ערכים מתויגים"сложение чисел с разными знаками". Сложение и вычитание целых чисел!}

היווצרות הידע על כלל החיבור של מספרים עם סימנים שונים, היכולת ליישם אותו במקרים הפשוטים ביותר;

פיתוח מיומנויות להשוואה, זיהוי דפוסים, הכללה;

חינוך ליחס אחראי לעבודה חינוכית.

צִיוּד:מקרן מולטימדיה, מסך.

סוג שיעור:שיעור לימוד חומר חדש.

במהלך השיעורים

1. רגע ארגוני.

עמוד זקוף

הם התיישבו בשקט.

עכשיו הפעמון צלצל

בואו נתחיל את השיעור שלנו.

חבר'ה! היום יש לנו אורחים בשיעור שלנו. בואו נפנה אליהם ונחייך אחד לשני. אז אנחנו מתחילים את השיעור שלנו.

שקופית 2- האפיגרף של השיעור: "מי שלא שם לב לכלום לא לומד כלום.

מי שלא לומד כלום תמיד מיילל ומשעמם.

רומן ספ ( סופר ילדים)

מתוק 3 -אני מציע לך לשחק את המשחק ההפוך. חוקי המשחק: אתה צריך לחלק את המילים לשתי קבוצות: רווח, שקר, חום, נתן, אמת, טוב, הפסד, לקח, רע, קר, חיובי, שלילי.

יש הרבה סתירות בחיים. בעזרתם אנו מגדירים את המציאות הסובבת. לשיעור שלנו אני צריך את האחרון: חיובי - שלילי.

על מה אנחנו מדברים במתמטיקה כשאנחנו משתמשים במילים האלה? (על מספרים.)

פיתגורס הגדול אמר: "המספרים שולטים בעולם". אני מציע לדבר על המספרים המסתוריים ביותר במדע - מספרים עם סימנים שונים. - מספרים שליליים הופיעו במדע כהיפך מחיוביים. דרכם למדע הייתה קשה, כי אפילו מדענים רבים לא תמכו ברעיון קיומם.

אילו מושגים וכמויות אנשים מודדים במספרים חיוביים ושליליים? (מטענים של חלקיקים יסודיים, טמפרטורה, הפסדים, גובה ועומק וכו')

שקופית 4-מילים הפוכות במשמעותן - אנטונימים (טבלה).

2. קביעת נושא השיעור.

שקופית 5 (עבודה עם השולחן)אילו מספרים למדת בשיעורים קודמים?
- אילו משימות הקשורות למספרים חיוביים ושליליים אתה יכול לבצע?
- תשומת לב למסך. (שקופית 5)
איזה מספרים יש בטבלה?
- שם את המודולים של המספרים הכתובים בצורה אופקית.
- לפרט נאי יותר, ציין את המספר בעל המודולוס הגדול ביותר.
- ענה על אותן שאלות עבור מספרים הכתובים בצורה אנכית.
– האם המספר הגדול ביותר והמספר בעל המודולוס הגדול תמיד עולים בקנה אחד?
מצא את סכום המספרים החיוביים, סכום המספרים השליליים.
- נסח את הכלל להוספת מספרים חיוביים ואת הכלל להוספת מספרים שליליים.
איזה מספרים נשאר להוסיף?
- אתה יכול לחבר אותם יחד?
האם אתה מכיר את הכלל להוספת מספרים עם סימנים שונים?
- נסח את נושא השיעור.
- מה המטרה שלך? .חשבו מה נעשה היום? (תשובות של ילדים). היום ממשיכים להתוודע למספרים חיוביים ושליליים. נושא השיעור שלנו הוא "הוספת מספרים עם סימנים שונים". והמטרה שלנו: ללמוד בלי שגיאות, להוסיף מספרים עם סימנים שונים. רשום את התאריך ואת נושא השיעור במחברת שלך..

3. עבודה על נושא השיעור.

שקופית 6.- בעזרת מושגים אלה, מצא את התוצאות של הוספת מספרים עם סימנים שונים על המסך.
אילו מספרים הם התוצאה של הוספת מספרים חיוביים, מספרים שליליים?
אילו מספרים הם התוצאה של הוספת מספרים עם סימנים שונים?
מה קובע את הסימן של סכום המספרים עם סימנים שונים? (שקופית 5)
– מהמונח בעל המודולוס הגדול ביותר.
"זה כמו למשוך חבל. החזק מנצח.

שקופית 7- בוא נשחק. דמיינו שאתם מושכים בחבל. . מוֹרֶה. יריבות נפגשים בדרך כלל בתחרויות. והיום נבקר איתך בכמה טורנירים. הדבר הראשון שמחכה לנו הוא הגמר של תחרות המשיכה. ישנם איבן מינוסוב במספר -7 ופטר פלוסוב במספר +5. מי לדעתך ינצח? למה? אז, איבן מינוסוב ניצח, הוא באמת התגלה כחזק מיריבו, והצליח לגרור אותו אליו צד שלילירק שני שלבים.

שקופית 8.- . ועכשיו נבקר בתחרויות אחרות. הנה גמר תחרות הקליעה. הטובים ביותר בצורה זו היו מינוס טרויקין עם שלושה בלונים ופלוס צ'טבריקוב, שהיו לו ארבעה בלונים במלאי. והנה חברים, מה אתם חושבים, מי יהיה המנצח?

שקופית 9- תחרויות הראו שהחזק מנצח. אז כשמוסיפים מספרים עם סימנים שונים: -7 + 5 = -2 ו -3 + 4 = +1. חבר'ה, איך מצטברים מספרים עם סימנים שונים? התלמידים מציעים אפשרויות משלהם.

המורה מנסח את הכלל, נותן דוגמאות.

10 + 12 = +(12 – 10) = +2

4 + 3,6 = -(4 – 3,6) = -0,4

התלמידים במהלך ההדגמה יכולים להגיב על הפתרון המופיע בשקופית.

