איך להכפיל כוחות? אילו כוחות ניתן להכפיל ואיזה לא? איך מכפילים מספר בחזקת?
באלגברה, ניתן למצוא את מכפלת החזקות בשני מקרים:
1) אם לתארים יש בסיס זהה;
2) אם למעלות יש את אותם אינדיקטורים.
כאשר מכפילים חזקות עם אותו בסיס, הבסיס חייב להישאר זהה, ויש להוסיף את המעריכים:
כאשר מכפילים חזקות עם אותם מעריכים תוצאה סופיתניתן לסוגריים:
שקול כיצד להכפיל חזקות, עם דוגמאות ספציפיות.
היחידה במעריך לא כתובה, אבל כשמכפילים את המעלות, הם לוקחים בחשבון:
בעת הכפלה, מספר המעלות יכול להיות כל אחד. יש לזכור שלא ניתן לכתוב את סימן הכפל לפני האות:
בביטויים, האקספונציה מבוצעת תחילה.
אם אתה צריך להכפיל מספר בחזקת, תחילה עליך לבצע אקספוננציה, ורק לאחר מכן - כפל:
www.algebraclass.ru
חיבור, חיסור, כפל וחלוקת כוחות
חיבור וחיסור של כוחות
ברור שאפשר להוסיף מספרים בעלי חזקה כמו כמויות אחרות , על ידי הוספתם אחד אחד עם השלטים שלהם.
אז, הסכום של a 3 ו- b 2 הוא a 3 + b 2 .
הסכום של a 3 - b n ו-h 5 -d 4 הוא a 3 - b n + h 5 - d 4.
קְטָטָה אותם כוחות של אותם משתניםניתן להוסיף או לגרוע.
אז הסכום של 2a 2 ו-3a 2 הוא 5a 2.
ברור גם שאם ניקח שני ריבועים a, או שלושה ריבועים a, או חמישה ריבועים א.
אבל תארים משתנים שוניםו תארים שונים משתנים זהים, יש להוסיף על ידי הוספתם לשלטים שלהם.
אז, הסכום של 2 ו-3 הוא הסכום של 2 + a 3.
ברור שהריבוע של a, והקוביה של a, אינו כפול ריבוע של a, אלא כפול הקובייה של a.
הסכום של a 3 b n ו- 3a 5 b 6 הוא a 3 b n + 3a 5 b 6 .
חִסוּרהסמכויות מתבצעות באותו אופן כמו הוספה, אלא שיש לשנות את הסימנים של המשנה בהתאם.
אוֹ:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 \u003d -h 2 b 6
5(א - ח) 6 - 2(א - ח) 6 = 3(א - ח) 6
כפל כוח
ניתן להכפיל מספרים בעלי חזקה כמו כמויות אחרות על ידי כתיבתם בזה אחר זה, עם או בלי סימן הכפל ביניהם.
אז, התוצאה של הכפלת a 3 ב b 2 היא a 3 b 2 או aaabb.
אוֹ:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y
את התוצאה בדוגמה האחרונה ניתן להזמין על ידי הוספת אותם משתנים.
הביטוי יקבל את הצורה: a 5 b 5 y 3 .
על ידי השוואת מספר מספרים (משתנים) עם חזקות, נוכל לראות שאם כל שניים מהם מוכפלים, אז התוצאה היא מספר (משתנה) עם חזקת השווה ל. סְכוּםדרגות של מונחים.
אז, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .
כאן 5 הוא חזקת תוצאת הכפל, שווה ל-2 + 3, סכום החזקות של האיברים.
אז, a n .a m = a m+n .
עבור a n, a נלקח כגורם פעמים רבות כמו החזקה של n;
ו- m , נלקח כגורם כמה פעמים שהדרגה m שווה לה;
בגלל זה, ניתן להכפיל חזקות עם אותם בסיסים על ידי הוספת המעריכים.
אז, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . ו-x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6.
אוֹ:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1
הכפל (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
תשובה: x 4 - y 4.
הכפל (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).
כלל זה נכון גם למספרים שהמעריכים שלהם הם - שלילי.
1. אז, a -2 .a -3 = a -5 . אפשר לכתוב את זה בתור (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.
2. y-n .y-m = y-n-m .
3. a -n .a m = a m-n .
