(!LANG:מהו סכום הוקטורים ההפוכים. תוספת וקטורית

וקטור הוא עצם מתמטי המתאפיין בגודל ובכיוון (למשל תאוצה, תזוזה), השונה מסקלרים שאין להם כיוון (למשל מרחק, אנרגיה). ניתן להוסיף סקלרים על ידי הוספת הערכים שלהם (לדוגמה, 5 קילו ג'יי עבודה פלוס 6 קילו ג'יי עבודה שווה 11 קילו ג'יי עבודה), אבל חיבור והפחתה של וקטורים זה לא כל כך קל.

צעדים

חיבור וחיסור של וקטורים עם רכיבים ידועים

מכיוון שלווקטורים יש גודל וכיוון, ניתן לפרק אותם לרכיבים המבוססים על ממדי x, y ו/או z. הם בדרך כלל מסומנים באותו אופן כמו נקודות במערכת קואורדינטות (לדוגמה,<х,у,z>). אם הרכיבים ידועים, אז חיבור/חיסור וקטורים קל כמו חיבור/חיסור קואורדינטות x, y, z.

• שימו לב כי וקטורים יכולים להיות חד מימדיים, דו מימדיים או תלת מימדיים. לפיכך, לוקטורים יכולים להיות רכיב "x", רכיבי "x" ו-"y, או רכיבי "x", "y", "z". וקטורים תלת מימדיים נדונים להלן, אך התהליך דומה עבור וקטורים דו מימדיים ודו מימדיים.
• נניח שניתנים לך שני וקטורים תלת מימדיים - וקטור A ווקטור B. כתוב את הוקטורים האלה בצורה וקטורית: A = ו-B= , כאשר a1 ו-a2 הם רכיבי "x", b1 ו-b2 הם רכיבי "y", c1 ו-c2 הם רכיבי "z".

1. כדי להוסיף שני וקטורים, הוסף את הרכיבים שלהם.במילים אחרות, הוסף את רכיב "x" של הווקטור הראשון לרכיב "x" של הווקטור השני (וכן הלאה). כתוצאה מכך, תקבל את הרכיבים x, y, z של הווקטור המתקבל.

   • א+ב = .
   • הוסף וקטורים A ו-B. A =<5, 9, -10>ו-B=<17, -3, -2>. A+B=<5+17, 9+-3, -10+-2>, או <22, 6, -12> .

2. כדי להחסיר וקטור אחד ממשנהו, עליך להחסיר את הרכיבים המתאימים.כפי שיוצג להלן, ניתן להחליף חיסור בתוספת של וקטור אחד והדדיות של וקטור אחר. אם הרכיבים של שני וקטורים ידועים, הפחת את הרכיבים המתאימים של וקטור אחד מהרכיבים של השני.

   • א-ב =
   • הפחת את הוקטורים A ו-B. A =<18, 5, 3>ו-B=<-10, 9, -10>. א-ב=<18--10, 5-9, 3--10>, או <28, -4, 13> .

   חיבור וחיסור גרפי

   1. מכיוון שלווקטורים יש גודל וכיוון, יש להם התחלה וסוף (נקודת התחלה ונקודת סיום, שהמרחק ביניהן שווה לערך הווקטור). כאשר וקטור מוצג בצורה גרפית, הוא מצויר כחץ, שבו הקצה הוא סוף הווקטור, והנקודה ההפוכה היא תחילתו של הווקטור.

      • כאשר מתווים וקטורים, בנה את כל הזוויות בצורה מדויקת מאוד; אחרת תקבל את התשובה הלא נכונה.

   2. כדי להוסיף וקטורים, צייר אותם כך שסוף כל וקטור קודם יתחבר לתחילת הווקטור הבא. אם אתה מוסיף רק שני וקטורים, אז זה כל מה שאתה צריך לעשות לפני שתמצא את הווקטור שנוצר.

      • שימו לב שהסדר שבו הווקטורים מחוברים אינו חשוב, כלומר וקטור A + וקטור B = וקטור B + וקטור A.

   3. כדי להחסיר וקטור, פשוט הוסף את הווקטור ההפוך, כלומר שנה את כיוון הווקטור המופחת, ולאחר מכן חבר את ההתחלה שלו לסוף של וקטור אחר. במילים אחרות, כדי להחסיר וקטור, סובבו אותו 180o (מסביב למקור) והוסיפו אותו לוקטור אחר.

      אם אתה מוסיף או מפחית כמה (יותר משני) וקטורים, חבר ברצף את הקצוות וההתחלות שלהם. הסדר שבו אתה מחבר את הוקטורים לא משנה. ניתן להשתמש בשיטה זו עבור כל מספר של וקטורים.

   4. צייר וקטור חדש שמתחיל מתחילת הווקטור הראשון ומסתיים בסוף הווקטור האחרון (לא משנה כמה וקטורים תוסיף). תקבל וקטור שנוצר שווה לסכום כל הוקטורים שנוספו. שימו לב כי וקטור זה זהה לווקטור המתקבל על ידי הוספת הרכיבים x, y, z של כל הוקטורים.