שקופית 10"המורה, בוא נשחק עוד משחק." קרב ים". ספינת אויב מתקרבת לחוף שלנו, יש להפיל אותה ולהטביע אותה. בשביל זה יש לנו אקדח. אבל כדי לפגוע במטרה, אתה צריך לעשות חישובים מדויקים. מה תראה עכשיו. מוּכָן? אז תעשה את זה! נא לא להסיח את דעתו, הדוגמאות משתנות בדיוק לאחר 3 שניות. האם כולם מוכנים?

התלמידים הולכים בתורות ללוח ומחשבים את הדוגמאות המופיעות בשקופית. - רשום את השלבים להשלמת המשימה.

שקופית 11-עבודת ספר לימוד: עמ' 180 עמ' 33, קרא את הכלל להוספת מספרים עם סימנים שונים. הערות על כלל.
- מה ההבדל בין הכלל המוצע בספר הלימוד לבין האלגוריתם שחיברת? שקול דוגמאות בספר הלימוד עם פרשנות.

שקופית 12-מורה-עכשיו חברים, בואו נעשה לְנַסוֹת.אבל לא כימי, אלא מתמטי! קחו את המספרים 6 ו-8, סימני הפלוס והמינוס, וערבבו הכל היטב. בואו נקבל ארבע דוגמאות - ניסיון. עשה אותם במחברת שלך. (שני תלמידים מחליטים על כנפי הלוח, ואז התשובות נבדקות). אילו מסקנות ניתן להסיק מהניסוי הזה?(תפקיד הסימנים). בוא נעשה עוד 2 ניסויים. , אבל עם המספרים שלך (אדם אחד יוצא ללוח). בואו נמציא מספרים אחד לשני ונבדוק את תוצאות הניסוי (אימות הדדי).

שקופית 13 .- הכלל מוצג על המסך בצורת פסוק. .

4. תיקון נושא השיעור.

שקופית 14 -מורה - "דרושים כל מיני סימנים, כל מיני סימנים חשובים!" עכשיו, חבר'ה, נחלק אתכם לשתי צוותים. הבנים יהיו בנבחרת של סנטה קלאוס, והבנות יהיו בנבחרת של השמש. המשימה שלך, מבלי לחשב את הדוגמאות, היא לקבוע באילו מהן יתקבלו תשובות שליליות, ובאילו חיוביות, ולכתוב את האותיות של דוגמאות אלו במחברת. בנים, בהתאמה, הם שליליים, ובנות חיוביות (כרטיסים מונפקים מהאפליקציה). בדיקה עצמית מתבצעת.

כל הכבוד! יש לך חוש מצוין לסימנים. זה יעזור לך להשלים את המשימה הבאה

שקופית 15 -פיזקולמינוטקה. -10, 0.15.18, -5.14.0, -8, -5 וכו'( מספרים שליליים- לשבת מספרים חיוביים- למשוך למעלה, להקפיץ)

שקופית 16-פתרו 9 דוגמאות בעצמכם (משימה על קלפים באפליקציה). אדם אחד בדירקטוריון. תעשה בדיקה עצמית. התשובות מוצגות על המסך, התלמידים מתקנים שגיאות במחברות שלהם. הרם ידיים מי צודק. (ציונים ניתנים רק על תוצאות טובות ומעולות)

שקופית 17- כללים עוזרים לנו לפתור דוגמאות בצורה נכונה. בואו נחזור עליהם על המסך, האלגוריתם להוספת מספרים עם סימנים שונים.

5. ארגון עבודה עצמאית.

שקופית 18-Fעבודה רונטלית דרך המשחק "נחש את המילה"(משימה על קלפים באפליקציה).

שקופית 19 -אתה צריך לקבל ציון למשחק - "חמש"

שקופית 20-Aעכשיו, תשומת לב. שיעורי בית. שיעורי בית לא צריכים להיות קשים עבורך.

שקופית 21 -חוקי הוספה ב תופעות פיזיקליות. חשבו על דוגמאות להוספת מספרים עם סימנים שונים ושאלו אותם זה לזה. מה חדש למדת? האם השגנו את המטרה שלנו?

שקופית 22 -אז השיעור הסתיים, בואו נסכם עכשיו. הִשׁתַקְפוּת. המורה מעיר ומדרג את השיעור.

שקופית 23 -תודה לך על תשומת הלב!

אני מאחל לכם שיהיה לכם יותר חיובי ופחות שלילי בחייכם, אני רוצה לומר לכם, תודה על העבודה הפעילה שלכם. אני חושב שאתה יכול בקלות ליישם את מה שלמדת בשיעורים הבאים. השיעור הסתיים. כל אחד תודה רבה. הֱיה שלום!

בשיעור זה נלמד חיבור וחיסור של מספרים שלמים, וכן כללים לחיבור וחיסור שלהם.

נזכיר שמספרים שלמים הם כולם מספרים חיוביים ושליליים, כמו גם המספר 0. לדוגמה, המספרים הבאים הם מספרים שלמים:

−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3

מספרים חיוביים הם קלים, ו. למרבה הצער, לא ניתן לומר זאת על מספרים שליליים, המבלבלים מתחילים רבים עם המינוסים שלהם לפני כל ספרה. כפי שמראה בפועל, טעויות שנעשו עקב מספרים שליליים מטרידות את התלמידים ביותר.

תוכן השיעור

דוגמאות של חיבור וחיסור מספרים שלמים

הדבר הראשון שצריך ללמוד הוא להוסיף ולהחסיר מספרים שלמים באמצעות קו הקואורדינטות. אין צורך לצייר קו קואורדינטות. מספיק לדמיין את זה במחשבות שלך ולראות איפה המספרים השליליים ואיפה החיוביים.

