La siguiente fórmula será la definición. grados con exponente natural(a es la base de la potencia y el factor de repetición, y n es el exponente, que muestra cuántas veces se repite el factor):
Esta expresión significa que la potencia de un número a con exponente natural n es producto de n factores, a pesar de que cada uno de los factores es igual a a.
17^5=17 \cdot 17 \cdot 17 \cdot 17 \cdot 17=1\,419\,857
17 - grado básico,
5 - exponente,
1419857 es el valor del título.
Una potencia con exponente cero es igual a 1, siempre que a\neq 0:
a^0=1.
Por ejemplo: 2^0=1
Cuando escribir Número grande Generalmente se utilizan potencias de 10.
Por ejemplo, uno de los dinosaurios más antiguos de la Tierra vivió hace unos 280 millones de años. Su edad se escribe de la siguiente manera: 2.8 \cdot 10^8 .
Todo número mayor que 10 se puede escribir como \cdot 10^n , siempre que 1< a < 10 и n является положительным целым числом . Такую запись называют forma estándar de número.
Ejemplos de tales números: 6978=6.978 \cdot 10^3, 569000=5.69 \cdot 10^5.
Puedes decir tanto "a a la enésima potencia" como "enésima potencia del número a" y "a a la enésima potencia".
4^5 - “cuatro elevado a 5” o “4 elevado a la quinta potencia” o también puedes decir “quinta potencia de 4”
En este ejemplo, 4 es la base y 5 es el exponente.
Pongamos ahora un ejemplo con fracciones y números negativos. Para evitar confusiones, se acostumbra escribir entre paréntesis bases distintas de los números naturales:
(7,38)^2 , \izquierda(\frac 12 \derecha)^7, (-1)^4, etc.
Note también la diferencia:
(-5)^6 - significa grado numero negativo−5 con exponente natural 6.
5^6 - corresponde al número opuesto 5^6.
Propiedades de los grados con exponente natural
Propiedad básica del grado
a^n \cdot a^k = a^(n+k)
La base sigue siendo la misma, pero se suman los exponentes.
Por ejemplo: 2^3 \cdot 2^2 = 2^(3+2)=2^5
Propiedad de potencias cocientes con las mismas bases.
a^n: a^k=a^(n-k), si n > k .
Se restan los exponentes, pero la base sigue siendo la misma.
Esta restricción n > k se introduce para no ir más allá de los exponentes naturales. De hecho, para n > k el exponente a^(n-k) será un número natural, de lo contrario será un número negativo (k< n ), либо нулем (k-n ).
Por ejemplo: 2^3: 2^2 = 2^(3-2)=2^1
Propiedad de elevar una potencia a una potencia.
(a^n)^k=a^(nk)
La base sigue siendo la misma, solo se multiplican los exponentes.
Por ejemplo: (2^3)^6 = 2^(3 \cdot 6)=2^(18)
Propiedad de exponenciación de un producto.
Cada factor se eleva a la potencia n.
a^n \cdot b^n = (ab)^n
Por ejemplo: 2^3 \cdot 3^3 = (2 \cdot 3)^3=6^3
Propiedad de exponenciación de una fracción.
\frac(a^n)(b^n)=\left(\frac(a)(b) \right) ^n, b \neq 0
Tanto el numerador como el denominador de una fracción se elevan a una potencia. \left(\frac(2)(5) \right)^3=\frac(2^3)(5^3)=\frac(8)(125)
se puede encontrar usando la multiplicación. Por ejemplo: 5+5+5+5+5+5=5x6. Se dice que tal expresión es que la suma de términos iguales se suma a un producto. Y viceversa, si leemos esta igualdad de derecha a izquierda, encontramos que hemos ampliado la suma de términos iguales. De manera similar, puedes contraer el producto de varios factores iguales 5x5x5x5x5x5=5 6.
Es decir, en lugar de multiplicar seis factores idénticos 5x5x5x5x5x5, escriben 5 6 y dicen “cinco elevado a la sexta potencia”.
La expresión 5 6 es una potencia de un número, donde:
5 - base de grado;
6 - exponente.
Las acciones mediante las cuales el producto de factores iguales se reduce a una potencia se llaman elevando a una potencia.
