Степень используется для упрощения записи операции умножения числа само на себя. Например, вместо записи можно написать 4 5 {\displaystyle 4^{5}} (объяснение такому переходу дано в первом разделе этой статьи). Степени позволяют упростить написание длинных или сложных выражений или уравнений; также степени легко складываются и вычитаются, что приводит к упрощению выражения или уравнения (например, 4 2 ∗ 4 3 = 4 5 {\displaystyle 4^{2}*4^{3}=4^{5}} ).

Примечание: если вам необходимо решить показательное уравнение (в таком уравнении неизвестное находится в показателе степени), прочитайте .

Шаги

Решение простейших задач со степенями

Умножьте основание степени само на себя числом раз, равным показателю степени. Если вам нужно решить задачу со степенями вручную, перепишите степень в виде операции умножения, где основание степени умножается само на себя. Например, дана степень 3 4 {\displaystyle 3^{4}} . В этом случае основание степени 3 нужно умножить само на себя 4 раза: 3 ∗ 3 ∗ 3 ∗ 3 {\displaystyle 3*3*3*3} . Вот другие примеры:

Для начала перемножьте первые два числа. Например, 4 5 {\displaystyle 4^{5}} = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 {\displaystyle 4*4*4*4*4} . Не волнуйтесь - процесс вычисления не такой сложный, каким кажется на первый взгляд. Сначала перемножьте первые две четверки, а затем замените их полученным результатом. Вот так:

• 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 {\displaystyle 4^{5}=4*4*4*4*4}
  • 4 ∗ 4 = 16 {\displaystyle 4*4=16}

1. Умножьте полученный результат (в нашем примере 16) на следующее число. Каждый последующий результат будет пропорционально увеличиваться. В нашем примере умножьте 16 на 4. Вот так:

   • 4 5 = 16 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 {\displaystyle 4^{5}=16*4*4*4}
     • 16 ∗ 4 = 64 {\displaystyle 16*4=64}
   • 4 5 = 64 ∗ 4 ∗ 4 {\displaystyle 4^{5}=64*4*4}
     • 64 ∗ 4 = 256 {\displaystyle 64*4=256}
   • 4 5 = 256 ∗ 4 {\displaystyle 4^{5}=256*4}
     • 256 ∗ 4 = 1024 {\displaystyle 256*4=1024}
   • Продолжайте умножать результат перемножения первых двух чисел на следующее число до тех пор, пока не получите окончательный ответ. Для этого перемножайте первые два числа, а затем полученный результат умножайте на следующее число в последовательности. Этот метод справедлив для любой степени. В нашем примере вы должны получить: 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 = 1024 {\displaystyle 4^{5}=4*4*4*4*4=1024} .

2. Решите следующие задачи. Ответ проверьте при помощи калькулятора.

   • 8 2 {\displaystyle 8^{2}}
   • 3 4 {\displaystyle 3^{4}}
   • 10 7 {\displaystyle 10^{7}}

3. На калькуляторе найдите клавишу, обозначенную как «exp», или « x n {\displaystyle x^{n}} », или «^». При помощи этой клавиши вы будете возводить число в степень. Вычислить степень с большим показателем вручную практически невозможно (например, степень 9 15 {\displaystyle 9^{15}} ), но калькулятор с легкостью справится с этой задачей. В Windows 7 стандартный калькулятор можно переключить в инженерный режим; для этого нажмите «Вид» –> «Инженерный». Для переключения в обычный режим нажмите «Вид» –> «Обычный».

   • Проверьте полученный ответ при помощи поисковой системы (Google или Яндекс) . Воспользовавшись клавишей «^» на клавиатуре компьютера, введите выражение в поисковик, который моментально отобразит правильный ответ (и, возможно, предложит аналогичные выражения для изучения).

   Сложение, вычитание, перемножение степеней

   1. Складывать и вычитать степени можно только в том случае, если у них одинаковые основания. Если нужно сложить степени с одинаковыми основаниями и показателями, то вы можете заменить операцию сложения операцией умножения. Например, дано выражение 4 5 + 4 5 {\displaystyle 4^{5}+4^{5}} . Помните, что степень 4 5 {\displaystyle 4^{5}} можно представить в виде 1 ∗ 4 5 {\displaystyle 1*4^{5}} ; таким образом, 4 5 + 4 5 = 1 ∗ 4 5 + 1 ∗ 4 5 = 2 ∗ 4 5 {\displaystyle 4^{5}+4^{5}=1*4^{5}+1*4^{5}=2*4^{5}} (где 1 +1 =2). То есть посчитайте число подобных степеней, а затем перемножьте такую степень и это число. В нашем примере возведите 4 в пятую степень, а затем полученный результат умножьте на 2. Помните, что операцию сложения можно заменить операцией умножения, например, 3 + 3 = 2 ∗ 3 {\displaystyle 3+3=2*3} . Вот другие примеры:

      • 3 2 + 3 2 = 2 ∗ 3 2 {\displaystyle 3^{2}+3^{2}=2*3^{2}}
      • 4 5 + 4 5 + 4 5 = 3 ∗ 4 5 {\displaystyle 4^{5}+4^{5}+4^{5}=3*4^{5}}
      • 4 5 − 4 5 + 2 = 2 {\displaystyle 4^{5}-4^{5}+2=2}
      • 4 x 2 − 2 x 2 = 2 x 2 {\displaystyle 4x^{2}-2x^{2}=2x^{2}}

   2. При перемножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются (основание не меняется). Например, дано выражение x 2 ∗ x 5 {\displaystyle x^{2}*x^{5}} . В этом случае нужно просто сложить показатели, оставив основание без изменений. Таким образом, x 2 ∗ x 5 = x 7 {\displaystyle x^{2}*x^{5}=x^{7}} . Вот наглядное объяснение этого правила:

