משוואת דיפרנציאלית היא משוואה הכוללת פונקציה ואחת או יותר מהנגזרות שלה. ברוב הבעיות המעשיות, פונקציות הן כמויות פיזיות, הנגזרות מתאימות לשיעורי השינוי של הכמויות הללו, והמשוואה קובעת את הקשר ביניהן.

מאמר זה דן בשיטות לפתרון כמה סוגים של משוואות דיפרנציאליות רגילות, שאת פתרונותיהן ניתן לכתוב בצורה פונקציות אלמנטריות, כלומר, פונקציות פולינומיות, אקספוננציאליות, לוגריתמיות וטריגונומטריות, וכן הפונקציות ההפוכות שלהן. רבות מהמשוואות הללו נמצאות ב החיים האמיתיים, למרות שלא ניתן לפתור את רוב משוואות הדיפרנציאליות האחרות בשיטות אלו, ועבורן התשובה נכתבת כפונקציות מיוחדות או סדרת כוח, או נמצא בשיטות מספריות.

כדי להבין מאמר זה, אתה צריך לדעת חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי, כמו גם הבנה מסוימת של נגזרות חלקיות. כמו כן, מומלץ להכיר את יסודות האלגברה הלינארית כפי שהיא מיושמת על משוואות דיפרנציאליות, במיוחד משוואות דיפרנציאליות מסדר שני, אם כי די בידע בחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי כדי לפתור אותן.

מידע ראשוני

• למשוואות דיפרנציאליות יש סיווג נרחב. מאמר זה מדבר על משוואות דיפרנציאליות רגילות, כלומר על משוואות הכוללות פונקציה של משתנה אחד ונגזרותיו. רגיל משוואות דיפרנציאליותהרבה יותר קל להבין ולפתור מאשר משוואות דיפרנציאליות חלקיות, הכוללים פונקציות של מספר משתנים. מאמר זה אינו מתייחס למשוואות דיפרנציאליות חלקיות, שכן השיטות לפתרון משוואות אלו נקבעות בדרך כלל על פי צורתן הספציפית.
  • להלן כמה דוגמאות של משוואות דיפרנציאליות רגילות.
    • d y d x = k y (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=ky)
    • d 2 x d t 2 + k x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+kx=0)
  • להלן כמה דוגמאות של משוואות דיפרנציאליות חלקיות.
    • ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 = 0 (\displaystyle (\frac (\partial ^(2)f)(\partial x^(2)))+(\frac (\partial ^(2) )f)(\partial y^(2)))=0)
    • ∂ u ∂ t − α ∂ 2 u ∂ x 2 = 0 (\displaystyle (\frac (\partial u)(\partial t))-\alpha (\frac (\partial ^(2)u)(\partial x ^(2)))=0)
• להזמיןמשוואת דיפרנציאלית נקבעת לפי סדר הנגזרת הגבוהה ביותר הכלולה במשוואה זו. הראשונה מבין המשוואות הדיפרנציאליות הרגילות לעיל היא מהסדר הראשון, ואילו השנייה היא מהסדר השני. תוֹאַרשל משוואה דיפרנציאלית נקראת החזקה הגבוהה ביותר שאליו מועלה אחד האיברים של משוואה זו.
  • לדוגמה, המשוואה שלהלן היא מסדר שלישי וחזק שני.
    • (d 3 y d x 3) 2 + d y d x = 0 (\displaystyle \left((\frac ((\mathrm (d) )^(3)y)((\mathrm (d) )x^(3)))\ מימין)^(2)+(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=0)
• המשוואה הדיפרנציאלית היא משוואת דיפרנציאלית לינאריתאם הפונקציה וכל הנגזרות שלה הן בחזקת ראשון. אחרת, המשוואה היא משוואה דיפרנציאלית לא ליניארית. משוואות דיפרנציאליות ליניאריות יוצאות דופן בכך שניתן ליצור שילובים ליניאריים מהפתרונות שלהן, שיהיו גם פתרונות למשוואה זו.
  • להלן כמה דוגמאות של משוואות דיפרנציאליות ליניאריות.
  • להלן כמה דוגמאות של משוואות דיפרנציאליות לא-לינאריות. המשוואה הראשונה היא לא לינארית בגלל איבר הסינוס.
    • d 2 θ d t 2 + g l sin ⁡ θ = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)\theta )((\mathrm (d) )t^(2)))+( \frac (g)(l))\sin \theta =0)
    • d 2 x d t 2 + (d x d t) 2 + t x 2 = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+ \left((\frac ((\mathrm (d) )x)((\mathrm (d) )t))\right)^(2)+tx^(2)=0)
• החלטה משותפתמשוואת דיפרנציאלית רגילה אינה ייחודית, היא כוללת קבועים שרירותיים של אינטגרציה. ברוב המקרים, מספר הקבועים השרירותיים שווה לסדר המשוואה. בפועל, ערכי הקבועים הללו נקבעים לפי נתון תנאים התחלתיים, כלומר לפי ערכי הפונקציה ונגזרותיה ב x = 0. (\displaystyle x=0.)מספר התנאים ההתחלתיים הדרושים כדי למצוא החלטה פרטיתמשוואה דיפרנציאלית, ברוב המקרים גם שווה לסדר המשוואה הזו.
  • לדוגמה, מאמר זה יסתכל על פתרון המשוואה שלהלן. זוהי משוואה דיפרנציאלית ליניארית מסדר שני. שֶׁלוֹ החלטה משותפתמכיל שני קבועים שרירותיים. כדי למצוא את הקבועים הללו, יש צורך לדעת את התנאים ההתחלתיים ב x (0) (\displaystyle x(0))ו x′ (0) . (\displaystyle x"(0).)בדרך כלל התנאים ההתחלתיים ניתנים בנקודה x = 0 , (\displaystyle x=0,), למרות שזה לא נדרש. מאמר זה יבחן גם כיצד למצוא פתרונות מסוימים עבור תנאים ראשוניים נתונים.
    • d 2 x d t 2 + k 2 x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+k^(2) )x=0)
    • x (t) = c 1 cos ⁡ k x + c 2 sin ⁡ k x (\displaystyle x(t)=c_(1)\cos kx+c_(2)\sin kx)

שלבים

חלק 1

משוואות מסדר ראשון

בעת שימוש בשירות זה, ייתכן שחלק מהמידע יועבר ל-YouTube.

1. משוואות לינאריות מהסדר הראשון.חלק זה דן בשיטות לפתרון משוואות דיפרנציאליות ליניאריות מהסדר הראשון במקרים כלליים ומיוחדים, כאשר איברים מסוימים שווים לאפס. בואו נעמיד פנים כך y = y (x) , (\displaystyle y=y(x),) p (x) (\displaystyle p(x))ו q (x) (\displaystyle q(x))הן פונקציות איקס . (\displaystyle x.)

   D y d x + p (x) y = q (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+p(x)y=q(x ))
   

   P (x) = 0. (\displaystyle p(x)=0.)לפי אחד המשפטים המרכזיים ניתוח מתמטי, האינטגרל של הנגזרת של פונקציה הוא גם פונקציה. לפיכך, מספיק פשוט לשלב את המשוואה כדי למצוא את הפתרון שלה. במקרה זה, יש לקחת בחשבון כי בעת חישוב האינטגרל הבלתי מוגדר, מופיע קבוע שרירותי.

   • y (x) = ∫ q (x) d x (\displaystyle y(x)=\int q(x)(\mathrm (d) )x)

   Q (x) = 0. (\displaystyle q(x)=0.)אנו משתמשים בשיטה הפרדה של משתנים. במקרה זה, משתנים שונים מועברים לצדדים שונים של המשוואה. לדוגמה, אתה יכול להעביר את כל החברים מ y (\displaystyle y)לאחד, וכל החברים עם x (\displaystyle x)לצד השני של המשוואה. ניתן גם להעביר חברים d x (\displaystyle (\mathrm (d) )x)ו d y (\displaystyle (\mathrm (d) )y), הנכללים בביטויים נגזרים, עם זאת, יש לזכור שזוהי רק מוסכמה, מה שנוח כאשר מבדילים פונקציה מורכבת. דיון במונחים אלו, הנקראים דיפרנציאלים, הוא מחוץ לתחום המאמר הזה.

   • ראשית, עליך להזיז את המשתנים בצדדים מנוגדים של סימן השווה.
     • 1 y d y = − p (x) d x (\displaystyle (\frac (1)(y))(\mathrm (d) )y=-p(x)(\mathrm (d) )x)
   • אנו משלבים את שני הצדדים של המשוואה. לאחר האינטגרציה מופיעים קבועים שרירותיים בשני הצדדים, אותם ניתן להעביר לצד ימין של המשוואה.
     • ln ⁡ y = ∫ − p (x) d x (\displaystyle \ln y=\int -p(x)(\mathrm (d) )x)
     • y (x) = e − ∫ p (x) d x (\displaystyle y(x)=e^(-\int p(x)(\mathrm (d) )x))
   • דוגמה 1.1.בשלב האחרון, השתמשנו בכלל e a + b = e a e b (\displaystyle e^(a+b)=e^(a)e^(b))והוחלף e C (\displaystyle e^(C))עַל C (\displaystyle C), כי זה גם קבוע שרירותי של אינטגרציה.
     • d y d x − 2 y sin ⁡ x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))-2y\sin x=0)
     • 1 2 y d y = sin ⁡ x d x 1 2 ln ⁡ y = - cos ⁡ x + C ln ⁡ y = - 2 cos ⁡ x + C y (x) = C e )(\frac (1)(2y))(\ mathrm (d) )y&=\sin x(\mathrm (d) )x\\(\frac (1)(2))\ln y&=-\cos x+C\\\ln y&=-2\cos x+C\\y(x)&=Ce^(-2\cos x)\end(aligned)))

   P (x) ≠ 0 , q (x) ≠ 0. (\displaystyle p(x)\neq 0,\ q(x)\neq 0.)כדי למצוא את הפתרון הכללי, הצגנו גורם משלבכתפקוד של x (\displaystyle x)להפחית צד שמאללנגזרת המשותפת ובכך לפתור את המשוואה.

   • תכפיל את שני הצדדים ב μ (x) (\displaystyle \mu (x))
     • μ d y d x + μ p y = μ q (\displaystyle \mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+\mu py=\mu q)
   • כדי לצמצם את הצד השמאלי לנגזרת משותפת, יש לבצע את התמורות הבאות:
     • d d x (μ y) = d μ d x y + μ d y d x = μ d y d x + μ p y (\displaystyle (\frac (\mathrm (d) )((\mathrm (d) )x))(\mu y)=(\ frac ((\mathrm (d) )\mu )((\mathrm (d) )x))y+\mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x)) =\mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+\mu py)
   • השוויון האחרון אומר זאת d μ d x = μ p (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\mu )((\mathrm (d) )x))=\mu p). זהו גורם שילוב שמספיק כדי לפתור כל משוואה לינארית מסדר ראשון. כעת נוכל לגזור נוסחה לפתרון המשוואה הזו ביחס ל µ , (\displaystyle \mu ,)אם כי לאימון כדאי לעשות את כל חישובי הביניים.
     • μ (x) = e ∫ p (x) d x (\displaystyle \mu (x)=e^(\int p(x)(\mathrm (d) )x))
   • דוגמה 1.2.בדוגמה זו, אנו שוקלים כיצד למצוא פתרון מסוים למשוואה דיפרנציאלית עם תנאים התחלתיים נתונים.
     • t d y d t + 2 y = t 2 , y (2) = 3 (\displaystyle t(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )t))+2y=t^(2) ,\quad y(2)=3)
     • d y d t + 2 t y = t (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )t))+(\frac (2)(t))y=t)
     • μ (x) = e ∫ p (t) d t = e 2 ln ⁡ t = t 2 (\displaystyle \mu (x)=e^(\int p(t)(\mathrm (d) )t)=e ^(2\ln t)=t^(2))
     • d d t (t 2 y) = t 3 t 2 y = 1 4 t 4 + C y (t) = 1 4 t 2 + C t 2 (\displaystyle (\begin(aligned)(\frac (\mathrm (d)) )((\mathrm (d) )t))(t^(2)y)&=t^(3)\\t^(2)y&=(\frac (1)(4))t^(4) )+C\\y(t)&=(\frac (1)(4))t^(2)+(\frac (C)(t^(2)))\end(aligned)))
     • 3 = y (2) = 1 + C 4 , C = 8 (\displaystyle 3=y(2)=1+(\frac (C)(4)),\quad C=8)
     • y (t) = 1 4 t 2 + 8 t 2 (\displaystyle y(t)=(\frac (1)(4))t^(2)+(\frac (8)(t^(2)) ))
   
   פתרון משוואות ליניאריות מהסדר הראשון (מתועדת על ידי Intuit - האוניברסיטה הפתוחה הלאומית).

