מטרת השיעור:

• היווצרות המושג "נקודות סימטריות";
• ללמד ילדים לבנות נקודות סימטריות לנתונים;
• ללמוד לבנות מקטעים סימטריים לנתונים;
• קונסולידציה של העבר (יצירת מיומנויות חישוביות, חלוקת מספר רב ספרתי למספר חד ספרתי).

על הדוכן כרטיסי "לשיעור":

1. רגע ארגוני

ברכות.

המורה מפנה את תשומת הלב לדוכן:

ילדים, אנחנו מתחילים את השיעור בתכנון העבודה שלנו.

היום בשיעור מתמטיקה נצא לטיול ל-3 ממלכות: ממלכת החשבון, האלגברה והגיאומטריה. נתחיל את השיעור בדבר הכי חשוב לנו היום, בגיאומטריה. אני אספר לכם אגדה, אבל "אגדה היא שקר, אבל יש בה רמז - שיעור לחברים טובים".

": לפילוסוף אחד בשם בורידן היה חמור. פעם אחת, ביציאה לתקופה ארוכה, הניח הפילוסוף שני זרועות זהות של חציר לפני החמור. הוא הניח ספסל, ומשמאל לספסל ומימין לו. באותו מרחק הוא שם בדיוק את אותם זרועות חציר.

איור 1 על הלוח:

החמור הלך מזרוע חציר אחת לאחרת, אך לא החליט מאיזה זרוע להתחיל. ובסוף הוא מת מרעב.

מדוע החמור לא החליט מאיזה חופן חציר להתחיל?

מה אתה יכול לומר על זרועות החציר האלה?

(זרועות החציר זהות לחלוטין, הן היו באותו מרחק מהספסל, מה שאומר שהן סימטריות).

2. בואו נעשה קצת מחקר.

קחו דף נייר (לכל ילד יש דף נייר צבעוני על השולחן), קפלו אותו לשניים. חורר אותו עם רגל של מצפן. לְהַרְחִיב.

מה קיבלת? (2 נקודות סימטריות).

איך לוודא שהם באמת סימטריים? (קפלו את הסדין, הנקודות תואמות)

3. על השולחן:

האם לדעתך הנקודות הללו סימטריות? (לא). למה? איך אנחנו יכולים להיות בטוחים בזה?

איור 3:

האם נקודות A ו-B אלו סימטריות?

איך נוכל להוכיח זאת?

(מדוד מרחק מקו ישר לנקודות)

אנו חוזרים אל פיסות הנייר הצבעוניות שלנו.

מדוד את המרחק מקו הקיפול (ציר הסימטריה), תחילה לנקודה אחת ולאחר מכן לנקודה אחרת (אבל קודם חבר אותם עם קטע).

מה אתה יכול לומר על המרחקים האלה?

(אותו הדבר)

מצא את נקודת האמצע של הקטע שלך.

איפה היא?

(זו נקודת החיתוך של הקטע AB עם ציר הסימטריה)

4. שימו לב לפינות, נוצר כתוצאה מחיתוך הקטע AB עם ציר הסימטריה. (אנחנו מגלים בעזרת ריבוע, כל ילד עובד במקום העבודה שלו, אחד לומד על הלוח).

מסקנה של ילדים: קטע AB נמצא בזווית ישרה לציר הסימטריה.

מבלי לדעת זאת, גילינו כעת כלל מתמטי:

אם נקודות A ו-B סימטריות לגבי קו או ציר סימטריה, אז הקטע המחבר את הנקודות הללו נמצא בזווית ישרה, או בניצב לישר זה. (המילה "מאונך" כתובה בנפרד על המעמד). המילה "מאונך" מבוטא בקול ביחד.

5. בואו נשים לב איך הכלל הזה כתוב בספר הלימוד שלנו.

עבודת ספרי לימוד.

מצא נקודות סימטריות על קו ישר. האם נקודות A ו-B יהיו סימטריות לגבי הקו הזה?

6. עובדים על חומר חדש.

בואו נלמד כיצד לבנות נקודות סימטריות לנתונים על קו ישר.

המורה מלמד לנמק.

כדי לבנות נקודה סימטרית לנקודה A, עליך להזיז את הנקודה הזו מהקו באותו מרחק ימינה.

7. נלמד לבנות קטעים סימטריים לנתונים, ביחס לקו ישר. עבודת ספרי לימוד.

התלמידים דנים בלוח.

8. חשבון בעל פה.

על כך נסיים את שהותנו בממלכת ה"גיאומטריה" ונערוך חימום מתמטי קטן, לאחר שביקרנו בממלכת "האריתמטיקה".

בזמן שכולם עובדים בעל פה, שני תלמידים עובדים על לוחות בודדים.

א) בצע חלוקה עם בדיקה:

ב) לאחר הכנסת המספרים הדרושים, פתרו את הדוגמה ובדקו:

ספירה מילולית.

