כוח של מספר עם מעריך טבעי n. כוח של מספר עם מעריך טבעי

אני.עֲבוֹדָה נגורמים, שכל אחד מהם שווה ל אשקוראים לו נהחזקה של מספר אומסומן אנ.

דוגמאות. כתוב את המוצר כתואר.

1) ממממ; 2) aaabb; 3) 5 5 5 5 סמ"ק; 4) ppkk+ppppk-ppkkk.

פִּתָרוֹן.

1) mmmm=m 4, שכן, לפי הגדרת התואר, מכפלה של ארבעה גורמים, שכל אחד מהם שווה ל M, יהיה החזקה הרביעית של m.

2) aaabb=a 3 b 2; 3) 5 5 5 5 ccc=5 4 c 3 ; 4) ppkk+pppk-ppkkk=p 2 k 2 +p 3 k-p 2 k 3 .

II.הפעולה שבה נמצא המכפלה של מספר גורמים שווים נקראת אקספוננציה. המספר שמועלה לחזקה נקרא בסיס החזקה. המספר שמציין לאיזה כוח מורם הבסיס נקרא מעריך. כך, אנ- תואר, א- בסיס התואר נ- מעריך. לדוגמה:

2 3 — זה תואר. מספר 2 - בסיס התואר, המעריך שווה 3 . ערך תואר 2 3 שווים 8, כי 2 3 =2 2 2=8.

דוגמאות. כתוב את הביטויים הבאים ללא המעריך.

5) 4 3; 6) a 3 b 2 c 3; 7) a 3 -b 3; 8) 2a 4 +3b 2 .

פִּתָרוֹן.

5) 4 3 = 4 4 4 ; 6) a 3 b 2 c 3 = aaabbccc; 7) a 3 -b 3 = aaa-bbb; 8) 2a 4 +3b 2 = 2aaaa+3bb.

III.ו-0 =1 כל מספר (למעט אפס) בחזקת אפס שווה לאחד. לדוגמה, 25 0 =1.
IV. a 1 = אכל מספר בחזקת ראשון שווה לעצמו.

v.א מ∙ א n= א מ + נ כאשר מכפילים כוחות עם אותם נימוקיםהבסיס נשאר זהה, והאינדיקטורים להוסיף.

דוגמאות. לפשט:

9) a a 3 a 7; 10) b 0 +b 2 b 3; 11) c 2 c 0 c c 4 .

פִּתָרוֹן.

9) א 3 עד 7=a 1+3+7 =a 11 ; 10) b 0 +b 2 b 3 = 1+b 2+3 =1+b 5 ;

11) c 2 c 0 c c 4 = 1 c 2 c c 4 \u003d c 2+1+4 \u003d c 7 .

VI.א מ: א n= א מ - נכאשר מחלקים חזקה עם אותו בסיס, הבסיס נשאר זהה, והמעריך של המחלק מופחת מהמעריך של הדיבידנד.

דוגמאות. לפשט:

12) a 8: a 3; 13) m11:m4; 14) 5 6:5 4 .

12) א 8: א 3=a 8-3 =a 5; 13) m11:m4=m 11-4 =m 7; 14 ) 5 6:5 4 =5 2 =5 5=25.

VII. (א מ) נ= amn כאשר מעלים כוח לחזקה, הבסיס נשאר זהה, והמעריכים מוכפלים.

דוגמאות. לפשט:

15) (א 3) 4 ; 16) (ס 5) 2.

15) (א 3) 4=a 3 4 =a 12; 16) (ג 5) 2=c 5 2 =c 10 .

הערה, שמכיוון שהמוצר אינו משתנה משינוי של גורמים, זֶה:

15) (א 3) 4 \u003d (א 4) 3; 16) (ג 5) 2 =(ג 2) 5 .

Vאני II. (a ∙ b) n =a n ∙ b n כאשר מעלים מוצר לעוצמה, כל אחד מהגורמים מועלה לעוצמה זו.

שלב ראשון

תואר ותכונותיו. מדריך מקיף (2019)

למה צריך תארים? איפה אתה צריך אותם? למה אתה צריך להשקיע זמן בלימוד אותם?

כדי ללמוד הכל על תארים, למה הם מיועדים, איך להשתמש בידע שלך חיי היום - יוםלקרוא את המאמר הזה.

וכמובן, ידיעת התארים תקרב אותך למצליח עובר את OGEאו בחינת המדינה המאוחדת ולהיכנס לאוניברסיטת חלומותיך.

בוא נלך בוא נלך!)

הערה חשובה! אם במקום נוסחאות אתה רואה ג'יבריש, נקה את המטמון שלך. כדי לעשות זאת, הקש CTRL+F5 (ב-Windows) או Cmd+R (ב-Mac).

שלב ראשון

אקספוננציה היא אותה פעולה מתמטית כמו חיבור, חיסור, כפל או חילוק.

עכשיו אני אסביר הכל בשפה אנושית מאוד דוגמאות פשוטות. הזהר. דוגמאות הן אלמנטריות, אבל מסבירות דברים חשובים.

נתחיל בתוספת.

אין כאן מה להסביר. אתה כבר יודע הכל: אנחנו שמונה. לכל אחד יש שני בקבוקי קולה. כמה קולה? נכון - 16 בקבוקים.

עכשיו כפל.

את אותה דוגמה עם קולה אפשר לכתוב בצורה אחרת: . מתמטיקאים הם אנשים ערמומיים ועצלנים. תחילה הם מבחינים בכמה דפוסים, ואז מוצאים דרך "לספור" אותם מהר יותר. במקרה שלנו, הם שמו לב שלכל אחד משמונת האנשים יש את אותו מספר של בקבוקי קולה והגיעו עם טכניקה שנקראת כפל. מסכים, זה נחשב קל ומהיר יותר מאשר.


אז, כדי לספור מהר יותר, קל יותר וללא שגיאות, אתה רק צריך לזכור לוח הכפל. כמובן, אתה יכול לעשות הכל יותר לאט, קשה יותר ועם טעויות! אבל…

הנה לוח הכפל. חזור.

ועוד אחד, יותר יפה:

ואיזה עוד תחבולות ספירה מסובכות העלו מתמטיקאים עצלנים? ימין - העלאת מספר לחזקה.

העלאת מספר לעוצמה

אם אתה צריך להכפיל מספר בפני עצמו חמש פעמים, אז מתמטיקאים אומרים שאתה צריך להעלות את המספר הזה לחזקה חמישית. לדוגמה, . מתמטיקאים זוכרים שכוח שני עד חמישי הוא. והם פותרים בעיות כאלה בראש שלהם - מהר יותר, קל יותר וללא שגיאות.

כדי לעשות זאת, אתה רק צריך זכור מה מודגש בצבע בטבלת החזקות של מספרים. תאמין לי, זה יעשה לך את החיים הרבה יותר קלים.

אגב, למה נקראת התואר השני כיכרמספרים, והשלישי קוּבִּיָה? מה זה אומר? מאוד שאלה טובה. עכשיו יהיו לך גם ריבועים וגם קוביות.

דוגמה מס' 1 לחיים האמיתיים

נתחיל בריבוע או בחזקת שנייה של מספר.

דמיינו לעצמכם בריכה מרובעת בגודל מטר על מטר. הבריכה נמצאת בחצר האחורית שלך. חם ואני ממש רוצה לשחות. אבל ... בריכה ללא תחתית! יש צורך לכסות את קרקעית הבריכה באריחים. כמה אריחים אתה צריך? כדי לקבוע זאת, אתה צריך לדעת את השטח של קרקעית הבריכה.

אפשר פשוט לספור על ידי דחיפה באצבע שתחתית הבריכה מורכבת מקוביות מטר אחר מטר. אם האריחים שלך הם מטר על מטר, תצטרך חתיכות. זה קל... אבל איפה ראית אריח כזה? האריח יהיה דווקא ס"מ על ס"מ. ואז תתייסר ב"ספירה באצבע". אז צריך להכפיל. לכן, בצד אחד של קרקעית הבריכה נתאים אריחים (חתיכות) וגם בצד השני אריחים. מכפילים בפי, מקבלים אריחים ().

שמתם לב שהכפלנו את אותו מספר בעצמו כדי לקבוע את שטח קרקעית הבריכה? מה זה אומר? מכיוון שאותו מספר מוכפל, נוכל להשתמש בטכניקת האקספונציה. (כמובן, כשיש לך רק שני מספרים, אתה עדיין צריך להכפיל אותם או להעלות אותם לחזקה. אבל אם יש לך הרבה מהם, אז העלאה לחזקה היא הרבה יותר קלה ויש גם פחות שגיאות בחישובים לבחינה זה חשוב מאוד).
אז, שלושים לתואר השני יהיו (). או שאתה יכול לומר ששלושים בריבוע יהיו. במילים אחרות, החזקה השנייה של מספר תמיד יכולה להיות מיוצגת כריבוע. ולהיפך, אם אתה רואה ריבוע, זה תמיד החזקה השנייה של מספר כלשהו. ריבוע הוא תמונה בחזקת השנייה של מספר.

