Назад
Вперёд
Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.
Цели урока.
Предметные:
- сформулировать правило умножения отрицательных чисел и чисел с разными знаками,
- научить учащихся применять это правило.
Метапредметные:
- формировать умения работать в соответствии с предложенным алгоритмом, составлять план-схему своих действий,
- развивать навыки самоконтроля.
Личностные:
- развивать коммуникативные навыки,
- формировать познавательный интерес учащихся.
Оборудование: компьютер, экран, мультимедийный проектор, презентация PowerPoint, раздаточный материал: таблица для записи правила, тесты.
(Учебник Н.Я. Виленкина “Математика. 6 класс”, М: “Мнемозина”, 2013.)
Ход урока
I. Организационный момент.
Сообщение темы урока и запись темы в тетрадях учащимися.
II. Мотивация.
Слайд № 2. (Цель урока. План урока).
Сегодня мы продолжим изучение важного арифметического свойства – умножения.
Вы уже умеете выполнять умножение натуральных чисел – устно и в столбик,
Научились умножать десятичные и обыкновенные дроби. Сегодня вам предстоит сформулировать правило умножения для отрицательных чисел и чисел с разными знаками. И не только сформулировать, но и научиться применять его.
III. Актуализация знаний.
1) Слайд № 3.
Решить уравнения: а) х: 1,8 = 0,15; б) у: = . (Ученик у доски)
Вывод: для решения подобных уравнений нужно уметь выполнять умножение различных чисел.
2) Проверка домашней самостоятельной работы. Повторение правил умножения десятичных дробей, обыкновенных дробей и смешанных чисел. (Слайды № 4 и № 5).
IV. Формулировка правила.
Рассмотреть задачу 1 (слайд № 6).
Рассмотреть задачу 2 (слайд № 7).
В процессе решения задач нам приходилось выполнять умножение чисел с разными знаками и отрицательных чисел. Рассмотрим подробнее это умножение и его результаты.
Выполнив умножение чисел с разными знаками, мы получили отрицательное число.
Рассмотрим другой пример. Найдите произведение (–2) * 3, заменяя умножение суммой одинаковых слагаемых. Аналогично найдите произведение 3 * (–2). (Проверка - слайд № 8).
Вопросы:
1) Каков знак результата при умножении чисел с разными знаками?
2) Как получен модуль результата? Формулируем правило умножения чисел с разными знаками и записываем правило в левый столбик таблицы. (Слайд № 9 и Приложение 1).
Правило умножения отрицательных чисел и чисел с разными знаками.
Вернёмся ко второй задаче, в которой мы выполняли умножение двух отрицательных чисел. Объяснить по-другому такое умножение довольно трудно.
Воспользуемся объяснением, которое дал ещё в 18 веке великий русский учёный (уроженец Швейцарии), математик и механик Леонард Эйлер. (Леонард Эйлер оставил после себя не только научные труды, но и написал ряд учебников по математике, предназначавшихся воспитанникам академической гимназии).
Итак, Эйлер объяснял результат примерно следующим образом. (Слайд № 10).
Ясно, что –2 · 3 = – 6. Поэтому произведение (–2) · (–3) не может быть равно –6. Однако, оно должно быть как-то связано с числом 6. Остаётся одна возможность: (–2) · (–3) = 6. .
Вопросы:
1) Каков знак произведения?
2) Как получен модуль произведения?
Формулируем правило умножения отрицательных чисел, заполняем правый столбик таблицы. (Слайд № 11).
Чтобы легче запомнить правило знаков при умножении, можно воспользоваться его формулировкой в стихах. (Слайд № 12).
Плюс на минус, умножая,
Ставим минус, не зевая.
Умножим минус с минусом
В ответ поставим плюс!
V. Формирование навыков.
Научимся применять это правило для вычислений. Сегодня на уроке будем производить вычисления только с целыми числами и с десятичными дробями.
1) Составление схемы действий.
Составляется схема применения правила. Делаются записи на доске. Примерная схема на слайде № 13.
2) Выполнение действий по схеме.
Решаем из учебника № 1121(б,в,и,к,п,р). Решение выполняем в соответствии с составленной схемой. Каждый пример поясняет один из учащихся. Одновременно решение демонстрируется на слайде № 14.