שקול את הביטוי הפשוט ביותר: 1 + 3. הערך של ביטוי זה הוא 4:

ניתן להבין דוגמה זו באמצעות קו הקואורדינטות. כדי לעשות זאת, מהנקודה שבה נמצא המספר 1, אתה צריך לזוז שלושה שלבים ימינה. כתוצאה מכך, נמצא את עצמנו בנקודה בה נמצא המספר 4. באיור ניתן לראות כיצד זה קורה:

סימן הפלוס בביטוי 1 + 3 אומר לנו שעלינו לנוע ימינה בכיוון של גידול במספרים.

דוגמה 2בוא נמצא את הערך של הביטוי 1 − 3.

הערך של ביטוי זה הוא −2

ניתן להבין שוב דוגמה זו באמצעות קו הקואורדינטות. כדי לעשות זאת, מהנקודה שבה נמצא המספר 1, אתה צריך לזוז שלושה שלבים שמאלה. כתוצאה מכך, נמצא את עצמנו בנקודה שבה נמצא המספר השלילי −2. האיור מראה כיצד זה קורה:

סימן המינוס בביטוי 1 − 3 אומר לנו שעלינו לנוע שמאלה בכיוון של ירידה במספרים.

באופן כללי, עלינו לזכור שאם מתבצעת הוספה, אז צריך לנוע ימינה לכיוון הגידול. אם מתבצעת חיסור, אז אתה צריך לנוע שמאלה לכיוון הירידה.

דוגמה 3מצא את הערך של הביטוי −2 + 4

הערך של ביטוי זה הוא 2

ניתן להבין שוב דוגמה זו באמצעות קו הקואורדינטות. כדי לעשות זאת, מהנקודה שבה נמצא המספר השלילי -2, אתה צריך לזוז ארבעה שלבים ימינה. כתוצאה מכך, נמצא את עצמנו בנקודה בה נמצא המספר החיובי 2.

ניתן לראות שעברנו מהנקודה אליה נמצא המספר השלילי −2 צד ימיןארבעה שלבים, והגיעו לנקודה שבה נמצא המספר החיובי 2.

סימן הפלוס בביטוי -2 + 4 אומר לנו שעלינו לנוע ימינה בכיוון של גידול במספרים.

דוגמה 4מצא את הערך של הביטוי −1 − 3

הערך של ביטוי זה הוא −4

ניתן לפתור את הדוגמה הזו שוב באמצעות קו קואורדינטות. כדי לעשות זאת, מהנקודה שבה נמצא המספר השלילי −1, אתה צריך לזוז שלושה שלבים שמאלה. כתוצאה מכך, נמצא את עצמנו בנקודה בה נמצא המספר השלילי -4

ניתן לראות שעברנו מהנקודה אליה נמצא המספר השלילי −1 צד שמאלשלושה שלבים, והגיעו לנקודה שבה נמצא המספר השלילי −4.

סימן המינוס בביטוי -1 - 3 אומר לנו שעלינו לנוע שמאלה בכיוון של ירידה במספרים.

דוגמה 5מצא את הערך של הביטוי −2 + 2

הערך של ביטוי זה הוא 0

ניתן לפתור דוגמה זו באמצעות קו קואורדינטות. כדי לעשות זאת, מהנקודה שבה נמצא המספר השלילי −2, אתה צריך לזוז שני שלבים ימינה. כתוצאה מכך, נמצא את עצמנו בנקודה שבה נמצא המספר 0

ניתן לראות שעברנו מהנקודה בה נמצא המספר השלילי −2 ימינה בשני שלבים והגענו לנקודה בה נמצא המספר 0.

סימן הפלוס בביטוי -2 + 2 אומר לנו שעלינו לנוע ימינה בכיוון של גידול במספרים.

כללים לחיבור והפחתה של מספרים שלמים

כדי להוסיף או להחסיר מספרים שלמים, אין בכלל צורך לדמיין קו קואורדינטות בכל פעם, שלא לדבר על לצייר אותו. יותר נוח להשתמש בכללים מוכנים.

בעת יישום הכללים, עליך לשים לב לסימן הפעולה ולסימני המספרים שיש להוסיף או לגרוע. זה יקבע איזה כלל ליישם.

דוגמה 1מצא את הערך של הביטוי −2 + 5

כאן מתווסף מספר חיובי למספר שלילי. במילים אחרות, הוספת מספרים עם סימנים שונים מתבצעת. −2 הוא שלילי ו-5 הוא חיובי. במקרים כאלה חל הכלל הבא:

כדי להוסיף מספרים עם סימנים שונים, צריך להחסיר מודול קטן יותר ממודול גדול יותר, ולשים את הסימן של המספר שהמודול שלו גדול יותר לפני התשובה.

אז בואו נראה איזה מודול גדול יותר:

המודולוס של 5 גדול מהמודלוס של -2. הכלל מחייב להחסיר את הקטן מהמודול הגדול יותר. לכן, עלינו להחסיר 2 מ-5, ולפני התשובה המתקבלת לשים את הסימן של המספר שהמודלוס שלו גדול יותר.

למספר 5 יש מודולוס גדול יותר, ולכן הסימן של המספר הזה יהיה בתשובה. כלומר, התשובה תהיה חיובית:

−2 + 5 = 5 − 2 = 3

בדרך כלל נכתב קצר יותר: −2 + 5 = 3

דוגמה 2מצא את הערך של הביטוי 3 + (-2)

כאן, כמו בדוגמה הקודמת, מתבצעת הוספה של מספרים עם סימנים שונים. 3 הוא חיובי ו-2 הוא שלילי. שימו לב שהמספר -2 מוקף בסוגריים כדי להבהיר את הביטוי. ביטוי זה הרבה יותר קל להבנה מאשר הביטוי 3+−2.