אם a + b מוכפלים ב- a - b, התוצאה תהיה a 2 - b 2: כלומר
התוצאה של הכפלת הסכום או ההפרש של שני מספרים שווה לסכוםאו ההבדל של הריבועים שלהם.
אם הסכום וההפרש של שני מספרים מועלים ל כיכר, התוצאה תהיה שווה לסכום או להפרש של המספרים הללו ב רביעיתוֹאַר.
אז, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8 .
חלוקת תארים
ניתן לחלק מספרים בעלי חזקה כמו מספרים אחרים על ידי חיסור מהמחלק, או על ידי הצבתם בצורה של שבר.
אז a 3 b 2 חלקי b 2 הוא a 3 .
כתיבת 5 חלקי 3 נראית כמו $\frac $. אבל זה שווה ל-2. בסדרה של מספרים
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
ניתן לחלק כל מספר במספר אחר, והמעריך יהיה שווה ל הֶבדֵלאינדיקטורים של מספרים מתחלקים.
כאשר מחלקים סמכויות עם אותו בסיסהציונים שלהם מופחתים..
אז, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . כלומר, $\frac = y$.
ו- n+1:a = a n+1-1 = a n . כלומר, $\frac = a^n$.
אוֹ:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3
הכלל תקף גם למספרים עם שליליערכי תואר.
התוצאה של חלוקת -5 ב -3 היא -2.
כמו כן, $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.
h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 או $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$
יש צורך לשלוט היטב בכפל ובחלוקת כוחות, שכן פעולות כאלה נמצאות בשימוש נרחב מאוד באלגברה.
דוגמאות לפתרון דוגמאות עם שברים המכילים מספרים בחזקות
1. הפחת מעריכים ב-$\frac $ תשובה: $\frac $.
2. הקטינו את המעריכים ב-$\frac$. תשובה: $\frac $ או 2x.
3. הקטינו את המעריכים a 2 / a 3 ו-a -3 / a -4 והביאו למכנה משותף.
a 2 .a -4 הוא מונה ראשון -2.
a 3 .a -3 הוא 0 = 1, המונה השני.
a 3 .a -4 הוא a -1 , המונה המשותף.
לאחר פישוט: a -2 /a -1 ו-1/a -1 .
4. צמצמו את המעריכים 2a 4 /5a 3 ו-2 /a 4 והביאו למכנה משותף.
תשובה: 2a 3 / 5a 7 ו-5a 5 / 5a 7 או 2a 3 / 5a 2 ו-5/5a 2.
5. הכפל (a 3 + b)/b 4 ב-(a - b)/3.
6. הכפל (a 5 + 1)/x 2 ב-(b 2 - 1)/(x + a).
7. הכפל b 4 /a -2 ב-h -3 /x ו- a n /y -3.
8. חלקו 4 /y 3 ב-3 /y 2 . תשובה: א/י.
מאפייני תואר
אנו מזכירים לכם שבשיעור זה אנו מבינים מאפייני תוארעם אינדיקטורים טבעיים ואפס. תארים עם מדדים רציונליים ותכונותיהם יידונו בשיעורים לכיתה ח'.
תואר ג אינדיקטור טבעייש כמה מאפיינים חשובים, המאפשרים לך לפשט חישובים בדוגמאות עם כוחות.
נכס מס' 1
תוצר של כוחות
כאשר מכפילים חזקות עם אותו בסיס, הבסיס נשאר ללא שינוי, והמעריכים מתווספים.
a m a n \u003d a m + n, כאשר "a" הוא כל מספר, ו-"m", "n" הם כל מספר טבעי.
תכונה זו של כוחות משפיעה גם על המכפלה של שלוש כוחות או יותר.
b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17
(0.8) 3 (0.8) 12 = (0.8) 3 + 12 = (0.8) 15
שימו לב שבמאפיין המצוין מדובר היה רק בכפל חזקה עם אותם בסיסים.. זה לא חל על התוספת שלהם.
לא ניתן להחליף את הסכום (3 3 + 3 2) ב-3 5 . זה מובן אם
חשב (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 ו-3 5 = 243
נכס מס' 2
תארים פרטיים
כאשר מחלקים חזקה עם אותו בסיס, הבסיס נשאר ללא שינוי, והמעריך של המחלק מופחת מהמעריך של הדיבידנד.