1. תוחלת החיים של ליבנה היא 250 שנה, ואלון ארוך פי 4. כמה שנים חי עץ אלון?
2. תוכי חי בממוצע 150 שנה, ופיל פחות פי 3. כמה שנים חי פיל?
3. הדוב קרא לאורחים למקומו: קיפוד, שועל וסנאי. ובמתנה העניקו לו סיר חרדל, מזלג וכפית. מה נתן הקיפוד לדוב?

נוכל לענות על שאלה זו אם נפעיל את התוכניות הללו.

• חרדל - 7
• מזלג - 8
• כפית - 6

(קיפוד נתן כפית)

4) חשב. מצא דוגמה אחרת.

• 810: 90
• 360: 60
• 420: 7
• 560: 80

5) מצא דפוס ועזור לרשום את המספר הנכון:

3	9	81
2		16

5	10	20
6		24

9. ועכשיו בואו ננוח מעט.

האזינו לסונטת אור הירח של בטהובן. רגע של מוזיקה קלאסית. תלמידים מניחים את ראשם על השולחן, עוצמים עיניים, מאזינים למוזיקה.

10. מסע אל ממלכת האלגברה.

נחשו את שורשי המשוואה ובדקו:

התלמידים מחליטים על הלוח ובמחברות. תסביר איך הבנת את זה.

11. "טורניר הבליץ" .

א) אסיה קנתה 5 בייגל עבור רובל ו-2 לחמים עבור ב רובל. כמה עולה כל הרכישה?

אנחנו בודקים. אנחנו חולקים דעות.

12. תִמצוּת.

אז, סיימנו את המסע שלנו לתחום המתמטיקה.

מה היה הדבר הכי חשוב עבורך בשיעור?

מי אהב את השיעור שלנו?

נהניתי לעבוד איתך

תודה על השיעור.

תנו ל-g להיות קו ישר קבוע (איור 191). קח נקודה שרירותית X והורד את ה-AX הניצב לקו g. בהמשך הניצב מעבר לנקודה A, נשים בצד את הקטע AX ", שווה לקטע AX. הנקודה X" נקראת סימטרית לנקודה X ביחס לישר g.

אם הנקודה X שוכנת על הישר g, אז הנקודה הסימטרית אליה היא הנקודה X עצמה. ברור שהנקודה הסימטרית לנקודה X" היא הנקודה X.

הפיכת דמות F לדמות F", שבה כל אחת מנקודות X שלה עוברת לנקודה X", סימטרית ביחס לישר נתון g, נקראת טרנספורמציה של סימטריה ביחס לישר g. במקרה זה, הדמויות F ו-F נקראות סימטריות ביחס לקו הישר g (איור 192).

אם טרנספורמציה של סימטריה ביחס לישר g לוקחת את הדמות F לתוך עצמה, אז נתון זה נקרא סימטרי ביחס לישר g, והקו g נקרא ציר הסימטריה של הדמות.

לדוגמה, קווים ישרים העוברים דרך נקודת החיתוך של אלכסוני המלבן המקבילים לצלעיו הם צירי הסימטריה של המלבן (איור 193). הקווים הישרים שעליהם מונחים אלכסוני המעוין הם צירי הסימטריה שלו (איור 194).

משפט 9.3. טרנספורמציה של סימטריה על קו היא תנועה.

הוכחה. הבה ניקח את הקו הישר הזה כציר ה-y של מערכת הקואורדינטות הקרטזית (איור 195). תן לנקודה שרירותית A (x; y) של הדמות F ללכת לנקודה A "(x"; y") של הדמות F". מהגדרת הסימטריה ביחס לקו ישר, עולה כי לנקודות A ו-A "יש סדנאות שוות, והאבססיס נבדלות רק בסימן:

x"= -x.
ניקח שתי נקודות שרירותיות A (x 1; y 1) ו-B (x 2; y 2) - הן יעברו לנקודות A "(- x 1, y 1) ו-B" (-x 2; y 2).

AB 2 \u003d (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2
A"B" 2 =(-x 2 + x 1) 2 +(y 2 -y 1) 2 .

זה מראה ש-AB=A"B". וזה אומר שהטרנספורמציה של סימטריה ביחס לקו ישר היא תנועה. המשפט הוכח.

כנס מדעי ומעשי

MOU "ממוצע בית ספר מקיףמס' 23 אינץ'

העיר וולוגדה

סעיף: טבעי - מדעי

עבודת עיצוב ומחקר

סוגי סימטריה

העבודה נעשתה על ידי תלמיד כיתה ח' א'

קרנווה מרגריטה

ראש: מורה גבוה למתמטיקה

שנת 2014

מבנה הפרויקט:

1. הקדמה.

2. מטרות ויעדים של הפרויקט.

3. סוגי סימטריה:

3.1. סימטריה מרכזית;

3.2. סימטריה צירית;

3.3. סימטריית מראה (סימטריה ביחס למישור);

3.4. סימטריה סיבובית;

3.5. סימטריה ניידת.

4. מסקנות.

סימטריה היא הרעיון שבאמצעותו ניסה האדם במשך מאות שנים להבין וליצור סדר, יופי ושלמות.

ג'וייל

מבוא.

נושא עבודתי נבחר לאחר לימוד הסעיף "סימטריה צירית ומרכזית" בקורס "גיאומטריה כיתה ח'". מאוד התעניינתי בנושא הזה. רציתי לדעת: אילו סוגי סימטריה קיימים, במה הם שונים זה מזה, מהם העקרונות לבניית דמויות סימטריות בכל אחד מהסוגים.

מטרת העבודה : מבוא לסוגים שונים של סימטריה.

משימות:

למד את הספרות בנושא זה.

סיכום ושיטתיות של החומר הנלמד.

הכן מצגת.

בימי קדם, המילה "סימטריה" שימשה במשמעות של "הרמוניה", "יופי". בתרגום מיוונית, משמעות המילה הזו היא "מידתיות, מידתיות, זהות בסידור חלקים של משהו בצדדים מנוגדים של נקודה, קו או מישור.

ישנן שתי קבוצות של סימטריות.

הקבוצה הראשונה כוללת את הסימטריה של עמדות, צורות, מבנים. זוהי הסימטריה שניתן לראות ישירות. אפשר לקרוא לזה סימטריה גיאומטרית.

הקבוצה השנייה מאפיינת את הסימטריה תופעות פיזיקליותוחוקי הטבע. סימטריה זו נמצאת בבסיס תמונת מדעי הטבע של העולם: אפשר לקרוא לה סימטריה פיזיקלית.

אני מפסיק ללמודסימטריה גיאומטרית .

בתורו, ישנם גם כמה סוגים של סימטריה גיאומטרית: מרכזית, צירית, מראה (סימטריה ביחס למישור), רדיאלית (או סיבובית), ניידת ואחרות. אני אשקול היום 5 סוגי סימטריה.

סימטריה מרכזית

שתי נקודות A ו-A 1 נקראים סימטריים ביחס לנקודה O אם הם שוכנים על קו ישר העובר דרך m O ונמצאים בצדדים מנוגדים שלו באותו מרחק. הנקודה O נקראת מרכז הסימטריה.

הדמות נקראת סימטרית ביחס לנקודהעל אודות , אם עבור כל נקודה באיור הנקודה הסימטרית אליה ביחס לנקודהעל אודות שייך גם לנתון הזה. נְקוּדָהעל אודות המכונה מרכז הסימטריה של הדמות, אומרים שהדמות בעלת סימטריה מרכזית.

דוגמאות לדמויות בעלות סימטריה מרכזית הן המעגל והמקבילית.

הדמויות המוצגות בשקופית הן סימטריות ביחס לנקודה מסוימת

2. סימטריה צירית

שתי נקודותאיקס ו י נקרא סימטרי ביחס לקוט , אם הישר הזה עובר דרך נקודת האמצע של הקטע XY והוא מאונך אליו. כמו כן יש לומר כי כל נקודה של הקוט נחשב סימטרי לעצמו.

יָשָׁרט הוא ציר הסימטריה.

אומרים שהדמות היא סימטרית ביחס לקו ישר.ט, אם לכל נקודה באיור נקודה סימטרית לה ביחס לישרט שייך גם לנתון הזה.

יָשָׁרטהמכונה ציר הסימטריה של הדמות, אומרים שהדמות בעלת סימטריה צירית.

לסימטריה צירית יש זווית לא מפותחת, משולשים שווה שוקיים ומשולשים שווי צלעות, מלבן ומעוין,אותיות (ראה מצגת).

סימטריית מראה (סימטריה לגבי מישור)

שתי נקודות P 1 ו P נקראים סימטריים ביחס למישור a אם הם שוכנים על קו ישר בניצב למישור a ונמצאים באותו מרחק ממנו.

סימטריית מראה ידוע לכולם. הוא מחבר כל חפץ והשתקפות שלו במראה שטוחה. אומרים שדמות אחת היא מראה סימטרית לאחרת.

במישור, הדמות בעלת מספר אינסופי של צירי סימטריה הייתה מעגל. במרחב, למספר אינסופי של מישורי סימטריה יש כדור.

אבל אם המעגל הוא היחיד מסוגו, אז בעולם התלת מימדי יש מספר גופים שיש להם אינסוף מישורי סימטריה: גליל ישר עם עיגול בבסיסו, קונוס עם עיגול בסיס, כדור.

קל לקבוע שניתן לשלב כל דמות מישור סימטרית עם עצמה בעזרת מראה. מפתיע שגם דמויות מורכבות כמו כוכב מחומש או מחומש שווה צלעות הן סימטריות. כדלקמן ממספר הצירים, הם נבדלים דווקא על ידי הסימטריה הגבוהה שלהם. ולהיפך: לא כל כך קל להבין מדוע דמות כה קבועה לכאורה, כמו מקבילית אלכסונית, אינה סימטרית.

4. פ סימטריה סיבובית (או סימטריה רדיאלית)

סימטריה סיבובית היא סימטריה השומרת על צורתו של עצםכאשר מסתובבים סביב ציר כלשהו בזווית השווה ל-360° /נ(או כפולה של ערך זה), איפהנ= 2, 3, 4, … הציר המצוין נקרא הציר הסיבובינהסדר -.

בְּn=2 כל נקודות האיור מסובבות בזווית של 180 0 ( 360 0 /2 = 180 0 ) סביב הציר, בעוד שצורת הדמות נשמרת, כלומר. כל נקודה של הדמות הולכת לנקודה של אותה דמות (הדמות הופכת לתוך עצמה). הציר נקרא ציר הסדר השני.

איור 2 מציג את הציר של הסדר השלישי, איור 3 - הסדר הרביעי, איור 4 - הסדר החמישי.

לאובייקט יכול להיות יותר מציר סיבובי אחד: איור 1 - 3 צירי סיבוב, איור 2 - 4 צירים, איור 3 - 5 צירים, איור. 4 - רק ציר אחד

לאותיות הידועות "I" ו-"F" יש סימטריה סיבובית. אם תסובב את האות "I" ב-180 מעלות סביב ציר הניצב למישור האות ועובר במרכזה, אז האות תהיה מיושרת עם עצמו. במילים אחרות, האות "I" היא סימטרית ביחס לסיבוב ב-180°, 180°= 360°: 2,נ=2 , אז יש לו סימטריה מסדר שני.

שימו לב שגם לאות "F" יש סימטריה סיבובית מהסדר השני.

בנוסף, לאות ויש מרכז סימטריה, ולאות Ф יש ציר סימטריה

נחזור לדוגמאות מהחיים: כוס, קילו גלידה בצורת חרוט, חתיכת חוט, מקטרת.

אם נסתכל מקרוב על הגופים הללו, נבחין שכולם, כך או אחרת, מורכבים ממעגל, דרך מספר אינסופי של צירי סימטריה אשר עוברים מספר אינסופי של מישורי סימטריה. לרוב הגופים הללו (הם נקראים גופי מהפכה) יש, כמובן, גם מרכז סימטריה (מרכז מעגל), שדרכו עובר לפחות ציר סימטריה סיבובי אחד.

נראה בבירור, למשל, הציר של גביע הגלידה. הוא עובר מאמצע העיגול (בולט מהגלידה!) ועד לקצה החד של הקונוס הפאנקי. אנו תופסים את קבוצת מרכיבי הסימטריה של גוף כמעין מדד סימטריה. הכדור, ללא ספק, מבחינת סימטריה הוא התגלמות חסרת תקדים של שלמות, אידיאל. היוונים הקדמונים תפסו אותו כגוף המושלם ביותר, ואת המעגל, כמובן, כדמות השטוחה המושלמת ביותר.

כדי לתאר את הסימטריה של אובייקט מסוים, יש צורך לציין את כל צירי הסיבוב ואת סדרם, כמו גם את כל מישורי הסימטריה.

חשבו, למשל, גוף גיאומטרי המורכב משתי פירמידות מרובע רגילות זהות.

יש לו ציר סיבובי אחד מסדר 4 (ציר AB), ארבעה צירים סיבוביים מסדר 2 (צירים CE,ד.פ., MP, NQ), חמישה מישורי סימטריה (מישוריםCDEF, AFBD, ACBE, AMBP, ANBQ).

5 . סימטריה ניידת

סוג אחר של סימטריה הואנייד עם סִימֶטרִיָה.

הם מדברים על סימטריה כזו כאשר, כאשר דמות מוזזת לאורך קו ישר למרחק כלשהו "a" או מרחק שהוא כפולה של ערך זה, היא משולבת עם עצמה הקו הישר שלאורכו מתבצעת ההעברה נקרא ציר ההעברה, והמרחק "a" נקרא צעד ההעברה היסודי, הנקודה או הסימטריה.

א

דפוס שחוזר על עצמו מדי פעם על סרט ארוך נקרא גבול. בפועל, גבולות נמצאים בצורות שונות (ציור קיר, יציקת ברזל, תבליטי גבס או קרמיקה). גבולות משמשים ציירים ואמנים בעת עיצוב החדר. כדי לבצע קישוטים אלה, סטנסיל נעשה. אנחנו מזיזים את השבלונה, הופכים אותה או לא הופכים אותה, מציירים קו מתאר, חוזרים על התבנית ומקבלים קישוט (הדגמה חזותית).

קל לבנות את הגבול באמצעות סטנסיל (אלמנט מקורי), הזזה או היפוך וחזרה על התבנית. האיור מציג חמישה סוגים של שבלונות:א ) א - סימטרי;ב, ג ) בעל ציר סימטריה אחד: אופקי או אנכי;ג ) סימטרי מרכזי;ד ) בעל שני צירים של סימטריה: אנכי ואופקי.

התמורות הבאות משמשות לבניית גבולות:

א ) העברה מקבילה;ב ) סימטריה על הציר האנכי;V ) סימטריה מרכזית;ג ) סימטריה על הציר האופקי.

באופן דומה, אתה יכול לבנות שקעים. בשביל זה, המעגל מחולק לנ סקטורים שווים, באחד מהם מתבצעת דפוס דגימה ואז האחרון חוזר על עצמו ברצף בחלקים הנותרים של המעגל, תוך סיבוב התבנית בכל פעם בזווית של 360° /נ .

דוגמה טובהיישום של סימטריה צירית ופיגורטיבית יכול לשמש כגדר המוצגת בתצלום.

מסקנה: לפיכך, ישנם סוגים שונים של סימטריה, נקודות סימטריות בכל אחד מסוגי הסימטריה הללו בנויות על פי חוקים מסוימים. בחיים אנו פוגשים בכל מקום סוג כזה או אחר של סימטריה, ולעיתים בחפצים שמקיפים אותנו ניתן לציין כמה סוגי סימטריה בבת אחת. זה יוצר סדר, יופי ושלמות בעולם שסביבנו.

סִפְרוּת:

מדריך למתמטיקה יסודית. M.Ya. ויגודסקי. - הוצאה לאור "מדע". - מוסקבה 1971. – 416 עמ'.

מילון מודרני של מילים זרות. - מ.: השפה הרוסית, 1993.

היסטוריה של המתמטיקה בבית הספרט - איקסשיעורים. G.I. גלזר. - הוצאה לאור "נאורות". - מוסקבה 1983 – 351 עמ'.

גיאומטריה חזותית 5 - 6 שיעורים. אם. Sharygin, L.N. ארגנז'ייב. - הוצאת הספרים "דרופה", מוסקבה, 2005. - 189 עמ'

אנציקלופדיה לילדים. ביולוגיה. ס' איסמעילובה. – הוצאת "אוונטה+". - מוסקבה 1997 – 704 עמ'.

Urmantsev Yu.A. סימטריה של הטבע וטבע הסימטריה - מ': מחשבהארכיטקטורה / arhkomp2. htm, , en.wikipedia.org/wiki/

בניין חזית אדריכלי סימטריה

סימטריה היא מושג המשקף את הסדר הקיים בטבע, מידתיות ומידתיות בין המרכיבים של כל מערכת או מושא טבע, סדר, איזון המערכת, יציבות, כלומר. אלמנט כלשהו של הרמוניה.

אלפי שנים חלפו עד שהאנושות, במהלך פעילות הייצור החברתי שלה, הבינה את הצורך לבטא במונחים מסוימים את שתי הנטיות שנקבעו על ידה בעיקר בטבע: קיומה של סדר קפדני, מידתיות, איזון והפרתן. אנשים הקדישו תשומת לב מזמן לנכונות צורת הגבישים, הקפדנות הגיאומטרית של מבנה חלות הדבש, הרצף והחזרה על סידור הענפים והעלים על עצים, עלי כותרת, פרחים, זרעי צמחים, והפגינו את הסדר הזה. פעילויות מעשיות, חשיבה ואמנות.

סימטריה מוחזקת על ידי אובייקטים ותופעות של טבע חי. זה לא רק משמח את העין ומעורר השראה במשוררים מכל הזמנים והעמים, אלא מאפשר לאורגניזמים חיים להסתגל טוב יותר לסביבתם ופשוט לשרוד.

בטבע החי, הרוב המכריע של האורגניזמים החיים מציגים סוגים שונים של סימטריות (צורה, דמיון, מיקום יחסי). יתר על כן, אורגניזמים שונים מבנה אנטומיעשוי להיות בעל אותו סוג של סימטריה חיצונית.

עקרון הסימטריה - קובע שאם החלל הומוגני, העברת המערכת כולה במרחב אינה משנה את תכונות המערכת. אם כל הכיוונים במרחב שווים, אז עקרון הסימטריה מאפשר סיבוב של המערכת כולה במרחב. עקרון הסימטריה מתקיים אם משנים את מקור הזמן. בהתאם לעיקרון, ניתן לבצע מעבר למסגרת ייחוס אחרת הנעה ביחס למסגרת זו במהירות קבועה. העולם הדומם הוא מאוד סימטרי. לעתים קרובות יש פגיעה בסימטריה פיזיקת קוונטיםחלקיקים יסודיים הם ביטוי של סימטריה עמוקה עוד יותר. אסימטריה היא העיקרון היוצר והיצירתי של החיים. בתאים חיים, ביומולקולות משמעותיות מבחינה תפקודית הן אסימטריות: חלבונים מורכבים מחומצות אמינו שמאליות (צורת L), וחומצות גרעין מכילות, בנוסף לבסיסים הטרוציקליים, פחמימות ימניות - סוכרים (צורת D), בנוסף, ה-DNA עצמו הוא הבסיס לתורשה הוא סליל כפול ימני.

עקרונות הסימטריה עומדים בבסיס תורת היחסות, מכניקת הקוונטים, פיזיקת מצב מוצק, פיזיקה אטומית וגרעינית, פיזיקת חלקיקים יסודיים. עקרונות אלו באים לידי ביטוי בצורה הברורה ביותר בתכונות השונות של חוקי הטבע. במקרה זה, אנחנו מדברים לא רק על חוקים פיזיקליים, אלא גם על אחרים, למשל, ביולוגיים. דוגמה לחוק שימור ביולוגי הוא חוק הירושה. זה מבוסס על השונות תכונות ביולוגיותביחס למעבר מדור לדור. ברור למדי שללא חוקי השימור (פיזיים, ביולוגיים ואחרים), העולם שלנו פשוט לא יכול היה להתקיים.

לפיכך, סימטריה מבטאת שימור של משהו עם שינויים מסוימים או שימור של משהו למרות שינוי. סימטריה מרמזת על אי-השינוי של האובייקט עצמו, אלא גם של כל תכונות שלו ביחס לטרנספורמציות המבוצעות על האובייקט. ניתן להבחין בחוסר משתנה של עצמים מסוימים ביחס לפעולות שונות - לסיבובים, תרגומים, החלפה הדדית של חלקים, השתקפויות וכו'.

שקול את סוגי הסימטריה במתמטיקה:

• * מרכזי (ביחס לנקודה)
• * צירי (יחסית ישר)
• *מראה (ביחס למטוס)
• 1. סימטריה מרכזית (נספח 1)

דמות נקראת סימטרית ביחס לנקודה O אם עבור כל נקודה באיור הנקודה הסימטרית אליה ביחס לנקודה O שייכת גם לדמות זו. נקודה O נקראת מרכז הסימטריה של הדמות.

הרעיון של מרכז סימטריה נתקל לראשונה במאה ה-16. באחד ממשפטי Clavius, שאומר: "אם קופסה נחתכת על ידי מישור העובר במרכז, אז היא מפוצלת לשניים, ולהפך, אם התיבה נחתכת לשניים, אז המטוס עובר דרך מֶרְכָּז." לג'נדר, שהכניס לראשונה אלמנטים של תורת הסימטריה לגיאומטריה היסודית, מראה שלמקבילה ימנית יש 3 מישורי סימטריה מאונכים לקצוות, ולקוביה יש 9 מישורי סימטריה, מתוכם 3 מאונכים לקצוות, 6 אחרים עוברים דרך אלכסוני הפנים.

דוגמאות לדמויות בעלות סימטריה מרכזית הן המעגל והמקבילית.

באלגברה, כאשר לומדים פונקציות זוגיות ואי-זוגיות, רואים את הגרפים שלהן. הגרף של פונקציה זוגית כשמתווים הוא סימטרי על ציר ה-y, והגרף של פונקציה אי זוגית הוא בערך המקור, כלומר. נקודה O. אז, לא פונקציה אפילויש סימטריה מרכזית, ולפונקציה זוגית יש סימטריה צירית.

2. סימטריה צירית (נספח 2)

דמות נקראת סימטרית ביחס לישר a, אם עבור כל נקודה באיור הנקודה הסימטרית אליה ביחס לישר a שייכת גם לדמות זו. הקו a נקרא ציר הסימטריה של הדמות. אומרים שהדמות בעלת סימטריה צירית.

במובן הצר יותר, ציר הסימטריה נקרא ציר הסימטריה מהסדר השני והם מדברים על "סימטריה צירית", אותה ניתן להגדיר כך: לדמות (או גוף) יש סימטריה צירית סביב ציר כלשהו, ​​אם כל אחד מנקודות E שלו מתאימה לנקודה F כזו השייכת לאותה דמות, שהקטע EF מאונך לציר, חותך אותו ומחולק לשניים בנקודת החיתוך.

אתן דוגמאות לדמויות בעלות סימטריה צירית. לזווית פרושה יש ציר סימטריה אחד - קו ישר שעליו ממוקם חוצה של הזווית. למשולש שווה שוקיים (אך לא שווה צלעות) יש גם ציר סימטריה אחד, ולמשולש שווה שוקיים שלושה צירי סימטריה. מלבן ומעוין, שאינם ריבועים, לכל אחד מהם שני צירי סימטריה, ולריבוע ארבעה צירי סימטריה. למעגל יש מספר אינסופי מהם - כל קו ישר העובר במרכזו הוא ציר סימטריה.

יש דמויות שאין להן שום ציר סימטריה. דמויות כאלה כוללות מקבילית שאינה מלבן, משולש בקנה מידה.

3. סימטריית מראה (נספח 3)

סימטריית מראה (סימטריה ביחס למישור) היא מיפוי כזה של החלל על עצמו, שבו כל נקודה M עוברת לנקודה M1 סימטרית לה ביחס למישור הזה.

סימטריית מראה מוכרת היטב לכל אדם מהתבוננות יומיומית. כפי שהשם עצמו מראה, סימטריית המראה מחברת כל עצם והשתקפותו במראה שטוחה. אומרים שדמות (או גוף) אחת היא מראה סימטרית לאחרת אם יחד הם יוצרים דמות (או גוף) סימטרית במראה.

שחקני ביליארד כבר מזמן מכירים את פעולת השתקפות. ה"מראות" שלהם הן צידי מגרש המשחקים, ומסלולי הכדורים ממלאים תפקיד של קרן אור. לאחר שפגע בלוח ליד הפינה, הכדור מתגלגל לצד הממוקם בזווית ישרה, ומשתקף ממנו, נע אחורה במקביל לכיוון הפגיעה הראשונה.

יש לציין ששתי דמויות סימטריות או שני חלקים סימטריים של דמות אחת, על כל הדמיון ביניהם, שוויון נפחים ושטחי פנים, במקרה הכללי, אינם שווים, כלומר. לא ניתן לשלב אותם אחד עם השני. אלו דמויות שונות, לא ניתן להחליף אותן זו בזו, למשל, הכפפה הנכונה, המגף וכו'. לא מתאים ליד שמאל, רגל. לפריטים יכולים להיות אחד, שניים, שלושה וכו'. מישורי סימטריה. לדוגמה, פירמידה ישרה שהבסיס שלה הוא משולש שווה שוקיים היא סימטרית ביחס למישור אחד P. למנסרה בעלת אותו בסיס יש שני מישורי סימטריה. בפריזמה משושה רגילה יש שבעה מהם. מוצקי מהפכה: כדור, טורוס, גליל, קונוס וכו'. בעלי מספר אינסופי של מישורי סימטריה.

היוונים הקדמונים האמינו שהיקום הוא סימטרי פשוט בגלל שסימטריה יפה. בהתבסס על שיקולי סימטריה, הם העלו מספר השערות. אז, פיתגורס (המאה החמישית לפני הספירה), בהתחשב בכדור הכי סימטרי ו צורה מושלמת, עשה מסקנה על כדוריות כדור הארץ ועל תנועתו סביב הכדור. במקביל, הוא האמין שכדור הארץ נע לאורך הכדור של "אש מרכזית" מסוימת. סביב אותה "אש", לפי פיתגורס, ששת כוכבי הלכת הידועים באותה תקופה, כמו גם הירח, השמש והכוכבים, היו אמורים להסתובב.

אתה תצטרך

• - תכונות של נקודות סימטריות;
• - מאפיינים של דמויות סימטריות;
• - סרגל;
• - כיכר;
• - מצפן;
• - עיפרון;
• - עיתון;
• - מחשב עם עורך גרפי.

הוראה

צייר קו a, שיהיה ציר הסימטריה. אם הקואורדינטות שלו לא ניתנות, צייר אותה באופן שרירותי. בצד אחד של הקו הזה, שים נקודה שרירותית A. אתה צריך למצוא נקודה סימטרית.

עצה מועילה

מאפייני סימטריה נמצאים בשימוש מתמיד בתוכנית AutoCAD. לשם כך, נעשה שימוש באפשרות Mirror. לבנייה משולש שווה שוקייםאו טרפז שווה שוקיים, מספיק לצייר את הבסיס התחתון ואת הזווית בינו לבין הצד. שיקוף אותם בפקודה שצוינה והרחיב את הצדדים לגודל הנדרש. במקרה של משולש, זו תהיה נקודת החיתוך שלהם, ולטרפז זה יהיה ערך נתון.

אתה נתקל כל הזמן בסימטריה בעורכים גרפיים כאשר אתה משתמש באפשרות "היפוך אנכי/אופקי". במקרה זה, קו ישר המתאים לאחד הצדדים האנכיים או האופקיים של מסגרת התמונה נלקח כציר הסימטריה.

מקורות:

• איך לצייר סימטריה מרכזית

בניית קטע של קונוס אינה כזו משימה קשה. העיקר הוא לעקוב אחר רצף קפדני של פעולות. אז משימה זו תהיה קלה לביצוע ולא תדרוש ממך מאמץ רב.

אתה תצטרך

• - עיתון;
• - עט;
• - מעגל;
• - סרגל.

הוראה

כשעונה על שאלה זו, תחילה עליך להחליט לאילו פרמטרים מוגדר הסעיף.
זה יהיה קו החיתוך של המישור l עם המישור ונקודת O, שהיא נקודת החיתוך עם החתך שלו.

המבנה מודגם באיור 1. השלב הראשון בבניית קטע הוא דרך מרכז החתך בקוטר שלו, המורחבת עד l בניצב לקו זה. כתוצאה מכך מתקבלת נקודה L. בהמשך, דרך נקודה O, שרטטו קו ישר LW, ובנו שני קונוסים מכוונים השוכבים בקטע הראשי O2M ו-O2C. בצומת של מדריכים אלה שוכנת הנקודה Q, כמו גם הנקודה W שכבר מוצגת. אלו הן שתי הנקודות הראשונות של הקטע הנדרש.

כעת צייר MC מאונך בבסיס החרוט BB1 ובנה את המחוללים של הקטע הניצב O2B ו-O2B1. בקטע זה, צייר קו ישר RG דרך t.O, במקביל ל-BB1. T.R ו-t.G - עוד שתי נקודות של הקטע הרצוי. אם החתך של הכדור היה ידוע, אז ניתן היה לבנות אותו כבר בשלב זה. עם זאת, זו לא אליפסה בכלל, אלא משהו אליפטי, בעל סימטריה ביחס לקטע QW. לכן, כדאי לבנות כמה שיותר נקודות של הקטע כדי לחבר אותן בעתיד בעקומה חלקה כדי לקבל את הסקיצה האמינה ביותר.

בנה נקודת חתך שרירותית. כדי לעשות זאת, צייר קוטר שרירותי AN בבסיס החרוט ובנה את המדריכים המתאימים O2A ו- O2N. דרך PO צייר קו ישר העובר דרך PQ ו-WG, עד שהוא נחתך עם המדריכים החדשים שנבנו בנקודות P ו-E. אלו עוד שתי נקודות של הקטע הרצוי. אם ממשיכים באותה דרך ובהמשך, אתה יכול נקודות רצויות באופן שרירותי.

נכון, ניתן לפשט מעט את ההליך להשגתן באמצעות סימטריה ביחס ל-QW. לשם כך אפשר לצייר קווים ישרים SS' במקביל ל-RG במישור החתך הרצוי, במקביל ל-RG עד שהם מצטלבים עם פני החרוט. הבנייה הושלמה על ידי עיגול הפוליליין הבנוי מאקורדים. די לבנות חצי מהקטע הנדרש בשל הסימטריה שהוזכרה כבר ביחס ל-QW.

סרטונים קשורים

טיפ 3: איך לתכנן פונקציה טריגונומטרית

אתה צריך לצייר לוח זמניםטריגונומטרי פונקציות? שלטו באלגוריתם הפעולות באמצעות הדוגמה של בניית סינוסואיד. כדי לפתור את הבעיה, השתמש בשיטת המחקר.

אתה תצטרך

• - סרגל;
• - עיפרון;
• - הכרת יסודות הטריגונומטריה.

הוראה

סרטונים קשורים

הערה

אם שני הצירים למחצה של היפרבולואיד חד נתיב שווים, ניתן לקבל את הנתון על ידי סיבוב של היפרבולה עם צירים למחצה, שאחד מהם הוא האמור לעיל, והשני, השונה משני שווים, סביב ציר דמיוני.

עצה מועילה

כאשר בוחנים נתון זה ביחס לצירים Oxz ו-Oyz, ברור שהקטעים העיקריים שלו הם היפרבולות. וכאשר דמות מרחבית נתונה של סיבוב נחתכת על ידי מישור האוקסי, החתך שלה הוא אליפסה. אליפסת הגרון של היפרבולואיד בעל רצועה אחת עוברת דרך המקור, שכן z=0.

אליפסת הגרון מתוארת על ידי המשוואה x²/a² +y²/b²=1, והאליפסות האחרות מורכבות על ידי המשוואה x²/a² +y²/b²=1+h²/c².

מקורות:

• אליפסואידים, פרבולואידים, היפרבולואידים. גנרטורים ישרים

צורת הכוכב המחומש נמצאה בשימוש נרחב על ידי האדם מאז ימי קדם. אנו רואים בצורתו יפה, שכן אנו מבחינים באופן לא מודע בין היחסים של חתך הזהב בו, כלומר. יופיו של הכוכב המחומש מוצדק מבחינה מתמטית. אוקלידס היה הראשון שתיאר את בנייתו של כוכב מחומש ב"התחלות" שלו. בואו נסתכל על הניסיון שלו.

אתה תצטרך

• סרגל;
• עִפָּרוֹן;
• מצפן;
• מַד זָוִית.

הוראה

בנייתו של כוכב מצטמצמת לבנייה וחיבור לאחר מכן של קודקודיו זה לזה ברצף דרך אחד. כדי לבנות את המעגל הנכון, יש צורך לשבור את המעגל לחמישה.
בנה מעגל שרירותי באמצעות מצפן. סמן את מרכזו ב-O.

סמן נקודה A והשתמש בסרגל כדי לצייר קטע קו OA. עכשיו אתה צריך לחלק את הקטע OA לשניים, בשביל זה, מנקודה A, לצייר קשת עם רדיוס OA עד שהיא נחתכת עם מעגל בשתי נקודות M ו-N. בנה קטע MN. נקודה E, שבה MN חוצה את OA, תחצה את הקטע OA.

שחזר את ה-OD האנכי לרדיוס OA וחבר את נקודה D ו-E. בצע חריץ B על OA מנקודה E עם רדיוס ED.

כעת, באמצעות הקטע DB, סמן את העיגול לחמישה חלקים שווים. סמן את הקודקודים של המחומש הרגיל ברצף במספרים מ-1 עד 5. חברו את הנקודות ברצף הבא: 1 עם 3, 2 עם 4, 3 עם 5, 4 עם 1, 5 עם 2. הנה חמש הנקודות הנכונות כוכב, לתוך מחומש רגיל. כך הוא בנה