פּרִיזמָה. מַקבִּילוֹן

פּרִיזמָהנקרא פולידרון ששני פניו שווים n-גונים (נימוק) , שוכב במישורים מקבילים, ו-n הפרצופים הנותרים הם מקבילים (קצוות צד) . צלע צד פריזמה היא הצד של הפנים לרוחב שאינו שייך לבסיס.

מנסרה שהקצוות הצדדיים שלה מאונכים למישורי הבסיסים נקראת יָשָׁר פריזמה (איור 1). אם הקצוות הצדדיים אינם מאונכים למישורים של הבסיסים, אז המנסרה נקראת אֲלַכסוֹנִי . נכון פריזמה היא פריזמה ישרה שבסיסיה הם מצולעים רגילים.

גוֹבַהפריזמה נקראת המרחק בין מישורי הבסיסים. אֲלַכסוֹנִי פריזמה היא קטע המחבר בין שני קודקודים שאינם שייכים לאותו פנים. חתך אלכסוני קטע של פריזמה על ידי מישור העובר דרך שני קצוות צדדיים שאינם שייכים לאותו פנים נקרא. חתך מאונך נקרא קטע המנסרה במישור המאונך לקצה הרוחבי של המנסרה.

שטח פנים צדדי פריזמה היא סכום השטחים של כל פני הצד. שטח פנים מלא סכום השטחים של כל פני הפריזמה נקרא (כלומר, סכום השטחים של פני הצד ושטחי הבסיסים).

עבור פריזמה שרירותית, הנוסחאות נכונות:

איפה להוא אורך הצלע הצדדית;

ח- גובה;

פ

ש

צד S

S מלא

S עיקריהוא שטח הבסיסים;

Vהוא נפח המנסרה.

עבור פריזמה ישרה, הנוסחאות הבאות נכונות:

איפה ע- היקף הבסיס;

להוא אורך הצלע הצדדית;

ח- גובה.

מַקבִּילוֹןמנסרה שהבסיס שלה הוא מקבילית נקראת. מקבילית שהקצוות הצדדיים שלו מאונכים לבסיסים נקרא ישיר (איור 2). אם הקצוות הצדדיים אינם מאונכים לבסיסים, אזי נקרא המקבילית אֲלַכסוֹנִי . מקביל ימני שבסיסו הוא מלבן נקרא מַלבֵּנִי. נקרא מקבילי מלבני שבו כל הקצוות שווים קוּבִּיָה.

פניו של מקבילי שאין להם קודקודים משותפים נקראים מול . אורכי הקצוות הנובעים מקודקוד אחד נקראים מידות מַקבִּילוֹן. מכיוון שהתיבה היא פריזמה, האלמנטים העיקריים שלה מוגדרים באותו אופן כפי שהם מוגדרים עבור פריזמות.

משפטים.

1. האלכסונים של המקביל חותכים בנקודה אחת וחוצים אותו.

2. במקביל מלבני, ריבוע אורך האלכסון שווה לסכוםריבועים משלושת הממדים שלו:

3. כל ארבעת האלכסונים קובידשווים זה לזה.

עבור מקבילית שרירותית, הנוסחאות הבאות נכונות:

איפה להוא אורך הצלע הצדדית;

ח- גובה;

פהוא היקף החתך הניצב;

ש- שטח של חתך מאונך;

צד Sהוא שטח הפנים לרוחב;

S מלאהוא שטח הפנים הכולל;

S עיקריהוא שטח הבסיסים;

Vהוא נפח המנסרה.

עבור מקבילי ימני, הנוסחאות הבאות נכונות:

איפה ע- היקף הבסיס;

להוא אורך הצלע הצדדית;

חהוא גובה המקבילה הימני.

עבור מקבילי מלבני, הנוסחאות הבאות נכונות:

(3)

איפה ע- היקף הבסיס;

ח- גובה;

ד- אלכסוני;

א ב ג– מדידות של מקבילית.

הנוסחאות הנכונות לקובייה הן:

איפה אהוא אורך הצלע;

דהוא האלכסון של הקוביה.

דוגמה 1האלכסון של קוביד מלבני הוא 33 ד"מ, והמידות שלו קשורות ל-2:6: 9. מצא את מידות הקוביד.

פִּתָרוֹן.כדי למצוא את מידות המקבילה, אנו משתמשים בנוסחה (3), כלומר. העובדה שריבוע התחתון של קוביד שווה לסכום ריבועי מידותיו. סמן ב קמקדם מידתיות. אז הממדים של המקבילי יהיו שווים ל-2 ק, 6קו-9 ק. אנו כותבים נוסחה (3) עבור נתוני הבעיה:

פתרון משוואה זו עבור ק, אנחנו מקבלים:

לפיכך, מידות המקבילה הן 6 ד"מ, 18 ד"מ ו-27 ד"מ.

תשובה: 6 ד"מ, 18 ד"מ, 27 ד"מ.

דוגמה 2מצא נפח של אלכסוני מנסרה משולשת, שבסיסו הוא משולש שווה צלעות עם צלע של 8 ס"מ, אם הקצה הרוחבי שווה לצלע הבסיס ונוטה בזווית של 60º לבסיס.

פִּתָרוֹן . בואו נעשה ציור (איור 3).

כדי למצוא את הנפח של פריזמה נוטה, אתה צריך לדעת את שטח הבסיס והגובה של סיביות. שטח הבסיס של פריזמה זו הוא שטח של משולש שווה צלעות עם צלע של 8 ס"מ. בוא נחשב את זה:

גובה המנסרה הוא המרחק בין הבסיסים שלה. מלמעלה א 1 של הבסיס העליון נוריד את האנך למישור הבסיס התחתון א 1 ד. אורכו יהיה גובה הפריזמה. קחו בחשבון את ד א 1 מוֹדָעָה: שכן זוהי זווית הנטייה של הצלע הצדדית א 1 אלמישור הבסיס א 1 א= 8 ס"מ. ממשולש זה אנו מוצאים א 1 ד:

כעת אנו מחשבים את הנפח באמצעות נוסחה (1):

תשובה: 192 סמ"ק.

דוגמה 3הקצה לרוחב של פריזמה משושה רגילה הוא 14 ס"מ. שטח החתך האלכסוני הגדול ביותר הוא 168 ס"מ 2. מצא את שטח הפנים הכולל של המנסרה.

פִּתָרוֹן.בואו נעשה ציור (איור 4)

החתך האלכסוני הגדול ביותר הוא מלבן א.א 1 DD 1 , מאז האלכסון מוֹדָעָהמשושה רגיל א ב ג ד ה והוא הגדול ביותר. על מנת לחשב את שטח הפנים לרוחב של פריזמה, יש צורך לדעת את צד הבסיס ואת אורך הצלע הצדדית.

לדעת את שטח החתך האלכסוני (מלבן), אנו מוצאים את האלכסון של הבסיס.

בגלל שאז

מאז א.ב= 6 ס"מ.

אז היקף הבסיס הוא:

מצא את שטח המשטח הרוחבי של המנסרה:

השטח של משושה רגיל עם צלע של 6 ס"מ הוא:

מצא את שטח הפנים הכולל של המנסרה:

תשובה:

דוגמה 4הבסיס של מקבילי ימני הוא מעוין. שטחי החתכים האלכסוניים הם 300 ס"מ 2 ו-875 ס"מ 2. מצא את השטח של משטח הצד של המקבילית.

פִּתָרוֹן.בואו נעשה ציור (איור 5).

סמן את הצד של המעוין על ידי א, האלכסונים של המעוין ד 1 ו ד 2, גובה הקופסה ח. כדי למצוא את שטח הפנים לרוחב של מקבילי ישר, יש צורך להכפיל את היקף הבסיס בגובה: (נוסחה (2)). היקף בסיס p = AB + BC + CD + DA = 4AB = 4a, כי א ב ג ד- מעוין. H = AA 1 = ח. זֶה. צריך למצוא או ח.

שקול קטעים אלכסוניים. א.א 1 SS 1 - מלבן שצד אחד שלו הוא אלכסון של מעוין AC = ד 1, קצה צד שני א.א 1 = ח, לאחר מכן

באופן דומה למדור ב.ב 1 DD 1 אנחנו מקבלים:

שימוש בתכונה של מקבילית כך שסכום ריבועי האלכסונים שווה לסכום הריבועים של כל צלעותיה, נקבל את השוויון נקבל את הדבר הבא.

IN מערכת של ביהסבמהלך הגיאומטריה המוצקה, לימוד דמויות תלת-ממדיות מתחיל בדרך כלל בגוף גיאומטרי פשוט - פוליהדרון פריזמה. תפקיד הבסיסים שלו מבוצע על ידי 2 מצולעים שווים השוכנים במישורים מקבילים. מקרה מיוחד הוא פריזמה מרובעת רגילה. הבסיסים שלו הם 2 מרובעים רגילים זהים, שהצלעות מאונכות אליהם, בעלי צורה של מקביליות (או מלבנים אם המנסרה אינה נוטה).

איך נראית פריזמה

מנסרה מרובעת רגילה היא משושה, שבבסיסיה יש 2 ריבועים, ופני הצדדיים מיוצגים על ידי מלבנים. שם נוסף לדמות גיאומטרית זו הוא מקבילי ישר.

הדמות, המתארת ​​פריזמה מרובעת, מוצגת להלן.

אפשר לראות גם בתמונה האלמנטים החשובים ביותר המרכיבים גוף גיאומטרי. הם מכונים בדרך כלל כ:

לפעמים בבעיות בגיאומטריה אפשר למצוא את המושג של קטע. ההגדרה תישמע כך: חתך הוא כל הנקודות של גוף נפחי השייכות למישור החיתוך. החתך מאונך (חוצה את קצוות הדמות בזווית של 90 מעלות). עבור פריזמה מלבנית, נחשב גם חתך אלכסוני (המספר המרבי של חתכים שניתן לבנות הוא 2), העובר דרך 2 קצוות ואלכסוני הבסיס.

אם החתך מצויר בצורה כזו שמישור החיתוך אינו מקביל לא לבסיסים או לצדדים, התוצאה היא פריזמה קטומה.

משתמשים ביחסים ונוסחאות שונות כדי למצוא את האלמנטים הפריזמטיים המופחתים. חלקם ידועים במהלך הפלנימטריה (לדוגמה, כדי למצוא את שטח בסיס הפריזמה, די להיזכר בנוסחה של שטח ריבוע).

שטח פנים ונפח

כדי לקבוע את נפח הפריזמה באמצעות הנוסחה, אתה צריך לדעת את השטח של בסיס וגובה סיביות:

V = Sprim h

מאז הבסיס של פריזמה טטרהדרלית רגילה הוא ריבוע עם צד א,אתה יכול לכתוב את הנוסחה בצורה מפורטת יותר:

V = a² h

אם אנחנו מדברים על קובייה - פריזמה רגילה עם אורך שווה, רוחב וגובה, הנפח מחושב באופן הבא:

כדי להבין איך למצוא את שטח הפנים לרוחב של פריזמה, אתה צריך לדמיין את הטאטוא שלה.

ניתן לראות מהציור שמשטח הצד מורכב מ-4 מלבנים שווים. שטחו מחושב כמכפלה של היקף הבסיס וגובה הדמות:

Sside = Pos h

מאז ההיקף של ריבוע הוא P = 4a,הנוסחה לובשת את הצורה:

צד = 4a h

לקובייה:

צד = 4a²

כדי לחשב את שטח הפנים הכולל של פריזמה, הוסף 2 שטחי בסיס לשטח הצד:

Sfull = Sside + 2Sbase

כפי שמיושם על פריזמה רגילה מרובעת, לנוסחה יש את הצורה:

מלא = 4a h + 2a²

עבור שטח הפנים של קובייה:

מלא = 6a²

לדעת את הנפח או שטח הפנים, אתה יכול לחשב את האלמנטים הבודדים של גוף גיאומטרי.

מציאת יסודות פריזמה

לעתים קרובות יש בעיות שבהן הנפח נתון או הערך של שטח הפנים לרוחב ידוע, שם יש צורך לקבוע את אורך דופן הבסיס או הגובה. במקרים כאלה, ניתן לגזור נוסחאות:

• אורך צד בסיס: a = Sside / 4h = √(V / h);
• גובה או אורך צלעות צד: h = Sside / 4a = V / a²;
• שטח בסיס: Sprim = V / h;
• אזור הפנים בצד: צַד gr = Sside / 4.

כדי לקבוע כמה שטח יש לקטע אלכסוני, עליך לדעת את אורך האלכסון ואת גובה הדמות. בשביל ריבוע d = a√2.לָכֵן:

Sdiag = אה√2

כדי לחשב את האלכסון של המנסרה, משתמשים בנוסחה:

dprize = √(2a² + h²)

כדי להבין כיצד ליישם את היחסים הנ"ל, אתה יכול לתרגל ולפתור כמה משימות פשוטות.

דוגמאות לבעיות עם פתרונות

להלן חלק מהמשימות המופיעות בבחינות הגמר של המדינה במתמטיקה.

תרגיל 1.

בקופסה בעלת הצורה הנכונה פריזמה מרובעת, שפכו חול. גובה המפלס שלו הוא 10 ס"מ. מה תהיה מפלס החול אם תעבירו אותו לתוך מיכל באותה צורה, אבל עם אורך בסיס ארוך פי 2?

יש לטעון כך. כמות החול במיכל הראשון והשני לא השתנתה, כלומר, נפחו בהם זהה. אתה יכול להגדיר את אורך הבסיס כ א. במקרה זה, עבור התיבה הראשונה, נפח החומר יהיה:

V₁ = ha² = 10a²

עבור התיבה השנייה, אורך הבסיס הוא 2א, אך גובה מפלס החול אינו ידוע:

V₂ = h(2a)² = 4ha²

בגלל ה V₁ = V₂, ניתן להשוות את הביטויים:

10a² = 4ha²

לאחר הפחתת שני הצדדים של המשוואה ב-a², נקבל:

כתוצאה מכך, מפלס החול החדש יהיה h = 10 / 4 = 2.5ס"מ.

משימה 2.

ABCDA₁B₁C₁D₁ היא פריזמה רגילה. ידוע ש-BD = AB₁ = 6√2. מצא את שטח הפנים הכולל של הגוף.

כדי להקל להבין אילו אלמנטים ידועים, אתה יכול לצייר דמות.

מכיוון שאנו מדברים על פריזמה רגילה, ניתן להסיק שהבסיס הוא ריבוע בעל אלכסון 6√2. לאלכסון של פני הצד יש ערך זהה, לכן גם לפנים הצד יש צורה של ריבוע השווה לבסיס. מסתבר שכל שלושת הממדים - אורך, רוחב וגובה - שווים. אנו יכולים להסיק ש-ABCDA₁B₁C₁D₁ היא קובייה.

אורך כל קצה נקבע דרך האלכסון הידוע:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

שטח הפנים הכולל נמצא על ידי הנוסחה של הקובייה:

מלא = 6a² = 6 6² = 216

משימה 3.

החדר בשיפוצים. ידוע שלרצפתו יש צורה של ריבוע בשטח של 9 מ"ר. גובה החדר הוא 2.5 מ'. מה העלות הנמוכה ביותר של טפטים לחדר אם 1 מ"ר עולה 50 רובל?

מכיוון שהרצפה והתקרה הם ריבועים, כלומר מרובעים רגילים, וקירותיה מאונכים למשטחים אופקיים, ניתן להסיק שמדובר בפריזמה רגילה. יש צורך לקבוע את שטח פני השטח לרוחב שלו.

אורך החדר הוא a = √9 = 3 M.

הכיכר תכוסה בטפט צד = 4 3 2.5 = 30 מ"ר.

העלות הנמוכה ביותר של טפט לחדר זה תהיה 50 30 = 1500רובל.

לפיכך, כדי לפתור בעיות עבור פריזמה מלבנית, מספיק להיות מסוגל לחשב את השטח וההיקף של ריבוע ומלבן, כמו גם לדעת את הנוסחאות למציאת הנפח ושטח הפנים.

איך למצוא את השטח של קובייה

בגיאומטריה מרחבית, כאשר פותרים בעיות עם פריזמות, יש לעתים קרובות בעיה בחישוב שטח הצדדים או הפנים היוצרים דמויות תלת מימדיות אלה. מאמר זה מוקדש לסוגיית קביעת השטח של בסיס המנסרה והמשטח לרוחב שלה.

פריזמת דמות

לפני שנמשיך לבחינת הנוסחאות של שטח הבסיס והמשטח של פריזמה כזו או אחרת, יש צורך להבין על איזה סוג של דמות אנחנו מדברים.

פריזמה בגיאומטריה היא דמות מרחבית המורכבת משני מצולעים מקבילים השווים זה לזה, ומספר מרובעים או מקבילים. המספר של האחרון תמיד שווה למספר הקודקודים של מצולע אחד. לדוגמה, אם הדמות נוצרת על ידי שני n-גונים מקבילים, אזי מספר המקביליות יהיה n.

ה-n-גונים המחברים של המקבילית נקראים צלעות המנסרה, והשטח הכולל שלהם הוא שטח פני הצד של הדמות. ה-n-gons עצמם נקראים בסיסים.

האיור שלמעלה מציג דוגמה של פריזמת נייר. המלבן הצהוב הוא הבסיס העליון שלו. על הבסיס השני של אותה דמות עומד. המלבנים האדומים והירוקים הם פני הצד.

מהן הפריזמות?

ישנם מספר סוגים של פריזמות. כולם נבדלים זה מזה בשני פרמטרים בלבד:

• סוג ה-n-gon היוצר את הבסיסים;
• זווית בין ה-n-gon לפניות הצד.

לדוגמה, אם הבסיסים הם משולשים, אז המנסרה נקראת משולשת, אם מרובעים, כמו באיור הקודם, אז הדמות נקראת פריזמה מרובעת, וכן הלאה. בנוסף, ה-n-gon יכול להיות קמור או קעור, ואז מאפיין זה מתווסף גם לשם המנסרה.

הזווית בין פני הצד לבסיס יכולה להיות ישרה או חדה או קהה. במקרה הראשון, הם מדברים על פריזמה מלבנית, במקרה השני - על משופע או אלכסוני.

מנסרות רגילות נבדלות לסוג מיוחד של דמות. יש להם את הסימטריה הגבוהה ביותר מבין שאר המנסרות. זה יהיה נכון רק אם הוא מלבני והבסיס שלו הוא n-גון רגיל. האיור שלהלן מציג קבוצה של מנסרות רגילות, שבהן מספר הצלעות של ה-n-גון משתנה בין שלוש לשמונה.

משטח פריזמה

מתחת לפני השטח של הדמות הנחשבת מסוג שרירותי מובנת מכלול כל הנקודות השייכות לפנים הפריזמה. זה נוח לחקור את פני השטח של פריזמה על ידי התחשבות בהתפתחות שלה. להלן דוגמה לסוויפ כזה למנסרה משולשת.

ניתן לראות שכל פני השטח נוצרים משני משולשים ושלושה מלבנים.

במקרה של פריזמה סוג כלליפני השטח שלו יהיו מורכבים משני בסיסים n-גונליים ו-n מרובעים.

הבה נבחן ביתר פירוט את נושא חישוב שטח הפנים של מנסרות סוגים שונים.

שטח בסיס של פריזמה

אולי המשימה הקלה ביותר בעבודה עם פריזמות היא הבעיה של מציאת שטח הבסיס של דמות רגילה. מכיוון שהוא נוצר על ידי n-גון, שבו כל הזוויות ואורכי הצלעות זהים, תמיד אפשר לחלק אותו למשולשים זהים, שעבורם זוויות וצלעות ידועות. השטח הכולל של המשולשים יהיה שטח ה-n-גון.

דרך נוספת לקבוע את החלק של שטח הפנים של פריזמה (בסיס) היא להשתמש בנוסחה ידועה. יש לה התצוגה הבאה:

S n = n/4*a 2 *ctg(pi/n)

כלומר, השטח S n של n-גון נקבע באופן ייחודי על סמך הידע על אורך הצלע a שלו. קושי מסוים בחישוב הנוסחה יכול להיות חישוב הקוטנגנט, במיוחד כאשר n>4 (עבור n≤4, ערכי הקוטנגנט הם נתונים טבלאיים). כדי לקבוע זאת פונקציה טריגונומטריתמומלץ להשתמש במחשבון.

בעת הגדרת בעיה גיאומטרית, עליך להיות זהיר, כי ייתכן שיהיה עליך למצוא את השטח של בסיסי הפריזמה. לאחר מכן יש להכפיל את הערך המתקבל על ידי הנוסחה בשניים.

שטח בסיס של פריזמה משולשת

באמצעות הדוגמה של פריזמה משולשת, שקול כיצד אתה יכול למצוא את השטח של הבסיס של דמות זו.

ראשית, שקול מקרה פשוט - פריזמה רגילה. שטח הבסיס מחושב לפי הנוסחה שניתנה בפסקה לעיל, אתה צריך להחליף את n \u003d 3 לתוכו. אנחנו מקבלים:

S 3 = 3/4*a 2 *ctg(pi/3) = 3/4*a 2 *1/√3 = √3/4*a 2

נותר להחליף בביטוי את הערכים הספציפיים של אורך הצלע a של משולש שווה צלעות כדי לקבל את השטח של בסיס העצם.

עכשיו נניח שיש לנו פריזמה שהבסיס שלה הוא משולש שרירותי. ידועות שתי צלעותיו a ו-b והזווית ביניהן α. נתון זה מוצג להלן.

כיצד למצוא את שטח הבסיס של פריזמה משולשת במקרה זה? יש לזכור ששטחו של כל משולש שווה למחצית המכפלה של הצלע ולגובה הנמוך לצד זה. האיור מציג את הגובה h לצד b. האורך h מתאים למכפלת הסינוס של הזווית אלפא ואורך הצלע a. אז השטח של המשולש כולו הוא:

S = 1/2*b*h = 1/2*b*a*sin(α)

זהו שטח הבסיס של המנסרה המשולשת המתוארת.

משטח צד

הבנו איך למצוא את השטח של בסיס הפריזמה. משטח צדנתון זה מורכב תמיד מקביליות. עבור מנסרות ישרות, מקביליות הופכות למלבנים, כך שקל לחשב את השטח הכולל שלהן:

S = ∑ i=1 n (a i *b)

כאן b הוא אורך קצה הצד, ו-i הוא אורך הצלע של המלבן ה-i, החופף לאורך הצלע של n-גון. במקרה של פריזמה n-gonal רגילה, נקבל ביטוי פשוט:

אם המנסרה נוטה, אז כדי לקבוע את שטח פני השטח הצדדיים שלה, יש לבצע חיתוך מאונך, לחשב את היקפו P sr ולהכפיל באורך הצלע הצדדית.

האיור שלמעלה מראה כיצד יש לבצע חיתוך זה עבור פריזמה מחומשת אלכסונית.

הַגדָרָה.

זהו משושה, שבסיסיו שני ריבועים שווים, ופני הצלעות הם מלבנים שווים.

צלע צדהוא הצד המשותף של שני פרצופים צמודים

גובה פריזמההוא קטע קו מאונך לבסיסי המנסרה

אלכסון פריזמה- קטע המחבר בין שני קודקודים של הבסיסים שאינם שייכים לאותה פנים

מישור אלכסוני- מישור העובר דרך אלכסון המנסרה וקצוות הצד שלה

חתך אלכסוני- גבולות ההצטלבות של המנסרה והמישור האלכסוני. החתך האלכסוני של פריזמה מרובעת רגילה הוא מלבן

חתך מאונך (חתך אורתוגונלי)- זהו החתך של פריזמה ומישור המצויר בניצב לקצוות הצדדיים שלה

יסודות של פריזמה מרובעת רגילה

האיור מציג שתי מנסרות מרובעות רגילות, המסומנות באותיות המתאימות:

• הבסיסים ABCD ו-A 1 B 1 C 1 D 1 שווים ומקבילים זה לזה
• פני הצד AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C ו-CC 1 D 1 D, שכל אחד מהם הוא מלבן
• משטח רוחבי - סכום השטחים של כל פני הצד של המנסרה
• משטח כולל - סכום השטחים של כל הבסיסים ופני הצד (סכום השטח של משטח הצד והבסיסים)
• צלעות צד AA 1 , BB 1 , CC 1 ו DD 1 .
• אלכסון B 1 D
• אלכסוני בסיס BD
• חתך אלכסוני BB 1 D 1 D
• חתך מאונך A 2 B 2 C 2 D 2.

תכונות של פריזמה מרובעת רגילה

• הבסיסים הם שני ריבועים שווים
• הבסיסים מקבילים זה לזה
• הצדדים הם מלבנים.
• פני הצד שווים זה לזה
• פני הצד מאונכים לבסיסים
• צלעות רוחביות מקבילות זו לזו ושוות
• חתך מאונך מאונך לכל הצלעות הצדדיות ומקביל לבסיסים
• זוויות חתך מאונך - ימין
• החתך האלכסוני של פריזמה מרובעת רגילה הוא מלבן
• מאונך (חתך אורתוגונלי) מקביל לבסיסים

נוסחאות למנסרה מרובעת רגילה

הנחיות לפתרון בעיות

בעת פתרון בעיות בנושא " פריזמה מרובעת רגילה" מרמז ש:

פריזמה נכונה- פריזמה שבבסיסה נמצא מצולע רגיל, וקצוות הצד מאונכים למישורי הבסיס. כלומר, פריזמה מרובעת רגילה מכילה בבסיסה כיכר. (ראה לעיל את המאפיינים של פריזמה מרובעת רגילה) הערה. זה חלק מהשיעור עם משימות בגיאומטריה (סעיף גיאומטריה מוצקה - פריזמה). להלן המשימות הגורמות לקשיים בפתרון. אם צריך לפתור בעיה בגיאומטריה, שאינה כאן - כתבו עליה בפורום. לציון פעולת החילוץ שורש ריבועיסמל משמש בפתרון בעיות√ .

מְשִׁימָה.

בפריזמה מרובעת רגילה, שטח הבסיס הוא 144 ס"מ 2 והגובה הוא 14 ס"מ. מצא את האלכסון של המנסרה ואת שטח הפנים הכולל.

פִּתָרוֹן.
מרובע רגיל הוא ריבוע.
בהתאם לכך, הצד של הבסיס יהיה שווה ל

√144 = 12 ס"מ.
מכאן האלכסון של הבסיס של פריזמה מלבנית רגילה יהיה שווה ל
√(12 2 + 12 2 ) = √288 = 12√2

האלכסון של מנסרה רגילה יוצר משולש ישר זווית עם אלכסון הבסיס וגובה המנסרה. בהתאם לכך, על פי משפט פיתגורס, האלכסון של פריזמה מרובעת רגילה נתונה יהיה שווה ל:
√((12√2) 2 + 14 2 ) = 22 ס"מ

תשובה: 22 ס"מ

מְשִׁימָה

מצא את שטח הפנים הכולל של פריזמה מרובעת רגילה אם האלכסון שלה הוא 5 ס"מ והאלכסון של פני הצד הוא 4 ס"מ.

פִּתָרוֹן.
מכיוון שהבסיס של פריזמה מרובעת רגילה הוא ריבוע, אזי צלע הבסיס (המסומנת כ-a) נמצאת במשפט פיתגורס:

A 2 + a 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12.5

גובה פני הצד (המסומנים כ-h) אזי יהיה שווה ל:

H 2 + 12.5 \u003d 4 2
h 2 + 12.5 = 16
h 2 \u003d 3.5
h = √3.5

שטח הפנים הכולל יהיה שווה לסכום שטח הפנים לרוחב וכפול משטח הבסיס

S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12.5 * √3.5
S = 25 + 4√43.75
S = 25 + 4√(175/4)
S = 25 + 4√(7*25/4)
S \u003d 25 + 10√7 ≈ 51.46 ס"מ 2.

תשובה: 25 + 10√7 ≈ 51.46 ס"מ 2.

קורס הווידאו "קבל א'" כולל את כל הנושאים הדרושים למעבר מוצלח של הבחינה במתמטיקה ב-60-65 נקודות. מלא את כל המשימות 1-13 של פרופיל USE במתמטיקה. מתאים גם למעבר ה- Basic USE במתמטיקה. אם אתה רוצה לעבור את הבחינה עם 90-100 נקודות, אתה צריך לפתור את חלק 1 תוך 30 דקות וללא טעויות!

קורס הכנה לבחינה לכיתות י'-י"א וכן למורים. כל מה שצריך כדי לפתור את חלק 1 של הבחינה במתמטיקה (12 הבעיות הראשונות) ובעיה 13 (טריגונומטריה). וזה יותר מ-70 נקודות בבחינת המדינה המאוחדת, וגם סטודנט של מאה נקודות וגם הומניסט לא יכולים בלעדיהם.

כל התיאוריה הדרושה. דרכים מהירותפתרונות, מלכודות וסודות הבחינה. כל המשימות הרלוונטיות של חלק 1 ממשימות הבנק של FIPI נותחו. הקורס עומד במלואו בדרישות USE-2018.

הקורס מכיל 5 נושאים גדולים, 2.5 שעות כל אחד. כל נושא ניתן מאפס, פשוט וברור.

מאות משימות בחינה. בעיות טקסט ותורת ההסתברות. פשוט וקל לזכור אלגוריתמים לפתרון בעיות. גֵאוֹמֶטרִיָה. תיאוריה, חומר עזר, ניתוח כל סוגי משימות ה-USE. סטריאומטריה. טריקים ערמומיים לפתרון, דפי רמאות שימושיים, פיתוח דמיון מרחבי. טריגונומטריה מאפס - למשימה 13. הבנה במקום לדחוס. הסבר חזותי של מושגים מורכבים. אַלגֶבּרָה. שורשים, חזקות ולוגריתמים, פונקציה ונגזרת. בסיס לפתרון משימות מאתגרות 2 חלקים של הבחינה.