עלייה, ירידה וקיצוניות של פונקציה

מציאת מרווחי עלייה, ירידה וקיצוניות של פונקציה היא גם משימה עצמאית וגם חלק חשוב ממשימות אחרות, בפרט, לימוד תפקוד מלא. מידע ראשוני על עלייה, ירידה וקיצוניות של הפונקציה ניתן ב פרק תיאורטי על הנגזרת, שאני ממליץ בחום למחקר מקדים (או חזרה)- גם מהסיבה שהחומר הבא מבוסס על העצם מהות הנגזרתלהיות המשך הרמוני של מאמר זה. אמנם, אם הזמן אוזל, אז אפשר גם עיבוד פורמלי גרידא של דוגמאות של השיעור של היום.

והיום יש רוח של תמימות דעים נדירה באוויר, ואני מרגיש ישירות שכל הנוכחים בוערים מרוב תשוקה למד לחקור פונקציה באמצעות נגזרת. לכן, מינוח נצחי סביר וטוב מופיע מיד על המסכים של המסכים שלך.

בשביל מה? אחת הסיבות המעשיות ביותר היא: כדי להבהיר מה בדרך כלל נדרש ממך במשימה מסוימת!

מונוטוניות פונקציה. נקודות קיצון ותפקוד אקסטרים

בואו נשקול פונקציה כלשהי. באופן פשטני, אנו מניחים זאת רָצִיףעל כל שורת המספרים:

ליתר ביטחון, מיד נפטר מאשליות אפשריות, במיוחד עבור אותם קוראים שהתוודעו לאחרונה מרווחים של קביעות הסימנים של הפונקציה. עכשיו אנחנו לא מעוניין, כיצד ממוקם הגרף של הפונקציה ביחס לציר (מעל, למטה, היכן שהוא חוצה את הציר). כדי לשכנע, מחק נפשית את הצירים והשאיר גרף אחד. כי העניין הוא בזה.

פוּנקצִיָה עולהעל מרווח אם עבור כל שתי נקודות של מרווח זה הקשורות ליחס , אי השוויון נכון. כלומר, ערך גדול יותר של הארגומנט מתאים לערך גדול יותר של הפונקציה, והגרף שלה עובר "מלמטה למעלה". פונקציית ההדגמה גדלה לאורך המרווח.

כמו כן, הפונקציה יורדעל מרווח אם עבור כל שתי נקודות של המרווח הנתון, כך , אי השוויון נכון. כלומר, ערך גדול יותר של הארגומנט מתאים לערך קטן יותר של הפונקציה, והגרף שלה עובר "מלמעלה למטה". הפונקציה שלנו פוחתת עם המרווחים .

אם פונקציה גדלה או יורדת על פני מרווח, אז היא נקראת מונוטוני למהדריןבמרווח זה. מהי מונוטוניות? קח את זה מילולית - מונוטוניות.

אפשר גם להגדיר לא יורדפונקציה (מצב רגוע בהגדרה הראשונה) ו לא מתגברפונקציה (מצב מרוכך בהגדרה השנייה). פונקציה לא יורדת או לא גדלה במרווח נקראת פונקציה מונוטונית במרווח נתון (מונוטוניות קפדנית - מקרה מיוחד"סתם" מונוטוניות).

התיאוריה בוחנת גם גישות אחרות לקביעת עלייה/ירידה של פונקציה, כולל על חצאי מרווחים, מקטעים, אבל כדי לא לשפוך שמן-שמן-שמן על הראש שלך, אנו מסכימים לפעול במרווחים פתוחים עם הגדרות קטגוריות - זה ברור יותר, ולפתרון בעיות מעשיות רבות מספיק.

לכן, במאמרים שלי, הניסוח "מונוטוניות של פונקציה" כמעט תמיד יסתתר מרווחיםמונוטוניות קפדנית(הגדלה קפדנית או ירידה קפדנית של הפונקציה).

שכונת נקודה. מילים שלאחריהן התלמידים מתפזרים לכל מקום שהם יכולים, ומתחבאים באימה בפינות. ...אם כי אחרי הפוסט גבולות קוצנייםהם כנראה כבר לא מתחבאים, אלא רק רועדים מעט =) אל תדאג, לא יהיו הוכחות למשפטים עכשיו ניתוח מתמטי– הייתי צריך שכונות כדי לנסח הגדרות בצורה קפדנית יותר נקודות קיצון. אנחנו זוכרים:

נקודת שכונהתן שם את המרווח המכיל את הנקודה הנתונה, בעוד שלצורך נוחות מניחים כי המרווח הוא סימטרי. לדוגמה, נקודה והשכונה הסטנדרטית שלה:

בעיקרון ההגדרות:

הנקודה נקראת נקודת מקסימום קפדנית, אם קייםהשכונה שלה, לכולםערכים שפרט לנקודה עצמה, אי השוויון מתגשם. בדוגמה הספציפית שלנו, זו נקודה.

הנקודה נקראת נקודת מינימום קפדנית, אם קייםהשכונה שלה, לכולםערכים שפרט לנקודה עצמה, אי השוויון מתגשם. בציור - נקודה "א".

הערה : הדרישה שהשכונה תהיה סימטרית אינה הכרחית כלל. בנוסף, זה חשוב עצם הקיוםשכונה (אם כי זעירה, אפילו מיקרוסקופית) שעונה על התנאים שצוינו

קוראים לנקודות נקודות קיצון קפדניותאו בפשטות נקודות קיצוןפונקציות. כלומר, זהו מונח כללי למקסימום נקודות ומינימום נקודות.

איך להבין את המילה "קיצוני"? כן, בדיוק כמו מונוטוניות. נקודות קיצון של רכבת ההרים.

כמו במקרה של מונוטוניות, בתיאוריה קיימות ואף יותר נפוצות הנחות לא קפדניות (שתחתיו, כמובן, נופלים המקרים הנוקשים הנחשבים!):

הנקודה נקראת נקודת מקסימום, אם קייםהסביבה שלו, כזו לכולם
הנקודה נקראת נקודת מינימום, אם קייםהסביבה שלו, כזו לכולםהערכים של השכונה הזו, אי השוויון מתקיים.

