Урок геометрии в 10 классе
На одном из предыдущих уроков вы познакомились с понятием проекции точки на данную плоскость параллельно данной прямой.
На этом уроке вы продолжите изучение прямых и плоскостей; узнаете, как находится угол между прямой и плоскостью. Вы познакомитесь с понятием ортогональной проекции на плоскость и рассмотрите ее свойства. На уроке будут даны определения расстояния от точки до плоскости и от точки до прямой, угла между прямой и плоскостью. Будет доказана знаменитая теорема о трех перпендикулярах.
Ортогональная проекция
Ортогональная проекция точки и фигуры.
Ортогональная проекция детали.
Ортогональной проекцией точки Ана данную плоскость называется проекция точки на эту плоскость параллельно
прямой, перпендикулярной этой плоскости. Ортогональная проекция
фигуры на данную плоскость p состоит из ортогональных проекций на плоскость p всех точек этой фигуры. Ортогональная проекция часто используется для изображения пространственных тел на плоскости, особенно в технических чертежах. Она дает более реалистическое изображение, чем произвольная параллельная проекция, особенно круглых тел.
Перпендикуляр и наклонная
Пусть через точку А, не принадлежащую плоскости p, проведена прямая, перпендикулярная этой плоскости и пересекающая ее в точке В. Тогда
отрезок АВ называется
перпендикуляром, опущенным из точки
А на эту плоскость, а сама точка В - основанием этого перпендикуляра. Любой отрезокАС, где С -
произвольная точка плоскости p, отличная от В, называется наклонной к
этой плоскости.
Заметим, что точка В в этом определении является ортогональной
проекцией точки А, а отрезокАС -Перпендикуляр и наклонная. ортогональной проекцией наклонной AВ.
Ортогональные проекции обладают всеми свойствами обычных параллельных проекций, но имеют и ряд новых свойств.
Пусть из одной точки к плоскости проведены перпендикуляр и несколько наклонных. Тогда справедливы следующие утверждения.
1. Любая наклонная длиннее как перпендикуляра, так и ортогональной проекции наклонной на эту плоскость.
2. Равные наклонные имеют и равные ортогональные проекции, и наоборот, наклонные, имеющие равные проекции, также равны.
3. Одна наклонная длиннее другой тогда и только тогда, когда ортогональная проекция первой наклонной длиннее ортогональной проекции второй наклонной.
Свойства ортогональной проекции
Доказательство.
Пусть из точки А к плоскости p проведены перпендикулярАВ и две наклонныеАС и AD; тогда отрезки ВС иBD - ортогональные проекции этих отрезков на плоскость p.
Докажем первое утверждение: любая наклонная длиннее как перпендикуляра, так и ортогональной проекции наклонной на эту плоскость. Рассмотрим, например, наклонную AС и треугольник ABC, образованный перпендикуляром AВ, этой наклонной AС, и ее ортогональной проекцией ВС. Этот треугольник прямоугольный с прямым углом в вершине В и гипотенузой AС, которая, как мы знаем из планиметрии, длиннее каждого из катетов, т.е. и перпендикуляра AВ, и проекции ВС.
Из точки А к плоскости pi проведены перпендикуляр АВ и две наклонные AC и AD.
Свойства ортогональной проекции
Треугольники
ABC и ABD
равны по катету и гипотенузе.
Теперь докажем второе утверждение, а именно: равные наклонные имеют и равные ортогональные проекции, и наоборот, наклонные, имеющие равные проекции, также равны.
Рассмотрим прямоугольные треугольники AВС и ABD. Они
имеют общий катет AВ. Если наклонные AС и AD равны, то прямоугольные треугольники AВС и AВD равны по катету и гипотенузе, и тогда BC=BD. Обратно, если равны проекции ВС и BD, то эти же треугольники равны по двум катетам, и тогда у них равны и гипотенузы AС иAD. ВС < BD, как мы только что доказали,АС < AD, что опять противоречит условию.
Остается третья возможность: ВС > BD. Теорема доказана.
Если ВС больше BD,
то АС больше стороны
АЕ, равной AD.
Тема урока
- Перпендикуляр и наклонная.
Цели урока
- Познакомиться с новыми определениями и вспомнить некоторые уже изученные.
- Научиться применять свойства фигур при решении задач.
- Разобраться в некоторых простых на первый взгляд понятиях и определениях.
- Развивающие – развить внимание учащихся, усидчивость, настойчивость, логическое мышление, математическую речь.
- Воспитательные - посредством урока воспитывать внимательное отношение друг к другу, прививать умение слушать товарищей, взаимовыручке, самостоятельность.
Задачи урока
- Проверить умение учащихся решать задачи.
- Научится правильно воспринимать информацию.
- Рассмотреть основы по теме перпендикуляр и наклонная.
План урока
- Вступительное слово.
- Повторение ранее изученного материала.
- Перпендикуляр и наклонная.
- Примеры решения задач.
Вступительное слово
Не для кого не секрет что вся элементарная геометрия пришла к нам в основном с Египта и Греции. В далекие и древние времена геометрия использовалась как наука для измерения земли, а также очень тесно при строительстве. Все теоремы, законы и аксиомы выводили и доказывали что бы облегчить измерительные или строительные работы. Сегодняшняя тема была очень важна для людей того времени так как перпендикуляр и наклонная основные ориентиры при работе такого типа.
Существует много гипотез относительно техники строительства египетских пирамид. Очевидным является то, что техника эта менялась со временем, т.е. более поздние пирамиды строились иначе, нежели более ранние. Большая часть гипотез исходит из того, что блоки вырубались в карьерах с помощью пробойников, зубил, долот, тёсел и т.п., основным материалом при изготовлении которых была медь. Соответственно, добытый материал должен был быть каким-то образом доставлен к месту строительства и установлен. Расхождения между различными гипотезами касаются, в основном, методов доставки и установки блоков, а также оценок сроков строительства и потребности в рабочей силе.
Техника строительства Великих пирамид по Геродоту
Нашим единственным письменным источником
, в котором описывается процесс строительства пирамид, служит II книга «Истории» Геродота, посетившего Египет ок. 450 г. до н. э
. Не говоря на языке египтян, Геродот
должен был делать записи со слов греческих поселенцев, проживавших в стране, а также - через переводчиков - со слов представителей египетского жречества. О том, как строили Великие пирамиды две тысячи лет назад до него, ему определённо было трудно узнать, поскольку это вряд ли было известно и самим египтянам.
Одни были обязаны перетаскивать к Нилу огромные глыбы камней из каменоломен в Аравийских горах (через реку камни перевозили на кораблях), а другим было приказано тащить их дальше до так называемых Ливийских гор. Сто тысяч людей выполняло эту работу непрерывно, сменяясь каждые три месяца. Десять лет пришлось измученному народу строить дорогу, по которой тащили эти каменные глыбы, - работа, по-моему, едва ли не столь же огромная, как и постройка самой пирамиды. Сооружение же самой пирамиды продолжалось двадцать лет.
Другие теории изготовления блоков и их установки
Существует также теория о том, что сами блоки из которых состоит пирамида, были изготовлены при помощи опалубки. На предыдущем ярусе устанавливалась опалубка прямоугольной формы, в которую затем заливался растворообразный состав. Застывший блок сам служил опалубкой для следующих блоков растущего яруса. Составные части раствора относительно легко могли быть доставлены силами многочисленных рабов без применения сложной техники.
Такая теория хорошо объясняет идеальную подгонку стен отдельных блоков.
Альтернативные гипотезы
Ряд авторов выдвигают гипотезы постройки пирамид другими развитыми цивилизациями, либо земными, которые потом исчезли, либо инопланетными. Также одним из обществ египтологов-любителей была выдвенута теория, согласно которой огромные каменные глыбы перемещались с помощью воздушных змеев. Египтологи не рассматривают такие гипотезы всерьёз.
Перпендикуляр и наклонная
И так начнем с простейшего и давайте повторим что такое перпендикуляр и наклонная .
Определение. Две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.
Ответ:
13.
Машины и Механизмы.
Машины и Механизмы, механические устройства, облегчающие труд и повышающие его производительность. Машины могут быть разной степени сложности – от простой одноколесной тачки до лифтов, автомобилей, печатных, текстильных, вычислительных машин. Энергетические машины преобразуют один вид энергии в другой. Например, генераторы гидроэлектростанции преобразуют механическую энергию падающей воды в электрическую энергию. Двигатель внутреннего сгорания преобразует химическую энергию бензина в тепловую, а затем в механическую энергию движения автомобиля.
Зубчатая передача - это механизм или часть механизма, в состав которого входят зубчатые колёса..
Назначение:
- передача вращательного движения между валами, которые могут иметь параллельные, пересекающиеся и скрещивающиеся оси.
- преобразование вращательного движения в поступательное и наоборот.
При этом усилие от одного элемента к другому передаётся с помощью зубьев. Зубчатое колесо передачи с меньшим числом зубьев называется шестернёй, второе колесо с большим числом зубьев называется колесом. Пара зубчатых колёс имеющих одинаковое число зубьев в этом случае ведущее зубчатое колесо называется шестернёй, а ведомое - колесом.
Архимедов винт, винт Архимеда - механизм, исторически использовавшийся для передачи воды из низколежащих водоёмов в оросительные каналы. Он был одним из нескольких изобретений и открытий, традиционно приписываемых Архимеду, жившему в III веке до н. э. Архимедов винт стал прообразом шнека.
Винт вращается обычно с помощью ветряного колеса либо вручную. В то время, как поворачивается нижний конец трубы, он собирает некоторый объём воды . Это количество воды будет скользить вверх по спиральной трубе во время вращения вала, пока наконец вода не выльется из вершины трубы, снабжая ирригационную систему.
Вопросы
- Что такое перпендикуляр?
- Какая линия называется наклонной?
- Диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам?
- Диагонали квадрата равны?
- Где используется на практике наклонная плоскость?
- Какая фигура называется прямоугольником?
Список использованных источников
- «Строители Пирамид» Заметки д-ра З. Хавасса
- Перепелкин Ю. Я. История Древнего Египта.- СПб.: «Летний сад», 2000.
- Кобычева Марина Викторовна, учитель математики
- Мазур К. И. «Решение основных конкурсных задач по математике сборника под редакцией М. И. Сканави»
Над уроком работали
Потурнак С.А.
Кобычева Марина Викторовна
Поставить вопрос о современном образовании, выразить идею или решить назревшую проблему Вы можете на Образовательном форуме , где на международном уровне собирается образовательный совет свежей мысли и действия. Создав блог, Вы не только повысите свой статус, как компетентного преподавателя, а и сделаете весомый вклад в развитие школы будущего. Гильдия Лидеров Образования открывает двери для специалистов высшего ранга и приглашает к сотрудничеству в направлении создания лучших в мире школ.
Геометрия
Стереометрия
Перпендикуляр и наклонная
Перпендикуляром
, опущенным из данной точки на данную плоскость, называется отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости и лежащий на прямой, перпендикулярной к плоскости. Конец этого отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием перпендикуляра
. Расстоянием от точки до плоскости
называется длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.На рисунке AB - перпендикуляр; AC - наклонная; BC - проекция.
Расстоянием от прямой
до параллельной ей плоскости называется расстояние от любой точки этой прямой до плоскости.
Расстоянием между параллельными плоскостями
называется расстояние от любой точки одной плоскости до другой плоскости.
Наклонной
, проведенной из данной точки к данной плоскости, называется любой отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости и не является перпендикуляром к плоскости. Конец отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием наклонной
.
Отрезок, соединяющий основания перпендикуляра и наклонной, проведенных из одной и той же точки, называется проекцией наклонной
.
Свойства наклонных, проведенных из одной точки к одной плоскости
1. Наклонные, проведенные к плоскости из одной точки (рисунок ниже слева), равны тогда и только тогда, когда они имеют равные проекции.2. Если из точки к плоскости проведены две наклонные, то больше та из них, которая имеет большую проекцию, и наоборот, большая наклонная имеет большую проекцию.
Обратите внимание, что эти свойства сохраняются для наклонных, проведенных к плоскости из разных точек, но имеют одинаковую длину перпендикуляра (рисунок справа).
Перпендикуляром, опущенным из данной точки на данную плоскость, называется отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости и лежащий на прямой, перпендикулярной плоскости. Конец этого отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием перпендикуляра. Расстоянием от точки до плоскости называется длина перпендикуляра, опущенного этой точки на плоскость.
Наклонной, проведенной данной точки к данной плоскости, называется любой отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости и не являющийся перпендикуляром к этой плоскости. Конец отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием наклонной. Отрезок, соединяющий основания перпендикуляра и наклонной, проведенных из одной и той же точки, называется проекцией наклонной.
На рисунке 136 из точки А проведены к плоскости перпендикуляр АВ и наклонная АС. Точка В - основание перпендикуляра, точка С - основание наклонной, ВС - проекция наклонной АС на плоскость а.
Так как расстояния от точек прямой до параллельной ей плоскости одинаковы, то расстоянием от прямой до параллельной ей плоскости называется расстояние от любой ее точки до этой плоскости.
Прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной перпендикулярно ее проекции, перпендикулярна и самой наклонной. И обратно: если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной (теорема о трех перпендикулярах).
На рисунке 137 к плоскости а проведены перпендикуляр АВ и наклонная АС. Прямая о, лежащая в плоскости а, перпендикулярна ВС - проекции наклонной АС на плоскость а. По Т. 2.12 прямая а перпендикулярна наклонной АС. Если было бы известно, что прямая а перпендикулярна наклонной АС, то по Т. 2.12 она была бы перпендикулярна и ее проекции - ВС.
Пример. Катеты прямоугольного треугольника ABC равны 16 и Из вершины прямого угла С проведен к плоскости этого треугольника перпендикуляр CD= 35 м (рис. 138). Найти расстояние от точки D до гипотенузы АВ.
Решение. Проведем . По условию DC - перпендикуляр к плоскости, т. е. DE - наклонная, СЕ - ее проекция, поэтому по теореме о трех перпендикулярах из условия следует, что
Из находим Для отыскания высоты СЕ в находим
С другой стороны, откуда
Из по теореме Пифагора
46. Перпендикулярность плоскостей.
Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если какая-либо плоскость, перпендикулярная прямой пересечения этих плоскостей, пересекает их по перпендикулярным прямым.
На рисунке 139 изображены две плоскости , которые пересекаются по прямой а. Плоскость у перпендикулярна прямой а и пересекает При этом плоскость у пересекает плоскость а по прямой с, а плоскость - по прямой d, причем т. е. по определению
Т. 2.13. Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны (признак перпендикулярности плоскостей).
На рисунке 140 плоскость проходит через прямую а т. е. по плоскости перпендикулярны.
Свойства наклонных, выходящих из одной точки. 1. Перпендикуляр всегда короче наклонной, если они проведены из одной точки. 2. Если наклонные равны, то равны и их проекции, и наоборот. 3. Большей наклонной соответствует большая проекция и наоборот.
Слайд 10 из презентации «Перпендикуляр и наклонная к плоскости» . Размер архива с презентацией 327 КБ.Геометрия 10 класс
краткое содержание других презентаций«Задачи на параллелограмм» - Геометрия. Точки. Высота параллелограмма. Площадь. Доказательство. Касательная к окружности. Признаки параллелограмма. Периметр параллелограмма. Окружность. Часть. Средняя линяя. Центры окружностей. Углы. Параллелограмм. Найдите площадь параллелограмма. Две окружности. Свойства параллелограмма. Острый угол. Площадь параллелограмма. Диагонали параллелограмма. Диагональ. Четырехугольник. Треугольники.
«Методы построения сечений» - Формирование умений и навыков построения сечений. Рассмотрим четыре случая построения сечений параллелепипеда. Построить сечения тетраэдра. Метод внутреннего проектирования. Работа с дисками. Параллелепипед имеет шесть граней. Секущая плоскость. Построение сечений многогранников. Следом называют прямую пересечения плоскости сечения и плоскости какой-либо грани многогранника. Метод следов. Памятка.
««Правильные многогранники» 10 класс» - Прогнозируемый результат. Тетраэдр, описанный около сферы орбиты Марса. Центр О, ось а и плоскость. Грани многогранника. Радиолария. Содержание. Правильные многогранники. Правильные многогранники в философской картине мира Платона. Феодария. Правильные многогранники встречаются в живой природе. Ход урока. Точка (прямая, плоскость) называется центром (осью, плоскостью). Какое из перечисленных геометрических тел не является правильным многогранником.
«Определение двугранных углов» - Точка К удалена от каждой стороны. Точки М и К лежат в разных гранях. Градусная мера угла. Свойство трёхгранного угла. Замечания к решению задач. В одной из граней двугранного угла, равного 30, расположена точка М. Построение линейного угла. Провести перпендикуляр. Прямая, проведенная в данной плоскости. Двугранные углы в пирамидах. Решение задач. Точка К. Данная пирамида. Точка на ребре может быть произвольная.
«Методы построения сечений многогранников» - Любая плоскость. Художники. Законы геометрии. Блиц-опрос. Взаимное расположение плоскости и многогранника. Построить сечение многогранника. Многоугольники. Аксиоматический метод. Задачи. Корабль. Задача. Аксиомы. Построение сечений многогранников. Сечения различными плоскостями. Древняя китайская пословица. Самостоятельная работа. Диагональные сечения. Закрепление полученных знаний. Секущая плоскость.
«Равносторонние многоугольники» - Гексаэдр (Куб) Куб составлен из шести квадратов. Октаэдр Октаэдр составлен из восьми равносторонних треугольников. Тетраэдр имеет 4 грани, 4 вершины и 6 ребер. Существует 5 видов правильных многогранников. Правильные Многоугольники. Додекаэдр имеет 12 граней, 20 вершин и 30 ребер. Икосаэдр имеет 20 граней, 12 вершин и 30 ребер. Таким образом, куб имеет 6 граней, 8 вершин и 12 ребер. Тетраэдр Тетраэдр составлен из четырех равносторонних треугольников.