      При возведении степени в степень показатели перемножаются. Например, дана степень . Так как показатели степени перемножаются, то (x 2) 5 = x 2 ∗ 5 = x 10 {\displaystyle (x^{2})^{5}=x^{2*5}=x^{10}} . Смысл этого правила в том, что вы умножаете степень (x 2) {\displaystyle (x^{2})} саму на себя пять раз. Вот так:

      • (x 2) 5 {\displaystyle (x^{2})^{5}}
      • (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 {\displaystyle (x^{2})^{5}=x^{2}*x^{2}*x^{2}*x^{2}*x^{2}}
      • Так как основание одно и то же, показатели степени просто складываются: (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 = x 10 {\displaystyle (x^{2})^{5}=x^{2}*x^{2}*x^{2}*x^{2}*x^{2}=x^{10}}

   3. Степень с отрицательным показателем следует преобразовать в дробь (в обратную степень). Не беда, если вы не знаете, что такое обратная степень. Если вам дана степень с отрицательным показателем, например, 3 − 2 {\displaystyle 3^{-2}} , запишите эту степень в знаменатель дроби (в числителе поставьте 1), а показатель сделайте положительным. В нашем примере: 1 3 2 {\displaystyle {\frac {1}{3^{2}}}} . Вот другие примеры:

      При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются (основание при этом не меняется). Операция деления противоположна операции умножения. Например, дано выражение 4 4 4 2 {\displaystyle {\frac {4^{4}}{4^{2}}}} . Вычтите показатель степени, стоящей в знаменателе, из показателя степени, стоящей в числителе (основание не меняйте). Таким образом, 4 4 4 2 = 4 4 − 2 = 4 2 {\displaystyle {\frac {4^{4}}{4^{2}}}=4^{4-2}=4^{2}} = 16 .

      • Степень, стоящую в знаменателе, можно записать в таком виде: 1 4 2 {\displaystyle {\frac {1}{4^{2}}}} = 4 − 2 {\displaystyle 4^{-2}} . Помните, что дробь - это число (степень, выражение) с отрицательным показателем степени.

   4. Ниже приведены некоторые выражения, которые помогут вам научиться решать задачи со степенями. Приведенные выражения охватывают материал, изложенный в этом разделе. Для того, чтобы увидеть ответ, просто выделите пустое пространство после знака равенства.

   Решение задач с дробными показателями степени

   Степень с дробным показателем (например, ) преобразуется в операцию извлечения корня. В нашем примере: x 1 2 {\displaystyle x^{\frac {1}{2}}} = x {\displaystyle {\sqrt {x}}} . Здесь неважно, какое число стоит в знаменателе дробного показателя степени. Например, x 1 4 {\displaystyle x^{\frac {1}{4}}} - это корень четвертой степени из «х», то есть x 4 {\displaystyle {\sqrt[{4}]{x}}} .

   1. Если показатель степени представляет собой неправильную дробь, то такую степень можно разложить на две степени, чтобы упростить решение задачи. В этом нет ничего сложного - просто вспомните правило перемножения степеней. Например, дана степень . Превратите такую степень в корень, степень которого будет равна знаменателю дробного показателя, а затем возведите этот корень в степень, равную числителю дробного показателя. Чтобы сделать это, вспомните, что 5 3 {\displaystyle {\frac {5}{3}}} = (1 3) ∗ 5 {\displaystyle ({\frac {1}{3}})*5} . В нашем примере:

      • x 5 3 {\displaystyle x^{\frac {5}{3}}}
      • x 1 3 = x 3 {\displaystyle x^{\frac {1}{3}}={\sqrt[{3}]{x}}}
      • x 5 3 = x 5 ∗ x 1 3 {\displaystyle x^{\frac {5}{3}}=x^{5}*x^{\frac {1}{3}}} = (x 3) 5 {\displaystyle ({\sqrt[{3}]{x}})^{5}}
   2. На некоторых калькуляторах есть кнопка для вычисления степеней (сначала нужно ввести основание, затем нажать кнопку, а затем ввести показатель). Она обозначается как ^ или x^y.
   3. Помните, что любое число в первой степени равно самому себе, например, 4 1 = 4. {\displaystyle 4^{1}=4.} Более того, любое число, умноженное или разделенное на единицу, равно самому себе, например, 5 ∗ 1 = 5 {\displaystyle 5*1=5} и 5 / 1 = 5 {\displaystyle 5/1=5} .
   4. Знайте, что степени 0 0 не существует (такая степень не имеет решения). При попытке решить такую степень на калькуляторе или на компьютере вы получите ошибку. Но помните, что любое число в нулевой степени равно 1, например, 4 0 = 1. {\displaystyle 4^{0}=1.}
   5. В высшей математике, которая оперирует мнимыми числами: e a i x = c o s a x + i s i n a x {\displaystyle e^{a}ix=cosax+isinax} , где i = (− 1) {\displaystyle i={\sqrt {(}}-1)} ; е - константа, примерно равная 2,7; а - произвольная постоянная. Доказательство этого равенства можно найти в любом учебнике по высшей математике.

   Предупреждения

   • При увеличении показателя степени ее значение сильно возрастает. Поэтому если ответ кажется вам неправильным, на самом деле он может оказаться верным. Вы можете проверить это, построив график любой показательной функции, например, 2 x .

Выражения, преобразование выражений

Степенные выражения (выражения со степенями) и их преобразование

В этой статье мы поговорим о преобразовании выражений со степенями. Сначала мы остановимся на преобразованиях, которые выполняются с выражениями любых видов, в том числе и со степенными выражениями, таких как раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых. А дальше разберем преобразования, присущие именно выражениям со степенями: работа с основанием и показателем степени, использование свойств степеней и т.д.

