Докажите что средняя линия трапеции параллельна основаниям. Средняя линия трапеции

ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИКИ.

§ 49. ТРАПЕЦИЯ.

Четырёхугольник, у которого две противоположные стороны параллельны, а другие две не параллельны, называется трапецией.

На чертеже 252 у четырёхугольника АВDС АВ || СD, AC || BD. АВDС - трапеция.

Параллельные стороны трапеции называются её основаниями ; АВ и СD - основания трапеции. Остальные две стороны называются боковыми сторонами трапеции; АС и ВD - боковые стороны трапеции.

Если боковые стороны равны, то трапеция называется равнобедренной .

Трапеция АВОМ равнобедренная, так как АМ=ВО (черт. 253).

Трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна к основанию, называется прямоугольной (черт. 254).

Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции.

Теорема. Средняя линия трапеции параллельна каждому из ее оснований и равна их полусумме.

Дано: ОС - средняя линия трапеции АВDК, т. е. ОК = ОА и ВС = СD (черт. 255).

Надо доказать:

1) ОС || КD и ОС || АВ;
2)

Доказательство. Через точки А и С проведём прямую, пересекающую продолжение основания КD в некоторой точке Е.

В треугольниках АBС и DСЕ:
ВС = СD - по условию;
/ 1 = / 2, как вертикальные,
/ 4 = / 3, как внутренние накрест лежащие при параллельных АВ и KЕ и секущей ВD. Следовательно, /\ АBС = /\ DСЕ.

Отсюда АС = СЕ, т.е. ОС является средней линией треугольника КАЕ. Следовательно (§ 48):

1) ОС || КЕ и, значит, ОС || КD и ОС || AВ;
2) , но DЕ = АВ (из равенства треугольников АBС и DСЕ), поэтому отрезок DЕ можно заменить равным ему отрезком АВ. Тогда получим:

Теорема доказана.

Упражнения.

1. Доказать, что сумма внутренних углов трапеции, прилежащих к каждой боковой стороне, равна 2d .

2. Доказать, что углы при основании равнобедренной трапеции равны.

3. Доказать, что если углы при основании трапеции равны, то эта трапеция равнобедренная.

4. Доказать, что диагонали равнобедренной трапеции равны между собой.

5. Доказать, что если диагонали трапеции равны, то эта трапеция равнобедренная.

6. Доказать, что периметр фигуры, образованной отрезками, соединяющими середины сторон четырёхугольника, равен сумме диагоналей этого четырёхугольника.

7. Доказать, что прямая, проходящая через середину одной из боковых сторон трапеции параллельно её основаниям, делит другую боковую сторону трапеции пополам.

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

\[{\Large{\text{Произвольная трапеция}}}\]

Определения

Трапеция – это выпуклый четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны.

Параллельные стороны трапеции называются её основаниями, а две другие стороны – боковыми сторонами.

Высота трапеции – это перпендикуляр, опущенный из любой точки одного основания к другому основанию.

Теоремы: свойства трапеции

1) Сумма углов при боковой стороне равна $180^\circ$ .

2) Диагонали делят трапецию на четыре треугольника, два из которых подобны, а два другие – равновелики.

Доказательство

1) Т.к. $AD\parallel BC$ , то углы $\angle BAD$ и $\angle ABC$ – односторонние при этих прямых и секущей $AB$ , следовательно, $\angle BAD +\angle ABC=180^\circ$ .

2) Т.к. $AD\parallel BC$ и $BD$ – секущая, то $\angle DBC=\angle BDA$ как накрест лежащие.
Также $\angle BOC=\angle AOD$ как вертикальные.
Следовательно, по двум углам $\triangle BOC \sim \triangle AOD$ .

Докажем, что $S_{\triangle AOB}=S_{\triangle COD}$ . Пусть $h$ – высота трапеции. Тогда $S_{\triangle ABD}=\frac12\cdot h\cdot AD=S_{\triangle ACD}$ . Тогда: \

Определение

Средняя линия трапеции – отрезок, соединяющий середины боковых сторон.

Теорема

Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Доказательство*

1) Докажем параллельность.

Проведем через точку $M$ прямую $MN"\parallel AD$ ($N"\in CD$ ). Тогда по теореме Фалеса (т.к. $MN"\parallel AD\parallel BC, AM=MB$ ) точка $N"$ - середина отрезка $CD$ . Значит, точки $N$ и $N"$ совпадут.

2) Докажем формулу.

Проведем $BB"\perp AD, CC"\perp AD$ . Пусть $BB"\cap MN=M", CC"\cap MN=N"$ .

Тогда по теореме Фалеса $M"$ и $N"$ - середины отрезков $BB"$ и $CC"$ соответственно. Значит, $MM"$ – средняя линия $\triangle ABB"$ , $NN"$ - средняя линия $\triangle DCC"$ . Поэтому: \

Т.к. $MN\parallel AD\parallel BC$ и $BB", CC"\perp AD$ , то $B"M"N"C"$ и $BM"N"C$ – прямоугольники. По теореме Фалеса из $MN\parallel AD$ и $AM=MB$ следует, что $B"M"=M"B$ . Значит, $B"M"N"C"$ и $BM"N"C$ – равные прямоугольники, следовательно, $M"N"=B"C"=BC$ .

Таким образом:

\ \[=\dfrac12 \left(AB"+B"C"+BC+C"D\right)=\dfrac12\left(AD+BC\right)\]

Теорема: свойство произвольной трапеции

Середины оснований, точка пересечения диагоналей трапеции и точка пересечения продолжений боковых сторон лежат на одной прямой.

Доказательство*
С доказательством рекомендуется ознакомиться после изучения темы “Подобие треугольников”.

1) Докажем, что точки $P$ , $N$ и $M$ лежат на одной прямой.

Проведем прямую $PN$ ($P$ – точка пересечения продолжений боковых сторон, $N$ – середина $BC$ ). Пусть она пересечет сторону $AD$ в точке $M$ . Докажем, что $M$ – середина $AD$ .

Рассмотрим $\triangle BPN$ и $\triangle APM$ . Они подобны по двум углам ($\angle APM$ – общий, $\angle PAM=\angle PBN$ как соответственные при $AD\parallel BC$ и $AB$ секущей). Значит: \[\dfrac{BN}{AM}=\dfrac{PN}{PM}\]

Рассмотрим $\triangle CPN$ и $\triangle DPM$ . Они подобны по двум углам ($\angle DPM$ – общий, $\angle PDM=\angle PCN$ как соответственные при $AD\parallel BC$ и $CD$ секущей). Значит: \[\dfrac{CN}{DM}=\dfrac{PN}{PM}\]

Отсюда $\dfrac{BN}{AM}=\dfrac{CN}{DM}$ . Но $BN=NC$ , следовательно, $AM=DM$ .

2) Докажем, что точки $N, O, M$ лежат на одной прямой.

Пусть $N$ – середина $BC$ , $O$ – точка пересечения диагоналей. Проведем прямую $NO$ , она пересечет сторону $AD$ в точке $M$ . Докажем, что $M$ – середина $AD$ .

$\triangle BNO\sim \triangle DMO$ по двум углам ($\angle OBN=\angle ODM$ как накрест лежащие при $BC\parallel AD$ и $BD$ секущей; $\angle BON=\angle DOM$ как вертикальные). Значит: \[\dfrac{BN}{MD}=\dfrac{ON}{OM}\]

Аналогично $\triangle CON\sim \triangle AOM$ . Значит: \[\dfrac{CN}{MA}=\dfrac{ON}{OM}\]

Отсюда $\dfrac{BN}{MD}=\dfrac{CN}{MA}$ . Но $BN=CN$ , следовательно, $AM=MD$ .

\[{\Large{\text{Равнобедренная трапеция}}}\]

Определения

Трапеция называется прямоугольной, если один из ее углов – прямой.

Трапеция называется равнобедренной, если ее боковые стороны равны.

Теоремы: свойства равнобедренной трапеции

1) У равнобедренной трапеции углы при основании равны.

2) Диагонали равнобедренной трапеции равны.

3) Два треугольника, образованные диагоналями и основанием, являются равнобедренными.

Доказательство

1) Рассмотрим равнобедренную трапецию $ABCD$ .

Из вершин $B$ и $C$ опустим на сторону $AD$ перпендикуляры $BM$ и $CN$ соответственно. Так как $BM\perp AD$ и $CN\perp AD$ , то $BM\parallel CN$ ; $AD\parallel BC$ , тогда $MBCN$ – параллелограмм, следовательно, $BM = CN$ .

Рассмотрим прямоугольные треугольники $ABM$ и $CDN$ . Так как у них равны гипотенузы и катет $BM$ равен катету $CN$ , то эти треугольники равны, следовательно, $\angle DAB = \angle CDA$ .

Т.к. $AB=CD, \angle A=\angle D, AD$ – общая, то по первому признаку . Следовательно, $AC=BD$ .

3) Т.к. $\triangle ABD=\triangle ACD$ , то $\angle BDA=\angle CAD$ . Следовательно, треугольник $\triangle AOD$ – равнобедренный. Аналогично доказывается, что и $\triangle BOC$ – равнобедренный.

Теоремы: признаки равнобедренной трапеции

1) Если у трапеции углы при основании равны, то она равнобедренная.

2) Если у трапеции диагонали равны, то она равнобедренная.

Доказательство

Рассмотрим трапецию $ABCD$ , такую что $\angle A = \angle D$ .

Достроим трапецию до треугольника $AED$ как показано на рисунке. Так как $\angle 1 = \angle 2$ , то треугольник $AED$ равнобедренный и $AE = ED$ . Углы $1$ и $3$ равны как соответственные при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AB$ . Аналогично равны углы $2$ и $4$ , но $\angle 1 = \angle 2$ , тогда $\angle 3 = \angle 1 = \angle 2 = \angle 4$ , следовательно, треугольник $BEC$ тоже равнобедренный и $BE = EC$ .

В итоге $AB = AE - BE = DE - CE = CD$ , то есть $AB = CD$ , что и требовалось доказать.

2) Пусть $AC=BD$ . Т.к. $\triangle AOD\sim \triangle BOC$ , то обозначим их коэффициент подобия за $k$ . Тогда если $BO=x$ , то $OD=kx$ . Аналогично $CO=y \Rightarrow AO=ky$ .

Т.к. $AC=BD$ , то $x+kx=y+ky \Rightarrow x=y$ . Значит $\triangle AOD$ – равнобедренный и $\angle OAD=\angle ODA$ .

Таким образом, по первому признаку $\triangle ABD=\triangle ACD$ ($AC=BD, \angle OAD=\angle ODA, AD$ – общая). Значит, $AB=CD$ , чтд.

Сбор и использование персональной информации

Какую персональную информацию мы собираем:

Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Понятие средней линии трапеции

Для начала вспомним, какую фигуру называют трапецией.

Определение 1

Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны.

При этом параллельные стороны называются основаниями трапеции, а не параллельные -- боковыми сторонами трапеции.

Определение 2

Средняя линия трапеции -- это отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции.

Теорема о средней линии трапеции

Теперь введем теорему о средней линии трапеции и докажем её вектор ным методом.

Теорема 1

Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Доказательство.

Пусть нам дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD\ и\ BC$. И пусть $MN$ -- средняя линия этой трапеции (рис. 1).

Рисунок 1. Средняя линия трапеции

Докажем, что $MN||AD\ и\ MN=\frac{AD+BC}{2}$.

Рассмотрим вектор $\overrightarrow{MN}$. Используем далее правило многоугольника для сложения векторов. С одной стороны получим, что

С другой стороны

Сложим два последних равенства, получим

Так как $M$ и $N$ - середины боковых сторон трапеции, то будем иметь

Получаем:

Следовательно

Из этого же равенства (так как $\overrightarrow{BC}$ и $\overrightarrow{AD}$ сонаправлены, а, следовательно, коллинеарны) получаем, что $MN||AD$.

Теорема доказана.

Примеры задач на понятие средней линии трапеции

Пример 1

Боковые стороны трапеции равны $15\ см$ и $17\ см$ соответственно. Периметр трапеции равен $52\ см$. Найти длину средней линии трапеции.

Решение.

Обозначим среднюю линию трапеции через $n$.

Сумма боковых сторон равна

Следовательно, так как периметр равен $52\ см$, сумма оснований равна

Значит, по теореме 1, получаем

Ответ: $10\ см$.

Пример 2

Концы диаметра окружности удалены от его касательной соответственно на $9$ см и $5$ см. Найти диаметр этой окружности.

Решение.

Пусть нам дана окружность с центром в точке $O$ и диаметром $AB$. Проведем касательную $l$ и построим расстояния $AD=9\ см$ и $BC=5\ см$. Проведем радиус $OH$ (рис. 2).

Рисунок 2.

Так как $AD$ и $BC$ - расстояния до касательной, то $AD\bot l$ и $BC\bot l$ и так как $OH$ -- радиус, то $OH\bot l$, следовательно, $OH|\left|AD\right||BC$. Из этого всего получаем, что $ABCD$ - трапеция, а $OH$ - ее средняя линия. По теореме 1, получаем