      • אם ציירתם את אורכי הווקטורים ואת הזוויות ביניהם בדיוק רב, אז תוכלו למצוא את הערך של הווקטור שנוצר על ידי מדידת אורכו. בנוסף, ניתן למדוד את הזווית (בין וקטור התוצאה לוקטור שצוין אחר או קווים אופקיים/אנכיים) כדי למצוא את כיוון וקטור התוצאה.
      • אם ציירתם את אורכי הווקטורים ואת הזוויות ביניהם בצורה מדויקת מאוד, אז תוכלו למצוא את הערך של הווקטור המתקבל באמצעות טריגונומטריה, כלומר משפט הסינוס או משפט הקוסינוס. אם אתה מוסיף וקטורים מרובים (יותר משניים), הוסף שני וקטורים תחילה, ולאחר מכן הוסף את הווקטור שנוצר ואת הווקטור השלישי, וכן הלאה. עיין בסעיף הבא למידע נוסף.

   5. ייצג את הווקטור המתקבל, מציין את הערך והכיוון שלו.כפי שצוין לעיל, אם תצייר את אורכי הווקטורים שיש להוסיף ואת הזוויות ביניהם בדיוק רב, אז הערך של הווקטור המתקבל שווה לאורכו, והכיוון הוא הזווית בינו לבין הקו האנכי או האופקי . אל תשכחו להקצות לערך הווקטור את יחידות המידה שבהן ניתנים הוקטורים שנוספו/חולקו.

      • לדוגמה, אם אתה מוסיף וקטורי מהירות הנמדדים ב-m/s, אז הוסף "m/s" לערך של הווקטור המתקבל, וגם ציין את הזווית של הווקטור המתקבל בפורמט "o לקו האופקי".

   חיבור והפחתה של וקטורים על ידי מציאת ערכי מרכיביהם

   1. כדי למצוא את הערכים של רכיבי הווקטור, עליך לדעת את ערכי הווקטורים עצמם ואת הכיוון שלהם (הזווית ביחס לקו האופקי או האנכי). שקול וקטור דו מימדי. הפוך אותו למתח של משולש ישר זווית, ואז הרגליים (מקבילות לצירי X ו-Y) של משולש זה יהיו מרכיבי הווקטור. ניתן לחשוב על רכיבים אלה כשני וקטורים מחוברים, אשר, כאשר מוסיפים אותם יחד, נותנים את הווקטור המקורי.

      • ניתן לחשב את האורכים (הערכים) של שני הרכיבים (הרכיבים "x" ו-"y") של הווקטור המקורי באמצעות טריגונומטריה. אם "x" הוא הערך (מודולוס) של הווקטור המקורי, אז רכיב הווקטור הסמוך לפינת הווקטור המקורי הוא xcosθ, ורכיב הווקטור שממול לפינת הווקטור המקורי הוא xsinθ.
      • חשוב לשים לב לכיוון הרכיבים. אם הרכיב מכוון הפוך לכיוון של אחד הצירים, אז ערכו יהיה שלילי, למשל אם הרכיב מכוון שמאלה או למטה במישור הקואורדינטות הדו-ממדי.
      • לדוגמה, נתון וקטור עם מודולוס (ערך) של 3 וכיוון של 135 o (ביחס לאופק). ואז רכיב x הוא 3cos 135 = -2.12 ורכיב y הוא 3sin135 = 2.12.

   2. לאחר שמצאת את הרכיבים של כל הוקטורים שאתה מוסיף, פשוט הוסף את הערכים שלהם ותמצא את ערכי הרכיבים של הווקטור שנוצר. ראשית, חבר את הערכים של כל הרכיבים האופקיים (כלומר רכיבים מקבילים לציר ה-x). לאחר מכן חבר את הערכים של כל הרכיבים האנכיים (כלומר רכיבים מקבילים לציר ה-y). אם הערך של רכיב הוא שלילי, אז הוא מופחת, לא מתווסף.

      • לדוגמה, בואו נוסיף את הווקטור<-2,12, 2,12>וקטור<5,78, -9>. הווקטור שיתקבל יהיה כזה<-2,12 + 5,78, 2,12-9>אוֹ<3,66, -6,88>.

   3. חשב את האורך (הערך) של הווקטור המתקבל באמצעות משפט פיתגורס: c 2 \u003d a 2 + b 2 (מכיוון שהמשולש שנוצר על ידי הווקטור המקורי ומרכיביו הוא מלבני). במקרה זה, הרגליים הן הרכיבים "x" ו-"y" של הווקטור המתקבל, והתחתון הוא הווקטור המתקבל עצמו.