Навигация по странице.

Что такое степенные выражения?

Термин «степенные выражения» практически не встречается школьных учебниках математики, но он довольно часто фигурирует в сборниках задач, особенно предназначенных для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ, например, . После анализа заданий, в которых требуется выполнить какие-либо действия со степенными выражениями, становится понятно, что под степенными выражениями понимают выражения, содержащие в своих записях степени. Поэтому, для себя можно принять такое определение:

Определение.

Степенные выражения – это выражения, содержащие степени.

Приведем примеры степенных выражений . Причем будем их представлять согласно тому, как происходит развитие взглядов на от степени с натуральным показателем до степени с действительным показателем.

Как известно, сначала происходит знакомство со степенью числа с натуральным показателем, на этом этапе появляются первые самые простые степенные выражения типа 3 2 , 7 5 +1 , (2+1) 5 , (−0,1) 4 , 3·a 2 −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 и т.п.

Чуть позже изучается степень числа с целым показателем, что приводит к появлению степенных выражений с целыми отрицательными степенями, наподобие следующих: 3 −2 , , a −2 +2·b −3 +c 2 .

В старших классах вновь возвращаются к степеням. Там вводится степень с рациональным показателем, что влечет появление соответствующих степенных выражений: , , и т.п. Наконец, рассматриваются степени с иррациональными показателями и содержащие их выражения: , .

Перечисленными степенными выражениями дело не ограничивается: дальше в показатель степени проникает переменная, и возникают, например, такие выражения 2 x 2 +1 или . А после знакомства с , начинают встречаться выражения со степенями и логарифмами, к примеру, x 2·lgx −5·x lgx .

Итак, мы разобрались с вопросом, что представляют собой степенные выражения. Дальше будем учиться преобразовывать их.

Основные виды преобразований степенных выражений

Со степенными выражениями можно выполнять любые из основных тождественных преобразований выражений . Например, можно раскрывать скобки, заменять числовые выражения их значениями, приводить подобные слагаемые и т.д. Естественно, при этом стоит надо соблюдать принятый порядок выполнения действий . Приведем примеры.

Пример.

Вычислите значение степенного выражения 2 3 ·(4 2 −12) .

Решение.

Согласно порядку выполнения действий сначала выполняем действия в скобках. Там, во-первых, заменяем степень 4 2 ее значением 16 (при необходимости смотрите ), и во-вторых, вычисляем разность 16−12=4 . Имеем 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4 .

В полученном выражении заменяем степень 2 3 ее значением 8 , после чего вычисляем произведение 8·4=32 . Это и есть искомое значение.

Итак, 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4=8·4=32 .

Ответ:

2 3 ·(4 2 −12)=32 .

Пример.

Упростить выражения со степенями 3·a 4 ·b −7 −1+2·a 4 ·b −7 .

Решение.

Очевидно, что данное выражение содержит подобные слагаемые 3·a 4 ·b −7 и 2·a 4 ·b −7 , и мы можем привести их: .

Ответ:

3·a 4 ·b −7 −1+2·a 4 ·b −7 =5·a 4 ·b −7 −1 .

Пример.

Представьте выражение со степенями в виде произведения.

Решение.

Справиться с поставленной задачей позволяет представление числа 9 в виде степени 3 2 и последующее использование формулы сокращенного умножения разность квадратов:

Ответ:

Также существует ряд тождественных преобразований, присущих именно степенным выражениям. Дальше мы их и разберем.

Работа с основанием и показателем степени

Встречаются степени, в основании и/или показателе которых находятся не просто числа или переменные, а некоторые выражения. В качестве примера приведем записи (2+0,3·7) 5−3,7 и (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) .

При работе с подобными выражениями можно как выражение в основании степени, так и выражение в показателе заменить тождественно равным выражением на ОДЗ его переменных. Другими словами, мы можем по известным нам правилам отдельно преобразовывать основание степени, и отдельно – показатель. Понятно, что в результате этого преобразования получится выражение, тождественно равное исходному.

Такие преобразования позволяют упрощать выражения со степенями или достигать других нужных нам целей. Например, в упомянутом выше степенном выражении (2+0,3·7) 5−3,7 можно выполнить действия с числами в основании и показателе, что позволит перейти к степени 4,1 1,3 . А после раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых в основании степени (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) мы получим степенное выражение более простого вида a 2·(x+1) .

Использование свойств степеней

Один из главных инструментов преобразования выражений со степенями – это равенства, отражающие . Напомним основные из них. Для любых положительных чисел a и b и произвольных действительных чисел r и s справедливы следующие свойства степеней:

• a r ·a s =a r+s ;
• a r:a s =a r−s ;
• (a·b) r =a r ·b r ;
• (a:b) r =a r:b r ;
• (a r) s =a r·s .

Заметим, что при натуральных, целых, а также положительных показателях степени ограничения на числа a и b могут быть не столь строгими. Например, для натуральных чисел m и n равенство a m ·a n =a m+n верно не только для положительных a , но и для отрицательных, и для a=0 .

В школе основное внимание при преобразовании степенных выражений сосредоточено именно на умении выбрать подходящее свойство и правильно его применить. При этом основания степеней обычно положительные, что позволяет использовать свойства степеней без ограничений. Это же касается и преобразования выражений, содержащих в основаниях степеней переменные – область допустимых значений переменных обычно такова, что на ней основания принимают лишь положительные значения, что позволяет свободно использовать свойства степеней. Вообще, нужно постоянно задаваться вопросом, а можно ли в данном случае применять какое-либо свойство степеней, ведь неаккуратное использование свойств может приводить к сужению ОДЗ и другим неприятностям. Детально и на примерах эти моменты разобраны в статье преобразование выражений с использованием свойств степеней . Здесь же мы ограничимся рассмотрением нескольких простых примеров.

