני להניח שכל השברים האחרים נקראים נכונים. הגדרה קפדנית - נקרא שבר נכון, שבו המונה קטן מהמכנה. שבר שיש לו חלק שלם נקרא לפעמים שבר מעורב.

המרת שבר לא תקין לשבר תקין

• מקרה ראשון: מונה ומכנה שווים זה לזה. כתוצאה מהשינוי של כל שבר כזה, יתקבל אחד. זה לא משנה אם זה שלושה שליש או מאה עשרים וחמש מאה עשרים וחמש. למעשה, שבר כזה מציין את פעולת חלוקת המספר בעצמו.

• מקרה שני: המונה גדול מהמכנה. כאן אתה צריך לזכור את השיטה של ​​חלוקת מספרים עם שארית.
  לשם כך, עליך למצוא את המספר הקרוב ביותר לערך המונה, המתחלק במכנה ללא שארית. לדוגמה, יש לך שבריר של תשעה עשר שלישים. המספר הקרוב ביותר שניתן לחלק בשלוש הוא שמונה עשרה. קבל שישה. כעת החסר את המספר המתקבל מהמונה. אנחנו מקבלים יחידה. זה השאר. רשום את תוצאת השינוי: שישה מספרים שלמים ושליש.

אבל לפני הפחתת השבר ל צורה נכונה, עלינו לבדוק האם ניתן להפחית אותו.
הפחתת שברים אפשרית אם יש למונה ולמכנה מחלק משותף. כלומר, מספר שבו שניהם מתחלקים ללא שארית. אם יש כמה מחלקים כאלה, אתה צריך למצוא את הגדול ביותר.
לדוגמה, לכל המספרים הזוגיים יש מחלק משותף - שניים. ולשבר של שש עשרה שנים עשר יש מחלק משותף נוסף - ארבע. זהו המחלק הגדול ביותר. מחלקים את המונה והמכנה בארבע. תוצאת הפחתה: ארבעה שליש. כעת, כתרגול, המר את השבר הזה לשבר תקין.

כל אדם, בעת פתרון בעיות ממתמטיקה, התמודד לעתים קרובות עם בעיות עם שברים. יש הרבה כאלה, אז נשקול גרסאות שונותלפתור בעיות בסיסיות כאלה.

מה זה שברים

המספר העליון של כל שבר נקרא מונה, והמספר התחתון נקרא מכנה. שבר רגיל הוא מנה של שני מספרים, אחד מהמספרים הללו נמצא במונה השבר, השני נמצא במכנה של השבר. סוגי השברים הרגילים הללו ייקבעו על ידי השוואת המכנה והמונה של השבר.

אם המכנה של שבר (מספר טבעי) גדול מהמונה של שבר (מספר טבעי), אז השבר נקרא תקין. הנה כמה דוגמאות: 7/19; 9/13; 31/152; 5/17.

אם המכנה של שבר (מספר טבעי) קטן או שווה למונה של שבר (מספר טבעי), אז השבר נקרא שבר לא תקין. הנה כמה דוגמאות: 7/5; 19/3; 15/9; 231/63.

איך לתרגם שבר לא תקין

כדי להמיר שבר מעורב לשבר לא תקין, עליך להכפיל את החלק השלם של השבר במכנה בחלק השבר ולהוסיף את המונה למוצר זה. לאחר מכן קח את הסכום כמונה, כתוב את אותו מכנה כמו קודם. הנה כמה דוגמאות:

• 4(3/11) = (4x11+3)/11 = (44+3)/11 = 47/11.
• 11(5/9) = (11x9+5)/9 = (99+5)/9 = 104/9.

כדי להמיר שבר לא תקין לשבר תקין, עליך לחלק את המונה של שבר לא תקין זה במכנה שלו. המספר השלם המתקבל נלקח כחלק השלם של השבר, והשאר (כמובן, אם הוא קיים) נלקח כמונה של החלק השבר של השבר הנכון, תוך כתיבה של אותו מכנה כמו קודם. הנה כמה דוגמאות:

• 150/13 = (143/13)+(7/13) = 11(7/13).
• 156/12 = (13x12)/12 = 13.

