הגדר אנכי ואלכסוני למישור. מאונך ואלכסוני. שיעורים מלאים - ידע היפרמרקט

שיעור גיאומטריה בכיתה י'

באחד השיעורים הקודמים התוודעתם למושג הקרנת נקודה במישור נתון המקביל לישר נתון.

בשיעור זה תמשיך בלימוד קווים ומטוסים; למד כיצד למצוא את הזווית בין קו למישור. תוכלו להכיר את הרעיון של הקרנה אורתוגונלית על מישור ולשקול את תכונותיו. השיעור ייתן הגדרות של המרחק מנקודה למישור ומנקודה לישר, הזווית בין ישר למישור. המשפט המפורסם על שלושה ניצבים יוכח.

הקרנה אורתוגונלית

הקרנה אורתוגונלית של נקודה ודמות.

הקרנה אורתוגונלית של החלק.

השלכה אורתוגונלית של נקודה A במישור נתון נקראת הקרנה של נקודה במישור המקביל הזה

קו ישר בניצב למישור זה. הקרנה אורתוגונלית

דמות על מישור נתון p מורכבת מהטלות אורתוגונליות על המישור p של כל הנקודות של דמות זו. הקרנה אורתוגונלית משמשת לעתים קרובות כדי לתאר גופים מרחביים על מישור, במיוחד בציורים טכניים. זה נותן תמונה מציאותית יותר מהקרנה מקבילה שרירותית, במיוחד של גופים עגולים.

מאונך ואלכסוני

יש לצייר קו דרך נקודה A שאינה שייכת למישור p, מאונך למישור זה וחוצה אותו בנקודה B. אז

קטע AB נקרא

אֲנָכִי,הוריד מהנקודה

ובמישור הזה, ונקודה B עצמה היא הבסיס של הניצב הזה. כל קטע AC, כאשר C -

נקודה שרירותית של המישור p, מלבד B, נקראת נוטה ל

המטוס הזה.

שימו לב שהנקודה B בהגדרה זו היא אורתוגונלית

הקרנה של נקודה A, וקטע AC - מאונך ואלכסוני.הקרנה אורתוגונלית של AB אלכסוני.

להקרנות אורתוגרפיות יש את כל המאפיינים של הקרנות מקבילות רגילות, אך יש להן גם מספר מאפיינים חדשים.

אפשר לצייר מאונך וכמה קווים משופעים מנקודה אחת למישור. אז ההצהרות הבאות נכונות.

1. כל אלכסון ארוך הן מההשלכה האנכית והן מההקרנה האורתוגונלית של האלכסון על המישור הזה.

2. לאלכסונים שווים יש תחזיות אורתוגונליות שוות, ולהיפך, גם לאלכסונים בעלי הקרנות שוות שוות.

3. אלכסון אחד ארוך מהשני אם ורק אם ההשלכה האורתוגונלית של האלכסון הראשון ארוכה מההשלכה האורתוגונלית של האלכסון השני.

מאפייני הקרנה אורתוגונלית

הוכחה.

נמשך מאונך AB ושני נטויים AC ו-AD מהנקודה A למישור p; אז הקטעים BC ו-BD הם השלכות אורתוגונליות של קטעים אלה על המישור p.

הבה נוכיח את הקביעה הראשונה: כל אלכסון ארוך יותר מההשלכה האנכית והן מההשלכה האורתוגונלית של האלכסון על המישור הזה. ראו, למשל, AC אלכסוני ומשולש ABC שנוצרו על ידי האנך AB, אלכסוני AC זה וההשלכה האורתוגונלית שלו BC. משולש זה ישר זווית עם זווית ישרה בקודקוד B ובתחתית AC, שכידוע לנו מהפלנימטריה, ארוך יותר מכל אחת מהרגליים, כלומר. והמאונך AB, וההשלכה BC.

מנקודה A למישור pi, נמשכים AB מאונך ושני AC ו-AD משופעים.

