En este material examinaremos el concepto de números mixtos. Empecemos, como siempre, con una definición y pequeños ejemplos, luego explicaremos la conexión entre números mixtos y fracciones impropias. Después de eso, aprenderemos cómo separar correctamente la parte entera de una fracción y obtener como resultado un número entero.
Concepto de número mixto
Si tomamos la suma n + a b, donde el valor de n puede ser cualquier número natural y a b es una fracción ordinaria propia, entonces podemos escribir lo mismo sin usar un más: n a b. Tomemos números específicos para mayor claridad: por ejemplo, 28 + 5 7 es lo mismo que 28 5 7. Escribir una fracción junto a un número entero se llama número mixto.
Definición 1
Numero mixto representa un número que es igual a la suma del número natural n con la fracción ordinaria propia a b. En este caso, n es la parte entera del número y ab es su parte fraccionaria.
De la definición se desprende que cualquier número mixto es igual al que se obtiene sumando sus partes enteras y fraccionarias. Por tanto, se cumplirá la igualdad n a b = n + a b.
También se puede escribir como n + a b = n a b.
¿Cuáles son algunos ejemplos de números mixtos? Entonces, incluyen 5 1 8, mientras que cinco es su parte entera y un octavo es una fracción. Más ejemplos: 1 1 2, 234 34 53, 34000 6 25.
Escribimos anteriormente que la parte fraccionaria de un número mixto solo debe contener una fracción propia. A veces puedes encontrar entradas como 5 22 3, 75 7 2. No son números mixtos porque su parte fraccionaria es incorrecta. Deben entenderse como la suma de las partes enteras y fraccionarias. Estos números se pueden reducir a la forma estándar de escribir números mixtos separando la parte entera de la no fracción adecuada y sumándolo a 5 y 75 en estos ejemplos, respectivamente.
Los números de la forma 0 3 14 tampoco se mezclan. La primera parte de la condición no se cumple aquí: la parte completa debe estar representada únicamente número natural, pero cero no lo es.
Cómo se relacionan entre sí las fracciones impropias y los números mixtos
Esta conexión es más fácil de ver con un ejemplo específico.
Ejemplo 1
Cogemos una tarta entera y otras tres cuartas partes de lo mismo. Según las reglas de la suma, tenemos 1 + 3 4 pasteles en la mesa. Esta cantidad se puede expresar como un número mixto como 1 3 4 tortas. Si cogemos un bizcocho entero y además lo cortamos en cuatro partes iguales, entonces tendremos 7 4 bizcochos sobre la mesa. Obviamente, la cantidad no aumentó con el corte, y 1 3 4 = 7 4.
Nuestro ejemplo demuestra que cualquier número se puede representar como un número mixto. fracción impropia.
Volvamos a los 7 4 pasteles que quedan en la mesa. Volvamos a armar un pastel a partir de sus pedazos (1 + 3 4). Tendremos 1 3 4 nuevamente.
Respuesta: 7 4 = 1 3 4 .
Entendemos cómo convertir una fracción impropia a un número mixto. Si el numerador de una fracción impropia contiene un número que se puede dividir por el denominador sin resto, entonces podemos hacer esto y luego nuestra fracción impropia se convertirá en un número natural.
Ejemplo 2
Por ejemplo,
8 4 = 2, ya que 8: 4 = 2.
Cómo convertir un número mixto a una fracción impropia
Para resolver problemas con éxito, es útil poder realizar la acción inversa, es decir, hacer fracciones impropias a partir de números mixtos. En este párrafo veremos cómo hacer esto correctamente.
Para hacer esto, debe reproducir la siguiente secuencia de acciones:
1. Para empezar, imagine el número mixto disponible n a b como la suma de las partes entera y fraccionaria. Resulta n + a b
3. Después de esto, realizamos la acción ya familiar: sumamos dos fracciones ordinarias n 1 y a b. La fracción impropia resultante será igual al número mixto dado en la condición.
Veamos esta acción usando un ejemplo específico.