כדי להמיר שבר פסול לעשרוני, צריך לברר אם קיים גורם כזה, שיאפשר להביא את המכנה של החלק השבר של השבר הבלתי תקין למספר השווה לעשר (או עשר מועלה לכל חזק (10, 100, 1000 ואילך). אם גורם כזה הוא, אז יש צורך להכפיל את המונה והמכנה של השבר הלא תקין בגורם זה כדי לבדוק אותו. כעת יש לייחס את המונה המוכפל, מופרד בפסיק , לחלק השלם של השבר הלא תקין. אנו נותנים דוגמאות:

• מכפיל "5" - 8/20 = (8x5) / (20x5) = 40/100 = 0.4.
• מכפיל "4" - 14/25 = (14x4) / (25x4) = 56/100 = 0.56.
• מכפיל "25" - 3/40 = (3x25)/(40x25) = 75/1000 = 0.075.

אם לא קיים גורם כזה, זה אומר שלשבר עשרוני לא תקין זה אין מקבילה ברורה. כלומר, לא ניתן להמיר כל שבר לא תקין לעשרוני. במקרה זה, אתה צריך למצוא את הערך המשוער של השבר עם מידת הדיוק שאתה צריך. אתה יכול לחשב שבר כזה במחשבון, במחשבה או בעמודה. הנה כמה דוגמאות: 41/7 = 5(6/7) = 5.9 (מעוגל לעשיריות), = 5.86 (מעוגל לאלפיות), = 5.857 (מעוגל לאלפיות); 3/7, 7/6, 1/3 ואחרים. הם גם לא מתורגמים בצורה ברורה והם נספרים במחשבון, במוח או בטור.

עכשיו אתה יודע איך להמיר שבר לא תקין לשבר נאות או עשרוני!

במאמר זה נדבר על מספרים מעורבים. ראשית, בואו נגדיר מספרים מעורבים וניתן דוגמאות. לאחר מכן, הבה נתעכב על הקשר בין מספרים מעורבים לשברים לא תקינים. לאחר מכן, נראה כיצד להמיר מספר מעורב לשבר לא תקין. לבסוף, נלמד את התהליך ההפוך, הנקרא חילוץ של החלק השלם משבר לא תקין.

ניווט בדף.

מספרים מעורבים, הגדרה, דוגמאות

מתמטיקאים הסכימו שניתן לכתוב את הסכום n + a/b, כאשר n הוא מספר טבעי, a/b הוא שבר רגיל, ללא סימן חיבור בטופס. לדוגמה, ניתן לכתוב בקצרה את הסכום 28+5/7 כ. ערך כזה נקרא מעורב, והמספר שמתאים לערך המעורב הזה נקרא מספר מעורב.

אז הגענו להגדרה של מספר מעורב.

הַגדָרָה.

מספר מעורבהוא המספר שווה לסכוםמספר טבעי n ונכון שבר נפוץ a/b , וכתוב כ . במקרה זה, המספר n נקרא חלק שלם של מספר, והמספר a/b נקרא חלק חלקי של מספר.

בהגדרה, מספר מעורב שווה לסכום החלקים השלמים והשברים שלו, כלומר השוויון נכון, שאפשר לכתוב גם כך:.

בואו נביא דוגמאות למספרים מעורבים. המספר הוא מספר מעורב, המספר הטבעי 5 הוא החלק השלם של המספר, והוא החלק השברי של המספר. דוגמאות נוספות למספרים מעורבים הן .

לפעמים אתה יכול למצוא מספרים בסימון מעורב, אבל עם חלק שבר של שבר לא תקין, למשל, או. המספרים הללו מובנים כסכום של חלקיהם השלמים והשברים, למשל, ו . אבל מספרים כאלה אינם מתאימים להגדרה של מספר מעורב, שכן החלק השברי של מספרים מעורבים חייב להיות שבר תקין.

גם מספר אינו מספר מעורב, שכן 0 אינו מספר טבעי.

קשר בין מספרים מעורבים לשברים לא תקינים

זֵכֶר קשר בין מספרים מעורבים לשברים לא תקיניםהכי טוב עם דוגמאות.