מאפייני הקרנה אורתוגונלית

משולשים

ABC ו-ABD

שווים באורך ובתחתית.

כעת נוכיח את האמירה השנייה, כלומר: לאלוכסניות שוות יש השלכות אורתוגונליות שוות, ולהיפך, גם לאלוכסניות שיש להן השלכות שוות שוות.

שקול משולשים ישרים ABC ו-ABD. הֵם

יש רגל משותפת AB. אם אלכסוני AC ו-AD שווים, אז המשולשים הישרים-זויים ABC ו-ABD שווים ברגל ובתחתית, ואז BC=BD. לעומת זאת, אם ההשלכות BC ו-BD שוות, אז אותם משולשים שווים בשתי רגליים, ואז גם התחתונים AC ו-AD שלהם שווים. שמש< BD, как мы только что доказали,АС < AD, что опять противоречит условию.

נותרה אפשרות שלישית: BC > BD. המשפט הוכח.

אם BC גדול מ-BD,

אז AC גדול מהצד

AE שווה ל-AD.

נושא השיעור

• מאונך ואלכסוני.

מטרות השיעור

• הכירו הגדרות חדשות וזיכרו כמה שכבר למדו.
• למד ליישם את המאפיינים של צורות בפתרון בעיות.
• הבן כמה מושגים והגדרות פשוטים במבט ראשון.
• התפתחות - לפתח את תשומת הלב, ההתמדה, ההתמדה, החשיבה הלוגית, הדיבור המתמטי של התלמידים.
• חינוכית - באמצעות שיעור, לטפח יחס קשוב אחד כלפי השני, להקנות יכולת הקשבה לחברים, עזרה הדדית, עצמאות.

מטרות השיעור

• בדקו את יכולתם של התלמידים לפתור בעיות.
• למד לעבד מידע נכון.
• שקול את היסודות בנושא של ניצב ואלכסוני.

מערך שיעור

1. מבוא.
2. חזרה על חומר שנלמד בעבר.
3. מאונך ואלכסוני.
4. דוגמאות לפתרון בעיות.

מבוא

זה לא סוד שכל הגיאומטריה היסודית הגיעה אלינו בעיקר ממצרים ויוון. בזמנים רחוקים ועתיקים שימשה הגיאומטריה כמדע למדידת כדור הארץ, וגם מקרוב מאוד בבנייה. כל המשפטים, החוקים והאקסיומות נגזרו והוכחו על מנת להקל על עבודת המדידה או הבנייה. הנושא של היום היה חשוב מאוד עבור האנשים של אז, שכן הניצב והאלכסון הם נקודות ההתייחסות העיקריות בסוג זה של עבודה.

ישנן השערות רבות לגבי טכניקת הבנייה של הפירמידות המצריות. ברור שהטכניקה הזו השתנתה עם הזמן, כלומר. פירמידות מאוחרות יותר נבנו בצורה שונה מהפירמידות הקודמות. רוב ההשערות נובעות מהעובדה שהבלוקים נכרתו במחצבות בעזרת אגרוף, אזמלים, אזמלים, אזמלים וכו', שהחומר העיקרי בייצורם היה נחושת. לפיכך, היה צורך להעביר את החומר שחולץ איכשהו לאתר הבנייה ולהתקין אותו. הפערים בין ההשערות השונות נוגעות בעיקר לשיטות המסירה וההתקנה של הבלוקים וכן לאומדני זמן הבנייה ודרישות העבודה.

טכניקת בנייה של הפירמידות הגדולות על פי הרודוטוס

שֶׁלָנוּ המקור הכתוב היחיד, המתאר את תהליך בניית הפירמידות, משמש כספר השני של "ההיסטוריה" של הרודוטוס, שביקר במצרים כ. 450 לפני הספירה אה. בלי לדבר בשפת המצרים, הרודוטוסהיה צריך לרשום הערות מדברי המתיישבים היוונים שחיו בארץ, וגם - באמצעות מתרגמים - מדברי נציגי הכהונה המצרית. כיצד נבנו הפירמידות הגדולות אלפיים שנה לפניו, ודאי היה לו קשה לדעת, שכן זה כמעט ולא היה ידוע אפילו למצרים עצמם.