אז, אנו מיישמים את הכלל של הוספת מספרים עם סימנים שונים. כמו בדוגמה הקודמת, נחסר את המודול הקטן מהמודול הגדול יותר ונשים את הסימן של המספר שהמודול שלו גדול יותר לפני התשובה:

3 + (−2) = |3| − |−2| = 3 − 2 = 1

המודולוס של המספר 3 גדול מהמודלוס של המספר −2, אז הורדנו 2 מ-3, ושמנו את הסימן של מספר המודולוס הגדול יותר לפני התשובה. למספר 3 יש מודול גדול יותר, אז הסימן של המספר הזה מוכנס בתשובה. כלומר, התשובה היא כן.

בדרך כלל נכתב קצר יותר 3 + (−2) = 1

דוגמה 3מצא את הערך של הביטוי 3 - 7

בביטוי זה, המספר הגדול מופחת מהמספר הקטן. במקרה כזה חל הכלל הבא:

כדי להחסיר מספר גדול ממספר קטן יותר, צריך להחסיר מספר קטן ממספר גדול יותר, ולשים מינוס לפני התשובה שהתקבלה.

3 − 7 = 7 − 3 = −4

יש סתירה קלה בביטוי הזה. נזכיר שסימן השוויון (=) ממוקם בין ערכים וביטויים כאשר הם שווים זה לזה.

הערך של הביטוי 3 − 7, כפי שלמדנו, הוא −4. המשמעות היא שכל הטרנספורמציות שנבצע בביטוי הזה חייבות להיות שווה ל-4

אבל אנחנו רואים שהביטוי 7 − 3 נמצא בשלב השני, שאינו שווה ל- 4.

כדי לתקן מצב זה, יש לשים את הביטוי 7 - 3 בסוגריים ולשים מינוס לפני סוגריים זה:

3 − 7 = − (7 − 3) = − (4) = −4

במקרה זה, יישמר שוויון בכל שלב:

לאחר הערכת הביטוי, ניתן להסיר את הסוגריים, מה שעשינו.

אז ליתר דיוק, הפתרון צריך להיראות כך:

3 − 7 = − (7 − 3) = − (4) = − 4

ניתן לכתוב כלל זה באמצעות משתנים. זה ייראה כך:

a − b = − (b − a)

מספר רב של סוגריים וסימני פעולה יכולים לסבך את הפתרון של משימה פשוטה מאוד לכאורה, ולכן כדאי יותר ללמוד כיצד לכתוב דוגמאות כאלה בקצרה, למשל 3 − 7 = − 4.

למעשה, החיבור והחיסור של מספרים שלמים מצטמצמים לחיבור בלבד. זה אומר שאם רוצים להחסיר מספרים, ניתן להחליף את הפעולה הזו בחיבור.

אז בואו נכיר את הכלל החדש:

להחסיר מספר אחד ממספר אחר פירושו להוסיף למינונד מספר שיהיה ההפך מזה שחסר.

לדוגמה, שקול את הביטוי הפשוט ביותר 5 − 3. בשלבים הראשונים של לימוד מתמטיקה, שמנו סימן שוויון ורשמנו את התשובה:

אבל עכשיו אנחנו מתקדמים בלמידה, אז אנחנו צריכים להסתגל לכללים החדשים. הכלל החדש אומר שהפחתת מספר אחד ממספר אחר פירושו להוסיף למינונד מספר שייגרע.

בעזרת הביטוי 5 − 3 כדוגמה, בואו ננסה להבין את הכלל הזה. המינואנד בביטוי הזה הוא 5, והסיכוי הוא 3. הכלל אומר שכדי להחסיר 3 מ-5, צריך להוסיף ל-5 מספר כזה שיהיה מנוגד ל-3. המספר ההפוך למספר 3 הוא −3. אנו כותבים ביטוי חדש:

ואנחנו כבר יודעים איך למצוא ערכים לביטויים כאלה. זוהי תוספת של מספרים עם סימנים שונים, שעליה שקלנו קודם. כדי להוסיף מספרים עם סימנים שונים, נחסר מודול קטן יותר ממודול גדול יותר, ונשים את הסימן של המספר שהמודול שלו גדול יותר לפני שהתקבלה התשובה:

5 + (−3) = |5| − |−3| = 5 − 3 = 2

המודולוס של 5 גדול מהמודלוס של -3. לכן, הורדנו 3 מ-5 וקיבלנו 2. למספר 5 יש מודולוס גדול יותר, ולכן סימן המספר הזה הוכנס בתשובה. כלומר, התשובה חיובית.

בהתחלה, לא כולם מצליחים להחליף במהירות חיסור בחיבור. זאת בשל העובדה שמספרים חיוביים נכתבים ללא סימן פלוס.

לדוגמה, בביטוי 3 − 1, סימן המינוס המציין חיסור הוא הסימן של הפעולה ואינו מתייחס לאחד. היחידה במקרה זה היא מספר חיובי, ויש לה סימן פלוס משלה, אבל אנחנו לא רואים אותו, כי פלוס לא נכתב לפני מספרים חיוביים.

וכך, לשם הבהירות, ניתן לכתוב את הביטוי הזה באופן הבא:

(+3) − (+1)

מטעמי נוחות, מספרים עם הסימנים שלהם מוקפים בסוגריים. במקרה זה, החלפת חיסור בחיבור היא הרבה יותר קלה.

בביטוי (+3) − (+1), מספר זה מופחת (+1), והמספר הנגדי הוא (−1).

בוא נחליף חיסור בחיבור ובמקום subtrahend (+1) נרשום את המספר הנגדי (−1)

(+3) − (+1) = (+3) + (−1)

חישוב נוסף לא יהיה קשה.

(+3) − (+1) = (+3) + (−1) = |3| − |−1| = 3 − 1 = 2

במבט ראשון, נראה מה הטעם במחוות הנוספות האלה, אם אתה יכול להשתמש בשיטה הישנה והטובה לשים סימן שוויון ולרשום מיד את התשובה 2. למעשה, כלל זה יעזור לנו יותר מפעם אחת.