שיהיה עוגה על המגש ועוד 3/4 מאותה עוגה. כלומר, לפי משמעות התוספת יש 1+3/4 עוגות על המגש. לאחר שכתבנו את הכמות האחרונה כמספר מעורב, אנו מציינים שיש עוגה על המגש. כעת נחתוך את כל העוגה ל-4 חלקים שווים. כתוצאה מכך, 7/4 מהעוגה יהיו על המגש. ברור ש"כמות" העוגה לא השתנתה אפוא.

מהדוגמה הנחשבת, הקשר הבא נראה בבירור: כל מספר מעורב יכול להיות מיוצג כשבר לא תקין.

כעת תנו 7/4 מהעוגה על המגש. לאחר הוספת עוגה שלמה מתוך ארבע מניות, יהיה 1 + 3/4 על המגש, כלומר, עוגה. מכאן ברור ש.

מהדוגמה הזו ברור ש שבר לא תקין יכול להיות מיוצג כמספר מעורב. (במקרה המיוחד שבו מחלקים את המונה של שבר פסול במכנה, ניתן לייצג את השבר הבלתי תקין כמספר טבעי, למשל, שכן 8:4=2).

המרת מספר מעורב לשבר לא תקין

כדי לבצע פעולות שונות עם מספרים מעורבים, מסתבר מיומנות שימושיתמייצג מספרים מעורבים כשברים לא תקינים. בפסקה הקודמת, גילינו שניתן להמיר כל מספר מעורב לשבר לא תקין. הגיע הזמן להבין איך תרגום כזה מתבצע.

בוא נכתוב אלגוריתם מראה כיצד להמיר מספר מעורב לשבר לא תקין:

שקול דוגמה להמרת מספר מעורב לשבר לא תקין.

דוגמא.

הביעו את המספר המעורב כשבר לא תקין.

פִּתָרוֹן.

בואו נבצע את כל השלבים הדרושים של האלגוריתם.

מספר מעורב שווה לסכום החלקים השלמים והשברים שלו: .

על ידי כתיבת המספר 5 כ-5/1, הסכום האחרון הופך ל- .

כדי להשלים את התרגום של המספר המעורב המקורי לשבר לא תקין, נותר לבצע חיבור של שברים עם מכנים שונים: .

סיכום הפתרון כולו הוא כדלקמן: .

תשובה:

לכן, כדי לתרגם מספר מעורב לשבר לא תקין, עליך לבצע את שרשרת הפעולות הבאה:. כתוצאה מכך התקבל , שבו נשתמש בהמשך.

דוגמא.

כתוב את המספר המעורב כשבר לא תקין.

פִּתָרוֹן.

בואו נשתמש בנוסחה כדי להמיר מספר מעורב לשבר לא תקין. בדוגמה זו n=15 , a=2 , b=5 . לכן, .

תשובה:

חילוץ החלק השלם משבר לא תקין

לא נהוג לכתוב שבר פסול בתשובה. שבר לא תקין מוחלף מראש או במספר טבעי השווה לו (כאשר המונה מחולק כולו במכנה), או שההפרדה כביכול של החלק השלם משבר לא תקין מתבצעת (כאשר המונה אינו מחולק לגמרי לפי המכנה).

הַגדָרָה.

חילוץ החלק השלם משבר לא תקיןהוא החלפת שבר במספר המעורב השווה שלו.

נותר לברר איך אתה יכול לבחור את כל החלק משבר לא תקין.

זה פשוט מאוד: שבר לא תקין a/b שווה למספר מעורב של הצורה , כאשר q הוא מנה לא שלמה, ו-r הוא שאר חלוקת a ב-b. כלומר, החלק השלם שווה למנה הלא מלאה של חלוקת a ב-b, והשאר שווה למונה של החלק השברי.

בואו נוכיח את האמירה הזו.

כדי לעשות זאת, די להראות את זה. נתרגם את המעורב לשבר לא תקין כפי שעשינו בפסקה הקודמת:. מכיוון ש-q הוא מנה לא שלמה ו-r הוא שארית החלוקה של a ב-b, אז השוויון a=b q+r נכון (במידת הצורך, ראה