דוגמאות להתקדמות אריתמטית וגאומטריתלקוח מתוך "אוסף משימות למועמדים. מתמטיקה" בהוצאת וולינסקי האוניברסיטה הממלכתיתעל שם לסיה אוקראינקה בשנת 2001. קרא את התשובות בעיון ובחר את התשובות הנחוצות ביותר עבור עצמך.
קבוצה א' (רמה 1)
דוגמה 1. חשב את האיבר השישי של ההתקדמות האריתמטית 21.3; 22.4; … ,
פתרון: מצא את ההבדל (שלב) של ההתקדמות
d \u003d a 2 -a 1 \u003d 22.4-21.3 \u003d 1.1.
לאחר מכן, אנו מחשבים את האיבר השישי של ההתקדמות האריתמטית
a 6 \u003d a 1 + (6-1) d \u003d 21.3 + 5 * 1.1 \u003d 26.8.
דוגמה 2. חשב את האיבר השישי של ההתקדמות הגיאומטרית 5; 10; 20; ...
פתרון: מצא את המכנה של התקדמות גיאומטרית
q \u003d b 2 / b 1 \u003d 10/5 \u003d 2.
אנו מחשבים את האיבר השישי של התקדמות גיאומטרית
b 6 \u003d b 1 q 6-1 \u003d 5 * 25 \u003d 5 * 32 \u003d 160.
דוגמה 3. בהתקדמות אריתמטית, 1 \u003d 2.1 a 10 \u003d 12.9. חשב הפרש התקדמות.
פתרון: הבה נציג את האיבר העשירי של ההתקדמות כנוסחה
a 10 \u003d a 1 + (10-1) d \u003d a 1 + 9d.
החליפו את הערכים הידועים ופתרו
12.9=2.1+9ד;
9d=12.9-2.1=10.8;
d=10.8/9=1.2.
תשובה: הפרש התקדמות d=1.2.
דוגמה 4. בהתקדמות גיאומטרית b 1 =2.56; b 4 \u003d 4.42368. חשב את המכנה של ההתקדמות.
פתרון: מצא את המכנה של ההתקדמות
q \u003d b 2 / b 1 \u003d 4.42368 / 2.56 \u003d 1.728.
אתה לא יכול בלי מחשבון כאן.
תשובה: המכנה של ההתקדמות הוא q=1.728.
דוגמה 5. בהתקדמות אריתמטית, a 1 \u003d 20.1, d \u003d 1.3. חשב את סכום שמונת האיברים הראשונים של ההתקדמות.
פתרון: סכום ההתקדמות האריתמטית נמצא על ידי הנוסחה
ביצוע חישובים
S 8 \u003d (2 * 20.1 + (8-1) * 1.3) * 8 / 2 \u003d 197.2.
תשובה: S 8 \u003d 197.2.
דוגמה 6. בהתקדמות גיאומטרית b 1 =1.5; q=1.2. חשב את הסכום של ארבעת האיברים הראשונים של ההתקדמות.
פתרון: סכום ההתקדמות הגיאומטרית מחושב על ידי הנוסחה
מציאת סכום ההתקדמות 
תשובה: S 8 \u003d 8.052.
דוגמה 7. בהתקדמות אריתמטית a 1 \u003d 1.35 d \u003d -2.4. חשב את מספר איבר ההתקדמות, שווה ל-25.05.
פתרון: איבר בהתקדמות אריתמטית נמצא לפי הנוסחה
a n \u003d a 1 + (n-1) ד.
לפי תנאי, הכל חוץ מהמספר הסידורי ידוע, נמצא אותו
-25.05=1.35+(n-1)(-2.4); 
תשובה: n=12.
דוגמה 8. חשב את האיבר השביעי של ההתקדמות 23.5; 24.82; 26.14; ...
פתרון: מכיוון שהתנאי אינו מציין איזו התקדמות מוגדרת, תחילה עליך להגדיר זאת. קבל את החשבון הזה
d=a 2 -a 1 = 24.82-23.5=1.32;
d \u003d a 3 -a 2 \u003d 26.14-24.82 \u003d 1.32.
מציאת האיבר השביעי של ההתקדמות
a 7 \u003d a 1 + (7-1) d \u003d 23.5 + 6 * 1.32 \u003d 31.42.
תשובה: a 7 \u003d 31.42.
דוגמה 9. חשב את מספר איבר ההתקדמות 2.1; 3.3; 4.5; ... , שווה ל 11.7 .
פתרון: קל לוודא שניתן התקדמות אריתמטית. מציאת הבדל ההתקדמות
d \u003d a 2 -a 1 \u003d 3.3-2.1 \u003d 1.2.
לפי נוסחת מונח ההתקדמות
a n \u003d a 1 + (n-1) ד
למצוא את המספר
11.7=2.1+(n-1)*1.2; 
תשובה: n=9 .