2. משוואות לא ליניאריות מסדר ראשון. בסעיף זה, נשקלות שיטות לפתרון כמה משוואות דיפרנציאליות לא-לינאריות מהסדר הראשון. למרות שאין שיטה כללית לפתרון משוואות כאלה, ניתן לפתור חלק מהן באמצעות השיטות שלהלן.

   D y d x = f (x , y) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=f(x,y))
   d y d x = h (x) g (y) . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=h(x)g(y).)אם הפונקציה f (x, y) = h (x) g (y) (\displaystyle f(x,y)=h(x)g(y))ניתן לחלק לפונקציות של משתנה אחד, משוואה כזו נקראת משוואת דיפרנציאלית ניתנת להפרדה. במקרה זה, אתה יכול להשתמש בשיטה לעיל:

   • ∫ d y h (y) = ∫ g (x) d x (\displaystyle \int (\frac ((\mathrm (d) )y)(h(y)))=\int g(x)(\mathrm (d) )איקס)
   • דוגמה 1.3.
     • d y d x = x 3 y (1 + x 4) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (x^(3))( y(1+x^(4)))))
     • ∫ y d y = ∫ x 3 1 + x 4 d x 1 2 y 2 = 1 4 ln ⁡ (1 + x 4) + C y (x) = 1 2 ln ⁡ (1 + x 4) + C (\displaystyle (\ begin(aligned)\int y(\mathrm (d) )y&=\int (\frac (x^(3))(1+x^(4)))(\mathrm (d) )x\\(\ frac (1)(2))y^(2)&=(\frac (1)(4))\ln(1+x^(4))+C\\y(x)&=(\frac ( 1)(2))\ln(1+x^(4))+C\end(מיושר)))

   D y d x = g (x , y) h (x , y) . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (g(x,y))(h(x,y))).)בואו נעמיד פנים כך g (x , y) (\displaystyle g(x, y))ו h (x, y) (\displaystyle h(x, y))הן פונקציות x (\displaystyle x)ו y . (\displaystyle y.)לאחר מכן משוואת דיפרנציאלית הומוגניתהיא משוואה שבה g (\displaystyle g)ו h (\displaystyle h)הם פונקציות הומוגניות אותה תואר. כלומר, הפונקציות חייבות לעמוד בתנאי g (α x , α y) = α k g (x , y) , (\displaystyle g(\alpha x,\alpha y)=\alpha ^(k)g(x,y),)איפה k (\displaystyle k)נקראת מידת ההומוגניות. כל משוואה דיפרנציאלית הומוגנית יכולה להינתן על ידי מתאים שינוי של משתנים (v = y / x (\displaystyle v=y/x)אוֹ v = x / y (\displaystyle v=x/y)) כדי להמיר למשוואה עם משתנים הניתנים להפרדה.

   • דוגמה 1.4.התיאור שלעיל של הומוגניות עשוי להיראות מעורפל. בואו נסתכל על מושג זה עם דוגמה.
     • d y d x = y 3 − x 3 y 2 x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (y^(3)-x^ (3))(y^(2)x)))
     • מלכתחילה, יש לציין שמשוואה זו אינה לינארית ביחס ל y . (\displaystyle y.)אנו רואים גם שבמקרה זה אי אפשר להפריד בין המשתנים. עם זאת, משוואת דיפרנציאלית זו הומוגנית, מכיוון שגם המונה וגם המכנה הומוגניים בחזקת 3. לכן, אנו יכולים לבצע שינוי של משתנים v=y/x. (\displaystyle v=y/x.)
     • d y d x = y x − x 2 y 2 = v − 1 v 2 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (y)(x ))-(\frac (x^(2))(y^(2)))=v-(\frac (1)(v^(2)))))
     • y = v x , d y d x = d v d x x + v (\displaystyle y=vx,\quad (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac ((\mathrm (ד) )v)((\mathrm (d) )x))x+v)
     • d v d x x = − 1 v 2. (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )v)((\mathrm (d) )x))x=-(\frac (1)(v^(2))).)כתוצאה מכך, יש לנו משוואה עבור v (\displaystyle v)עם משתנים משותפים.
     • v (x) = − 3 log ⁡ x + C 3 (\displaystyle v(x)=(\sqrt[(3)](-3\ln x+C)))
     • y (x) = x − 3 ln ⁡ x + C 3 (\displaystyle y(x)=x(\sqrt[(3)](-3\ln x+C)))

   D y d x = p (x) y + q (x) y n . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=p(x)y+q(x)y^(n).)זֶה משוואת ברנולי דיפרנציאלית - סוג מיוחדמשוואה לא לינארית מהמעלה הראשונה, שאת פתרון שלה ניתן לכתוב באמצעות פונקציות יסודיות.

   • הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב (1 − n) y − n (\displaystyle (1-n)y^(-n)):
     • (1 − n) y − n d y d x = p (x) (1 − n) y 1 − n + (1 − n) q (x) (\displaystyle (1-n)y^(-n)(\frac ( (\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1-n)q(x))
   • אנו משתמשים בכלל הדיפרנציאציה של פונקציה מורכבת בצד שמאל והופכים את המשוואה ל משוואה לינאריתיחסית y 1 − n , (\displaystyle y^(1-n),)אשר ניתן לפתור בשיטות לעיל.
     • d y 1 − n d x = p (x) (1 − n) y 1 − n + (1 − n) q (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y^(1-n)) ((\mathrm (d) )x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1-n)q(x))

   M (x, y) + N (x, y) d y d x = 0. (\displaystyle M(x,y)+N(x,y)(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (ד) )x))=0.)זֶה משוואת דיפרנציאלית כוללת. יש צורך למצוא את מה שנקרא פונקציה פוטנציאלית φ (x , y) , (\displaystyle \varphi (x,y),), אשר עונה על התנאי d φ d x = 0. (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\varphi )((\mathrm (d) )x))=0.)

   • כדי למלא את התנאי הזה, יש צורך נגזרת כוללת. הנגזרת הכוללת לוקחת בחשבון את התלות במשתנים אחרים. כדי לחשב את הנגזרת הכוללת φ (\displaystyle \varphi)על ידי x , (\displaystyle x,)אנו מניחים זאת y (\displaystyle y)עשוי להיות תלוי גם איקס . (\displaystyle x.)
     • d φ d x = ∂ φ ∂ x + ∂ φ ∂ y d y d x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\varphi )((\mathrm (d) )x)))=(\frac (\partial \varphi )(\partial x))+(\frac (\partial \varphi )(\partial y))(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x)))
   • השוואת מונחים נותנת לנו M (x , y) = ∂ φ ∂ x (\displaystyle M(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\partial x)))ו N (x, y) = ∂ φ ∂ y . (\displaystyle N(x,y)=(\frac (\partial \varphi)(\partial y)).)זוהי תוצאה אופיינית למשוואות עם מספר משתנים, כאשר הנגזרות המעורבות של פונקציות חלקות שוות זו לזו. לפעמים קוראים למקרה הזה משפט קליירוט. במקרה זה, המשוואה הדיפרנציאלית היא משוואה בהפרשים הכוללים אם מתקיים התנאי הבא:
     • ∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x (\displaystyle (\frac (\partial M)(\partial y))=(\frac (\partial N)(\partial x)))
   • השיטה לפתרון משוואות בהפרשים הכוללים דומה למציאת פונקציות פוטנציאליות בנוכחות מספר נגזרות, עליהן נדון בקצרה. ראשית אנו משתלבים M (\displaystyle M)על ידי איקס . (\displaystyle x.)בגלל ה M (\displaystyle M)הוא פונקציה ו x (\displaystyle x), ו y , (\displaystyle y,)בעת שילוב, אנו מקבלים פונקציה לא שלמה φ , (\displaystyle \varphi ,)מסומן כ φ ~ (\displaystyle (\tilde (\varphi))). התוצאה כוללת גם את התלוי ב y (\displaystyle y)קבוע של אינטגרציה.
     • φ (x , y) = ∫ M (x , y) d x = φ ~ (x , y) + c (y) (\displaystyle \varphi (x,y)=\int M(x,y)(\mathrm (ד) )x=(\tilde (\varphi ))(x,y)+c(y))
   • אחרי זה, לקבל c (y) (\displaystyle c(y))אתה יכול לקחת את הנגזרת החלקית של הפונקציה המתקבלת ביחס ל y , (\displaystyle y,)להשוות את התוצאה N (x , y) (\displaystyle N(x, y))ולשלב. אפשר גם לשלב קודם N (\displaystyle N), ולאחר מכן קח את הנגזרת החלקית ביחס ל x (\displaystyle x), שיאפשר לנו למצוא פונקציה שרירותית d(x). (\displaystyle d(x).)שתי השיטות מתאימות, ובדרך כלל הפונקציה הפשוטה יותר נבחרת לאינטגרציה.
     • N (x , y) = ∂ φ ∂ y = ∂ φ ~ ∂ y + d c d y (\displaystyle N(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\partial y))=(\frac (\ חלקי (\tilde (\varphi )))(\partial y))+(\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y)))
   • דוגמה 1.5.אתה יכול לקחת נגזרות חלקיות ולוודא שהמשוואה למטה היא משוואה דיפרנציאלית כוללת.
     • 3 x 2 + y 2 + 2 x y d y d x = 0 (\displaystyle 3x^(2)+y^(2)+2xy(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x) )=0)
     • φ = ∫ (3 x 2 + y 2) d x = x 3 + x y 2 + c (y) ∂ φ ∂ y = N (x , y) = 2 x y + d c d y (\displaystyle (\begin(aligned)\varphi &=\int (3x^(2)+y^(2))(\mathrm (d) )x=x^(3)+xy^(2)+c(y)\\(\frac (\partial) \varphi )(\partial y))&=N(x,y)=2xy+(\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y))\end(aligned)))
     • d c d y = 0 , c (y) = C (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y))=0,\quad c(y)=C)
     • x 3 + x y 2 = C (\displaystyle x^(3)+xy^(2)=C)
   • אם משוואת הדיפרנציאלית אינה משוואת דיפרנציאלית כוללת, במקרים מסוימים ניתן למצוא גורם אינטגרלי שיאפשר להמיר אותה למשוואת דיפרנציאלית כוללת. עם זאת, משוואות כאלה משמשות לעתים רחוקות בפועל, ולמרות הגורם המשלב קיים, מצא שזה קורה לא קל, כך שמשוואות אלו אינן נחשבות במאמר זה.

חלק 2

משוואות מסדר שני

1. משוואות דיפרנציאליות ליניאריות הומוגניות עם מקדמים קבועים.משוואות אלו נמצאות בשימוש נרחב בפועל, ולכן הפתרון שלהן הוא בעל חשיבות עליונה. במקרה זה, אנחנו לא מדברים על פונקציות הומוגניות, אלא על העובדה שיש 0 בצד ימין של המשוואה. בסעיף הבא נראה כיצד התואם הֵטֵרוֹגֵנִימשוואות דיפרנציאליות. לְהַלָן a (\displaystyle a)ו b (\displaystyle b)הם קבועים.

   D 2 y d x 2 + a d y d x + b y = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+a(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=0)
   

   משוואה אופיינית. משוואת דיפרנציאלית זו יוצאת דופן בכך שניתן לפתור אותה בקלות רבה אם תשים לב לאילו תכונות אמורות להיות לפתרונות שלה. ניתן לראות מהמשוואה ש y (\displaystyle y)ונגזרותיו פרופורציונליות זו לזו. מהדוגמאות הקודמות, שנחשבו בסעיף על משוואות מסדר ראשון, אנו יודעים זאת בלבד פונקציה מעריכית. לכן, אפשר להעלות אנזץ(ניחוש מושכל) לגבי מה יהיה הפתרון למשוואה הנתונה.