(2ב) 5: (2ב) 3 = (2ב) 5 - 3 = (2ב) 2
11 3 - 2 4 2 - 1 = 11 4 = 44
דוגמא. פתור את המשוואה. אנו משתמשים במאפיין של תארים חלקיים.
3 8: t = 3 4
תשובה: t = 3 4 = 81
באמצעות מאפיינים מס' 1 ומספר 2, ניתן לפשט בקלות ביטויים ולבצע חישובים.
- דוגמא. פשט את הביטוי.
4 5 מ' + 6 4 מ' + 2: 4 4 מ' + 3 = 4 5 מ' + 6 + מ' + 2: 4 4 מ' + 3 = 4 6 מ' + 8 − 4 מ' − 3 = 4 2 מ' + 5
דוגמא. מצא את הערך של ביטוי באמצעות מאפייני תואר.
2 11 − 5 = 2 6 = 64
שימו לב שנכס 2 עסק רק בחלוקת סמכויות עם אותם בסיסים.
לא ניתן להחליף את ההפרש (4 3 -4 2) ב-4 1. זה מובן אם אתה מחשב (4 3 -4 2) = (64 - 16) = 48, ו-4 1 = 4
נכס מס' 3
אקספוננציה
כאשר מעלים חזקה לחזקה, בסיס החזקה נשאר ללא שינוי, והמעריכים מוכפלים.
(a n) m \u003d a n m, כאשר "a" הוא כל מספר, ו-"m", "n" הם כל מספר טבעי.
שימו לב שגם מאפיין מס' 4, כמו מאפיינים אחרים של תארים, מיושם בסדר הפוך.
(a n b n)= (a b) n
כלומר, כדי להכפיל מעלות עם אותם מעריכים, ניתן להכפיל את הבסיסים, ולהשאיר את המעריך ללא שינוי.
2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10,000
0.5 16 2 16 = (0.5 2) 16 = 1
בעוד דוגמאות קשותייתכנו מקרים שבהם הכפל והחילוק חייבים להתבצע בחזקות עם בסיסים שונים ומעריכים שונים. במקרה זה, אנו ממליצים לך לבצע את הפעולות הבאות.
לדוגמה, 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216
דוגמה לאקספונציה של שבר עשרוני.
4 21 (-0.25) 20 = 4 4 20 (-0.25) 20 = 4 (4 (-0.25)) 20 = 4 (-1) 20 = 4 1 = ארבע
נכסים 5
כוח המנה (שברים)
כדי להעלות מנה לחזקה, ניתן להעלות את הדיבידנד והמחלק בנפרד לחזקה זו, ולחלק את התוצאה הראשונה בשנייה.
(א: ב) n \u003d a n: b n, כאשר "a", "ב" הם כל מספר רציונלי, b ≠ 0, n - כל מספר טבעי.
(5: 3) 12 = 5 12: 3 12
אנו מזכירים לך שניתן לייצג מנה כשבר. לכן נתעכב על נושא העלאת שבר לחזקה ביתר פירוט בעמוד הבא.
תארים ושורשים
פעולות עם כוחות ושורשים. תואר עם שלילי ,
אפס ושבר אינדיקטור. על ביטויים לא הגיוניים.
פעולות עם תארים.
1. כאשר מכפילים חזקות עם אותו בסיס, האינדיקטורים שלהם מתווספים:
א מ · a n = a m + n .
2. כאשר מחלקים מעלות עם אותו בסיס, האינדיקטורים שלהם מְחוּסָר .
3. מידת המכפלה של שני גורמים או יותר שווה למכפלת המעלות של גורמים אלו.
4. מידת היחס (שבר) שווה ליחס בין דרגות הדיבידנד (מונה) והמחלק (מכנה):
(א/ב) n = a n/b n.
5. כאשר מעלים תואר לחזקה, האינדיקטורים שלהם מוכפלים:
כל הנוסחאות לעיל נקראות ומבוצעות בשני הכיוונים משמאל לימין ולהיפך.
דוגמא (2 3 5 / 15)² = 2 ² 3 ² 5 ² / 15 ² = 900 / 225 = 4 .
פעולות עם שורשים. בכל הנוסחאות למטה, הסמל אומר שורש אריתמטי(ביטוי רדיקלי הוא חיובי).