שימו לב שלפי שתי ההגדרות האחרונות, כל נקודה של פונקציה קבועה (או "שטח שטוח" של פונקציה כלשהי) נחשבת גם לנקודת מקסימום וגם לנקודת מינימום! הפונקציה, אגב, היא גם לא גדלה וגם לא יורדת, כלומר מונוטונית. עם זאת, אנו משאירים את הטיעונים הללו לתיאורטיקנים, שכן בפועל אנו מתבוננים כמעט תמיד ב"גבעות" ו"השקעים" המסורתיים (ראה שרטוט) עם "מלך הגבעה" או "נסיכת הביצות" ייחודית. כמגוון, זה מתרחש נְקוּדָה, מכוון למעלה או למטה, למשל, המינימום של הפונקציה בנקודה .

אה, ואם כבר מדברים על מלכות:
- נקראת המשמעות מַקסִימוּםפונקציות;
- נקראת המשמעות מִינִימוּםפונקציות.

שם נפוץ - קיצוניותפונקציות.

אנא היזהר בדבריך!

נקודות קיצוןהם ערכי "x".
קיצוניות- ערכי "משחק".

! הערה : לפעמים המונחים הרשומים מתייחסים לנקודות "x-y" שנמצאות ישירות על ה-GRAPH של הפונקציה.

כמה אקסטרים יכולה להיות לפונקציה?

אין, 1, 2, 3 וכו'. עד אינסוף. לדוגמה, לסינוס יש מספר אינסופי של מינימום ומקסימום.

חָשׁוּב!המונח "פונקציה מקסימלית" לא מזוההמונח "ערך מקסימלי של פונקציה". קל לראות שהערך הוא מקסימלי רק בשכונה המקומית, ויש "חברים יותר בפתאומיות" בשמאל העליון. כמו כן, "פונקציה מינימלית" אינה זהה ל"ערך פונקציה מינימלית", ובציור ניתן לראות שהערך הוא מינימום רק באזור מסוים. בהקשר זה נקראות גם נקודות קיצון נקודות קיצון מקומיות, והאקסטרים קיצוניות מקומית. הם הולכים ומסתובבים ו גלוֹבָּלִיאַחִים לְדָת. אז, לכל פרבולה יש בקודקוד שלה מינימום גלובליאוֹ מקסימום גלובלי. יתרה מכך, לא אבחין בין סוגי קיצון, וההסבר מושמע יותר למטרות חינוכיות כלליות - אין להפתיע את שמות התואר הנוספים "מקומי" / "עולמי".

בואו נסכם את הסטייה הקצרה שלנו אל התיאוריה עם זריקת בקרה: מה מרמזת המשימה "למצוא מרווחים של מונוטוניות ונקודות קיצון של פונקציה"?

הניסוח מבקש למצוא:

- מרווחי עלייה / ירידה של התפקוד (לא יורדים, לא גדלים מופיעים הרבה פחות לעתים קרובות);

– נקודות מקסימום ו/או נקודות מינימום (אם יש). ובכן, עדיף למצוא את המינימום / המקסימום עצמם מהכישלון ;-)

איך להגדיר את כל זה?בעזרת פונקציה נגזרת!

איך למצוא מרווחים של עלייה, ירידה,
נקודות קיצון ונקודות קיצון של הפונקציה?

כללים רבים, למעשה, כבר ידועים ומובנים מהם שיעור על משמעות הנגזרת.

נגזרת טנגנטית נושא את החדשות הטובות שהפונקציה גדלה לאורך כל הדרך תחומים.

עם קוטנגנט ונגזרת שלו המצב הוא בדיוק הפוך.

הארקסינוס גדל על המרווח - הנגזרת חיובית כאן: .
עבור , הפונקציה מוגדרת אך לא ניתנת להבדלה. עם זאת, בנקודה הקריטית יש נגזרת יד ימין ומשיק יד ימין, ובקצה השני, מקביליהם משמאל.

אני חושב שלא יהיה לך קשה לבצע נימוקים דומים עבור arc cosinus והנגזרת שלו.

כל המקרים הללו, רבים מהם נגזרות טבלאיות, אני מזכיר לך, עקוב ישירות מ הגדרות של הנגזרת.

למה לחקור פונקציה עם נגזרת?

כדי לקבל מושג טוב יותר איך נראה הגרף של פונקציה זו: איפה זה הולך "מלמטה למעלה", איפה זה הולך "מלמעלה למטה", איפה זה מגיע לשפל של השיאים (אם בכלל). לא כל הפונקציות כל כך פשוטות - ברוב המקרים, בדרך כלל אין לנו שמץ של מושג לגבי הגרף של פונקציה מסוימת.

הגיע הזמן לעבור לדוגמאות משמעותיות יותר ולשקול אלגוריתם למציאת מרווחים של מונוטוניות וקיצוניות של פונקציה:

דוגמה 1

מצא מרווחים גדלים/קטנים וקיצוניות של פונקציה

פִּתָרוֹן:

1) הצעד הראשון הוא למצוא היקף פונקציה, וגם שימו לב לנקודות השבירה (אם הן קיימות). במקרה זה, הפונקציה רציפה על כל הקו האמיתי, והפעולה הזו היא רשמית במקצת. אבל במקרים מסוימים מתלקחות כאן יצרים רציניים, אז בואו נטפל בפסקה ללא הזנחה.

2) הנקודה השנייה של האלגוריתם היא בשל

תנאי הכרחי לקיצוניות:

אם יש נקודת קיצון בנקודה, אז או שהערך לא קיים.

מבולבלים מהסוף? קיצוני של הפונקציה "מודולו x" .

תנאי הכרחי, אבל לא מספיק, וההיפך לא תמיד נכון. לכן, עדיין לא נובע משוויון שהפונקציה מגיעה למקסימום או למינימום בנקודה . דוגמה קלאסית כבר הודלקה למעלה - זו פרבולה מעוקבת והנקודה הקריטית שלה.

אך כך או כך, התנאי ההכרחי לקיצון מכתיב את הצורך למצוא נקודות חשודות. כדי לעשות זאת, מצא את הנגזרת ופתור את המשוואה:

בתחילת המאמר הראשון לגבי גרפי פונקציותאמרתי לך איך לבנות במהירות פרבולה באמצעות דוגמה : "... אנו לוקחים את הנגזרת הראשונה ומשווים אותה לאפס: ... אז, הפתרון של המשוואה שלנו: - זה בנקודה זו שממוקם החלק העליון של הפרבולה ...". עכשיו, אני חושב שכולם מבינים למה החלק העליון של הפרבולה נמצא בדיוק בנקודה הזו =) באופן כללי, כדאי להתחיל עם דוגמה דומה כאן, אבל היא פשוטה מדי (אפילו לקומקום). בנוסף, יש אנלוגי ממש בסוף השיעור על פונקציה נגזרת. אז בואו נעלה את הרמה:

דוגמה 2

מצא מרווחי מונוטוניות וקיצוניות של פונקציה

זו דוגמה של עשה זאת בעצמך. פתרון מלאודגימת סיום משוערת של המשימה בסוף השיעור.

הרגע המיוחל של הפגישה עם פונקציות רציונליות חלקיות הגיע:

דוגמה 3

חקור פונקציה באמצעות הנגזרת הראשונה

שימו לב כיצד ניתן לנסח מחדש את אותה משימה.

פִּתָרוֹן:

1) הפונקציה סובלת מהפסקות אינסופיות בנקודות.

2) אנו מזהים נקודות קריטיות. בוא נמצא את הנגזרת הראשונה ונשווה אותה לאפס:

בואו נפתור את המשוואה. שבר הוא אפס כאשר המונה שלו הוא אפס:

לפיכך, אנו מקבלים שלוש נקודות קריטיות:

3) הנח בצד את כל הנקודות שזוהו על קו המספרים ו שיטת מרווחיםהגדירו את הסימנים של הנגזרת:

אני מזכיר לך שאתה צריך לקחת נקודה כלשהי מהמרווח, לחשב את הערך של הנגזרת שבו ולקבוע את הסימן שלו. יותר משתלם אפילו לא לספור, אלא "להעריך" מילולית. קח, למשל, נקודה השייכת למרווח , ובצע את ההחלפה: .

שני "פלוסים" ו"מינוס" אחד נותנים "מינוס", לכן, כלומר הנגזרת שלילית על כל המרווח.

הפעולה, כפי שאתה מבין, חייבת להתבצע עבור כל אחד מששת המרווחים. אגב, שימו לב שגורם המונה והמכנה חיוביים בהחלט עבור כל נקודה של כל מרווח, מה שמפשט מאוד את המשימה.

אז, הנגזרת אמרה לנו שהפונקציה עצמה גדלה ב- ויורד ב . נוח להדק מרווחים מאותו סוג עם סמל האיחוד.

בנקודה שבה הפונקציה מגיעה למקסימום שלה:
בנקודה שבה הפונקציה מגיעה למינימום שלה:

תחשוב למה אתה לא יכול לחשב מחדש את הערך השני ;-)

כשעוברים דרך נקודה, הנגזרת לא משנה סימן, ולכן לפונקציה אין שם קיצון - היא גם ירדה וגם נשארה יורדת.

! בואו נחזור נקודה חשובה : נקודות לא נחשבות קריטיות - יש להן פונקציה לא נקבע. בהתאם, כאן קיצוניות לא יכולות להיות עקרוניות(גם אם הנגזרת משנה סימן).

תשובה: הפונקציה גדלה ב- ויורד בנקודה שמגיעים למקסימום של הפונקציה: , ובנקודה - המינימום:.

ידע במרווחי מונוטוניות ואקסטרים, יחד עם מבוסס אסימפטוטיםנותן מושג טוב מאוד על מראה חיצוניגרף פונקציות. אדם ממוצע מסוגל לקבוע מילולית שלגרף פונקציה יש שתי אסימפטוטות אנכיות ואסימפטוטה אלכסונית. הנה הגיבור שלנו:

נסה שוב לתאם את תוצאות המחקר עם הגרף של פונקציה זו.
אין קיצון בנקודה הקריטית, אבל יש הטיית עקומה(מה שקורה, ככלל, במקרים דומים).

דוגמה 4

מצא קיצוניות של פונקציה

דוגמה 5

מצא מרווחי מונוטוניות, מקסימום ומינימום של פונקציה

... פשוט סוג של חג X-in-a-cube מסתבר היום ....
וואו, מי שם בגלריה הציע לשתות בשביל זה? =)

לכל משימה יש ניואנסים מהותיים ודקויות טכניות משלה, אשר מוזכרים בסוף השיעור.

כדי לקבוע את אופי הפונקציה ולדבר על התנהגותה, יש צורך למצוא מרווחים של עלייה וירידה. תהליך זה נקרא חקר פונקציות ותכנון. נקודת הקיצון משמשת כשמוצאים את הערכים הגדולים והקטנים ביותר של הפונקציה, מכיוון שהם מגדילים או מקטינים את הפונקציה מהמרווח.

מאמר זה חושף את ההגדרות שאנו מנסחים סימן מספיקעלייה וירידה על המרווח והתנאי לקיום קיצון. זה חל על פתרון דוגמאות ובעיות. יש לחזור על הסעיף על בידול של פונקציות, כי בעת הפתרון יהיה צורך להשתמש במציאת הנגזרת.

Yandex.RTB R-A-339285-1 הגדרה 1

הפונקציה y = f (x) תגדל במרווח x כאשר עבור כל x 1 ∈ X ו-x 2 ∈ X , x 2 > x 1 אי השוויון f (x 2) > f (x 1) יהיה אפשרי. במילים אחרות, ערך גדול יותרהארגומנט מתאים לערך הגדול יותר של הפונקציה.

הגדרה 2

הפונקציה y = f (x) נחשבת יורדת במרווח x כאשר עבור כל x 1 ∈ X , x 2 ∈ X , x 2 > x 1 נחשב השוויון f (x 2) > f (x 1) אפשרי. במילים אחרות, ערך פונקציה גדול יותר מתאים לערך ארגומנט קטן יותר. שקול את האיור למטה.

תגובה: כאשר הפונקציה מוגדרת ורציפה בקצוות המרווח העולה והיורד, כלומר (א; ב) כאשר x = a, x = b, הנקודות נכללות במרווח העולה והיורד. זה לא סותר את ההגדרה, כלומר זה מתרחש במרווח x.

המאפיינים העיקריים של פונקציות אלמנטריות מהסוג y = sin x הם הגדרה והמשכיות עבור ערכים אמיתיים של הטיעונים. מכאן נקבל שהעלייה בסינוס מתרחשת על המרווח - π 2; π 2, אז לעלייה על הקטע יש את הצורה - π 2; π 2.

הגדרה 3

הנקודה x 0 נקראת נקודת מקסימוםעבור פונקציה y = f (x) כאשר עבור כל הערכים של x אי השוויון f (x 0) ≥ f (x) נכון. מקסימום תפקודהוא הערך של הפונקציה בנקודה, והוא מסומן ב-y m a x .

הנקודה x 0 נקראת נקודת המינימום עבור הפונקציה y \u003d f (x) כאשר עבור כל הערכים של x אי השוויון f (x 0) ≤ f (x) נכון. מינימום תכונההוא ערך הפונקציה בנקודה, ובעל סימון הצורה y m i n.

השכונות של הנקודה x 0 נחשבות נקודות קיצון,וערך הפונקציה התואמת לנקודות הקיצון. שקול את האיור למטה.

אקסטרמה של הפונקציה עם הערך הגדול והקטן ביותר של הפונקציה. שקול את האיור למטה.

הדמות הראשונה אומרת שיש צורך למצוא את הערך הגדול ביותר של הפונקציה מהקטע [ a ; ב] . הוא נמצא באמצעות נקודות מקסימום ושווה לערך המקסימלי של הפונקציה, והנתון השני דומה יותר למציאת נקודת מקסימום ב-x = b.

תנאים מספיקים להגדלת והקטנת פונקציות

כדי למצוא את המקסימום והמינימום של פונקציה, יש צורך ליישם את הסימנים של קיצון במקרה שבו הפונקציה עומדת בתנאים אלה. התכונה הראשונה היא הנפוצה ביותר.

התנאי הראשון המספיק לקיצוניות

הגדרה 4

תינתן פונקציה y = f (x), הניתנת להבדלה בשכונת ε של הנקודה x 0 , ויש לה המשכיות בנקודה הנתונה x 0 . מכאן שאנחנו מקבלים את זה

• כאשר f "(x) > 0 עם x ∈ (x 0 - ε; x 0) ו-f" (x)< 0 при x ∈ (x 0 ; x 0 + ε) , тогда x 0 является точкой максимума;
• כאשר f"(x)< 0 с x ∈ (x 0 - ε ; x 0) и f " (x) >0 עבור x ∈ (x 0 ; x 0 + ε), ואז x 0 היא נקודת המינימום.

במילים אחרות, אנו מקבלים את תנאי הגדרת השלטים שלהם:

• כאשר הפונקציה רציפה בנקודה x 0, אז יש לה נגזרת עם סימן משתנה, כלומר מ-+ ל-, כלומר הנקודה נקראת מקסימום;
• כאשר הפונקציה רציפה בנקודה x 0, אז יש לה נגזרת עם סימן משתנה מ- ל-+, כלומר הנקודה נקראת מינימום.

כדי לקבוע נכון את נקודות המקסימום והמינימום של הפונקציה, עליך לעקוב אחר האלגוריתם למציאתן:

• למצוא את תחום ההגדרה;
• למצוא את הנגזרת של הפונקציה באזור זה;
• לזהות אפסים ונקודות שבהן הפונקציה אינה קיימת;
• קביעת סימן הנגזרת על מרווחים;
• בחר את הנקודות שבהן הפונקציה משנה סימן.

שקול את האלגוריתם בדוגמה של פתרון מספר דוגמאות למציאת הקיצוניות של הפונקציה.

דוגמה 1

מצא נקודות גבוהות ונמוכות פונקציה נתונה y = 2 (x + 1) 2 x - 2 .

פִּתָרוֹן

התחום של פונקציה זו הוא כל המספרים הממשיים מלבד x = 2. ראשית, נמצא את הנגזרת של הפונקציה ונקבל:

y "= 2 x + 1 2 x - 2" = 2 x + 1 2 " (x - 2) - (x + 1) 2 (x - 2) " (x - 2) 2 = = 2 2 (x + 1) (x + 1) " (x - 2) - (x + 1) 2 1 (x - 2) 2 = 2 2 (x + 1) (x - 2) ) - (x + 2) 2 (x - 2) 2 = = 2 (x + 1) (x - 5) (x - 2) 2

מכאן אנו רואים שהאפסים של הפונקציה הם x \u003d - 1, x \u003d 5, x \u003d 2, כלומר יש להשוות כל סוגר לאפס. סמן על שורת המספרים וקבל:

כעת אנו קובעים את הסימנים של הנגזרת מכל מרווח. יש צורך לבחור נקודה הכלולה במרווח, להחליף אותה בביטוי. לדוגמה, נקודות x = - 2, x = 0, x = 3, x = 6.

אנחנו מקבלים את זה

y "(- 2) \u003d 2 (x + 1) (x - 5) (x - 2) 2 x \u003d - 2 \u003d 2 (- 2 + 1) (- 2 - 5) (- 2 - 2 ) 2 \u003d 2 7 16 \u003d 7 8 > 0, לפיכך, למרווח - ∞; - 1 יש נגזרת חיובית. באופן דומה, אנו מקבלים את זה

y "(0) = 2 (0 + 1) 0 - 5 0 - 2 2 = 2 - 5 4 = - 5 2< 0 y " (3) = 2 · (3 + 1) · (3 - 5) (3 - 2) 2 = 2 · - 8 1 = - 16 < 0 y " (6) = 2 · (6 + 1) · (6 - 5) (6 - 2) 2 = 2 · 7 16 = 7 8 > 0

מכיוון שהמרווח השני התברר כפחות מאפס, זה אומר שהנגזרת על הקטע תהיה שלילית. השלישי עם מינוס, הרביעי עם פלוס. כדי לקבוע המשכיות, יש צורך לשים לב לסימן הנגזרת, אם הוא משתנה, אז זו נקודת קיצון.

נקבל שבנקודה x = - 1 הפונקציה תהיה רציפה, כלומר הנגזרת תשנה את הסימן מ-+ ל-. לפי הסימן הראשון, יש לנו ש-x = - 1 היא הנקודה המקסימלית, כלומר אנחנו מקבלים

y m a x = y (- 1) = 2 (x + 1) 2 x - 2 x = - 1 = 2 (- 1 + 1) 2 - 1 - 2 = 0

הנקודה x = 5 מציינת שהפונקציה רציפה, והנגזרת תשנה את הסימן מ- ל-+. לפיכך, x=-1 היא נקודת המינימום, ולממצא שלה יש את הצורה

y m i n = y (5) = 2 (x + 1) 2 x - 2 x = 5 = 2 (5 + 1) 2 5 - 2 = 24

תמונה גרפית

תשובה: y m a x = y (- 1) = 0 , y m i n = y (5) = 24 .

כדאי לשים לב לעובדה שהשימוש בסימן מספיק ראשון של קיצון אינו מחייב את הפונקציה להיות ניתנת להבדלה מהנקודה x 0, וזה מפשט את החישוב.

דוגמה 2

מצא את נקודות המקסימום והמינימום של הפונקציה y = 1 6 x 3 = 2 x 2 + 22 3 x - 8.

פִּתָרוֹן.

התחום של פונקציה הוא כולו מספרים ממשיים. זה יכול להיכתב כמערכת של משוואות בצורה:

1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 , x< 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 , x ≥ 0

אז אתה צריך למצוא את הנגזרת:

y " = 1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 אינץ', x< 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 " , x >0 y " = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 , x< 0 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 , x > 0

לנקודה x = 0 אין נגזרת, כי הערכים של הגבולות החד-צדדיים שונים. אנחנו מקבלים את זה:

lim y "x → 0 - 0 = lim y x → 0 - 0 - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 = - 1 2 (0 - 0) 2 - 4 (0 - 0) - 22 3 = - 22 3 lim y "x → 0 + 0 = lim y x → 0 - 0 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 = 1 2 (0 + 0) 2 - 4 (0 + 0) + 22 3 = + 22 3

מכאן נובע שהפונקציה רציפה בנקודה x = 0, ואז אנו מחשבים

lim y x → 0 - 0 = lim x → 0 - 0 - 1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 = = - 1 6 (0 - 0) 3 - 2 (0 - 0) 2 - 22 3 (0 - 0) - 8 = - 8 lim y x → 0 + 0 = lim x → 0 - 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 = = 1 6 (0 + 0) 3 - 2 ( 0 + 0) 2 + 22 3 (0 + 0) - 8 = - 8 y (0) = 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 x = 0 = 1 6 0 3 - 2 0 2 + 22 3 0 - 8 = - 8

יש צורך לבצע חישובים כדי למצוא את הערך של הארגומנט כאשר הנגזרת הופכת לאפס:

1 2 x 2 - 4 x - 22 3 , x< 0 D = (- 4) 2 - 4 · - 1 2 · - 22 3 = 4 3 x 1 = 4 + 4 3 2 · - 1 2 = - 4 - 2 3 3 < 0 x 2 = 4 - 4 3 2 · - 1 2 = - 4 + 2 3 3 < 0

1 2 x 2 - 4 x + 22 3 , x > 0 D = (- 4) 2 - 4 1 2 22 3 = 4 3 x 3 = 4 + 4 3 2 1 2 = 4 + 2 3 3 > 0 x 4 = 4 - 4 3 2 1 2 = 4 - 2 3 3 > 0

יש לסמן את כל הנקודות שהושגו על הקו כדי לקבוע את הסימן של כל מרווח. לכן, יש צורך לחשב את הנגזרת בנקודות שרירותיות עבור כל מרווח. לדוגמה, אנו יכולים לקחת נקודות עם ערכים x = - 6 , x = - 4 , x = - 1 , x = 1 , x = 4 , x = 6 . אנחנו מקבלים את זה

y " (- 6) \u003d - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x \u003d - 6 \u003d - 1 2 - 6 2 - 4 (- 6) - 22 3 \u003d - 4 3< 0 y " (- 4) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 4 = - 1 2 · (- 4) 2 - 4 · (- 4) - 22 3 = 2 3 >0 y "(- 1) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 1 = - 1 2 (- 1) 2 - 4 (- 1) - 22 3 = 23 6< 0 y " (1) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 1 = 1 2 · 1 2 - 4 · 1 + 22 3 = 23 6 >0 y "(4) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 4 = 1 2 4 2 - 4 4 + 22 3 = - 2 3< 0 y " (6) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 6 = 1 2 · 6 2 - 4 · 6 + 22 3 = 4 3 > 0

לתמונה על קו ישר יש את הצורה

אז, הגענו לנקודה שיש צורך לפנות לסימן הראשון של קיצון. אנחנו מחשבים ומקבלים את זה

x = - 4 - 2 3 3 , x = 0 , x = 4 + 2 3 3 , אז מכאן לנקודות המקסימליות יש את הערכים x = - 4 + 2 3 3 , x = 4 - 2 3 3

נעבור לחישוב המינימום:

y m i n = y - 4 - 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = - 4 - 2 3 3 = - 8 27 3 y m i n = y (0) = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 0 = - 8 y m i n = y 4 + 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 4 + 2 3 3 = - 8 27 3

הבה נחשב את המקסימום של הפונקציה. אנחנו מקבלים את זה

y m a x = y - 4 + 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = - 4 + 2 3 3 = 8 27 3 y m a x = y 4 - 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 4 - 2 3 3 = 8 27 3

תמונה גרפית

תשובה:

y m i n = y - 4 - 2 3 3 = - 8 27 3 y m i n = y (0) = - 8 y m i n = y 4 + 2 3 3 = - 8 27 3 y m a x = y - 4 + 2 3 3 = 8 y a x 3 = y 4 - 2 3 3 = 8 27 3

אם הפונקציה f "(x 0) = 0 ניתנת, אז עם f "" (x 0) > 0 נקבל ש-x 0 היא נקודת המינימום אם f "" (x 0)< 0 , то точкой максимума. Признак связан с нахождением производной в точке x 0 .

דוגמה 3

מצא את המקסימום והמינימום של הפונקציה y = 8 x x + 1.

פִּתָרוֹן

ראשית, נמצא את תחום ההגדרה. אנחנו מקבלים את זה

D (y) : x ≥ 0 x ≠ - 1 ⇔ x ≥ 0

יש צורך להבדיל את הפונקציה, ולאחר מכן אנו מקבלים

y "= 8 x x + 1" = 8 x " (x + 1) - x (x + 1) " (x + 1) 2 = = 8 1 2 x (x + 1) - x 1 (x + 1) 2 = 4 x + 1 - 2 x (x + 1) 2 x = 4 - x + 1 (x + 1) 2 x

כאשר x = 1, הנגזרת הופכת להיות שווה לאפס, כלומר הנקודה היא נקודת קיצון אפשרית. לשם הבהרה, יש צורך למצוא את הנגזרת השנייה ולחשב את הערך ב-x \u003d 1. אנחנו מקבלים:

y "" = 4 - x + 1 (x + 1) 2 x " = = 4 (- x + 1) " (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2 x "(x + 1) 4 x = = 4 (- 1) (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2" x + (x + 1) 2 x "(x + 1) 4 x == 4 - (x + 1) 2 x - (- x + 1) 2 x + 1 (x + 1)" x + (x + 1) 2 2 x (x + 1) 4 x = = - (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2 x + x + 1 2 x (x + 1) 4 x = = 2 3 x 2 - 6 x - 1 x + 1 3 x 3 ⇒ y "" (1 ) = 2 3 1 2 - 6 1 - 1 (1 + 1) 3 (1) 3 = 2 - 4 8 = - 1< 0

לפיכך, באמצעות התנאי המספיק 2 עבור הקיצון, נקבל ש-x = 1 היא הנקודה המקסימלית. אחרת, הערך הוא y m a x = y (1) = 8 1 1 + 1 = 4.

תמונה גרפית

תשובה: y m a x = y (1) = 4 ..

הגדרה 5

לפונקציה y = f(x) יש את הנגזרת שלה עד הסדר ה-n בשכונה ε נקודה נתונה x 0 והנגזרת עד n + סדר 1 בנקודה x 0 . ואז f "(x 0) = f "" (x 0) = f " " " (x 0) = . . . = f n (x 0) = 0 .

מכאן נובע שכאשר n הוא מספר זוגי, אז x 0 נחשבת לנקודת פיתול, כאשר n הוא מספר אי זוגי, אז x 0 היא נקודת קיצון, ו- f (n + 1) (x 0) > 0, ואז x 0 היא נקודת מינימום, f(n+1)(x0)< 0 , тогда x 0 является точкой максимума.

דוגמה 4

מצא את נקודות המקסימום והמינימום של הפונקציה y y = 1 16 (x + 1) 3 (x - 3) 4 .

פִּתָרוֹן

הפונקציה המקורית היא פונקציה רציונלית שלמה, ומכאן נובע שתחום ההגדרה הוא כל המספרים הממשיים. יש להבדיל בין הפונקציה. אנחנו מקבלים את זה

y "= 1 16 x + 1 3" (x - 3) 4 + (x + 1) 3 x - 3 4 " == 1 16 (3 (x + 1) 2 (x - 3) 4 + (x + 1) 3 4 (x - 3) 3) = = 1 16 (x + 1) 2 (x - 3) 3 (3 x - 9 + 4 x + 4) = 1 16 (x + 1) 2 (x - 3) 3 (7 x - 5)

נגזרת זו תלך לאפס ב-x 1 = - 1, x 2 = 5 7, x 3 = 3. כלומר, הנקודות יכולות להיות נקודות של קיצון אפשרי. יש צורך ליישם את תנאי הקיצון השלישי מספיק. מציאת הנגזרת השנייה מאפשרת לקבוע במדויק את נוכחותה של מקסימום ומינימום של פונקציה. הנגזרת השנייה מחושבת בנקודות הקיצון האפשרי שלה. אנחנו מקבלים את זה

y "" = 1 16 x + 1 2 (x - 3) 3 (7 x - 5) " = 1 8 (x + 1) (x - 3) 2 (21 x 2 - 30 x - 3) y "" (- 1) = 0 y "" 5 7 = - 36864 2401< 0 y "" (3) = 0

זה אומר ש-x 2 \u003d 5 7 היא הנקודה המקסימלית. בהחלת 3 קריטריונים מספיקים, נקבל את זה עבור n = 1 ו-f (n + 1) 5 7< 0 .

יש צורך לקבוע את אופי הנקודות x 1 = - 1, x 3 = 3. כדי לעשות זאת, אתה צריך למצוא את הנגזרת השלישית, לחשב את הערכים בנקודות אלה. אנחנו מקבלים את זה

y " " " = 1 8 (x + 1) (x - 3) 2 (21 x 2 - 30 x - 3) " == 1 8 (x - 3) (105 x 3 - 225 x 2 - 45 x + 93) y " " " (- 1) = 96 ≠ 0 y " " " (3) = 0

לפיכך, x 1 = - 1 היא נקודת הפיתול של הפונקציה, שכן עבור n = 2 ו- f (n + 1) (- 1) ≠ 0. יש צורך לחקור את הנקודה x 3 = 3. לשם כך, אנו מוצאים את הנגזרת הרביעית ומבצעים חישובים בשלב זה:

y (4) = 1 8 (x - 3) (105 x 3 - 225 x 2 - 45 x + 93) " == 1 2 (105 x 3 - 405 x 2 + 315 x + 57) y (4) ( 3) = 96 > 0

מהאמור לעיל, אנו מסיקים ש-x 3 \u003d 3 היא נקודת המינימום של הפונקציה.

תמונה גרפית

תשובה: x 2 \u003d 5 7 היא הנקודה המקסימלית, x 3 \u003d 3 - הנקודה המינימלית של הפונקציה הנתונה.

אם אתה מבחין בטעות בטקסט, אנא סמן אותה והקש Ctrl+Enter

"תפקוד מגדיל ומקטין"

מטרות השיעור:

1. למד למצוא מרווחים של מונוטוניות.

2. פיתוח יכולות מנטליות המספקות ניתוח המצב ופיתוח שיטות פעולה נאותות (ניתוח, סינתזה, השוואה).

3. יצירת עניין בנושא.

במהלך השיעורים

היום אנו ממשיכים ללמוד את היישום של הנגזרת ולשקול את שאלת היישום שלה לחקר פונקציות. עבודה קדמית

ועכשיו בואו ניתן כמה הגדרות למאפיינים של הפונקציה "סיעור מוחות".

1. מה נקרא פונקציה?

2. מה שמו של המשתנה x?

3. מה שמו של המשתנה Y?

4. מה ההיקף של פונקציה?

5. מהו קבוצת ערכי פונקציה?

6. מהי פונקציה זוגית?

7. איזו פונקציה נקראת אי זוגי?

8. מה ניתן לומר על הגרף של פונקציה זוגית?

9. מה ניתן לומר על הגרף של פונקציה אי זוגית?

10. מהי פונקציה גוברת?

11. מהי פונקציה יורדת?

12. מהי פונקציה תקופתית?

מתמטיקה לומדת מודלים מתמטיים. אחד החשובים מודלים מתמטייםהיא פונקציה. קיימים דרכים שונותתיאורי פונקציות. איזה מהם הכי ברור?

- גרפי.

- איך בונים גרף?

- לפי נקודות.

שיטה זו מתאימה אם יודעים מראש איך נראה הגרף. לדוגמה, מהו הגרף של פונקציה ריבועית, פונקציה לינארית, מידתיות הפוכה, פונקציות y = sinx? (הנוסחאות המתאימות מודגמות, התלמידים שמות את העקומות שהן גרפים.)

אבל מה אם אתה רוצה לצייר גרף של פונקציה או אפילו מורכבת יותר? אתה יכול למצוא מספר נקודות, אבל איך הפונקציה מתנהגת בין הנקודות הללו?

שים שתי נקודות על הלוח, בקשו מהתלמידים להראות איך הגרף "ביניהם" עשוי להיראות:

כדי לגלות כיצד פונקציה מתנהגת, הנגזרת שלה עוזרת.

פתחו מחברות, רשמו את המספר, עבודה בכיתה.

מטרת השיעור: למד כיצד גרף של פונקציה קשור לגרף של הנגזרת שלה, ולמד כיצד לפתור בעיות משני סוגים:

1. לפי הגרף של הנגזרת, מצא את מרווחי העלייה והירידה של הפונקציה עצמה, וכן את נקודות הקיצון של הפונקציה;

2. לפי סכימת הסימנים של הנגזרת על המרווחים, מצא את מרווחי העלייה והירידה של הפונקציה עצמה, כמו גם את נקודות הקיצון של הפונקציה.

משימות כאלה אינן בספרי הלימוד שלנו, אבל הן נמצאות במבחנים של הבחינה המאוחדת של המדינה (חלקים א' ו-ב').

היום בשיעור נשקול מרכיב קטן מהעבודה של השלב השני של לימוד התהליך, חקר אחד ממאפייני הפונקציה - קביעת מרווחים של מונוטוניות

כדי לפתור בעיה זו, עלינו להיזכר בכמה מהנושאים שנדונו קודם לכן.

אז, בואו נרשום את נושא השיעור של היום: סימנים של עלייה וירידה בפונקציות.

סימנים של עלייה וירידה בתפקוד:

אם הנגזרת של פונקציה זו חיובית עבור כל הערכים של x במרווח (a; c), כלומר f "(x)\u003e 0, אז הפונקציה גדלה במרווח זה.
אם הנגזרת של פונקציה זו שלילית עבור כל הערכים של x במרווח (a; b), כלומר f "(x)< 0, то функция в этом интервале убывает

סדר מציאת מרווחים של מונוטוניות:

מצא את היקף הפונקציה.

1. מצא את הנגזרת הראשונה של פונקציה.

2. להחליט על הלוח

מצא נקודות קריטיות, חקור את הסימן של הנגזרת הראשונה במרווחים שאליהם הנקודות הקריטיות שנמצאו מחלקות את תחום הפונקציה. מצא מרווחים של מונוטוניות של פונקציות:

א) תחום ההגדרה,

ב) מצא את הנגזרת הראשונה:,

ג) מצא את הנקודות הקריטיות: ; , ו

3. אנו חוקרים את הסימן של הנגזרת במרווחים המתקבלים, הפתרון מוצג בצורה של טבלה.

להצביע על נקודות קיצון

הבה נסתכל על כמה דוגמאות לבחינת פונקציה להגדלה והקטנה.

תנאי מספיק לקיומו של מקסימום הוא שינוי סימן הנגזרת במעבר בנקודה הקריטית מ-"+" ל-"-", ולמינימום מ-"-" ל-"+". אם הנגזרת לא משנה סימן במעבר דרך הנקודה הקריטית, אז אין קיצון בנקודה זו

1. מצא את D(f).

2. מצא את f "(x).

3. מצא נקודות נייחות, כלומר. נקודות שבהן f"(x) = 0 או f"(x) לא קיימות.
(הנגזרת היא 0 באפסים של המונה, הנגזרת לא קיימת באפסים של המכנה)

4. אתר את D(f) ואת הנקודות הללו על קו הקואורדינטות.

5. קבע את הסימנים של הנגזרת בכל אחד מהמרווחים

6. החל שלטים.

7. רשמו את התשובה.

איחוד חומר חדש.

התלמידים עובדים בזוגות וכותבים את הפתרונות שלהם במחברות שלהם.

א) y \u003d x³ - 6 x² + 9 x - 9;

ב) y \u003d 3 x² - 5x + 4.

שני אנשים עובדים ליד הלוח.

א) y \u003d 2 x³ - 3 x² - 36 x + 40

ב) y \u003d x4-2 x³

3.סיכום השיעור

שיעורי בית: מבחן (מובחן)

פונקציה עולה ויורדת

פוּנקצִיָה y = ו(איקס) נקרא להגדיל את המרווח [ א, ב], אם עבור זוג נקודות כלשהו איקסו איקס", a ≤ x, אי השוויון ו(איקס) ≤ ו (איקס"), ומגביר למהדרין - אם אי השוויון ו (איקס) ו(איקס"). הירידה והירידה הקפדנית של פונקציה מוגדרים באופן דומה. למשל, הפונקציה בְּ- = איקס 2 (אורז. , א) גדל בהחלט על הקטע , ו

(אורז. , ב) יורד בקפדנות במרווח זה. פונקציות הולכות וגדלות מסומנות ו (איקס), ומצטמצם ו (איקס)↓. על מנת לקבל פונקציה ניתנת להבדלה ו (איקס) גדל בקטע [ א, ב], הכרחי ומספיק שנגזרת שלו ו"(איקס) לא היה שלילי ב-[ א, ב].

יחד עם הגדלה והירידה של פונקציה על קטע, הגידול והירידה של פונקציה בנקודה נחשבים. פוּנקצִיָה בְּ- = ו (איקס) נקרא הגדלה בנקודה איקס 0 אם יש מרווח כזה (α, β) המכיל את הנקודה איקס 0 , אשר לכל נקודה איקסמ-(α, β), x> איקס 0, אי השוויון ו (איקס 0) ≤ ו (איקס), ולכל נקודה איקסמ-(α, β), x 0, אי השוויון ו (איקס) ≤ f (איקס 0). ההגדלה הקפדנית של פונקציה בנקודה מוגדרת באופן דומה איקס 0 . אם ו"(איקס 0) > 0, ואז הפונקציה ו(איקס) גדל בהחלט בשלב זה איקס 0 . אם ו (איקס) עולה בכל נקודה של המרווח ( א, ב), אז הוא גדל במרווח זה.

ס.ב. סטצ'קין.

האנציקלופדיה הסובייטית הגדולה. - מ.: האנציקלופדיה הסובייטית. 1969-1978 .

ראה מהי "תפקוד הגדלה והקטנה" במילונים אחרים:

מושגי ניתוח מתמטי. הפונקציה f(x) נקראת הגדלת על המרווח POPULATION AGE STRUCTURE היחס בין מספר השונות קבוצת גילאוּכְלוֹסִיָה. תלוי בשיעורי הילודה והתמותה, תוחלת החיים של אנשים... מילון אנציקלופדי גדול

מושגי ניתוח מתמטי. הפונקציה f(x) נקראת הגדלה במרווח אם עבור כל זוג נקודות x1 ו-x2, a≤x1 ... מילון אנציקלופדי

מושגי המתמטיקה. אָנָלִיזָה. הפונקציה f(x) נקראה. הגדלת הקטע [a, b], אם עבור כל זוג נקודות x1 ו-x2, ו<или=х1 <х<или=b, выполняется неравенство f(x1)מדע טבעי. מילון אנציקלופדי

ענף במתמטיקה החוקר נגזרות והפרשים של פונקציות ויישומין לחקר פונקציות. הרישום של ד' ו. לתוך דיסציפלינה מתמטית עצמאית קשורה לשמותיהם של I. Newton and G. Leibniz (המחצית השנייה של 17 ... האנציקלופדיה הסובייטית הגדולה

ענף במתמטיקה בו לומדים את המושגים נגזרת ודיפרנציאל וכיצד הם מיושמים בחקר פונקציות. הפיתוח של ד' ו. קשור קשר הדוק להתפתחות החשבון האינטגרלי. באופן בלתי נפרד והתוכן שלהם. יחד הם מהווים את הבסיס ל... אנציקלופדיה מתמטית

למונח זה יש משמעויות נוספות, ראה פונקציה. בקשת "תצוגה" מנותבת לכאן; ראה גם משמעויות אחרות ... ויקיפדיה

אריסטו והפריפטים- חיי השאלה האריסטוטלית של אריסטו אריסטו נולד ב-384/383. לִפנֵי הַסְפִירָה ה. בסטגירה, על הגבול עם מקדוניה. אביו, בשם נימקכוס, היה רופא בשירותו של המלך המקדוני אמינטאס, אביו של פיליפ. יחד עם משפחתו, אריסטו הצעיר ... ... הפילוסופיה המערבית ממקורותיה ועד ימינו

- (QCD), תורת השדות הקוונטיים של ההשפעה החזקה של קווארקים וגלואונים, הבנויה בדמות הקוונטים. אלקטרודינמיקה (QED) מבוססת על סימטריית מד "צבע". בניגוד ל-QED, לפרמיונים ב-QCD יש השלמה. דרגת חופש קוונטית. מספר,… … אנציקלופדיה פיזית

I Heart הלב (בלטינית cor, יוונית cardia) הוא איבר שריר שריר חלול, שמתפקד כמשאבה, מבטיח את תנועת הדם במחזור הדם. אנטומיה הלב ממוקם במדיאסטינום הקדמי (mediastinum) בפריקרד בין ... ... אנציקלופדיה רפואית

חייו של צמח, כמו של כל אורגניזם חי אחר, הם קבוצה מורכבת של תהליכים הקשורים זה בזה; המשמעותי שבהם, כידוע, הוא חילופי חומרים עם הסביבה. הסביבה היא המקור שממנו ... ... אנציקלופדיה ביולוגית

1. מצא את התחום של הפונקציה

2.מצא את הנגזרת של הפונקציה

3. השוו את הנגזרת לאפס ומצאו את הנקודות הקריטיות של הפונקציה

4. סמן נקודות קריטיות בתחום ההגדרה

5. חשב את הסימן של הנגזרת בכל אחד מהמרווחים המתקבלים

6. גלה את התנהגות הפונקציה בכל מרווח.

דוגמה: מצא את מרווחי העלייה והירידה של פונקציהו(איקס) = ומספר האפסים של פונקציה זו במרווח .

פִּתָרוֹן:

1.D( ו) = ר

2. ו"(איקס) =

ד( ו") = D( ו) = ר

3. מצא את הנקודות הקריטיות של הפונקציה על ידי פתרון המשוואה ו"(איקס) = 0.

איקס(איקס – 10) = 0

נקודות קריטיות של הפונקציה איקס= 0 ו איקס = 10.

4. הבה נקבע את הסימן של הנגזרת.

ו"(איקס) + – +

ו(איקס) 0 10איקס

במרווחים (-∞; 0) ו-(10; +∞) הנגזרת של הפונקציה חיובית ובנקודות איקס= 0 ו-x = 10 פונקציה ו(איקס) הוא רציף, לכן, פונקציה זו גדלה במרווחים: (-∞; 0]; .

הבה נקבע את הסימן של ערכי הפונקציה בקצות הקטע.

ו(0) = 3, ו(0) > 0

ו(10) = , ו(10) < 0.

מכיוון שהפונקציה יורדת בקטע והסימן של ערכי הפונקציה משתנה, אז יש אפס אחד של הפונקציה בקטע הזה.

תשובה: הפונקציה f(x) גדלה במרווחים: (-∞; 0]; ;

במרווח, לפונקציה יש אפס אחד מהפונקציה.

2. נקודות קיצון של הפונקציה: נקודות מקסימום ונקודות מינימום. תנאים הכרחיים ומספיקים לקיומו של קיצון של פונקציה. הכלל לבחינת פונקציה לקיצון .

הגדרה 1:הנקודות שבהן הנגזרת שווה לאפס נקראות קריטיות או נייחות.

הגדרה 2. נקודה נקראת נקודת מינימום (מקסימום) של הפונקציה אם ערך הפונקציה בנקודה זו קטן (גדול) מהערכים הקרובים ביותר של הפונקציה.

יש לזכור כי המקסימום והמינימום במקרה זה הם מקומיים.

על איור. 1. מתאר מקסימום ומינימום מקומיים.

המקסימום והמינימום של פונקציה מאוחדים בשם נפוץ: הקיצון של פונקציה.

משפט 1.(קריטריון הכרחי לקיומו של קיצון של הפונקציה). אם לפונקציה שניתן להבדיל בנקודה יש ​​מקסימום או מינימום בנקודה זו, אז הנגזרת שלה נעלמת ב-, .

משפט 2.(קריטריון מספיק לקיומו של קיצון של הפונקציה). אם לפונקציה רציפה יש נגזרת בכל הנקודות של מרווח כלשהו המכילה נקודה קריטית (למעט אולי נקודה זו עצמה), וכן אם הנגזרת, כאשר הארגומנט עובר משמאל לימין דרך הנקודה הקריטית, משנה סימן מפלוס למינוס, אז לפונקציה בנקודה זו יש מקסימום, וכאשר הסימן משתנה ממינוס לפלוס, יש לה מינימום.