Ejemplo 3
Expresa 5 3 7 como una fracción impropia.
Solución
Realizamos los pasos del algoritmo anterior de forma secuencial. Nuestro número 5 3 7 es la suma de la parte entera y fraccionaria, es decir, 5 + 3 7. Ahora escribamos el cinco en la forma 5 1. Obtuvimos la suma 5 1 + 3 7.
El último paso es sumar fracciones con diferentes denominadores:
5 1 + 3 7 = 35 7 + 3 7 = 38 7
toda solución a forma corta se puede escribir como 5 3 7 = 5 + 3 7 = 5 1 + 3 7 = 35 7 + 3 7 = 38 7.
Respuesta: 5 3 7 = 38 7 .
Así, usando la cadena de acciones anterior, podemos convertir cualquier número mixto n a b en una fracción impropia. Tenemos la fórmula n a b = n b + a b, que usaremos para resolver problemas posteriores.
Ejemplo 4
Expresa 15 2 5 como una fracción impropia.
Solución
Tomemos la fórmula indicada y sustituyamos en ella los valores requeridos. Tenemos n = 15, a = 2, b = 5, por lo tanto, 15 2 5 = 15 5 + 2 5 = 77 5.
Respuesta: 15 2 5 = 77 5 .
Generalmente no incluimos una fracción impropia como respuesta final. Se acostumbra completar el cálculo y reemplazarlo con un número natural (dividiendo el numerador por el denominador) o con un número mixto. Como regla general, el primer método se usa cuando es posible dividir el numerador por el denominador sin resto, y el segundo método se usa cuando tal acción es imposible.
Cuando aislamos la parte entera de una fracción impropia, simplemente la reemplazamos con un número mixto igual.
Averigüemos exactamente cómo se hace esto.
Definición 2
Demos una prueba de esta afirmación.
Necesitamos explicar por qué q r b = a b . Para ello, se debe representar el número mixto q r b como una fracción impropia, siguiendo todos los pasos del algoritmo del párrafo anterior. Dado que es un cociente incompleto y r es el resto de dividir a por b, entonces la igualdad a = b · q + r debe ser válida.
Por lo tanto, q b + r b = a b entonces q r b = a b. Ésta es la prueba de nuestra afirmación. Resumamos:
Definición 3
Aislar la parte entera de una fracción impropia a b se realiza de esta forma:
1) divide a por b con resto y escribe el cociente incompleto q y el resto r por separado.
2) Escribimos los resultados en la forma q r b. Este es nuestro número mixto, igual a la fracción impropia original.
Ejemplo 5
Piensa en 107 4 como un número mixto.
Solución
Divide 104 entre 7 usando una columna:
Dividiendo el numerador a = 118 por el denominador b = 7 nos da el cociente parcial final q = 16 y el resto r = 6.
Como resultado, obtenemos que la fracción impropia 118 7 es igual al número mixto q r b = 16 6 7.
Respuesta: 118 7 = 16 6 7 .
Sólo tenemos que ver cómo sustituir una fracción impropia por un número natural (siempre que su numerador sea divisible por el denominador sin resto).
Para ello, recordemos qué conexión existe entre las fracciones ordinarias y la división. De esto podemos derivar las siguientes igualdades: a b = a: b = c. Resulta que la fracción impropia a b se puede reemplazar por un número natural c.
Ejemplo 6
Por ejemplo, si la respuesta resulta ser una fracción impropia 27 3, entonces podemos escribir 9 en su lugar, ya que 27 3 = 27: 3 = 9.
Respuesta: 27 3 = 9 .
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Instrucciones
Encuentra el numerador de la fracción resultante, que debe quedar después de separar la parte entera de ella. Para hacer esto, multiplica la parte entera calculada (20) por el denominador (23) y resta el resultado (20*23=460) del numerador de la fracción original (475). Esta operación también la puedes hacer mentalmente, en una columna o usando una calculadora (475-460=15).