EN vista general grado con base "a" y exponente "n" se escribe así
Elevar el número a a la potencia n significa encontrar el producto de n factores, cada uno de los cuales es igual a a
Si la base del grado “a” es igual a 1, entonces el valor del grado para cualquier número natural n será igual a 1. Por ejemplo, 1 5 =1, 1 256 =1
Si elevas el número “a” a primer grado, entonces obtenemos el número a en sí: un 1 = un
Si elevas cualquier número a grado cero, luego, como resultado de los cálculos, obtenemos uno. un 0 = 1
La segunda y tercera potencia de un número se consideran especiales. Se les ocurrieron nombres: el segundo grado se llama elevar al cuadrado el numero, tercero - cubo este número.
Cualquier número se puede elevar a una potencia: positivo, negativo o cero. En este caso, no se aplican las siguientes reglas:
Al encontrar el grado numero positivo resulta ser un número positivo.
Al calcular cero elevado a la potencia natural, obtenemos cero.
xm · xn = x m + n
por ejemplo: 7 1,7 7 - 0,9 = 7 1,7+(- 0,9) = 7 1,7 - 0,9 = 7 0,8
A compartir títulos con por los mismos motivos No cambiamos la base, sino que restamos los exponentes:
xm /xn = x metro - norte , Dónde, metro > norte,
por ejemplo: 13 3,8 / 13 -0,2 = 13 (3,8 -0,2) = 13 3,6
Al calcular elevar un poder a un poder No cambiamos la base, sino que multiplicamos los exponentes entre sí.
(Cajero automático ) norte = y m norte
por ejemplo: (2 3) 2 = 2 3 2 = 2 6
(X · y) norte = x norte · y m ,
por ejemplo:(2 3) 3 = 2 n 3 m,
Al realizar cálculos según elevar una fracción a una potencia elevamos el numerador y denominador de la fracción a una potencia dada
(x/y)n = x norte / s n
por ejemplo: (2/5) 3 = (2/5) · (2/5) · (2/5) = 2 3/5 3.
La secuencia de cálculos cuando se trabaja con expresiones que contienen un título.
Al realizar cálculos de expresiones sin paréntesis, pero que contienen potencias, en primer lugar, realizan operaciones de exponenciación, luego multiplicación y división, y solo luego suma y resta.
Si necesita calcular una expresión que contiene corchetes, primero haga los cálculos entre corchetes en el orden indicado anteriormente y luego las acciones restantes en el mismo orden de izquierda a derecha.
En los cálculos prácticos, se utilizan ampliamente tablas de potencias ya preparadas para simplificar los cálculos.
Vídeotutorial 2: Licenciatura con indicador natural y sus propiedades.
Conferencia:
Titulación con indicador natural
Bajo grado algún número "A" con algun indicador "norte" entender el producto de un número "A" por sí mismo "norte" una vez.
Cuando hablamos de un grado con exponente natural, significa que el número "norte" debe ser un número entero y no negativo.
A- la base del grado, que muestra qué número debe multiplicarse por sí mismo,
norte- exponente: indica cuántas veces es necesario multiplicar la base por sí misma.
Por ejemplo:
8 4 = 8 * 8 * 8 * 8 = 4096.
En este caso se entiende que la base del grado es el número “8”, el exponente del grado es el número “4” y el valor del grado es el número “4096”.
El mayor y más común error al calcular un grado es multiplicar el exponente por la base. ¡ESTO NO ES CORRECTO!
Cuando hablamos de un grado con exponente natural, nos referimos a que sólo el exponente (norte) debe ser un número natural.
Puedes tomar cualquier número en la recta numérica como base.
Por ejemplo,
(-0,1) 3 = (-0,1) * (-0,1) * (-0,1) = (-0,001).
La operación matemática que se realiza sobre la base y el exponente se llama exponenciación.
La suma\resta es una operación matemática de la primera etapa, la multiplicación\división es una acción de la segunda etapa, elevar una potencia es una acción matemática de la tercera etapa, es decir, una de las más altas.
Esta jerarquía de operaciones matemáticas determina el orden en el cálculo. Si esta acción ocurre en tareas entre las dos anteriores, entonces se realiza primero.
Por ejemplo:
15 + 6 *2 2 = 39
En este ejemplo, primero debes elevar 2 a la potencia, es decir,
luego multiplica el resultado por 6, es decir
Un grado con exponente natural se utiliza no sólo para cálculos específicos, sino también para facilitar el registro. números grandes. En este caso también se utiliza el concepto. "forma estándar de número". Esta notación implica multiplicar un determinado número del 1 al 9 por una potencia igual a 10 con algún exponente.