דוגמה מהחיים האמיתיים מס' 2

הנה משימה עבורכם, ספרו כמה משבצות יש על לוח השחמט באמצעות הריבוע של המספר... בצד אחד של התאים וגם בצד השני. כדי לספור את מספרם, אתה צריך להכפיל שמונה בשמונה, או ... אם אתה שם לב שלוח שחמט הוא ריבוע עם צד, אז אתה יכול בריבוע שמונה. קבל תאים. () כך?

דוגמה מס' 3 מהחיים האמיתיים

כעת הקובייה או החזקה השלישית של מספר. אותה בריכה. אבל עכשיו אתה צריך לגלות כמה מים יהיה צורך לשפוך לתוך הבריכה הזו. אתה צריך לחשב את הנפח. (נפחים ונוזלים, אגב, נמדדים ב מטר מעוקב. באופן בלתי צפוי, נכון?) ציירו בריכה: תחתית בגודל של מטר ובעומק מטר ונסו לחשב כמה קוביות מטר על מטר בסך הכל ייכנסו לבריכה שלכם.

רק להצביע באצבע ולספור! אחת, שתיים, שלוש, ארבע... עשרים ושתיים, עשרים ושלושה... כמה זה יצא? לא הלכת לאיבוד? קשה לספור עם האצבע? אז זה! קח דוגמה ממתמטיקאים. הם עצלנים ולכן שמו לב שכדי לחשב את נפח הבריכה צריך להכפיל זה בזה את אורכה, רוחבה וגובהה. במקרה שלנו, נפח הבריכה יהיה שווה לקוביות... יותר קל, נכון?

עכשיו תארו לעצמכם כמה מתמטיקאים עצלנים וערמומיים הם אם הם עושים את זה קל מדי. צמצם הכל לפעולה אחת. הם שמו לב שהאורך, הרוחב והגובה שווים ושאותו מספר מוכפל בעצמו... ומה זה אומר? זה אומר שאתה יכול להשתמש בתואר. אז מה שפעם ספרתם באצבע, הם עושים בפעולה אחת: שלוש בקובייה זהות. זה כתוב כך:

נשאר רק לשנן את טבלת התארים. אלא אם כן, כמובן, אתה עצלן וערמומי כמו מתמטיקאים. אם אתה אוהב לעבוד קשה ולעשות טעויות, אתה יכול להמשיך לספור עם האצבע.

ובכן, על מנת לשכנע אותך סוף סוף שתארים הומצאו על ידי לופרים ואנשים ערמומיים כדי לפתור את בעיות החיים שלהם, ולא כדי ליצור עבורך בעיות, הנה עוד כמה דוגמאות מהחיים.

דוגמה בחיים האמיתיים מס' 4

יש לך מיליון רובל. בתחילת כל שנה אתה מרוויח עוד מיליון על כל מיליון. כלומר, כל אחד מהמיליון שלך בתחילת כל שנה מוכפל. כמה כסף יהיה לך בעוד שנים? אם אתה עכשיו יושב ו"סופר באצבע", אז אתה אדם מאוד חרוץ ו.. טיפש. אבל סביר להניח שתתן תשובה תוך כמה שניות, כי אתה חכם! אז, בשנה הראשונה - פעמיים פעמיים ... בשנה השנייה - מה קרה, בעוד שניים, בשנה השלישית ... תפסיק! שמתם לב שהמספר מוכפל בעצמו פעם אחת. אז שניים עד חמישית זה מיליון! עכשיו דמיינו שיש לכם תחרות ומי שיחשב יותר מהר יקבל את המיליונים האלה... האם כדאי לזכור את דרגות המספרים, מה דעתכם?

דוגמה מס' 5 מהחיים האמיתיים

יש לך מיליון. בתחילת כל שנה אתה מרוויח שניים נוספים על כל מיליון. זה מעולה נכון? כל מיליון גדל פי שלושה. כמה כסף יהיה לך בשנה? בוא נספור. בשנה הראשונה - תכפילו, ואז התוצאה בעוד... זה כבר משעמם, כי כבר הבנתם הכל: שלוש מוכפל בעצמו פעמים. אז החזקה הרביעית היא מיליון. אתה רק צריך לזכור ששלוש עד החזקה היא או.

עכשיו אתה יודע שעל ידי העלאת מספר לעוצמה, אתה תעשה את החיים שלך הרבה יותר קלים. בואו נסתכל עוד על מה אתה יכול לעשות עם תארים ומה אתה צריך לדעת עליהם.

מונחים ומושגים... כדי לא להתבלבל

אז, ראשית, בואו נגדיר את המושגים. מה אתה חושב, מה זה אקספוננט? זה מאוד פשוט – זה המספר שנמצא "בראש" בחזקת המספר. לא מדעי, אבל ברור וקל לזכור...

ובכן, במקביל, מה בסיס כזה של תואר? פשוט יותר הוא המספר שנמצא בתחתית, בבסיס.

הנה תמונה בשבילך כדי להיות בטוח.

טוב ובפנים השקפה כלליתלהכליל ולזכור טוב יותר... תואר עם בסיס "" ומעריך "" נקרא כ"לדרגה" ונכתב כך:

כוח של מספר עם מעריך טבעי

בטח כבר ניחשתם: כי המעריך הוא מספר טבעי. כן, אבל מה כן מספר טבעי? יְסוֹדִי! מספרים טבעיים הם אלה המשמשים בספירה בעת רישום פריטים: אחד, שניים, שלושה ... כאשר אנו סופרים פריטים, אנו לא אומרים: "מינוס חמש", "מינוס שש", "מינוס שבע". אנחנו גם לא אומרים "שליש" או "אפס נקודה חמש עשיריות". אלו לא מספרים טבעיים. מה לדעתך המספרים האלה?

מספרים כמו "מינוס חמש", "מינוס שש", "מינוס שבע" מתייחסים מספרים שלמים.באופן כללי, מספרים שלמים כוללים את כל המספרים הטבעיים, מספרים הפוכים למספרים טבעיים (כלומר, נלקחים עם סימן מינוס), ומספר. קל להבין את אפס - זה כשאין כלום. ומה המשמעות של מספרים שליליים ("מינוס")? אבל הם הומצאו בעיקר כדי לציין חובות: אם יש לך יתרה בטלפון שלך ברובלים, זה אומר שאתה חייב רובל למפעיל.

כל השברים הם מספרים רציונליים. איך הם הגיעו, אתה חושב? פשוט מאוד. לפני כמה אלפי שנים גילו אבותינו שאין להם מספיק מספרים טבעיים למדידת אורך, משקל, שטח וכו'. והם הגיעו עם מספר רציונלי... מעניין, לא?

יש גם מספרים אי-רציונליים. מה זה המספרים האלה? בקיצור, אין סוף נקודה. לדוגמה, אם מחלקים את היקף המעגל בקוטר שלו, תקבל מספר אי-רציונלי.

סיכום:

נגדיר את מושג התואר, שהמעריך שלו הוא מספר טבעי (כלומר, מספר שלם וחיובי).

  1. כל מספר בחזקת ראשון שווה לעצמו:
  2. ריבוע של מספר זה להכפיל אותו בעצמו:
  3. להכפיל מספר בקובייה זה להכפיל אותו בעצמו שלוש פעמים:

הַגדָרָה.להעלות מספר לחזקה טבעית זה להכפיל את המספר בעצמו פעמים:
.

מאפייני תואר

מאיפה הגיעו הנכסים האלה? אני אראה לך עכשיו.

בוא נראה מה זה ו ?

A-priory:

כמה מכפילים יש בסך הכל?

זה מאוד פשוט: הוספנו גורמים לגורמים, והתוצאה היא גורמים.

אבל בהגדרה, זו המדרגה של מספר עם מעריך, כלומר: , שנדרשה להוכחה.

דוגמא: פשט את הביטוי.

פִּתָרוֹן:

דוגמא:פשט את הביטוי.

פִּתָרוֹן:חשוב לציין שבכלל שלנו בהכרחחייבת להיות אותה סיבה!
לכן, אנו משלבים את המעלות עם הבסיס, אך נשארים גורם נפרד:

רק עבור תוצרי כוחות!

בשום פנים ואופן אסור לכתוב את זה.

2. כלומר -חזק של מספר

בדיוק כמו במאפיין הקודם, נעבור להגדרת התואר:

מסתבר שהביטוי מוכפל בעצמו פעם אחת, כלומר לפי ההגדרה זהו החזקה של המספר:

למעשה, זה יכול להיקרא "התאמת המחוון". אבל אתה אף פעם לא יכול לעשות את זה בסך הכל:

נזכיר את הנוסחאות לכפל מקוצר: כמה פעמים רצינו לכתוב?

אבל זה לא נכון, באמת.

תואר עם בסיס שלילי

עד לנקודה זו, דנו רק במה צריך להיות המעריך.

אבל מה צריך להיות הבסיס?

במעלות מ אינדיקטור טבעיהבסיס עשוי להיות כל מספר. אכן, אנו יכולים להכפיל כל מספר זה בזה, בין אם הם חיוביים, שליליים או זוגיים.