Recopile los datos calculados en una entrada en forma de fracción mixta: primero escriba la parte completa (20), luego escriba la correcta con el numerador (15) y (23). Para el ejemplo utilizado como muestra, la transformación de una fracción impropia en propia (más precisamente, en mixta) se puede escribir de la siguiente manera: 475/23=20 15/23.
A menudo hay que dividir algo en partes, y aquellas partes en las que se divide el todo son fracciones. En matemáticas, existen varios tipos de fracciones: decimales (0,1; 2,5, etc.) y ordinarias (1/3; 5/9; 67/89, etc.). Son las fracciones ordinarias las que son propias e impropias.
Instrucciones
Común fracción se dice correcto si el número en su numerador es menos numero, situándose en el denominador. La reducción de fracciones se realiza para trabajar con el mínimo. números grandes.
Instrucciones
Para convertir un número mixto
Las reglas y técnicas matemáticas simples, si no se utilizan constantemente, se olvidan más rápidamente. Los términos desaparecen de la memoria aún más rápido.
Uno de estos acciones simples– convertir una fracción impropia en una fracción propia o, en otras palabras, mixta.
Fracción impropia
Una fracción impropia es aquella en la que el numerador (el número que está encima de la línea) es mayor o igual que el denominador (el número que está debajo de la línea). Esta fracción se obtiene sumando fracciones o multiplicando una fracción por un número entero. Según las reglas de las matemáticas, dicha fracción debe convertirse en una fracción propia.
fracción adecuada
Es lógico suponer que todas las demás fracciones se llaman propias. Una definición estricta es que una fracción cuyo numerador es menor que su denominador se llama propia. Una fracción que tiene una parte entera a veces se llama fracción mixta.
Convertir una fracción impropia en una fracción propia
- Primer caso: el numerador y el denominador son iguales entre sí. El resultado de convertir cualquier fracción de este tipo es uno. No importa si son tres tercios o ciento veinticinco ciento veinticinco. Esencialmente, dicha fracción denota la acción de dividir un número por sí mismo.
- Segundo caso: el numerador es mayor que el denominador. Aquí debes recordar el método de dividir números con resto.
Para hacer esto, necesita encontrar el número más cercano al valor del numerador, que es divisible por el denominador sin resto. Por ejemplo, tienes la fracción diecinueve tercios. El número más cercano que se puede dividir por tres es dieciocho. Son seis. Ahora resta el número resultante del numerador. Conseguimos uno. Este es el resto. Anota el resultado de la conversión: seis enteros y un tercio.
Pero antes de reducir la fracción a el tipo correcto, debe comprobar si se puede acortar.
Puedes reducir una fracción si el numerador y el denominador tienen un factor común. Es decir, un número por el que ambos son divisibles sin resto. Si hay varios de estos divisores, debes encontrar el más grande.
Por ejemplo, todos los números pares tienen un divisor común: dos. Y la fracción dieciséis doceavos tiene un divisor común más: cuatro. Este máximo divisor. Divide el numerador y el denominador entre cuatro. Resultado de la reducción: cuatro tercios. Ahora, como práctica, convierte esta fracción a una fracción propia.
Cada persona, al resolver problemas de matemáticas, a menudo se encuentra con problemas que involucran fracciones. Hay muchos de ellos, así que veremos diferentes variantes resolver los principales problemas de este tipo.
¿Qué son las fracciones?
El número superior de cualquier fracción se llama numerador y el número inferior es denominador. Una fracción ordinaria es el cociente de dos números, uno de estos números está en el numerador de la fracción y el segundo está en el denominador de la fracción. Los tipos de estas fracciones comunes se determinarán comparando el denominador y el numerador de la fracción.
Si el denominador de una fracción (número natural) es mayor que el numerador de la fracción (número natural), entonces la fracción se llama propia. A continuación se muestran algunos ejemplos: 19/7; 13/9; 31/152; 5/17.
Si el denominador de una fracción (número natural) es menor o igual que el numerador de la fracción (número natural), entonces la fracción se llama impropia. A continuación se muestran algunos ejemplos: 7/5; 19/3; 15/9; 231/63.
