מה זה סינוס וקוסינוס בטריגונומטריה? סינוס, קוסינוס, טנגנס, קוטנגנט של זווית חדה. פונקציות טריגונומטריות

ראשית, שקול מעגל עם רדיוס 1 ובמרכזו (0;0). עבור כל αЄR אפשר לצייר רדיוס 0A כך שמידת הרדיאן של הזווית בין 0A לציר 0x שווה ל-α. הכיוון נגד כיוון השעון נחשב חיובי. תנו לקצה רדיוס A להיות קואורדינטות (a,b).

הגדרה של סינוס

הגדרה: המספר b, השווה לאידינטה של רדיוס היחידה הבנויה בצורה המתוארת, מסומן ב-sinα ונקרא סינוס של הזווית α.

דוגמה: sin 3π cos3π/2 = 0 0 = 0

הגדרה של קוסינוס

הגדרה: המספר a, השווה לאבססיסה של קצה רדיוס היחידה, בנוי בצורה המתוארת, מסומן ב-cosα ונקרא הקוסינוס של הזווית α.

דוגמה: cos0 cos3π + cos3.5π = 1 (-1) + 0 = 2

דוגמאות אלו משתמשות בהגדרה של הסינוס והקוסינוס של זווית במונחים של הקואורדינטות של קצה רדיוס היחידה ומעגל היחידה. עבור ייצוג חזותי יותר, יש צורך לצייר מעגל יחידה ולהניח בצד את הנקודות המתאימות עליו, ולאחר מכן לחשב את האבססיס שלהם כדי לחשב את הקוסינוס והאורדיטות כדי לחשב את הסינוס.

הגדרה של משיק

הגדרה: הפונקציה tgx=sinx/cosx עבור x≠π/2+πk, kЄZ, נקראת הקוטנגנט של הזווית x. תְחוּם פונקציות tgxכל אלה הם המספרים הממשיים מלבד x=π/2+πn, nЄZ.

דוגמה: tg0 tgπ = 0 0 = 0

דוגמה זו דומה לקודמתה. כדי לחשב את הטנגנס של זווית, אתה צריך לחלק את האסמינטה של נקודה באבססיס שלה.

הגדרה של קוטנגנט

הגדרה: הפונקציה ctgx=cosx/sinx ב-x≠πk, kЄZ נקראת הקוטנגנט של הזווית x. התחום של הפונקציה ctgx = - כל המספרים הממשיים מלבד הנקודות x=πk, kЄZ.

שקול דוגמה על משולש ישר זווית רגילה

כדי להבהיר יותר, מהו קוסינוס, סינוס, טנגנס וקוטנגנטי. שקול דוגמה על משולש ישר זווית רגילה עם זווית y ו הצדדים a,b,c. Hypotenuse c, רגליים a ו-b, בהתאמה. זווית בין hypotenuse c לרגל b y.

הַגדָרָה:הסינוס של הזווית y הוא היחס בין הרגל הנגדית לתחתית: siny \u003d a / c

הַגדָרָה:הקוסינוס של הזווית y הוא היחס בין הרגל הסמוכה לתחתית: сosy= v/s

הַגדָרָה:הטנגנס של הזווית y הוא היחס בין הרגל הנגדית לזו הסמוכה: tgy = a / b

הַגדָרָה:הקוטנגנט של הזווית y הוא היחס בין הרגל הסמוכה לזו הנגדית: ctgy = in / a

סינוס, קוסינוס, טנגנס וקוטנגנט נקראים גם פונקציות טריגונומטריות. לכל זווית יש סינוס וקוסינוס משלה. וכמעט לכל אחד יש את המשיק והקוטנגנט שלו.

מאמינים שאם נותנים לנו זווית, אז הסינוס, הקוסינוס, הטנגנס והקוטנגנט שלו ידועים לנו! ולהיפך. בהינתן הסינוס, או כל פונקציה טריגונומטרית אחרת, בהתאמה, אנו יודעים את הזווית. אפילו טבלאות מיוחדות נוצרו, שבהן נכתבות פונקציות טריגונומטריות לכל זווית.

סִינוּס זוית חדהα של משולש ישר זווית הוא היחס מולקטטר ליותר התחתון.
הוא מסומן כדלקמן: sin α.

קוסינוסזווית חדה α של משולש ישר זווית היא היחס בין הרגל הסמוכה לתחתית.
הוא מסומן כדלקמן: cos α.

מַשִׁיקזווית חדה α היא היחס בין הרגל הנגדית לרגל הסמוכה.
הוא מסומן באופן הבא: tg α.

קוטנגנטזווית חדה α היא היחס בין הרגל הסמוכה לרגל הנגדית.
הוא מסומן כדלקמן: ctg α.

הסינוס, הקוסינוס, הטנגנס והקוטנגנטי של זווית תלויים רק בגודל הזווית.