      • לדוגמה, אם בדוגמה שלנו הוספת את הכוח הנמדד בניוטון, אז רשום את התשובה באופן הבא: 7.79 N בזווית של -61.99 o (לציר האופקי).
   • אין לבלבל וקטורים עם המודולים (הערכים) שלהם.
   • וקטורים בעלי אותו כיוון ניתן להוסיף או לגרוע על ידי הוספה או חיסור של הערכים שלהם. אם מתווספים שני וקטורים בכיוון הפוך, הערכים שלהם מופחתים, לא מוסיפים.
   • וקטורים המיוצגים כ-x אני+y י+z קניתן להוסיף או לגרוע על ידי חיבור או הפחתה של המקדמים המתאימים. כתוב גם את תשובתך בתור i,j,k.
   • ניתן למצוא את הערך של וקטור במרחב תלת מימדי באמצעות הנוסחה a 2 \u003d b 2 + c 2 + d 2, איפה א- ערך וקטור, ב, ג,ו דהם המרכיבים של הווקטור.
   • ניתן להוסיף/להחסיר וקטורים של עמודות על ידי חיבור/הפחתה של הערכים המתאימים בכל שורה.

הגדרה סטנדרטית: "וקטור הוא קטע קו מכוון". זה בדרך כלל הגבול של הידע של בוגר בוקטורים. מי צריך איזה "קטעים מכוונים"?

אבל למעשה, מה הם וקטורים ולמה הם?
תחזית מזג האוויר. "רוח צפון מערב, מהירות 18 מטר לשנייה". מסכים, גם כיוון הרוח (מאיפה היא נושבת) והמודול (כלומר, הערך המוחלט) של מהירותה חשובים.

כמויות שאין להן כיוון נקראות סקלרים. מסה, עבודה, מטען חשמלי אינם מכוונים לשום מקום. הם מאופיינים רק בערך מספרי - "כמה קילוגרמים" או "כמה ג'אול".

כמויות פיזיקליות שיש להן לא רק ערך מוחלט, אלא גם כיוון נקראות כמויות וקטוריות.

מהירות, כוח, תאוצה - וקטורים. מבחינתם חשוב "כמה" וחשוב "איפה". לדוגמה, האצת נפילה חופשית מופנה אל פני כדור הארץ, וערכו הוא 9.8 מ'/שנ' 2. מומנטום, חוזק שדה חשמלי, אינדוקציה של שדה מגנטי הם גם כמויות וקטוריות.

אתה זוכר שכמויות פיזיות מסומנות באותיות, לטינית או יוונית. החץ מעל האות מציין שהכמות היא וקטור:

הנה עוד דוגמה.
המכונית נעה מ-A ל-B. התוצאה הסופית היא התנועה שלו מנקודה A לנקודה B, כלומר תנועה על ידי וקטור.

כעת ברור מדוע וקטור הוא קטע מכוון. שימו לב, קצה הווקטור נמצא במקום שבו נמצא החץ. אורך וקטורנקרא אורך המקטע הזה. מיועד: או

עד כה, עבדנו עם כמויות סקלריות, לפי כללי החשבון והאלגברה היסודית. וקטורים הם מושג חדש. זהו מחלקה נוספת של עצמים מתמטיים. יש להם חוקים משלהם.

פעם, אפילו לא ידענו על מספרים. ההיכרות איתם החלה בכיתות היסודי. התברר שאפשר להשוות מספרים זה לזה, להוסיף, לגרוע, להכפיל ולחלק. למדנו שיש מספר אחד ומספר אפס.
כעת נכיר וקטורים.

המושגים של "גדול מ" ו"פחות מ" אינם קיימים עבור וקטורים - אחרי הכל, הכיוונים שלהם יכולים להיות שונים. אתה יכול להשוות רק אורכי וקטורים.

אבל הרעיון של שוויון לוקטורים הוא.
שווההם וקטורים בעלי אותו אורך ואותו כיוון. המשמעות היא שניתן להזיז את הווקטור במקביל לעצמו לכל נקודה במישור.
יחידנקרא וקטור שאורכו 1 . אפס - וקטור שאורכו שווה לאפס, כלומר תחילתו חופפת לסוף.

הכי נוח לעבוד עם וקטורים במערכת קואורדינטות מלבנית - זו שבה אנו מציירים גרפי פונקציות. כל נקודה במערכת הקואורדינטות מתאימה לשני מספרים - קואורדינטות ה-x וה-y שלה, האבססיס והאורדינטה שלה.
הווקטור ניתן גם על ידי שתי קואורדינטות:

כאן, הקואורדינטות של הווקטור כתובות בסוגריים - ב-x וב-y.
קל למצוא אותם: הקואורדינטה של ​​סוף הווקטור מינוס הקואורדינטה של ​​תחילתו.

אם ניתנות הקואורדינטות הווקטוריות, אורכו נמצא על ידי הנוסחה

תוספת וקטורית

ישנן שתי דרכים להוסיף וקטורים.

אחד . כלל המקבילית. כדי להוסיף את הוקטורים ו-, נמקם את המקורות של שניהם באותה נקודה. אנו משלימים את המקבילית ומציירים את האלכסון של המקבילית מאותה נקודה. זה יהיה סכום הוקטורים ו.

זוכרים את האגדה על הברבור, הסרטן והפייק? הם השתדלו מאוד, אבל הם מעולם לא הזיזו את העגלה. הרי הסכום הווקטורי של הכוחות שהופעלו על ידם על העגלה היה שווה לאפס.