Por ejemplo, para registrar el radio de la Tierra en forma estándar, utilice la siguiente notación:
6400000 m = 6,4 * 10 6 m,
y la masa de la Tierra, por ejemplo, se escribe de la siguiente manera:
Propiedades del grado
Para facilitar la resolución de ejemplos con grados, es necesario conocer sus propiedades básicas:
1. Si necesitas multiplicar dos potencias que tienen la misma base, entonces en este caso la base debe dejarse sin cambios y los exponentes deben sumarse.
un norte * un metro = un n+m
Por ejemplo:
5 2 * 5 4 = 5 6 .
2. Si es necesario dividir dos grados que tienen las mismas bases, entonces en este caso se debe dejar la base sin cambios y restar los exponentes. Tenga en cuenta que para operaciones con potencias con exponente natural, el exponente del dividendo debe ser mayor que el exponente del divisor. En caso contrario, el cociente de esta acción será un número con exponente negativo.
a n / a m = a n-m
Por ejemplo,
5 4 * 5 2 = 5 2 .
3. Si es necesario elevar una potencia a otra, el mismo número sigue siendo la base del resultado y se multiplican los exponentes.
(un norte) m = un Nuevo Méjico
Por ejemplo,
4. Si es necesario elevar el producto de números arbitrarios a una determinada potencia, entonces se puede utilizar una determinada ley distributiva, según la cual obtenemos el producto de diferentes bases a la misma potencia.
(a * b) m = a m * b m
Por ejemplo,
(5 * 8) 2 = 5 2 * 8 2 .
5. Se puede utilizar una propiedad similar para dividir potencias, en otras palabras, para elevar un doble ordinario a una potencia.
(a/b) m = a m/b metro
6. Cualquier número elevado a un exponente igual a uno es igual al número original.
un 1 = un
Por ejemplo,
7. Al elevar cualquier número a una potencia con exponente cero, el resultado de este cálculo siempre será uno.
y 0 = 1
Por ejemplo,
| | |
Una vez determinada la potencia de un número, es lógico hablar de propiedades de grado. En este artículo daremos las propiedades básicas de la potencia de un número, abordando todos los exponentes posibles. Aquí proporcionaremos pruebas de todas las propiedades de los grados y también mostraremos cómo se utilizan estas propiedades al resolver ejemplos.
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Propiedades de los grados con exponentes naturales.
Por definición de potencia con exponente natural, la potencia an es el producto de n factores, cada uno de los cuales es igual a a. A partir de esta definición y utilizando también propiedades de la multiplicación de números reales, podemos obtener y justificar lo siguiente propiedades de grado con exponente natural:
- la propiedad principal del grado a m ·a n =a m+n, su generalización;
- propiedad de potencias cocientes con bases idénticas a m:a n =a m−n ;
- propiedad de potencia del producto (a·b) n =a n ·b n , su extensión;
- propiedad del cociente al grado natural (a:b) n =a n:b n ;
- elevando un grado a una potencia (a m) n =a m·n, su generalización (((a n 1) n 2) …) n k =a n 1 ·n 2 ·…·n k;
- comparación de grado con cero:
- si a>0, entonces a n>0 para cualquier número natural n;
- si a=0, entonces an =0;
- si un<0 и показатель степени является четным числом 2·m , то a 2·m >0 si un<0 и показатель степени есть нечетное число 2·m−1 , то a 2·m−1 <0 ;
- si a y b son números positivos y a
- si m y n son números naturales tales que m>n, entonces en 0
- si m y n son números naturales tales que m>n, entonces en 0
Notemos inmediatamente que todas las igualdades escritas son idéntico Sujeto a las condiciones especificadas, tanto la parte derecha como la izquierda se pueden intercambiar. Por ejemplo, la propiedad principal de la fracción a m ·a n =a m+n con simplificando expresiones a menudo se usa en la forma a m+n =a m ·a n .
Ahora veamos cada uno de ellos en detalle.
Empecemos por la propiedad del producto de dos potencias con las mismas bases, que se llama la propiedad principal del título: para cualquier número real a y cualquier número natural m y n, la igualdad a m ·a n =a m+n es verdadera.