   • הפתרון יקבל צורה של פונקציה אקספוננציאלית e r x , (\displaystyle e^(rx),)איפה r (\displaystyle r)הוא קבוע שאת ערכו יש למצוא. החליפו את הפונקציה הזו במשוואה וקבלו את הביטוי הבא
     • e r x (r 2 + a r + b) = 0 (\displaystyle e^(rx)(r^(2)+ar+b)=0)
   • משוואה זו מציינת שהמכפלה של פונקציה מעריכית ופולינום חייבת להיות אפס. זה ידוע שהמעריך לא יכול להיות שווה לאפס עבור כל ערכים של התואר. מכאן אנו מסיקים שהפולינום שווה לאפס. לפיכך, צמצמנו את הבעיה של פתרון משוואת דיפרנציאלית לבעיה פשוטה הרבה יותר של פתרון משוואה אלגברית, הנקראת המשוואה האופיינית למשוואה דיפרנציאלית נתונה.
     • r 2 + a r + b = 0 (\displaystyle r^(2)+ar+b=0)
     • r ± = − a ± a 2 − 4 b 2 (\displaystyle r_(\pm )=(\frac (-a\pm (\sqrt (a^(2)-4b)))(2)))
   • יש לנו שני שורשים. מכיוון שמשוואת דיפרנציאלית זו היא ליניארית, הפתרון הכללי שלה הוא שילוב ליניארי של פתרונות חלקיים. מכיוון שזו משוואה מסדר שני, אנו יודעים שכן בֶּאֱמֶתפתרון כללי, ואין אחרים. נימוק קפדני יותר לכך טמון במשפטים על קיומו וייחודו של הפתרון, אותם ניתן למצוא בספרי לימוד.
   • דרך שימושית לבדוק אם שני פתרונות הם בלתי תלויים ליניארית היא חישוב ורונסקיאן. ורונסקיאן W (\displaystyle W)- זהו הקובע של המטריצה, שבעמודותיה יש פונקציות ונגזרותיהן העוקבות. משפט האלגברה הליניארית קובע שהפונקציות בוורונסקיאן תלויות לינארית אם הוורונסקיאן שווה לאפס. בסעיף זה, אנו יכולים לבדוק אם שני פתרונות הם בלתי תלויים ליניארית על ידי לוודא שה-Wronskian אינו אפס. ה-Wronskian חשוב בפתרון משוואות דיפרנציאליות לא-הומוגניות עם מקדמים קבועים בשיטת וריאציה של פרמטרים.
     • w = | y 1 y 2 y 1 "י 2" | (\displaystyle W=(\begin(vmatrix)y_(1)&y_(2)\\y_(1)"&y_(2)"\end(vmatrix)))
   • במונחים של אלגברה לינארית, קבוצת כל הפתרונות של משוואת דיפרנציאלית נתונה יוצרת מרחב וקטורי שהמימד שלו שווה לסדר המשוואה הדיפרנציאלית. במרחב הזה, אפשר לבחור בסיס עצמאית ליניאריתהחלטות אחד מהשני. זה אפשרי בשל העובדה כי הפונקציה y (x) (\displaystyle y(x))תָקֵף אופרטור ליניארי. נגזר הואאופרטור ליניארי, מכיוון שהוא הופך את המרחב של פונקציות הניתנות להבדלה למרחב של כל הפונקציות. משוואות נקראות הומוגניות במקרים שבהם לאופרטור ליניארי כלשהו L (\displaystyle L)נדרש למצוא פתרון למשוואה L [ y ] = 0. (\displaystyle L[y]=0.)

   כעת נפנה למספר דוגמאות ספציפיות. המקרה של שורשים מרובים של המשוואה האופיינית ייבחן מעט מאוחר יותר, בסעיף על הפחתת סדר.

   אם השורשים r ± (\displaystyle r_(\pm ))הם מספרים ממשיים שונים, למשוואת הדיפרנציאל יש את הפתרון הבא

   • y (x) = c 1 e r + x + c 2 e r − x (\displaystyle y(x)=c_(1)e^(r_(+)x)+c_(2)e^(r_(-)x ))

   שני שורשים מורכבים.ממשפט היסוד של האלגברה עולה כי לפתרונות למשוואות פולינומיות עם מקדמים ממשיים יש שורשים שהם ממשיים או יוצרים זוגות מצומדים. לכן, אם המספר המרוכב r = α + i β (\displaystyle r=\alpha +i\beta )הוא השורש של המשוואה האופיינית, אם כן r ∗ = α − i β (\displaystyle r^(*)=\alpha -i\beta )הוא גם השורש של המשוואה הזו. לפיכך, ניתן לכתוב את הפתרון בצורה c 1 e (α + i β) x + c 2 e (α − i β) x , (\displaystyle c_(1)e^((\alpha +i\beta)x)+c_(2)e^( (\alpha -i\beta)x),)עם זאת, זהו מספר מורכב ואינו רצוי בפתרון בעיות מעשיות.

   • במקום זאת, אתה יכול להשתמש נוסחת אוילר e i x = cos ⁡ x + i sin ⁡ x (\displaystyle e^(ix)=\cos x+i\sin x), מה שמאפשר לנו לכתוב את הפתרון בטופס פונקציות טריגונומטריות:
     • e α x (c 1 cos ⁡ β x + i c 1 sin ⁡ β x + c 2 cos ⁡ β x − i c 2 sin ⁡ β x) (\displaystyle e^(\alpha x)(c_(1)\cos \ beta x+ic_(1)\sin \beta x+c_(2)\cos \beta x-ic_(2)\sin \beta x))
   • עכשיו אתה יכול במקום קבוע c 1 + c 2 (\displaystyle c_(1)+c_(2))לִרְשׁוֹם c 1 (\displaystyle c_(1)), והביטוי i (c 1 - c 2) (\displaystyle i(c_(1)-c_(2))))הוחלף על ידי ג 2 . (\displaystyle c_(2).)לאחר מכן נקבל את הפתרון הבא:
     • y (x) = e α x (c 1 cos ⁡ β x + c 2 sin ⁡ β x) (\displaystyle y(x)=e^(\alpha x)(c_(1)\cos \beta x+c_ (2)\sin \beta x))
   • ישנה דרך אחרת לכתוב את הפתרון מבחינת משרעת ופאזה, שמתאימה יותר לבעיות פיזיות.
   • דוגמה 2.1.הבה נמצא את הפתרון של המשוואה הדיפרנציאלית המובאת להלן עם תנאים התחלתיים נתונים. לשם כך, יש צורך לקחת את הפתרון שהושג, כמו גם הנגזרת שלו, ולהחליף אותם בתנאים ההתחלתיים, שיאפשרו לנו לקבוע קבועים שרירותיים.
     • d 2 x d t 2 + 3 d x d t + 10 x = 0 , x (0) = 1 , x ′ (0) = − 1 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)(( \mathrm (d) )t^(2)))+3(\frac ((\mathrm (d) )x)((\mathrm (d) )t))+10x=0,\quad x(0) =1,\ x"(0)=-1)
     • r 2 + 3 r + 10 = 0 , r ± = − 3 ± 9 − 40 2 = − 3 2 ± 31 2 i (\displaystyle r^(2)+3r+10=0,\quad r_(\pm ) =(\frac (-3\pm (\sqrt (9-40)))(2))=-(\frac (3)(2))\pm (\frac (\sqrt (31))(2) )אני)
     • x (t) = e − 3 t / 2 (c 1 cos ⁡ 31 2 t + c 2 sin ⁡ 31 2 t) (\displaystyle x(t)=e^(-3t/2)\left(c_(1) )\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+c_(2)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right))
     • x (0) = 1 = c 1 (\displaystyle x(0)=1=c_(1))
     • x ′ (t) = − 3 2 e − 3 t / 2 (c 1 cos ⁡ 31 2 t + c 2 sin ⁡ 31 2 t) + e − 3 t / 2 (− 31 2 c 1 sin ⁡ 31 2 t + 31 2 c 2 cos ⁡ 31 2 t) (\displaystyle (\begin(aligned)x"(t)&=-(\frac (3)(2))e^(-3t/2)\left(c_ (1)\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+c_(2)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right)\\&+e ^(-3t/2)\left(-(\frac (\sqrt (31))(2))c_(1)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t+(\frac ( \sqrt (31))(2))c_(2)\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t\right)\end(aligned)))
     • x ′ (0) = − 1 = − 3 2 c 1 + 31 2 c 2 , c 2 = 1 31 (\displaystyle x"(0)=-1=-(\frac (3)(2))c_( 1)+(\frac (\sqrt (31))(2))c_(2),\quad c_(2)=(\frac (1)(\sqrt (31))))
     • x (t) = e − 3 t / 2 (cos ⁡ 31 2 t + 1 31 sin ⁡ 31 2 t) (\displaystyle x(t)=e^(-3t/2)\left(\cos (\frac) (\sqrt (31))(2))t+(\frac (1)(\sqrt (31)))\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right))
   
   פתרון משוואות דיפרנציאליות מסדר n עם מקדמים קבועים (מתועדים על ידי Intuit - האוניברסיטה הפתוחה הלאומית).

2. הורדת הזמנה.הפחתת סדר היא שיטה לפתרון משוואות דיפרנציאליות כאשר ידוע פתרון אחד בלתי תלוי ליניארי. שיטה זו מורכבת מהורדת סדר המשוואה באחד, מה שמאפשר לפתור את המשוואה באמצעות השיטות שתוארו בסעיף הקודם. תן את הפתרון לדעת. הרעיון המרכזי של הורדת הסדר הוא למצוא פתרון בטופס למטה, שבו יש צורך להגדיר את הפונקציה v (x) (\displaystyle v(x)), החלפתו במשוואה הדיפרנציאלית ומציאת v(x). (\displaystyle v(x).)הבה נבחן כיצד ניתן להשתמש בהפחתת סדר כדי לפתור משוואת דיפרנציאלית עם מקדמים קבועים ושורשים מרובים.

   
   

   שורשים מרוביםמשוואת דיפרנציאלית הומוגנית עם מקדמים קבועים. נזכיר כי למשוואה מסדר שני חייבות להיות שני פתרונות בלתי תלויים באופן ליניארי. אם למשוואה האופיינית יש שורשים מרובים, קבוצת הפתרונות לֹאיוצר מרחב מכיוון שפתרונות אלו תלויים ליניארית. במקרה זה, יש להשתמש בהפחתת הזמנה כדי למצוא פתרון שני עצמאי ליניארי.

   • תן למשוואה האופיינית שורשים מרובים r (\displaystyle r). אנו מניחים שניתן לכתוב את הפתרון השני בתור y (x) = e r x v (x) (\displaystyle y(x)=e^(rx)v(x)), והחליפו אותו במשוואה הדיפרנציאלית. במקרה זה, רוב המונחים, למעט המונח עם הנגזרת השנייה של הפונקציה v , (\displaystyle v,)יקטן.
     • v ″ (x) e r x = 0 (\displaystyle v""(x)e^(rx)=0)
   • דוגמה 2.2.בהינתן המשוואה הבאה, בעלת שורשים מרובים r = − 4. (\displaystyle r=-4.)בעת החלפה, רוב התנאים מבוטלים.
     • d 2 y d x 2 + 8 d y d x + 16 y = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+8( \frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+16y=0)
     • y = v (x) e − 4 x y ′ = v ′ (x) e − 4 x − 4 v (x) e − 4 x y ″ = v ″ (x) e − 4 x − 8 v ′ (x) e − 4 x + 16 v (x) e − 4 x (\displaystyle (\begin(aligned)y&=v(x)e^(-4x)\\y"&=v"(x)e^(-4x )-4v(x)e^(-4x)\\y""&=v""(x)e^(-4x)-8v"(x)e^(-4x)+16v(x)e^ (-4x)\end(מיושר)))
     • v ″ e − 4 x − 8 v ′ e − 4 x + 16 v e − 4 x + 8 v ′ e − 4 x − 32 v e − 4 x + 16 v e − 4 x = 0 (\displaystyle (\begin(aligned) )v""e^(-4x)&-(\cancel (8v"e^(-4x)))+(\cancel (16ve^(-4x)))\\&+(\cancel (8v"e ^(-4x)))-(\cancel (32ve^(-4x)))+(\cancel (16ve^(-4x)))=0\end(aligned)))
   • כמו ה-Ansatz שלנו עבור משוואת דיפרנציאלית עם מקדמים קבועים, במקרה זה רק הנגזרת השנייה יכולה להיות שווה לאפס. אנו משתלבים פעמיים ומקבלים את הביטוי הרצוי עבור v (\displaystyle v):
     • v (x) = c 1 + c 2 x (\displaystyle v(x)=c_(1)+c_(2)x)
   • אז את הפתרון הכללי של משוואת דיפרנציאלית עם מקדמים קבועים, אם למשוואה האופיינית יש שורשים מרובים, ניתן לכתוב כ הטופס הבא. מטעמי נוחות, אתה יכול לזכור שכדי להשיג עצמאות ליניארית, מספיק פשוט להכפיל את האיבר השני ב x (\displaystyle x). קבוצת פתרונות זו היא בלתי תלויה ליניארית, ולכן מצאנו את כל הפתרונות למשוואה זו.
     • y (x) = (c 1 + c 2 x) e r x (\displaystyle y(x)=(c_(1)+c_(2)x)e^(rx))

   D 2 y d x 2 + p (x) d y d x + q (x) y = 0. (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^( 2)))+p(x)(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+q(x)y=0.)הפחתת הזמנה חלה אם הפתרון ידוע y 1 (x) (\displaystyle y_(1)(x)), שניתן למצוא או לתת בהצהרת הבעיה.