3) Работа в парах.
Задание на слайде № 15.
Учащиеся работают по вариантам. Сначала учащийся 1 варианта решает и объясняет решение 2 варианту, учащийся со 2 варианта внимательно слушает, при необходимости помогает и поправляет, а потом учащиеся меняются ролями.
Дополнительное задание для тех пар, которые раньше закончат работу: № 1125.
По окончании работы проводится поверка по готовому решению, размещённому на слайде № 15 (используется анимация).
Если многие успели решить № 1125 , то делается вывод об изменении знака числа при умножении на (?1).
4) Психологическая разгрузка.
5) Самостоятельная работа.
Самостоятельная работа – текст на слайде № 17. После выполнения работы – самопроверка по готовому решению (слайд № 17 – анимация, гиперссылка на слайд № 18).
VI. Проверка уровня усвоения изученного материала. Рефлексия.
Учащиеся выполняют тест. На этом же листочке оценивают свою работу на уроке, заполняя таблицу.
Тест “Правило умножения”. Вариант 1.
1) –13 * 5
А. –75. Б. – 65. В. 65. Г. 650.
2) –5 * (–33)
А. 165. Б. –165. В. 350 Г. –265.
3) –18 * (–9)
А. –162. Б. 180. В. 162. Г. 172.
4) –7 * (–11) * (–1)
А. 77. Б. 0. В.–77. Г. 72.
Тест “Правило умножения”. Вариант 2.
А. 84. Б. 74. В. –84. Г. 90.
2) –15 * (–6)
А. 80. Б. –90. В. 60. Г. 90.
А. 115. Б. –165. В. 165. Г. 0.
4) –6 * (–12) * (–1)
А. 60. Б. –72. В. 72. Г. 54.
VII. Домашнее задание.
П. 35, правила, № 1143 (а – з), № 1145 (в).
Литература.
1) Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. “Математика 6. Учебник для общеобразовательных учреждений”, - М: “Мнемозина”, 2013.
2) Чесноков А.С., Нешков К.И. “Дидактические материалы по математике для 6 класса”, М: “Просвещение”, 2013.
3) Никольский С.М. и др. “Арифметика 6”: учебник для общеобразовательных учреждений, М: “Просвещение”, 2010.
4) Ершова А.П., Голобородько В.В. “Самостоятельные и контрольные работы по математике для 6 класса”. М: “Илекса”, 2010.
5) “365 задач на смекалку”, составитель Г.Голубкова, М: “АСТ-ПРЕСС”, 2006.
6) “Большая энциклопедия Кирилла и Мефодия 2010”, 3 CD.
Тема открытого урока: «Умножение отрицательных и положительных чисел»
Дата: 17.03.2017 г.
Учитель: Куц В.В.
Класс: 6 г
Цель и задачи урока:
ввести правила умножения двух отрицательных чисел и чисел с разными знаками;
способствовать развитию математической речи, оперативной памяти, произвольного внимания, наглядно-действенного мышления;
формирование внутренних процессов интеллектуального, личностного, эмоционального развития.
воспитывать культуру поведения при фронтальной работе, индивидуальной и групповой работе.
Тип урока: урок первичного предъявления новых знаний
Формы обучения: фронтальная, работа в парах, работа в группах, индивидуальная работа.
Методы обучения: словесные (беседа, диалог); наглядные (работа с дидактическим материалом); дедуктивные (анализ, применение знаний, обобщение, проектная деятельность).
Понятия и термины : модуль числа, положительные и отрицательные числа, умножение.
Планируемые результаты обучения
-уметь умножать числа с разными знаками, умножать отрицательные числа;Применять правило умножения положительных и отрицательных чисел при решении упражнений, закрепить правила умножения десятичных и обыкновенных дробей.
Регулятивные – уметь определять и формулировать цель на уроке с помощью учителя; проговаривать последовательность действий на уроке; работать по коллективно составленному плану; оценивать правильность выполнения действия. Планировать свое действие в соответствии с поставленной задачей; вносить необходимые коррективы в действие после его завершения на основе его оценки и учета сделанных ошибок; высказывать свое предположение. Коммуникативные - уметь оформлять свои мысли в устной форме; слушать и понимать речь других; совместно договариваться о правилах поведения и общения в школе и следовать им.