חלקם חויבו לגרור גושי אבנים ענקיים מהמחצבות בהרי ערב אל הנילוס (האבנים הובלו על פני הנהר באניות), בעוד שאחרים נצטוו לגרור אותם הלאה אל מה שנקרא הרי לוב. מאה אלף איש עשו עבודה זו ברציפות, והתחלפו כל שלושה חודשים. עשר שנים נדרשו עד שהאנשים המותשים בנו את הכביש שלאורכו נגררו גושי האבן הללו – העבודה, לדעתי, ענקית כמעט כמו בניית הפירמידה עצמה. בניית הפירמידה עצמה נמשכה עשרים שנה.

תיאוריות אחרות לייצור והתקנה של בלוקים

יש גם תיאוריה שהבלוקים עצמם המרכיבים את הפירמידה נוצרו באמצעות טפסות. טפסות הותקנה בשכבה הקודמת צורה מלבנית, שלתוכו נשפך לאחר מכן ההרכב דמוי התמיסה. הבלוק הקפוא עצמו שימש כטפסה לבלוקים הבאים בשכבת הגידול. החלקים המרכיבים של הפתרון יכלו להיות מסופקים בקלות יחסית על ידי כוחותיהם של עבדים רבים ללא שימוש בציוד מתוחכם.

תיאוריה כזו מסבירה היטב את ההתאמה האידיאלית של הקירות של בלוקים בודדים.

השערות אלטרנטיביות

מספר מחברים העלו השערות לבניית הפירמידות על ידי תרבויות מפותחות אחרות, ארציות, שנעלמו לאחר מכן, או מחוץ לכדור הארץ. כמו כן, אחת האגודות של אגיפטולוגים חובבים העלתה תיאוריה לפיה הוזזו סלעים ענקיים באמצעות עפיפונים. אגיפטולוגים לא לוקחים השערות כאלה ברצינות.

מאונך ואלכסוני

ולכן נתחיל מהפשוט ביותר ונחזור על מה שמאונך ואלכסוני.

הַגדָרָה.שני קווים נקראים מאונכים אם הם נחתכים בזווית ישרה.

תשובה: 13.

מכונות ומנגנונים.

מכונות ומנגנונים, מכשירים מכנייםלהקל על העבודה ולהגדיל את התפוקה שלה. מכונות יכולות להיות מעלות משתנותמורכבות - ממריצה חד-גלגלית פשוטה ועד למעליות, מכוניות, דפוס, טקסטיל, מחשבים. מכונות אנרגיה ממירות צורה אחת של אנרגיה לאחרת. לדוגמה, גנרטורים הידרואלקטרים ​​ממירים את האנרגיה המכנית של מים נופלים לאנרגיה חשמלית. מנוע בעירה פנימיתממירה את האנרגיה הכימית של בנזין לחום, ולאחר מכן לאנרגיה המכנית של המכונית.

גיר הוא מנגנון או חלק ממנגנון הכולל גלגלי שיניים.

מַטָרָה:

• העברת תנועה סיבובית בין פירים, אשר עשויים להיות בעלי צירים מקבילים, מצטלבים וחוצים.
• המרה של תנועה סיבובית לתרגום ולהיפך.

במקרה זה, הכוח מאלמנט אחד למשנהו מועבר בעזרת שיניים. גלגל ההילוכים עם מספר קטן יותר של שיניים נקרא הילוך, הגלגל השני עם מספר גדולשיניים נקראות גלגל. זוג גלגלי שיניים אותו מספרשיניים במקרה זה, הציוד המניע נקרא גיר, והציוד המונע נקרא גלגל.