דוגמה 10. חשב את האיבר הרביעי של ההתקדמות 1.5; 1.8; 2.16; ... .
פתרון: בלי לבדוק, אפשר לומר שההתקדמות היא גיאומטרית. מצא את המכנה שלו
q \u003d b 2 / b 1 \u003d 1, 8 / 1.5 \u003d 1.2.
חשב את האיבר הרביעי של ההתקדמות הגיאומטרית באמצעות הנוסחה
b 4 \u003d b 1 q 3 \u003d 1.5 * 1.2 3 \u003d 2.592.
תשובה: b 4 \u003d 2.592.
דוגמה 11. חשב את מספר איבר ההתקדמות 1,2; 1.8; 2.16; ... שווה ל-4.05.
פתרון: יש לנו התקדמות גיאומטרית. מצא את המכנה של ההתקדמות
q \u003d b 2 / b 1 \u003d 1, 8 / 1.2 \u003d 1.5.
מצא את מספר ההתקדמות מהתלות
b n = b 1 q n-1 .
4.05=1.2*1.5n-1;
1.5 n-1 \u003d 4.05 / 1.2 \u003d 3.375 \u003d 1.5 3;
n-1=3; n=4.
תשובה: n=4.
דוגמה 12. בהתקדמות אריתמטית, 5 \u003d 14.91 a 9 \u003d 20.11. חשב 1.
פתרון: אנו מבטאים את האיבר ה-9 של ההתקדמות עד 5
a 9 \u003d a 5 + (9-5) ד
ולמצוא את שלב ההתקדמות
20.11=14.91+4ד;
4ד=5.2; d=5.2/4=1.3.
אנו מבטאים את האיבר החמישי של ההתקדמות במונחים של 1 ומחשבים את הראשון
a 5 = a 1 +4d;
14.91 \u003d a 1 +5.2;
a 1 \u003d 14.91-5.2 \u003d 9.71.
תשובה: a 1 \u003d 9.71.
דוגמה 13. בהתקדמות אריתמטית, 7 \u003d 12.01; a 11 \u003d 17.61. חשב הפרש התקדמות.
פתרון: אנו מבטאים 11 מונחים של ההתקדמות עד 7
a 11 \u003d a 7 + (11-7) ד.
מכאן אנו מחשבים את שלב ההתקדמות
17.61=12.01+4ד;
4ד=5.6; d=5.6/4=1.4.
תשובה: d=1.4.
דוגמה 14. בהתקדמות גיאומטרית b 5 =64; b 8 =1. חשב את b 3 .
פתרון: אנו מבטאים את האיבר ה-8 של ההתקדמות במונחים של 5
b 8 \u003d b 5 q 8-5.
מכאן אנו מוצאים את המכנה של ההתקדמות
1=64 ש 3 ;
ש 3 \u003d 1/64 \u003d (1/4) 3;
q=1/4.
באופן דומה, אנו מוצאים את b 3 עד b 5
b 3 \u003d b 5 / q 2 \u003d 64 * 4 2 \u003d 1024.
תשובה: b 3 \u003d 1024.
דוגמה 15. בהתקדמות אריתמטית, 9 + a 15 \u003d 14.8. חשב 12
פתרון: בדוגמה זו, יש לציין שהאיבר ה-12 של ההתקדמות נמצא באמצע בין מספרו 9 ל-15. לכן, המונחים השכנים של ההתקדמות (9, 15) יכולים להתבטא במונחים של 12 באופן הבא
a 9 \u003d a 12 - (12-9) ד;
a 15 \u003d a 12 + (15-9) ד;
a 9 \u003d a 12 -3d;
a 15 = a 12 + 3d.
הבה נסכם את המונחים הקיצוניים של ההתקדמות
a 9 + a 15 = a 12 -3d+ a 12 + 3d=2a 12.
מכאן אנו מוצאים את האיבר ה-12 של ההתקדמות
a 12 \u003d (a 9 + a 15) / 2 \u003d 14.8 / 2 \u003d 7.4.
תשובה: a 12 \u003d 7.4.
דוגמה 16. אקספוננציאלית b 10 *b 14 =289. חשב מודול 12 של מונח ההתקדמות | b 12 |.
פתרון: האלגוריתם לפתרון הבעיה נמצא בדוגמה הקודמת. יש צורך לבטא 10 ו-14 איברים של התקדמות גיאומטרית עד 12. לפי המאפיינים של התקדמות גיאומטרית, אנו מקבלים
b 10 \u003d b 12 / q 2; b 14 = b 12 * q 2 .
קל לראות שכשהם עובדים, סימן ההתקדמות נעלם.
b 10 * b 14 \u003d (b 12) 2 \u003d 289 \u003d 17 2.
מכאן אנו מוצאים את המודול | b 12 |
(ב 12) 2 =289=17 2 -> | b 12 |=17.
תשובה: | b 12 |=17.