Познавательные - уметь ориентироваться в своей системе знаний, отличать новое знание от уже известного с помощью учителя; добывать новые знания; находить ответы на вопросы, используя учебник, свой жизненный опыт и информацию, полученную на уроке.
Формирование ответственного отношения к учению на основе мотивации к познанию нового;
Формирование коммуникативной компетентности в процессе общения и сотрудничества со сверстниками в учебной деятельности;
Уметь осуществлять самооценку на основе критерия успешности учебной деятельности; ориентироваться на успех в учебной деятельности.
Ход урока
Структурные элементы урока
Дидактические задачи
Проектируемая деятельность учителя
Проектируемая деятельность учащихся
Результат
1.Организационный момент
Мотивация к успешной деятельности
Проверка готовности к уроку.
- Добрый день, Ребята! Присаживайтесь! Проверьте все ли у вас готово к уроку: тетрадь и учебник, дневник и письменные принадлежности.
Я рада вас видеть сегодня на уроке в хорошем настроении.
Посмотрите друг другу в глаза, улыбнитесь, глазками пожелайте товарищу хорошего рабочего настроения.
Я тоже вам желаю сегодня хорошей работы.
Ребята девизом сегодняшнего урока будет цитата французского писателя Анатоля Франса:
«Учиться можно только весело. Чтобы переваривать знания, надо поглощать их с аппетитом».
Ребята, а кто мне скажет, что значит поглощать знания с аппетитом?
Вот и мы сегодня с вами на уроке будем поглощать знания с большим удовольствием, потому что они нам пригодятся в дальнейшем.
Поэтому скорее открываем тетрадочки и записываем число, классная работа.
Эмоциональный настрой
-С интересом, с удовольствием.
Готовность начать урок
Положительная мотивация к изучению новой темы
2. Активация познавательной деятельности
Подготовить их к усвоению новых знаний и способов действия.
Организовать фронтальный опрос по пройденному материалу.
Ребята, а кто мне скажет какой самый главный навык в математике? (Счет ). Правильно.
Вот я вас сейчас и проверю, как хорошо вы умеете считать.
Мы сейчас с вами выполним математическую разминку.
Работаем как обычно, устно считаем, а письменно записываем ответ. Даю вам 1 мин.
5,2-6,7=-1,52,9+0,3=-2,6
9+0,3=9,3
6+7,21=13,21
15,22-3,34=-18,56
Давайте проверим ответы.
Будем проверять ответы, если вы согласны с ответом, то хлопаете в ладоши, если не согласны, то топаете ногами.
Молодцы ребята.
Скажите, а какие действия мы выполняли с числами?
Каким правилом мы пользовались при счете?
Сформулируйте данные правила.
Отвечают на вопросы, решая небольшие примеры.
Сложение и вычитание.
Сложение чисел с разными знаками, сложение чисел с отрицательными знаками, и вычитание положительных и отрицательных чисел.
Готовность обучающихся к постановке проблемного вопроса, к поиску путей решения проблемы.
3. Мотивация постановки темы и цели урока
Стимулировать обучающихся к постановке темы и цели урока.
Организовать работу в парах.
Ну что же, настало время переходить к изучению нового материала, но для начала давайте повторим материал предыдущих уроков. А поможет нам в этом математический кроссворд.
Но кроссворд этот не обычный, в нём зашифровано ключевое слово, которое подскажет нам тему сегодняшнего урока.
Ребята кроссворд лежит у вас на столах, работать с ним мы будем в парах. А раз в парах, напомните тогда мне, как это в парах?
Вспомнили правило работы в парах, ну а теперь приступаем к разгадыванию кроссворда, даю вам 1,5 мин. Кто все сделает, положите ручки, чтобы я видела.
(Приложение 1)
1.Какие числа используют при счета?
2.Расстояние от начала отсчета до какой-либо точки, называется?
3.Числа, которые представлены дробью, называются?
4. Два числа, отличающиеся друг от друга только знаками, называются?
5.Какие числа лежат правее ноля на координатной прямой?
6.Натуральные числа, противоположные им числа и нуль называют?
7.Какое число называется нейтральным?