בורג ארכימדס, בורג ארכימדס- מנגנון ששימש בעבר להעברת מים ממאגרים נמוכים לתעלות השקיה. זו הייתה אחת מכמה המצאות ותגליות שיוחסו באופן מסורתי לארכימדס, שחי במאה ה-3 לפני הספירה. ה. בורג ארכימדס הפך לאב-טיפוס של הבורג.

המדחף מסובב בדרך כלל על ידי גלגל רוח.או באופן ידני. בעוד הקצה התחתון של הצינור מסתובב, זה אוסף קצת מים. כמות מים זו תגלוש במעלה הצינור הספירלי בזמן שהפיר מסתובב, עד שלבסוף המים עולים על גדותיו מהחלק העליון של הצינור, ומספקים את מערכת ההשקיה.

שאלות

1. מה זה ניצב?
2. מהו קו משופע?
3. האם האלכסונים של ריבוע חצויים על ידי נקודת החיתוך?
4. האם האלכסונים של ריבוע שווים?
5. היכן משמש המטוס המשופע בפועל?
6. איזו צורה נקראת מלבן?

רשימת מקורות בשימוש

1. "בוני הפירמידה" הערות מאת ד"ר ז. הוואס
2. פרפלקין יו. יא. תולדות מצרים העתיקה. - סנט פטרבורג: "גן הקיץ", 2000.
3. קוביצ'בה מרינה ויקטורובנה, מורה למתמטיקה
4. מזור ק.י. "פתרון הבעיות התחרותיות העיקריות במתמטיקה של האוסף בעריכת מ.י. סקנאווי"

עובדים על השיעור

Poturnak S.A.

קוביצ'בה מרינה ויקטורובנה

שאל שאלה לגבי חינוך מודרני, להביע רעיון או לפתור בעיה דחופה, אתה יכול פורום חינוך, איפה הלאה ברמה בינלאומיתמתכנסת מועצה חינוכית של מחשבה ועשייה חדשה. לאחר שיצר בלוג,לא רק שתשפר את מעמדך כמורה מוכשרת, אלא גם תתרום תרומה משמעותית לפיתוח בית הספר של העתיד. גילדת מנהיגי החינוךפותחת את הדלת למומחים מהשורה הראשונה ומזמינה אתכם לשתף פעולה בכיוון של יצירת בתי הספר הטובים בעולם.

גֵאוֹמֶטרִיָה

סטריאומטריה

מאונך ואלכסוני

אֲנָכִי, הורד מנקודה נתונה למישור נתון, הוא קטע המחבר נקודה נתונה עם נקודה במישור ונמצא על קו ישר בניצב למישור. הסוף של קטע זה, שוכב במטוס, נקרא הבסיס של הניצב. מרחק מנקודה למישורהוא אורך האנך שנפל מנקודה זו למישור.
על התמונה א.ב- מאונך; AC- נוטה; לִפנֵי הַסְפִירָה- הקרנה.

מרחק מקו ישרלמישור המקביל לו הוא המרחק מכל נקודה של קו זה למישור.
מרחק בין מישורים מקביליםהוא המרחק מכל נקודה של מישור אחד למישור אחר.
אֲלַכסוֹנִי, נמשך מנקודה נתונה למישור נתון, הוא כל קטע המחבר נקודה נתונה לנקודה במישור ואינו מאונך למישור. סוף קטע שנמצא במישור נקרא הבסיס של הנוטה.
הקטע המחבר בין הבסיסים של האנך והאלכסון, הנמשך מאותה נקודה, נקרא הקרנה אלכסונית.

מאפיינים של קווים אלכסונים הנמשכים מנקודה אחת למישור אחד

1. קווים משופעים המצוירים למישור מנקודה אחת (ציור למטה משמאל) שווים אם ורק אם יש להם תחזית שוות.
2. אם נמשכים שני קווים אלכסוניים מנקודה למישור, אז הגדול יותר הוא זה שיש לו את ההקרנה הגדולה ביותר, ולהיפך, האלכסון הגדול יותר הוא בעל ההשלכה הגדולה ביותר.
שימו לב שמאפיינים אלו נשמרים עבור אלכסונים הנמשכים למישור מנקודות שונות, אך יש להם אותו אורך מאונך (איור מימין).

אנך שנפל מנקודה נתונה למישור נתון הוא קטע המחבר את הנקודה הנתונה עם נקודה במישור ונמצא על קו ישר בניצב למישור. קצהו של קטע זה, השוכב במישור, נקרא בסיס הניצב. המרחק מנקודה למישור הוא אורך האנך שנפל בנקודה זו אל המישור.

קו אלכסוני המצויר מנקודה נתונה למישור נתון הוא כל קטע המחבר נקודה נתונה לנקודה במישור ואינו מאונך למישור זה. קצהו של קטע השוכב במישור נקרא בסיס הקו המשופע. הקטע המחבר בין הבסיסים של הניצב והאלכסון, הנמשך מאותה נקודה, נקרא היטל אלכסוני.

באיור 136, מנקודה A, נמשכים AB אנכי ו-AC אלכסוני למישור. נקודה B היא הבסיס של הניצב, נקודה C היא הבסיס של המשופע, BC היא ההשלכה של ה-AC המשתפל על המישור a.

מכיוון שהמרחקים מנקודות של ישר למישור המקביל לו זהים, המרחק מישור ישר למישור המקביל לו הוא המרחק מכל נקודה שלו למישור זה.

קו ישר המצויר במישור דרך בסיסו של משופע מאונך להשלכתו הוא גם מאונך לנטוי ביותר. ולהיפך: אם ישר במישור מאונך לנטה, אז הוא מאונך גם להטלה של המשופע (משפט שלושה אנכים).

באיור 137, נמשכים AB מאונך ו-AC משופע למישור a. הקו הישר o המונח במישור a מאונך ל-BC, ההשלכה של ה-AC המשופע על המישור a. לפי ת' 2.12, הקו הישר a מאונך ל-AC המשופע. אילו היה ידוע שהישר a מאונך ל-AC המשופע, אז לפי ת' 2.12 הוא היה מאונך להשלכתו - BC.

דוגמא. הרגליים של משולש ישר זווית ABC הן 16 ומן הקודקוד זווית נכונה C נמשך למישור של משולש זה בניצב CD = 35 מ' (איור 138). מצא את המרחק מנקודה D לתחתית AB.

פִּתָרוֹן. בוא נעשה את זה. לפי תנאי, DC הוא ניצב למישור, כלומר DE הוא אלכסוני, CE הוא ההשלכה שלו, לכן, לפי משפט שלושת הניצבים, נובע מהתנאי ש

מתוך אנו מוצאים כדי למצוא את הגובה CE ב אנו מוצאים

מצד שני, איפה

מתוך משפט פיתגורס

46. ​​ניצב מישורים.

שני מישורים מצטלבים נקראים בניצב אם מישור כלשהו הניצב לקו החיתוך של המישורים הללו חותך אותם לאורך קווים מאונכים.

איור 139 מציג שני מישורים המצטלבים לאורך קו ישר א. מישור y מאונך לישר a וחוצה. במקרה זה, מישור y חותך את מישור a לאורך הישר c, והמישור - לאורך הישר d, כלומר, בהגדרה

ת' 2.13. אם מישור עובר דרך קו מאונך למישור אחר, אז המישורים הללו הם מאונכים (סימן לניצב של מישורים).

באיור 140, המטוס עובר דרך קו ישר, כלומר, הם מאונכים לאורך המישור.

מאפיינים של קווים משופעים היוצאים מנקודה אחת. 1. הניצב תמיד קצר יותר מהאלכסון אם הם נמשכים מאותה נקודה. 2. אם האלכסונים שווים, אז ההשלכות שלהם שוות, ולהיפך. 3. שיפוע גדול יותר מתאים להקרנה גדולה יותר ולהיפך.