2. הדרך השנייה להוסיף וקטורים היא כלל המשולש. בואו ניקח את אותם וקטורים ו. נוסיף את ההתחלה של השני לסוף הווקטור הראשון. כעת נחבר את תחילתו של הראשון וסוף השני. זהו סכום הוקטורים ו.

לפי אותו כלל, אתה יכול להוסיף כמה וקטורים. אנחנו מחברים אותם אחד אחד, ואז מחברים את תחילתו של הראשון לסוף האחרון.

תאר לעצמך שאתה עובר מנקודה A לנקודה B, מ-B ל-C, מ-C ל-D, ואז ל-E ואז ל-F. התוצאה הסופית של פעולות אלו היא מעבר מ-A ל-F.

כשמוסיפים וקטורים ונקבל:

חיסור וקטור

הווקטור מכוון מול הווקטור. אורכי הוקטורים ושווים.

עכשיו ברור מהי חיסור של וקטורים. ההפרש של הוקטורים ו הוא סכום הווקטור והוקטור.

הכפל וקטור במספר

הכפלת וקטור במספר k מביאה לוקטור שאורכו שונה פי k מהאורך. הוא קו-כיווני עם הווקטור אם k גדול מאפס, ומכוון הפוך אם k קטן מאפס.

מכפלת נקודה של וקטורים

וקטורים ניתן להכפיל לא רק במספרים, אלא גם אחד בשני.

המכפלה הסקלרית של וקטורים היא המכפלה של אורכי הוקטורים והקוסינוס של הזווית ביניהם.

שימו לב - הכפלנו שני וקטורים, וקיבלנו סקלאר, כלומר מספר. לדוגמה, בפיזיקה, עבודה מכנית שווה למכפלה הסקלרית של שני וקטורים - כוח ותזוזה:

אם הוקטורים מאונכים, מכפלת הנקודות שלהם היא אפס.
וכך מתבטא המכפלה הסקלרית במונחים של הקואורדינטות של הוקטורים ו:

מהנוסחה של המכפלה הסקלרית, ניתן למצוא את הזווית בין הוקטורים:

נוסחה זו נוחה במיוחד בסטריאומטריה. לדוגמה, בבעיה 14 של Profile USE במתמטיקה, אתה צריך למצוא את הזווית בין קווים מצטלבים או בין ישר למישור. בעיה 14 נפתרת פעמים רבות מהר יותר בשיטת הווקטור מאשר בשיטת הקלאסית.

בְּ מערכת של ביהסבמתמטיקה נחקר רק המכפלה הסקלרית של וקטורים.
מסתבר שבנוסף לסקלר יש גם מכפלה וקטורית, כאשר מתקבל וקטור כתוצאה מהכפלת שני וקטורים. מי שעובר את הבחינה בפיזיקה, יודע מה זה כוח לורנץ וכוח אמפר. הנוסחאות למציאת הכוחות הללו כוללות בדיוק תוצרים וקטוריים.

וקטורים הם כלי מתמטי שימושי מאוד. אתה תשתכנע בכך בקורס הראשון.

איך מוסיפים וקטורים לא תמיד ברור לתלמידים. לילדים אין מושג מה עומד מאחוריהם. אתה רק צריך לשנן את הכללים, ולא לחשוב על המהות. לכן, דווקא לגבי עקרונות החיבור והחיסור של כמויות וקטורים נדרש ידע רב.

הוספת שני וקטורים או יותר תמיד מביאה לאחד נוסף. יתר על כן, זה תמיד יהיה זהה, ללא קשר לקליטת מיקומו.

לרוב, בקורס גיאומטריה בית ספרי, נחשבת תוספת של שני וקטורים. זה יכול להתבצע על פי הכלל של משולש או מקבילית. הציורים האלה נראים אחרת, אבל התוצאה של הפעולה זהה.

כיצד מתבצעת חיבור לפי כלל משולש?

הוא משמש כאשר הוקטורים אינם קולינאריים. כלומר, הם לא שוכבים על אותו קו או מקביל.

במקרה זה, יש לדחות את הווקטור הראשון מנקודה שרירותית כלשהי. מקצהו נדרש לצייר מקביל ושווה לשני. התוצאה תהיה וקטור שמתחיל מההתחלה של הראשון ומסתיים בסוף השני. הציור נראה כמו משולש. מכאן שמו של הכלל.

אם הוקטורים הם קולינאריים, אז ניתן ליישם כלל זה גם. רק הציור ימוקם לאורך קו אחד.

כיצד מתבצעת חיבור מקבילית?

ובכל זאת שוב פעם? חל רק על וקטורים לא קולינאריים. הבנייה מתבצעת על פי עיקרון שונה. למרות שההתחלה זהה. אנחנו צריכים לדחות את הווקטור הראשון. ומההתחלה שלו - השני. בהתבסס עליהם, השלימו את המקבילה ושרטטו אלכסון מתחילת שני הוקטורים. היא תהיה התוצאה. כך מוסיפים וקטורים לפי כלל המקבילית.

עד כה היו שניים. אבל מה אם יש 3 או 10 מהם? השתמש בטריק הבא.