8. Число, показывающие положение точки на прямой?
9. Какие числа лежат левее ноля на координатной прямой?
Итак, время вышло. Давайте проверять.
Мы с вами разгадали весь кроссворд и тем самым повторили материал предыдущих уроков. Поднимите руку, кто совершил только одну ошибку, а кто две? (Так ребята вы молодцы).
Ну а теперь вернемся к нашему кроссворду. В самом начале я сказала, что в нем зашифровано слово, которое подскажет нам тему урока.
Так какая же тема будет нашего урока?
А что же мы сегодня будем с вами умножать?
Давайте подумаем, для этого вспомним виды чисел, которые мы с вами уже знаем.
Давайте подумаем, а какие числа мы уже умеем умножать?
Какие же числа мы научимся сегодня умножать?
Запишите в тетрадь тему урока: «Умножение положительных и отрицательных чисел».
Итак, ребята, выяснили, о чем будем говорить сегодня на уроке.
Скажите, мне, пожалуйста, цель нашего урока, что каждый из вас должен усвоить и чему постараться научиться к концу урока?
Ребята, ну а чтобы осуществить эту цель, какие мы должны будем решить с вами задачи?
Совершенно верно. Вот они эти две задачи, которые мы должны будем сегодня с вами решить.
Работают в парах, ставят тему и цель урока.
1.Натуральные
2.Модуль
3.Рациональные
4.Противоположные
5.Положительные
6.Целые
7.Ноль
8.Координата
9.Отрицательные
-«Умножение»
Положительные и отрицательные числа
«Умножение положительных и отрицательных чисел»
Цель урока:
Научиться умножать положительные и отрицательные числа
Во-первых, чтобы научиться умножать положительные и отрицательные числа, нужно получить правило.
Во-вторых, когда получим правило, что потом мы должны будем сделать? (учиться применять его при решении примеров).
4. Изучение новых знаний и способов действия
Овладеть новыми знаниями по теме.
-Организовать работу в группах (изучение нового материала)
- Сейчас, чтобы, достичь нашу цель, мы приступим к выполнению первой задачи, выведем правило умножения положительных и отрицательных чисел.
А поможет нам в этом исследовательская работа. А кто мне скажет, почему она называется исследовательской?- В этой работе мы будем исследовать, чтобы открыть правила «Умножение положительных и отрицательных чисел».
Ваша исследовательская работа будет проходить в группах, всего у нас будет 5 групп исследования.
У себя в голове повторили, как мы должны работать в группе. Если, кто-то забыл, то правила находятся перед вами на экране.
Цель вашей исследовательской работы: Исследуя задачи,постепенно вывести правило «Умножения отрицательных и положительных чисел» в задании №2, в задании №1 всего у вас 4 задачи. А чтобы решить эти задачи, для этого вам поможет наш термометр, у каждой группы он есть.
Все записи делаете у вас на листочке.
Как только у группы будет готово решение первой задачи, вы показываете его на доске.
На работу вам дается 5 -7 минут.
(Приложение 2 )
Работают в группах (заполняют таблицу, проводят исследования)
Правила работы в группах.Работать в группах очень просто,
Умей пять правил соблюдать:
во-первых: не перебивать,
когда рассказывает
друг, быть тишина должна вокруг;
второе: громко не кричи,
а аргументы приводи;
и третье правило просто:
решите, что для вас важно;
в – четвертых: мало устно знать,
необходимо записать;
а в пятых: подведи итог, подумай,
что ты сделать смог.
Овладение
теми знаниями и способами действий, которые определены задачами урока
5.Физминутка
Установить правильность усвоения нового материала на данном этапе, выявить неверные представления и их коррекция
Хорошо, все ваши ответы я занесла в таблицу, теперь, давайте посмотрим, на каждую строчку в нашей таблице (см. Презентацию)
Какие выводы мы можем сделать при исследовании таблицы.
1 строчка. Какие числа мы умножаем? А какое число получается в ответе?
2 строчка. Какие числа мы умножаем? А какое число получается в ответе?
3 строчка. Какие числа мы умножаем? А какое число получается в ответе?
4 строчка. Какие числа мы умножаем? А какое число получается в ответе?