Demostremos la propiedad principal del título. Según la definición de potencia con exponente natural, el producto de potencias con las mismas bases de la forma a m ·a n se puede escribir como producto. Debido a las propiedades de la multiplicación, la expresión resultante se puede escribir como 
, y este producto es una potencia del número a con exponente natural m+n, es decir, a m+n. Esto completa la prueba.
Pongamos un ejemplo que confirme la propiedad principal del título. Tomemos grados con las mismas bases 2 y potencias naturales 2 y 3, usando la propiedad básica de los grados podemos escribir la igualdad 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5. Comprobemos su validez calculando los valores de las expresiones 2 2 · 2 3 y 2 5 . Realizando la exponenciación tenemos 2 2 ·2 3 =(2·2)·(2·2·2)=4·8=32 y 2 5 =2·2·2·2·2=32, al obtener valores iguales, entonces la igualdad 2 2 ·2 3 =2 5 es correcta y confirma la propiedad principal del grado.
La propiedad básica de un grado, basada en las propiedades de la multiplicación, se puede generalizar al producto de tres o más potencias con las mismas bases y exponentes naturales. Entonces, para cualquier número k de números naturales n 1, n 2,…, n k la siguiente igualdad es verdadera: un 1 ·un 2 ·…·un k =un 1 +n 2 +…+n k.
Por ejemplo, (2,1) 3 ·(2,1) 3 ·(2,1) 4 ·(2,1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .
Podemos pasar a la siguiente propiedad de las potencias con exponente natural: propiedad de potencias cocientes con las mismas bases: para cualquier número real distinto de cero a y números naturales arbitrarios m y n que satisfagan la condición m>n, la igualdad a m:a n =a m−n es verdadera.
Antes de presentar la prueba de esta propiedad, analicemos el significado de las condiciones adicionales en la formulación. La condición a≠0 es necesaria para evitar la división por cero, ya que 0 n =0, y cuando nos familiarizamos con la división, estuvimos de acuerdo en que no podemos dividir por cero. La condición m>n se introduce para que no vayamos más allá de los exponentes naturales. De hecho, para m>n el exponente a m−n es un número natural; de lo contrario, será cero (lo que ocurre para m−n) o un número negativo (lo que ocurre para m Prueba. La propiedad principal de una fracción nos permite escribir la igualdad. a m−n ·a n =a (m−n)+n =a m. De la igualdad resultante a m−n ·a n =a m y se deduce que a m−n es un cociente de las potencias a m y a n . Esto prueba la propiedad de potencias cocientes con bases idénticas. Pongamos un ejemplo. Tomemos dos grados con las mismas bases π y exponentes naturales 5 y 2, la igualdad π 5:π 2 =π 5−3 =π 3 corresponde a la propiedad considerada del grado. Ahora consideremos propiedad de potencia del producto: la potencia natural n del producto de dos números reales cualesquiera a y b es igual al producto de las potencias a n y b n , es decir, (a·b) n =a n ·b n . De hecho, por la definición de un grado con exponente natural tenemos He aquí un ejemplo: Esta propiedad se extiende a la potencia del producto de tres o más factores. Es decir, la propiedad de grado natural n del producto de k factores se escribe como (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n. Para mayor claridad, mostraremos esta propiedad con un ejemplo. Para el producto de tres factores elevado a 7 tenemos . La siguiente propiedad es propiedad de un cociente en especie: el cociente de los números reales a y b, b≠0 elevado a la potencia natural n es igual al cociente de las potencias a n y b n, es decir, (a:b) n =a n:b n. La prueba se puede realizar utilizando la propiedad anterior. Entonces (a:b) n b n =((a:b) b) n =a n, y de la igualdad (a:b) n ·b n =a n se sigue que (a:b) n es el cociente de an dividido por b n . Escribamos esta propiedad usando números específicos como ejemplo: Ahora vamos a expresarlo propiedad de elevar una potencia a una potencia: para cualquier número real a y cualquier número natural m y n, la potencia de a m elevada a n es igual a la potencia del número a con exponente m·n, es decir, (a m) n =a m·n. Por ejemplo, (5 2) 3 =5 2·3 =5 6. La prueba de la propiedad potencia-potencia es la siguiente cadena de igualdades: La propiedad considerada puede ampliarse de grado a grado, etc. Por ejemplo, para cualquier número natural p, q, r y s, la igualdad Queda por detenernos en las propiedades de comparar grados con un exponente natural. Comencemos demostrando la propiedad de comparar cero y potencia con un exponente natural. Primero, demostremos que a n >0 para cualquier a>0. El