כיצד ומתי מיושם כלל המצולע?

אם אתה צריך לבצע הוספת וקטורים, שמספרם הוא יותר משניים, אתה לא צריך לפחד. מספיק לשים את כולם בצד ולחבר את תחילת השרשרת לקצה שלה. וקטור זה יהיה הסכום הרצוי.

אילו מאפיינים תקפים לפעולות על וקטורים?

לגבי וקטור האפס.מה שטוען שכאשר מוסיפים לו, מתקבל המקורי.

בערך הווקטור ההפוך.כלומר בערך כזה שיש לו כיוון הפוך וערך שווה בערך המוחלט. הסכום שלהם יהיה אפס.

על הקומוטטיביות של התוספת.מה שידוע מאז בית ספר יסודי. שינוי מקומות התנאים אינו משנה את התוצאה. במילים אחרות, זה לא משנה איזה וקטור לדחות קודם. התשובה עדיין תהיה נכונה וייחודית.

על האסוציאטיביות של תוספת.חוק זה מאפשר להוסיף בזוגות כל וקטור משלשה ולהוסיף להם שליש. אם נכתוב את זה באמצעות סמלים, נקבל את הדברים הבאים:

ראשון + (שני + שלישי) = שני + (ראשון + שלישי) = שלישי + (ראשון + שני).

מה ידוע על ההבדל של וקטורים?

אין פעולת חיסור נפרדת. זאת בשל העובדה שמדובר, למעשה, בתוספת. רק השני מהם מקבל כיוון הפוך. ואז הכל נעשה כאילו תוספת של וקטורים נחשבה. לכן, הם למעשה לא מדברים על ההבדל ביניהם.

על מנת לפשט את העבודה עם החיסור שלהם, כלל המשולש שונה. כעת (בעת חיסור) יש לדחות את הווקטור השני מתחילתו של הראשון. התשובה תהיה זו שתחבר נקודת סיוםמופחת עם זה מופחת. למרות שניתן לדחות כפי שתואר קודם לכן, פשוט על ידי שינוי הכיוון של השני.

כיצד למצוא את הסכום וההפרש של וקטורים בקואורדינטות?

בבעיה ניתנות הקואורדינטות של הוקטורים ונדרש לברר את הערכים שלהם עבור הסופי. במקרה זה, אין צורך לבצע את הקונסטרוקציות. כלומר, ניתן להשתמש בנוסחאות פשוטות שמתארות את הכלל להוספת וקטורים. הם נראים כך:

a(x, y, z) + b(k, l, m) = c(x+k, y+l, z+m);

a (x, y, z) -in (k, l, m) \u003d c (x-k, y-l, z-m).

קל לראות שרק צריך להוסיף או לגרוע את הקואורדינטות, בהתאם למשימה הספציפית.

דוגמה ראשונה עם פתרון

מַצָב. נתון מלבן ABCD. צלעותיו הן 6 ו-8 ס"מ. נקודת החיתוך של האלכסונים מסומנת באות O. נדרש לחשב את ההפרש בין הוקטורים AO ו-VO.

פִּתָרוֹן. ראשית עליך לצייר את הוקטורים הללו. הם מכוונים מקודקודי המלבן לנקודת החיתוך של האלכסונים.

אם אתה מסתכל מקרוב על הציור, אתה יכול לראות שהווקטורים כבר מיושרים כך שהשני מהם במגע עם הקצה של הראשון. רק שהכיוון שלו שגוי. זה חייב להתחיל מנקודה זו. זה אם הווקטורים מתווספים, ובבעיה - חיסור. תפסיק. פעולה זו אומרת שאתה צריך להוסיף את הווקטור ההפוך. אז, VO חייב להיות מוחלף על ידי OB. ומסתבר ששני וקטורים כבר יצרו זוג צלעות מכלל המשולש. לכן, התוצאה של התוספת שלהם, כלומר ההבדל הרצוי, היא הווקטור AB.

וזה עולה בקנה אחד עם הצד של המלבן. על מנת לרשום תשובה מספרית, תזדקק לדברים הבאים. צייר מלבן לאורכו כך שהצד הארוך ביותר יהיה אופקי. מספור הקודקודים מתחיל מלמטה שמאל והולך נגד כיוון השעון. אז אורך הווקטור AB יהיה שווה ל-8 ס"מ.

תשובה. ההבדל בין AO ל-VO הוא 8 ס"מ.

הדוגמה השנייה והפתרון המפורט שלה

מַצָב. למעוין ABCD יש אלכסונים של 12 ו-16 ס"מ. נקודת החיתוך שלהם מסומנת באות O. חשב את אורך הווקטור הנוצר מההפרש בין הוקטורים AO ו-BO.

פִּתָרוֹן. תן לייעוד הקודקודים של המעוין להיות זהה לבעיה הקודמת. בדומה לפתרון של הדוגמה הראשונה, מסתבר שההפרש הרצוי שווה לווקטור AB. ואורכו אינו ידוע. פתרון הבעיה הצטמצם לחישוב אחת מצלעות המעוין.