1. שורש התוצר של מספר גורמים שווה למוצרהשורשים של גורמים אלה:
2. שורש היחס שווה ליחס שורשי הדיבידנד והמחלק:
3. כשמעלים שורש לכוח, מספיק להעלות לכוח הזה מספר שורש:
4. אם תגדילו את דרגת השורש ב-m פעמים ובו-זמנית תעלו את מספר השורש למדרגה m-th, אז ערך השורש לא ישתנה:
5. אם תקטין את דרגת השורש ב-m פעמים ובמקביל מחלץ את שורש ה-m-th מהמספר הרדיקלי, אז ערך השורש לא ישתנה:
הרחבת מושג התואר. עד כה, שקלנו תארים רק עם אינדיקטור טבעי; אבל פעולות עם כוחות ושורשים יכולים גם להוביל שלילי, אֶפֶסו חֶלקִיאינדיקטורים. כל המעריכים הללו דורשים הגדרה נוספת.
תואר עם מעריך שלילי. החזקה של מספר כלשהו עם מעריך שלילי (מספר שלם) מוגדר כאחד מחולק בחזקת אותו מספר עם מעריך שווה לערכו המוחלט של המעריך השלילי:
עכשיו הנוסחה א מ : א n = א מ-ניכול לשמש לא רק עבור M, יותר מ נ, אלא גם ב M, פחות מ נ .
דוגמא א 4: א 7 = א 4 — 7 = א — 3 .
אם אנחנו רוצים את הנוסחה א מ : א n = א מ — נהיה הוגן ב m = n, אנחנו צריכים הגדרה של תואר אפס.
תואר עם אפס מעריך. המידה של כל מספר שאינו אפס עם אפס מעריך היא 1.
דוגמאות. 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.
תואר עם מעריך שבר. כדי להעלות מספר ממשי a בחזקת m/n, צריך לחלץ את שורש המעלה ה-n מהחזקה ה-m' של מספר זה a:
על ביטויים לא הגיוניים. יש כמה ביטויים כאלה.
איפה א ≠ 0 , לא קיים.
אכן, אם נניח זאת איקסהוא מספר מסוים, אם כן, בהתאם להגדרת פעולת החלוקה, יש לנו: א = 0· איקס, כלומר א= 0, מה שסותר את התנאי: א ≠ 0
— כל מספר.
אכן, אם נניח שהביטוי הזה שווה למספר כלשהו איקס, אז לפי ההגדרה של פעולת החלוקה יש לנו: 0 = 0 איקס. אבל השוויון הזה מתקיים כל מספר x, שהיה צריך להוכיח.
0 0 — כל מספר.
פתרון. שקול שלושה מקרים עיקריים:
1) איקס = 0 – ערך זה אינו עומד במשוואה זו
2) מתי איקס> 0 נקבל: x / x= 1, כלומר 1 = 1, ומכאן להלן,
מה איקס- כל מספר; אבל לוקחים בחשבון את זה
המקרה שלנו איקס> 0, התשובה היא איקס > 0 ;
כללים להכפלת חזקה עם בסיסים שונים
תואר עם אינדיקטור רציונלי,
פונקציית כוח IV
§ 69. כפל וחלוקת חזקה עם אותם בסיסים
משפט 1.כדי להכפיל חזקות עם אותם בסיסים, מספיק להוסיף את המעריכים, ולהשאיר את הבסיס זהה, כלומר
הוכחה.לפי הגדרת התואר
2 2 2 3 = 2 5 = 32; (-3) (-3) 3 = (-3) 4 = 81.
שקלנו תוצר של שתי כוחות. למעשה, הנכס המוכח נכון לכל מספר סמכויות עם אותם בסיסים.
משפט 2.כדי לחלק כוחות עם אותם בסיסים, כאשר מחוון הדיבידנד גדול ממחוון המחלק, מספיק להחסיר את מחוון המחלק ממחוון הדיבידנד, ולהשאיר את הבסיס זהה, כלומר. בְּ- t > n
(א =/= 0)
הוכחה.נזכיר שהמנה של חלוקת מספר אחד במספר אחר היא המספר שכאשר מוכפל במחלק, נותן את הדיבידנד. לכן, להוכיח את הנוסחה , איפה א =/= 0, זה כמו להוכיח את הנוסחה
אם t > n , ואז המספר t - עמ' יהיה טבעי; לכן, לפי משפט 1
משפט 2 מוכח.