producto de dos números positivos es un número positivo, como se desprende de la definición de multiplicación. Este hecho y las propiedades de la multiplicación sugieren que el resultado de multiplicar cualquier número de números positivos también será un número positivo. Y la potencia de un número a con exponente natural n, por definición, es el producto de n factores, cada uno de los cuales es igual a a. Estos argumentos nos permiten afirmar que para cualquier base a positiva, el grado a n es un número positivo. Debido a la propiedad probada 3 5 >0, (0.00201) 2 >0 y Es bastante obvio que para cualquier número natural n con a=0 el grado de an es cero. De hecho, 0 n =0·0·…·0=0 . Por ejemplo, 0 3 =0 y 0 762 =0. Pasemos a bases de grado negativas. Comencemos con el caso en el que el exponente es un número par, denotémoslo como 2·m, donde m es un número natural. Entonces Finalmente, cuando la base a es un número negativo y el exponente es un número impar 2 m−1, entonces Pasemos a la propiedad de comparar potencias con los mismos exponentes naturales, que tiene la siguiente formulación: de dos potencias con los mismos exponentes naturales, n es menor que aquella cuya base es menor, y mayor es aquella cuya base es mayor . Demostrémoslo. Desigualdad propiedades de las desigualdades una desigualdad demostrable de la forma an también es cierta . Queda por demostrar la última de las propiedades enumeradas de potencias con exponentes naturales. Formulémoslo. De dos potencias con exponentes naturales y bases positivas idénticas menores que uno, es mayor aquella cuyo exponente es menor; y de dos potencias con exponentes naturales y bases idénticas mayores que uno, es mayor aquel cuyo exponente es mayor. Procedamos a la prueba de esta propiedad. Demostremos que para m>n y 0 Falta acreditar la segunda parte de la propiedad. Demostremos que para m>n y a>1 a m >a n es cierto. La diferencia a m −a n después de sacar a n de los corchetes toma la forma a n ·(a m−n −1) . Este producto es positivo, ya que para a>1 el grado a n es un número positivo, y la diferencia a m−n −1 es un número positivo, ya que m−n>0 debido a la condición inicial, y para a>1 el grado un m−n es mayor que uno. En consecuencia, a m −a n >0 y a m >a n , que es lo que había que demostrar. Esta propiedad se ilustra con la desigualdad 3 7 >3 2.
. Según las propiedades de la multiplicación, el último producto se puede reescribir como 
, que es igual a a n · b n .
.
.
.
. Para mayor claridad, aquí hay un ejemplo con números específicos: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10
.
.
. Pues cada uno de los productos de la forma a·a es igual al producto de los módulos de los números a y a, lo que significa que es un número positivo. Por tanto, el producto también será positivo. 
y grado a 2·m. Pongamos ejemplos: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 y .
. Todos los productos a·a son números positivos, el producto de estos números positivos también es positivo, y su multiplicación por el número negativo restante a da como resultado un número negativo. Debido a esta propiedad (−5) 3<0
, (−0,003) 17 <0
и 
.
Propiedades de potencias con exponentes enteros
Dado que los números enteros positivos son números naturales, entonces todas las propiedades de las potencias con exponentes enteros positivos coinciden exactamente con las propiedades de las potencias con exponentes naturales enumeradas y demostradas en el párrafo anterior.
Definimos un grado con exponente entero negativo, así como un grado con exponente cero, de tal manera que todas las propiedades de los grados con exponentes naturales, expresadas por igualdades, siguieran siendo válidas. Por tanto, todas estas propiedades son válidas tanto para exponentes cero como para exponentes negativos, mientras que, por supuesto, las bases de las potencias son distintas de cero.
Entonces, para cualquier número real y distinto de cero a y b, así como para cualquier número entero myn, se cumple lo siguiente: propiedades de potencias con exponentes enteros:
- a m ·a n =a m+n ;
- un metro:un =un metro−n ;
- (a·b) n =a n ·b n ;
- (a:b) n =a n:b n ;
- (a m) n =a m·n ;
- si n es un entero positivo, a y b son números positivos y a b-norte;
- si m y n son números enteros y m>n, entonces en 0
Cuando a=0, las potencias a m y a n tienen sentido sólo cuando m y n son números enteros positivos, es decir, números naturales. Por tanto, las propiedades que acabamos de escribir también son válidas para los casos en los que a=0 y los números myn son enteros positivos.