כללים:

רָאשִׁי זהויות טריגונומטריותבמשולש ישר זווית:

(α - זווית חדה מול הרגל ב ובצמוד לרגל א . צַד עם - hypotenuse. β - הזווית החדה השנייה).

ב sinα = - ג	sin 2 α + cos 2 α = 1
א cosα = - ג	1 1 + tg 2 α = -- cos 2 α
ב tgα = - א	1 1 + ctg 2 α = -- sin2α
א ctgα = - ב	1 1 1 + -- = -- tg 2 α sin 2 α
sinα tgα = -- cosα

ככל שהזווית החדה גדלהsinα וtg α עלייה, וcos α יורד.

לכל זווית חדה α:

sin (90° - α) = cos α

cos (90° - α) = sin α

דוגמה מסבירה:

הכניסו משולש ישר זווית ABC
AB = 6,
BC = 3,
זווית A = 30º.

מצא את הסינוס של זווית A ואת הקוסינוס של זווית B.

פתרון.

1) ראשית, אנו מוצאים את הערך של זווית B. הכל פשוט כאן: מכיוון שבמשולש ישר זווית סכום הזוויות החדות הוא 90º, ואז זווית B \u003d 60º:

B \u003d 90º - 30º \u003d 60º.

2) חשב את חטא A. אנו יודעים שהסינוס שווה ליחס בין הרגל הנגדית למתח התחתון. עבור זווית A, הרגל הנגדית היא הצלע BC. כך:

לפני הספירה 3 1
חטא א = -- = - = -
AB 6 2

3) כעת אנו מחשבים את cos B. אנו יודעים שהקוסינוס שווה ליחס בין הרגל הסמוכה לתחתית. עבור זווית B, הרגל הסמוכה היא אותה צד BC. זה אומר שאנחנו שוב צריכים לחלק את BC ל-AB - כלומר לבצע את אותן פעולות כמו בעת חישוב הסינוס של זווית A:

לפני הספירה 3 1
כי B = -- = - = -
AB 6 2

התוצאה היא:
sin A = cos B = 1/2.

חטא 30º = cos 60º = 1/2.

מכאן נובע שבמשולש ישר זווית הסינוס של זווית חדה אחת שווה לקוסינוס של זווית חדה אחרת - ולהיפך. זו בדיוק המשמעות של שתי הנוסחאות שלנו:
sin (90° - α) = cos α
cos (90° - α) = sin α

בוא נבדוק את זה שוב:

1) תן ל-α = 60º. החלפת הערך של α בנוסחת הסינוס, נקבל:
sin (90º - 60º) = cos 60º.
חטא 30º = cos 60º.

2) תן α = 30º. החלפת הערך של α בנוסחת הקוסינוס, נקבל:
cos (90° - 30º) = חטא 30º.
cos 60° = חטא 30º.

(למידע נוסף על טריגונומטריה, ראה סעיף אלגברה)

מרוכבים חלק מהבחינההן משוואות טריגונומטריות.

למרבה הצער, אין שיטה כללית ומאוחדת שבאמצעותה אפשר לפתור כל משוואה שבה מעורבות פונקציות טריגונומטריות. אפשר רק להבטיח הצלחה כאן ידע טובנוסחאות והיכולת לראות שילובים שימושיים מסוימים, שפותחה רק על ידי תרגול.

המטרה הכללית היא בדרך כלל להפוך את הביטוי הטריגונומטרי הכלול במשוואה לצורה כזו שהשורשים יימצאו מהמשוואות הפשוטות ביותר:

cos px = a;

sin gx = b;

tan kx = c;

ctg tx = d.

לשם כך, עליך להיות מסוגל ליישם נוסחאות טריגונומטריות. כדאי לדעת ולכנות אותם "שמות":

1. נוסחאות של ארגומנט כפול, ארגומנט משולש:

cos 2x \u003d cos 2 x - sin 2 x \u003d 1 - 2 sin 2 x \u003d 2 cos 2 x - 1;

sin 2x = 2 sin x cos x;

tg2x = 2tgx/1 – tgx;

ctg 2x = (ctg 2 x - 1)/2 ctg x;

חטא 3x \u003d 3 חטא x - 4 חטא 3 x;

cos 3x = 4 cos 3 x – 3 cos x;

tg 3x = (2 tg x - tg 3 x)/(1 - 3 tg 2 x);

ctg 3x = (ctg 3 x - 3ctg x)/(3ctg 2 x - 1);

2. נוסחאות של חצי טיעון או הפחתת תואר:

sin 2 x/2 = (1 - cos x)/2; cos 2 x/2 = (1 + cos x)/2;

tan 2 x = (1 - cos x)/(1 + cos x);

ctg 2 x = (1 + cos x)/(1 - cos x);

3. הכנסת טיעון עזר:

שקול את המשוואה a sin x + b cos x \u003d c כדוגמה, כלומר, קביעת הזווית x מהתנאים sin y \u003d b / v (a 2 + b 2), cos y \u003d a / v (a 2 + b 2), נוכל להביא את המשוואה בבחינה לחטא הפשוט ביותר (x + y) \u003d c / v (a 2 + b 2) שהפתרונות שלו נכתבים ללא קושי; לפיכך, גם הפתרונות של המשוואה המקורית נקבעים.