Пример.

Представьте выражение a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 в виде степени с основанием a .

Решение.

Сначала второй множитель (a 2) −3 преобразуем по свойству возведения степени в степень: (a 2) −3 =a 2·(−3) =a −6 . Исходное степенное выражение при этом примет вид a 2,5 ·a −6:a −5,5 . Очевидно, остается воспользоваться свойствами умножения и деления степеней с одинаковым основанием, имеем
a 2,5 ·a −6:a −5,5 =
a 2,5−6:a −5,5 =a −3,5:a −5,5 =
a −3,5−(−5,5) =a 2 .

Ответ:

a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 =a 2 .

Свойства степеней при преобразовании степенных выражений используются как слева направо, так и справа налево.

Пример.

Найти значение степенного выражения .

Решение.

Равенство (a·b) r =a r ·b r , примененное справа налево, позволяет от исходного выражения перейти к произведению вида и дальше . А при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются: .

Можно было выполнять преобразование исходного выражения и иначе:

Ответ:

.

Пример.

Дано степенное выражение a 1,5 −a 0,5 −6 , введите новую переменную t=a 0,5 .

Решение.

Степень a 1,5 можно представить как a 0,5·3 и дальше на базе свойства степени в степени (a r) s =a r·s , примененного справа налево, преобразовать ее к виду (a 0,5) 3 . Таким образом, a 1,5 −a 0,5 −6=(a 0,5) 3 −a 0,5 −6 . Теперь легко ввести новую переменную t=a 0,5 , получаем t 3 −t−6 .

Ответ:

t 3 −t−6 .

Преобразование дробей, содержащих степени

Степенные выражения могут содержать дроби со степенями или представлять собой такие дроби. К таким дробям в полной мере применимы любые из основных преобразований дробей , которые присущи дробям любого вида. То есть, дроби, которые содержат степени, можно сокращать, приводить к новому знаменателю, работать отдельно с их числителем и отдельно со знаменателем и т.д. Для иллюстрации сказанных слов рассмотрим решения нескольких примеров.

Пример.

Упростить степенное выражение .

Решение.

Данное степенное выражение представляет собой дробь. Поработаем с ее числителем и знаменателем. В числителе раскроем скобки и упростим полученное после этого выражение, используя свойства степеней, а в знаменателе приведем подобные слагаемые:

И еще изменим знак знаменателя, поместив минус перед дробью: .

Ответ:

.

Приведение содержащих степени дробей к новому знаменателю проводится аналогично приведению к новому знаменателю рациональных дробей. При этом также находится дополнительный множитель и выполняется умножение на него числителя и знаменателя дроби. Выполняя это действие, стоит помнить, что приведение к новому знаменателю может приводить к сужению ОДЗ. Чтобы этого не происходило, нужно, чтобы дополнительный множитель не обращался в нуль ни при каких значениях переменных из ОДЗ переменных для исходного выражения.

Пример.

Приведите дроби к новому знаменателю: а) к знаменателю a , б) к знаменателю .

Решение.

а) В этом случае довольно просто сообразить, какой дополнительный множитель помогает достичь нужного результата. Это множитель a 0,3 , так как a 0,7 ·a 0,3 =a 0,7+0,3 =a . Заметим, что на области допустимых значений переменной a (это есть множество всех положительных действительных чисел) степень a 0,3 не обращается в нуль, поэтому, мы имеем право выполнить умножение числителя и знаменателя заданной дроби на этот дополнительный множитель:

б) Присмотревшись повнимательнее к знаменателю, можно обнаружить, что

и умножение этого выражения на даст сумму кубов и , то есть, . А это и есть новый знаменатель, к которому нам нужно привести исходную дробь.

Так мы нашли дополнительный множитель . На области допустимых значений переменных x и y выражение не обращается в нуль, поэтому, мы можем умножить на него числитель и знаменатель дроби:

Ответ:

а) , б) .

В сокращении дробей, содержащих степени, также нет ничего нового: числитель и знаменатель представляются в виде некоторого количества множителей, и сокращаются одинаковые множители числителя и знаменателя.

Пример.

Сократите дробь: а) , б) .

Решение.

а) Во-первых, числитель и знаменатель можно сократить на чисел 30 и 45 , который равен 15 . Также, очевидно, можно выполнить сокращение на x 0,5 +1 и на . Вот что мы имеем:

б) В этом случае одинаковых множителей в числителе и знаменателе сразу не видно. Чтобы получить их, придется выполнить предварительные преобразования. В данном случае они заключаются в разложении знаменателя на множители по формуле разности квадратов:

Ответ:

а)

б) .

Приведение дробей к новому знаменателю и сокращение дробей в основном используется для выполнения действий с дробями. Действия выполняются по известным правилам. При сложении (вычитании) дробей, они приводятся к общему знаменателю, после чего складываются (вычитаются) числители, а знаменатель остается прежним. В результате получается дробь, числитель которой есть произведение числителей, а знаменатель – произведение знаменателей. Деление на дробь есть умножение на дробь, обратную ей.

Пример.

Выполните действия .

Решение.

Сначала выполняем вычитание дробей, находящихся в скобках. Для этого приводим их к общему знаменателю, который есть , после чего вычитаем числители:

Теперь умножаем дроби:

Очевидно, возможно сокращение на степень x 1/2 , после которого имеем .

Еще можно упростить степенное выражение в знаменателе, воспользовавшись формулой разность квадратов: .

Ответ:

Пример.

Упростите степенное выражение .

Решение.

Очевидно, данную дробь можно сократить на (x 2,7 +1) 2 , это дает дробь . Понятно, что надо еще что-то сделать со степенями икса. Для этого преобразуем полученную дробь в произведение . Это дает нам возможность воспользоваться свойством деления степеней с одинаковыми основаниями: . И в заключение процесса переходим от последнего произведения к дроби .