Cómo convertir una fracción impropia
Para convertir una fracción mixta en una fracción impropia, debes multiplicar la parte entera de la fracción por el denominador en la parte fraccionaria y sumar el numerador a este producto. Luego toma la cantidad como numerador y escribe el mismo denominador que antes. Aquí hay unos ejemplos:
- 4(3/11) = (4x11+3)/11 = (44+3)/11 = 47/11.
- 11(5/9) = (11x9+5)/9 = (99+5)/9 = 104/9.
Para convertir una fracción impropia en fracción propia, debes dividir el numerador de la fracción impropia por su denominador. Toma el número entero resultante como la parte entera de la fracción y toma el resto (por supuesto, si lo hay) como el numerador de la parte fraccionaria de la fracción propia, escribiendo el mismo denominador que antes. Aquí hay unos ejemplos:
- 150/13 = (143/13)+(7/13) = 11(7/13).
- 156/12 = (13x12)/12 = 13.
Para convertir una fracción impropia a decimal, es necesario averiguar si existe un factor que permita reducir el denominador de la parte fraccionaria de la fracción impropia a un número igual a diez (o una decena que se eleva a cualquier potencia (10, 100, 1000 y más). Si tal factor es así, entonces debes multiplicar el numerador y el denominador de la fracción impropia por este factor para verificarlo. Ahora se debe asignar el numerador multiplicado, separado. por una coma, a la parte entera de la fracción impropia Aquí hay ejemplos:
- Multiplicador “5” - 8/20 = (8x5)/(20x5) = 40/100 = 0,4.
- Multiplicador "4" - 14/25 = (14x4)/(25x4) = 56/100 = 0,56.
- Multiplicador "25" - 3/40 = (3x25)/(40x25) = 75/1000 = 0,075.
Si tal factor no existe, significa que esta fracción impropia en forma decimal no tiene un equivalente claro. Es decir, no todas las fracciones impropias se pueden convertir a decimales. En este caso, necesitas encontrar el valor aproximado de la fracción con el grado de precisión que requieres. Puede calcular dicha fracción en una calculadora, mentalmente o en una columna. A continuación se muestran ejemplos: 41/7 = 5(6/7) = 5,9 (redondeado a décimas), = 5,86 (redondeado a centésimas), = 5,857 (redondeado a milésimas); 3/7, 7/6, 1/3 y otros. Tampoco están claramente traducidos y se calculan en una calculadora, en el encabezado o en una columna.
¡Ahora ya sabes cómo convertir una fracción impropia en una fracción propia o decimal!
En este artículo hablaremos de Numeros mezclados. Primero, definamos números mixtos y demos ejemplos. A continuación, veamos la conexión entre números mixtos y fracciones impropias. Después de eso, te mostraremos cómo convertir un número mixto en una fracción impropia. Finalmente, estudiemos el proceso inverso, que se llama separar la parte entera de una fracción impropia.
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Números mixtos, definición, ejemplos.
Los matemáticos coincidieron en que la suma n+a/b, donde n es un número natural, a/b es una fracción propia, se puede escribir sin el signo de suma en la forma. Por ejemplo, la suma 28+5/7 se puede escribir brevemente como. Tal registro se llamó mixto, y el número que corresponde a este registro mixto se llamó número mixto.
Así llegamos a la definición de número mixto.
Definición.
Numero mixto- este es el número igual a la suma número natural n y el correcto fracción común a/b y escrito como . En este caso, el número n se llama parte entera del numero, y el número a/b se llama parte fraccionaria de un número.
Por definición, un número mixto es igual a la suma de sus partes entera y fraccionaria, es decir, es válida la igualdad, la cual se puede escribir así: .
vamos a dar ejemplos de números mixtos. Un número es un número mixto, el número natural 5 es la parte entera del número y la parte fraccionaria del número. Otros ejemplos de números mixtos son 
.