И так вы проанализировали примеры, и готовы сформулировать правила, для этого вам надо было заполнить пропуски во втором задании.
Как умножить отрицательное число на положительное?
- Как умножить два отрицательных числа?
Давайте немного отдохнём.
Положительный ответ-присядем, отрицательный-встаем.
5*6
2*2
7*(-4)
2*(-3)
8*(-8)
7*(-2)
5*3
4*(-9)
5*(-5)
9*(-8)
15*(-3)
7*(-6)
Умножая положительные числа, в ответе всегда получается положительное число.
Умножая отрицательное число на положительное, в ответе всегда получается отрицательно число.
Умножая отрицательные числа, в ответе всегда получается положительное число.
Умножая положительное на отрицательное число, получается отрицательное число.
Чтобы перемножить два числа с разными знаками, надо перемножить модули этих чисел и поставить перед полученным числом знак «-».
- Чтобы перемножить два отрицательных числа, надо перемножить их модули и поставить перед полученным числом знак «+».
Учащиеся выполняют физические упражнения, закрепляя правила.
Осуществляют профилактику утомляемости
7.Первичное закрепление нового материала
Освоить умение применять полученных знаний на практике.
Организовать фронтальную и самостоятельную работу по пройденному материалу.
Закрепим правила, и расскажем и друг другу в паре эти самые правила. Даю вам на это минуту.
Скажите, а теперь мы можем перейти к решению примеров? Да можем.
Открываем страницу 192 №1121
Все вместе мы сделаем 1ую и 2ую строчки а)5*(-6)=30
б)9*(-3)=-27
ж)0,7*(-8)=-5,6
з)-0,5*6=-3
н)1,2*(-14)=-16,8
о)-20,5*(-46)=943
три человека у доски
На решение примеров вам дается 5 минут.
И все вместе проверяем.
Творческое задание в парах.(Приложение 3)
Вставьте числа так, чтоб на каждом этаже их произведение равнялось числу на крыше дома.
Решают примеры, применяя полученные знания
Поднимите руки у кого не было ошибок, молодцы….
Активные действия обучающихся по применению знаний в жизни.
9. Рефлексия (итог урока, оценка результатов деятельности обучающихся)
Обеспечить рефлексию обучающихся, т.е. оценку ими своей деятельности
Организовать подведение итогов урока
Наш урок подошёл к концу, давайте подведём итоги.
Давайте ещё раз вспомним тему нашего урока? Какую цель мы ставили?- Достигли ли мы этой цели?
Какие затруднения вызвала у вас данная тема?
- Ребята, ну а чтобы оценить свою работу на уроке вы должны нарисовать смайлик в кружочках, которые лежат у вас на столах.
Улыбающийся смайлик означает, что вы все поняли. Зеленый означает, что поняли, но нужно потренироваться, а грустный смайлик, если вообще ничего не поняли. (Даю пол минутки)
Ну что, ребята, вы готовы показать, как вы сегодня поработали на уроке? Итак, поднимаем и, я вам тоже поднимаю смайлик.
Я очень довольна вами сегодня на уроке! Я вижу, что все поняли материал. Ребята, вы у меня молодцы!
Урок окончен, спасибо за внимание!
Отвечают на вопросы, оценивают свою работу
Да, достигли.
Открытость обучающихся к передаче и осмыслению своих действий, к выявлению положительных и отрицательных моментов урока
10 .Информация о домашнем задании
Обеспечить понимание цели, содержания и способов выполнения домашнего задания
Обеспечивает понимания цели домашнего задания.
Домашнее задание:
1.
Выучить правила умножения
2.№ 1121(3 столбик).
3.Творческое задание: составить тест 5 вопросов с вариантами ответов.
Записывают домашнее задание, стараясь осмыслить и понять.
Реализация необходимости достижения условий для успешного выполнения домашнего задания всеми учащимися, в соответствии с поставленной задачей и уровнем развития обучающихся
В этой статье мы разберемся с умножением чисел с разными знаками . Здесь мы сначала сформулируем правило умножения положительного и отрицательного числа, обоснуем его, а после этого рассмотрим применение данного правила при решении примеров.
Навигация по странице.
