¿Qué significa descomponerse en factores primos? ¿Cómo hacerlo? ¿Qué puedes aprender al factorizar un número en factores primos? Las respuestas a estas preguntas se ilustran con ejemplos específicos.
Definiciones:
Un número que tiene exactamente dos divisores diferentes se llama primo.
Un número que tiene más de dos divisores se llama compuesto.
Expandir número natural Factorizar significa representarlo como un producto de números naturales.
Factorizar un número natural en factores primos significa representarlo como un producto de números primos.
Notas:
- En la descomposición de un número primo, uno de los factores es igual a uno y el otro es igual al número mismo.
- No tiene sentido hablar de factorizar la unidad.
- Un número compuesto se puede descomponer en factores, cada uno de los cuales es diferente de 1.
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Factoricemos el número 150. Por ejemplo, 150 es 15 por 10. 15 es un número compuesto. Se puede factorizar en factores primos de 5 y 3. 10 es un número compuesto. Se puede factorizar en factores primos de 5 y 2. Al escribir sus descomposiciones en factores primos en lugar de 15 y 10, obtuvimos la descomposición del número 150. |
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El número 150 se puede factorizar de otra forma. Por ejemplo, 150 es el producto de los números 5 y 30. 5 es un número primo. 30 es un número compuesto. Se puede considerar como el producto de 10 y 3. 10 es un número compuesto. Se puede factorizar en factores primos de 5 y 2. La factorización de 150 en factores primos la obtuvimos de otra forma. |
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Tenga en cuenta que la primera y la segunda expansión son iguales. Sólo difieren en el orden de los factores. Es costumbre escribir los factores en orden ascendente. |
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Todo número compuesto se puede factorizar en factores primos de forma única, hasta el orden de los factores. |
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Al factorizar números grandes en factores primos, utilice la notación de columnas:
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El número primo más pequeño divisible por 216 es 2. Dividimos 216 entre 2. Obtenemos 108. |
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El número resultante 108 se divide por 2. Hagamos la división. El resultado es 54. |
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Según la prueba de divisibilidad por 2, el número 54 es divisible por 2. Después de dividir, obtenemos 27. |
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El número 27 termina con el dígito impar 7. Él No divisible por 2. El siguiente número primo es 3. Dividimos 27 entre 3. Obtenemos 9. Menos primo El número por el que 9 es divisible es 3. Tres es en sí mismo un número primo; es divisible por sí mismo y por uno. Dividamos 3 entre nosotros. Al final obtuvimos 1. |
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- Un número es divisible únicamente por aquellos números primos que forman parte de su descomposición.
- Un número es divisible sólo en aquellos números compuestos cuya descomposición en factores primos está completamente contenida en él.
Veamos ejemplos:
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4900 es divisible por los números primos 2, 5 y 7 (están incluidos en la expansión del número 4900), pero no es divisible por, por ejemplo, 13. |
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11 550 75. Esto es así porque la descomposición del número 75 está completamente contenida en la descomposición del número 11550. El resultado de la división será el producto de los factores 2, 7 y 11. 11550 no es divisible por 4 porque hay dos extra en la expansión de cuatro. |
Encuentra el cociente de dividir el número a por el número b, si estos números se descomponen en factores primos de la siguiente manera: a=2∙2∙2∙3∙3∙3∙5∙5∙19; b=2∙2∙3∙3∙5∙19
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La descomposición del número b está completamente contenida en la descomposición del número a. |
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El resultado de dividir a por b es el producto de los tres números que quedan en el desarrollo de a. Entonces la respuesta es: 30. |
Bibliografía
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- Rurukin A.N., Tchaikovsky I.V. Tareas para el curso de matemáticas para los grados 5-6. - M.: ZSH MEPhI, 2011.
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Tarea
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- Otras tareas: No. 133, No. 144.
Cualquier número compuesto se puede representar como producto de sus divisores primos:
28 = 2 2 7
Los lados derechos de las igualdades resultantes se llaman factorización prima números 15 y 28.
Factorizar un número compuesto dado en factores primos significa representar este número como producto de sus factores primos.
La descomposición de un número dado en factores primos se realiza de la siguiente manera:
- Primero debe seleccionar el número primo más pequeño de la tabla de números primos que divide el número compuesto dado sin resto y realizar la división.
- A continuación, debe seleccionar nuevamente el número primo más pequeño por el cual se dividirá el cociente ya obtenido sin dejar resto.
- Se repite la segunda acción hasta obtener uno en el cociente.
Como ejemplo, factoricemos el número 940 en factores primos. Encuentre el número primo más pequeño que divide a 940. Este número es 2:
Ahora seleccionamos el número primo más pequeño que sea divisible por 470. Este número vuelve a ser 2:
El número primo más pequeño que es divisible por 235 es 5:
El número 47 es primo, lo que significa que el número primo más pequeño que se puede dividir por 47 es el número mismo:
Así, obtenemos el número 940, factorizado en factores primos:
940 = 2 470 = 2 2 235 = 2 2 5 47
Si la descomposición de un número en factores primos resultó en varios factores idénticos, entonces, por brevedad, se pueden escribir en forma de potencia:
940 = 2 2 5 47
Es más conveniente escribir la descomposición en factores primos de la siguiente manera: primero escribimos este número compuesto y dibujamos una línea vertical a su derecha:
A la derecha de la línea escribimos el divisor primo más pequeño por el cual se divide el número compuesto dado:
Realizamos la división y escribimos el cociente resultante debajo del dividendo:
Con el cociente actuamos de la misma forma que con el número compuesto dado, es decir, seleccionamos el número primo más pequeño por el que es divisible sin resto y realizamos la división. Y repetimos esto hasta obtener una unidad en el cociente:
Tenga en cuenta que a veces puede resultar bastante difícil factorizar un número en factores primos, ya que al factorizar podemos encontrarnos un número grande, lo que resulta difícil determinar inmediatamente si es simple o compuesto. Y si es compuesto, no siempre es fácil encontrar su divisor primo más pequeño.
Intentemos, por ejemplo, factorizar el número 5106 en factores primos:
Habiendo llegado al privado 851, es difícil determinarlo de inmediato. mínimo divisor. Pasamos a la tabla de números primos. Si hay en él un número que nos pone en dificultad, entonces es divisible sólo por sí mismo y por uno. El número 851 no está en la tabla de números primos, lo que significa que es compuesto. Sólo queda dividirlo mediante búsqueda secuencial en números primos: 3, 7, 11, 13,..., y así sucesivamente hasta encontrar un divisor primo adecuado. Por fuerza bruta encontramos que 851 es divisible por el número 23.
Cualquier número compuesto se puede descomponer en factores primos. Puede haber varios métodos de descomposición. Cualquiera de los métodos produce el mismo resultado.
¿Cómo factorizar un número en factores primos de la forma más cómoda? Veamos cuál es la mejor manera de hacer esto usando ejemplos específicos.
Ejemplos. 1) Factoriza el número 1400 en factores primos.
1400 es divisible por 2. 2 es un número primo; no es necesario factorizarlo. Obtenemos 700. Lo dividimos entre 2. Obtenemos 350. También dividimos 350 entre 2. El número resultante 175 se puede dividir entre 5. El resultado es 35; se divide entre 5 nuevamente. Total - 7. Solo se puede dividir entre 2. 7. Obtenemos 1, división terminada.
El mismo número se puede factorizar de diferentes maneras:
Es conveniente dividir 1400 entre 10. 10 no es un número primo, por lo que es necesario factorizarlo en factores primos: 10=2∙5. El resultado es 140. Lo dividimos nuevamente por 10=2∙5. Obtenemos 14. Si 14 se divide entre 14, entonces también debe descomponerse en un producto de factores primos: 14=2∙7.
Así, volvimos a llegar a la misma descomposición que en el primer caso, pero más rápido.
Conclusión: al descomponer un número, no es necesario dividirlo solo en factores primos. Dividimos por lo que sea más conveniente, por ejemplo, por 10. Sólo hay que acordarse de descomponer los divisores compuestos en factores simples.
2) Factoriza el número 1620 en factores primos.
La forma más conveniente de dividir el número 1620 es por 10. Como 10 no es un número primo, lo representamos como producto de factores primos: 10=2∙5. Obtuvimos 162. Es conveniente dividirlo entre 2. El resultado es 81. El número 81 se puede dividir entre 3, pero es más conveniente entre 9. Como 9 no es un número primo, lo expandimos como 9=3∙3. Obtenemos 9. También lo dividimos entre 9 y lo expandimos al producto de factores primos.
Todo número natural, excepto uno, tiene dos o más divisores. Por ejemplo, el número 7 es divisible sin resto sólo entre 1 y 7, es decir, tiene dos divisores. Y el número 8 tiene divisores 1, 2, 4, 8, es decir, hasta 4 divisores a la vez.
¿Cuál es la diferencia entre números primos y compuestos?
Los números que tienen más de dos divisores se llaman números compuestos. Los números que tienen sólo dos divisores: uno y el propio número se llaman números primos.
El número 1 tiene sólo una división, es decir, el número mismo. Uno no es un número primo ni compuesto.
- Por ejemplo, el número 7 es primo y el número 8 es compuesto.
Los primeros 10 números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. El número 2 es el único número primo par, todos los demás números primos son impares.
El número 78 es compuesto, ya que además de 1 y de sí mismo, también es divisible por 2. Al dividirlo por 2, obtenemos 39. Es decir, 78 = 2*39. En tales casos, dicen que el número se factorizó en factores de 2 y 39.
Cualquier número compuesto se puede descomponer en dos factores, cada uno de los cuales es mayor que 1. Este truco no funcionará con un número primo. Así que va.
Factorizar un número en factores primos
Como se señaló anteriormente, cualquier número compuesto se puede factorizar en dos factores. Tomemos, por ejemplo, el número 210. Este número se puede descomponer en dos factores 21 y 10. Pero los números 21 y 10 también son compuestos, vamos a descomponerlos en dos factores. Obtenemos 10 = 2*5, 21=3*7. Y como resultado, el número 210 se descompuso en 4 factores: 2,3,5,7. Estos números ya son primos y no se pueden ampliar. Es decir, factorizamos el número 210 en factores primos.
Al factorizar números compuestos en factores primos, normalmente se escriben en orden ascendente.
Cabe recordar que cualquier número compuesto se puede descomponer en factores primos y de forma única, hasta llegar a la permutación.
- Por lo general, al descomponer un número en factores primos, se utilizan criterios de divisibilidad.
Factoricemos el número 378 en factores primos.
Anotaremos los números separándolos con una línea vertical. El número 378 es divisible por 2, ya que termina en 8. Al dividirlo, obtenemos el número 189. La suma de los dígitos del número 189 es divisible por 3, lo que significa que el número 189 en sí es divisible por 3. El resultado es 63.
El número 63 también es divisible por 3, según la divisibilidad. Obtenemos 21, el número 21 se puede volver a dividir entre 3, obtenemos 7. Siete se divide solo por sí mismo, obtenemos uno. Esto completa la división. A la derecha después de la línea están los factores primos en los que se descompone el número 378.
378|2
189|3
63|3
21|3