דוגמה 17. אקספוננציאלית b 8 =1.3. חשב את b 6 *b 10 .
פתרון: סכימת החישוב דומה לדוגמא הקודמת - אנו מבטאים 6 ו-10 איברים של ההתקדמות עד 8.
b 6 \u003d b 8 / q 2; b 10 = b 8 * q 2 .
כאשר הם מוכפלים, המכנים מצטמצמים ונקבל את הריבוע של האיבר הידוע של ההתקדמות
b 6 *b 10 \u003d (b 8) 2 \u003d 1.3 2 \u003d 1.69.
תשובה: b 6 * b 10 \u003d 1.69.
דוגמה 18. בהתקדמות אריתמטית, 10 \u003d 3.6: a 12 \u003d 8. חשב 8
פתרון: בוא נכתוב את איברי ההתקדמות בסדרה a 8 , a 10 , a 12 . ביניהם אותו שלב, בואו נמצא אותו
a 12 = a 10 +2d;
2d \u003d a 12 - a 10 \u003d 8-3.6 \u003d 4.4.
באותו אופן אנו מוצאים 8
a 10 = a 8 +2d;
a 8 \u003d a 10 -2d \u003d 3.6-4.4 \u003d -0.8.
הנה כמה חישובים פשוטים.
תשובה: a 8 \u003d -0.8.
דוגמה 19. אקספוננציאלית b 14 =8; b 16 =2. חשב את b 12 .
פתרון: בהשמטת הסברים מפורטים, אנו רושמים את המכפלה של האיברים ה-14 וה-16 של ההתקדמות
b 14 *b 16 =(b 12) 2 .
זה שווה ערך לממוצע הגיאומטרי. מציאת השורש של מכפלת המונחים, נקבל את הערך הרצוי
(ב 12) 2 \u003d 8 * 2 \u003d 16; b 12 =4.
תשובה: b 12 \u003d 4.
דוגמה 20. בהתקדמות אריתמטית, 5 \u003d 3.4; a 11 \u003d 6.9. חשב 17.
פתרון: בין 5,11 ל-17 חברים בהתקדמות זה אותו שלב והוא שווה ל-6d. לכן, ניתן לכתוב את הפתרון הסופי בשם
a 17 \u003d a 11 + 6d \u003d a 11 + (a 11 - a 5) \u003d 2 * 6.9-3.4 \u003d 10.4.
אני חושב שאתה מבין למה שיא כזה. אם לא - נסה לצייר 11 איברים של ההתקדמות עד 5 והפוך 6d.
תשובה: a 17 \u003d 10.4.
דוגמה 21. חשב את האיבר ה-6 של ההתקדמות הגיאומטרית 3; 12;...
פתרון: מצא את המכנה של ההתקדמות
q \u003d b 2 / b 1 \u003d 12/3 \u003d 4.
בואו נשתמש נוסחה כלליתמונח של התקדמות גיאומטרית
b n = b 1 *q n-1 .
מכאן אנחנו מקבלים
b 6 \u003d b 1 * q 5 \u003d b 2 * q 4.
כפי שאתה יכול לראות, העיקר ברשומה הוא שסכום המדד (2) והתואר (4) מתאים למספר הסידורי של איבר ההתקדמות (6). ביצוע חישובים
b 6 \u003d 12 * 4 4 \u003d 12 * 256 \u003d 3072.
יש מספר גדול, אבל ההתקדמות הגיאומטרית שונה בכך שהחברים שלה גדלים במהירות או יורדים.
תשובה: b 6 \u003d 3072.
דוגמה 22. בהתקדמות אריתמטית, 3 \u003d 48; a 5 =42. חשב 7.
פתרון: מכיוון שההבדל בין ההתקדמות בין האיברים הנתונים לרצוי הפך ושווה ל-2d, אזי הנוסחה של האיבר ה-7 של ההתקדמות תיראה כך
a 7 \u003d a 5 + 2d \u003d a 5 + (a 5 - a 3);
ו-7 \u003d 2 * 42-48 \u003d 36.
תשובה: a 7 \u003d 36.
התקדמות אריתמטיתשם רצף של מספרים (איברים של התקדמות)
שבו כל מונח עוקב שונה מהקודם במונח פלדה, הנקרא גם הבדל שלב או התקדמות.
לפיכך, על ידי הגדרת שלב ההתקדמות והמונח הראשון שלו, אתה יכול למצוא כל אחד מהאלמנטים שלו באמצעות הנוסחה
מאפיינים של התקדמות אריתמטית
1) כל איבר בהתקדמות האריתמטית, החל מהמספר השני, הוא הממוצע האריתמטי של האיבר הקודם והבא של ההתקדמות
גם ההיפך נכון. אם הממוצע האריתמטי של איברים אי-זוגיים (זוגיים) שכנים של ההתקדמות שווה לאיבר שעומד ביניהם, אז רצף המספרים הזה הוא התקדמות אריתמטית. על ידי קביעה זו קל מאוד לבדוק כל רצף.