4. נוסחאות לחיבור וחיסור:

sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b;

חטא (א - ב) \u003d חטא a cos b - cos a sin b;

cos (a + b) \u003d cos a cos b - sin a sin b;

cos (a - b) \u003d cos a cos b + sin a sin b;

tg (a + b) = (tg a + tg b)/(1 - tg a tg b);

tg (a - b) = (tg a - tg b)/(1 + tg a tg b);

5. החלפה טריגונומטרית אוניברסלית:

sin a = 2tan (a/2)/(1 + ( tg2(a/2));

cos a \u003d (1 - tg 2 (a / 2)) / (1 + ( tg2(a/2));

tg a = 2 tg a/2/(1 – tg 2 (a/2));

6. כמה יחסים חשובים:

sin x + sin 2x + sin 3x +...+ sin mx = (cos (x/2) -cos (2m + 1)x)/(2 sin (x/2));

cos x + cos 2x + cos 3x +...+ cos mx = (sin (2m+ 1)x/2 – sin (x/2))/(2 sin (x/2));

7. נוסחאות להמרת סכום הפונקציות הטריגונומטריות למכפלה:

sin a + sin b \u003d 2 sin (a + b) / 2 cos (a - b) / 2;

cos a - cos b \u003d -2 sin (a + b) / 2 sin (b - a) / 2;

tg a + tg b = sin (a + b)/(cos a cos b);

tg a - tg b \u003d sin (a - b) / (cos a cos b).

כמו גם יציקת נוסחאות.

בתהליך הפתרון, יש לעקוב בקפידה במיוחד אחר השקילות המשוואות על מנת למנוע אובדן שורשים (למשל, כאשר מצמצמים את הצדדים השמאלי והימני של המשוואה על ידי גורם משותף), או רכישת שורשים נוספים. (לדוגמה, בעת ריבוע שני חלקי המשוואה). בנוסף, יש צורך לשלוט אם השורשים המקבלים שייכים ל-ODZ של המשוואה הנחשבת.

בכל המקרים הדרושים (כלומר, כאשר הותרו טרנספורמציות לא שוות), יש צורך לבצע בדיקה. כאשר פותרים משוואה, יש צורך ללמד את התלמידים כיצד לצמצם אותם לסוגים מסוימים, בדרך כלל מתחילים במשוואות קלות.

בואו להכיר את השיטות לפתרון משוואות:

1. הפחתה לצורה ax 2 + bx + c = 0

2. הומוגניות של משוואות.

3. פקטוריזציה.

4. צמצום לצורה a 2 + b 2 + c 2 = 0

5. שינוי משתנים.

6. הקטנת המשוואה למשוואה עם משתנה אחד.

7. הערכת החלק השמאלי והימני.

8. שיטת מבט.

9. הכנסת זווית עזר.

10. שיטת הפרד וכבוש.

שקול דוגמאות:

1. פתרו את המשוואה: sin x + cos 2 x = 1/4.

פִּתָרוֹן: בואו נפתור את שיטת ההפחתה למשוואה ריבועית. להביע cos 2 x במונחים של sin 2 x

sin x + 1 - sin 2 x \u003d 1/4

4 sin 2 x - 4 sin x - 3 = 0

sin x \u003d -1/2, sin x \u003d 3/2 (אינו עומד בתנאי x € [-1; 1]),

הָהֵן. x \u003d (-1) k + 1 arcsin 1/2 + k, k€z,

תשובה: (-1) k+1 /6 + k, k€z.

2. פתרו את המשוואה: 2 tg x cos x +1 = 2 cos x + tg x,

לפתור על ידי פקטורינג

2 tg x cos x - 2 cos x + 1 - tg x \u003d 0, כאשר x / 2 + k, k€z,

2 cos x (tg x - 1) - (tg x - 1) = 0

(2 cos x - 1) (tg x - 1) = 0

2 cos x - 1 = 0 או tg x - 1 = 0

cos x = 1/2, tgx = 1,

כלומר x = ± /3 + 2k, k€z, x = /4 + m, m€z.

תשובה: ± /3 + 2k, k€z, /4 + m, m€z.

3. פתרו את המשוואה: sin 2 x - 3 sin x cos x + 2 cos 2 x \u003d 0.