A veces puedes encontrar números en notación mixta, pero que tienen una fracción impropia como fracción, por ejemplo, o. Estos números se entienden como la suma de sus partes enteras y fraccionarias, por ejemplo, 
Y 
. Pero tales números no se ajustan a la definición de número mixto, ya que la parte fraccionaria de los números mixtos debe ser una fracción propia.
El número tampoco es un número mixto, ya que 0 no es un número natural.
La relación entre números mixtos y fracciones impropias.
Seguir conexión entre números mixtos y fracciones impropias mejor con ejemplos.
Deja que queden en la bandeja un bizcocho y otros 3/4 del mismo bizcocho. Es decir, según el significado de suma, hay 1+3/4 bizcochos en la bandeja. Habiendo anotado la última cantidad como un número mixto, afirmamos que hay un bizcocho en la bandeja. Ahora corta todo el bizcocho en 4 partes iguales. Como resultado, quedarán 7/4 del bizcocho en la bandeja. Está claro que la “cantidad” del pastel no ha cambiado, así que.
Del ejemplo considerado se desprende claramente la siguiente conexión: Cualquier número mixto se puede representar como una fracción impropia..
Ahora deja que queden 7/4 del bizcocho en la bandeja. Habiendo doblado un bizcocho entero en cuatro partes, quedará 1 + 3/4 en la bandeja, es decir, un bizcocho. De esto queda claro que.
De este ejemplo queda claro que Una fracción impropia se puede representar como un número mixto.. (En el caso especial, cuando el numerador de una fracción impropia se divide uniformemente por el denominador, la fracción impropia se puede representar como un número natural, por ejemplo, ya que 8:4 = 2).
Convertir un número mixto a una fracción impropia
Para realizar varias operaciones con números mixtos resulta habilidad útil Representación de números mixtos como fracciones impropias. En el párrafo anterior descubrimos que cualquier número mixto se puede convertir en una fracción impropia. Es hora de descubrir cómo se lleva a cabo dicha traducción.
Escribamos un algoritmo que muestre cómo convertir un número mixto a una fracción impropia:
Veamos un ejemplo de conversión de un número mixto a una fracción impropia.
Ejemplo.
Expresar un número mixto como una fracción impropia.
Solución.
Realicemos todos los pasos necesarios del algoritmo.
Un número mixto es igual a la suma de sus partes entera y fraccionaria: .
Habiendo escrito el número 5 como 5/1, la última suma tomará la forma .
Para terminar de convertir el número mixto original en una fracción impropia solo queda sumar fracciones con diferentes denominadores: 
.
Un breve resumen de toda la solución es: 
.
Respuesta:
Entonces, para convertir un número mixto en una fracción impropia, debes realizar la siguiente cadena de acciones: . Finalmente recibido 
, que usaremos más adelante.
Ejemplo.
Escribe el número mixto como una fracción impropia.
Solución.
Usemos la fórmula para convertir un número mixto en una fracción impropia. En este ejemplo n=15, a=2, b=5. De este modo, 
.
Respuesta:
Separar la parte entera de una fracción impropia
No es costumbre escribir una fracción impropia en la respuesta. La fracción impropia se reemplaza primero por un número natural igual (cuando el numerador es divisible por el denominador), o se realiza la llamada separación de la parte entera de la fracción impropia (cuando el numerador no es divisible por el denominador ).
Definición.
Separar la parte entera de una fracción impropia- Se trata de la sustitución de una fracción por un número mixto igual.
Queda por descubrir cómo se puede aislar la parte entera de una fracción impropia.
Es muy simple: la fracción impropia a/b es igual a un número mixto de la forma, donde q es el cociente parcial y r es el resto de a dividido por b. Es decir, la parte entera es igual al cociente incompleto de dividir a por b, y el resto es igual al numerador de la parte fraccionaria.
Probemos esta afirmación.
Para ello basta con demostrar que. Convertimos la mixta en fracción impropia como hicimos en el párrafo anterior: . Dado que q es un cociente incompleto y r es el resto de dividir a por b, entonces la igualdad a=b·q+r es verdadera (si es necesario, consulte