Ответ:

.

И еще добавим, что можно и во многих случаях желательно множители с отрицательными показателями степени переносить из числителя в знаменатель или из знаменателя в числитель, изменяя знак показателя. Такие преобразования часто упрощают дальнейшие действия. Например, степенное выражение можно заменить на .

Преобразование выражений с корнями и степенями

Часто в выражениях, в которыми требуется провести некоторые преобразования, вместе со степенями с дробными показателями присутствуют и корни. Чтобы преобразовать подобное выражение к нужному виду, в большинстве случаев достаточно перейти только к корням или только к степеням. Но поскольку работать со степенями удобнее, обычно переходят от корней к степеням. Однако, осуществлять такой переход целесообразно тогда, когда ОДЗ переменных для исходного выражения позволяет заменить корни степенями без необходимости обращаться к модулю или разбивать ОДЗ на несколько промежутков (это мы подробно разобрали в статье переход от корней к степеням и обратно После знакомства со степенью с рациональным показателем вводится степень с иррациональным показателем, что позволяет говорить и о степени с произвольным действительным показателем. На этом этапе в школе начинает изучаться показательная функция , которая аналитически задается степенью, в основании которой находится число, а в показателе – переменная. Так мы сталкиваемся со степенными выражениями, содержащими числа в основании степени, а в показателе - выражения с переменными, и естественно возникает необходимость выполнения преобразований таких выражений.

Следует сказать, что преобразование выражений указанного вида обычно приходится выполнять при решении показательных уравнений и показательных неравенств , и эти преобразования довольно просты. В подавляющем числе случаев они базируются на свойствах степени и нацелены по большей части на то, чтобы в дальнейшем ввести новую переменную. Продемонстрировать их нам позволит уравнение 5 2·x+1 −3·5 x ·7 x −14·7 2·x−1 =0 .

Во-первых, степени, в показателях которых находится сумма некоторой переменной (или выражения с переменными) и числа, заменяются произведениями. Это относится к первому и последнему слагаемым выражения из левой части:
5 2·x ·5 1 −3·5 x ·7 x −14·7 2·x ·7 −1 =0 ,
5·5 2·x −3·5 x ·7 x −2·7 2·x =0 .

Дальше выполняется деление обеих частей равенства на выражение 7 2·x , которое на ОДЗ переменной x для исходного уравнения принимает только положительные значения (это стандартный прием решения уравнений такого вида, речь сейчас не о нем, так что сосредоточьте внимание на последующих преобразованиях выражений со степенями):

Теперь сокращаются дроби со степенями, что дает .

Наконец, отношение степеней с одинаковыми показателями заменяется степенями отношений, что приводит к уравнению , которое равносильно . Проделанные преобразования позволяют ввести новую переменную , что сводит решение исходного показательного уравнения к решению квадратного уравнения

И. В. Бойков, Л. Д. Романова Сборник задач для подготовки к ЕГЭ. Ч. 1. Пенза 2003.

Числом, возведенным в степень, называют такое число, которое несколько раз умножено само на себя.

Степень числа с отрицательным значением (a - n) можно определить на подобии того, как определяется степень того же числа с положительным показателем (a n) . Однако, оно также требует дополнительного определения. Определяется такая формула как:

a - n = (1 / a n)

Свойства отрицательных значений степеней чисел аналогичны степеням с положительным показателем. Представленное уравнение a m / a n = a m-n может быть справедливым как

«Нигде, как в математике, ясность и точность вывода не позволяет человеку отвертеться от ответа разговорами вокруг вопроса ».

А. Д. Александров

при n больше m , так и при m больше n . Рассмотрим на примере: 7 2 -7 5 =7 2-5 =7 -3 .

Для начала необходимо определить то число, которое выступает определением степени. b=a(-n) . В этом примере -n является показателем степени, b - искомое числовое значение, a - основание степени в виде натурального числового значения. Затем определить модуль, то есть абсолютное значение отрицательного числа, которое выступает в роли показателя степени. Вычислить степень данного числа относительного абсолютного числа, как показателя. Значение степени находится делением единицы на полученное число.

Рис. 1

Рассмотри степень числа с отрицательным дробным показателем. Представим, что число а это любое положительное число, числа n и m - натуральные числа. Согласно определению a , которое возведено в степень - равняется единице, разделенной на это же число с положительной степенью (рис 1). Когда степенью числа является дробь, то в таких случаях используются исключительно числа с положительными показателями.

Стоит помнить , что ноль никогда не может быть показателем степени числа (правило деления на ноль).

Распространению такого понятия как число стали такие манипуляции, как расчеты измерения, а также развитие математики, как науки. Ввод отрицательных значений было обусловлено развитием алгебры, которая давала общие решения арифметических задач, независимо от их конкретного смысла и исходных числовых данных. В индии еще в VI-XI веках отрицательные значения чисел систематически употребляли во время решения задач и растолковывались таким же образом, что и сегодня. В европейской науке отрицательные числа начали обширно употребляться благодаря Р. Декарту, который дал геометрическое толкование отрицательным числам, как направлениям отрезков. Именно Декарт предложил обозначение числа возведенного в степень отображать как двухэтажную формулу a n .

Калькулятор помогает быстро возвести число в степень онлайн. Основанием степени могут быть любые числа (как целые, так и вещественные). Показатель степени также может быть целым или вещественным, и также как положительным, так и отрицательным. Следует помнить, что для отрицательных чисел возведение в нецелую степень не определено и потому калькулятор сообщит об ошибке в случае, если вы всё же попытаетесь это выполнить.

Калькулятор степеней

Возвести в степень

Возведений в степень: 20880

Что такое натуральная степень числа?