   • אנחנו מחפשים פתרון בטופס y (x) = v (x) y 1 (x) (\displaystyle y(x)=v(x)y_(1)(x))ותחבר אותו למשוואה הזו:
     • v ″ y 1 + 2 v ′ y 1 ′ + p (x) v ′ y 1 + v (y 1 ″ + p (x) y 1 ′ + q (x)) = 0 (\displaystyle v""y_( 1)+2v"y_(1)"+p(x)v"y_(1)+v(y_(1)""+p(x)y_(1)"+q(x))=0)
   • בגלל ה y 1 (\displaystyle y_(1))הוא פתרון למשוואה הדיפרנציאלית, כל האיברים עם v (\displaystyle v)מתכווצים. כתוצאה מכך, זה נשאר משוואה לינארית מסדר ראשון. כדי לראות זאת בצורה ברורה יותר, הבה נשנה את המשתנים w (x) = v′ (x) (\displaystyle w(x)=v"(x)):
     • y 1 w ′ + (2 y 1 ′ + p (x) y 1) w = 0 (\displaystyle y_(1)w"+(2y_(1)"+p(x)y_(1))w=0 )
     • w (x) = exp ⁡ (∫ (2 y 1 ′ (x) y 1 (x) + p (x)) d x) (\displaystyle w(x)=\exp \left(\int \left((\ frac (2y_(1)"(x))(y_(1)(x)))+p(x)\right)(\mathrm (d) )x\right))
     • v (x) = ∫ w (x) d x (\displaystyle v(x)=\int w(x)(\mathrm (d) )x)
   • אם ניתן לחשב את האינטגרלים, נקבל את הפתרון הכללי כשילוב של פונקציות אלמנטריות. אחרת, ניתן להשאיר את הפתרון בצורה אינטגרלית.

3. משוואת קאוצ'י-אולר.משוואת קאוצ'י-אולר היא דוגמה למשוואה דיפרנציאלית מסדר שני עם משתניםמקדמים, שיש לו פתרונות מדויקים. משוואה זו משמשת בפועל, למשל, כדי לפתור את משוואת לפלס בקואורדינטות כדוריות.

   X 2 d 2 y d x 2 + a x d y d x + b y = 0 (\displaystyle x^(2)(\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2) ))+ax(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=0)
   

   משוואה אופיינית.כפי שניתן לראות, במשוואה דיפרנציאלית זו, כל איבר מכיל גורם כוח, שמידתו שווה לסדר הנגזרת המתאימה.

   • לפיכך, אפשר לנסות לחפש פתרון בטופס y (x) = x n , (\displaystyle y(x)=x^(n),)איפה להגדיר n (\displaystyle n), בדיוק כפי שחיפשנו פתרון בצורת פונקציה מעריכית למשוואה דיפרנציאלית לינארית עם מקדמים קבועים. לאחר בידול והחלפה, אנו מקבלים
     • x n (n 2 + (a - 1) n + b) = 0 (\displaystyle x^(n)(n^(2)+(a-1)n+b)=0)
   • כדי להשתמש במשוואה האופיינית, עלינו להניח זאת x ≠ 0 (\displaystyle x\neq 0). נְקוּדָה x = 0 (\displaystyle x=0)שקוראים לו נקודה יחידה רגילהמשוואה דיפרנציאלית. נקודות כאלה חשובות כאשר פותרים משוואות דיפרנציאליות באמצעות סדרות חזקות. למשוואה זו יש שני שורשים, שיכולים להיות שונים ואמיתיים, מצומדים מרובים או מורכבים.
     • n ± = 1 − a ± (a − 1) 2 − 4 b 2 (\displaystyle n_(\pm )=(\frac (1-a\pm (\sqrt ((a-1)^(2)-4b )))(2)))

   שני שורשים אמיתיים שונים.אם השורשים n ± (\displaystyle n_(\pm ))הם אמיתיים ושונים, אז לפתרון המשוואה הדיפרנציאלית יש את הצורה הבאה:

   • y (x) = c 1 x n + + c 2 x n − (\displaystyle y(x)=c_(1)x^(n_(+))+c_(2)x^(n_(-))))

   שני שורשים מורכבים.אם למשוואה האופיינית יש שורשים n ± = α ± β i (\displaystyle n_(\pm )=\alpha \pm \beta i), הפתרון הוא פונקציה מורכבת.

   • כדי להפוך את הפתרון לפונקציה אמיתית, אנו מבצעים שינוי של משתנים x = e t , (\displaystyle x=e^(t),)זה t = ln ⁡ x , (\displaystyle t=\ln x,)והשתמש בנוסחת אוילר. פעולות דומות בוצעו קודם לכן בעת ​​הגדרת קבועים שרירותיים.
     • y (t) = e α t (c 1 e β i t + c 2 e − β i t) (\displaystyle y(t)=e^(\alpha t)(c_(1)e^(\beta it)+ c_(2)e^(-\beta it)))
   • אז ניתן לכתוב את הפתרון הכללי בשם
     • y (x) = x α (c 1 cos ⁡ (β ln ⁡ x) + c 2 sin ⁡ (β ln ⁡ x)) (\displaystyle y(x)=x^(\alpha )(c_(1)\ cos(\beta \ln x)+c_(2)\sin(\beta \ln x)))

   שורשים מרובים.כדי לקבל פתרון בלתי תלוי ליניארי שני, יש צורך להפחית שוב את ההזמנה.

   • זה דורש לא מעט חישוב, אבל העיקרון זהה: אנחנו מחליפים y = v (x) y 1 (\displaystyle y=v(x)y_(1))לתוך משוואה שהפתרון הראשון שלה הוא y 1 (\displaystyle y_(1)). לאחר הפחתות, מתקבלת המשוואה הבאה:
     • v ″ + 1 x v ′ = 0 (\displaystyle v""+(\frac (1)(x))v"=0)
   • זוהי משוואה לינארית מסדר ראשון ביחס ל v′ (x) . (\displaystyle v"(x).)הפתרון שלו הוא v (x) = c 1 + c 2 ln ⁡ x . (\displaystyle v(x)=c_(1)+c_(2)\ln x.)לפיכך, ניתן לכתוב את הפתרון בצורה הבאה. זה די קל לזכור - כדי לקבל את הפתרון השני הבלתי תלוי ליניארי, אתה רק צריך מונח נוסף עם ln ⁡ x (\displaystyle \ln x).
     • y (x) = x n (c 1 + c 2 ln ⁡ x) (\displaystyle y(x)=x^(n)(c_(1)+c_(2)\ln x))

4. משוואות דיפרנציאליות ליניאריות לא הומוגניות עם מקדמים קבועים.למשוואות לא הומוגניות יש את הצורה L [ y (x) ] = f (x) , (\displaystyle L=f(x),)איפה f (x) (\displaystyle f(x))- מה שנקרא חבר חינם. לפי תורת המשוואות הדיפרנציאליות, הפתרון הכללי של משוואה זו הוא סופרפוזיציה החלטה פרטית y p (x) (\displaystyle y_(p)(x))ו פתרון נוסף y c (x) . (\displaystyle y_(c)(x).)עם זאת, במקרה זה, פתרון מסוים אינו פירושו פתרון שניתן על ידי התנאים ההתחלתיים, אלא פתרון הנובע מנוכחות חוסר הומוגניות (מונח חופשי). הפתרון המשלים הוא הפתרון של המשוואה ההומוגנית המתאימה שבה f (x) = 0. (\displaystyle f(x)=0.)הפתרון הכללי הוא סופרפוזיציה של שני הפתרונות הללו, כי L [ y p + y c ] = L [ y p ] + L [ y c ] = f (x) (\displaystyle L=L+L=f(x)), ומאז L [ y c ] = 0 , (\displaystyle L=0,)סופרפוזיציה כזו היא אכן פתרון כללי.

   D 2 y d x 2 + a d y d x + b y = f (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+a (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=f(x))
   

   שיטה של ​​מקדמים בלתי מוגדרים.שיטת המקדמים הבלתי מוגדרים משמשת במקרים בהם המונח החופשי הוא שילוב של פונקציות אקספוננציאליות, טריגונומטריות, היפרבוליות או חזקות. רק לפונקציות הללו מובטח מספר סופי של נגזרות בלתי תלויות ליניאריות. בחלק זה, נמצא פתרון מסוים למשוואה.

   • השווה את המונחים ב f (x) (\displaystyle f(x))עם מונחים בהתעלמות מגורמים קבועים. שלושה מקרים אפשריים.
     • אין חברים זהים.במקרה זה, פתרון מסוים y p (\displaystyle y_(p))יהיה שילוב ליניארי של מונחים מ y p (\displaystyle y_(p))
     • f (x) (\displaystyle f(x)) מכיל חבר x n (\displaystyle x^(n)) וחבר מ y c , (\displaystyle y_(c),) איפה n (\displaystyle n) הוא אפס או מספר שלם חיובי, והמונח הזה מתאים לשורש בודד של המשוואה האופיינית.במקרה הזה y p (\displaystyle y_(p))יהיה מורכב משילוב של הפונקציה x n + 1 h (x) , (\displaystyle x^(n+1)h(x),)נגזרותיו העצמאיות באופן ליניארי, כמו גם מונחים אחרים f (x) (\displaystyle f(x))והנגזרות העצמאיות שלהם באופן ליניארי.
     • f (x) (\displaystyle f(x)) מכיל חבר h (x) , (\displaystyle h(x),) שהיא יצירה x n (\displaystyle x^(n)) וחבר מ y c , (\displaystyle y_(c),) איפה n (\displaystyle n) שווה ל-0 או למספר שלם חיובי, והמונח הזה מתאים ל מרובותשורש המשוואה האופיינית.במקרה הזה y p (\displaystyle y_(p))הוא שילוב ליניארי של הפונקציה x n + s h (x) (\displaystyle x^(n+s)h(x))(איפה s (\displaystyle s)- ריבוי השורש) ונגזרותיו הבלתי תלויות באופן ליניארי, כמו גם איברים אחרים של הפונקציה f (x) (\displaystyle f(x))ונגזרותיו העצמאיות באופן ליניארי.
   • בואו נכתוב y p (\displaystyle y_(p))כשילוב ליניארי של המונחים לעיל. בשל מקדמים אלו בשילוב ליניארי, שיטה זו נקראת "שיטת המקדמים הבלתי מוגדרים". עם הופעתם של אלה הכלולים ב y c (\displaystyle y_(c))ניתן להשליך את החברים שלהם עקב נוכחותם של קבועים שרירותיים בפנים ג y . (\displaystyle y_(c).)אחרי זה אנחנו מחליפים y p (\displaystyle y_(p))לתוך משוואה ולהשוות מונחים דומים.
   • אנו קובעים את המקדמים. בשלב זה מתקבלת מערכת של משוואות אלגבריות, שבדרך כלל ניתן לפתור אותה ללא בעיות מיוחדות. הפתרון של מערכת זו מאפשר להשיג y p (\displaystyle y_(p))ובכך לפתור את המשוואה.
   • דוגמה 2.3.קחו בחשבון משוואת דיפרנציאלית לא הומוגנית שהמונח החופשי שלה מכיל מספר סופי של נגזרות בלתי תלויות ליניאריות. פתרון מסוים של משוואה כזו ניתן למצוא בשיטה של ​​מקדמים בלתי מוגדרים.
     • d 2 y d t 2 + 6 y = 2 e 3 t − cos ⁡ 5 t (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )t^(2) ))+6y=2e^(3t)-\cos 5t)
     • y c (t) = c 1 cos ⁡ 6 t + c 2 sin ⁡ 6 t (\displaystyle y_(c)(t)=c_(1)\cos (\sqrt (6))t+c_(2)\sin (\sqrt(6))t)
     • y p (t) = A e 3 t + B cos ⁡ 5 t + C sin ⁡ 5 t (\displaystyle y_(p)(t)=Ae^(3t)+B\cos 5t+C\sin 5t)
     • 9 A e 3 t − 25 B cos ⁡ 5 t − 25 C sin ⁡ 5 t + 6 A e 3 t + 6 B cos ⁡ 5 t + 6 C sin ⁡ 5 t = 2 e 3 t − cos ⁡ 5 \displaystyle (\begin(aligned)9Ae^(3t)-25B\cos 5t&-25C\sin 5t+6Ae^(3t)\\&+6B\cos 5t+6C\sin 5t=2e^(3t)-\ cos 5t\end(מיושר)))
     • ( 9 A + 6 A = 2 , A = 2 15 − 25 B + 6 B = − 1 , B = 1 19 − 25 C + 6 C = 0 , C = 0 (\displaystyle (\begin(cases)9A+ 6A =2,&A=(\dfrac (2)(15))\\-25B+6B=-1,&B=(\dfrac (1)(19))\\-25C+6C=0,&C=0 \ סוף (מקרים)))
     • y (t) = c 1 cos ⁡ 6 t + c 2 sin ⁡ 6 t + 2 15 e 3 t + 1 19 cos ⁡ 5 t (\displaystyle y(t)=c_(1)\cos (\sqrt (6) ))t+c_(2)\sin (\sqrt (6))t+(\frac (2)(15))e^(3t)+(\frac (1)(19))\cos 5t)

   שיטת לגרנז'.שיטת לגראנז', או שיטת הווריאציה של קבועים שרירותיים, היא שיטה כללית יותר לפתרון משוואות דיפרנציאליות לא-הומוגניות, במיוחד במקרים בהם האיבר החופשי אינו מכיל מספר סופי של נגזרות בלתי תלויות ליניאריות. למשל, עם חברים בחינם tan ⁡ x (\displaystyle \tan x)אוֹ x − n (\displaystyle x^(-n))כדי למצוא פתרון מסוים, יש צורך להשתמש בשיטת לגרנז'. שיטת לגראנז' יכולה לשמש אפילו לפתרון משוואות דיפרנציאליות עם מקדמים משתנים, אם כי במקרה זה, למעט משוואת קאוצ'י-אולר, משתמשים בה פחות, שכן הפתרון הנוסף בדרך כלל אינו מתבטא במונחים של פונקציות אלמנטריות.