בואו נחשוב לאילו סימנים (" או "") יהיו דרגות של מספרים חיוביים ושליליים?

לדוגמה, האם המספר יהיה חיובי או שלילי? א? ? עם הראשון, הכל ברור: לא משנה כמה מספרים חיובייםלא הכפלנו אחד את השני, התוצאה תהיה חיובית.

אבל השליליים קצת יותר מעניינים. אחרי הכל, אנו זוכרים כלל פשוט מכיתה ו': "מינוס כפול מינוס נותן פלוס". כלומר, או. אבל אם נכפיל, מסתבר.

קבע בעצמך איזה סימן יהיו לביטויים הבאים:

1) 2) 3)
4) 5) 6)

הסתדרת?

הנה התשובות: בארבע הדוגמאות הראשונות, אני מקווה שהכל ברור? אנחנו פשוט מסתכלים על הבסיס והמעריך, ומיישמים את הכלל המתאים.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

בדוגמה 5), הכל גם לא מפחיד כמו שזה נראה: זה לא משנה למה שווה הבסיס - המידה היא זוגית, מה שאומר שהתוצאה תמיד תהיה חיובית.

ובכן, למעט כאשר הבסיס הוא אפס. הבסיס לא זהה, נכון? ברור שלא, שכן (כי).

דוגמה 6) כבר לא כל כך פשוטה!

6 דוגמאות לתרגול

ניתוח הפתרון 6 דוגמאות

אם לא נשים לב למדרגה השמינית, מה אנחנו רואים כאן? בואו נסתכל על תכנית כיתה ז'. אז זכור? זוהי נוסחת הכפל המקוצר, כלומר הפרש הריבועים! אנחנו מקבלים:

אנו מסתכלים היטב על המכנה. זה נראה מאוד כמו אחד מגורמי המונה, אבל מה רע? סדר תנאים שגוי. אם הם יוחלפו, הכלל יכול לחול.

אבל איך לעשות את זה? מסתבר שזה מאוד קל: המדרגה הזוגית של המכנה עוזרת לנו כאן.

המונחים שינו מקומות בצורה קסומה. "תופעה" זו חלה על כל ביטוי במידה שווה: אנו יכולים לשנות באופן חופשי את הסימנים בסוגריים.

אבל חשוב לזכור: כל הסימנים משתנים בו זמנית!

נחזור לדוגמא:

ושוב הנוסחה:

כֹּלאנו קוראים למספרים הטבעיים, את ההפכים שלהם (כלומר, בסימן "") ואת המספר.

מספר שלם חיובי, וזה לא שונה מטבעי, אז הכל נראה בדיוק כמו בסעיף הקודם.

עכשיו בואו נסתכל על מקרים חדשים. נתחיל עם מחוון השווה ל.

כל מספר בחזקת אפס שווה לאחד:

כמו תמיד, אנו שואלים את עצמנו: מדוע זה כך?

שקול קצת כוח עם בסיס. קח, למשל, והכפיל ב:

אז, הכפלנו את המספר ב-, וקיבלנו אותו הדבר שהיה -. באיזה מספר יש להכפיל כדי ששום דבר לא ישתנה? נכון, הלאה. אומר.

אנחנו יכולים לעשות את אותו הדבר עם מספר שרירותי:

בואו נחזור על הכלל:

כל מספר בחזקת אפס שווה לאחד.

אבל יש חריגים לכללים רבים. והנה זה גם שם - זה מספר (כבסיס).

מצד אחד, זה חייב להיות שווה בכל מעלה - לא משנה כמה מכפילים אפס בעצמו, עדיין מקבלים אפס, זה ברור. אבל מצד שני, כמו כל מספר בדרגת אפס, הוא חייב להיות שווה. אז מה האמת של זה? מתמטיקאים החליטו לא להתערב וסירבו להעלות אפס לחזקת אפס. כלומר, כעת נוכל לא רק לחלק באפס, אלא גם להעלות אותו לחזקת אפס.

בוא נלך רחוק יותר. בנוסף למספרים ומספרים טבעיים, מספרים שלמים כוללים מספרים שליליים. כדי להבין מהי דרגה שלילית, בואו נעשה אותו דבר כמו בפעם הקודמת: נכפיל מספר נורמלי כלשהו באותו ב דרגה שלילית:

מכאן כבר קל לבטא את הרצוי:

כעת אנו מרחיבים את הכלל המתקבל במידה שרירותית:

אז בואו ננסח את הכלל:

מספר בחזקת שלילי הוא היפוך של אותו מספר בחזקת חיובית. אבל באותו זמן הבסיס לא יכול להיות null:(כי אי אפשר לחלק).

בואו נסכם:

I. ביטוי אינו מוגדר במקרה. אם, אז.

II. כל מספר בחזקת אפס שווה לאחד: .

III. מספר שאינו שווה לאפס בחזקת שלילית הוא היפוך של אותו מספר בחזקת חיובית:.

משימות לפתרון עצמאי:

ובכן, כרגיל, דוגמאות לפתרון עצמאי:

ניתוח משימות לפתרון עצמאי:

אני יודע, אני יודע, המספרים מפחידים, אבל בבחינה אתה צריך להיות מוכן לכל דבר! פתרו את הדוגמאות הללו או נתחו את הפתרון שלהן אם לא הצלחתם לפתור אותה ותלמדו איך להתמודד איתן בקלות בבחינה!

בואו נמשיך להרחיב את טווח המספרים "המתאימים" כמעריך.

עכשיו תשקול מספר רציונלי.אילו מספרים נקראים רציונליים?

תשובה: כל מה שניתן לייצג כשבר, היכן והם מספרים שלמים, יתר על כן.

להבין מה זה "תואר חלקי"בואו ניקח בחשבון שבר:

בואו נעלה את שני הצדדים של המשוואה לחזקה:

עכשיו תזכרו את הכלל "תואר לתואר":

איזה מספר צריך להעלות לכוח כדי לקבל?

ניסוח זה הוא ההגדרה של שורש התואר.

תן לי להזכיר לך: שורש החזקה של מספר () הוא מספר שכאשר מועלה לחזקה, שווה.

כלומר, שורש התואר ה' הוא הפעולה ההפוכה של האקספונציה: .

מסתבר ש. ברור שזה מקרה מיוחדניתן להאריך: .

עכשיו הוסף את המונה: מה זה? קל לקבל את התשובה עם כלל כוח לכוח:

אבל האם הבסיס יכול להיות מספר כלשהו? אחרי הכל, לא ניתן לחלץ את השורש מכל המספרים.

אף אחד!

זכרו את הכלל: כל מספר שהועלה לחזקה זוגית הוא מספר חיובי. כלומר, אי אפשר לחלץ שורשים בדרגה זוגית ממספרים שליליים!

וזה אומר שאי אפשר להעלות מספרים כאלה לחזקה שברית עם מכנה זוגי, כלומר הביטוי לא הגיוני.

מה לגבי ביטוי?

אבל כאן נוצרת בעיה.

המספר יכול להיות מיוצג כשברים אחרים, מופחתים, למשל, או.

ומסתבר שזה קיים, אבל לא קיים, ואלה רק שני רשומות שונות מאותו מספר.

או דוגמה אחרת: פעם אחת, אז אתה יכול לרשום את זה. אבל ברגע שאנחנו כותבים את המחוון בצורה אחרת, אנחנו שוב נתקלים בצרות: (כלומר, קיבלנו תוצאה אחרת לגמרי!).

כדי להימנע מפרדוקסים כאלה, שקול רק מעריך בסיס חיובי עם מעריך שבר.

אז אם:

  • - מספר טבעי;
  • הוא מספר שלם;

דוגמאות:

עצמות עם מעריך רציונלי שימושיים מאוד להמרת ביטויים עם שורשים, למשל:

5 דוגמאות לתרגול

ניתוח 5 דוגמאות להדרכה

ובכן, עכשיו - הכי קשה. עכשיו ננתח תואר עם מעריך לא רציונלי.

כל הכללים והמאפיינים של תארים כאן זהים לחלוטין לאלו של תארים עם מעריך רציונלי, למעט

אכן, בהגדרה, מספרים אי-רציונליים הם מספרים שלא ניתן לייצג אותם כשבר, כאשר ו הם מספרים שלמים (כלומר, מספרים אי-רציונליים הם כולם מספרים ממשיים מלבד אלה רציונליים).

כשלומדים תארים עם אינדיקטור טבעי, שלם ורציונלי, בכל פעם המצאנו "תמונה", "אנלוגיה" מסוימת או תיאור במונחים מוכרים יותר.

לדוגמה, מעריך טבעי הוא מספר המוכפל בעצמו מספר פעמים;

...אפס כוח- זהו, כביכול, מספר שהוכפל בעצמו פעם אחת, כלומר, עדיין לא התחיל להכפיל אותו, מה שאומר שהמספר עצמו אפילו לא הופיע עדיין - לכן התוצאה היא רק "מספר ריק" מסוים , כלומר המספר;

...מעריך מספר שלם שלילי- זה כאילו התרחש "תהליך הפוך" מסוים, כלומר, המספר לא הוכפל בעצמו, אלא חולק.