למטרה זו, אתה צריך לשקול את המשולש ABO. הוא מלבני מכיוון שהאלכסונים של המעוין מצטלבים בזווית של 90 מעלות. ורגליו שוות לחצי מהאלכסונים. כלומר, 6 ו-8 ס"מ. הצלע המבוקשת בבעיה עולה בקנה אחד עם התחתון במשולש זה.

כדי למצוא אותו, אתה צריך את משפט פיתגורס. ריבוע התחתון יהיה שווה לסכום המספרים 6 2 ו-8 2. לאחר הריבוע, הערכים התקבלו: 36 ו-64. הסכום שלהם הוא 100. מכאן נובע שהתחתון הוא 10 ס"מ.

תשובה. ההבדל בין הוקטורים AO ו-VO הוא 10 ס"מ.

דוגמה שלישית עם פתרון מפורט

מַצָב. חשב את ההפרש והסכום של שני וקטורים. הקואורדינטות שלהם ידועות: לראשון יש 1 ו-2, לשני יש 4 ו-8.

פִּתָרוֹן. כדי למצוא את הסכום, עליך להוסיף את הקואורדינטות הראשונה והשנייה בזוגות. התוצאה תהיה המספרים 5 ו-10. התשובה תהיה וקטור עם קואורדינטות (5; 10).

עבור ההפרש, אתה צריך להחסיר את הקואורדינטות. לאחר ביצוע פעולה זו, יתקבלו המספרים -3 ו -6. הן יהיו הקואורדינטות של הווקטור הרצוי.

תשובה. סכום הוקטורים הוא (5; 10), ההפרש שלהם הוא (-3; -6).

דוגמה רביעית

מַצָב. אורך הווקטור AB הוא 6 ס"מ, BC - 8 ס"מ. השני מופרש מקצה הראשון בזווית של 90 מעלות. חשב: א) ההפרש בין המודולים של הוקטורים BA ו-BC ומודול ההפרש בין BA ל-BC; ב) סכום אותם מודולים ומודול הסכום.

פתרון: א) אורכי הוקטורים כבר נתונים בבעיה. לכן, לא קשה לחשב את ההפרש שלהם. 6 - 8 = -2. המצב עם מודול ההבדל הוא קצת יותר מסובך. ראשית עליך לברר איזה וקטור יהיה התוצאה של החיסור. לשם כך יש להפריש את הווקטור BA, המופנה בכיוון ההפוך ל-AB. לאחר מכן צייר את הווקטור BC מקצהו, מכוון אותו לכיוון ההפוך לכיוון המקורי. תוצאת החיסור היא וקטור CA. ניתן לחשב את המודולוס שלו באמצעות משפט פיתגורס. חישובים פשוטים מובילים לערך של 10 ס"מ.

ב) סכום המודולים של הוקטורים הוא 14 ס"מ. כדי למצוא את התשובה השנייה, נדרשת טרנספורמציה מסוימת. הווקטור BA מנוגד לזה שניתן - AB. שני הוקטורים מכוונים מאותה נקודה. במצב זה, אתה יכול להשתמש בכלל המקבילית. תוצאת החיבור תהיה אלכסון, ולא רק מקבילה, אלא מלבן. האלכסונים שלו שווים, כלומר מודול הסכום זהה לפסקה הקודמת.

תשובה: א) -2 ו-10 ס"מ; ב) 14 ו-10 ס"מ.

ניתן להוסיף, להכפיל ולחלק סקלרים בדיוק כמו מספרים רגילים.

מאחר וקטור מאופיין לא רק בערך מספרי, אלא גם בכיוון, הוספת וקטורים אינה מצייתת לכללי חיבור המספרים. לדוגמה, תן את האורכים של הוקטורים א= 3 מ', ב= 4 מ', אם כן א + ב= 3 מ' + 4 מ' = 7 מ' אבל אורך הווקטור \(\vec c = \vec a + \vec b\) לא יהיה שווה ל-7 מ' (איור 1).

אורז. אחד.

על מנת לבנות את הווקטור \(\vec c = \vec a + \vec b\) (איור 2), מיושמים כללים מיוחדים להוספת וקטור.

אורז. 2.

ואורך וקטור הסכום \(\vec c = \vec a + \vec b\) נקבע על ידי משפט הקוסינוס \(c = \sqrt(a^2+b^2-2a\cdot b\cdot \ cos \alpha)\ ), כאשר \(\alpha\,\) היא הזווית בין הוקטורים \(\vec a\) ו-\(\vec b\).

כלל משולש

בספרות הזרה, שיטה זו נקראת "זנב בראש".

על מנת להוסיף שני וקטורים \(\vec a\) ו-\(\vec b\) (איור 3, a), צריך להזיז את הווקטור \(\vec b\) במקביל לעצמו כך שההתחלה שלו תחפף עם קצה הווקטור \(\vec a\) (איור 3b). אז הסכום שלהם יהיה הווקטור \(\vec c\), שתחילתו חופפת לתחילת הווקטור \(\vec a\), והסוף חופף לסוף הווקטור \(\vec b\) ( איור 3, ג).

a b c איור. 3.