פִּתָרוֹן: sin 2 x - 3 sin x cos x + 2 cos 2 x \u003d 0 משוואה הומוגנית 2 מעלות. מכיוון ש-cos x = 0 אינו השורש של המשוואה הזו, אנו מחלקים את הצלע השמאלית והימנית ב-cos 2 x. כתוצאה מכך, אנו מגיעים למשוואה ריבועית עבור tg x

tg 2 x - 3 tg x + 2 = 0,

tg x = 1 ו-tg x = 2,

מאיפה x = /4 + m, m€z,

x \u003d arctg 2 + k, k € z.

תשובה: /4 + m, m€z, arctan 2 + k, k€z.

4. פתרו את המשוואה: cos (10x + 12) + 42 sin (5x + 6) = 4.

פִּתָרוֹן: שיטת הכנסת משתנה חדשה

תן 5x + 6 = y, ואז cos 2y + 4 2 חטא y \u003d 4

1 - 2 sin 2 y + 4 2 sin y - 4 \u003d 0

sin y \u003d t, כאשר t € [-1; 1]

2ט 2-4 2t + 3 = 0

t = 2/2 ו-t = 3 2/2 (אינו עומד בתנאי t€[-1;1])

sin(5x + 6) = 2/2,

5x + 6 = (-1) k /4 + k, k€z,

x \u003d (-1) k / 20 - 6/5 + k / 5, k € z.

תשובה: (-1) k?/20 – 6/5 + ?k/5, k€z.

5. פתרו את המשוואה: (sin x - cos y) 2 + 40x 2 = 0

פתרון: אנו משתמשים ב-2 + ב-2 + c 2 \u003d 0, זה נכון אם a \u003d 0, b \u003d 0, c \u003d 0. שוויון אפשרי אם sin x - cos y \u003d 0, ו-40x \u003d 0 מכאן:

x \u003d 0, ו-sin 0 - cos y \u003d 0, לפיכך, x \u003d 0, ו-cos y \u003d 0, ומכאן: x \u003d 0, ו-y \u003d / 2 + k, k € z, it אפשר גם לכתוב (0; / 2 + k) k€z.

תשובה: (0; /2 + k) k€z.

6. פתרו את המשוואה: sin 2 x + cos 4 x - 2 sin x + 1 = 0

פתרון: הפוך את המשוואה והחל את שיטת ההפרדה והכיבוש

(sin 2 x - 2 sin x +1) + cos 4 x \u003d 0;

(sin x - 1) 2 + cos 4 x \u003d 0; זה אפשרי אם

(sin x - 1) 2 = 0, ו-cos 4 x = 0, ומכאן:

sin x - 1 = 0, ו-cos x = 0,

sin x \u003d 1, ו-cos x \u003d 0, לפיכך

x = /2 + k, k€z

תשובה: /2 + k, k€z.

7. פתרו את המשוואה: sin 5x + sin x = 2 + cos 2 x.

פתרון: אנו מיישמים את השיטה של הערכת החלקים השמאלי והימני ואת הגבולות של פונקציות cos ו-sin.

- 1 sin 5x 1, ו-1 sin x 1

0 + 2 2 + cos 2 x 1 + 2

2 2 + cos 2 x 3

sin 5x + sin x 2, ו-2 + cos 2 x 2

2 sin 5x + sin x 2, כלומר.

sin 5x + sin x 2,

יש לנו צד שמאל 2, וצד ימין 2,

שוויון אפשרי אם שניהם שווים ל-2.

cos 2 x \u003d 0, ו-sin 5x + sin x \u003d 2, לכן

x = /2 + k, k€z (הקפד לבדוק).

תשובה: /2 + k, k€z.

8. פתרו את המשוואה: cos x + cos 2x + cos 3x + cos 4x = 0.

פִּתָרוֹן: פתרו בשיטת הפירוק לגורמים. אנו מקבצים את המונחים הממוקמים בצד שמאל לזוגות.

(במקרה זה, כל דרך של קיבוץ מובילה למטרה.) השתמש בנוסחה cos a+cos b=2 cos (a + b)/2 cos (a - b)/2.

2 cos 3/2x cos x/2 + 2 cos 7/2x cos x/2 = 0,

cos x/2 (cos 3/2x + cos 7/2x) = 0,

2 cos 5/2x cos x/2 cos x = 0,

מתעוררים שלושה מקרים:

תשובה: + 2k, /5 + 2/5k, /2 + k, k€z.

שימו לב שהמקרה השני כולל את הראשון. (אם במקרה השני ניקח k = 4 + 5, אז נקבל + 2n). לכן, אי אפשר לומר מה נכון יותר, אבל בכל מקרה, התשובה תיראה "יותר תרבותית ויפה": x 1 = /5 + 2/5k, x 2 = /2 + k, k€z. (שוב, מצב טיפוסי המוביל לצורות שונות של כתיבת תגובה). גם התשובה הראשונה נכונה.