Число p называют n -ой степенью числа a , если p равно числу a , умноженному само на себя n раз: p = a n = a·...·a
n - называется показателем степени , а число a - основанием степени .

Как возвести число в натуральную степень?

Чтобы понять, как возводить различные числа в натуральные степени, рассмотрим несколько примеров:

Пример 1 . Возвести число три в четвёртую степень. То есть необходимо вычислить 3 4
Решение : как было сказано выше, 3 4 = 3·3·3·3 = 81 .
Ответ : 3 4 = 81 .

Пример 2 . Возвести число пять в пятую степень. То есть необходимо вычислить 5 5
Решение : аналогично, 5 5 = 5·5·5·5·5 = 3125 .
Ответ : 5 5 = 3125 .

Таким образом, чтобы возвести число в натуральную степень, достаточно всего лишь умножить его само на себя n раз.

Что такое отрицательная степень числа?

Отрицательная степень -n числа a - это единица, поделённая на a в степени n: a -n = .

При этом отрицательная степень существует только для отличных от нуля чисел, так как в противном случае происходило бы деление на ноль.

Как возвести число в целую отрицательную степень?

Чтобы возвести отличное от нуля число в отрицательную степень, нужно вычислить значение этого числа в той же положительной степени и разделить единицу на полученный результат.

Пример 1 . Возвести число два в минус четвёртую степень. То есть необходимо вычислить 2 -4

Решение : как было сказано выше, 2 -4 = = = 0.0625 .

Ответ : 2 -4 = 0.0625 .

В рамках этого материала мы разберем, что такое степень числа. Помимо основных определений мы сформулируем, что такое степени с натуральными, целыми, рациональными и иррациональными показателями. Как всегда, все понятия будут проиллюстрированы примерами задач.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Сначала сформулируем базовое определение степени с натуральным показателем. Для этого нам понадобится вспомнить основные правила умножения. Заранее уточним, что в качестве основания будем пока брать действительное число (обозначим его буквой a), а в качестве показателя – натуральное (обозначим буквой n).

Определение 1

Степень числа a с натуральным показателем n – это произведение n -ного числа множителей, каждый из которых равен числу а. Записывается степень так: a n , а в виде формулы ее состав можно представить следующим образом:

Например, если показатель степени равен 1 , а основание – a , то первая степень числа a записывается как a 1 . Учитывая, что a – это значение множителя, а 1 – число множителей, мы можем сделать вывод, что a 1 = a .

В целом можно сказать, что степень – это удобная форма записи большого количества равных множителей. Так, запись вида 8 · 8 · 8 · 8 можно сократить до 8 4 . Примерно так же произведение помогает нам избежать записи большого числа слагаемых (8 + 8 + 8 + 8 = 8 · 4) ; мы это уже разбирали в статье, посвященной умножению натуральных чисел.

Как же верно прочесть запись степени? Общепринятый вариант – « a в степени n ». Или можно сказать « n -ная степень a » либо « a n -ной степени». Если, скажем, в примере встретилась запись 8 12 , мы можем прочесть « 8 в 12 -й степени», « 8 в степени 12 » или « 12 -я степень 8 -ми».

Вторая и третья степени числа имеют свои устоявшиеся названия: квадрат и куб. Если мы видим вторую степень, например, числа 7 (7 2) , то мы можем сказать « 7 в квадрате» или «квадрат числа 7 ». Аналогично третья степень читается так: 5 3 – это «куб числа 5 » или « 5 в кубе». Впрочем, употреблять стандартную формулировку «во второй/третьей степени» тоже можно, это не будет ошибкой.

Пример 1

Разберем пример степени с натуральным показателем: для 5 7 пятерка будет основанием, а семерка – показателем.

В основании не обязательно должно стоять целое число: для степени (4 , 32) 9 основанием будет дробь 4 , 32 , а показателем – девятка. Обратите внимание на скобки: такая запись делается для всех степеней, основания которых отличаются от натуральных чисел.

Например: 1 2 3 , (- 3) 12 , - 2 3 5 2 , 2 , 4 35 5 , 7 3 .

Для чего нужны скобки? Они помогают избежать ошибок в расчетах. Скажем, у нас есть две записи: (− 2) 3 и − 2 3 . Первая из них означает отрицательное число минус два, возведенное в степень с натуральным показателем три; вторая – число, соответствующее противоположному значению степени 2 3 .

Иногда в книгах можно встретить немного другое написание степени числа – a ^ n (где а – основание, а n - показатель). То есть 4 ^ 9 – это то же самое, что и 4 9 . В случае, если n представляет собой многозначное число, оно берется в скобки. Например, 15 ^ (21) , (− 3 , 1) ^ (156) . Но мы будем использовать обозначение a n как более употребительное.

О том, как вычислить значение степени с натуральным показателем, легко догадаться из ее определения: нужно просто перемножить a n -ное число раз. Подробнее об этом мы писали в другой статье.

Понятие степени является обратным другому математическому понятию – корню числа. Если мы знаем значение степени и показатель, мы можем вычислить ее основание. Степень обладает некоторыми специфическими свойствами, полезными для решения задач, которые мы разобрали в рамках отдельного материала.

В показателях степени могут стоять не только натуральные числа, но и вообще любые целые значения, в том числе отрицательные и нули, ведь они тоже принадлежат к множеству целых чисел.

Определение 2

Степень числа с целым положительным показателем можно отобразить в виде формулы: .

При этом n – любое целое положительное число.

Разберемся с понятием нулевой степени. Для этого мы используем подход, учитывающий свойство частного для степеней с равными основаниями. Оно формулируется так:

Определение 3

Равенство a m: a n = a m − n будет верно при условиях: m и n – натуральные числа, m < n , a ≠ 0 .