גם לפי התכונה של התקדמות אריתמטית, ניתן להכליל את הנוסחה לעיל לדברים הבאים
קל לאמת זאת אם נכתוב את התנאים מימין לסימן השוויון
הוא משמש לעתים קרובות בפועל כדי לפשט חישובים בבעיות.
2) סכום n האיברים הראשונים של התקדמות אריתמטית מחושב על ידי הנוסחה
זכור היטב את הנוסחה לסכום של התקדמות אריתמטית, היא הכרחית בחישובים והיא נפוצה למדי במצבי חיים פשוטים.
3) אם אתה צריך למצוא לא את כל הסכום, אלא חלק מהרצף שמתחיל מהאיבר ה-k שלו, אזי נוסחת הסכום הבאה תועיל לך
4) יש עניין מעשי למצוא את הסכום של n איברים של התקדמות אריתמטית החל מהמספר kth. לשם כך, השתמש בנוסחה
כאן מסתיים החומר התיאורטי ואנו עוברים לפתרון בעיות שכיחות בפועל.
דוגמה 1. מצא את האיבר הארבעים של ההתקדמות האריתמטית 4;7;...
פִּתָרוֹן:
לפי התנאי, יש לנו
הגדר את שלב ההתקדמות
לפי הנוסחה הידועה, אנו מוצאים את האיבר הארבעים של ההתקדמות
דוגמה2. ההתקדמות האריתמטית ניתנת על ידי האיברים השלישי והשביעי שלה. מצא את האיבר הראשון של ההתקדמות ואת הסכום של עשר.
פִּתָרוֹן:
אנו כותבים את המרכיבים הנתונים של ההתקדמות לפי הנוסחאות
נחסר את המשוואה הראשונה מהמשוואה השנייה, כתוצאה מכך נמצא את שלב ההתקדמות
הערך שנמצא מוחלף בכל אחת מהמשוואות כדי למצוא את האיבר הראשון של ההתקדמות האריתמטית
חשב את סכום עשרת האיברים הראשונים של ההתקדמות
מבלי ליישם חישובים מורכבים, מצאנו את כל הערכים הנדרשים.
דוגמה 3. התקדמות אריתמטית ניתנת על ידי המכנה ואחד מאיבריו. מצא את האיבר הראשון של ההתקדמות, את סכום 50 האיברים שלו החל מ-50, ואת סכום ה-100 הראשונים.
פִּתָרוֹן:
בוא נכתוב את הנוסחה למרכיב המאה של ההתקדמות
ולמצוא את הראשון
בהתבסס על הראשון, אנו מוצאים את המונח ה-50 של ההתקדמות
מציאת סכום החלק של ההתקדמות
וסכום ה-100 הראשונים
סכום ההתקדמות הוא 250.
דוגמה 4
מצא את מספר האיברים של התקדמות אריתמטית אם:
a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.
פִּתָרוֹן:
אנו כותבים את המשוואות במונחים של האיבר הראשון ושלב ההתקדמות ומגדירים אותם
אנו מחליפים את הערכים המתקבלים בנוסחת הסכום כדי לקבוע את מספר האיברים בסכום
עושים הפשטות
ולפתור את המשוואה הריבועית
מבין שני הערכים שנמצאו, רק המספר 8 מתאים למצב הבעיה. לפיכך הסכום של שמונת האיברים הראשונים של ההתקדמות הוא 111.
דוגמה 5
פתור את המשוואה
1+3+5+...+x=307.
פתרון: משוואה זו היא סכום התקדמות אריתמטית. אנו כותבים את המונח הראשון שלו ומוצאים את ההבדל של ההתקדמות
מישהו מתייחס בזהירות למילה "התקדמות", כמונח מורכב מאוד מחלקי המתמטיקה הגבוהה. בינתיים, ההתקדמות האריתמטית הפשוטה ביותר היא העבודה של דלפק המוניות (שם הן עדיין נשארות). ולהבין את המהות (ובמתמטיקה אין דבר חשוב יותר מ"להבין את המהות") של רצף אריתמטי זה לא כל כך קשה, לאחר שניתח כמה מושגים יסודיים.
רצף מספרים מתמטי
נהוג לקרוא לרצף מספרי סדרה של מספרים שלכל אחד מהם מספר משלו.
ו-1 הוא האיבר הראשון ברצף;
ו-2 הוא האיבר השני ברצף;
ו-7 הוא האיבר השביעי ברצף;
ו-n הוא האיבר ה-n של הרצף;
עם זאת, שום קבוצה שרירותית של דמויות ומספרים לא מעניינת אותנו. נמקד את תשומת הלב שלנו ברצף מספרי שבו הערך של האיבר ה-n קשור למספר הסידורי שלו על ידי תלות שניתן לנסח בצורה מתמטית בבירור. במילים אחרות: הערך המספרי של המספר ה-n הוא פונקציה כלשהי של n.
a - ערך של איבר ברצף המספרי;
n הוא המספר הסידורי שלו;
f(n) היא פונקציה שבה הסיום ברצף המספרי n הוא הארגומנט.