אגב, המדע משתמש לעתים קרובות בתואר עם מעריך מורכב, כלומר, מעריך הוא אפילו לא מספר ממשי.

אבל בבית הספר, אנחנו לא חושבים על קשיים כאלה; תהיה לך הזדמנות להבין את המושגים החדשים האלה במכון.

לאן אנחנו בטוחים שתלך! (אם תלמד איך לפתור דוגמאות כאלה :))

לדוגמה:

תחליט בעצמך:

ניתוח פתרונות:

1. נתחיל עם הכלל הרגיל ממילא להעלאת תואר לדרגה:

עכשיו תסתכל על הציון. הוא מזכיר לך משהו? אנו זוכרים את הנוסחה לכפל מקוצר של הפרש הריבועים:

במקרה הזה,

מסתבר ש:

תשובה: .

2. אנו מביאים שברים במעריכים לאותה צורה: או שניהם עשרוניים או שניהם רגילים. אנחנו מקבלים, למשל:

תשובה: 16

3. שום דבר מיוחד, אנו מיישמים את המאפיינים הרגילים של מעלות:

שלב מתקדם

הגדרה של תואר

התואר הוא ביטוי של הצורה: , שבו:

  • — בסיס התואר;
  • - מעריך.

תואר עם מעריך טבעי (n = 1, 2, 3,...)

העלאת מספר בחזקת n הטבעית פירושה הכפלת המספר בעצמו פעמים:

הספק עם מעריך שלם (0, ±1, ±2,...)

אם המעריך הוא מספר שלם חיובימספר:

זִקפָּה לאפס כוח:

הביטוי הוא בלתי מוגדר, כי מצד אחד, בכל דרגה זה, ומצד שני, כל מספר במעלה ה' הוא זה.

אם המעריך הוא מספר שלם שלילימספר:

(כי אי אפשר לחלק).

עוד פעם אחת על nulls: הביטוי אינו מוגדר בתיק. אם, אז.

דוגמאות:

תואר עם מעריך רציונלי

  • - מספר טבעי;
  • הוא מספר שלם;

דוגמאות:

מאפייני תואר

כדי להקל על פתרון בעיות, בואו ננסה להבין: מהיכן הגיעו התכונות הללו? בואו נוכיח אותם.

בוא נראה: מה זה ו?

A-priory:

אז, בצד ימין של ביטוי זה, מתקבל המוצר הבא:

אבל בהגדרה, זהו חזקה של מספר עם מעריך, כלומר:

Q.E.D.

דוגמא : פשט את הביטוי.

פִּתָרוֹן : .

דוגמא : פשט את הביטוי.

פִּתָרוֹן : חשוב לציין שבכלל שלנו בהכרחחייב להיות אותו בסיס. לכן, אנו משלבים את המעלות עם הבסיס, אך נשארים גורם נפרד:

הערה חשובה נוספת: כלל זה - רק עבור תוצרי סמכויות!

בשום פנים ואופן אסור לי לכתוב את זה.

בדיוק כמו במאפיין הקודם, נעבור להגדרת התואר:

בואו נסדר את זה מחדש כך:

מסתבר שהביטוי מוכפל בעצמו פעם אחת, כלומר, לפי ההגדרה, זהו החזקה של המספר:

למעשה, זה יכול להיקרא "התאמת המחוון". אבל אתה אף פעם לא יכול לעשות את זה בסך הכל:!

נזכיר את הנוסחאות לכפל מקוצר: כמה פעמים רצינו לכתוב? אבל זה לא נכון, באמת.

כוח עם בסיס שלילי.

עד לנקודה זו, דנו רק במה שצריך להיות אינדקסתוֹאַר. אבל מה צריך להיות הבסיס? במעלות מ טִבעִי אינדיקטור הבסיס עשוי להיות כל מספר .

אכן, אנו יכולים להכפיל כל מספר זה בזה, בין אם הם חיוביים, שליליים או זוגיים. בואו נחשוב לאילו סימנים ("" או "") יהיו דרגות של מספרים חיוביים ושליליים?

לדוגמה, האם המספר יהיה חיובי או שלילי? א? ?

עם הראשון, הכל ברור: לא משנה כמה מספרים חיוביים נכפיל זה עם זה, התוצאה תהיה חיובית.

אבל השליליים קצת יותר מעניינים. אחרי הכל, אנו זוכרים כלל פשוט מכיתה ו': "מינוס כפול מינוס נותן פלוס". כלומר, או. אבל אם נכפיל ב-(), נקבל -.

וכך הלאה עד אינסוף: עם כל כפל עוקב, הסימן ישתנה. אפשר לנסח כזה כללים פשוטים:

  1. אֲפִילוּתואר, - מספר חִיוּבִי.
  2. מספר שלילי הועלה ל מוזרתואר, - מספר שלילי.
  3. מספר חיובי בכל חזקה הוא מספר חיובי.
  4. אפס בכל חזקה שווה לאפס.

קבע בעצמך איזה סימן יהיו לביטויים הבאים:

1. 2. 3.
4. 5. 6.

הסתדרת? הנה התשובות:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

בארבע הדוגמאות הראשונות, אני מקווה שהכל ברור? אנחנו פשוט מסתכלים על הבסיס והמעריך, ומיישמים את הכלל המתאים.

בדוגמה 5), הכל גם לא מפחיד כמו שזה נראה: זה לא משנה למה שווה הבסיס - המידה היא זוגית, מה שאומר שהתוצאה תמיד תהיה חיובית. ובכן, למעט כאשר הבסיס הוא אפס. הבסיס לא זהה, נכון? ברור שלא, שכן (כי).

דוגמה 6) כבר לא כל כך פשוטה. כאן אתה צריך לגלות מה פחות: או? אם אתה זוכר את זה, זה מתברר שזה, כלומר הבסיס הוא פחות מאפס. כלומר, אנו מיישמים כלל 2: התוצאה תהיה שלילית.

ושוב אנו משתמשים בהגדרה של תואר:

הכל כרגיל - אנחנו רושמים את הגדרת התארים ומחלקים אותם זה לזה, מחלקים אותם לזוגות ומקבלים:

לפני שננתח את הכלל האחרון, בואו נפתור כמה דוגמאות.

חשב את ערכי הביטויים:

פתרונות :

אם לא נשים לב למדרגה השמינית, מה אנחנו רואים כאן? בואו נסתכל על תכנית כיתה ז'. אז זכור? זוהי נוסחת הכפל המקוצר, כלומר הפרש הריבועים!

אנחנו מקבלים:

אנו מסתכלים היטב על המכנה. זה נראה מאוד כמו אחד מגורמי המונה, אבל מה רע? סדר תנאים שגוי. אם הם היו הפוכים, ניתן היה ליישם כלל 3. אבל איך עושים זאת? מסתבר שזה מאוד קל: המדרגה הזוגית של המכנה עוזרת לנו כאן.

אם תכפיל את זה בשום דבר לא ישתנה, נכון? אבל עכשיו זה נראה ככה:

המונחים שינו מקומות בצורה קסומה. "תופעה" זו חלה על כל ביטוי במידה שווה: אנו יכולים לשנות באופן חופשי את הסימנים בסוגריים. אבל חשוב לזכור: כל הסימנים משתנים בו זמנית!לא ניתן להחליף אותו בשינוי רק מינוס אחד מעורר התנגדות עבורנו!

נחזור לדוגמא:

ושוב הנוסחה:

אז עכשיו הכלל האחרון:

איך אנחנו הולכים להוכיח את זה? כמובן, כרגיל: בואו נרחיב את מושג התואר ונפשט:

ובכן, עכשיו בואו נפתח את הסוגריים. כמה אותיות יהיו? פעמים לפי מכפילים - איך זה נראה? אין זו אלא הגדרה של מבצע כֶּפֶל: סך הכל התברר שיש מכפילים. כלומר, זה, בהגדרה, חזק של מספר עם מעריך:

דוגמא:

תואר עם מעריך לא רציונלי

בנוסף למידע על התארים לרמה הממוצעת, ננתח את התואר עם אינדיקטור לא רציונלי. כל הכללים והמאפיינים של מעלות כאן זהים לחלוטין לתואר עם מעריך רציונלי, למעט החריג - אחרי הכל, בהגדרה, מספרים אי-רציונליים הם מספרים שלא ניתן לייצג כשבר, כאשר והם מספרים שלמים (כלומר. , מספרים אי-רציונליים הם כולם מספרים ממשיים מלבד אלה רציונליים).

כשלומדים תארים עם אינדיקטור טבעי, שלם ורציונלי, בכל פעם המצאנו "תמונה", "אנלוגיה" מסוימת או תיאור במונחים מוכרים יותר. לדוגמה, מעריך טבעי הוא מספר המוכפל בעצמו מספר פעמים; מספר בדרגת אפס הוא, כביכול, מספר המוכפל בעצמו פעם אחת, כלומר, עדיין לא התחיל להכפיל אותו, כלומר המספר עצמו אפילו לא הופיע עדיין - לכן, התוצאה היא רק "הכנה של מספר" מסוימת, כלומר מספר; תואר עם אינדיקטור שלילי של מספר שלם - זה כאילו התרחש "תהליך הפוך" מסוים, כלומר, המספר לא הוכפל בעצמו, אלא חולק.