   • נניח שלפתרון יש את הצורה הבאה. הנגזרת שלו ניתנת בשורה השנייה.
     • y (x) = v 1 (x) y 1 (x) + v 2 (x) y 2 (x) (\displaystyle y(x)=v_(1)(x)y_(1)(x)+v_ (2)(x)y_(2)(x))
     • y ′ = v 1 ′ y 1 + v 1 y 1 ′ + v 2 ′ y 2 + v 2 y 2 ′ (\displaystyle y"=v_(1)"y_(1)+v_(1)y_(1) "+v_(2)"y_(2)+v_(2)y_(2)")
   • מאחר והפתרון המוצע מכיל שתייםכמויות לא ידועות, יש צורך להטיל נוֹסָףמַצָב. אנו בוחרים בתנאי נוסף זה בצורה הבאה:
     • v 1 ′ y 1 + v 2 ′ y 2 = 0 (\displaystyle v_(1)"y_(1)+v_(2)"y_(2)=0)
     • y ′ = v 1 y 1 ′ + v 2 y 2 ′ (\displaystyle y"=v_(1)y_(1)"+v_(2)y_(2)")
     • y ″ = v 1 ′ y 1 ′ + v 1 y 1 ″ + v 2 ′ y 2 ′ + v 2 y 2 ″ (\displaystyle y""=v_(1)"y_(1)"+v_(1) y_(1)""+v_(2)"y_(2)"+v_(2)y_(2)"")
   • כעת נוכל לקבל את המשוואה השנייה. לאחר החלפה והפצה מחדש של חברים, תוכל לקבץ חברים עם v 1 (\displaystyle v_(1))וחברים מ v 2 (\displaystyle v_(2)). תנאים אלה מבוטלים בגלל y 1 (\displaystyle y_(1))ו y 2 (\displaystyle y_(2))הם פתרונות של המשוואה ההומוגנית המתאימה. כתוצאה מכך, אנו מקבלים את מערכת המשוואות הבאה
     • v 1 ′ y 1 + v 2 ′ y 2 = 0 v 1 ′ y 1 ′ + v 2 ′ y 2 ′ = f (x) (\displaystyle (\begin(aligned)v_(1)"y_(1)+ v_(2)"y_(2)&=0\\v_(1)"y_(1)"+v_(2)"y_(2)"&=f(x)\\\end(aligned)))
   • ניתן להמיר למערכת זו משוואת מטריצהסוג A x = b , (\displaystyle A(\mathbf (x) )=(\mathbf (b) ),)שהפתרון שלו x = A − 1 b . (\displaystyle (\mathbf (x) )=A^(-1)(\mathbf (b) ).)למטריצה 2 × 2 (\displaystyle 2\times 2)המטריצה ​​ההפוכה נמצאת על ידי חלוקה בדטרמיננטה, שינוי האלמנטים האלכסוניים והיפוך הסימן של האלמנטים הלא אלכסוניים. למעשה, הקובע של המטריצה ​​הזו הוא Wronskian.
     • (v 1 ′ v 2 ′) = 1 W (y 2 ′ − y 2 − y 1 ′ y 1) (0 f (x)) (\displaystyle (\begin(pmatrix)v_(1)"\\v_( 2)"\end(pmatrix))=(\frac (1)(W))(\begin(pmatrix)y_(2)"&-y_(2)\\-y_(1)"&y_(1)\ end(pmatrix))(\begin(pmatrix)0\\f(x)\end(pmatrix)))
   • ביטויים עבור v 1 (\displaystyle v_(1))ו v 2 (\displaystyle v_(2))מפורטים להלן. כמו בשיטת הפחתת הסדר, במקרה זה מופיע קבוע שרירותי במהלך האינטגרציה, הכולל פתרון נוסף בפתרון הכללי של המשוואה הדיפרנציאלית.
     • v 1 (x) = − ∫ 1 W f (x) y 2 (x) d x (\displaystyle v_(1)(x)=-\int (\frac (1)(W))f(x)y_( 2)(x)(\mathrm (d) )x)
     • v 2 (x) = ∫ 1 W f (x) y 1 (x) d x (\displaystyle v_(2)(x)=\int (\frac (1)(W))f(x)y_(1) (x)(\mathrm (d) )x)
   
   הרצאה של האינטואיט הלאומי הפתוחה של האוניברסיטה הפתוחה שכותרתה "משוואות דיפרנציאליות לינאריות מהסדר ה-n עם מקדמים קבועים".

שימוש מעשי

משוואות דיפרנציאליות קובעות קשר בין פונקציה לבין אחת או יותר מהנגזרות שלה. מכיוון שמערכות יחסים כאלה נפוצות כל כך, משוואות דיפרנציאליות מצאו יישום נרחב במגוון רחב של תחומים, ומכיוון שאנו חיים בארבעה ממדים, משוואות אלו הן לרוב משוואות דיפרנציאליות ב פְּרָטִינגזרות. חלק זה דן בכמה מהמשוואות החשובות ביותר מסוג זה.

• צמיחה וריקבון מעריכי.ריקבון רדיואקטיבי. רבית דרבית. קצב התגובות הכימיות. ריכוז התרופות בדם. גידול אוכלוסין בלתי מוגבל. חוק ניוטון-ריכמן. IN עולם אמיתיישנן מערכות רבות שבהן קצב הצמיחה או הדעיכה בכל זמן נתון הוא פרופורציונלי לכמות הרגע הזהזמן או יכול להיות משוער היטב על ידי המודל. הסיבה לכך היא שהפתרון למשוואה הדיפרנציאלית הזו, הפונקציה האקספוננציאלית, היא אחת הפונקציות החשובות ביותר במתמטיקה ובמדעים אחרים. באופן כללי יותר, תחת גידול אוכלוסין מבוקר, המערכת עשויה לכלול מונחים נוספים המגבילים את הצמיחה. במשוואה למטה, הקבוע k (\displaystyle k)יכול להיות גדול או קטן מאפס.
  • d y d x = k x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=kx)
• תנודות הרמוניות.הן במכניקה הקלאסית והן במכניקה הקוונטית, המתנד ההרמוני הוא אחת המערכות הפיזיקליות החשובות ביותר בשל הפשטות והיישום הרחב שלו לקירוב יותר מערכות מורכבותכגון מטוטלת פשוטה. במכניקה הקלאסית, תנודות הרמוניות מתוארות על ידי משוואה המקשרת את המיקום של נקודה חומרית לתאוצה שלה באמצעות חוק הוק. במקרה זה, ניתן לקחת בחשבון גם כוחות שיכוך והנעה. בביטוי למטה x ˙ (\displaystyle (\dot (x)))- נגזרת זמן של x , (\displaystyle x,) β (\displaystyle \beta )הוא פרמטר שמתאר את כוח השיכוך, ω 0 (\displaystyle \omega _(0))- תדר זוויתי של המערכת, F (t) (\displaystyle F(t))הוא כוח מניע תלוי זמן. המתנד ההרמוני קיים גם במעגלים אלקטרומגנטיים, שם ניתן ליישם אותו בדיוק רב יותר מאשר במערכות מכניות.
  • x ¨ + 2 β x ˙ + ω 0 2 x = F (t) (\displaystyle (\ddot (x))+2\beta (\dot (x))+\omega _(0)^(2)x =F(t))
• משוואת בסל.המשוואה הדיפרנציאלית של בסל משמשת בתחומים רבים בפיזיקה, כולל פתרון משוואת הגלים, משוואת לפלס ומשוואת שרדינגר, במיוחד בנוכחות סימטריה גלילית או כדורית. משוואת דיפרנציאלית זו מסדר שני עם מקדמים משתנים אינה משוואת Cauchy-Euler, ולכן לא ניתן לכתוב את הפתרונות שלה כפונקציות יסודיות. הפתרונות של משוואת Bessel הם פונקציות Bessel, אשר נחקרות היטב בשל העובדה שהן משמשות בתחומים רבים. בביטוי למטה α (\displaystyle \alpha )הוא קבוע שתואם להזמיןבסל מתפקד.
  • x 2 d 2 y d x 2 + x d y d x + (x 2 − α 2) y = 0 (\displaystyle x^(2)(\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) ) )x^(2)))+x(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+(x^(2)-\alpha ^(2)) y=0)
• המשוואות של מקסוול.יחד עם כוח לורנץ, משוואות מקסוול מהוות את הבסיס של האלקטרודינמיקה הקלאסית. אלו הן ארבע משוואות דיפרנציאליות חלקיות עבור החשמל E (r , t) (\displaystyle (\mathbf (E) )((\mathbf (r) ),t))ומגנטי B (r , t) (\displaystyle (\mathbf (B) )((\mathbf (r) ),t))שדות. בביטויים למטה ρ = ρ (r , t) (\displaystyle \rho =\rho ((\mathbf (r) ),t))- צפיפות מטען, J = J (r , t) (\displaystyle (\mathbf (J) )=(\mathbf (J) )((\mathbf (r) ),t))הוא צפיפות הזרם, ו ϵ 0 (\displaystyle \epsilon _(0))ו μ 0 (\displaystyle \mu _(0))הם הקבועים החשמליים והמגנטיים, בהתאמה.
  • ∇ ⋅ E = ρ ϵ 0 ∇ ⋅ B = 0 ∇ × E = − ∂ B ∂ t ∇ × B = μ 0 J + μ 0 ϵ 0 ∂ E ∂ t (\displaystyle (\begin(aligned) (\mathbf (E) )&=(\frac (\rho )(\epsilon _(0)))\\\nabla \cdot (\mathbf (B) )&=0\\\nabla \times (\mathbf (E) )&=-(\frac (\partial (\mathbf (B) ))(\partial t))\\\nabla \times (\mathbf (B) )&=\mu _(0)(\ mathbf (J) )+\mu _(0)\epsilon _(0)(\frac (\partial (\mathbf (E) ))(\partial t))\end(aligned)))
• משוואת שרדינגר.במכניקת הקוונטים, משוואת שרדינגר היא משוואת התנועה הבסיסית המתארת ​​את תנועת החלקיקים בהתאם לשינוי בפונקציית הגל. Ψ = Ψ (r , t) (\displaystyle \Psi =\Psi ((\mathbf (r) ),t))עם הזמן. משוואת התנועה מתוארת על ידי ההתנהגות המילטון H ^ (\displaystyle (\hat(H))) - מַפעִיל, המתאר את האנרגיה של המערכת. אחת הדוגמאות הידועות של משוואת שרדינגר בפיזיקה היא המשוואה של חלקיק אחד לא יחסי, אשר נתון לפוטנציאל. V (r , t) (\displaystyle V((\mathbf (r) ),t)). מערכות רבות מתוארות על ידי משוואת שרדינגר התלויה בזמן, כאשר המשוואה בצד שמאל E Ψ , (\displaystyle E\Psi ,)איפה E (\displaystyle E)היא האנרגיה של החלקיק. בביטויים למטה ℏ (\displaystyle \hbar )הוא קבוע פלאנק המופחת.
  • i ℏ ∂ Ψ ∂ t = H ^ Ψ (\displaystyle i\hbar (\frac (\partial \Psi )(\partial t))=(\hat (H))\Psi )
  • i ℏ ∂ Ψ ∂ t = (− ℏ 2 2 m ∇ 2 + V (r , t)) Ψ (\displaystyle i\hbar (\frac (\partial \Psi )(\partial t))=\left(- (\frac (\hbar ^(2))(2m))\nabla ^(2)+V((\mathbf (r) ),t)\right)\Psi )
• משוואת גלים.אי אפשר לדמיין פיזיקה וטכנולוגיה בלי גלים, הם קיימים בכל סוגי המערכות. באופן כללי, גלים מתוארים על ידי המשוואה שלהלן, שבה u = u (r , t) (\displaystyle u=u((\mathbf (r) ),t))היא הפונקציה הרצויה, ו c (\displaystyle c)- קבוע שנקבע בניסוי. ד'אלמבר היה הראשון שגילה שבמקרה החד-ממדי הפתרון למשוואת הגלים הוא כלפונקציה עם ארגומנט x − c t (\displaystyle x-ct), המתאר גל שרירותי המתפשט ימינה. הפתרון הכללי למקרה החד ממדי הוא שילוב ליניארי של פונקציה זו עם פונקציה שנייה עם ארגומנט x + c t (\displaystyle x+ct), המתאר גל המתפשט שמאלה. פתרון זה מוצג בשורה השנייה.
  • ∂ 2 u ∂ t 2 = c 2 ∇ 2 u (\displaystyle (\frac (\partial ^(2)u)(\partial t^(2)))=c^(2)\nabla ^(2)u )
  • u (x , t) = f (x − c t) + g (x + c t) (\displaystyle u(x,t)=f(x-ct)+g(x+ct))
• משוואות Navier-Stokes.משוואות Navier-Stokes מתארות את תנועת הנוזלים. מכיוון שנוזלים קיימים כמעט בכל תחום של מדע וטכנולוגיה, משוואות אלו חשובות ביותר עבור חיזוי מזג אוויר, עיצוב מטוסים, זרמי אוקיינוס ​​ויישומים רבים אחרים. משוואות ה-Navier-Stokes הן משוואות דיפרנציאליות חלקיות לא-לינאריות, וברוב המקרים קשה מאוד לפתור אותן, כיוון שהאי-לינאריות מובילה למערבולת, ועל מנת לקבל פתרון יציב בשיטות מספריות, חלוקה לקטנות מאוד. יש צורך בתאים, מה שדורש כוח מחשוב משמעותי. למטרות מעשיות בהידרודינמיקה, נעשה שימוש בשיטות כגון ממוצע זמן למודל של זרימות סוערות. משימות מאתגרותהן שאלות בסיסיות עוד יותר כמו קיומם וייחודיות של פתרונות עבור משוואות דיפרנציאליות חלקיות לא-לינאריות, והוכחת קיומו וייחודו של פתרון למשוואות Navier-Stokes בתלת מימד הוא בין בעיות חשבוןאֶלֶף שָׁנָה. להלן משוואת זרימת הנוזל הבלתי דחיסה ומשוואת ההמשכיות.
  • ∂ u ∂ t + (u ⋅ ∇) u − ν ∇ 2 u = − ∇ h , ∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ (ρ u) = 0 (\displaystyle (\frac (\partial (\mathbf (u))) )(\partial t))+((\mathbf (u) )\cdot \nabla)(\mathbf (u) )-\nu \nabla ^(2)(\mathbf (u) )=-\nabla h, \quad (\frac (\partial \rho )(\partial t))+\nabla \cdot (\rho (\mathbf (u) ))=0)