הַגדָרָה
התקדמות אריתמטית נקראת בדרך כלל רצף מספרי שבו כל איבר עוקב גדול (פחות) מהקודם באותו מספר. הנוסחה של האיבר ה-n ברצף אריתמטי היא כדלקמן:
a n - הערך של האיבר הנוכחי של ההתקדמות האריתמטית;
a n+1 - הנוסחה של המספר הבא;
d - הפרש (מספר מסוים).
קל לקבוע שאם ההפרש חיובי (d>0), אז כל איבר עוקב בסדרה הנבדקת יהיה גדול מהקודם, והתקדמות אריתמטית כזו תגדל.
בגרף למטה, קל לראות מדוע רצף המספרים נקרא "גדל".
במקרים בהם ההפרש שלילי (ד<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.
הערך של החבר שצוין
לפעמים יש צורך לקבוע את הערך של איבר שרירותי כלשהו a n של התקדמות אריתמטית. אתה יכול לעשות זאת על ידי חישוב רצוף של הערכים של כל חברי ההתקדמות האריתמטית, מהראשון לרצוי. עם זאת, דרך זו לא תמיד מקובלת אם, למשל, יש צורך למצוא את הערך של המונח חמשת האלפים או השמונה מיליון. החישוב המסורתי ייקח הרבה זמן. עם זאת, ניתן לחקור התקדמות אריתמטית ספציפית באמצעות נוסחאות מסוימות. יש גם נוסחה לאיבר ה-n: ניתן לקבוע את הערך של כל איבר בהתקדמות אריתמטית כסכום האיבר הראשון של ההתקדמות עם הפרש ההתקדמות, כפול מספר האיבר הרצוי, פחות אחד .
הנוסחה היא אוניברסלית להגדלה והפחתה של התקדמות.
דוגמה לחישוב הערך של חבר נתון
בואו נפתור את הבעיה הבאה של מציאת הערך של האיבר ה-n של התקדמות אריתמטית.
מצב: יש התקדמות אריתמטית עם פרמטרים:
האיבר הראשון ברצף הוא 3;
ההבדל בסדרת המספרים הוא 1.2.
משימה: יש צורך למצוא את הערך של 214 מונחים
פתרון: כדי לקבוע את הערך של איבר נתון, אנו משתמשים בנוסחה:
a(n) = a1 + d(n-1)
החלפת הנתונים מהצהרת הבעיה בביטוי, יש לנו:
a(214) = a1 + d(n-1)
a(214) = 3 + 1.2 (214-1) = 258.6
תשובה: האיבר ה-214 ברצף שווה ל-258.6.
היתרונות של שיטת חישוב זו ברורים - הפתרון כולו לוקח לא יותר מ-2 שורות.
סכום של מספר נתון של חברים
לעתים קרובות מאוד, בסדרה אריתמטית נתונה, נדרש לקבוע את סכום הערכים של חלק מהקטעים שלה. זה גם לא צריך לחשב את הערכים של כל מונח ואז לסכם אותם. שיטה זו ישימה אם מספר המונחים שיש למצוא את הסכום שלהם קטן. במקרים אחרים, נוח יותר להשתמש בנוסחה הבאה.
סכום האיברים של התקדמות אריתמטית מ-1 ל-n שווה לסכום האיברים הראשון וה-n', מוכפל במספר האיבר n ומחלקים בשתיים. אם בנוסחה הערך של האיבר ה-n מוחלף בביטוי מהפסקה הקודמת של המאמר, נקבל:
דוגמא חישוב
לדוגמה, בואו נפתור בעיה עם התנאים הבאים:
האיבר הראשון של הרצף הוא אפס;
ההבדל הוא 0.5.
בבעיה נדרש לקבוע את סכום האיברים של הסדרה מ-56 עד 101.
פִּתָרוֹן. בואו נשתמש בנוסחה לקביעת סכום ההתקדמות:
s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2
ראשית, אנו קובעים את סכום הערכים של 101 איברים של ההתקדמות על ידי החלפת התנאים הנתונים של הבעיה שלנו בנוסחה:
s 101 = (2∙0 + 0.5∙(101-1))∙101/2 = 2,525
ברור שכדי לגלות את סכום התנאים של ההתקדמות מה-56 ל-101, יש צורך להחסיר את S 55 מ-S 101.
s 55 = (2∙0 + 0.5∙(55-1))∙55/2 = 742.5
אז סכום ההתקדמות האריתמטית עבור דוגמה זו הוא:
s 101 - s 55 \u003d 2,525 - 742.5 \u003d 1,782.5
דוגמה ליישום מעשי של התקדמות אריתמטית
בסוף המאמר נחזור לדוגמא של הרצף החשבוני המובא בפסקה הראשונה – מונית (מונית רכב מד). בואו נשקול דוגמה כזו.
הכניסה למונית (הכוללת 3 ק"מ) עולה 50 רובל. כל קילומטר עוקב משולם בשיעור של 22 רובל / ק"מ. מרחק נסיעה 30 ק"מ. חשב את עלות הטיול.
1. נזרוק את 3 הק"מ הראשונים שמחירם כלול בעלות הנחיתה.
30 - 3 = 27 ק"מ.
2. חישוב נוסף אינו אלא ניתוח סדרת מספרים אריתמטית.
מספר החבר הוא מספר הקילומטרים שנסעו (מינוס שלושת הראשונים).
הערך של החבר הוא הסכום.
המונח הראשון בבעיה זו יהיה שווה ל-1 = 50 רובל.
הפרש התקדמות d = 22 p.
המספר שמעניין אותנו - ערך האיבר (27 + 1) בהתקדמות החשבון - קריאת המטר בסוף הקילומטר ה-27 - 27.999 ... = 28 ק"מ.
a 28 \u003d 50 + 22 ∙ (28 - 1) \u003d 644
חישובים של נתוני לוח שנה לתקופה ארוכה באופן שרירותי מבוססים על נוסחאות המתארות רצפים מספריים מסוימים. באסטרונומיה, אורך המסלול תלוי גיאומטרית במרחק של גוף הרקיע לגוף האור. בנוסף, סדרות מספריות שונות משמשות בהצלחה בסטטיסטיקה ובענפים יישומיים אחרים של מתמטיקה.
סוג אחר של רצף מספרים הוא גיאומטרי
התקדמות גיאומטרית מאופיינת בקצב שינוי גדול בהשוואה לאריתמטי. זה לא מקרי שבפוליטיקה, סוציולוגיה, רפואה, לעתים קרובות, כדי להראות את המהירות הגבוהה של התפשטות תופעה מסוימת, למשל, מחלה בזמן מגיפה, אומרים שהתהליך מתפתח באופן אקספוננציאלי.
האיבר ה-N של סדרת המספרים הגיאומטרית שונה מהקודם בכך שהוא מוכפל במספר קבוע כלשהו - המכנה, למשל, האיבר הראשון הוא 1, המכנה הוא 2, בהתאמה, ואז:
n=1: 1 ∙ 2 = 2
n=2: 2 ∙ 2 = 4
n=3: 4 ∙ 2 = 8
n=4: 8 ∙ 2 = 16
n=5: 16 ∙ 2 = 32,
b n - הערך של האיבר הנוכחי של ההתקדמות הגיאומטרית;
b n+1 - הנוסחה של האיבר הבא של ההתקדמות הגיאומטרית;
q הוא המכנה של התקדמות גיאומטרית (מספר קבוע).
אם הגרף של התקדמות אריתמטית הוא קו ישר, אז הגרף הגיאומטרי מצייר תמונה מעט שונה:
כמו במקרה של אריתמטיקה, להתקדמות גיאומטרית יש נוסחה לערך של איבר שרירותי. כל איבר n-ה של התקדמות גיאומטרית שווה למכפלת האיבר הראשון ולמכנה ההתקדמות בחזקת n מופחת באחד:
דוגמא. יש לנו התקדמות גיאומטרית כשהאיבר הראשון שווה ל-3 והמכנה של ההתקדמות שווה ל-1.5. מצא את האיבר החמישי של ההתקדמות
b 5 \u003d b 1 ∙ q (5-1) \u003d 3 ∙ 1.5 4 \u003d 15.1875
הסכום של מספר נתון של איברים מחושב גם הוא באמצעות נוסחה מיוחדת. הסכום של n האיברים הראשונים של התקדמות גיאומטרית שווה להפרש בין המכפלה של האיבר ה-n של ההתקדמות והמכנה שלו לבין האיבר הראשון של ההתקדמות, חלקי המכנה המופחת באחד:
אם b n מוחלף באמצעות הנוסחה שנדונה לעיל, הערך של סכום n האיברים הראשונים בסדרת המספרים הנחשבת יקבל את הצורה:
דוגמא. ההתקדמות הגיאומטרית מתחילה באיבר הראשון השווה ל-1. המכנה מוגדר שווה ל-3. בוא נמצא את סכום שמונת האיברים הראשונים.
s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280
במתמטיקה, כל אוסף של מספרים המאורגנים בצורה כלשהי העוקבים זה אחר זה נקרא רצף. מבין כל רצפי המספרים הקיימים, מובחנים שני מקרים מעניינים: התקדמות אלגברית וגאומטרית.
מהי התקדמות אריתמטית?
יש לומר מיד כי התקדמות אלגברית נקראת לעתים קרובות אריתמטיקה, שכן תכונותיה נלמדות על ידי ענף של מתמטיקה - אריתמטיקה.
התקדמות זו היא רצף של מספרים שבו כל איבר הבא שונה מהקודם במספר קבוע כלשהו. זה נקרא ההבדל של ההתקדמות האלגברית. ליתר ביטחון, אנו מציינים זאת באות הלטינית ד.
דוגמה לרצף כזה יכולה להיות: 3, 5, 7, 9, 11 ..., כאן אתה יכול לראות שהמספר 5 הוא יותר מ-3 על 2, 7 הוא גם יותר מ-5 על 2, וכך עַל. אז בדוגמה המוצגת, d = 5-3 = 7-5 = 9-7 = 11-9 = 2.
מהן התקדמות אריתמטית?
טבעם של רצפי המספרים המסודרים הללו נקבע במידה רבה על ידי הסימן של המספר ד. לְהַקְצוֹת הסוגים הבאיםהתקדמות אלגברית:
- עולה כאשר d חיובי (d>0);
- קבוע כאשר d = 0;
- פוחת כאשר d הוא שלילי (ד<0).
הדוגמה בפסקה הקודמת מראה התקדמות הולכת וגוברת. דוגמה לרצף יורד הוא רצף המספרים הבא: 10, 5, 0, -5, -10, -15 ... התקדמות קבועה, כפועל יוצא מהגדרתו, היא אוסף של מספרים זהים.
חבר n בהתקדמות
בשל העובדה שכל מספר עוקב בהתקדמות הנבדקת שונה ב-d קבוע מהקודם, ניתן לקבוע בקלות את האיבר ה-n שלו. כדי לעשות זאת, אתה צריך לדעת לא רק d, אלא גם 1 - החבר הראשון של ההתקדמות. באמצעות גישה רקורסיבית, ניתן לקבל נוסחת התקדמות אלגברית למציאת האיבר ה-n. זה נראה כך: a n = a 1 + (n-1)*d. הנוסחה הזו די פשוטה, ואתה יכול להבין אותה ברמה אינטואיטיבית.
זה גם לא קשה להשתמש בו. לדוגמה, בהתקדמות המוצגת למעלה (d=2, a 1 =3), בואו נגדיר את האיבר ה-35 שלו. על פי הנוסחה, זה יהיה שווה ל: 35 \u003d 3 + (35-1) * 2 \u003d 71.
נוסחה לסכום
כאשר ניתן התקדמות אריתמטית, סכום ה-n האיברים הראשונים שלו הוא בעיה הנפוצה, יחד עם קביעת הערך של האיבר ה-n. הנוסחה לסכום של התקדמות אלגברית כתובה באופן הבא: ∑ n 1 \u003d n * (a 1 + a n) / 2, כאן הסמל ∑ n 1 מציין שהאיברים ה-1 עד ה-n מסוכמים.
ניתן להשיג את הביטוי הנ"ל על ידי פנייה למאפיינים של אותה רקורסיה, אך ישנה דרך קלה יותר להוכיח את תקפותו. נרשום את 2 האיברים הראשונים ו-2 האחרונים של הסכום הזה, נבטא אותם במספרים a 1, a n ו-d, ונקבל: a 1, a 1 +d,...,a n -d, a n . עכשיו שימו לב שאם תוסיפו את האיבר הראשון לאחרון, אז הוא יהיה שווה בדיוק לסכום האיבר השני והלפני אחרון, כלומר a 1 + a n. באופן דומה ניתן להראות שניתן לקבל את אותו סכום על ידי הוספת האיבר השלישי והלפני אחרון וכו'. במקרה של זוג מספרים ברצף, נקבל n/2 סכומים שכל אחד מהם שווה ל-a 1 +a n. כלומר, נקבל את הנוסחה לעיל להתקדמות האלגברית עבור הסכום: ∑ n 1 = n*(a 1 +a n)/2.
עבור מספר לא מזווג של איברים n, נוסחה דומה מתקבלת אם נעקוב אחר ההיגיון לעיל. רק זכרו להוסיף את המונח הנותר, שנמצא במרכז ההתקדמות.
נראה כיצד להשתמש בנוסחה לעיל באמצעות הדוגמה של התקדמות פשוטה שהוצגה לעיל (3, 5, 7, 9, 11 ...). לדוגמה, עליך לקבוע את הסכום של 15 המונחים הראשונים שלו. ראשית, בוא נגדיר 15 . באמצעות הנוסחה עבור המונח ה-n (ראה הפסקה הקודמת), נקבל: a 15 \u003d a 1 + (n-1) * d \u003d 3 + (15-1) * 2 \u003d 31. עכשיו אתה יכול להגיש בקשה הנוסחה לסכום של התקדמות אלגברית: ∑ 15 1 = 15*(3+31)/2 = 255.