המשוואה הנחשבת ממחישה סכימת פתרון טיפוסית מאוד - פירוק המשוואה לגורמים עקב קיבוץ זוגי ושימוש בנוסחאות:

sin a + sin b \u003d 2 sin (a + b) / 2 cos (a - b) / 2;

sin a - sin b \u003d 2 cos (a + b) / 2 sin (a - b) / 2;

cos a + cos b = 2 cos (a + b)/2 cos (a - b)/2;

cos a - cos b \u003d -2 sin (a + b) / 2 sin (b - a) / 2.

הבעיה של בחירת שורשים, ניפוי שורשים מיותרים בעת פתרון משוואות טריגונומטריות היא מאוד ספציפית ובדרך כלל מתבררת כמסובכת יותר ממה שהייתה עבור משוואות אלגבריות. הבה נציג פתרונות של משוואות הממחישות מקרים טיפוסייםהופעת שורשים (זרים) מיותרים ושיטות "להילחם" איתם.

שורשים נוספים עשויים להופיע בשל העובדה שבתהליך הפתרון חלה הרחבה של תחום ההגדרה של המשוואות. בואו ניתן דוגמאות.

9. פתרו את המשוואה: (sin 4x - sin 2x - cos 3x + 2sin x -1) / (2sin 2x - 3) = 0.

פתרון: נשווה את המונה לאפס (במקרה זה, תחום ההגדרה של המשוואה מורחב - מתווספים ערכי x, והופכים את המכנה לאפס) וננסה לפרק אותו לגורמים. יש לנו:

2 cos 3x sin x - cos 3x + 2sin x - 1 = 0,

(cos 3x + 1) (2 sin x - 1) = 0.

נקבל שתי משוואות:

cos 3x + 1 = 0, x = /3 + 2/3k.

בוא נראה איזה k מתאים לנו. קודם כל נציין שהצד השמאלי של המשוואה שלנו הוא פונקציה מחזורית עם תקופה של 2. לכן, מספיק למצוא פתרון למשוואה שעונה על התנאי 0 x< 2 (один раз “обойти” круг), затем к найденным значениям прибавить 2k.

אי שוויון 0 x< 2 удовлетворяют три числа: /3, 5/3.

הראשון לא עובד כי חטא 2/3 = 3/2, המכנה הולך לאפס.

התשובה למקרה הראשון: x 1 = + 2k, x 2 = 5/3 + 2k (אתה יכול x 2 = - / 3 + 2k), k € z.

מצא פתרון למשוואה זו המקיים את התנאי 0 x< 2. Их два: /6, 5/6. Подходит второе значение.

תשובה: + 2k, 5/3 + 2k, 5/6 + 2k, k€z.

10. מצא את שורשי המשוואות: v (cos 2x + sin 3x) = v2 cos x.

הפתרון של משוואה זו מחולק לשני שלבים:

1) פתרון של משוואה המתקבלת ממשוואה נתונה על ידי ריבוע שני חלקיה;

2) בחירה של אותם שורשים המקיימים את התנאי cos x 0. במקרה זה (כמו במקרה של משוואות אלגבריות), אין צורך לדאוג לגבי התנאי cos 2x + sin 3x 0. כל הערכים של k שעונים על המשוואה בריבוע עומדים בתנאי זה.

הצעד הראשון מביא אותנו למשוואה sin 3x = 1, משם x 1 = /6 + 2/3k.

כעת עלינו לקבוע עבור איזה k cos (/6 + 2/3k) 0 יתקיים. לשם כך, די לשקול את הערכים 0, 1, 2 עבור k, כלומר. כרגיל, "סובב את המעגל פעם אחת", כי עוד יותר ערכי הקוסינוס יהיו שונים מאלה שכבר נחשבו בכפולה של 2.

תשובה: /6 + 2k, 3/2/3 + 2k, 5/6 + 2k, k€z.

11. פתרו את המשוואה: sin 8 x - cos 5 x \u003d 1.

הפתרון של משוואה זו מבוסס על השיקול הפשוט הבא: אם 0< a < 1 то a t убывает с ростом t.

אז, חטא 8 x חטא 2 x, - cos 5 x cos 2 x;

הוספת אי השוויון מונח אחר מונח, יש לנו:

sin 8 x - cos 5 x sin 2 x + cos 2 x \u003d 1.

לכן, הצד השמאלי של משוואה זו שווה לאחד אם ורק אם מתקיימים שני השוויון:

sin 8 x \u003d sin 2 x, cos 5 x \u003d cos 2 x,

הָהֵן. sin x יכול לקבל ערכים -1, 0

תשובה: /2 + k, + 2k, k€z.

להשלמת התמונה, שקול דוגמה נוספת.

12. פתרו את המשוואה: 4 cos 2 x - 4 cos 2 3x cos x + cos 2 3x \u003d 0.

פִּתָרוֹן: ניקח בחשבון את הצד השמאלי של משוואה זו כטרינום ריבועי ביחס ל-cos x.

תן ל-D להיות המבחין של הטרינום הזה:

1/4 D \u003d 4 (cos 4 3x - cos 2 3x).

מאי השוויון D 0 עוקב אחר cos 2 3x 0 או cos 2 3x 1.

המשמעות היא שעולה שתי אפשרויות: cos 3x = 0 ו-cos 3x = ± 1.

אם cos 3x \u003d 0, אז זה נובע מהמשוואה כי cos x \u003d 0, ומכאן x \u003d / 2 + k.

ערכי x אלה עומדים במשוואה.

אם cos 3x \u003d 1, אז מהמשוואה cos x \u003d 1/2 נמצא x \u003d ± / 3 + 2k. ערכים אלה גם עומדים במשוואה.

תשובה: /2 + k, /3 + 2k, k€z.

13. פתרו את המשוואה: sin 4 x + cos 4 x \u003d 7/2 sin x cos x.

פִּתָרוֹן: אנו הופכים את הביטוי sin 4 x + cos 4 x, הדגשה ריבוע מלא: sin 4 x + cos 4 x \u003d sin 4 x + 2 sin 2 x cos 2 x + cos 4 x - 2 sin 2 x cos 2 x \u003d (sin 2 x + cos 2 x) 2 - 2 sin 2 x cos 2 x, ומכאן sin 4 x + cos 4 x \u003d 1 - 1/2 sin 2 2x. בעזרת הנוסחה שהתקבלה, נכתוב את המשוואה בטופס

1-1/2 חטא 2 2x = 7/4 חטא 2x.

מציין חטא 2x \u003d t, -1 t 1,

אנחנו מקבלים משוואה ריבועית 2t 2 + 7t - 4 = 0,

פתרון אשר, נמצא t 1 \u003d 1/2, t 2 \u003d - 4

משוואה חטא 2x \u003d 1/2

2x \u003d (- 1) k / 6 + k, k € z, x \u003d (- 1) k // 12 + k / 2, k € z.

טריגונומטריה, כמדע, מקורה במזרח העתיק. היחסים הטריגונומטריים הראשונים פותחו על ידי אסטרונומים כדי ליצור לוח שנה מדויק ולהתמצא לפי הכוכבים. חישובים אלו התייחסו לטריגונומטריה כדורית, בעוד שבקורס בית הספר לומדים את היחס בין הצלעות והזווית של משולש שטוח.

טריגונומטריה היא ענף במתמטיקה העוסק בתכונות של פונקציות טריגונומטריות ובקשר בין הצלעות והזוויות של משולשים.

בתקופת הזוהר של התרבות והמדע באלף הראשון לספירה, התפשט הידע מהמזרח העתיק ליוון. אבל התגליות העיקריות של הטריגונומטריה הן הכשרון של אנשי הח'ליפות הערבית. בפרט, המדען הטורקמני אל-מרזבי הציג פונקציות כמו משיק וקוטנגנט, ריכז את הטבלאות הראשונות של ערכים עבור סינוסים, טנג'נסים וקוטנגנטים. המושג סינוס וקוסינוס הוצג על ידי מדענים הודים. תשומת לב רבה מוקדשת לטריגונומטריה בעבודותיהם של דמויות כה גדולות מהעת העתיקה כמו אוקלידס, ארכימדס וארוטוסטנס.

כמויות בסיסיות של טריגונומטריה

הפונקציות הטריגונומטריות הבסיסיות של ארגומנט מספרי הן סינוס, קוסינוס, טנגנס וקוטנגנטי. לכל אחד מהם גרף משלו: סינוס, קוסינוס, טנגנס וקוטנגנטי.

הנוסחאות לחישוב ערכי הכמויות הללו מבוססות על משפט פיתגורס. זה מוכר יותר לתלמידי בית הספר בניסוח: "מכנסיים פיתגוריים, שווים לכל הכיוונים", שכן ההוכחה ניתנת בדוגמה של משולש ישר זווית שווה שוקיים.

תלות בסינוס, קוסינוס ותלות אחרת קובעת קשר בין זוויות חדות וצלעות של כל משולש ישר זווית. אנו נותנים נוסחאות לחישוב הכמויות הללו עבור זווית A ומתחקים אחר הקשר של פונקציות טריגונומטריות:

כפי שאתה יכול לראות, tg ו-ctg הם פונקציות הפוכות. אם נציג את רגל a כמכפלה של חטא A והתחתון c, ורגל b כ-cos A * c, אז נקבל את הנוסחאות הבאות למשיק ולקוטנגנטי:

מעגל טריגונומטרי

מבחינה גרפית, היחס בין הכמויות שהוזכרו יכול להיות מיוצג באופן הבא:

המעגל, במקרה זה, מייצג את כל הערכים האפשריים של הזווית α - מ-0° ל-360°. כפי שניתן לראות מהאיור, כל פונקציה מקבלת ערך שלילי או חיובי בהתאם לזווית. לדוגמה, sin α יהיה עם סימן "+" אם α שייך לרבעים I ו-II של המעגל, כלומר, הוא נמצא בטווח שבין 0° ל-180°. עם α מ-180° ל-360° (רבעים III ו-IV), sin α יכול להיות רק ערך שלילי.

בואו ננסה לבנות טבלאות טריגונומטריות לזוויות ספציפיות ולברר את משמעות הכמויות.

הערכים של α השווים ל-30°, 45°, 60°, 90°, 180° וכן הלאה נקראים מקרים מיוחדים. הערכים של פונקציות טריגונומטריות עבורם מחושבים ומוצגים בצורה של טבלאות מיוחדות.

זוויות אלו לא נבחרו במקרה. הכינוי π בטבלאות מיועד לרדיאנים. ראד היא הזווית שבה אורך קשת מעגלית מתאים לרדיוס שלה. הערך הזההוצג על מנת לבסס קשר אוניברסלי, כאשר מחשבים ברדיאנים, האורך האמיתי של הרדיוס בס"מ אינו משנה.

הזוויות בטבלאות עבור פונקציות טריגונומטריות מתאימות לערכי רדיאן:

לכן, לא קשה לנחש ש-2π הוא עיגול שלם או 360°.

תכונות של פונקציות טריגונומטריות: סינוס וקוסינוס

על מנת לשקול ולהשוות את המאפיינים הבסיסיים של סינוס וקוסינוס, טנגנס וקוטנגנט, יש צורך לצייר את הפונקציות שלהם. ניתן לעשות זאת בצורה של עקומה הממוקמת במערכת קואורדינטות דו מימדית.

שקול טבלה השוואתית של מאפיינים עבור גל סינוס וגל קוסינוס:

סינוסואיד	גל קוסינוס
y = חטא x	y = cos x
ODZ [-1; 1]	ODZ [-1; 1]
sin x = 0, עבור x = πk, כאשר k ϵ Z	cos x = 0, עבור x = π/2 + πk, כאשר k ϵ Z
sin x = 1, עבור x = π/2 + 2πk, כאשר k ϵ Z	cos x = 1, עבור x = 2πk, כאשר k ϵ Z
sin x = - 1, ב-x = 3π/2 + 2πk, כאשר k ϵ Z	cos x = - 1, עבור x = π + 2πk, כאשר k ϵ Z
sin (-x) = - sin x, כלומר פונקציה אי-זוגית	cos (-x) = cos x, כלומר הפונקציה זוגית
	הפונקציה היא מחזורית, התקופה הקטנה ביותר היא 2π
sin x › 0, כאשר x שייך לרבעים I ו-II או מ-0° ל-180° (2πk, π + 2πk)	cos x › 0, כאשר x שייך לרבעים I ו-IV או מ-270° ל-90° (- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk)
sin x ‹ 0, כאשר x שייך לרבעים III ו-IV או מ-180° ל-360° (π + 2πk, 2π + 2πk)	cos x ‹ 0, כאשר x שייך לרבעים II ו-III או מ-90° ל-270° (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk)
גדל במרווח [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk]	גדל במרווח [-π + 2πk, 2πk]
פוחת במרווחים [ π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk]	יורד במרווחים
נגזרת (sin x)' = cos x	נגזרת (cos x)' = - sin x

קביעה אם פונקציה זוגית או לא היא פשוטה מאוד. מספיק לדמיין מעגל טריגונומטרי עם סימנים של כמויות טריגונומטריות ו"לקפל" נפשית את הגרף ביחס לציר OX. אם הסימנים זהים, הפונקציה זוגית; אחרת, היא אי זוגית.

הכנסת הרדיאנים וספירת המאפיינים העיקריים של גל הסינוסואיד והקוסינוס מאפשרים לנו להביא את הדפוס הבא:

קל מאוד לאמת את נכונות הנוסחה. לדוגמה, עבור x = π/2, הסינוס שווה ל-1, וכך גם הקוסינוס של x = 0. ניתן לבצע בדיקה על ידי התבוננות בטבלאות או על ידי מעקב אחר עקומות פונקציות עבור ערכים נתונים.

תכונות של טנגנואיד וקוטנגנואיד

הגרפים של הפונקציות המשיקות והקוטנגנטיות שונות באופן משמעותי מגל הסינוסואיד והקוסינוס. הערכים tg ו-ctg הפוכים זה לזה.

Y = tgx.
המשיק נוטה לערכי y ב-x = π/2 + πk, אך לעולם לא מגיע אליהם.
התקופה החיובית הקטנה ביותר של הטנגנואיד היא π.
Tg (- x) \u003d - tg x, כלומר, הפונקציה היא מוזרה.
Tg x = 0, עבור x = πk.
הפונקציה הולכת וגדלה.
Tg x › 0, עבור x ϵ (πk, π/2 + πk).
Tg x ‹ 0, עבור x ϵ (— π/2 + πk, πk).
נגזרת (tg x)' = 1/cos 2 ⁡x .

שקול את הייצוג הגרפי של הקוטנגנטואיד למטה בטקסט.

המאפיינים העיקריים של הקוטנגנואיד:

Y = ctgx.
בניגוד לפונקציות הסינוס והקוסינוס, בטנגנואיד Y יכול לקבל את הערכים של קבוצת כל המספרים הממשיים.
הקוטנגנטואיד נוטה לערכים של y ב-x = πk, אך לעולם לא מגיע אליהם.
התקופה החיובית הקטנה ביותר של הקוטנגנואיד היא π.
Ctg (- x) \u003d - ctg x, כלומר, הפונקציה היא מוזרה.
Ctg x = 0, עבור x = π/2 + πk.
הפונקציה הולכת ופוחתת.
Ctg x › 0, עבור x ϵ (πk, π/2 + πk).
Ctg x ‹ 0, עבור x ϵ (π/2 + πk, πk).
נגזרת (ctg x)' = - 1/sin 2 ⁡x תיקון

הַרצָאָה: סינוס, קוסינוס, טנגנס, קוטנגנט של זווית שרירותית

סינוס, קוסינוס של זווית שרירותית

כדי להבין מהן פונקציות טריגונומטריות, נפנה למעגל עם רדיוס יחידה. מעגל זה מרוכז במקור במישור הקואורדינטות. לשם קביעה להגדיר פונקציותנשתמש בווקטור הרדיוס אוֹ, שמתחיל במרכז המעגל, והנקודה רהוא נקודה על המעגל. וקטור רדיוס זה יוצר זווית אלפא עם הציר הו. מכיוון שלמעגל יש רדיוס שווה לאחד, אז OR = R = 1.

אם מהנקודה רלהפיל מאונך על הציר הו, אז נקבל משולש ישר זווית עם תחתון השווה לאחד.

אם וקטור הרדיוס נע בכיוון השעון, אז הכיוון הזה נקרא שלילי, אבל אם הוא זז נגד כיוון השעון - חִיוּבִי.

הסינוס של זווית אוֹ, הוא הסמין של הנקודה רוקטורים על מעגל.

כלומר, כדי לקבל את הערך של הסינוס של זווית נתונה אלפא, יש צורך לקבוע את הקואורדינטה בְּעל פני השטח.

כיצד הושג ערך זה? מכיוון שאנו יודעים שהסינוס של זווית שרירותית במשולש ישר זווית הוא היחס בין הרגל הנגדית לתחתית, אנו מקבלים

ומאז R=1, זה sin(α) = y 0 .

במעגל היחידה, ערך הסמין לא יכול להיות קטן מ-1 וגדול מ-1, כלומר

הסינוס חיובי ברבע הראשון והשני של מעגל היחידה, ושלילי ברבע השלישי והרביעי.

קוסינוס של זוויתמעגל נתון שנוצר על ידי וקטור הרדיוס אוֹ, הוא האבשיסה של הנקודה רוקטורים על מעגל.

כלומר, כדי לקבל את הערך של הקוסינוס של זווית נתונה אלפא, יש צורך לקבוע את הקואורדינטה איקסעל פני השטח.

הקוסינוס של זווית שרירותית במשולש ישר זווית הוא היחס בין הרגל הסמוכה לתחתית, אנו מקבלים את זה

ומאז R=1, זה cos(α) = x 0 .

במעגל היחידה, הערך של האבססיס לא יכול להיות קטן מ-1 וגדול מ-1, כלומר

הקוסינוס חיובי ברביע הראשון והרביעי של מעגל היחידה, ושלילי ברביע השני והשלישי.

מַשִׁיקזווית שרירותיתהיחס בין סינוס לקוסינוס מחושב.

אם ניקח בחשבון משולש ישר זווית, אז זה היחס בין הרגל הנגדית לזו הסמוכה. אם אנחנו מדברים על מעגל יחידה, אז זה היחס בין הסמטה לאבשיסה.

אם לשפוט לפי קשרים אלו, ניתן להבין שהמשיק אינו יכול להתקיים אם ערכה של האבססיס הוא אפס, כלומר בזווית של 90 מעלות. המשיק יכול לקחת את כל הערכים האחרים.

המשיק חיובי ברבע הראשון והשלישי של מעגל היחידה, ושלילי ברבע השני והרביעי.