Правило умножения чисел с разными знаками
Умножение положительного числа на отрицательное, а также отрицательного на положительное, проводится по следующему правилу умножения чисел с разными знаками : чтобы умножить числа с разными знаками, надо умножить , и перед полученным произведением поставить знак минус.
Запишем данное правило в буквенном виде. Для любого положительного действительного числа a и действительного отрицательного числа −b справедливо равенство a·(−b)=−(|a|·|b|) , а также для отрицательного числа −a и положительного числа b справедливо равенство (−a)·b=−(|a|·|b|) .
Правило умножения чисел с разными знаками полностью согласуется со свойствами действий с действительными числами . Действительно, на их основе несложно показать, что для действительных и положительных чисел a и b справедлива цепочка равенств вида a·(−b)+a·b=a·((−b)+b)=a·0=0 , которая доказывает, что a·(−b) и a·b – противоположные числа, откуда следует равенство a·(−b)=−(a·b) . А из него следует справедливость рассматриваемого правила умножения.
Следует отметить, что озвученное правило умножения чисел с разными знаками справедливо как для действительных чисел, так и для рациональных чисел и для целых чисел . Это следует из того, что действия с рациональными и целыми числами обладают теми же свойствами, которые использовались при доказательстве выше.
Понятно, что умножение чисел с разными знаками по полученному правилу сводится к умножению положительных чисел.
Осталось лишь рассмотреть примеры применения разобранного правила умножения при умножении чисел с разными знаками.
Примеры умножения чисел с разными знаками
Разберем решения нескольких примеров умножения чисел с разными знаками . Начнем с простого случая, чтобы сосредоточиться на шагах правила, а не на вычислительных сложностях.
Пример.
Выполните умножение отрицательного числа −4 на положительное число 5 .
Решение.
По правилу умножения чисел с разными знаками нам сначала нужно перемножить модули исходных множителей. Модуль −4 равен 4 , а модуль 5 равен 5 , а умножение натуральных чисел 4 и 5 дает 20 . Наконец, осталось поставить знак минус перед полученным числом, имеем −20 . На этом умножение завершено.
Кратко решение можно записать так: (−4)·5=−(4·5)=−20 .
Ответ:
(−4)·5=−20 .
При умножении дробных чисел с разными знаками нужно уметь выполнять умножение обыкновенных дробей , умножение десятичных дробей и их комбинаций с натуральными и смешанными числами.
Пример.
Проведите умножение чисел с разными знаками 0,(2) и .
Решение.
Выполнив перевод периодической десятичной дроби в обыкновенную дробь , а также выполнив переход от смешанного числа к неправильной дроби , от исходного произведения 
мы придем к произведению обыкновенных дробей с разными знаками вида . Это произведение по правилу умножения чисел с разными знаками равно . Осталось лишь перемножить обыкновенные дроби в скобках, имеем 
.
Теперь давайте разберемся с умножением и делением .
Предположим, нам нужно умножить +3 на -4. Как это сделать?
Давайте рассмотрим такой случай. Три человека залезли в долги, и у каждого по 4 доллара долга. Чему равен общий долг? Для того чтобы его найти, надо сложить все три долга: 4 доллара + 4 доллара + 4 доллара = 12 долларов. Мы с вами решили, что сложение трех чисел 4 обозначается как 3×4. Поскольку в данном случае мы говорим о долге, перед 4 стоит знак «-». Мы знаем, что общий долг равен 12 долларам, так что теперь наша задача имеет вид 3х(-4)=-12.
Мы получим тот же результат, если по условию задачи каждый из четырех человек имеет долг по 3 доллара. Другими словами, (+4)х(-3)=-12. А поскольку порядок сомножителей значения не имеет, получаем (-4)х(+3)=-12 и (+4)х(-3)=-12.
Давайте обобщим результаты. При перемножении одного положительного и одного отрицательного числа результат всегда будет отрицательным числом . Численная величина ответа будет той же самой, как и в случае положительных чисел. Произведение (+4)х(+3)=+12. Присутствие знака «-» влияет только на знак, но не влияет на численную величину.
А как перемножить два отрицательных числа?
К сожалению, на эту тему очень трудно придумать подходящий пример из жизни. Легко себе представить долг в сумме 3 или 4 доллара, но совершенно невозможно вообразить -4 или -3 человека, которые залезли в долги.