שימו לב שהנוסחה
הוכח על ידינו רק בהנחה ש t > n . לפיכך, ממה שהוכח, לא ניתן עדיין להסיק, למשל, את המסקנות הבאות:
בנוסף, עדיין לא שקלנו תארים עם אקספוננטים שליליים, ועדיין איננו יודעים איזו משמעות ניתן לתת לביטוי 3 - 2 .
משפט 3. כדי להעלות חזקה לחזקה, מספיק להכפיל את המעריכים, ולהשאיר את בסיס המעריך זהה, זה
הוכחה.באמצעות ההגדרה של תואר ומשפט 1 של סעיף זה, אנו מקבלים:
Q.E.D.
לדוגמה, (2 3) 2 = 2 6 = 64;
518 (בעל פה) קבע איקס מהמשוואות:
1) 2 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 = 2 איקס ; 3) 4 2 4 4 4 6 4 8 4 10 = 2 איקס ;
2) 3 3 3 3 5 3 7 3 9 = 3 איקס ; 4) 1 / 5 1 / 25 1 / 125 1 / 625 = 1 / 5 איקס .
519. (מותאם) פשט:
520. (מותאם) פשט:
521. הצג את הביטויים האלה כמעלות עם אותם בסיסים:
1) 32 ו-64; 3) 85 ו-163; 5) 4 100 ו-32 50;
2) -1000 ו-100; 4) -27 ו -243; 6) 81 75 8 200 ו-3 600 4 150.
שיעור בנושא: "כללים להכפלה וחלוקת חזקה עם אותם מעריכים ושונים. דוגמאות"
חומרים נוספים
משתמשים יקרים, אל תשכחו להשאיר הערות, משוב, הצעות. כל החומרים נבדקים על ידי תוכנת אנטי וירוס.
עזרי הוראה וסימולטורים בחנות המקוונת "אינטגרל" לכיתה ז'
מדריך לספר הלימוד Yu.N. מדריך מקריצ'בה לספר הלימוד א.ג. מורדקוביץ'
מטרת השיעור: ללמוד כיצד לבצע פעולות בחזקת מספר.
ראשית, נזכיר את המושג "כוח של מספר". ביטוי כמו $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$ יכול להיות מיוצג בתור $a^n$.
גם ההפך נכון: $a^n= \underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$.
שוויון זה נקרא "רישום התואר כמוצר". זה יעזור לנו לקבוע כיצד להכפיל ולחלק חזקות.
זכור:
א- בסיס התואר.
נ- מעריך.
אם n=1, כלומר המספר אנלקח פעם אחת ובהתאמה: $a^n= 1$.
אם n=0, ואז $a^0= 1$.
מדוע זה קורה, נוכל לגלות כאשר נכיר את כללי הכפל והחלוקת כוחות.
כללי הכפל
א) אם מכפילים חזקות עם אותו בסיס.ל$a^n * a^m$, נכתוב את הכוחות כמכפלה: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( a * a * \ldots * a )_ (מ')$.
האיור מראה כי המספר אנלקח n+mפעמים, אז $a^n * a^m = a^(n + m)$.
דוגמא.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.
מאפיין זה נוח לשימוש כדי לפשט את העבודה בעת העלאת מספר לעוצמה גדולה.
דוגמא.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.
ב) אם מכפילים חזקות עם בסיס אחר, אבל באותו מעריך.
ל$a^n * b^n$, נכתוב את הכוחות כמכפלה: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( b * b * \ldots * b )_ (מ')$.
אם נחליף את הגורמים ונמנה את הזוגות המתקבלים, נקבל: $\underbrace( (a * b) * (a * b) * \ldots * (a * b) )_(n)$.
אז $a^n * b^n= (a * b)^n$.
דוגמא.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.
כללי החלוקה
א) בסיס התואר זהה, המעריכים שונים.שקול לחלק תואר עם מעריך גדול יותר על ידי חלוקת תואר עם מעריך קטן יותר.
אז, זה הכרחי $\frac(a^n)(a^m)$, איפה n>מ.
אנו כותבים את המעלות כשבר:
$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(m))$.
מטעמי נוחות, אנו כותבים את החלוקה כשבר פשוט.עכשיו בואו נפחית את השבר.