התוצאה לא תשתנה אם הווקטור \(\vec a\) יוזז במקום הווקטור \(\vec b\) (איור 4), כלומר. \(\vec b + \vec a = \vec a + \vec b\) ( תכונה קומוטטיבית של וקטורים).

a b c איור. ארבע. vector-treug-1.swf"כלל משולשים" דוגמה 1 הגדל פלאש vector-treug-2.swf"כלל משולשים" דוגמה 2 הגדל תמונה פלאש. 5.

באמצעות כלל המשולש, ניתן להוסיף שני וקטורים מקבילים \(\vec a\) ו-\(\vec b\) (איור 6, a) ו-\(\vec a\) ו-\(\vec d\) ( איור 7א). הסכומים של הוקטורים הללו \(\vec c = \vec a + \vec b\) ו-\(\vec f = \vec a + \vec d\) מוצגים באיור. 6ב ו-7ב. יתרה מכך, המודולים של הוקטורים הם \(c = a + b\) ו-\(f=\left|a-d\right|\).

a b איור. 6. a b איור. 7.

ניתן ליישם את כלל המשולש בעת הוספת שלושה וקטורים או יותר. לדוגמה, \(\vec c = \vec a_1 + \vec a_2 +\vec a_3 +\vec a_4\) (איור 8).

אורז. שמונה.

כלל המקבילית

על מנת להוסיף שני וקטורים \(\vec a\) ו-\(\vec b\) (איור 9, a), צריך להזיז אותם במקביל לעצמם כך שהתחלות הוקטורים \(\vec a\ ) ו-\(\ vec b\) היו באותה נקודה (איור 9b). לאחר מכן בנו מקבילית, שצלעותיה יהיו הוקטורים הללו (איור 9, ג). אז הסכום \(\vec a+ \vec b\) יהיה הווקטור \(\vec c\), שתחילתו עולה בקנה אחד עם ההתחלה המשותפת של הוקטורים, והסוף עם הקודקוד ההפוך של המקבילית (איור .9, ד).

א ב באיור. 9. vector-paral-1.swf"חוק מקביל" הגדל תמונה פלאש. עשר.

חיסור וקטור

על מנת למצוא את ההבדל בין שני וקטורים \(\vec a\) ו-\(\vec b\) (איור 11), צריך למצוא את הווקטור \(\vec c = \vec a + \left(- \vec b \right) \) (cm.

הַגדָרָה

הוספת וקטורים ומתבצעת לפי כלל משולש.

סְכוּם שני וקטוריםונקרא וקטור שלישי כזה, שתחילתו חופפת להתחלה, וסופו עם הסוף, בתנאי שסוף הווקטור ותחילת הווקטור חופפים (איור 1).

לתוספת וקטוריםכלל המקבילית חל גם.

הַגדָרָה

כלל המקבילית- אם שני וקטורים לא-קולינאריים u מובילים למקור משותף, אז הווקטור חופף לאלכסון המקבילית הבנויה על הוקטורים u (איור 2). יתר על כן, תחילת הווקטור עולה בקנה אחד עם תחילת הווקטורים הנתונים.

הַגדָרָה

הווקטור נקרא וקטור הפוךלוקטור אם זה קולינאריוקטור , שווה לו באורכו, אך מכוון בכיוון ההפוך לווקטור.

לפעולת הוספת וקטור יש את המאפיינים הבאים:

הַגדָרָה

הֶבדֵל וקטוריםוקטור נקרא כך שהתנאי מתקיים: (איור 3).

הכפל וקטור במספר

הַגדָרָה

עֲבוֹדָה וֶקטוֹר לכל מספרנקרא וקטור שעומד בתנאים:

תכונות הכפלה של וקטור במספר:

כאן u הם וקטורים שרירותיים, והם מספרים שרירותיים.

מרחב אוקלידי(גַם מרחב אוקלידי) - במובן המקורי, המרחב שתכונותיו מתוארות אקסיומות גיאומטריה אוקלידית. במקרה זה, ההנחה היא כי החלל יש מֵמַדשווה ל-3.

במובן המודרני, במובן כללי יותר, זה יכול לציין את אחד מהאובייקטים הדומים והקשורים: סופי ממדים אמיתי מרחב וקטוריעם הגדרה חיובית מוצר סקלרי, או מרחב מטרימתאים למרחב וקטור כזה. במאמר זה, ההגדרה הראשונה תילקח כראשונית.

לעתים קרובות נעשה שימוש גם במרחב אוקלידי ממדי (אם ברור מההקשר שלמרחב יש מבנה אוקלידי).

כדי להגדיר את המרחב האוקלידי, הכי קל לקחת אותו בתור המושג העיקרי מוצר נקודה. המרחב הוקטור האוקלידי מוגדר כ סופי ממדים מרחב וקטורימֵעַל שדה מספרים אמיתיים, שעל הוקטורים שלו פונקציה בעלת ערך אמיתיעם שלושת המאפיינים הבאים:

מרחב משותף, המקביל למרחב וקטור כזה, נקרא המרחב האפיני האוקלידי, או פשוט המרחב האוקלידי .