מעניין לצטט עובדה היסטורית מעניינת. הנוסחה לסכום של התקדמות אריתמטית התקבלה לראשונה על ידי קרל גאוס (המתמטיקאי הגרמני המפורסם של המאה ה-18). כשהיה רק בן 10, המורה ביקשה מהבעיה למצוא את סכום המספרים מ-1 עד 100. אומרים שגאוס הקטן פתר את הבעיה הזו תוך כמה שניות, וציין שעל ידי סיכום המספרים בזוגות מההתחלה ו בסוף הרצף, אתה תמיד יכול לקבל 101, ומכיוון שיש 50 סכומים כאלה, הוא נתן במהירות את התשובה: 50 * 101 = 5050.
דוגמה לפתרון בעיות
כהשלמה של נושא ההתקדמות האלגברית, ניתן דוגמה לפתרון בעיה מוזרה נוספת, ובכך לגבש את ההבנה של הנושא הנדון. תן קצת התקדמות, שעבורה ידוע ההפרש d = -3, כמו גם האיבר ה-35 שלו a 35 = -114. יש צורך למצוא את החבר השביעי של ההתקדמות a 7.
כפי שניתן לראות ממצב הבעיה, הערך של 1 אינו ידוע, ולכן לא ניתן להשתמש בנוסחה של האיבר ה-n ישירות. כמו כן, שיטת הרקורסיה אינה נוחה, שקשה ליישם אותה באופן ידני, וקיימת סבירות גבוהה לטעות. הבה נמשיך כדלקמן: אנו כותבים את הנוסחאות עבור a 7 ו- 35, יש לנו: a 7 \u003d a 1 + 6 * d ו- 35 \u003d a 1 + 34 * ד. החסר את הביטוי השני מהביטוי הראשון, נקבל: a 7 - a 35 \u003d a 1 + 6 * d - a 1 - 34 * ד. מהמקום הבא: a 7 \u003d a 35 - 28 * ד. נותר להחליף את הנתונים הידועים ממצב הבעיה ולרשום את התשובה: 7 \u003d -114 - 28 * (-3) \u003d -30.
התקדמות גיאומטרית
כדי לחשוף את נושא המאמר בצורה מלאה יותר, אנו נותנים תיאור קצר של סוג אחר של התקדמות - גיאומטרי. במתמטיקה, שם זה מובן כרצף של מספרים שבו כל איבר שלאחר מכן שונה מהקודם בגורם כלשהו. נסמן גורם זה באות r. זה נקרא המכנה של סוג ההתקדמות הנבדקת. דוגמה לרצף המספרים הזה תהיה: 1, 5, 25, 125, ...
כפי שניתן לראות מההגדרה לעיל, התקדמות אלגברית וגאומטרית דומות ברעיון שלהן. ההבדל ביניהם הוא שהראשון משתנה לאט יותר מהשני.
התקדמות גיאומטרית יכולה להיות גם עולה, קבועה ויורדת. הסוג שלו תלוי בערך המכנה r: אם r>1, אז יש התקדמות הולכת וגוברת, אם r<1 - убывающая, наконец, если r = 1 - постоянная, которая в этом случае может также называться постоянной арифметической прогрессией.
נוסחאות של התקדמות גיאומטרית
כמו במקרה של אלגברי, הנוסחאות של התקדמות גיאומטרית מצטמצמות להגדרת האיבר ה-n שלה ולסכום של n איברים. להלן הביטויים הבאים:
- a n = a 1 * r (n-1) - נוסחה זו נובעת מההגדרה של התקדמות גיאומטרית.
- ∑ n 1 \u003d a 1 * (r n -1) / (r-1). חשוב לציין שאם r = 1, אז הנוסחה לעיל נותנת אי ודאות, ולכן לא ניתן להשתמש בה. במקרה זה, הסכום של n איברים יהיה שווה למכפלה הפשוטה a 1 *n.
לדוגמה, בוא נמצא את הסכום של 10 איברים בלבד ברצף 1, 5, 25, 125, ... בידיעה ש-a 1 = 1 ו-r = 5, נקבל: ∑ 10 1 = 1*(5 10 -1 )/4 = 2441406. הערך המתקבל הוא דוגמה ברורה לכמה מהר גדלה התקדמות גיאומטרית.
אולי האזכור הראשון של התקדמות זו בהיסטוריה הוא האגדה עם לוח שחמט, כאשר חבר של סולטן אחד, לאחר שלימד אותו לשחק שח, ביקש תבואה עבור שירותו. יתר על כן, כמות הדגן הייתה צריכה להיות כדלקמן: על התא הראשון של לוח השחמט יש צורך לשים גרגר אחד, על השני פי שניים מהראשון, בשלישי פי 2 יותר מאשר על השני, וכן בקרוב. הסולטאן נענה ברצון לבקשה זו, אך הוא לא ידע שיצטרך לרוקן את כל פחי ארצו כדי לעמוד במילתו.