Demostrar cada una de estas propiedades no es difícil; para ello basta con utilizar las definiciones de grados con exponentes naturales y enteros, así como las propiedades de las operaciones con números reales. Como ejemplo, demostremos que la propiedad potencia-potencia es válida tanto para números enteros positivos como para números enteros no positivos. Para hacer esto, necesitas demostrar que si p es cero o un número natural y q es cero o un número natural, entonces las igualdades (a p) q =a p·q, (a −p) q =a (−p) ·q, (a p ) −q =a p·(−q) y (a −p) −q =a (−p)·(−q). Vamos a hacerlo.
Para p y q positivos, la igualdad (a p) q =a p·q quedó demostrada en el párrafo anterior. Si p=0, entonces tenemos (a 0) q =1 q =1 y a 0·q =a 0 =1, de donde (a 0) q =a 0·q. De manera similar, si q=0, entonces (a p) 0 =1 y a p·0 =a 0 =1, de donde (a p) 0 =a p·0. Si ambos p=0 y q=0, entonces (a 0) 0 =1 0 =1 y a 0·0 =a 0 =1, de donde (a 0) 0 =a 0·0.
Ahora demostramos que (a −p) q =a (−p)·q . Por definición de una potencia con un exponente entero negativo, entonces 
. Por la propiedad de los cocientes a potencias tenemos 
. Dado que 1 p =1·1·…·1=1 y , entonces . La última expresión, por definición, es una potencia de la forma a −(p·q), que, debido a las reglas de la multiplicación, puede escribirse como a (−p)·q.
Asimismo 
.
Y 
.
Usando el mismo principio, puedes probar todas las demás propiedades de un grado con un exponente entero, escrito en forma de igualdades.
En la penúltima de las propiedades registradas, vale la pena detenerse en la prueba de la desigualdad a −n >b −n, que es válida para cualquier entero negativo −n y cualquier a y b positivos para los cuales se cumple la condición a. . Dado que por condición a 0. El producto a n · b n también es positivo como producto de números positivos a n y b n . Entonces la fracción resultante es positiva como el cociente de los números positivos b n −a n y a n ·b n . Por tanto, de donde a −n >b −n , que es lo que había que demostrar.
La última propiedad de potencias con exponentes enteros se demuestra de la misma manera que una propiedad similar de potencias con exponentes naturales.
Propiedades de potencias con exponentes racionales.
Definimos un grado con un exponente fraccionario extendiendo las propiedades de un grado con un exponente entero. En otras palabras, las potencias con exponentes fraccionarios tienen las mismas propiedades que las potencias con exponentes enteros. A saber:
La prueba de las propiedades de los grados con exponentes fraccionarios se basa en la definición de un grado con exponente fraccionario y en las propiedades de un grado con exponente entero. Aportemos pruebas.
Por definición de una potencia con exponente fraccionario y , entonces 
. Las propiedades de la raíz aritmética nos permiten escribir las siguientes igualdades. Además, utilizando la propiedad de un grado con exponente entero, obtenemos , de donde, por definición de grado con exponente fraccionario, tenemos 
, y el indicador del título obtenido se puede transformar de la siguiente manera: . Esto completa la prueba.
La segunda propiedad de las potencias con exponentes fraccionarios se demuestra de forma absolutamente similar: 
Las igualdades restantes se prueban utilizando principios similares: 
Pasemos a demostrar la siguiente propiedad. Demostremos que para cualquier a y b positivos, a bp. Escribamos el número racional p como m/n, donde m es un número entero y n es un número natural. Condiciones p<0 и p>0 en este caso las condiciones m<0 и m>0 en consecuencia. Para m>0 y a
De manera similar, para m<0 имеем a m >b m , de donde, es decir, y a p >b p .
