אנו מציירים בנפרד את בסיס המנסרה, כלומר את המשולש ABC (איור 307, a), ומשלימים אותו למלבן, שעבורו אנו מציירים קו ישר KM דרך קודקוד B || AC ומנקודות A ו-C נשמט את הניצבים AF ו-CE לקו זה. אנחנו מקבלים את מלבן ACEF. לאחר שציירנו את הגובה BD של המשולש ABC, נראה שמלבן ACEF מחולק ל-4 משולשים ישרים. יתרה מכך, \(\Delta\)ALL = \(\Delta\)BCD ו-\(\Delta\)BAF = \(\Delta\)BAD. המשמעות היא ששטח המלבן ACEF הוא פי שניים משטח המשולש ABC, כלומר שווה ל-2S.
לפריזמה הזו עם בסיס ABC נוסיף מנסרות עם בסיסים ALL ו-BAF וגובה ח(איור 307, ב). נקבל מקבילית מלבני עם בסיס ACEF.
אם נחתוך את המקבילית הזו על ידי מישור העובר דרך הקווים BD ו-BB', נראה שהמקבילית המלבני מורכבת מ-4 מנסרות עם בסיסים BCD, ALL, BAD ו-BAF.
ניתן לשלב מנסרות עם בסיסים BCD ו-ALL, שכן הבסיסים שלהן שווים (\(\Delta\)BCD = \(\Delta\)BCE) וגם הקצוות הצדדיים שלהם, המאונכים למישור אחד, שווים. לפיכך, הנפחים של פריזמות אלה שווים. גם הנפחים של מנסרות עם בסיסים BAD ו-BAF שווים.
כך, מסתבר שנפחה של פריזמה משולשת נתונה עם בסיס ABC הוא חצי מהנפח קובידעם בסיס ACEF.
אנו יודעים שנפחו של מקבילי מלבני שווה למוצרשטח הבסיס שלו לגובה, כלומר במקרה זה הוא שווה ל-2S ח. מכאן שהנפח של פריזמה משולשת ישרה זו שווה ל-S ח.
נפחה של מנסרה משולשת ישרה שווה למכפלת שטח הבסיס והגובה שלה.
2. נפח מנסרה מצולעת ישרה.
כדי למצוא את עוצמת הקול של קו פריזמה מצולעת, למשל, מחומש, עם שטח בסיס S וגובה ח, בואו נשבור אותו למנסרות משולשות (איור 308).
מציינים את שטחי הבסיס של מנסרות משולשות דרך S 1, S 2 ו- S 3, ואת הנפח של פריזמה מצולע זו דרך V, אנו מקבלים:
V = S 1 ח+S2 ח+ S 3 ח, או
V = (S 1 + S 2 + S 3) ח.
ולבסוף: V = S ח.
באותו אופן, נגזרת הנוסחה לנפח של פריזמה ישרה עם כל מצולע בבסיסה.
אומר, הנפח של כל פריזמה ישרה שווה למכפלת שטח הבסיס שלה והגובה.
נפח פריזמה
מִשׁפָּט. נפח הפריזמה שווה לשטח הבסיס כפול הגובה.
תחילה אנו מוכיחים את המשפט הזה עבור פריזמה משולשת, ולאחר מכן עבור אחד מצולע.
1) צייר (איור 95) דרך הקצה AA 1 של הפריזמה המשולשת ABCA 1 B 1 C 1 מישור מקביל לפנים BB 1 C 1 C, ודרך הקצה CC 1 - מישור מקביל לפנים AA 1 ב 1 ב; לאחר מכן נמשיך את המישורים של שני בסיסי הפריזמה עד שהם מצטלבים עם המישורים המצוירים.
