Что значит разложить на простые множители? Как это сделать? Что можно узнать по разложению числа на простые множители? Ответы на эти вопросы иллюстрируются конкретными примерами.
Определения:
Простым называют число, которое имеет ровно два различных делителя.
Составным называют число, которое имеет более двух делителей.
Разложить натуральное число на множители - значит представить его в виде произведения натуральных чисел.
Разложить натуральное число на простые множители - значит представить его в виде произведения простых чисел.
Замечания:
- В разложении простого числа один из множителей равен единице, а другой - самому этому числу.
- Говорить о разложении единицы на множители не имеет смысла.
- Составное число можно разложить на множители, каждый из которых отличен от 1.
|
Разложим число 150 на множители. Например, 150 - это 15 умножить на 10. 15 - это составное число. Его можно разложить на простые множители 5 и 3. 10 - это составное число. Его можно разложить на простые множители 5 и 2. Записав вместо 15 и 10 их разложения на простые множители, мы получили разложение числа 150. |
|
|
|
Число 150 можно по-другому разложить на множители. Например, 150 - это произведение чисел 5 и 30. 5 - число простое. 30 - это число составное. Его можно представить как произведение 10 и 3. 10 - число составное. Его можно разложить на простые множители 5 и 2. Мы получили разложение числа 150 на простые множители другим способом. |
|
Заметим, что первое и второе разложение одинаковы. Они отличаются только порядком следования множителей. Принято записывать множители в порядке возрастания. |
|
|
Всякое составное число можно разложить на простые множители единственным образом с точностью до порядка множителей. |
|
При разложении больших чисел на простые множители используют запись в столбик:
 |
Наименьшее простое число, на которое делится 216 - это 2. Разделим 216 на 2. Получим 108. |
|
Полученное число 108 делится на 2. Выполним деление. Получим в результате 54. |
|
|
Согласно признаку делимости на 2 число 54 делится на 2. Выполнив деление, получим 27. |
|
|
Число 27 заканчивается на нечетную цифру 7 . Оно Не делится на 2. Следующее простое число - это 3. Разделим 27 на 3. Получим 9. Наименьшее простое Число, на которое делится 9, - это 3. Три - само является простым числом, оно делится на себя и на единицу. Разделим 3 на себя. В итоге мы получили 1. |
|
- Число делится лишь на те простые числа, которые входят в состав его разложения.
- Число делится лишь на те составные числа, разложение которых на простые множители полностью в нем содержится.
Рассмотрим примеры:
|
4900 делится на простые числа 2, 5 и 7. (они входят в разложение числа 4900), но не делится, например, на 13. |
|
|
11 550 75. Это так, потому что разложение числа 75 полностью содержится в разложении числа 11550. В результате деления будет произведение множителей 2, 7 и 11. 11550 не делится на 4 потому, что в разложении четырех есть лишняя двойка. |
Найти частное от деления числа a на число b, если эти числа раскладываются на простые множители следующим образом a=2∙2∙2∙3∙3∙3∙5∙5∙19; b=2∙2∙3∙3∙5∙19
|
Разложение числа b полностью содержится в разложении числа a. |
|
|
Результат деления a на b - это произведение оставшихся в разложении числа a трех чисел. Итак, ответ: 30. |
Список литературы
- Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 6. - М.: Мнемозина, 2012.
- Мерзляк А.Г., Полонский В.В., Якир М.С. Математика 6 класс. - Гимназия. 2006.
- Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики. - М.: Просвещение, 1989.
- Рурукин А.Н., Чайковский И.В. Задания по курсу математика 5-6 класс. - М.: ЗШ МИФИ, 2011.
- Рурукин А.Н., Сочилов С.В., Чайковский К.Г. Математика 5-6. Пособие для учащихся 6-х классов заочной школы МИФИ. - М.: ЗШ МИФИ, 2011.
- Шеврин Л.Н., Гейн А.Г., Коряков И.О., Волков М.В. Математика: Учебник-собеседник для 5-6 классов средней школы. - М.: Просвещение, Библиотека учителя математики, 1989.
- Интернет-портал Matematika-na.ru ().
- Интернет-портал Math-portal.ru ().
Домашнее задание
- Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 6. - М.: Мнемозина, 2012. № 127, № 129, № 141.
- Другие задания: № 133, № 144.
Любое составное число можно представить в виде произведения его простых делителей:
28 = 2 · 2 · 7
Правые части полученных равенств называют разложением на простые множители чисел 15 и 28.
Разложить данное составное число на простые множители - значит представить это число в виде произведения его простых делителей.
Разложение данного числа на простые множители выполняется следующим образом:
- Сначала нужно подобрать самое маленькое простое число из таблицы простых чисел, на которое данное составное число делится без остатка, и выполнить деление.
- Далее, нужно опять подобрать самое маленькое простое число, на которое уже полученное частное будет делиться без остатка.
- Выполнение второго действия повторяют до тех пор, пока в частном не получится единица.
В качестве примера, разложим на простые множители число 940. Находим наименьшее простое число, на которое делится 940. Таким числом является 2:
Теперь подбираем наименьшее простое число, на которое делится 470. Таким числом является опять 2:
Наименьшее простое число, на которое делится 235 - это 5:
Число 47 простое, значит наименьшим простым числом, на которое делится 47, будет само это число:
Таким образом, мы получаем число 940, разложенное на простые множители:
940 = 2 · 470 = 2 · 2 · 235 = 2 · 2 · 5 · 47
Если в разложении числа на простые множители получилось несколько одинаковых сомножителей, то для краткости, их можно записать в виде степени:
940 = 2 2 · 5 · 47
Разложение на простые множители удобнее всего записывать следующим образом: сначала записываем данное составное число и справа от него проводим вертикальную черту:
Справа от черты записываем самый маленький простой делитель, на который делится данное составное число:
Выполняем деление и получившееся в результате деления частное записываем под делимым:
С частным поступаем так же, как и с данным составным числом, т. е. подбираем самое маленькое простое число, на которое оно делится без остатка и выполняем деление. И так повторяем до тех пор, пока в частном не получится единица:
Обратите внимание, что иногда бывает достаточно трудно выполнить разложение числа на простые множители, так как при разложении мы можем столкнуться с большим числом, которое сложно с ходу определить, простое оно или составное. А если оно составное, то не всегда легко найти его наименьший простой делитель.
Попробуем к примеру разложить на простые множители число 5106:
Дойдя до частного 851, трудно с ходу определить его наименьший делитель. Обращаемся к таблице простых чисел. Если в ней найдётся число, поставившее нас в затруднение, значит оно делится только на себя и на единицу. Числа 851 нет в таблице простых чисел, значит, оно является составным. Остаётся только методом последовательного перебора делить его на простые числа: 3, 7, 11, 13, ..., и так до тех пор, пока не найдём подходящего простого делителя. Методом перебора находим, что 851 делится на число 23.
Любое составное число можно разложить на простые множители. Способов разложения может быть несколько. При любом способе получается один и тот же результат.
Как разложить число на простые множители наиболее удобным способом? Рассмотрим, как это лучше сделать, на конкретных примерах.
Примеры. 1) Разложить число 1400 на простые множители.
1400 делится на 2. 2 — простое число, раскладывать его на множители не нужно. Получаем 700. Делим его на 2. Получаем 350. 350 тоже делим на 2. Полученное число 175 можно разделить на 5. Результат — з5 — еще раз делим на 5. Итого — 7. Его можно разделить только на 7. Получили 1, деление окончено.
Это же число можно разложить на простые множители иначе:
1400 удобно разделить на 10. 10 не является простым числом, поэтому его нужно разложить на простые множители: 10=2∙5. Результат — 140. Его снова делим на 10=2∙5. Получаем 14. Если 14 разделить на 14, то его тоже следует разложить на произведение простых множителей: 14=2∙7.
Таким образом, снова пришли к такому же, как и в первом случае, разложению, но быстрее.
Вывод: не обязательно при разложении числа делить его только на простые делители. Делим на то, что удобнее, например, на 10. Надо только составные делители не забыть разложить на простые множители.
2) Разложить число 1620 на простые множители.
Число 1620 удобнее всего разделить на 10. Поскольку 10 простым числом не является, представляем его в виде произведения простых множителей: 10=2∙5. Получили 162. Его удобно разделить на 2. Результат — 81. Число 81 можно разделить на 3, но на 9 — удобнее. Так как 9 — не простое число, раскладываем его как 9=3∙3. Получили 9. Его также делим на 9 и раскладываем на произведение простых множителей.
Каждое натуральное число, кроме единицы, имеет два или более делителей. Например, число 7, делится без остатка только на 1 и на 7, то есть имеет два делителя. А у числа 8, делители 1, 2, 4, 8, то есть аж 4 делителя сразу.
Чем отличаются простые и составные числа
Числа, которые имеют более двух делителей, называются составными. Числа, которые имеют только два делителя: единица и само это число, называются простыми числами.
Число 1 имеет только один делить, а именно само это число. Единица не относится ни к простым, ни к составным числам.
- Например, число 7 простое, а число 8 составное.
Первые 10 простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. Число 2 единственное четное простое число, все остальные простые числа нечетные.
Число 78 составное, так как помимо 1 и самого себя, оно делится еще и на 2. При делении на 2 получим 39. То есть 78= 2*39. В таких случаях говорят, что число разложили на множители 2 и 39.
Любое составное число можно разложить на два множителя, каждый из которых больше 1. С простым числом такой фокус не прокатит. Такие дела.
Разложение числа на простые множители
Как уже отмечалось выше, любое составное число, можно разложить на два множителя. Возьмем, к примеру, число 210. Это число можно разложить на два множителя 21 и 10. Но числа 21 и 10 тоже составные, разложим и их на два множителя. Получим 10 = 2*5, 21=3*7. И в итоге число 210 разложилось уже на 4 множителя: 2,3,5,7. Эти числа уже простые и их разложить нельзя. То есть мы разложили число 210 на простые множители.
При разложении составных чисел на простые множители, их обычно, записывают в порядке возрастания.
Следует запомнить, что любое составное число можно разложить на простые множители и причем единственным образом, с точностью до перестановки.
- Обычно, при разложении числа на простые множители пользуются признаками делимости.
Разложим число 378 на простые множители
Будем записывать числа, разделяя их вертикальной чертой. Число 378 делится на 2, так как оканчивается на 8. При делении получим число 189. Сумма цифр числа 189 делится на 3, значит и само число 189 делится на 3. В результате получим 63.
Число 63 тоже делится на 3, по признаку делимости. Получаем 21, число 21 снова можно разделить на 3, получим 7. Семерка делится только на себя, получаем единицу. На этом закончено деление. Справа после черты получились простые множители, на которые раскладывается число 378.
378|2
189|3
63|3
21|3