מסתבר: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n-m)= a^(n-m)$.
אומר, $\frac(a^n)(a^m)=a^(n-m)$.
מאפיין זה יעזור להסביר את המצב עם העלאת מספר בחזקת אפס. בוא נניח את זה n=m, ואז $a^0= a^(n-n)=\frac(a^n)(a^n) =1$.
דוגמאות.
$\frac(3^3)(3^2)=3^(3-2)=3^1=3$.
$\frac(2^2)(2^2)=2^(2-2)=2^0=1$.
ב) בסיסי התואר שונים, המדדים זהים.
נניח שאתה צריך $\frac(a^n)( b^n)$. אנו כותבים את חזקות המספרים כשבר:
$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( b * b * \ldots * b )_(n))$.
בואו נדמיין מטעמי נוחות.
באמצעות התכונה של שברים, אנו מחלקים שבר גדול למכפלה של קטנים, אנו מקבלים.
$\underbrace( \frac(a)(b) * \frac(a)(b) * \ldots * \frac(a)(b) )_(n)$.
בהתאם: $\frac(a^n)( b^n)=(\frac(a)(b))^n$.
דוגמא.
$\frac(4^3)( 2^3)= (\frac(4)(2))^3=2^3=8$.
ברור שאפשר להוסיף מספרים בעלי חזקה כמו כמויות אחרות , על ידי הוספתם אחד אחד עם השלטים שלהם.
אז, הסכום של a 3 ו- b 2 הוא a 3 + b 2 .
הסכום של a 3 - b n ו- h 5 -d 4 הוא a 3 - b n + h 5 - d 4 .
קְטָטָה אותם כוחות של אותם משתניםניתן להוסיף או לגרוע.
אז הסכום של 2a 2 ו-3a 2 הוא 5a 2.
ברור גם שאם ניקח שני ריבועים a, או שלושה ריבועים a, או חמישה ריבועים א.
אבל תארים משתנים שוניםו תארים שונים משתנים זהים, יש להוסיף על ידי הוספתם לשלטים שלהם.
אז, הסכום של 2 ו-3 הוא הסכום של 2 + a 3.
ברור שהריבוע של a, והקוביה של a, אינו כפול ריבוע של a, אלא כפול הקובייה של a.
הסכום של a 3 b n ו- 3a 5 b 6 הוא a 3 b n + 3a 5 b 6 .
חִסוּרהסמכויות מתבצעות באותו אופן כמו הוספה, אלא שיש לשנות את הסימנים של המשנה בהתאם.
אוֹ:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(א - ח) 6 - 2(א - ח) 6 = 3(א - ח) 6
כפל כוח
ניתן להכפיל מספרים בעלי חזקה כמו כמויות אחרות על ידי כתיבתם בזה אחר זה, עם או בלי סימן הכפל ביניהם.
אז, התוצאה של הכפלת a 3 ב b 2 היא a 3 b 2 או aaabb.
אוֹ:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y
את התוצאה בדוגמה האחרונה ניתן להזמין על ידי הוספת אותם משתנים.
הביטוי יקבל את הצורה: a 5 b 5 y 3 .
על ידי השוואת מספר מספרים (משתנים) עם חזקות, נוכל לראות שאם כל שניים מהם מוכפלים, אז התוצאה היא מספר (משתנה) עם חזקת השווה ל. סְכוּםדרגות של מונחים.
אז, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .
כאן 5 הוא חזקת תוצאת הכפל, שווה ל-2 + 3, סכום החזקות של האיברים.
אז, a n .a m = a m+n .
עבור a n, a נלקח כגורם פעמים רבות כמו החזקה של n;
ו- m , נלקח כגורם כמה פעמים שהדרגה m שווה לה;
בגלל זה, ניתן להכפיל חזקות עם אותם בסיסים על ידי הוספת המעריכים.
אז, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . ו-x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6.
אוֹ:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1
הכפל (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
תשובה: x 4 - y 4.
הכפל (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).
כלל זה נכון גם למספרים שהמעריכים שלהם הם - שלילי.
1. אז, a -2 .a -3 = a -5 . אפשר לכתוב את זה בתור (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.
2. y-n .y-m = y-n-m .
3. a -n .a m = a m-n .