Пожалуй, мы пойдем другим путем. В умножении при изменении знака одного из множителей меняется знак произведения. Если мы меняем знаки у обоих множителей, мы должны дважды сменить знак произведения , сначала с положительного на отрицательный, а затем наоборот, с отрицательного на положительный, то есть у произведения будет первоначальный знак.
Следовательно, вполне логично, хотя немного странно, что (-3)х(-4)=+12.
Положение знака при умножении изменяется таким образом:
- положительное число х положительное число = положительное число;
- отрицательное число х положительное число = отрицательное число;
- положительное число х отрицательное число = отрицательное число;
- отрицательное число х отрицательное число = положительное число.
Иначе говоря, перемножая два числа с одинаковыми знаками, мы получаем положительное число . Перемножая два числа с разными знаками, мы получаем отрицательное число .
Такое же правило справедливо и для действия противоположного умножению – для .
Вы легко можете в этом убедиться, проведя обратные операции умножения . Если в каждом из примеров, приведенных выше, вы умножите частное на делитель, то получите делимое, и убедитесь, что оно имеет тот же самый знак, например (-3)х(-4)=(+12).
Поскольку скоро зима, то пора уже подумать о том, в что переобуть своего железного коня, что бы не скользить по льду и чувствовать себя уверено на зимних дорогах. Можно, например, взять шины йокогама на сайте: mvo.ru или какие-то другие, главное, что бы качественный, больше информации и цены вы можете узнать на сайте Mvo.ru.
Таблица 5
Таблица 6
С некоторой натяжкой то же объяснение годится и для произведения 1-5, если считать, что «сумма» из одного-единственного
слагаемого равна этому слагаемому. Но произведение 0 5 или (-3) 5 так не объяснишь: что означает сумма из нуля или из минус трех слагаемых?
Можно, однако, переставить сомножители
Если мы хотим, чтобы произведение не изменялось при перестановке сомножителей - как это было для положительных чисел - то тем самым должны считать, что
Теперь перейдем к произведению (-3) (-5). Чему оно равно: -15 или +15? Оба варианта имеют резон. С одной стороны, минус в одном сомножителе уже делает произведение отрицательным - тем более оно должно быть отрицательным, если отрицательны оба сомножителя. С другой стороны, в табл. 7 уже есть два минуса, но только один плюс, и «по справедливости» (-3)-(-5) должно быть равно +15. Так что же предпочесть?
Таблица 7
Вас, конечно, такими разговорами не запутаешь: из школьного курса математики Вы твердо усвоили, что минус на минус дает плюс. Но представьте себе, что Ваш младший брат или сестра спрашивает Вас: а почему? Что это - каприз учительницы, указание высшего начальства или теорема, которую можно доказать?
Обычно правило умножения отрицательных чисел поясняют на примерах вроде представленного в табл. 8.
Таблица 8
Можно объяснять и иначе. Напишем подряд числа
Теперь напишем те же числа, умноженные на 3:
Легко заметить, что каждое число больше предыдущего на 3. Теперь напишем те же числа в обратном порядке (начав, например, с 5 и 15):
При этом под числом -5 оказалось число -15, так что 3 (-5) = -15: плюс на минус дает минус.
Теперь повторим ту же процедуру, умножая числа 1,2,3,4,5 ... на -3 (мы уже знаем, что плюс на минус дает минус):
Каждое следующее число нижнего ряда меньше предыдущего на 3. Запишем числа в обратном порядке
и продолжим:
Под числом -5 оказалось 15, так что (-3) (-5) = 15.
Возможно, эти объяснения и удовлетворили бы Вашего младшего брата или сестру. Но Вы вправе спросить, как же обстоят дела на самом деле и можно ли доказать, что (-3) (-5) = 15?
Ответ здесь таков: можно доказать, что (-3) (-5) должно равняться 15, если только мы хотим, чтобы обычные свойства сложения, вычитания и умножения оставались верными для всех чисел, включая отрицательные. Схема этого доказательства такова.
Докажем сначала, что 3 (-5) = -15. Что такое -15? Это число, противоположное 15, т. е. число, которое в сумме с 15 дает 0. Так что нам надо доказать, что