אז נקבל מקבילית BD 1, המחולקת על ידי המישור האלכסוני AA 1 C 1 C לשתי מנסרות משולשות (אחת מהן ניתנת). הבה נוכיח שהפריזמות הללו שוות. לשם כך, אנו מציירים קטע מאונך א ב ג ד. בקטע מקבלים מקבילית שהיא אלכסון אֵסמתחלק לשני משולשים שווים. פריזמה זו שווה למנסרה ישרה כזו, שהבסיס שלה הוא \(\Delta\) א ב ג, והגובה הוא הקצה AA 1 . פריזמה משולשת נוספת שווה בשטחה לישר שהבסיס שלו הוא \(\Delta\) adc, והגובה הוא הקצה AA 1 . אבל שתי מנסרות ישרות בעלות בסיסים שווים וגבהים שווים שוות (מכיוון שהן משולבות כשהן מוטבעות), מה שאומר שהפריזמות ABCA 1 B 1 C 1 ו-ADCA 1 D 1 C 1 שוות. מכאן נובע שנפח פריזמה זו הוא מחצית מנפח המקבילי BD 1; לכן, בציון גובה המנסרה דרך H, נקבל:
$$ V_(\Delta ex) = \frac(S_(ABCD)\cdot H)(2) = \frac(S_(ABCD))(2)\cdot H = S_(ABC)\cdot H $$
2) צייר דרך הקצה AA 1 של המנסרה המצולעת (איור 96) את המישורים האלכסוניים AA 1 C 1 C ו-AA 1 D 1 D.
ואז פריזמה זו תיחתך למספר פריזמות משולשות. סכום הנפחים של מנסרות אלו הוא הנפח הרצוי. אם נסמן את שטחי הבסיסים שלהם ב ב 1 , ב 2 , ב 3, והגובה הכולל דרך H, נקבל:
נפח של פריזמה מצולעת = ב 1H+ ב 2H+ ב 3 H =( ב 1 + ב 2 + ב 3) H =
= (אזור ABCDE) H.
תוֹצָאָה. אם V, B ו-H הם מספרים המבטאים ביחידות המתאימות את הנפח, שטח הבסיס והגובה של המנסרה, אזי, לפי המוכח, נוכל לכתוב:
חומרים אחריםתלמידי בית ספר שמתכוננים לבחינה במתמטיקה צריכים בהחלט ללמוד כיצד לפתור בעיות למציאת השטח של פריזמה ישרה וסדירה. שנים רבות של תרגול מאשרת את העובדה שסטודנטים רבים רואים במשימות כאלה בגיאומטריה קשות למדי.
יחד עם זאת, תלמידי תיכון בכל רמת הכשרה צריכים להיות מסוגלים למצוא את השטח והנפח של פריזמה רגילה וישירה. רק במקרה זה, הם יוכלו לסמוך על קבלת נקודות תחרותיות על סמך תוצאות המעבר בבחינה.
נקודות מפתח שכדאי לזכור
- אם הקצוות הרוחביים של המנסרה מאונכים לבסיס, זה נקרא ישר. כל פני הצד של דמות זו הם מלבנים. גובהה של פריזמה ישרה עולה בקנה אחד עם הקצה שלה.
- פריזמה רגילה היא כזו שהקצוות הצדדיים שלה מאונכים לבסיס המכיל את המצולע הרגיל. פני הצד של דמות זו הם מלבנים שווים. הפריזמה הנכונה היא תמיד ישרה.
הכנה לבחינת המדינה המאוחדת יחד עם שקולקובו היא המפתח להצלחה שלך!
כדי להפוך את השיעורים לקלים ויעילים ככל האפשר, בחרו בפורטל המתמטי שלנו. כאן תמצאו את כל החומר הדרוש שיעזור לכם להתכונן למבחן ההסמכה.
מומחי הפרויקט החינוכי "שקולקובו" מציעים לעבור מפשוט למורכב: ראשית, אנו נותנים את התיאוריה, נוסחאות בסיסיות, משפטים ובעיות יסוד עם פתרונות, ולאחר מכן עוברים בהדרגה למשימות ברמת המומחה.
מידע בסיסי שיטתי ומוצג בבירור בחלק "התייחסות תיאורטית". אם כבר הצלחת לחזור על החומר הדרוש, אנו ממליצים לך לתרגל פתרון בעיות במציאת השטח והנפח של פריזמה ישרה. מדור הקטלוג מציג מבחר גדול של תרגילים בדרגות קושי שונות.
נסה לחשב את השטח של פריזמה ישרה וסדירה או ממש עכשיו. לפרק כל משימה. אם זה לא גרם לקשיים, אתה יכול לעבור בבטחה לתרגילים ברמת מומחה. ואם עדיין מתעוררים קשיים מסוימים, אנו ממליצים להתכונן באופן קבוע לבחינה באופן מקוון יחד עם הפורטל המתמטי של שקולקובו, ומשימות בנושא "פריזמה ישירה וקבועה" יהיו קלות עבורך.
הַגדָרָה.
זהו משושה, שבסיסיו שני ריבועים שווים, ופני הצלעות הם מלבנים שווים.
צלע צדהוא הצד המשותף של שני פרצופים צמודים
גובה פריזמההוא קטע קו מאונך לבסיסי המנסרה
אלכסון פריזמה- קטע המחבר בין שני קודקודים של הבסיסים שאינם שייכים לאותה פנים
מישור אלכסוני- מישור העובר דרך אלכסון המנסרה וקצוות הצד שלה
חתך אלכסוני- גבולות ההצטלבות של המנסרה והמישור האלכסוני. החתך האלכסוני של פריזמה מרובעת רגילה הוא מלבן
חתך מאונך (חתך אורתוגונלי)- זהו החתך של פריזמה ומישור המצויר בניצב לקצוות הצדדיים שלה
יסודות של פריזמה מרובעת רגילה
האיור מציג שתי מנסרות מרובעות רגילות, המסומנות באותיות המתאימות:
- הבסיסים ABCD ו-A 1 B 1 C 1 D 1 שווים ומקבילים זה לזה
- פני הצד AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C ו-CC 1 D 1 D, שכל אחד מהם הוא מלבן
- משטח צד- סכום השטחים של כל פני הצד של המנסרה
- משטח כולל - סכום השטחים של כל הבסיסים ופני הצד (סכום השטח של משטח הצד והבסיסים)
- צלעות צד AA 1 , BB 1 , CC 1 ו DD 1 .
- אלכסון B 1 D
- אלכסוני בסיס BD
- חתך אלכסוני BB 1 D 1 D
- חתך מאונך A 2 B 2 C 2 D 2.
תכונות של פריזמה מרובעת רגילה
- הבסיסים הם שני ריבועים שווים
- הבסיסים מקבילים זה לזה
- הצדדים הם מלבנים.
- פני הצד שווים זה לזה
- פני הצד מאונכים לבסיסים
- צלעות רוחביות מקבילות זו לזו ושוות
- חתך מאונך מאונך לכל הצלעות הצדדיות ומקביל לבסיסים
- זוויות חתך מאונך - ימין
- החתך האלכסוני של פריזמה מרובעת רגילה הוא מלבן
- מאונך (חתך אורתוגונלי) מקביל לבסיסים
נוסחאות למנסרה מרובעת רגילה
הנחיות לפתרון בעיות
בעת פתרון בעיות בנושא " פריזמה מרובעת רגילה" מרמז ש:פריזמה נכונה- פריזמה שבבסיסה נמצא מצולע רגיל, וקצוות הצד מאונכים למישורי הבסיס. כלומר, פריזמה מרובעת רגילה מכילה בבסיסה כיכר. (ראה לעיל את המאפיינים של פריזמה מרובעת רגילה) הערה. זה חלק מהשיעור עם משימות בגיאומטריה (סעיף גיאומטריה מוצקה - פריזמה). להלן המשימות הגורמות לקשיים בפתרון. אם צריך לפתור בעיה בגיאומטריה, שאינה כאן - כתבו עליה בפורום. לציון פעולת החילוץ שורש ריבועיסמל משמש בפתרון בעיות√ .
משימה.
בפריזמה מרובעת רגילה, שטח הבסיס הוא 144 ס"מ 2 והגובה הוא 14 ס"מ. מצא את האלכסון של המנסרה ואת שטח הפנים הכולל.פִּתָרוֹן.
מרובע רגיל הוא ריבוע.
בהתאם לכך, הצד של הבסיס יהיה שווה ל
מכאן האלכסון של הבסיס של פריזמה מלבנית רגילה יהיה שווה ל
√(12 2 + 12 2 ) = √288 = 12√2
האלכסון של מנסרה רגילה יוצר משולש ישר זווית עם אלכסון הבסיס וגובה המנסרה. בהתאם לכך, על פי משפט פיתגורס, האלכסון של פריזמה מרובעת רגילה נתונה יהיה שווה ל:
√((12√2) 2 + 14 2 ) = 22 ס"מ
תשובה: 22 ס"מ
משימה
מצא את שטח הפנים הכולל של פריזמה מרובעת רגילה אם האלכסון שלה הוא 5 ס"מ והאלכסון של פני הצד הוא 4 ס"מ.פִּתָרוֹן.
מכיוון שהבסיס של פריזמה מרובעת רגילה הוא ריבוע, אזי צלע הבסיס (המסומנת כ-a) נמצאת במשפט פיתגורס:
A 2 + a 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12.5
גובה פני הצד (המסומנים כ-h) אזי יהיה שווה ל:
H 2 + 12.5 \u003d 4 2
h 2 + 12.5 = 16
h 2 \u003d 3.5
h = √3.5
שטח הפנים הכולל יהיה שווה לסכום שטח הפנים לרוחב וכפול משטח הבסיס
S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12.5 * √3.5
S = 25 + 4√43.75
S = 25 + 4√(175/4)
S = 25 + 4√(7*25/4)
S \u003d 25 + 10√7 ≈ 51.46 ס"מ 2.
תשובה: 25 + 10√7 ≈ 51.46 ס"מ 2.
פריזמות שונות שונות זו מזו. יחד עם זאת, יש להם הרבה במשותף. כדי למצוא את השטח של הבסיס של פריזמה, אתה צריך להבין איזה סוג זה נראה.
תיאוריה כללית
מנסרה היא כל רב-הדרון שצלעותיו בצורת מקבילה. יתר על כן, כל פולידרון יכול להיות בבסיסו - ממשולש ועד n-גון. יתר על כן, בסיסי הפריזמה תמיד שווים זה לזה. מה שלא חל על פני הצד - הם יכולים להשתנות משמעותית בגודלם.
כאשר פותרים בעיות, נתקלים לא רק באזור הבסיס של הפריזמה. ייתכן שיהיה צורך להכיר את פני השטח לרוחב, כלומר את כל הפרצופים שאינם בסיסים. המשטח המלא כבר יהיה האיחוד של כל הפרצופים המרכיבים את הפריזמה.
לפעמים גבהים מופיעים במשימות. הוא מאונך לבסיסים. האלכסון של פולידרון הוא קטע המחבר בזוגות כל שני קודקודים שאינם שייכים לאותו פנים.
יש לציין ששטח הבסיס של פריזמה ישרה או משופעת אינו תלוי בזווית בינם לבין פני הצד. אם יש להם אותן דמויות בפנים העליונות והתחתונות, אז השטחים שלהם יהיו שווים.
מנסרה משולשת
יש לו בבסיס דמות עם שלושה קודקודים, כלומר, משולש. ידוע שזה שונה. אם אז מספיק להיזכר שהשטח שלו נקבע על ידי חצי תוצר של הרגליים.
סימון מתמטי נראה כך: S = ½ av.
כדי למצוא את שטח הבסיס ב השקפה כללית, הנוסחאות שימושיות: אנפה וזו שבה חצי מהצד נלקח לגובה הנמשך אליו.
הנוסחה הראשונה צריכה להיכתב כך: S \u003d √ (p (p-a) (p-in) (p-s)). ערך זה מכיל חצי-היקף (p), כלומר סכום שלוש צלעות חלקי שתיים.
שנית: S = ½ n a * a.
אם אתה רוצה לדעת את השטח של הבסיס של פריזמה משולשת, שהיא סדירה, אז מתברר שהמשולש הוא שווה צלעות. יש לו נוסחה משלו: S = ¼ a 2 * √3.
פריזמה מרובעת
הבסיס שלו הוא כל אחד מהמרובעים הידועים. זה יכול להיות מלבן או ריבוע, מקבילי או מעוין. בכל מקרה, כדי לחשב את השטח של בסיס הפריזמה, תזדקק לנוסחה משלך.
אם הבסיס הוא מלבן, אזי שטחו נקבע באופן הבא: S = av, כאשר a, b הן צלעות המלבן.
כשזה מגיע ל פריזמה מרובעת, ואז השטח של הבסיס של פריזמה רגילה מחושב על ידי הנוסחה של ריבוע. כי זה הוא ששוכב בבסיס. S \u003d a 2.
במקרה שבו הבסיס הוא מקבילי, יהיה צורך בשוויון הבא: S \u003d a * n a. קורה שצד של מקביל ואחת מהזוויות נתונות. לאחר מכן, כדי לחשב את הגובה, תצטרך להשתמש בנוסחה נוספת: na \u003d b * sin A. יתר על כן, הזווית A צמודה לצלע "b", והגובה הוא na מנוגד לזווית זו.
אם מעוין שוכן בבסיס המנסרה, אזי יהיה צורך באותה נוסחה כדי לקבוע את שטחו כמו למקבילית (מכיוון שמדובר במקרה מיוחד שלה). אבל אתה יכול גם להשתמש בזה: S = ½ d 1 d 2. כאן d 1 ו- d 2 הם שני אלכסונים של המעוין.
פריזמה מחומשת רגילה
מקרה זה כולל פיצול המצולע למשולשים, שקל יותר לגלות את אזוריהם. למרות שזה קורה שהדמויות יכולות להיות עם מספר שונה של קודקודים.
מכיוון שבסיס המנסרה הוא מחומש רגיל, ניתן לחלק אותו לחמישה משולשים שווי צלעות. ואז השטח של בסיס המנסרה שווה לשטח של משולש אחד כזה (ניתן לראות את הנוסחה למעלה), כפול חמש.
מנסרה משושה רגילה
על פי העיקרון המתואר למנסרה מחומשת, ניתן לחלק את משושה הבסיס ל-6 משולשים שווי צלעות. הנוסחה עבור שטח הבסיס של פריזמה כזו דומה לקודמתה. רק בו יש להכפיל בשש.
הנוסחה תיראה כך: S = 3/2 ו-2 * √3.
משימות
מס' 1. ניתן קו ישר רגיל. האלכסון שלו הוא 22 ס"מ, גובה הפוליהדרון הוא 14 ס"מ. חשב את השטח של בסיס המנסרה ואת כל פני השטח.
פִּתָרוֹן.הבסיס של פריזמה הוא ריבוע, אך הצד שלו אינו ידוע. ניתן למצוא את ערכו מהאלכסון של הריבוע (x), שקשור לאלכסון המנסרה (d) ולגובהו (h). x 2 \u003d d 2 - n 2. מצד שני, קטע זה "x" הוא התחתון במשולש שרגליו שוות לצלע הריבוע. כלומר, x 2 \u003d a 2 + a 2. לפיכך, מתברר כי 2 \u003d (d 2 - n 2) / 2.
החלף את המספר 22 במקום d, והחלף את "n" בערכו - 14, מסתבר שהצד של הריבוע הוא 12 ס"מ. עכשיו קל לגלות את שטח הבסיס: 12 * 12 \u003d 144 ס"מ 2 .
כדי לגלות את השטח של כל פני השטח, אתה צריך להוסיף פי שניים את הערך של שטח הבסיס ולהכפיל את הצד פי ארבעה. קל למצוא את האחרון על ידי הנוסחה למלבן: מכפילים את גובה הפולידרון ואת צלע הבסיס. כלומר, 14 ו-12, מספר זה יהיה שווה ל-168 ס"מ 2. שטח הפנים הכולל של המנסרה נמצא 960 ס"מ 2 .
תשובה.שטח הבסיס של המנסרה הוא 144 סמ"ר. כל המשטח - 960 ס"מ 2 .
מס' 2. דנה בבסיס מונח משולש עם צלע 6 ס"מ. במקרה זה, האלכסון של פני הצד הוא 10 ס"מ. חשב את השטחים: הבסיס ומשטח הצד.
פִּתָרוֹן.מכיוון שהמנסרה סדירה, הבסיס שלה הוא משולש שווה צלעות. לכן, מסתבר ששטחו שווה ל-6 בריבוע כפול ¼ ולשורש הריבועי של 3. חישוב פשוט מוביל לתוצאה: 9√3 ס"מ 2. זהו השטח של בסיס אחד של המנסרה.
כל פני הצדדים זהים והם מלבנים עם צלעות של 6 ו-10 ס"מ. כדי לחשב את השטחים שלהם, מספיק להכפיל את המספרים האלה. ואז תכפיל אותם בשלוש, כי למנסרה יש בדיוק כל כך הרבה פנים צדדיות. ואז שטח משטח הצד מפותל 180 ס"מ 2.
תשובה.שטחים: בסיס - 9√3 ס"מ 2, משטח צד של המנסרה - 180 ס"מ 2.
בפיזיקה, מנסרה משולשת עשויה זכוכית משמשת לעתים קרובות כדי לחקור את הספקטרום אור לבן, כי הוא מסוגל לפרק אותו למרכיבים נפרדים. במאמר זה נשקול את נוסחת הנפח
מהי פריזמה משולשת?
לפני מתן נוסחת נפח, שקול את המאפיינים של דמות זו.
כדי להשיג זאת, אתה צריך לקחת משולש בעל צורה שרירותית ולהזיז אותו במקביל לעצמו למרחק מסוים. קודקודי המשולש במיקום ההתחלתי והסופי צריכים להיות מחוברים על ידי קטעים ישרים. הדמות התלת מימדית המתקבלת נקראת פריזמה משולשת. יש לו חמישה צדדים. שניים מהם נקראים בסיסים: הם מקבילים ושווים זה לזה. הבסיסים של המנסרה הנחשבת הם משולשים. שלושת הצלעות הנותרות הן מקבילות.
בנוסף לדפנות, המנסרה הנבדקת מאופיינת בשישה קודקודים (שלושה לכל בסיס) ותשעה קצוות (6 קצוות שוכנים במישורי הבסיסים ו-3 קצוות נוצרים בהצטלבות הצדדים). אם קצוות הצד מאונכים לבסיסים, אז פריזמה כזו נקראת מלבנית.
ההבדל בין מנסרה משולשת לכל הדמויות האחרות במחלקה זו הוא שהיא תמיד קמורה (מנסרות ארבע, חמש, ..., n-גונליות יכולות גם להיות קעורות).
זוהי דמות מלבנית, שבבסיסה נמצא משולש שווה צלעות.
נפח של פריזמה משולשת מסוג כללי
איך מוצאים את הנפח של פריזמה משולשת? הנוסחה במונחים כלליים דומה לזו של פריזמה מכל סוג שהוא. יש לו את הסימון המתמטי הבא:
כאן h הוא גובה הדמות, כלומר המרחק בין הבסיסים שלה, S o הוא שטח המשולש.
ניתן למצוא את הערך של S o אם ידועים כמה פרמטרים למשולש, למשל, צד אחד ושתי זוויות, או שתי צלעות וזווית אחת. שטחו של משולש שווה למחצית המכפלה של גובהו ואורך הצלע שעליה מורד גובה זה.
באשר לגובה h של הדמות, הכי קל למצוא אותו עבור פריזמה מלבנית. במקרה האחרון, h עולה בקנה אחד עם אורך קצה הצד.
נפח של פריזמה משולשת רגילה
הנוסחה הכללית לנפח של מנסרה משולשת, המובאת בסעיף הקודם של המאמר, יכולה לשמש לחישוב הערך המתאים לפריזמה משולשת רגילה. מכיוון שהבסיס שלו הוא משולש שווה צלעות, שטחו הוא:
כל אחד יכול לקבל את הנוסחה הזו אם הוא זוכר שבמשולש שווה צלעות כל הזוויות שוות זו לזו ומרכיבות 60 o. כאן הסמל a הוא אורך הצלע של המשולש.
הגובה h הוא אורך הקצה. זה לא קשור לבסיס של פריזמה רגילה והוא יכול לקחת ערכים שרירותיים. כתוצאה מכך, הנוסחה לנפח של פריזמה משולשת הסוג הנכוןנראה כך:
לאחר חישוב השורש, נוכל לכתוב מחדש את הנוסחה הזו באופן הבא:
לפיכך, למצוא את הנפח של פריזמה רגילה עם בסיס משולש, יש צורך לריבוע את צלע הבסיס, להכפיל ערך זה בגובה ולהכפיל את הערך המתקבל ב-0.433.