• משוואות דיפרנציאליות רבות פשוט אינן ניתנות לפתרון באמצעות השיטות שלעיל, במיוחד אלו שהוזכרו בסעיף האחרון. זה חל כאשר המשוואה מכילה מקדמים משתנים ואינה משוואת Cauchy-Euler, או כאשר המשוואה אינה לינארית פרט לכמה מאוד מקרים נדירים. עם זאת, השיטות לעיל מאפשרות לך לפתור משוואות דיפרנציאליות רבות וחשובות המופיעות לעתים קרובות ב תחומים שוניםמדעים.
• שלא כמו דיפרנציאציה, המאפשרת למצוא את הנגזרת של כל פונקציה, אינטגרל של ביטויים רבים לא יכול להתבטא בפונקציות יסודיות. לכן, אל תבזבזו זמן בניסיון לחשב את האינטגרל היכן שזה בלתי אפשרי. תסתכל בטבלת האינטגרלים. אם לא ניתן לבטא את הפתרון של משוואה דיפרנציאלית במונחים של פונקציות אלמנטריות, לפעמים ניתן לייצג אותה בצורה אינטגרלית, ובמקרה זה לא משנה אם ניתן לחשב אינטגרל זה בצורה אנליטית.

אזהרות

• מראה חיצונימשוואת דיפרנציאלית יכולה להיות מטעה. לדוגמה, להלן שתי משוואות דיפרנציאליות מסדר ראשון. המשוואה הראשונה נפתרת בקלות באמצעות השיטות המתוארות במאמר זה. במבט ראשון, שינוי קטן y (\displaystyle y)עַל y 2 (\displaystyle y^(2))במשוואה השנייה הופך אותו לא ליניארי והופך להיות קשה מאוד לפתרון.
  • d y d x = x 2 + y (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=x^(2)+y)
  • d y d x = x 2 + y 2 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=x^(2)+y^(2))

I. משוואות דיפרנציאליות רגילות

1.1. מושגי יסוד והגדרות

משוואה דיפרנציאלית היא משוואה המתייחסת למשתנה בלתי תלוי איקס, הפונקציה הרצויה yוהנגזרות או ההפרשים שלה.

באופן סמלי, המשוואה הדיפרנציאלית כתובה כך:

F(x,y,y")=0, F(x,y,y")=0, F(x,y,y",y",.., y (n))=0

משוואת דיפרנציאלית נקראת רגילה אם הפונקציה הרצויה תלויה במשתנה בלתי תלוי אחד.

על ידי פתרון המשוואה הדיפרנציאליתנקראת פונקציה כזו שהופכת את המשוואה הזו לזהות.

סדר המשוואה הדיפרנציאליתהוא סדר הנגזרת הגבוהה ביותר במשוואה זו

דוגמאות.

1. שקול את המשוואה הדיפרנציאלית מסדר ראשון

הפתרון למשוואה זו הוא הפונקציה y = 5 ln x. אכן, על ידי החלפה y"לתוך המשוואה, אנו מקבלים - זהות.

וזה אומר שהפונקציה y = 5 ln x– היא הפתרון של משוואת דיפרנציאלית זו.

2. שקול את המשוואה הדיפרנציאלית מסדר שני y" - 5y" + 6y = 0. הפונקציה היא הפתרון למשוואה זו.

באמת, .

החלפת הביטויים הללו במשוואה, נקבל: , - זהות.

וזה אומר שהפונקציה היא הפתרון של המשוואה הדיפרנציאלית הזו.

אינטגרציה של משוואות דיפרנציאליותהוא תהליך מציאת פתרונות למשוואות דיפרנציאליות.

פתרון כללי של המשוואה הדיפרנציאליתנקרא פונקציה של הצורה , הכולל קבועים שרירותיים בלתי תלויים כמו סדר המשוואה.

פתרון חלקי של המשוואה הדיפרנציאליתנקרא הפתרון המתקבל מהפתרון הכללי עבור ערכים מספריים שונים של קבועים שרירותיים. הערכים של קבועים שרירותיים נמצאים בערכים ראשוניים מסוימים של הארגומנט והפונקציה.

הגרף של פתרון מסוים של משוואת דיפרנציאלית נקרא עקומה אינטגרלית.

דוגמאות

1. מצא פתרון מסוים למשוואה דיפרנציאלית מסדר ראשון

xdx + ydy = 0, אם y= 4 ב איקס = 3.

פִּתָרוֹן. שילוב שני הצדדים של המשוואה, נקבל

תגובה. קבוע C שרירותי המתקבל כתוצאה מאינטגרציה יכול להיות מיוצג בכל צורה הנוחה לטרנספורמציות נוספות. במקרה זה, תוך התחשבות במשוואה הקנונית של המעגל, נוח לייצג קבוע שרירותי С בצורה .

הוא הפתרון הכללי של המשוואה הדיפרנציאלית.

פתרון מסוים של משוואה שעונה על התנאים ההתחלתיים y = 4 ב איקס = 3 נמצא מהכלל על ידי החלפת התנאים ההתחלתיים בפתרון הכללי: 3 2 + 4 2 = C 2 ; C=5.

החלפת C=5 בפתרון הכללי, נקבל x2+y2 = 5 2 .

זהו פתרון מסוים של המשוואה הדיפרנציאלית המתקבלת מהפתרון הכללי בתנאים התחלתיים נתונים.

2. מצא את הפתרון הכללי של המשוואה הדיפרנציאלית

הפתרון של משוואה זו הוא כל פונקציה של הצורה , כאשר C הוא קבוע שרירותי. ואכן, החלפה לתוך המשוואות, נקבל: , .

לכן, למשוואה דיפרנציאלית זו יש אינסוף פתרונות, שכן עבור ערכים שונים של הקבוע C, השוויון קובע פתרונות שונים של המשוואה.

לדוגמה, על ידי החלפה ישירה, אפשר לוודא שהפונקציות הם פתרונות של המשוואה.

בעיה שבה נדרש למצוא פתרון מסוים למשוואה y" = f(x, y)עמידה בתנאי ההתחלה y(x0) = y0, נקראת בעיית Cauchy.

פתרון משוואות y" = f(x, y), עמידה בתנאי ההתחלתי, y(x0) = y0, נקרא פתרון לבעיית Cauchy.

לפתרון בעיית קאוצ'י יש משמעות גיאומטרית פשוטה. אכן, לפי הגדרות אלו, לפתור את בעיית קאוצ'י y" = f(x, y)בהתחשב בכך ש y(x0) = y0, פירושו למצוא את העקומה האינטגרלית של המשוואה y" = f(x, y)שעובר נקודה נתונה M0 (x0,y 0).

II. משוואות דיפרנציאליות מסדר ראשון

2.1. מושגי יסוד

משוואה דיפרנציאלית מסדר ראשון היא משוואה של הצורה F(x,y,y") = 0.

המשוואה הדיפרנציאלית מסדר ראשון כוללת את הנגזרת הראשונה ואינה כוללת נגזרות מסדר גבוה יותר.

המשוואה y" = f(x, y)נקרא משוואה מסדר ראשון שנפתרה ביחס לנגזרת.

פתרון כללי של משוואה דיפרנציאלית מסדר ראשון הוא פונקציה של הצורה , המכילה קבוע שרירותי אחד.

דוגמא.שקול משוואת דיפרנציאלית מסדר ראשון.

הפתרון למשוואה זו הוא הפונקציה.

ואכן, החלפה במשוואה זו בערכה, אנו מקבלים

זה 3x=3x

לכן, הפונקציה היא פתרון כללי של המשוואה לכל קבוע C.

מצא פתרון מסוים של המשוואה הזו שעונה על התנאי ההתחלתי y(1)=1החלפת תנאים ראשוניים x=1, y=1לתוך הפתרון הכללי של המשוואה, נקבל מאיפה C=0.

לפיכך, אנו מקבלים פתרון מסוים מהכלל על ידי החלפת הערך המתקבל במשוואה זו C=0היא החלטה פרטית.

2.2. משוואות דיפרנציאליות עם משתנים הניתנים להפרדה

משוואה דיפרנציאלית עם משתנים הניתנים להפרדה היא משוואה בצורה: y"=f(x)g(y)או דרך דיפרנציאלים, איפה f(x)ו g(y)מקבלים פונקציות.

לאלה y, עבורו , המשוואה y"=f(x)g(y)שווה ערך למשוואה שבו המשתנה yקיים רק בצד שמאל, והמשתנה x קיים רק בצד ימין. הם אומרים, "במשוואה y"=f(x)g(yהפרדת המשתנים.

סוג משוואה נקרא משוואת משתנה מופרד.

לאחר שילוב שני חלקי המשוואה על ידי איקס, אנחנו מקבלים G(y) = F(x) + Cהוא הפתרון הכללי של המשוואה, איפה G(y)ו F(x)הם כמה נגזרות אנטי, בהתאמה, של פונקציות ו f(x), גקבוע שרירותי.

אלגוריתם לפתרון משוואה דיפרנציאלית מסדר ראשון עם משתנים הניתנים להפרדה

דוגמה 1

פתור את המשוואה y" = xy

פִּתָרוֹן. נגזרת של פונקציה y"להחליף ב

אנחנו מפרידים את המשתנים

בואו נשלב את שני חלקי השוויון:

דוגמה 2

2yy" = 1- 3x 2, אם y 0 = 3בְּ- x0 = 1

זוהי משוואת משתנה מופרדת. בואו נציג את זה בהפרשים. לשם כך, נכתוב מחדש את המשוואה הזו בטופס מכאן

אנו מוצאים שילוב של שני החלקים של השוויון האחרון

החלפת ערכים ראשוניים x 0 = 1, y 0 = 3למצוא עם 9=1-1+ג, כלומר C = 9.