אם a + b מוכפלים ב- a - b, התוצאה תהיה a 2 - b 2: כלומר
התוצאה של הכפלת הסכום או ההפרש של שני מספרים שווה לסכום או ההפרש של הריבועים שלהם.
אם הסכום וההפרש של שני מספרים מועלים ל כיכר, התוצאה תהיה שווה לסכום או להפרש של המספרים הללו ב רביעיתוֹאַר.
אז, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8 .
חלוקת תארים
ניתן לחלק מספרים בעלי חזקה כמו מספרים אחרים על ידי חיסור מהמחלק, או על ידי הצבתם בצורה של שבר.
אז a 3 b 2 חלקי b 2 הוא a 3 .
אוֹ:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$
כתיבת 5 חלקי 3 נראית כמו $\frac(a^5)(a^3)$. אבל זה שווה ל-2. בסדרה של מספרים
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
ניתן לחלק כל מספר במספר אחר, והמעריך יהיה שווה ל הֶבדֵלאינדיקטורים של מספרים מתחלקים.
כאשר מחלקים חזקות עם אותו בסיס, המעריכים שלהן מוגרעים..
אז, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . כלומר, $\frac(yyy)(yy) = y$.
ו- n+1:a = a n+1-1 = a n . כלומר, $\frac(aa^n)(a) = a^n$.
אוֹ:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3
הכלל תקף גם למספרים עם שליליערכי תואר.
התוצאה של חלוקת -5 ב -3 היא -2.
כמו כן, $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.
h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 או $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$
יש צורך לשלוט היטב בכפל ובחלוקת כוחות, שכן פעולות כאלה נמצאות בשימוש נרחב מאוד באלגברה.
דוגמאות לפתרון דוגמאות עם שברים המכילים מספרים בחזקות
1. הקטינו את המעריכים ב-$\frac(5a^4)(3a^2)$ תשובה: $\frac(5a^2)(3)$.
2. הקטינו את המעריכים ב-$\frac(6x^6)(3x^5)$. תשובה: $\frac(2x)(1)$ או 2x.
3. הקטינו את המעריכים a 2 / a 3 ו-a -3 / a -4 והביאו למכנה משותף.
a 2 .a -4 הוא מונה ראשון -2.
a 3 .a -3 הוא 0 = 1, המונה השני.
a 3 .a -4 הוא a -1 , המונה המשותף.
לאחר פישוט: a -2 /a -1 ו-1/a -1 .
4. צמצמו את המעריכים 2a 4 /5a 3 ו-2 /a 4 והביאו למכנה משותף.
תשובה: 2a 3 / 5a 7 ו-5a 5 / 5a 7 או 2a 3 / 5a 2 ו-5/5a 2.
5. הכפל (a 3 + b)/b 4 ב-(a - b)/3.
6. הכפל (a 5 + 1)/x 2 ב-(b 2 - 1)/(x + a).
7. הכפל b 4 /a -2 ב-h -3 /x ו- a n /y -3.
8. חלקו 4 /y 3 ב-3 /y 2 . תשובה: א/י.
9. חלקו (h 3 - 1)/d 4 ב-(d n + 1)/h.
נוסחאות כוחמשמש בתהליך של צמצום ופישוט ביטויים מורכבים, בפתרון משוואות ואי-שוויון.
מספר גהוא נהחזקה של מספר אמתי:
פעולות עם תארים.
1. הכפלת מעלות עם אותו בסיס, האינדיקטורים שלהם מסתכמים:
א מa n = a m + n .
2. בחלוקת מעלות עם אותו בסיס, האינדיקטורים שלהם מופחתים:
3. מידת המכפלה של 2 או יותרגורמים שווה למכפלת הכוחות של גורמים אלה:
(abc...) n = a n b n c n …
4. דרגת השבר שווה ליחס בין דרגות הדיבידנד והמחלק:
(a/b) n = a n / b n .
5. העלאת חזקה לחזקה, המעריכים מוכפלים:
(am) n = a m n .
כל נוסחה למעלה נכונה בכיוונים משמאל לימין ולהיפך.
לדוגמה. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.
פעולות עם שורשים.
1. שורש המכפלה של מספר גורמים שווה למכפלת השורשים של גורמים אלה:
2. שורש היחס שווה ליחס הדיבידנד ומחלק השורשים:
3. כשמעלים שורש לחזקה, מספיק להעלות את מספר השורש לחזקה זו:
4. אם נעלה את מידת השורש פנימה נפעם אחת ובו זמנית להעלות ל נהחזקה היא מספר שורש, אז הערך של השורש לא ישתנה:
5. אם נוריד את מידת השורש פנימה נשורש בו זמנית נהתואר מהמספר הרדיקלי, אז הערך של השורש לא ישתנה:
תואר עם מעריך שלילי.הדרגה של מספר עם מעריך לא חיובי (מספר שלם) מוגדרת כחלק המחולקת בדרגה של אותו מספר עם מעריך שווה לערך המוחלט של המעריך הלא חיובי:
נוּסחָה א מ:a n = a m - nיכול לשמש לא רק עבור M> נ, אלא גם ב M< נ.
לדוגמה. א4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.
לנוסחה א מ:a n = a m - nהפך הוגן ב m=n, אתה צריך את הנוכחות של מעלה אפס.
תואר עם אפס מעריך.החזקה של כל מספר שאינו אפס עם מעריך אפס שווה לאחד.
לדוגמה. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.
תואר עם מעריך שבר.להעלות מספר אמיתי אבמידה m/n, אתה צריך לחלץ את השורש נהתואר של Mבחזקת מספר זה א.
אם אתה צריך להעלות מספר מסוים לחזקה, אתה יכול להשתמש . כעת נסתכל מקרוב על תכונות של כוחות.
מספרים אקספוננציאלייםפותחים אפשרויות גדולות, הם מאפשרים לנו להמיר כפל לחיבור, וחיבור הרבה יותר קל מכפל.
לדוגמה, עלינו להכפיל את 16 ב-64. המכפלה של הכפלת שני המספרים הללו היא 1024. אבל 16 הוא 4x4, ו-64 הוא 4x4x4. אז 16 כפול 64=4x4x4x4x4 שזה גם 1024.
המספר 16 יכול להיות מיוצג גם כ-2x2x2x2, ו-64 כ-2x2x2x2x2x2, ואם נכפיל, נקבל שוב 1024.
עכשיו בואו נשתמש בכלל. 16=4 2, או 2 4, 64=4 3, או 2 6, בעוד 1024=6 4 =4 5, או 2 10.
לכן, ניתן לכתוב את הבעיה שלנו בצורה אחרת: 4 2 x4 3 =4 5 או 2 4 x2 6 =2 10, ובכל פעם נקבל 1024.
נוכל לפתור מספר דוגמאות דומות ולראות שכפל מספרים בחזקות מצטמצם ל תוספת של אקספוננטים, או מעריך, כמובן, בתנאי שבסיסי הגורמים שווים.
לפיכך, אנו יכולים, מבלי להכפיל, לומר מיד כי 2 4 x2 2 x2 14 \u003d 2 20.
כלל זה נכון גם כאשר מחלקים מספרים בחזקות, אך במקרה זה, ה המעריך של המחלק מופחת מהמעריך של הדיבידנד. לפיכך, 2 5:2 3 =2 2 , אשר ב מספרים רגיליםשווה ל-32:8=4, כלומר 2 2. בואו נסכם:
a m x a n \u003d a m + n, a m: a n \u003d a m-n, כאשר m ו-n הם מספרים שלמים.
במבט ראשון זה אולי נראה כך כפל וחילוק מספרים בחזקותלא מאוד נוח, כי קודם כל אתה צריך לייצג את המספר בצורה אקספוננציאלית. לא קשה לייצג את המספרים 8 ו-16 בצורה הזו, כלומר 2 3 ו-2 4, אבל איך עושים זאת עם המספרים 7 ו-17? או מה לעשות באותם מקרים שבהם ניתן לייצג את המספר בצורה אקספוננציאלית, אבל הבסיסים של ביטויים אקספוננציאליים של מספרים שונים מאוד. לדוגמה, 8×9 הוא 2 3 x 3 2, ובמקרה זה איננו יכולים לסכם את המעריכים. לא 2 5 ולא 3 5 היא התשובה, וגם לא התשובה בין השניים.
אז האם בכלל כדאי להתעסק בשיטה הזו? בהחלט שווה את זה. הוא מספק יתרונות עצומים, במיוחד לחישובים מורכבים וגוזלים זמן.