קשה מאוד לדמיין תואר עם מעריך לא רציונלי (כמו שקשה לדמיין מרחב 4 מימדי). במקום זאת, מדובר באובייקט מתמטי בלבד שמתמטיקאים יצרו כדי להרחיב את מושג התואר לכל מרחב המספרים.

אגב, המדע משתמש לעתים קרובות בתואר עם מעריך מורכב, כלומר, מעריך הוא אפילו לא מספר ממשי. אבל בבית הספר, אנחנו לא חושבים על קשיים כאלה; תהיה לך הזדמנות להבין את המושגים החדשים האלה במכון.

אז מה אנחנו עושים אם אנחנו רואים מעריך לא רציונלי? אנחנו מנסים כמיטב יכולתנו להיפטר מזה! :)

לדוגמה:

תחליט בעצמך:

1) 2) 3)

תשובות:

  1. זכור את נוסחת ההבדל של הריבועים. תשובה: .
  2. אנו מביאים שברים לאותה צורה: או שני העשרונים, או שניהם רגילים. אנו מקבלים, למשל: .
  3. שום דבר מיוחד, אנו מיישמים את המאפיינים הרגילים של תארים:

תקציר הסעיף ונוסחה בסיסית

תוֹאַרנקרא ביטוי של הצורה: , כאשר:

תואר עם מעריך מספר שלם

תואר, שהמעריך שלו הוא מספר טבעי (כלומר מספר שלם וחיובי).

תואר עם מעריך רציונלי

תואר, שהאינדיקטור שלו הוא מספרים שליליים ושברים.

תואר עם מעריך לא רציונלי

מעריך שהמעריך שלו הוא שבר או שורש עשרוני אינסופי.

מאפייני תואר

תכונות של מעלות.

  • מספר שלילי הועלה ל אֲפִילוּתואר, - מספר חִיוּבִי.
  • מספר שלילי הועלה ל מוזרתואר, - מספר שלילי.
  • מספר חיובי בכל חזקה הוא מספר חיובי.
  • אפס שווה לכל כוח.
  • כל מספר בחזקת אפס שווה.

עכשיו יש לך מילה...

איך אתה אוהב את המאמר? ספרו לי בתגובות למטה אם אהבתם או לא.

ספר לנו על הניסיון שלך עם מאפייני הכוח.

אולי יש לך שאלות. או הצעות.

כתבו בתגובות.

ובהצלחה במבחנים!


במאמר זה נבין מה זה תואר ב. כאן ניתן הגדרות לדרגה של מספר, תוך התייחסות מפורטת לכל המעריכים האפשריים של התואר, החל במעריך טבעי וכלה באחד לא רציונלי. בחומר תמצאו הרבה דוגמאות לתארים המכסים את כל הדקויות שעולות.

ניווט בדף.

תואר עם מעריך טבעי, ריבוע של מספר, קובייה של מספר

בוא נתחיל עם . במבט קדימה, נניח שהגדרת המידה של a עם המעריך הטבעי n ניתנת עבור a , שאותו נקרא בסיס התואר, ו n , שנקרא להם מַעֲרִיך. שים לב גם שהתואר עם מחוון טבעי נקבע באמצעות המוצר, אז כדי להבין את החומר להלן, אתה צריך לקבל מושג לגבי הכפל של מספרים.

הַגדָרָה.

חזקת מספר a עם מעריך טבעי nהוא ביטוי לצורה a n , שערכה שווה למכפלת n גורמים, שכל אחד מהם שווה ל- a , כלומר .
בפרט, המדרגה של מספר a עם מעריך 1 היא המספר a עצמו, כלומר, a 1 =a.

מיד כדאי להזכיר את הכללים לקריאת תארים. הדרך האוניברסלית לקרוא את הערך a n היא: "א בחזקת n". במקרים מסוימים, אפשרויות כאלה מקובלות גם: "א בחזקת n" ו"חזק n של המספר a". לדוגמא, ניקח בחזקת 8 12, זה "שמונה בחזקת שתים עשרה", או "שמונה בחזקת שתים עשרה", או "שמונה בחזקת שמונה".

לחזקה השנייה של מספר, כמו גם לחזקה השלישית של מספר, יש שמות משלהם. החזקה השנייה של מספר נקראת הריבוע של מספר, לדוגמה, 7 2 נקרא "שבעה בריבוע" או "ריבוע של המספר שבע". החזקה השלישית של מספר נקראת מספר קובייה, למשל, ניתן לקרוא את 5 3 כ"חמש קוביות" או לומר "קוביה של המספר 5".

הגיע הזמן להביא דוגמאות לתארים עם אינדיקטורים פיזיים. נתחיל בחזקת 5 7, כאשר 5 הוא הבסיס של החזקה ו-7 הוא המעריך. בוא ניתן דוגמה נוספת: 4.32 הוא הבסיס, והמספר הטבעי 9 הוא המעריך (4.32) 9 .

שימו לב שבדוגמה האחרונה, בסיס המעלה 4.32 כתוב בסוגריים: כדי למנוע פערים, ניקח בסוגריים את כל בסיסי המדרגה השונים ממספרים טבעיים. כדוגמה, אנו נותנים את התארים הבאים עם אינדיקטורים טבעיים , הבסיסים שלהם אינם מספרים טבעיים, ולכן הם כתובים בסוגריים. ובכן, לבהירות מלאה בשלב זה, נראה את ההבדל הכלול ברשומות של הצורה (-2) 3 ו--2 3. הביטוי (−2) 3 הוא החזקה של −2 עם המעריך הטבעי 3, והביטוי −2 3 (ניתן לכתוב אותו כ−(2 3) ) מתאים למספר, הערך של החזקה 2 3 .

שימו לב שיש סימון לדרגה של a עם מעריך n של הצורה a^n . יתרה מכך, אם n הוא מספר טבעי רב ערכים, אזי המעריך נלקח בסוגריים. לדוגמה, 4^9 הוא סימון נוסף לחזקת 4 9. והנה עוד דוגמאות לכתיבת מעלות באמצעות סמל "^": 14^(21) , (−2,1)^(155) . בהמשך, נשתמש בעיקר בסימון דרגת הצורה a n .

אחת הבעיות, ההיפך מאקספונציה עם מעריך טבעי, היא הבעיה של מציאת בסיס התואר מתוך ערך ידוע של התואר וממעריך ידוע. משימה זו מובילה ל.

זה ידוע שרבים מספר רציונלימורכב ממספרים שלמים ומספרים שברים, וכל מספר שבר יכול להיות מיוצג כחיובי או שלילי שבר נפוץ. הגדרנו את התואר עם מעריך שלם בפסקה הקודמת, לכן, כדי להשלים את הגדרת התואר עם מעריך רציונלי, עלינו לתת את המשמעות של המדרגה של המספר a עם מעריך שבריר m/n, כאשר m הוא מספר שלם ו-n הוא מספר טבעי. בוא נעשה את זה.

שקול תואר עם מעריך חלקי של הצורה. על מנת שקניין התואר בתואר יישאר בתוקף, השוויון צריך להתקיים . אם ניקח בחשבון את השוויון שנוצר ואת הדרך בה הגדרנו, אז זה הגיוני לקבל, בתנאי שעבור m, n ו-a נתון, הביטוי הגיוני.

קל לבדוק שכל המאפיינים של תואר עם מעריך שלם תקפים ל- (זה נעשה בסעיף על מאפייני תואר עם מעריך רציונלי).

ההנמקה לעיל מאפשרת לנו לעשות את הדברים הבאים סיכום: אם עבור m, n ו-a נתון הביטוי הגיוני, אז החזקה של המספר a עם מעריך שבריר m / n הוא השורש של המעלה ה-n של a בחזקת m.

הצהרה זו מקרבת אותנו להגדרה של תואר עם מעריך שבר. נותר רק לתאר עבור אילו m, n ו-a הביטוי הגיוני. בהתאם להגבלות המוטלות על m , n ו- a, ישנן שתי גישות עיקריות.

    הדרך הקלה ביותר להגביל את a היא להניח a≥0 עבור m חיובי ו-a>0 עבור m שלילי (כי ל-m≤0 אין כוח של 0 מ'). אז נקבל את ההגדרה הבאה של התואר עם מעריך שבר.

    הַגדָרָה.

    חזקת מספר חיובי a עם מעריך שבר m/n, כאשר m הוא מספר שלם, ו-n הוא מספר טבעי, נקרא שורש ה-n של המספר a בחזקת m, כלומר.

    גם דרגת השבר של אפס מוגדרת עם ההסתייגות היחידה שהמעריך חייב להיות חיובי.

    הַגדָרָה.