לכן, האינטגרל החלקי הרצוי יהיה אוֹ

דוגמה 3

כתבו משוואה לעקומה העוברת דרך נקודה M(2;-3)ובעל משיק עם שיפוע

פִּתָרוֹן. לפי התנאי

זוהי משוואת משתנה הניתן להפרדה. מחלקים את המשתנים, נקבל:

שילוב שני חלקי המשוואה, נקבל:

תוך שימוש בתנאים ההתחלתיים, x=2ו y=-3למצוא ג:

לכן, למשוואה הרצויה יש את הצורה

2.3. משוואות דיפרנציאליות ליניאריות מהסדר הראשון

משוואה דיפרנציאלית ליניארית מסדר ראשון היא משוואה של הצורה y" = f(x)y + g(x)

איפה f(x)ו g(x)- כמה פונקציות נתונות.

אם g(x)=0אז המשוואה הדיפרנציאלית הליניארית נקראת הומוגנית ויש לה את הצורה: y" = f(x)y

אם אז המשוואה y" = f(x)y + g(x)שנקרא הטרוגני.

פתרון כללי של משוואת דיפרנציאלית הומוגנית ליניארית y" = f(x)yנתון על ידי הנוסחה: איפה עםהוא קבוע שרירותי.

בפרט, אם C \u003d 0,אז הפתרון הוא y=0אם ליניארי משוואה הומוגניתיש את הצורה y" = kyאיפה קהוא קבוע כלשהו, ​​אז לפתרון הכללי שלו יש את הצורה: .

פתרון כללי של משוואה דיפרנציאלית לינארית לא הומוגנית y" = f(x)y + g(x)נתון על ידי הנוסחה ,

הָהֵן. שווה לסכום הפתרון הכללי של המשוואה ההומוגנית הליניארית המתאימה והפתרון המסוים של משוואה זו.

עבור משוואה לא הומוגנית ליניארית של הצורה y" = kx + b,

איפה קו ב- מספרים מסוימים ופתרון מסוים יהיו פונקציה קבועה. לכן, לפתרון הכללי יש את הצורה .

דוגמא. פתור את המשוואה y" + 2y +3 = 0

פִּתָרוֹן. אנו מייצגים את המשוואה בצורה y" = -2y - 3איפה k=-2, b=-3הפתרון הכללי ניתן על ידי הנוסחה.

לכן, כאשר C הוא קבוע שרירותי.

2.4. פתרון משוואות דיפרנציאליות ליניאריות מהסדר הראשון בשיטת ברנולי

מציאת פתרון כללי למשוואה דיפרנציאלית לינארית מסדר ראשון y" = f(x)y + g(x)מפחית לפתרון שתי משוואות דיפרנציאליות עם משתנים מופרדים באמצעות ההחלפה y=uv, איפה uו v- פונקציות לא ידועות מ איקס. שיטת פתרון זו נקראת שיטת ברנולי.

אלגוריתם לפתרון משוואה דיפרנציאלית ליניארית מסדר ראשון

y" = f(x)y + g(x)

1. הזן תחליף y=uv.

2. להבדיל את השוויון הזה y"=u"v + uv"

3. מחליף yו y"לתוך המשוואה הזו: u"v + uv" =f(x)uv + g(x)אוֹ u"v + uv" + f(x)uv = g(x).

4. קבץ את מונחי המשוואה כך uתוציא את זה מהסוגריים:

5. מהסוגר, משווה אותו לאפס, מצא את הפונקציה

זוהי משוואה ניתנת להפרדה:

חלק את המשתנים וקבל:

איפה . .

6. החלף את הערך שהתקבל vלתוך המשוואה (מתוך פריט 4):

ומצא את הפונקציה זוהי משוואה ניתנת להפרדה:

7. כתבו את הפתרון הכללי בטופס: , כלומר .

דוגמה 1

מצא פתרון מסוים למשוואה y" = -2y +3 = 0אם y=1בְּ- x=0

פִּתָרוֹן. בוא נפתור את זה עם החלפה y=uv,.y"=u"v + uv"

מחליף yו y"לתוך המשוואה הזו, אנחנו מקבלים

מקבץ את האיברים השני והשלישי בצד שמאל של המשוואה, אנו מוציאים את הגורם המשותף u מחוץ לסוגריים

נשווה את הביטוי בסוגריים לאפס ולאחר שפתרנו את המשוואה שהתקבלה, נמצא את הפונקציה v = v(x)

קיבלנו משוואה עם משתנים מופרדים. אנו משלבים את שני החלקים של המשוואה הזו: מצא את הפונקציה v:

החלף את הערך המתקבל vלתוך המשוואה נקבל:

זוהי משוואת משתנה מופרדת. אנו משלבים את שני חלקי המשוואה: בוא נמצא את הפונקציה u = u(x,c) בוא נמצא פתרון כללי: הבה נמצא פתרון מסוים של המשוואה שעונה על התנאים ההתחלתיים y=1בְּ- x=0:

III. משוואות דיפרנציאליות מסדר גבוה יותר

3.1. מושגי יסוד והגדרות

משוואה דיפרנציאלית מסדר שני היא משוואה המכילה נגזרות שאינן גבוהות מהסדר השני. במקרה הכללי, המשוואה הדיפרנציאלית מסדר שני כתובה כך: F(x,y,y",y") = 0

הפתרון הכללי של משוואת דיפרנציאלית מסדר שני הוא פונקציה של הצורה , הכוללת שני קבועים שרירותיים C1ו C2.

פתרון מסוים של משוואת דיפרנציאלית מסדר שני הוא פתרון המתקבל מהכללי עבור כמה ערכים של קבועים שרירותיים C1ו C2.

3.2. משוואות דיפרנציאליות לינאריות הומוגניות מהסדר השני עם יחסים קבועים.

משוואת דיפרנציאלית הומוגנית ליניארית מהסדר השני עם מקדמים קבועיםנקרא משוואה של הצורה y" + py" + qy = 0, איפה עו שהם ערכים קבועים.

אלגוריתם לפתרון משוואות דיפרנציאליות הומוגניות מסדר שני עם מקדמים קבועים

1. כתוב את המשוואה הדיפרנציאלית בצורה: y" + py" + qy = 0.

2. חבר את המשוואה האופיינית שלו, מציין y"דרך r2, y"דרך ר, yב-1: r2 + pr +q = 0

משוואת דיפרנציאלית רגילה נקרא משוואה המחברת בין משתנה בלתי תלוי, פונקציה לא ידועה של משתנה זה ונגזרותיו (או ההפרשים) מסדרים שונים.

סדר המשוואה הדיפרנציאלית הוא סדר הנגזרת הגבוהה ביותר הכלולה בו.

בנוסף לאלה הרגילים, נלמדות גם משוואות דיפרנציאליות חלקיות. אלו הן משוואות המתייחסות למשתנים בלתי תלויים, פונקציה לא ידועה של משתנים אלו ונגזרותיהם החלקיות ביחס לאותם משתנים. אבל נשקול רק משוואות דיפרנציאליות רגילות ולכן נשמיט את המילה "רגיל" לקיצור.

דוגמאות למשוואות דיפרנציאליות:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

משוואה (1) היא מהסדר הרביעי, משוואה (2) היא מהסדר השלישי, משוואות (3) ו-(4) הן מהסדר השני, משוואה (5) היא מהסדר הראשון.

משוואה דיפרנציאלית נ order לא חייב להכיל במפורש פונקציה, את כל הנגזרות שלה מהראשון ועד נסדר ומשתנה בלתי תלוי. ייתכן שהוא לא יכיל במפורש נגזרות של סדרים מסוימים, פונקציה, משתנה בלתי תלוי.

לדוגמה, במשוואה (1) ברור שאין נגזרות מהסדר השלישי והשני, כמו גם פונקציות; במשוואה (2) - נגזרת ופונקציה מסדר שני; במשוואה (4) - משתנה בלתי תלוי; במשוואה (5) - פונקציות. רק משוואה (3) מכילה במפורש את כל הנגזרות, הפונקציה והמשתנה הבלתי תלוי.

על ידי פתרון המשוואה הדיפרנציאלית כל פונקציה נקראת y = f(x), כשהוא מחליף את זה לתוך המשוואה, זה הופך לזהות.

תהליך מציאת פתרון למשוואה דיפרנציאלית נקרא שלו שילוב.

דוגמה 1מצא פתרון למשוואת הדיפרנציאל.

פִּתָרוֹן. אנו כותבים את המשוואה הזו בטופס. הפתרון הוא למצוא את הפונקציה לפי הנגזרת שלה. הפונקציה המקורית, כידוע מהחשבון האינטגרלי, היא האנטי-נגזרת עבור, כלומר.

זה מה שזה פתרון המשוואה הדיפרנציאלית הנתונה . משתנה בו ג, נקבל פתרונות שונים. גילינו שיש אינסוף פתרונות למשוואה דיפרנציאלית מסדר ראשון.

פתרון כללי של המשוואה הדיפרנציאלית נהסדר הוא הפתרון שלו מבוטא במפורש ביחס לפונקציה הלא ידועה והמכילה נקבועים שרירותיים בלתי תלויים, כלומר.

הפתרון של המשוואה הדיפרנציאלית בדוגמה 1 הוא כללי.

פתרון חלקי של המשוואה הדיפרנציאלית הפתרון שלו נקרא, שבו ערכים מספריים ספציפיים מוקצים לקבועים שרירותיים.

דוגמה 2מצא את הפתרון הכללי של המשוואה הדיפרנציאלית ופתרון מסוים עבור .

פִּתָרוֹן. אנו משלבים את שני חלקי המשוואה כל כך מספר פעמים שסדר המשוואה הדיפרנציאלית שווה.

,

.

כתוצאה מכך, קיבלנו את הפתרון הכללי -

בהינתן משוואה דיפרנציאלית מסדר שלישי.

עכשיו בואו נמצא פתרון מסוים בתנאים שצוינו. לשם כך, אנו מחליפים את הערכים שלהם במקום מקדמים שרירותיים ומשיגים

.

אם, בנוסף למשוואת הדיפרנציאלית, התנאי ההתחלתי ניתן בצורה , אז בעיה כזו נקראת בעיה קוצנית . הערכים ומוחלפים בפתרון הכללי של המשוואה ונמצא ערכו של קבוע שרירותי ג, ולאחר מכן פתרון מסוים של המשוואה עבור הערך שנמצא ג. זה הפתרון לבעיית קאוצ'י.

דוגמה 3פתרו את בעיית Cauchy עבור משוואת הדיפרנציאל מדוגמה 1 בתנאי.

פִּתָרוֹן. אנו מחליפים לפתרון הכללי את הערכים מהמצב ההתחלתי y = 3, איקס= 1. אנחנו מקבלים

נכתוב את הפתרון של בעיית קאוצ'י עבור משוואת הדיפרנציאל הנתונה מהסדר הראשון:

פתרון משוואות דיפרנציאליות, אפילו הפשוטות ביותר, דורש מיומנויות טובות בשילוב ולקיחת נגזרות, כולל פונקציות מורכבות. ניתן לראות זאת בדוגמה הבאה.

דוגמה 4מצא את הפתרון הכללי של משוואת הדיפרנציאל.

פִּתָרוֹן. המשוואה כתובה בצורה כזו שניתן לשלב את שני הצדדים באופן מיידי.

.

אנו מיישמים את שיטת האינטגרציה על ידי שינוי המשתנה (החלפה). תן, אז.

חובה לקחת dxועכשיו - תשומת לב - אנו עושים זאת על פי כללי הבידול של פונקציה מורכבת, שכן איקסויש פונקציה מורכבת ("תפוח" - תמצית שורש ריבועיאו, שהוא אותו הדבר, מעלה לחזקת "שנייה אחת", ו"בשר טחון" הוא עצם הביטוי מתחת לשורש):

אנו מוצאים את האינטגרל:

חוזרים למשתנה איקס, אנחנו מקבלים:

.

זהו הפתרון הכללי של משוואה דיפרנציאלית זו מהמעלה הראשונה.

לא רק מיומנויות מהחלקים הקודמים של מתמטיקה גבוהה יידרשו בפתרון משוואות דיפרנציאליות, אלא גם מיומנויות מהיסודי, כלומר מתמטיקה בית ספרית. כפי שכבר צוין, במשוואה דיפרנציאלית בכל סדר יתכן שלא יהיה משתנה בלתי תלוי, כלומר משתנה איקס. הידע על פרופורציות שלא נשכח (עם זאת, לכל אחד יש את זה כמו) מספסל הלימודים יעזור לפתור את הבעיה הזו. זו הדוגמה הבאה.