בואו נפתור את הדוגמה הקודמת 3 − 7 באמצעות כלל החיסור. ראשית, נביא את הביטוי לצורה ברורה, ונציב כל מספר עם הסימנים שלו.

לשלוש יש סימן פלוס כי הוא מספר חיובי. המינוס המציין חיסור אינו חל על השבעה. לשבע יש סימן פלוס כי הוא מספר חיובי:

בואו נחליף חיסור בחיבור:

(+3) − (+7) = (+3) + (−7)

חישוב נוסף לא קשה:

(+3) − (−7) = (+3) + (-7) = −(|−7| − |+3|) = −(7 − 3) = −(4) = −4

דוגמה 7מצא את הערך של הביטוי −4 − 5

לפנינו שוב פעולת החיסור. יש להחליף פעולה זו בתוספת. למינואנד (-4) נוסיף את המספר שממול ל-subtrahend (+5). המספר ההפוך ל-subtrahend (+5) הוא המספר (-5).

(−4) − (+5) = (−4) + (−5)

הגענו למצב שצריך להוסיף מספרים שליליים. במקרים כאלה חל הכלל הבא:

כדי להוסיף מספרים שליליים, עליך להוסיף את המודולים שלהם, ולשים מינוס לפני התשובה שהתקבלה.

אז בואו נוסיף את המודולים של המספרים, כפי שהכלל מחייב אותנו, ונשים מינוס לפני התשובה שהתקבלה:

(−4) − (+5) = (−4) + (−5) = |−4| + |−5| = 4 + 5 = −9

הערך עם מודולים חייב להיות מוקף בסוגריים ולשים מינוס לפני סוגריים אלו. אז אנחנו מספקים מינוס, שאמור לבוא לפני התשובה:

(−4) − (+5) = (−4) + (−5) = −(|−4| + |−5|) = −(4 + 5) = −(9) = −9

הפתרון לדוגמא זו יכול להיכתב בקצרה:

−4 − 5 = −(4 + 5) = −9

או אפילו קצר יותר:

−4 − 5 = −9

דוגמה 8מצא את הערך של הביטוי −3 − 5 − 7 − 9

בואו נביא את הביטוי לצורה ברורה. כאן, כל המספרים מלבד המספר −3 הם חיוביים, כך שיהיו להם סימני פלוס:

(−3) − (+5) − (+7) − (+9)

בואו נחליף חיסורים בתוספות. כל המינוסים, למעט המינוס שלפני הטריפל, ישתנו לפלוסים, וכל המספרים החיוביים ישתנו להפך:

(−3) − (+5) − (+7) − (+9) = (−3) + (−5) + (−7) + (−9)

כעת החל את הכלל להוספת מספרים שליליים. כדי להוסיף מספרים שליליים, עליך להוסיף את המודולים שלהם ולשים מינוס לפני התשובה שהתקבלה:

(−3) − (+5) − (+7) − (+9) = (−3) + (−5) + (−7) + (−9) =

= −(|−3| + |−5| + |−7| + |−9|) = −(3 + 5 + 7 + 9) = −(24) = −24

ניתן לכתוב את הפתרון לדוגמא הזו בקצרה יותר:

−3 − 5 − 7 − 9 = −(3 + 5 + 7 + 9) = −24

או אפילו קצר יותר:

−3 − 5 − 7 − 9 = −24

דוגמה 9מצא את הערך של הביטוי −10 + 6 − 15 + 11 − 7

בואו נביא את הביטוי לצורה ברורה:

(−10) + (+6) − (+15) + (+11) − (+7)

יש כאן שתי פעולות: חיבור וחיסור. החיבור נותר ללא שינוי, והחיסור מוחלף בחיבור:

(−10) + (+6) − (+15) + (+11) − (+7) = (−10) + (+6) + (−15) + (+11) + (−7)

בהתבוננות, נבצע כל פעולה בתורה, בהתבסס על הכללים שנלמדו קודם לכן. ניתן לדלג על ערכים עם מודולים:

פעולה ראשונה:

(−10) + (+6) = − (10 − 6) = − (4) = − 4

פעולה שנייה:

(−4) + (−15) = − (4 + 15) = − (19) = − 19

פעולה שלישית:

(−19) + (+11) = − (19 − 11) = − (8) = −8

פעולה רביעית:

(−8) + (−7) = − (8 + 7) = − (15) = − 15

לפיכך, הערך של הביטוי −10 + 6 − 15 + 11 − 7 הוא −15

הערה. אין צורך להביא את הביטוי לצורה ברורה על ידי הוספת מספרים בסוגריים. כאשר מתרגלים למספרים שליליים, ניתן לדלג על פעולה זו, מכיוון שהיא לוקחת זמן ועלולה לבלבל.

לכן, לחיבור והפחתה של מספרים שלמים, עליך לזכור את הכללים הבאים:

הצטרף לקבוצת Vkontakte החדשה שלנו והתחל לקבל הודעות על שיעורים חדשים

במאמר זה נסקור מפורט כיצד תוספת מספר שלם. ראשית, בואו ניצור רעיון כללי של הוספת מספרים שלמים, ונראה מהי הוספת מספרים שלמים על קו קואורדינטות. ידע זה יעזור לנו לגבש את הכללים להוספת מספרים חיוביים, שליליים ושלמים עם סימנים שונים. כאן ננתח בפירוט את יישום כללי ההוספה בעת פתרון דוגמאות ונלמד כיצד לבדוק את התוצאות שהתקבלו. לסיכום המאמר, נדבר על תוספת של שלושה מספרים שלמים או יותר.

ניווט בדף.

הבנת הוספת מספרים שלמים

הבה ניתן דוגמאות לחיבור של מספרים שלמים מול מספרים. סכום המספרים -5 ו-5 הוא אפס, הסכום של 901+(-901) הוא אפס, וגם סכום המספרים השלמים המנוגדים 1,567,893 ו-1,567,893 הוא אפס.

הוספת מספר שלם ואפס שרירותיים

בואו נשתמש בקו הקואורדינטות כדי להבין מהי התוצאה של הוספת שני מספרים שלמים, שאחד מהם שווה לאפס.

הוספת מספר שלם שרירותי a לאפס פירושה העברת קטעי יחידה מהמקור למרחק a. לפיכך, אנו מוצאים את עצמנו בנקודה עם קואורדינטה א. לכן, התוצאה של הוספת אפס ומספר שלם שרירותי היא המספר השלם שנוסף.

מצד שני, הוספת אפס למספר שלם שרירותי פירושה מעבר מהנקודה שהקואורדינטה שלה ניתנת על ידי המספר השלם הנתון למרחק של אפס. במילים אחרות, נישאר בנקודת ההתחלה. לכן, התוצאה של הוספת מספר שלם ואפס שרירותיים היא המספר השלם הנתון.

כך, הסכום של שני מספרים שלמים, שאחד מהם הוא אפס, שווה למספר השלם השני. בפרט, אפס פלוס אפס הוא אפס.

בוא ניתן כמה דוגמאות. סכום המספרים השלמים 78 ו-0 הוא 78; התוצאה של הוספת אפס ו-903 היא -903; גם 0+0=0.

בדיקת תוצאת ההוספה

לאחר הוספת שני מספרים שלמים, כדאי לבדוק את התוצאה. אנחנו כבר יודעים שכדי לבדוק את התוצאה של חיבור שני מספרים טבעיים, צריך להחסיר כל אחד מהאיברים מהסכום המתקבל, וצריך לקבל איבר נוסף. בדיקת התוצאה של הוספת מספרים שלמיםבוצע באופן דומה. אבל החיסור של מספרים שלמים מצטמצם להוספת למינואנד את המספר המנוגד לזה שנגרע. לפיכך, כדי לבדוק את התוצאה של חיבור שני מספרים שלמים, צריך להוסיף לסכום המתקבל את המספר שממול לכל אחד מהאיברים, וצריך לקבל איבר נוסף.

בואו נסתכל על דוגמאות עם בדיקת התוצאה של הוספת שני מספרים שלמים.

דוגמא.

כאשר מוסיפים שני מספרים שלמים 13 ו-9, התקבל המספר 4, בדוק את התוצאה.

פִּתָרוֹן.

נוסיף לסכום המתקבל 4 את המספר -13, ההפך מהאיבר 13, ונראה אם ​​נקבל איבר נוסף -9.

אז בואו נחשב את הסכום 4+(−13) . זהו סכום המספרים השלמים עם סימנים הפוכים. המודולים של המונחים הם 4 ו-13, בהתאמה. למונח, שהמודלוס שלו גדול יותר, יש סימן מינוס, אותו אנו זוכרים. כעת נחסר מהמודול הגדול יותר את הקטן: 13−4=9 . נותר לשים סימן מינוס בעל זיכרון לפני המספר המתקבל, יש לנו -9.

בעת הבדיקה קיבלנו מספר השווה למונח אחר, לכן, הסכום המקורי חושב נכון.-19 . מכיוון שקיבלנו מספר השווה לאיבר אחר, הוספת המספרים −35 ו−19 בוצעה בצורה נכונה.

הוספת שלושה מספרים שלמים או יותר

עד לנקודה זו, דיברנו על הוספת שני מספרים שלמים. במילים אחרות, שקלנו סכומים המורכבים משני איברים. עם זאת, התכונה האסוציאטיבית של הוספת מספרים שלמים מאפשרת לנו לקבוע באופן ייחודי את הסכום של שלושה, ארבעה או יותר.

בהתבסס על המאפיינים של חיבור של מספרים שלמים, אנו יכולים לקבוע שסכום של שלושה, ארבע וכן הלאה המספרים אינו תלוי באופן שבו ממוקמים הסוגריים, המציין את הסדר שבו מתבצעות הפעולות, כמו גם בסדר של התנאים בסכום. ביססנו את ההצהרות הללו כשדיברנו על חיבור של שלושה מספרים טבעיים או יותר. עבור מספרים שלמים, כל הארגומנטים זהים לחלוטין, ולא נחזור על עצמנו.0+(−101) +(−17)+5 . לאחר מכן, בהצבת הסוגריים בכל דרך מותרת, אנו עדיין מקבלים את המספר -113.

תשובה:

5+(−17)+0+(−101)=−113 .

בִּיבּלִיוֹגְרָפִיָה.

• Vilenkin N.Ya. וכו' מתמטיקה. כיתה ו': ספר לימוד למוסדות חינוך.

חיבור של מספרים שליליים.

סכום המספרים השליליים הוא מספר שלילי. מודול סכום שווה לסכוםמודולים של מונחים.

בואו נראה מדוע סכום המספרים השליליים יהיה גם מספר שלילי. יעזור לנו בכך קו הקואורדינטות, עליו נבצע את הוספה של המספרים -3 ו-5. נסמן נקודה על קו הקואורדינטות המקביל למספר -3.

למספר -3 עלינו להוסיף את המספר -5. לאן נלך מהנקודה המתאימה למספר -3? זה ימין, לשמאל! עבור 5 קטעים בודדים. אנו מסמנים את הנקודה וכותבים את המספר המתאים לה. המספר הזה הוא -8.

לכן, כאשר מוסיפים מספרים שליליים באמצעות קו קואורדינטות, אנו תמיד נמצאים משמאל לנקודת הייחוס, לכן ברור שהתוצאה של הוספת מספרים שליליים היא גם מספר שלילי.

הערה.הוספנו את המספרים -3 ו-5, כלומר. מצא את הערך של הביטוי -3+(-5). בדרך כלל כשמוסיפים מספר רציונליהם פשוט רושמים את המספרים האלה עם הסימנים שלהם, כאילו רשומים את כל המספרים שצריך להוסיף. שיא כזה נקרא סכום אלגברי. החל (בדוגמה שלנו) את הרשומה: -3-5=-8.

דוגמא.מצא את סכום המספרים השליליים: -23-42-54. (מסכים שהערך הזה קצר ונוח יותר ככה: -23+(-42)+(-54))?

אנחנו מחליטיםלפי הכלל של הוספת מספרים שליליים: נוסיף את המודולים של המונחים: 23+42+54=119. התוצאה תהיה עם סימן מינוס.

בדרך כלל הם רושמים את זה כך: -23-42-54 \u003d -119.

הוספת מספרים עם סימנים שונים.

לסכום של שני מספרים עם סימנים שונים יש את הסימן של התוספת עם מודולוס גדול. כדי למצוא את המודולוס של הסכום, עליך להחסיר את המודולוס הקטן מהמודלוס הגדול יותר.

בואו נבצע חיבור של מספרים עם סימנים שונים באמצעות קו הקואורדינטות.

1) -4+6. יש צורך להוסיף את המספר -4 למספר 6. אנו מסמנים את המספר -4 בנקודה על קו הקואורדינטות. המספר 6 הוא חיובי, כלומר מהנקודה עם קואורדינטה -4 אנחנו צריכים ללכת ימינה ב-6 קטעי יחידות. סיימנו מימין למקור (מאפס) ב-2 מקטעי יחידה.

התוצאה של סכום המספרים -4 ו-6 היא המספר החיובי 2:

— 4+6=2. איך יכולת להשיג את המספר 2? הורידו 4 מ-6, כלומר. להחסיר את הקטן מהגדול. לתוצאה יש סימן זהה למונח בעל מודולוס גדול.

2) בוא נחשב: -7+3 באמצעות קו הקואורדינטות. אנו מסמנים את הנקודה המתאימה למספר -7. אנחנו הולכים ימינה לפי 3 קטעי יחידות ומקבלים נקודה עם קואורדינטה -4. היינו ונשארנו משמאל למקור: התשובה היא מספר שלילי.

— 7+3=-4. נוכל לקבל את התוצאה הזו באופן הבא: הורדנו את הקטן מהמודול הגדול יותר, כלומר. 7-3=4. כתוצאה מכך, סימן המונח עם מודול גדול יותר נקבע: |-7|>|3|.

דוגמאות.לחשב: א) -4+5-9+2-6-3; ב) -10-20+15-25.

בשיעור זה נלמד מהו מספר שלילי ואיזה מספרים נקראים הפכים. נלמד גם כיצד להוסיף מספרים שליליים וחיוביים (מספרים בעלי סימנים שונים) וננתח מספר דוגמאות להוספת מספרים בעלי סימנים שונים.

תסתכל על הציוד הזה (ראה איור 1).

אורז. 1. ציוד שעון

זה לא חץ שמראה ישירות את השעה ולא חוגה (ראה איור 2). אבל בלי הפרט הזה, השעון לא עובד.

אורז. 2. ציוד בתוך השעון

מה מסמלת האות Y? שום דבר מלבד הצליל Y. אבל בלעדיו, מילים רבות לא "יעבדו". לדוגמה, המילה "עכבר". כך גם מספרים שליליים: הם לא מראים שום סכום, אבל בלעדיהם מנגנון החישוב יהיה הרבה יותר קשה.

אנו יודעים שחיבור וחיסור הן פעולות שוות, וניתן לבצע אותן בכל סדר. בסדר ישיר נוכל לחשב: , אבל אין דרך להתחיל בחיסור, כיון שעדיין לא הסכמנו, אלא מה כן .

ברור שהגדלת המספר ואז ירידה באמצעים, כתוצאה מכך, ירידה בשלוש. למה לא לייעד את האובייקט הזה ולספור אותו כך: להוסיף זה להחסיר. לאחר מכן .

המספר יכול להתכוון, למשל, לתפוחים. המספר החדש אינו מייצג שום כמות אמיתית. כשלעצמו, זה לא אומר כלום, כמו האות י'. זה פשוט כלי חדשכדי לפשט את החישובים.

בואו נציין מספרים חדשים שלילי. כעת נוכל להחסיר מספר גדול ממספר קטן יותר. מבחינה טכנית, אתה עדיין צריך להחסיר את המספר הקטן מהמספר הגדול, אבל שים סימן מינוס בתשובה: .

בואו נסתכל על דוגמה נוספת: . אתה יכול לעשות את כל הפעולות ברצף:.

עם זאת, קל יותר להחסיר את המספר השלישי מהמספר הראשון, ולאחר מכן להוסיף את המספר השני:

ניתן להגדיר מספרים שליליים בדרך אחרת.

עבור כל מספר טבעי, למשל , נציג מספר חדש, אותו נסמן , ונקבע שיש לו את התכונה הבאה: סכום המספר ושווה ל : .

המספר ייקרא שלילי, והמספרים ו - ממול. לפיכך, קיבלנו מספר אינסופי של מספרים חדשים, למשל:

ההפך ממספר;

ההפך מ ;

ההפך מ ;

ההפך מ ;

הורידו את המספר הגדול מהמספר הקטן: בואו נוסיף לביטוי הזה: . קיבלנו אפס. עם זאת, לפי המאפיין: מספר שמצטבר לחמש נותן אפס מסומן מינוס חמש:. לכן, ניתן לציין את הביטוי כ.

לכל מספר חיובי יש מספר תאום, אשר שונה רק בכך שקודם לו סימן מינוס. מספרים כאלה נקראים מול(ראה איור 3).

אורז. 3. דוגמאות למספרים מנוגדים

מאפיינים של מספרים מנוגדים

1. סכום המספרים המנוגדים שווה לאפס:.

2. אם מחסירים מספר חיובי מאפס, התוצאה תהיה המספר השלילי ההפוך: .

1. שני המספרים יכולים להיות חיוביים, ואנחנו כבר יודעים להוסיף אותם: .