דוגמה למרחב אוקלידי היא מרחב קואורדינטות המורכב מכל האפשריים נ-בסדר מספרים ממשיים מוצר סקלרי שבו נקבע על ידי הנוסחה

קואורדינטות בסיס וקואורדינטות

בָּסִיס (יוונית אחרתβασις, בסיס) - הסט של כאלה וקטוריםב מרחב וקטורישכל וקטור של המרחב הזה יכול להיות מיוצג באופן ייחודי בתור צירוף ליניאריוקטורים מהקבוצה הזו - וקטורי בסיס.

במקרה שבו הבסיס הוא אינסופי, צריך להבהיר את המושג "שילוב ליניארי". זה מוביל לשני סוגים עיקריים של הגדרות:

בסיס האמל, שהגדרתו מתייחסת רק לצירופים ליניאריים סופיים. בסיס האמל משמש בעיקר באלגברה מופשטת (במיוחד באלגברה לינארית).

בסיס שאודר, שהגדרתו מתייחסת גם לשילובים ליניאריים אינסופיים, כלומר, התרחבות ב דרגות. הגדרה זו משמשת בעיקר בניתוח פונקציונלי, במיוחד עבור חלל הילברט,

בחללים סופיים ממדים, שני סוגי הבסיס חופפים.

קואורדינטות וקטוריותהם המקדמים של האפשרי היחיד צירוף ליניארי בסיסי וקטוריםבבחירה מערכת קואורדינטותשווה לוקטור הנתון.

איפה הקואורדינטות של הווקטור.

מוצר סקלרי.

מבצע על שניים וקטורים, שהתוצאה שלה היא מספר[כאשר וקטורים נחשבים, מספרים נקראים לעתים קרובות סקלרים], שאינו תלוי במערכת הקואורדינטות ומאפיין את אורכי וקטור הגורמים ו פינהביניהם. פעולה זו תואמת את הכפל אורךוֶקטוֹר איקסעל הַקרָנָהוֶקטוֹר yלכל וקטור איקס. פעולה זו נחשבת בדרך כלל כ חִלוּפִיו ליניאריעבור כל גורם.

מוצר סקלרישני וקטורים שווים לסכום המכפלה של הקואורדינטות שלהם:

מוצר וקטור

זה פסאודוקטור, אֲנָכִימישור שנבנה על ידי שני גורמים, שהוא התוצאה של פעולה בינארית"כפל וקטור" מעל וקטוריםבתלת מימד מרחב אוקלידי. למוצר וקטור אין תכונות קומוטטיביותו אסוציאטיביות(הוא אנטי קומוטטיבי) ובניגוד ל מכפלת נקודה של וקטורים, הוא וקטור. בשימוש נרחב ביישומים טכניים ופיזיים רבים. לדוגמה, מומנטום זוויתיו כוח לורנץכתוב מתמטית כמוצר וקטור. מכפלת הצלב שימושית ל"מדידה" של הניצב של וקטורים - המודול של מכפלת הצלב של שני וקטורים שווה למכפלת המודולים שלהם אם הם מאונכים, ויורד לאפס אם הוקטורים מקבילים או אנטי-מקבילים.

מוצר וקטורניתן לחשב שני וקטורים באמצעות קוֹצֵב מטריצות

מוצר מעורב

מוצר מעורב וקטורים -מוצר סקלרי וֶקטוֹרעל מוצר וקטור וקטוריםו:

לפעמים קוראים לזה מוצר משולש סקלרוקטורים, ככל הנראה בשל העובדה שהתוצאה היא סקלר(לייתר דיוק - פסאודו-סקלארי).

חוש גיאומטרי:המודולוס של המוצר המעורב שווה מספרית לנפח מַקבִּילוֹןמְחוּנָך וקטורים .מוצר מעורבניתן למצוא שלושה וקטורים דרך הקובע

מטוס בחלל

מָטוֹס - משטח אלגבריצו ראשון: ב מערכת קואורדינטות קרטזיתניתן להגדיר מטוס משוואהתואר ראשון.

כמה מאפיינים אופייניים של מטוס

מטוס - משטח, המכיל לחלוטין כל אחד ישיר, מחבר כל נקודות;

שני מישורים מקבילים או מצטלבים בקו ישר.

הקו הוא מקביל למישור, או חוצה אותו בנקודה אחת, או נמצא במישור.

שני קווים מאונכים לאותו מישור מקבילים זה לזה.

שני מישורים מאונכים לאותו קו מקבילים זה לזה.

באופן דומה מִגזָרו הַפסָקָה, מישור שאינו כולל נקודות קיצון יכול להיקרא מישור מרווח, או מישור פתוח.

משוואה כללית (שלמה) של המישור

שבו ו הם קבועים, ובו בזמן הם אינם שווים לאפס; ב וֶקטוֹרטופס:

איפה וקטור הרדיוס של הנקודה, הווקטור בניצב למישור (וקטור רגיל). מדריכיםקוסינוסים וקטור: