Plot function y tg. "פונקציות y = tgx, y = ctgx, המאפיינים והגרפים שלהן"

הפונקציות הטריגונומטריות העיקריות הן הפונקציות y=sin(x), y=cos(x), y=tg(x), y=ctg(x). הבה נשקול כל אחד מהם בנפרד.

Y = sin(x)

גרף של הפונקציה y=sin(x).

מאפיינים בסיסיים:

3. הפונקציה מוזרה.

Y = cos(x)

גרף של הפונקציה y=cos(x).

מאפיינים בסיסיים:

1. שטח ההגדרה הוא כל הציר המספרי.

2. הפונקציה מוגבלת. קבוצת הערכים היא הקטע [-1;1].

3. הפונקציה זוגית.

4. הפונקציה היא מחזורית כשהתקופה החיובית הקטנה ביותר שווה ל-2*π.

Y = tan(x)

גרף של הפונקציה y=tg(x).

מאפיינים בסיסיים:

1. תחום ההגדרה הוא כל הציר המספרי, למעט נקודות בצורה x=π/2 + π*k, כאשר k הוא מספר שלם.

3. הפונקציה מוזרה.

Y = ctg(x)

גרף של הפונקציה y=ctg(x).

מאפיינים בסיסיים:

1. תחום ההגדרה הוא כל הציר המספרי, למעט נקודות בצורה x=π*k, כאשר k הוא מספר שלם.

2. הפונקציה בלתי מוגבלת. הערך שנקבע הוא כל שורת המספרים.

3. הפונקציה מוזרה.

4. הפונקציה היא מחזורית כאשר התקופה החיובית הקטנה ביותר שווה ל-π.

צריכים עזרה בלימודים?

הנושא הקודם: 09.07.2015 7069 0

יַעַד: שקול גרפים ומאפיינים של פונקציות y = tg x, y = ctg x.

I. תקשורת בנושא ומטרות השיעורים

II. חזרה וגיבוש של החומר המכוסה

1. תשובות לשאלות בנושא שיעורי בית(ניתוח של בעיות לא פתורות).

2. מעקב אחר הטמעת החומר (סקר בכתב).

אפשרות I

2. גרף את הפונקציה:

אפשרות 2

1. איך לצייר גרף של פונקציה:

2. גרף את הפונקציה:

III. לימוד חומר חדש

שקול את שתי הפונקציות הטריגונומטריות הנותרות - משיק וקוטנגנטי.

1. פונקציה y \u003d tg x

הבה נתעכב על הגרפים של הפונקציות המשיקות והקוטנגנטיות. ראשית, בואו נדון בשרטוט הפונקציה y = tg x על המרווח בנייה כזו דומה לבניית גרף של הפונקציה y \u003dחטא x שתואר קודם לכן. במקרה זה, הערך של פונקציית המשיק בנקודה נמצא באמצעות קו המשיקים (ראה איור).

בהתחשב במחזוריות של פונקציית המשיק, נקבל את הגרף שלה על פני כל תחום ההגדרה על ידי תרגומים מקבילים לאורך ציר האבשיסה (מימין ומשמאל) של הגרף שכבר בנוי על ידי π, 2π וכו'. הגרף של ה- פונקציית טנגנס נקראת טנגנואיד.

אנו מציגים את המאפיינים העיקריים של הפונקציה y = tg x:

1. תחום ההגדרה הוא קבוצת כל המספרים הממשיים, למעט מספרי הצורה

y(x

3. הפונקציה גדלה במרווחים של הטופסכאשר k ∈ Z .

4. הפונקציה אינה מוגבלת.

6. הפונקציה רציפה.

8. פונקציה מחזורית עם התקופה החיובית הקטנה ביותר T \u003d π, כלומר y (x + n k) = y(x).

9. לגרף הפונקציות יש אסימפטוטות אנכיות

דוגמה 1

קבע אם הפונקציה זוגית או אי-זוגית:

קל לבדוק שעבור הפונקציות a, b תחום ההגדרה הוא קבוצה סימטרית. הבה נבחן את הפונקציות הללו עבור זוגיות או מוזרות. כדי לעשות זאת, מצא את y(-x) והשווה את הערכים של y(x) ו y(-x).

א) נקבל: מאז השוויון y(-x ) = y(x), אז הפונקציה y(x) היא זוגית בהגדרה.

ב) יש לנו:

מאז השוויון y(-x ) = -y(x), אז הפונקציה y(x) היא אי זוגית בהגדרה.

ג) התחום של פונקציה זו הוא קבוצה אסימטרית. לדוגמה, הפונקציה מוגדרת בנקודה x = π/4 ולא מוגדרת בנקודה הסימטרית x = -π/4. לכן, לפונקציה זו אין זוגיות מוגדרת.

דוגמה 2

מצא את התקופה העיקרית של הפונקציה

פונקציה זו y(x) היא סכום אלגברישלוש פונקציות טריגונומטריות שתקופותיהן שוות: T 1 \u003d 2π, כתוב את המספרים האלה כשברים עם אותם מכנים.הכפולה הנמוכה ביותר של מקדמי LCM (6; 2; 3). לכן, התקופה העיקרית של פונקציה זו

דוגמה 3

בואו נשרטט את הפונקציה

בואו ניקח בחשבון את הכללים להמרת גרפי פונקציות. לדבריהם, הגרף של הפונקציהמתקבל על ידי הסטת הגרף של הפונקציה y = tg x על ידי π/4 יחידות ימינה לאורך ציר האבססיס ומתיחה שלו 2 פעמים לאורך ציר הסמטה.

דוגמה 4

בואו נשרטט את הפונקציה

באמצעות ההגדרה והמאפיינים של המודול, בארגומנט הפונקציה, נחשוף את הסימנים של המודול, בהתחשב בשלושה מקרים. אם x< 0, то имеем: עבור 0 ≤ x ≤ π /4 יש לנו: עבור x > π /4 יש לנו: אז נשאר לבנות שלושה חלקים של הגרף הזה. ב-x< 0 строим прямую у = -1. Для 0 ≤ x ≤ π /4 אנו בונים טנגנואידגרף זה מתקבל על ידי הסטת הגרף של הפונקציה y = tg x על ידי π/8 ימינה לאורך ציר האבשיסה וחצויה לאורך ציר זה. עבור x > π/4 לבנות קו y = 1.

2. פונקציה y \u003d ctg x

בדומה לגרף של הפונקציה y \u003d tg x או באמצעות נוסחת ההפחתהגרף של הפונקציה y \u003d ctg x .

אנו מפרטים את המאפיינים העיקריים של הפונקציה y = ctg x:

1. תחום ההגדרה - קבוצת כל המספרים הממשיים, למעט מספרים בצורת x = n k , k ∈ Z .

2. הפונקציה היא אי זוגית (כלומר, y(-x) = - y(x )), והגרף שלו סימטרי ביחס למקור.

3. הפונקציה הולכת ופוחתת במרווחי הצורה (n k; n + p k ), k ∈ Z .

4. הפונקציה אינה מוגבלת.

5. לפונקציה אין את הערכים הקטנים והגדולים ביותר.

6. הפונקציה רציפה.

7. טווח ערכים E(y) = (-∞; +∞).

8. פונקציה מחזורית עם התקופה החיובית הקטנה ביותר T \u003d n, כלומר y (x + n k) = y(x).

9. לגרף הפונקציה יש אסימפטוטים אנכיים x = nק .

דוגמה 5

בואו נמצא את תחום ההגדרה ואת טווח הערכים של הפונקציה

ברור שהתחום של הפונקציה y(x ) עולה בקנה אחד עם התחום של הפונקציה z=ctg x, כלומר, תחום ההגדרה הוא קבוצת כל המספרים הממשיים, למעט מספרים בצורת x = nk , k ∈ Z .

פונקציה y (x) מורכב. לכן, אנו כותבים את זה בטופסקואורדינטות קודקוד פרבולה y(z): zB = 1 ו-y in = 2 - 4 + 5 = 3. אז הטווח של פונקציה זו E(y) = y y = tg x x 0 1 y=tg x 0 ±π ∕ 6 x -1 ≈ ± 0, 6 ±π ∕ 4 ± 1 ± π ∕ 3 ≈ ± 1, 7 ±π ∕ 2

מאפייני פונקציה y=tg x. y 1 y \u003d tg x x 1 אפסים של הפונקציה: tg x \u003d 0 עבור x \u003d πn, nєZ y>0 עבור xє (0; π / 2) וכאשר הוסט ב-πn, nєZ. בְּ-

מאפייני פונקציה y=tg x. y=tg x y אסימפטוטים 1 x -1 כאשר x = π ∕ 2+πn, nєZ - הפונקציה y=tgx אינה מוגדרת. הנקודות х = π ∕ 2+πn, nєZ הן נקודות אי-רציפות של הפונקציה.

רשום את כל המאפיינים של הפונקציה y = tg x. 1. תחום ההגדרה: 2. סט ערכי פונקציות: 3. מחזורי, Т= 4. פונקציה אי - זוגית 5. עולה על כל תחום ההגדרה. 6. אפסים של הפונקציה y \u003d 0 עבור x \u003d 7. y\u003e 0 עבור xє ועם תזוזה של 8. y

y 1 x - - 3 2 y = tgx + a - - 0 2 -1 y = tgx 3 2 2 y = tgx - b

y 1 x - - 3 2 - y \u003d tgx - 0 2 -1 3 2 y \u003d tg (x - a) 2

y 1 x - - 3 2 - y = tgx - 0 2 -1 3 2 2 y = Itgx. אני

פונקציה y \u003d ctg x 1. 2. 3. 4. 5. y \u003d ctg x התחום של פונקציה זו הוא כל המספרים הממשיים, מלבד המספרים x \u003d πk, k Z. התחום של הפונקציה הוא הכל מספרים אמיתיים. הפונקציה יורדת במרווחים הפונקציה אי-זוגית, הגרף שלה סימטרי ביחס למקור. הפונקציה היא מחזורית, התקופה החיובית הקטנה ביותר שלה היא π. y 1 - x -π 0 -1 π

משימה מס' 1. מצא את כל השורשים של המשוואה tgx = 1 השייכים למרווח –π ≤ x ≤ 3π ∕ 2. פתרון. 1. צייר גרפים y=tg x y y=1 −π 1 x1 0 -1 x2 של פונקציות y=tgx ו-y=1 2. x1= − 3π∕ 4 x2= π∕ 4 x x3= 5π∕ 4 x3 3π/2 π

משימה מספר 2. מצא את כל הפתרונות של האי-שוויון tgx

מאפייני פונקציה y=tg x. y x 1 -1 y \u003d tg x אפסים של הפונקציה: tg x \u003d 0 עבור x \u003d πn, nєZ y>0 עבור xє (0; π / 2) ועם הזזה של πn,nєZ. y 0 ב-хє (0; π/2) ובהיסט ב-πn,nєZ. y 0 ב-хє (0; π/2) ובהיסט ב-πn,nєZ. y 0 ב-хє (0; π/2) ובהיסט ב-πn,nєZ. y 0 ב-хє (0; π/2) ובהיסט ב-πn,nєZ. בְּ-

0 ב-хє ובתזוזה של 8. y 0 ב-хє ובתזוזה של 8. y 10רשום את כל המאפיינים של הפונקציה y = tg x. 1. תחום ההגדרה: 2. קבוצת ערכי פונקציה: 3. תקופתית, Т= 4. פונקציה אי-זוגית 5. גדלה על פני כל תחום ההגדרה. 6. אפסים של הפונקציה y \u003d 0 עבור x \u003d 7. y\u003e 0 עבור хє ועם תזוזה של 8. y 0 עם хє ועם הזזה של 8. y 0 עם хє ועם הזזה של 8 y 0 עם хє ועם תזוזה ב-8. y 0 ב-хє והסטה ב-8. y title=" רשום את כל המאפיינים של הפונקציה y = tg x. 1. תחום ההגדרה: 2. קבוצת ערכי פונקציה: 3. תקופתית, Т= 4. פונקציה אי-זוגית 5. גדלה על פני כל תחום ההגדרה 6. אפסים של הפונקציה y = 0 עבור x = 7. y > 0 עבור хє והזזה ב-8. y

Y x y \u003d tgx y \u003d tgx + a y \u003d tgx - b

Y x y \u003d tgx y \u003d tg (x - a)

Y x y = tgx y = ItgxI

פונקציה y = ctg x 1. התחום של פונקציה זו הוא כל המספרים הממשיים, מלבד המספרים x= πk, k Z. 2. היקף הפונקציה הוא כל המספרים הממשיים. 3. הפונקציה יורדת במרווחים 4. הפונקציה אי-זוגית, הגרף שלה סימטרי ביחס למקור. 5. הפונקציה היא מחזורית, התקופה החיובית הקטנה ביותר שלה היא π. - 1 y x π0-π-π - y=ctg x

נתוני התייחסות עבור טנגנס (tg x) וקוטנגנט (ctg x). הגדרה גיאומטרית, מאפיינים, גרפים, נוסחאות. טבלת משיקים וקוטנגנטים, נגזרות, אינטגרלים, הרחבות סדרות. ביטויים באמצעות משתנים מורכבים. חיבור עם פונקציות היפרבוליות.

הגדרה גיאומטרית

|BD| - אורך קשת המעגל שמרכזה בנקודה A.
α היא הזווית המתבטאת ברדיאנים.

טנג'נט ( tgα) - זה פונקציה טריגונומטרית, בהתאם לזווית α בין התחתון לרגל של משולש ישר זווית, שווה ליחס אורך הרגל הנגדית |BC| לאורך הרגל הסמוכה |AB| .

קוטנגנט ( ctgα) הינה פונקציה טריגונומטרית התלויה בזווית α בין התחתון לרגל של משולש ישר זווית, שווה ליחס אורך הרגל הסמוכה |AB| לאורך הרגל הנגדית |BC| .

מַשִׁיק

איפה נ- שלם.

בספרות המערבית, המשיק מסומן באופן הבא:
.
;
;
.

גרף של פונקציית המשיק, y = tg x

קוטנגנט

איפה נ- שלם.

בספרות המערבית, הקוטנגנט מסומן באופן הבא:
.
הסימון הבא אומץ גם:
;
;
.

גרף של הפונקציה הקוטנגנטית, y = ctg x

מאפיינים של טנגנס וקוטנגנט

תְקוּפָתִיוּת

פונקציות y= tg xו-y= ctg xהם מחזוריים עם נקודה π.

שִׁוּוּי

הפונקציות משיק וקוטנגנט הן מוזרות.

תחומי הגדרה וערכים, עולים, יורדים

הפונקציות משיק וקוטנגנט הן רציפות בתחום ההגדרה שלהן (ראה הוכחת המשכיות). המאפיינים העיקריים של המשיק והקוטנגנט מוצגים בטבלה ( נ- מספר שלם).

	y= tg x	y= ctg x
היקף והמשכיות
טווח ערכים	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
עולה		-
יורד	-
קיצוניות	-	-
אפסים, y= 0
נקודות חיתוך עם ציר y, x = 0	y= 0	-

נוסחאות

ביטויים במונחים של סינוס וקוסינוס

; ;
; ;
;

נוסחאות למשיק ולקוטנגנט של סכום והפרש

שאר הנוסחאות קלות להשגה, למשל

תוצר של משיקים

הנוסחה לסכום והפרש של משיקים

טבלה זו מציגה את הערכים של משיקים וקוטנגנטים עבור חלק מהערכים של הטיעון.

ביטויים במונחים של מספרים מרוכבים

ביטויים במונחים של פונקציות היפרבוליות

;
;

נגזרים

; .

.
נגזרת של הסדר ה-n ביחס למשתנה x של הפונקציה:
.
גזירת נוסחאות למשיק > > > ; עבור cotangent > > >

אינטגרלים

הרחבות לסדרות

כדי לקבל את הרחבת המשיק בחזקות x, אתה צריך לקחת מספר איברים של הרחבה ב סדרת כוחעבור פונקציות חטא xו כי xולחלק את הפולינומים הללו זה לזה , . כתוצאה מכך נוצרות הנוסחאות הבאות.

בשעה .

בשעה .
איפה ב נ- מספרי ברנולי. הם נקבעים או מיחס החזרה:
;
;
איפה .
או לפי נוסחת לפלס:

פונקציות הפוכות

הפונקציות ההפוכות למשיק ולקוטנגנט הן arctangent ו- arccotangent, בהתאמה.

ארקטנג'נט, ארקטג

, איפה נ- שלם.

קשת משנית, arcctg

, איפה נ- שלם.

הפניות:
I.N. ברונשטיין, ק.א. Semendyaev, מדריך מתמטיקה למהנדסים וסטודנטים של מוסדות חינוך גבוהים, Lan, 2009.
G. Korn, מדריך מתמטיקה לחוקרים ומהנדסים, 2012.