    חזקת אפס עם מעריך חיובי שבר m/n, כאשר m הוא מספר שלם חיובי ו-n הוא מספר טבעי, מוגדר כ .
    כאשר המידה אינה מוגדרת, כלומר, המדרגה של המספר אפס עם מערך שלילי שבריר אינה הגיונית.

    יש לציין שעם הגדרה כזו של התואר עם מעריך שבר, יש ניואנס אחד: עבור חלק שלילי של a וחלק m ו-n, הביטוי הגיוני, וזרקנו את המקרים הללו על ידי הכנסת התנאי a≥0 . למשל, הגיוני לכתוב או , וההגדרה לעיל מאלצת אותנו לומר כי מעלות עם מעריך שבר של הצורה הם חסרי משמעות, שכן אסור שהבסיס יהיה שלילי.

    גישה נוספת לקביעת התואר עם מעריך שבריר m/n היא לשקול בנפרד את המעריכים הזוגיים והאי-זוגיים של השורש. גישה זו מחייבת תנאי נוסף: מידת המספר a, שהמעריך שלו הוא , נחשבת לדרגת המספר a, שהמעריך שלו הוא השבר הבלתי ניתן לצמצום המקביל (חשיבותו של תנאי זה תוסבר להלן). כלומר, אם m/n הוא שבר בלתי ניתן לצמצום, אז עבור כל מספר טבעי k התואר מוחלף תחילה ב-.

    עבור n זוגי ו-m חיובי, הביטוי הגיוני עבור כל a לא שלילי (השורש של מדרגה זוגית ממספר שלילי אינו הגיוני), עבור m שלילי, המספר a עדיין חייב להיות לא אפס (אחרת חלוקה באפס יתרחש). ועבור n אי-זוגי ו-m חיובי, המספר a יכול להיות כל דבר (השורש של מידה אי-זוגית מוגדר לכל מספר ממשי), ול-m שלילי המספר a חייב להיות שונה מאפס (כדי שלא תהיה חלוקה ב- אֶפֶס).

    ההיגיון לעיל מוביל אותנו להגדרה כזו של התואר עם מעריך שבר.

    הַגדָרָה.

    תנו ל-m/n להיות שבר בלתי ניתן לצמצום, m מספר שלם ו-n מספר טבעי. עבור כל שבר רגיל שניתן לצמצם, התואר מוחלף ב-. החזקה של a עם מעריך שבר בלתי ניתן לצמצום m/n היא עבור

    הבה נסביר מדוע תואר עם מערך שבר ניתן להפחתה מוחלפת תחילה במעלה עם מעריך בלתי ניתן לצמצום. אם פשוט היינו מגדירים את התואר כ , ולא נעשה הסתייגות לגבי אי-הצמצום של השבר m/n , אז היינו נתקלים במצבים דומים למצבים הבאים: מאז 6/10=3/5, אזי השוויון , אבל , א .


לאחר קביעת מידת המספר, הגיוני לדבר עליו מאפייני תואר. במאמר זה ניתן את המאפיינים הבסיסיים של המידה של מספר, תוך נגיעה בכל המעריכים האפשריים. כאן נביא הוכחות לכל תכונות התואר, וגם נראה כיצד מאפיינים אלו מיושמים בעת פתרון דוגמאות.

ניווט בדף.

מאפיינים של תארים עם אינדיקטורים טבעיים

בהגדרה של חזקה עם מעריך טבעי, החזקה של n היא מכפלה של n גורמים, שכל אחד מהם שווה ל-a. בהתבסס על הגדרה זו, ושימוש מאפייני הכפל של מספרים ממשיים, נוכל להשיג ולהצדיק את הדברים הבאים תכונות של תואר עם מעריך טבעי:

  1. התכונה העיקרית של התואר a m ·a n =a m+n, הכללה שלה;
  2. המאפיין של חזקות חלקיות עם אותם בסיסים a m:a n =a m−n;
  3. תכונת דרגת המוצר (a b) n =a n b n, הרחבה שלו;
  4. רכוש פרטי ב תואר טבעי(א:ב) n =a n:b n;
  5. אקספוננציה (a m) n =a m n , הכללה שלו (((a n 1) n 2) ...) n k =a n 1 n 2 ... n k;
  6. השוואת תואר לאפס:
    • אם a>0, אז a n >0 עבור כל n טבעי;
    • אם a=0 , אז a n =0 ;
    • אם<0 и показатель степени является четным числом 2·m , то a 2·m >0 אם א<0 и показатель степени есть нечетное число 2·m−1 , то a 2·m−1 <0 ;
  7. אם a ו-b הם מספרים חיוביים ו-a
  8. אם m ו-n הם מספרים טבעיים כך ש-m>n , אז ב-0 0 אי השוויון a m >a n נכון.

מיד נציין שכל השוויון הכתוב הוא זֵהֶהבתנאים שצוינו, וניתן להחליף את החלק הימני והשמאלי שלהם. לדוגמה, התכונה העיקרית של השבר a m a n = a m + n עם פישוט ביטוייםמשמש לעתים קרובות בצורה a m+n = a m a n .

עכשיו בואו נסתכל על כל אחד מהם בפירוט.

    נתחיל בתכונת המכפלה של שתי חזקות עם אותם בסיסים, שנקראת המאפיין העיקרי של התואר: עבור כל מספר ממשי a וכל מספרים טבעיים m ו-n, השוויון a m ·a n =a m+n נכון.

    הבה נוכיח את המאפיין העיקרי של התואר. לפי ההגדרה של תואר עם מעריך טבעי, מכפלת חזקות עם אותם בסיסים של הצורה a m a n יכולה להיכתב כמכפלה. בשל תכונות הכפל, ניתן לכתוב את הביטוי המתקבל כ , והמוצר הזה הוא החזקה של a עם מעריך טבעי m+n , כלומר, m+n . זה משלים את ההוכחה.

    הבה ניתן דוגמה המאששת את המאפיין העיקרי של התואר. ניקח תארים עם אותם בסיסים 2 וחזקות טבעיות 2 ו-3, לפי התכונה העיקרית של התואר, נוכל לכתוב את השוויון 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5 . הבה נבדוק את תקפותו, עבורו אנו מחשבים את ערכי הביטויים 2 2 ·2 3 ו- 2 5 . ביצוע אקספוננציה, יש לנו 2 2 2 3 =(2 2) (2 2 2)=4 8=32ו- 2 5 \u003d 2 2 2 2 2 \u003d 32, מכיוון שמתקבלים ערכים שווים, אז השוויון 2 2 2 3 \u003d 2 5 נכון, והוא מאשר את המאפיין העיקרי של התואר.

    ניתן להכליל את המאפיין העיקרי של תואר המבוסס על תכונות הכפל למכפלה של שלוש מעלות או יותר עם אותם בסיסים ומעריכים טבעיים. אז עבור כל מספר k של מספרים טבעיים n 1 , n 2 , …, n k השוויון a n 1 a n 2 a n k =a n 1 +n 2 +...+n k.

    לדוגמה, (2.1) 3 (2.1) 3 (2.1) 4 (2.1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .

    אתה יכול לעבור למאפיין הבא של מעלות עם אינדיקטור טבעי - רכושם של סמכויות חלקיות עם אותם בסיסים: עבור כל מספר ממשי לא-אפס a ומספרים טבעיים שרירותיים m ו-n המקיימים את התנאי m>n, השוויון a m:a n =a m−n נכון.

    לפני מתן הוכחה למאפיין זה, הבה נדון במשמעות התנאים הנוספים בניסוח. התנאי a≠0 נחוץ כדי להימנע מחילוק באפס, שכן 0 n =0, וכשהכרנו לחלוקה הסכמנו שאי אפשר לחלק באפס. התנאי m>n מובא כדי שלא נצא מעבר למעריכים טבעיים. ואכן, עבור m>n המעריך a m−n הוא מספר טבעי, אחרת הוא יהיה אפס (מה שקורה כאשר m − n ) או מספר שלילי(מה קורה כאשר מ

    הוכחה. התכונה העיקרית של שבר מאפשרת לנו לכתוב את השוויון a m−n a n =a (m−n)+n =a m. מהשוויון המתקבל a m−n ·a n =a m וממנו נובע כי m−n הוא מנה של חזקה של a m ו- n . זה מוכיח את המאפיין של סמכויות חלקיות עם אותם בסיסים.

    בואו ניקח דוגמה. ניקח שתי מעלות עם אותם בסיסים π והמעריכים הטבעיים 5 ו-2, התכונה הנחשבת של התואר תואמת את השוויון π 5: π 2 = π 5−3 = π 3.

    עכשיו תשקול נכס תואר מוצר: המדרגה הטבעית n של המכפלה של כל שני מספרים ממשיים a ו-b שווה למכפלת המעלות a n ו-b n , כלומר (a b) n =a n b n .

    אכן, בהגדרה של תואר עם מעריך טבעי, יש לנו . את המכפלה האחרון, המבוסס על תכונות הכפל, ניתן לכתוב מחדש כ , ששווה ל- a n b n .

    הנה דוגמה: .

    תכונה זו משתרעת על מידת המכפלה של שלושה גורמים או יותר. כלומר, תכונת הכוח הטבעית n של המכפלה של k גורמים נכתבת כ (a 1 a 2 ... a k) n =a 1 n a 2 n ... a k n.

    למען הבהירות, אנו מראים מאפיין זה עם דוגמה. עבור המכפלה של שלושה גורמים בחזקת 7, יש לנו .

    הנכס הבא הוא רכוש טבעי: המנה של המספרים הממשיים a ו-b , b≠0 לחזק הטבעי n שווה למנת החזקות a n ו- b n , כלומר (a:b) n =a n:b n .

    ניתן לבצע את ההוכחה באמצעות המאפיין הקודם. כך (a:b) n b n =((a:b) ב) n =a n, והשוויון (a:b) n b n =a n מרמז ש-(a:b) n הוא המנה של a n חלקי b n .

    בוא נכתוב את המאפיין הזה באמצעות הדוגמה של מספרים ספציפיים: .

    עכשיו בואו נשמיע קול תכונת האקספונציה: עבור כל מספר ממשי a ומספרים טבעיים כלשהם m ו-n, החזקה של a m בחזקת n שווה בחזקת a עם מעריך m·n , כלומר (a m) n =a m·n .

    לדוגמה, (5 2) 3 =5 2 3 =5 6 .

    ההוכחה לתכונת הכוח בתואר היא שרשרת השוויון הבאה: .

    ניתן להרחיב את הנכס הנחשב לדרגה בתוך תואר בתוך תואר, וכן הלאה. לדוגמה, עבור כל המספרים הטבעיים p, q, r ו-s, השוויון . לבהירות רבה יותר, הנה דוגמה עם מספרים ספציפיים: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .

    נותר להתעכב על המאפיינים של השוואת תארים עם מעריך טבעי.

    נתחיל בהוכחת תכונת ההשוואה של אפס ועוצמה עם מעריך טבעי.

    ראשית, הבה נצדיק ש- n >0 עבור כל a>0 .

    המכפלה של שני מספרים חיוביים הוא מספר חיובי, כפועל יוצא מהגדרת הכפל. עובדה זו ותכונות הכפל מאפשרים לנו לקבוע שהתוצאה של הכפלת מספר כלשהו של מספרים חיוביים תהיה גם מספר חיובי. והעוצמה של a עם המעריך הטבעי n היא, בהגדרה, מכפלה של n גורמים, שכל אחד מהם שווה ל-a. טיעונים אלה מאפשרים לנו לקבוע כי עבור כל בסיס חיובי a המדרגה של n היא מספר חיובי. מכוח הקניין המוכח 3 5 >0 , (0.00201) 2 >0 ו .

    זה די ברור שלכל n טבעי עם a=0 המדרגה של n היא אפס. אכן, 0 n =0·0·…·0=0 . לדוגמה, 0 3 =0 ו-0 762 =0.

    בואו נעבור לבסיסים שליליים.

    נתחיל במקרה שבו המעריך הוא מספר זוגי, נסמן אותו כ-2 m , כאשר m הוא מספר טבעי. לאחר מכן . עבור כל אחד מהמכפלות של הצורה a·a שווה למכפלת המודולים של המספרים a ו-a, לכן, הוא מספר חיובי. לכן גם המוצר יהיה חיובי. ומדרגה a 2 מ'. להלן דוגמאות: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 ו.

    לבסוף, כאשר הבסיס של a הוא מספר שלילי והמעריך הוא מספר אי-זוגי 2 m−1, אז . כל המוצרים a·a הם מספרים חיוביים, המכפלה של המספרים החיוביים הללו היא גם חיובית, וכפלו במספר השלילי הנותר a מביא למספר שלילי. בשל נכס זה (-5) 3<0 , (−0,003) 17 <0 и .

    נפנה לתכונה של השוואת מעלות עם אותם מעריכים טבעיים, שיש לה את הניסוח הבא: מבין שתי מעלות עם אותם מעריכים טבעיים, n קטן מזה שהבסיס שלו קטן, ויותר מזה שהבסיס שלו גדול. בואו נוכיח את זה.

    אי שוויון א נ תכונות של אי שוויוןאי השוויון המוכח בצורת a n .

    נותר להוכיח את אחרון המאפיינים המפורטים של כוחות עם אקספוננטים טבעיים. בואו ננסח את זה. מבין שתי המעלות עם אינדיקטורים טבעיים ואותם בסיסים חיוביים, פחות מאחד, המדרגה גדולה יותר, שהמדד שלה קטן; ומשתי מעלות עם אינדיקטורים טבעיים ואותם בסיסים גדולים מאחד, המדרגה שהמדד שלה גדול יותר גדולה יותר. אנו פונים להוכחה של נכס זה.

    הבה נוכיח שעבור m>n ו-0 0 עקב התנאי ההתחלתי m>n , מכאן נובע שב-0

    נותר להוכיח את החלק השני של הנכס. הבה נוכיח שעבור m>n ו-a>1, a m>a n נכון. ההפרש a m −a n לאחר הוצאת n מסוגריים מקבל את הצורה a n ·(a m−n −1) . מכפלה זו חיובית, שכן עבור a>1 המדרגה של n היא מספר חיובי, וההפרש a m−n −1 הוא מספר חיובי, שכן m−n>0 עקב המצב ההתחלתי, ועבור a>1, המדרגה של m−n גדולה מאחד . לכן, a m − a n >0 ו- m >a n , שהיה צריך להוכיח. תכונה זו מומחשת על ידי אי השוויון 3 7 >3 2.

מאפיינים של מעלות עם מעריכים שלמים

מכיוון שמספרים שלמים חיוביים הם מספרים טבעיים, אז כל המאפיינים של חזקות עם מעריכים שלמים חיוביים חופפים בדיוק לתכונות של חזקות עם מעריכים טבעיים המפורטים והוכחו בפסקה הקודמת.

הגדרנו את התואר עם מעריך שלם שלילי, וכן את התואר עם מעריך אפס, כך שכל המאפיינים של מעלות עם מעריכים טבעיים המבוטאים בשוויון יישארו תקפים. לכן, כל המאפיינים הללו תקפים הן עבור מעריכי אפס והן עבור מעריכים שליליים, בעוד, כמובן, הבסיסים של המעלות אינם אפס.

לכן, עבור כל מספרים ממשיים ולא אפסים a ו-b, כמו גם כל מספרים שלמים m ו-n, הדברים הבאים נכונים תכונות של מעלות עם מעריכי מספר שלמים:

  1. a m a n \u003d a m + n;
  2. a m: a n = a m−n;
  3. (א ב) n = a n b n;
  4. (א:ב) n =a n:b n;
  5. (a m) n = a m n;
  6. אם n הוא מספר שלם חיובי, a ו-b הם מספרים חיוביים, ו-a ב-נ;
  7. אם m ו-n הם מספרים שלמים, ו-m>n, אז ב-0 1 מתקיים אי השוויון a m >a n.

עבור a=0, החזקות a m ו- n הגיוניות רק כאשר הן m והן n הן מספרים שלמים חיוביים, כלומר מספרים טבעיים. לפיכך, המאפיינים שזה עתה נכתבו תקפים גם למקרים שבהם a=0 והמספרים m ו-n הם מספרים שלמים חיוביים.

לא קשה להוכיח כל אחת מהתכונות הללו, בשביל זה מספיק להשתמש בהגדרות התואר עם מעריך טבעי ושלמים, כמו גם בתכונות של פעולות עם מספרים ממשיים. כדוגמה, בואו נוכיח שתכונת הכוח קיימת גם עבור מספרים שלמים חיוביים וגם עבור מספרים שלמים לא חיוביים. כדי לעשות זאת, עלינו להראות שאם p הוא אפס או מספר טבעי ו-q הוא אפס או מספר טבעי, אזי השוויון (a p) q =a p q , (a − p) q =a (−p) q , (a p) −q =a p (−q) ו (a−p)−q =a (−p) (−q). בוא נעשה את זה.

עבור p ו-q חיוביים, השוויון (a p) q =a p·q הוכח בתת הסעיף הקודם. אם p=0, אז יש לנו (a 0) q =1 q =1 ו- 0 q =a 0 =1 , ומכאן (a 0) q =a 0 q . באופן דומה, אם q=0, אז (a p) 0 =1 ו- a p 0 =a 0 =1, ומכאן (a p) 0 =a p 0 . אם גם p=0 וגם q=0, אז (a 0) 0 =1 0 =1 ו- a 0 0 =a 0 =1, ומכאן (a 0) 0 =a 0 0 .

הבה נוכיח כעת כי (a −p) q =a (−p) q . לפי הגדרה של תואר עם מעריך שלם שלילי, אם כן . לפי קניין המנה בדרגה, יש לנו . מאז 1 p =1·1·…·1=1 ו , אז . הביטוי האחרון הוא, בהגדרה, חזקת הצורה a −(p q) , אשר מתוקף כללי הכפל ניתן לכתוב אותה כ-(−p) q .

באופן דומה .

ו .

לפי אותו עיקרון, אפשר להוכיח את כל שאר המאפיינים של תואר עם מעריך מספר שלם, הכתוב בצורה של שוויון.

בלפני אחרון של המאפיינים הרשומים, כדאי להתעכב על הוכחת אי השוויון a −n >b −n , שנכון לכל מספר שלם שלילי −n ולכל חיובי a ו-b שעבורם התנאי a . שכן לפי תנאי א 0 . המכפלה a n ·b n חיובית גם כמכפלת המספרים החיוביים a n ו-b n . אז השבר המתקבל חיובי כמנה של מספרים חיוביים b n − a n ו- a n b n . מכאן, מנין a −n >b −n , שהיה צריך להוכיח.

התכונה האחרונה של מעלות עם מעריכים שלמים מוכחת באותו אופן כמו התכונה המקבילה של מעלות עם מעריכים טבעיים.

תכונות של כוחות עם מעריכים רציונליים

הגדרנו את התואר עם מעריך שבר על ידי הרחבת המאפיינים של תואר עם מעריך מספר שלם אליו. במילים אחרות, למעלות עם מעריכי שבר יש את אותן תכונות כמו למעלות עם מעריכי מספר שלמים. כלומר:

ההוכחה למאפיינים של מעלות עם מעריכי שבר מבוססת על הגדרה של תואר עם מעריך שבר, על ועל תכונות של תואר עם מעריך שלם. בואו נביא הוכחה.

לפי הגדרת התואר עם מעריך שבר, ואז . תכונות השורש האריתמטי מאפשרות לנו לכתוב את השוויון הבא. יתר על כן, באמצעות התכונה של התואר עם מעריך מספר שלם, אנו מקבלים , ומכאן, לפי ההגדרה של תואר עם מעריך שבר, יש לנו , וניתן להמיר את מעריך התואר שהושג באופן הבא:. זה משלים את ההוכחה.

התכונה השנייה של חזקות עם מעריכי שבר מוכחת בדיוק באותו אופן:

שאר השוויון מוכח על ידי עקרונות דומים:

נפנה להוכחה של הנכס הבא. הבה נוכיח כי עבור כל a ו-b חיוביים, א ב p. נכתוב את המספר הרציונלי p כ-m/n , כאשר m הוא מספר שלם ו-n הוא מספר טבעי. תנאים עמ'<0 и p>0 במקרה זה יהיה שווה ערך לתנאים m<0 и m>0 בהתאמה. עבור m>0 ו-a

באופן דומה, עבור מ<0 имеем a m >b m , מנין , כלומר, ו- a p > b p .

נותר להוכיח את האחרון מבין הנכסים הרשומים. הבה נוכיח שעבור מספרים רציונליים p ו-q, p>q עבור 0 0 – אי שוויון a p >a q . תמיד נוכל לצמצם את המספרים הרציונליים p ו-q למכנה משותף, הבה נקבל שברים רגילים, כאשר m 1 ו-m 2 הם מספרים שלמים, ו-n הוא מספר טבעי. במקרה זה, התנאי p>q יתאים לתנאי m 1 >m 2, הנובע מ-. לאחר מכן, על ידי התכונה של השוואת חזקות עם אותם בסיסים ומעריכים טבעיים ב-0 1 – אי שוויון a m 1 > a m 2. אי-שוויון אלה במונחים של מאפייני השורשים ניתן לשכתב, בהתאמה, כמו ו . וההגדרה של תואר עם מעריך רציונלי מאפשרת לנו לעבור לאי השוויון ובהתאמה. מכאן אנו מסיקים את המסקנה הסופית: עבור p>q ו-0 0 – אי שוויון a p >a q .

מאפיינים של תארים עם אקספוננטים לא רציונליים

מהאופן שבו מוגדרת תואר עם מעריך לא רציונלי, ניתן להסיק שיש לה את כל התכונות של תארים עם מעריכים רציונליים. אז עבור כל a>0 , b>0 ומספרים אי-רציונליים p ו-q הדברים הבאים נכונים תכונות של מעלות עם מעריכים לא רציונליים:

  1. a p a q = a p + q;
  2. a p:a q = a p−q ;
  3. (א ב) p = a p b p;
  4. (א:ב) p =a p:b p ;
  5. (a p) q = a p q;
  6. עבור כל מספרים חיוביים a ו-b , a 0 אי השוויון a p ב p;
  7. עבור מספרים אי-רציונליים p ו-q, p>q ב-0 0 – אי שוויון a p >a q .

מכאן נוכל להסיק שחזקות עם כל המעריכים האמיתיים p ו-q עבור a>0 הם בעלי אותן תכונות.

בִּיבּלִיוֹגְרָפִיָה.

  • Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. ספר לימוד מתמטיקה Zh עבור 5 תאים. מוסדות חינוך.
  • Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. אלגברה: ספר לימוד ל-7 תאים. מוסדות חינוך.
  • Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. אלגברה: ספר לימוד ל-8 תאים. מוסדות חינוך.
  • Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. אלגברה: ספר לימוד ל-9 תאים. מוסדות חינוך.
  • Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. ועוד. אלגברה והתחלות הניתוח: ספר לימוד לכיתות י'-יא' של מוסדות חינוך כלליים.
  • Gusev V.A., Mordkovich A.G. מתמטיקה (מדריך למועמדים לבתי ספר טכניים).

הנוסחה הבאה תהיה ההגדרה מעלות עם מחוון טבעי(a הוא הבסיס של המעריך והגורם החוזר, ו-n הוא המעריך, שמראה כמה פעמים הגורם חוזר על עצמו):

ביטוי זה אומר שחזקת המספר a עם האינדקס הטבעי n הוא מכפלה של n גורמים, בהינתן שכל אחד מהגורמים שווה ל-a.

17^5=17 \cdot 17 \cdot 17 \cdot 17 \cdot 17=1\,419\,857

17 - בסיס התואר,

5 - מעריך,

1419857 הוא ערך התואר.

המעריך עם אפס מעריך הוא 1, בתנאי ש-\neq 0:

a^0=1 .

לדוגמה: 2^0=1

כאשר אתה צריך לכתוב מספר גדול, בדרך כלל משתמשים בחזקת 10.

לדוגמה, אחד הדינוזאורים העתיקים ביותר על פני כדור הארץ חי לפני כ-280 מיליון שנה. גילו כתוב כך: 2.8 \cdot 10^8 .

כל מספר הגדול מ-10 יכול להיכתב כ-\cdot 10^n, בתנאי ש-1< a < 10 и n является положительным целым числом . Такую запись называют צורה סטנדרטית של מספר.

דוגמאות למספרים כאלה: 6978=6.978 \cdot 10^3, 569000=5.69 \cdot 10^5.

אתה יכול לומר גם "א בחזקת n", וגם "חזק n של המספר a" ו-"a בחזקת n".

4^5 - "ארבע בחזקת 5" או "4 בחזקת חמישית" או שאתה יכול גם לומר "חזקת חמישית של המספר 4"

בדוגמה זו, 4 הוא הבסיס של התואר, 5 הוא המעריך.

כעת ניתן דוגמה עם שברים ומספרים שליליים. כדי למנוע בלבול, נהוג לכתוב בסיסים שאינם מספרים טבעיים בסוגריים:

(7,38)^2 , \left(\frac 12 \right)^7, (-1)^4 וכו'.

שימו לב גם להבדל:

(-5)^6 - פירושו החזקה של מספר שלילי −5 עם המעריך הטבעי 6.

5^6 - מתאים למספר ההפוך של 5^6 .

מאפיינים של תארים עם אקספוננט טבעי

המאפיין העיקרי של התואר

a^n \cdot a^k = a^(n+k)

הבסיס נשאר זהה, אבל המעריכים מתווספים.

לדוגמה: 2^3 \cdot 2^2 = 2^(3+2)=2^5

קניין של סמכויות חלקיות עם אותם בסיסים

a^n: a^k=a^(n-k) אם n > k .

המעריכים מוחסרים, אבל הבסיס נשאר זהה.

הגבלה זו n > k מוכנסת כדי לא לחרוג ממעריכים טבעיים. ואכן, עבור n > k, המעריך a^(n-k) יהיה מספר טבעי, אחרת הוא יהיה מספר שלילי (k< n ), либо нулем (k-n ).

לדוגמה: 2^3: 2^2 = 2^(3-2)=2^1

מאפיין מערך כוח

(a^n)^k=a^(נק)

הבסיס נשאר זהה, רק המעריכים מוכפלים.

לדוגמה: (2^3)^6 = 2^(3 \cdot 6)=2^(18)

מאפיין התייקרות המוצר

כל גורם מועלה בחזקת n.

a^n \cdot b^n = (ab)^n

לדוגמה: 2^3 \cdot 3^3 = (2 \cdot 3)^3=6^3

תכונת האקספונציה של שבר

\frac(a^n)(b^n)=\left(\frac(a)(b) \right) ^n, b \neq 0

גם המונה וגם המכנה של שבר מועלים לחזקה. \left(\frac(2)(5) \right)^3=\frac(2^3)(5^3)=\frac(8)(125)