Queda por probar la última de las propiedades enumeradas. Demostremos que para números racionales p y q, p>q en 0 
Y 
. Y la definición de un grado con exponente racional nos permite pasar a las desigualdades y, en consecuencia. De aquí sacamos la conclusión final: para p>q y 0
Propiedades de potencias con exponentes irracionales
De la forma en que se define un grado con exponente irracional, podemos concluir que tiene todas las propiedades de los grados con exponentes racionales. Entonces, para cualquier a>0, b>0 y números irracionales p y q lo siguiente es cierto propiedades de potencias con exponentes irracionales:
- a p ·a q =a p+q ;
- a p:a q =a p−q ;
- (a·b) p =a p ·b p ;
- (a:b) p =a p:b p ;
- (a p) q =a p·q ;
- para cualquier número positivo a y b, a 0 la desigualdad a p bp;
- para números irracionales p y q, p>q en 0
De esto podemos concluir que las potencias con exponentes reales p y q para a>0 tienen las mismas propiedades.
Bibliografía.
- Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Libro de texto de matemáticas para 5to grado. Instituciones educacionales.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Álgebra: libro de texto para 7mo grado. Instituciones educacionales.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Álgebra: libro de texto para octavo grado. Instituciones educacionales.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Álgebra: libro de texto para noveno grado. Instituciones educacionales.
- Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. y otros Álgebra y los inicios del análisis: Libro de texto para los grados 10 - 11 de instituciones de educación general.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matemáticas (un manual para quienes ingresan a las escuelas técnicas).
En este artículo descubriremos qué es. grado de. Aquí daremos definiciones de la potencia de un número, mientras consideraremos en detalle todos los exponentes posibles, comenzando con el exponente natural y terminando con el irracional. En el material encontrarás muchos ejemplos de títulos, cubriendo todas las sutilezas que surjan.
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Potencia con exponente natural, cuadrado de un número, cubo de un número.
Empecemos con . De cara al futuro, digamos que la definición de la potencia de un número a con exponente natural n está dada para a, al que llamaremos base de grado, y n, que llamaremos exponente. También observamos que un grado con un exponente natural se determina a través de un producto, por lo que para comprender el material a continuación es necesario tener conocimientos de multiplicación de números.
Definición.
Potencia de un número con exponente natural n es una expresión de la forma a n, cuyo valor es igual al producto de n factores, cada uno de los cuales es igual a a, es decir, .
En particular, la potencia de un número a con exponente 1 es el número a mismo, es decir, a 1 =a.
Vale la pena mencionar de inmediato las reglas para leer títulos. La forma universal de leer la notación an es: “a elevado a n”. En algunos casos, las siguientes opciones también son aceptables: “a a la enésima potencia” y “enésima potencia de a”. Por ejemplo, tomemos la potencia 8 12, esto es “ocho elevado a doce”, u “ocho elevado a la duodécima”, o “duodécima potencia de ocho”.
La segunda potencia de un número, así como la tercera potencia de un número, tienen sus propios nombres. La segunda potencia de un número se llama elevar al cuadrado el numero, por ejemplo, 7 2 se lee como “siete al cuadrado” o “el cuadrado del número siete”. La tercera potencia de un número se llama. números al cubo, por ejemplo, 5 3 se puede leer como “cinco al cubo” o se puede decir “cubo del número 5”.
es hora de traer ejemplos de grados con exponentes naturales. Comencemos con el grado 5 7, aquí 5 es la base del grado y 7 es el exponente. Pongamos otro ejemplo: 4,32 es la base y el número natural 9 es el exponente (4,32) 9.
Tenga en cuenta que en el último ejemplo, la base de la potencia 4,32 está escrita entre paréntesis: para evitar discrepancias, pondremos entre paréntesis todas las bases de la potencia que sean diferentes de los números naturales. Como ejemplo, damos los siguientes grados con exponentes naturales. 
, sus bases no son números naturales, por lo que se escriben entre paréntesis. Bueno, para mayor claridad, en este punto mostraremos la diferencia contenida en los registros de la forma (−2) 3 y −2 3. La expresión (−2) 3 es una potencia de −2 con exponente natural de 3, y la expresión −2 3 (se puede escribir como −(2 3) ) corresponde al número, el valor de la potencia 2 3 .
Tenga en cuenta que existe una notación para la potencia de un número a con un exponente n de la forma a^n. Además, si n es un número natural de varios valores, entonces el exponente se toma entre paréntesis. Por ejemplo, 4^9 es otra notación para la potencia de 4 9. Y aquí hay algunos ejemplos más de cómo escribir grados usando el símbolo “^”: 14^(21), (−2,1)^(155). En lo que sigue, usaremos principalmente notación de grados de la forma a n .
Uno de los problemas inversos de elevar a una potencia con exponente natural es el problema de encontrar la base de una potencia a partir de un valor conocido de la potencia y un exponente conocido. Esta tarea lleva a .
Se sabe que el conjunto de los números racionales está formado por números enteros y fracciones, y cada fracción se puede representar como una fracción ordinaria positiva o negativa. Definimos un grado con exponente entero en el párrafo anterior, por lo tanto, para completar la definición de un grado con exponente racional, necesitamos darle significado al grado del número a con exponente fraccionario m/n, donde m es un número entero y n es un número natural. Vamos a hacerlo.
Consideremos un grado con un exponente fraccionario de la forma . Para que la propiedad poder-poder siga siendo válida, la igualdad debe cumplirse 
. Si tomamos en cuenta la igualdad resultante y cómo determinamos , entonces es lógico aceptarla, siempre que dados m, n y a, la expresión tenga sentido.
Es fácil comprobar que para todas las propiedades de un grado con exponente entero son válidas (esto se hizo en la sección propiedades de un grado con exponente racional).
El razonamiento anterior nos permite hacer lo siguiente conclusión: si dados m, n y a la expresión tiene sentido, entonces la potencia de a con un exponente fraccionario m/n se llama raíz enésima de a elevado a m.
Esta afirmación nos acerca a la definición de grado con exponente fraccionario. Todo lo que queda es describir en qué m, n y a tiene sentido la expresión. Dependiendo de las restricciones impuestas a m, n y a, existen dos enfoques principales.
La forma más sencilla es imponer una restricción a a tomando a≥0 para m positivo y a>0 para m negativo (ya que para m≤0 el grado 0 de m no está definido). Luego obtenemos la siguiente definición de grado con exponente fraccionario.
Definición.
Potencia de un número positivo a con exponente fraccionario m/n, donde m es un número entero y n es número natural, se llama raíz enésima de un número a elevado a m, es decir, .
La potencia fraccionaria de cero también se determina con la única salvedad de que el indicador debe ser positivo.
Definición.
Potencia de cero con exponente positivo fraccionario m/n, donde m es un número entero positivo y n es un número natural, se define como 
.
Cuando el grado no está determinado, es decir, el grado del número cero con un exponente fraccionario negativo no tiene sentido.
Cabe señalar que con esta definición de grado con exponente fraccionario, hay una advertencia: para algunos a negativos y algunos m y n, la expresión tiene sentido, y descartamos estos casos introduciendo la condición a≥0. Por ejemplo, las entradas tienen sentido. 
o , y la definición dada anteriormente nos obliga a decir que las potencias con exponente fraccionario de la forma 
No tiene sentido, ya que la base no debe ser negativa.
Otro método para determinar un grado con un exponente fraccionario m/n es considerar por separado los exponentes pares e impares de la raíz. Este enfoque requiere una condición adicional: la potencia del número a, cuyo exponente es , se considera la potencia del número a, cuyo exponente es la fracción irreducible correspondiente (explicaremos la importancia de esta condición a continuación ). Es decir, si m/n es una fracción irreducible, entonces para cualquier número natural k el grado se reemplaza primero por .
Para n par y m positivo, la expresión tiene sentido para cualquier a no negativo (una raíz par de un número negativo no tiene sentido para m negativo, el número a aún debe ser diferente de cero (de lo contrario habrá división); por cero). Y para n impar y m positivo, el número a puede ser cualquiera (la raíz de un grado impar se define para cualquier número real), y para m negativo, el número a debe ser diferente de cero (para que no haya división entre cero).
El razonamiento anterior nos lleva a esta definición de grado con exponente fraccionario.
Definición.
Sea m/n una fracción irreducible, m un número entero y n un número natural. Para cualquier reducible fracción común grado se reemplaza por . La potencia de un número con un exponente fraccionario irreducible m/n es para
Expliquemos por qué un grado con un exponente fraccionario reducible se reemplaza primero por un grado con un exponente irreducible. Si simplemente definiéramos el grado como , y no hiciéramos reserva sobre la irreductibilidad de la fracción m/n, entonces nos enfrentaríamos a situaciones similares a la siguiente: dado que 6/10 = 3/5, entonces la igualdad debe cumplirse 
, Pero 
, A .