שקופית 10מתוך המצגת "מאונך ואלכסוני למטוס". גודל הארכיון עם המצגת הוא 327 KB.

גיאומטריה כיתה 10

סיכוםמצגות אחרות

"בעיות במקבילית" - גיאומטריה. נקודות. גובה המקבילית. כיכר. הוכחה. טנג'נט למעגל. תכונות של מקבילית. ההיקף של מקבילית. מעגל. חֵלֶק. קו אמצעי. מעגל מרכזי. זוויות. מַקבִּילִית. מצא את השטח של המקבילית. שני עיגולים. מאפיינים מקבילים. פינה חדה. השטח של מקבילית. אלכסונים מקבילים. אֲלַכסוֹנִי. מְרוּבָּע. משולשים.

"שיטות לבניית קטעים" - גיבוש מיומנויות ויכולות לבניית קטעים. הבה נבחן ארבעה מקרים של בניית קטעים של מקבילית. בנה קטעים של טטרהדרון. שיטת עיצוב פנימי. עבודה עם דיסקים. למקבלית יש שישה פנים. מטוס חיתוך. בניית קטעים של פוליהדרה. העקבה היא קו החיתוך של מישור החתך והמישור של כל פנים של הפולידרון. שיטת מעקב. תַזכִּיר.

""פוליהדרה רגילה" דרגה 10" - תוצאה חזויה. טטרהדרון מוקף ליד כדור מסלולו של מאדים. מרכז O, ציר a ומישור. הקצוות של פולידרון. רדיולריה. תוֹכֶן. פוליהדרה רגילה. פוליהדרה רגילה בתמונת העולם הפילוסופית של אפלטון. Feodariya. פוליהדרות רגילות נמצאות בטבע. במהלך השיעורים. נקודה (קו, מישור) נקראת מרכז (ציר, מישור). איזה מהגופים הגיאומטריים הבאים אינו רב-הדרון רגיל.

"קביעת זוויות דו-הדרלית" - נקודת K מוסרת מכל צד. נקודות M ו-K שוכנות פנים שונות. מידת תוארזָוִית. תכונה של זווית תלת-תדרלית. הערות על פתרון בעיות. נקודה M ממוקמת באחד מהפנים של זווית דו-הדרלית השווה ל-30. בניית זווית לינארית. צייר ניצב. קו ישר מצויר במישור נתון. זוויות דיהדרליות בפירמידות. פתרון בעיות. נקודה K. הפירמידה הזו. הנקודה בקצה יכולה להיות שרירותית.

"שיטות לבניית מקטעים של פוליהדרה" - כל מישור. אמנים. חוקי הגיאומטריה. סקר בליץ. סידור הדדי של מישור ופוליהדרון. בנה קטע מפוליהדרון. מצולעים. שיטה אקסיומטית. משימות. ספינה. מְשִׁימָה. אקסיומות. בניית קטעים של פוליהדרה. חתכים לפי מישורים שונים. פתגם סיני עתיק. עבודה עצמאית. קטעים אלכסוניים. איחוד ידע נרכש. מטוס חיתוך.

"מצולעים שווי צלעות" - משושה (קוביה) הקובייה מורכבת משישה ריבועים. אוקטהדרון אוקטהדרון מורכב משמונה משולשים שווי צלעות. לטטרהדרון יש 4 פנים, 4 קודקודים ו-6 קצוות. ישנם 5 סוגים של polyhedra רגיל. מצולעים רגילים. לדודקהדרון 12 פנים, 20 קודקודים ו-30 קצוות. לאיקוזהדרון 20 פנים, 12 קודקודים ו-30 קצוות. אז לקובייה יש 6 פנים, 8 קודקודים ו-12 קצוות. טטרהדרון טטרהדרון מורכב מארבעה משולשים שווי צלעות.