2. שני המספרים יכולים להיות שליליים.

הוספה של מספרים כאלה כבר סיקרנו בשיעור הקודם, אבל נוודא שנבין מה לעשות איתם. לדוגמה: .

כדי למצוא את הסכום הזה, הוסף מספרים חיוביים מנוגדים ושם סימן מינוס.

3. מספר אחד יכול להיות חיובי ואחר שלילי.

נוכל להחליף חיבור של מספר שלילי, אם זה נוח לנו, בחיסור של חיובי:.

דוגמה נוספת: . שוב, כתוב את הסכום כהפרש. אתה יכול להחסיר מספר גדול ממספר קטן יותר על ידי הפחתת מספר קטן ממספר גדול יותר, אך הוספת סימן מינוס.

ניתן להחליף את המונחים: .

עוד דוגמה דומה: .

בכל המקרים, התוצאה היא חיסור.

כדי לנסח בקצרה כללים אלה, נזכיר מונח נוסף. מספרים מנוגדים, כמובן, אינם שווים זה לזה. אבל זה יהיה מוזר לא לשים לב שיש להם משהו במשותף. הנפוץ הזה קראנו מודול המספר. המודולוס של מספרים מנוגדים זהה: עבור מספר חיובי הוא שווה למספר עצמו, ועבור שלילי הוא הפוך, חיובי. לדוגמה: , .

כדי להוסיף שני מספרים שליליים, הוסף את המודולוס שלהם ושם סימן מינוס:

כדי להוסיף מספר שלילי ומספר חיובי, עליך להחסיר את המודול הקטן מהמודול הגדול ולשים את הסימן של המספר עם המודול הגדול:

שני המספרים הם שליליים, לכן, הוסף את המודולים שלהם ושם סימן מינוס:

שני מספרים בעלי סימנים שונים, לפיכך, ממודלוס המספר (מודלוס גדול יותר) נחסר את מודול המספר ונשים סימן מינוס (סימן המספר בעל מודולוס גדול יותר):

שני מספרים בעלי סימנים שונים, לפיכך, ממודלוס המספר (מודלוס גדול יותר) נחסר את מודול המספר ונשים סימן מינוס (סימן המספר בעל מודולוס גדול): .

שני מספרים עם סימנים שונים, אם כן, הפחיתו את מודול המספר ממודול המספר (מודול גדול יותר) ושימו סימן פלוס (סימן המספר עם מודול גדול): .

למספרים חיוביים ושליליים יש תפקידים היסטוריים שונים.

קודם נכנסנו מספרים שלמיםלספירת פריטים:

אחר כך הצגנו מספרים חיוביים אחרים - שברים, לספירת כמויות לא שלמות, חלקים: .

מספרים שליליים הופיעו ככלי לפשט חישובים. לא היה דבר כזה שבחיים היו כמה כמויות שלא יכולנו לספור, והמצאנו מספרים שליליים.

כלומר, מספרים שליליים לא נבעו עולם אמיתי. הם פשוט התבררו כל כך נוחים שבמקומות מסוימים השתמשו בהם בחיים. לדוגמה, לעתים קרובות אנו שומעים על טמפרטורות שליליות. במקרה זה, אנו אף פעם לא נתקלים במספר שלילי של תפוחים. מה ההבדל?

ההבדל הוא שבחיים האמיתיים משתמשים בערכים שליליים רק להשוואה, לא לכמויות. אם היה מצויד מרתף במלון והושקה שם מעלית, אז כדי להשאיר את המספור הרגיל של קומות רגילות, מינוס הקומה הראשונה עשוי להופיע. מינוס אחד זה אומר רק קומה אחת מתחת לפני הקרקע (ראה איור 1).

אורז. 4. מינוס הקומה הראשונה ומינוס הקומה השנייה

טמפרטורה שלילית היא שלילית רק בהשוואה לאפס, אשר נבחר על ידי מחבר הסולם, אנדרס צלסיוס. יש קשקשים אחרים, ואולי אותה טמפרטורה כבר לא תהיה שלילית שם.

יחד עם זאת, אנו מבינים שאי אפשר לשנות את נקודת המוצא כך שלא יהיו חמישה, אלא שישה תפוחים. כך, בחיים משתמשים במספרים חיוביים לקביעת כמויות (תפוחים, עוגה).

אנחנו גם משתמשים בהם במקום בשמות. ניתן לתת לכל טלפון שם משלו, אך מספר השמות מוגבל ואין מספרים. זו הסיבה שאנו משתמשים במספרי טלפון. גם להזמנה (מאה אחרי מאה).

מספרים שליליים בחיים משמשים במובן האחרון (מינוס הקומה הראשונה מתחת לאפס והקומה הראשונה)

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. מתמטיקה 6. M.: Mnemosyne, 2012.
2. מרזליאק א.ג., פולונסקי V.V., יקיר מ.ש. מתמטיקה כיתה ו'. "גימנסיה", 2006.
3. Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. מאחורי דפי ספר מתמטיקה. מוסקבה: חינוך, 1989.
4. Rurukin A.N., Tchaikovsky I.V. משימות לקורס מתמטיקה כיתה ה'-ו'. מ.: ZSh MEPhI, 2011.
5. Rurukin A.N., Sochilov S.V., Tchaikovsky K.G. מתמטיקה 5-6. מדריך לתלמידי כיתה ו' של בית הספר להתכתבות MEPhI. מ.: ZSh MEPhI, 2011.
6. שברין L.N., Gein A.G., Koryakov I.O., Volkov M.V. מתמטיקה: ספר לימוד לבני שיח לכיתות ה'-ו' בית ספר תיכון. מ.: חינוך, ספריית מורים למתמטיקה, 1989.

1. Math-prosto.ru ().
2. יוטיוב().
3. School-assistant.ru ().
4. Allforchildren.ru ().

שיעורי בית