או שכבר נפתרו ביחס לנגזרת, או שניתן לפתור אותם ביחס לנגזרת .

פתרון כללי של משוואות דיפרנציאליות מהסוג על המרווח איקס, אשר ניתן, ניתן למצוא על ידי לקיחת האינטגרל של שני הצדדים של השוויון הזה.

לקבל .

אם נסתכל על המאפיינים של האינטגרל הבלתי מוגדר, נמצא את הפתרון הכללי הרצוי:

y = F(x) + C,

איפה F(x)- אחת מהנגזרים של הפונקציה f(x)בין לבין איקס, א עםהוא קבוע שרירותי.

שימו לב שברוב המשימות המרווח איקסלא לציין. זה אומר שצריך למצוא פתרון לכולם. איקס, עבור אשר והפונקציה הרצויה y, והמשוואה המקורית הגיונית.

אם אתה צריך לחשב פתרון מסוים של משוואת דיפרנציאלית שעונה על התנאי ההתחלתי y(x0) = y0, ואז לאחר חישוב האינטגרל הכללי y = F(x) + C, עדיין יש צורך לקבוע את ערכו של הקבוע C=C0באמצעות התנאי ההתחלתי. כלומר, קבוע C=C0נקבע מתוך המשוואה F(x 0) + C = y 0, והפתרון הספציפי הרצוי של המשוואה הדיפרנציאלית יקבל את הצורה:

y = F(x) + C0.

שקול דוגמה:

מצא את הפתרון הכללי של המשוואה הדיפרנציאלית, בדוק את נכונות התוצאה. בואו נמצא פתרון מסוים של המשוואה הזו שיעמוד בתנאי ההתחלתי .

פִּתָרוֹן:

לאחר ששילבנו את המשוואה הדיפרנציאלית הנתונה, נקבל:

.

אנו לוקחים את האינטגרל הזה בשיטת האינטגרציה לפי חלקים:

זֶה., הוא פתרון כללי של המשוואה הדיפרנציאלית.

בוא נבדוק כדי לוודא שהתוצאה נכונה. לשם כך, נחליף את הפתרון שמצאנו במשוואה הנתונה:

.

כלומר, ב המשוואה המקורית הופכת לזהות:

לכן, הפתרון הכללי של המשוואה הדיפרנציאלית נקבע בצורה נכונה.

הפתרון שמצאנו הוא הפתרון הכללי של המשוואה הדיפרנציאלית לכל ערך אמיתי של הטיעון איקס.

נותר לחשב פתרון מסוים של ה-ODE שיעמוד בתנאי ההתחלתי. במילים אחרות, יש צורך לחשב את ערך הקבוע עם, שבו השוויון יהיה נכון:

.

.

לאחר מכן, מחליף C = 2לתוך הפתרון הכללי של ה-ODE, נקבל פתרון מסוים של המשוואה הדיפרנציאלית שעונה על התנאי ההתחלתי:

.

משוואת דיפרנציאלית רגילה ניתן לפתור ביחס לנגזרת על ידי חלוקת 2 חלקי המשוואה ב f(x). טרנספורמציה זו תהיה שווה ערך אם f(x)לא הולך לאפס עבור אף אחד איקסממרווח האינטגרציה של המשוואה הדיפרנציאלית איקס.

מצבים סבירים כאשר, עבור כמה ערכים של הטיעון איקס ∈ איקספונקציות f(x)ו g(x)הופכים לאפס באותו זמן. לערכים דומים איקסהפתרון הכללי של המשוואה הדיפרנציאלית הוא כל פונקציה y, המוגדר בהם, כי .

אם לכמה ערכים של הטיעון איקס ∈ איקסהתנאי מתקיים, מה שאומר שבמקרה זה ל-ODE אין פתרונות.

לכל השאר איקסמאינטרוול איקסהפתרון הכללי של המשוואה הדיפרנציאלית נקבע מתוך המשוואה שעברה טרנספורמציה.

בואו נסתכל על דוגמאות:

דוגמה 1

הבה נמצא את הפתרון הכללי של ה-ODE: .

פִּתָרוֹן.

מהמאפיינים של הפונקציות היסודיות הבסיסיות, ברור שפונקציית הלוגריתם הטבעית מוגדרת עבור ערכים לא שליליים של הארגומנט, לכן, תחום הביטוי log(x+3)יש מרווח איקס > -3 . לפיכך, המשוואה הדיפרנציאלית הנתונה הגיונית עבור איקס > -3 . עם הערכים האלה של הטיעון, הביטוי x + 3לא נעלם, אז אפשר לפתור את ה-ODE ביחס לנגזרת על ידי חלוקת 2 החלקים ב x + 3.

אנחנו מקבלים .

לאחר מכן, אנו משלבים את המשוואה הדיפרנציאלית המתקבלת, שנפתרה ביחס לנגזרת: . כדי לקחת את האינטגרל הזה, אנו משתמשים בשיטת ההפחתה תחת סימן ההפרש.

הוראה

אם המשוואה מוצגת כ: dy/dx = q(x)/n(y), עיין בקטגוריה של משוואות דיפרנציאליות עם משתנים הניתנים להפרדה. ניתן לפתור אותם על ידי כתיבת התנאי בהפרשים באופן הבא: n(y)dy = q(x)dx. לאחר מכן שלבו את שני החלקים. במקרים מסוימים, הפתרון נכתב בצורה של אינטגרלים שנלקחו מפונקציות ידועות. לדוגמה, במקרה של dy/dx = x/y, נקבל q(x) = x, n(y) = y. כתוב את זה בתור ydy = xdx ושלב. אתה צריך לקבל את y^2 = x^2 + c.

ללינארית משוואותייחס את המשוואות "ראשון". פונקציה לא ידועה עם הנגזרות שלה נכללת במשוואה כזו רק במעלה הראשונה. ללינארית יש את הצורה dy/dx + f(x) = j(x), כאשר f(x) ו-g(x) הן פונקציות התלויות ב-x. הפתרון נכתב באמצעות אינטגרלים שנלקחו מפונקציות ידועות.

יש לזכור שמשוואות דיפרנציאליות רבות הן משוואות מסדר שני (המכילות נגזרות שניות) לדוגמה, זוהי המשוואה של תנועה הרמונית פשוטה, הכתובה ככללית: md 2x / dt 2 = -kx. למשוואות כאלה יש, ב, פתרונות חלקיים. המשוואה של תנועה הרמונית פשוטה היא דוגמה למשהו חשוב למדי: משוואות דיפרנציאליות ליניאריות בעלות מקדם קבוע.

אם יש רק משוואה לינארית אחת בתנאי הבעיה, אז ניתנים לך תנאים נוספים שבגללם תוכל למצוא פתרון. קרא בעיון את הבעיה כדי למצוא תנאים אלה. אם משתנים x ו-y הם מרחק, מהירות, משקל - אל תהסס להגדיר את הגבול x≥0 ו-y≥0. בהחלט ייתכן ש-x או y מסתירים את המספר של , תפוחים וכו'. - אז הערכים יכולים להיות רק . אם x הוא גיל הבן, ברור שהוא לא יכול להיות מבוגר מאביו, אז ציינו זאת בתנאי הבעיה.

מקורות:

• איך לפתור משוואה עם משתנה אחד

משימות לחישוב דיפרנציאלי ואינטגרלי הן מרכיבים חשובים לגיבוש תורת הניתוח המתמטי, קטע של מתמטיקה גבוהה יותר הנלמדת באוניברסיטאות. דִיפֵרֶנציִאָלִי המשוואהנפתרת בשיטת האינטגרציה.

הוראה

החשבון הדיפרנציאלי חוקר תכונות. לעומת זאת, אינטגרציה של פונקציה מאפשרת, לפי המאפיינים הנתונים, כלומר. נגזרות או דיפרנציאלים של פונקציה כדי למצוא אותה בעצמה. זה הפתרון של המשוואה הדיפרנציאלית.

כל הוא יחס בין ערך לא ידוע לנתונים ידועים. במקרה של משוואה דיפרנציאלית, את תפקיד הלא נודע ממלאת הפונקציה, ואת תפקיד הכמויות הידועות ממלאת הנגזרות שלה. בנוסף, היחס עשוי להכיל משתנה בלתי תלוי: F(x, y(x), y'(x), y''(x),..., y^n(x)) = 0, כאשר x הוא לא ידוע משתנה, y (x) היא הפונקציה שיש לקבוע, סדר המשוואה הוא הסדר המקסימלי של הנגזרת (n).

משוואה כזו נקראת משוואה דיפרנציאלית רגילה. אם ישנם מספר משתנים בלתי תלויים ביחס ונגזרות חלקיות (הפרשים) של פונקציות ביחס למשתנים אלו, אז המשוואה נקראת משוואה דיפרנציאלית עם נגזרות חלקיות והיא בעלת הצורה: x∂z/∂y - ∂z/∂ x = 0, כאשר z(x, y) היא הפונקציה הרצויה.

לכן, כדי ללמוד כיצד לפתור משוואות דיפרנציאליות, אתה צריך להיות מסוגל למצוא נגזרות אנטי, כלומר. לפתור את בעיית הדיפרנציאציה ההפוכה. לדוגמה: פתרו את משוואת הסדר הראשון y' = -y/x.

פתרון החלף את y' ב-dy/dx: dy/dx = -y/x.

הביאו את המשוואה לצורה נוחה לאינטגרציה. כדי לעשות זאת, הכפל את שני הצדדים ב-dx וחלק ב-y:dy/y = -dx/x.

שלב: ∫dy/y = - ∫dx/x + Сln |y| = - log |x| +C.

פתרון זה נקרא משוואת דיפרנציאלית כללית. C הוא קבוע שמערכת הערכים שלו קובעת את קבוצת הפתרונות למשוואה. עבור כל ערך מסוים של C, הפתרון יהיה ייחודי. פתרון כזה הוא פתרון מסוים של משוואה דיפרנציאלית.

פתרון של רוב המשוואות הגבוהות יותר מעלותאין נוסחה ברורה, כמו מציאת שורשי ריבוע משוואות. עם זאת, ישנן מספר שיטות הפחתה המאפשרות לך להפוך משוואה בדרגה גבוהה יותר לצורה ויזואלית יותר.

הוראה

השיטה הנפוצה ביותר לפתרון משוואות בדרגות גבוהות יותר היא התרחבות. גישה זו היא שילוב של בחירת שורשים שלמים, מחלקים של האיבר החופשי, והחלוקה הבאה של הפולינום הכללי לצורה (x - x0).

לדוגמה, פתרו את המשוואה x^4 + x³ + 2 x² - x - 3 = 0. פתרון האיבר החופשי של פולינום זה הוא -3, לכן מחלקי המספרים השלמים שלו יכולים להיות ±1 ו-±3. החלף אותם בזה אחר זה במשוואה וגלה אם אתה מקבל את הזהות: 1: 1 + 1 + 2 - 1 - 3 = 0.

השורש השני x = -1. חלקו בביטוי (x + 1). כתוב את המשוואה שהתקבלה (x - 1) (x + 1) (x² + x + 3) = 0. התואר ירד לשני, לכן, למשוואה יכולים להיות שני שורשים נוספים. כדי למצוא אותם, פתרו את המשוואה הריבועית: x² + x + 3 = 0D = 1 - 12 = -11

המבחין הוא ערך שלילי, מה שאומר שלמשוואה אין עוד שורשים אמיתיים. מצא את השורשים המורכבים של המשוואה: x = (-2 + i √11)/2 ו-x = (-2 – i √11)/2.

שיטה נוספת לפתרון משוואת מדרגה גבוהה יותר היא לשנות משתנים לריבוע. גישה זו משמשת כאשר כל החזקות של המשוואה זוגיות, לדוגמה: x^4 - 13 x² + 36 = 0

כעת מצא את השורשים של המשוואה המקורית: x1 = √9 = ±3; x2 = √4 = ±2.

טיפ 10: כיצד לקבוע משוואות חיזור

תגובה כימית היא תהליך של טרנספורמציה של חומרים המתרחש עם שינוי בהרכבם. אותם חומרים שנכנסים לתגובה נקראים ראשוניים, ואלו שנוצרים כתוצאה מתהליך זה נקראים תוצרים. קורה שבמהלך תגובה כימיתהיסודות המרכיבים את חומרי המוצא משנים את מצב החמצון שלהם. כלומר, הם יכולים לקבל אלקטרונים של אנשים אחרים ולתת משלהם. בשני המקרים, החיוב שלהם משתנה. תגובות כאלה נקראות תגובות חיזור.