Последнее условие важно, поскольку позволяет избежать деления на ноль. Если значения m и n равны, то мы получим следующий результат: a n: a n = a n − n = a 0

Но при этом a n: a n = 1 - частное равных чисел a n и a . Выходит, что нулевая степень любого отличного от нуля числа равна единице.

Однако такое доказательство не подходит для нуля в нулевой степени. Для этого нам нужно другое свойство степеней – свойство произведений степеней с равными основаниями. Оно выглядит так: a m · a n = a m + n .

Если n у нас равен 0 , то a m · a 0 = a m (такое равенство также доказывает нам, что a 0 = 1 ). Но если а также равно нулю, наше равенство приобретает вид 0 m · 0 0 = 0 m , Оно будет верным при любом натуральном значении n , и неважно при этом, чему именно равно значение степени 0 0 , то есть оно может быть равно любому числу, и на верность равенства это не повлияет. Следовательно, запись вида 0 0 своего особенного смысла не имеет, и мы не будем ему его приписывать.

При желании легко проверить, что a 0 = 1 сходится со свойством степени (a m) n = a m · n при условии, что основание степени не равно нулю. Таким образом, степень любого отличного от нуля числа с нулевым показателем равна единице.

Пример 2

Разберем пример с конкретными числами: Так, 5 0 - единица, (33 , 3) 0 = 1 , - 4 5 9 0 = 1 , а значение 0 0 не определено.

После нулевой степени нам осталось разобраться, что из себя представляет степень отрицательная. Для этого нам понадобится то же свойство произведения степеней с равными основаниями, которое мы уже использовали выше: a m · a n = a m + n .

Введем условие: m = − n , тогда a не должно быть равно нулю. Из этого следует, что a − n · a n = a − n + n = a 0 = 1 . Выходит, что a n и a − n у нас являются взаимно обратными числами.

В итоге a в целой отрицательной степени есть не что иное, как дробь 1 a n .

Такая формулировка подтверждает, что для степени с целым отрицательным показателем действительны все те же свойства, которыми обладает степень с натуральным показателем (при условии, что основание не равно нулю).

Пример 3

Степень a с целым отрицательным показателем n можно представить в виде дроби 1 a n . Таким образом, a - n = 1 a n при условии a ≠ 0 и n – любое натуральное число.

Проиллюстрируем нашу мысль конкретными примерами:

Пример 4

3 - 2 = 1 3 2 , (- 4 . 2) - 5 = 1 (- 4 . 2) 5 , 11 37 - 1 = 1 11 37 1

В последней части параграфа попробуем изобразить все сказанное наглядно в одной формуле:

Определение 4

Степень числа a с натуральным показателем z ​​ – это: a z = a z , e с л и z - ц е л о е п о л о ж и т е л ь н о е ч и с л о 1 , z = 0 и a ≠ 0 , (п р и z = 0 и a = 0 п о л у ч а е т с я 0 0 , з н а ч е н и я в ы р а ж е н и я 0 0 н е о п р е д е л я е т с я)   1 a z , е с л и z - ц е л о е о т р и ц а т е л ь н о е ч и с л о и a ≠ 0 (е с л и z - ц е л о е о т р и ц а т е л ь н о е ч и с л о и a = 0 п о л у ч а е т с я 0 z , е г о з н а ч е н и е н е о п р е д е л я е т с я)

Что такое степени с рациональным показателем

Мы разобрали случаи, когда в показателе степени стоит целое число. Однако возвести число в степень можно и тогда, когда в ее показателе стоит дробное число. Это называется степенью с рациональным показателем. В этом пункте мы докажем, что она обладает теми же свойствами, что и другие степени.

Что такое рациональные числа? В их множество входят как целые, так и дробные числа, при этом дробные числа можно представить в виде обыкновенных дробей (как положительных, так и отрицательных). Сформулируем определение степени числа a с дробным показателем m / n , где n – натуральное число, а m – целое.

У нас есть некоторая степень с дробным показателем a m n . Для того, чтобы свойство степени в степени выполнялось, равенство a m n n = a m n · n = a m должно быть верным.

Учитывая определение корня n -ной степени и что a m n n = a m , мы можем принять условие a m n = a m n , если a m n имеет смысл при данных значениях m , n и a .

Приведенные выше свойства степени с целым показателем будут верными при условии a m n = a m n .

Основной вывод из наших рассуждений таков: степень некоторого числа a с дробным показателем m / n – это корень n -ой степени из числа a в степени m . Это справедливо в том случае, если при данных значениях m , n и a выражение a m n сохраняет смысл.

1. Мы можем ограничить значение основания степени: возьмем a , которое при положительных значениях m будет больше или равно 0 , а для отрицательных – строго меньше (поскольку при m ≤ 0 мы получаем 0 m , а такая степень не определена). В таком случае определение степени с дробным показателем будет выглядеть следующим образом:

Степень с дробным показателем m / n для некоторого положительного числа a есть корень n -ной степени из a, возведенного в степень m . В виде формулы это можно изобразить так:

Для степени с нулевым основанием это положение также подходит, но только в том случае, если ее показатель – положительное число.

Степень с нулевым основанием и дробным положительным показателем m / n можно выразить как

0 m n = 0 m n = 0 при условии целого положительного m и натурального n .

При отрицательном отношении m n < 0 степень не определяется, т.е. такая запись смысла не имеет.

Отметим один момент. Поскольку мы ввели условие, что a больше или равно нулю, то у нас оказались отброшены некоторые случаи.

Выражение a m n иногда все же имеет смысл при некоторых отрицательных значениях a и некоторых m . Так, верны записи (- 5) 2 3 , (- 1 , 2) 5 7 , - 1 2 - 8 4 , в которых основание отрицательно.

2. Второй подход – это рассмотреть отдельно корень a m n с четными и нечетными показателями. Тогда нам потребуется ввести еще одно условие: степень a , в показателе которой стоит сократимая обыкновенная дробь, считается степенью a , в показателе которой стоит соответствующая ей несократимая дробь. Позже мы объясним, для чего нам это условие и почему оно так важно. Таким образом, если у нас есть запись a m · k n · k , то мы можем свести ее к a m n и упростить расчеты.

Если n – нечетное число, а значение m – положительно, a – любое неотрицательное число, то a m n имеет смысл. Условие неотрицательного a нужно, поскольку корень четной степени из отрицательного числа не извлекают. Если же значение m положительно, то a может быть и отрицательным, и нулевым, т.к. корень нечетной степени можно извлечь из любого действительного числа.

Объединим все данные выше определения в одной записи:

Здесь m/n означает несократимую дробь, m – любое целое число, а n – любое натуральное число.

Определение 5

Для любой обыкновенной сократимой дроби m · k n · k степень можно заменить на a m n .

Степень числа a с несократимым дробным показателем m / n – можно выразить в виде a m n в следующих случаях: - для любых действительных a , целых положительных значений m и нечетных натуральных значений n . Пример: 2 5 3 = 2 5 3 , (- 5 , 1) 2 7 = (- 5 , 1) - 2 7 , 0 5 19 = 0 5 19 .

Для любых отличных от нуля действительных a , целых отрицательных значений m и нечетных значений n , например, 2 - 5 3 = 2 - 5 3 , (- 5 , 1) - 2 7 = (- 5 , 1) - 2 7

Для любых неотрицательных a , целых положительных значений m и четных n , например, 2 1 4 = 2 1 4 , (5 , 1) 3 2 = (5 , 1) 3 , 0 7 18 = 0 7 18 .

Для любых положительных a , целых отрицательных m и четных n , например, 2 - 1 4 = 2 - 1 4 , (5 , 1) - 3 2 = (5 , 1) - 3 , .

В случае других значений степень с дробным показателем не определяется. Примеры таких степеней: - 2 11 6 , - 2 1 2 3 2 , 0 - 2 5 .

Теперь объясним важность условия, о котором говорили выше: зачем заменять дробь с сократимым показателем на дробь с несократимым. Если бы мы этого не сделали бы, то получились бы такие ситуации, скажем, 6 / 10 = 3 / 5 . Тогда должно быть верным (- 1) 6 10 = - 1 3 5 , но - 1 6 10 = (- 1) 6 10 = 1 10 = 1 10 10 = 1 , а (- 1) 3 5 = (- 1) 3 5 = - 1 5 = - 1 5 5 = - 1 .

Определение степени с дробным показателем, которое мы привели первым, удобнее применять на практике, чем второе, поэтому мы будем далее пользоваться именно им.

Определение 6

Таким образом, степень положительного числа a с дробным показателем m / n определяется как 0 m n = 0 m n = 0 . В случае отрицательных a запись a m n не имеет смысла. Степень нуля для положительных дробных показателей m / n определяется как 0 m n = 0 m n = 0 , для отрицательных дробных показателей мы степень нуля не определяем.

В выводах отметим, что можно записать любой дробный показатель как в виде смешанного числа, так и в виде десятичной дроби: 5 1 , 7 , 3 2 5 - 2 3 7 .

При вычислении же лучше заменять показатель степени обыкновенной дробью и далее пользоваться определением степени с дробным показателем. Для примеров выше у нас получится:

5 1 , 7 = 5 17 10 = 5 7 10 3 2 5 - 2 3 7 = 3 2 5 - 17 7 = 3 2 5 - 17 7

Что такое степени с иррациональным и действительным показателем

Что такое действительные числа? В их множество входят как рациональные, так и иррациональные числа. Поэтому для того, чтобы понять, что такое степень с действительным показателем, нам надо определить степени с рациональными и иррациональными показателями. Про рациональные мы уже упоминали выше. Разберемся с иррациональными показателями пошагово.

Пример 5

Допустим, что у нас есть иррациональное число a и последовательность его десятичных приближений a 0 , a 1 , a 2 , . . . . Например, возьмем значение a = 1 , 67175331 . . . , тогда

a 0 = 1 , 6 , a 1 = 1 , 67 , a 2 = 1 , 671 , . . . , a 0 = 1 , 67 , a 1 = 1 , 6717 , a 2 = 1 , 671753 , . . .

Последовательности приближений мы можем поставить в соответствие последовательность степеней a a 0 , a a 1 , a a 2 , . . . . Если вспомнить, что мы рассказывали ранее о возведении чисел в рациональную степень, то мы можем сами подсчитать значения этих степеней.

Возьмем для примера a = 3 , тогда a a 0 = 3 1 , 67 , a a 1 = 3 1 , 6717 , a a 2 = 3 1 , 671753 , . . . и т.д.

Последовательность степеней можно свести к числу, которое и будет значением степени c основанием a и иррациональным показателем a . В итоге: степень с иррациональным показателем вида 3 1 , 67175331 . . можно свести к числу 6 , 27 .

Определение 7

Степень положительного числа a с иррациональным показателем a записывается как a a . Его значение – это предел последовательности a a 0 , a a 1 , a a 2 , . . . , где a 0 , a 1 , a 2 , . . . являются последовательными десятичными приближениями иррационального числа a . Степень с нулевым основанием можно определить и для положительных иррациональных показателей, при этом 0 a = 0 Так, 0 6 = 0 , 0 21 3 3 = 0 . А для отрицательных этого сделать нельзя, поскольку, например, значение 0 - 5 , 0 - 2 π не определено. Единица, возведенная в любую иррациональную степень, остается единицей, например, и 1 2 , 1 5 в 2 и 1 - 5 будут равны 1 .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter