Raíces negativas de una ecuación cuadrática. Raíces de una ecuación cuadrática

NÚMEROS COMPLEJOS XI

§ 253. Extracción de raíces cuadradas de números negativos.
Resolver ecuaciones cuadráticas con discriminantes negativos.

Como la conocemos,

i 2 = - 1.

Al mismo tiempo

(- i ) 2 = (- 1 i ) 2 = (- 1) 2 i 2 = -1.

Por tanto, existen al menos dos valores de la raíz cuadrada de - 1, a saber i Y - i . ¿Pero tal vez haya otros números complejos cuyos cuadrados sean iguales a -1?

Para aclarar esta pregunta, supongamos que el cuadrado de un número complejo a +bi es igual a - 1. Entonces

(a +bi ) 2 = - 1,

A 2 + 2abi - b 2 = - 1

Dos números complejos son iguales si y sólo si sus partes reales y los coeficientes de sus partes imaginarias son iguales. Es por eso

{

A 2 - b 2 = - 1
ab = 0 (1)

Según la segunda ecuación del sistema (1), al menos uno de los números A Y b debe ser cero. Si b = 0, entonces de la primera ecuación obtenemos A 2 = - 1. Número A real y por lo tanto A 2 > 0. No un numero negativo A 2 no puede ser igual a un número negativo: 1. Por lo tanto, la igualdad b = 0 es imposible en este caso. Falta admitir que A = 0, pero luego de la primera ecuación del sistema obtenemos: - b 2 = - 1, b = ± 1.

Por lo tanto, los únicos números complejos cuyos cuadrados son -1 son i Y - i , Convencionalmente, esto se escribe en la forma:

√-1 = ± i .

Utilizando un razonamiento similar, los estudiantes pueden convencerse de que hay exactamente dos números cuyos cuadrados son iguales a un número negativo: A . Estos números son √ a i y -√ a i . Convencionalmente, se escribe así:

√- A = ± √ a i .

Bajo √ a aquí nos referimos a una raíz aritmética, es decir, positiva. Por ejemplo, √4 = 2, √9 =.3; Es por eso

√-4 = + 2i , √-9 = ± 3 i

Si antes, al considerar ecuaciones cuadráticas con discriminantes negativos, decíamos que tales ecuaciones no tienen raíces, ahora ya no podemos decir eso. Las ecuaciones cuadráticas con discriminantes negativos tienen raíces complejas. Estas raíces se obtienen según las fórmulas que conocemos. Sea, por ejemplo, dada la ecuación X 2 + 2X + 5 = 0; Entonces

X 1,2 = - 1 ± √1 -5 = - 1 ± √-4 = - 1 ± 2 i .

Entonces, esta ecuación tiene dos raíces: X 1 = - 1 +2i , X 2 = - 1 - 2i . Estas raíces son mutuamente conjugadas. Es interesante observar que su suma es - 2 y su producto es 5, por lo que se cumple el teorema de Vieta.

Ejercicios

2022. (Nº de conjunto) Resuelve las ecuaciones:

A) X 2 = -16; b) X 2 = - 2; a las 3 X 2 = - 5.

2023. Encuentra todos los números complejos cuyos cuadrados son iguales:

A) i ; segundo) 1/2 - √ 3/2 i ;

2024. Resolver ecuaciones cuadráticas:

A) X 2 - 2X + 2 = 0; segundo) 4 X 2 + 4X + 5 = 0; V) X 2 - 14X + 74 = 0.

Resolver sistemas de ecuaciones (No. 2025, 2026):

{

x+y = 6
xy = 45
{

2X- 3y = 1
xy = 1

2027. Demuestre que las raíces de una ecuación cuadrática con coeficientes reales y discriminante negativo son mutuamente conjugadas.

2028. Demuestre que el teorema de Vieta es verdadero para cualquier ecuación cuadrática, y no solo para ecuaciones con un discriminante no negativo.

2029. Componga una ecuación cuadrática con coeficientes reales, cuyas raíces sean:

a) X 1 = 5 - i , X 2 = 5 + i ; b) X 1 = 3i , X 2 = - 3i .

2030. Componga una ecuación cuadrática con coeficientes reales, una de cuyas raíces sea igual a (3 - i ) (2i - 4).

2031. Componga una ecuación cuadrática con coeficientes reales, una de cuyas raíces sea igual a 32 - i
1- 3i .

Las ecuaciones cuadráticas se estudian en octavo grado, por lo que aquí no hay nada complicado. La capacidad de resolverlos es absolutamente necesaria.

Una ecuación cuadrática es una ecuación de la forma ax 2 + bx + c = 0, donde los coeficientes a, byc son números arbitrarios y a ≠ 0.

Antes de estudiar métodos de solución específicos, tenga en cuenta que todas las ecuaciones cuadráticas se pueden dividir en tres clases:

  1. No tener raíces;
  2. Tener exactamente una raíz;
  3. Tienen dos raíces diferentes.

Esta es una diferencia importante entre ecuaciones cuadráticas y lineales, donde la raíz siempre existe y es única. ¿Cómo determinar cuántas raíces tiene una ecuación? Hay algo maravilloso para esto. discriminante.

discriminante

Sea la ecuación cuadrática ax 2 + bx + c = 0. Entonces el discriminante es simplemente el número D = b 2 − 4ac.

Necesitas saber esta fórmula de memoria. De dónde viene no es importante ahora. Otra cosa es importante: por el signo del discriminante se puede determinar cuántas raíces tiene una ecuación cuadrática. A saber:

  1. Si D< 0, корней нет;
  2. Si D = 0, hay exactamente una raíz;
  3. Si D > 0, habrá dos raíces.

Tenga en cuenta: el discriminante indica el número de raíces, y no sus signos, como por alguna razón mucha gente cree. Echa un vistazo a los ejemplos y lo entenderás todo tú mismo:

Tarea. ¿Cuántas raíces tienen las ecuaciones cuadráticas?

  1. x2 − 8x + 12 = 0;
  2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
  3. x2 − 6x + 9 = 0.

Escribamos los coeficientes de la primera ecuación y encontremos el discriminante:
a = 1, segundo = −8, c = 12;
re = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Entonces el discriminante es positivo, entonces la ecuación tiene dos raíces diferentes. Analizamos la segunda ecuación de manera similar:
a = 5; segundo = 3; c = 7;
re = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.

El discriminante es negativo, no hay raíces. La última ecuación que queda es:
a = 1; segundo = −6; c = 9;
re = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

El discriminante es cero; la raíz será uno.

Tenga en cuenta que los coeficientes se han anotado para cada ecuación. Sí, es largo, sí, es tedioso, pero no mezclarás las probabilidades ni cometerás errores estúpidos. Elija usted mismo: velocidad o calidad.

Por cierto, si lo dominas, después de un tiempo no necesitarás anotar todos los coeficientes. Realizarás tales operaciones en tu cabeza. La mayoría de la gente empieza a hacer esto después de 50-70 ecuaciones resueltas; en general, no tanto.

Raíces de una ecuación cuadrática

Pasemos ahora a la solución en sí. Si el discriminante D > 0, las raíces se pueden encontrar usando las fórmulas:

Fórmula básica para las raíces de una ecuación cuadrática.

Cuando D = 0, puedes usar cualquiera de estas fórmulas; obtendrás el mismo número, que será la respuesta. Finalmente, si D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

  1. x 2 − 2x − 3 = 0;
  2. 15 − 2x − x 2 = 0;
  3. x2 + 12x + 36 = 0.

Primera ecuación:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; segundo = −2; c = −3;
re = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ la ecuación tiene dos raíces. Encontrémoslos:

Segunda ecuación:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; segundo = −2; c = 15;
re = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ la ecuación nuevamente tiene dos raíces. vamos a encontrarlos

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(alinear)\]

Finalmente, la tercera ecuación:
x2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
re = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ la ecuación tiene una raíz. Se puede utilizar cualquier fórmula. Por ejemplo, el primero:

Como puedes ver en los ejemplos, todo es muy sencillo. Si conoces las fórmulas y sabes contar, no habrá problemas. La mayoría de las veces, se producen errores al sustituir coeficientes negativos en la fórmula. Una vez más, la técnica descrita anteriormente le ayudará: mire la fórmula literalmente, escriba cada paso y muy pronto se librará de los errores.

Ecuaciones cuadráticas incompletas

Sucede que una ecuación cuadrática es ligeramente diferente de lo que se da en la definición. Por ejemplo:

  1. x2 + 9x = 0;
  2. x 2 − 16 = 0.

Es fácil notar que a estas ecuaciones les falta uno de los términos. Estas ecuaciones cuadráticas son incluso más fáciles de resolver que las estándar: ni siquiera requieren calcular el discriminante. Entonces, introduzcamos un nuevo concepto:

La ecuación ax 2 + bx + c = 0 se llama ecuación cuadrática incompleta si b = 0 o c = 0, es decir el coeficiente de la variable x o del elemento libre es igual a cero.

Por supuesto, es posible un caso muy difícil cuando ambos coeficientes son iguales a cero: b = c = 0. En este caso, la ecuación toma la forma ax 2 = 0. Obviamente, dicha ecuación tiene una única raíz: x = 0.

Consideremos los casos restantes. Sea b = 0, entonces obtenemos una ecuación cuadrática incompleta de la forma ax 2 + c = 0. Transformémosla un poco:

Dado que la raíz cuadrada aritmética sólo existe para un número no negativo, la última igualdad tiene sentido sólo para (−c /a) ≥ 0. Conclusión:

  1. Si en una ecuación cuadrática incompleta de la forma ax 2 + c = 0 se satisface la desigualdad (−c /a) ≥ 0, habrá dos raíces. La fórmula se da arriba;
  2. Si (−c/a)< 0, корней нет.

Como puede ver, no se requería un discriminante: no hay ningún cálculo complejo en ecuaciones cuadráticas incompletas. De hecho, ni siquiera es necesario recordar la desigualdad (−c /a) ≥ 0. Basta expresar el valor x 2 y ver qué hay al otro lado del signo igual. Si hay un número positivo, habrá dos raíces. Si es negativo, no habrá raíces en absoluto.

Ahora veamos ecuaciones de la forma ax 2 + bx = 0, en las que el elemento libre es igual a cero. Aquí todo es sencillo: siempre habrá dos raíces. Basta factorizar el polinomio:

Sacando el factor común de paréntesis

El producto es cero cuando al menos uno de los factores es cero. De aquí vienen las raíces. En conclusión, veamos algunas de estas ecuaciones:

Tarea. Resolver ecuaciones cuadráticas:

  1. x2 − 7x = 0;
  2. 5x 2 + 30 = 0;
  3. 4x 2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. No hay raíces, porque un cuadrado no puede ser igual a un número negativo.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x2 = −1,5.

Más de una manera sencilla. Para hacer esto, elimine z entre paréntesis. Obtendrás: z(аz + b) = 0. Los factores se pueden escribir: z=0 y az + b = 0, ya que ambos pueden resultar en cero. En la notación az + b = 0, movemos el segundo hacia la derecha con diferente signo. De aquí obtenemos z1 = 0 y z2 = -b/a. Éstas son las raíces del original.

Si hay ecuación incompleta de la forma az² + с = 0, en este caso se encuentran simplemente moviendo el término libre al lado derecho de la ecuación. También cambia su signo. El resultado será az² = -с. Exprese z² = -c/a. Saca la raíz y escribe dos soluciones: una raíz cuadrada positiva y otra negativa.

nota

Si hay coeficientes fraccionarios en la ecuación, multiplica la ecuación completa por el factor apropiado para eliminar las fracciones.

El conocimiento de cómo resolver ecuaciones cuadráticas es necesario tanto para los escolares como para los estudiantes, a veces esto también puede ayudar a un adulto; vida ordinaria. Existen varios métodos de solución específicos.

Resolver ecuaciones cuadráticas

Ecuación cuadrática de la forma a*x^2+b*x+c=0. El coeficiente x es la variable deseada, a, b, c son coeficientes numéricos. Recuerde que el signo “+” puede cambiar a un signo “-”.

Para resolver esta ecuación es necesario utilizar el teorema de Vieta o encontrar el discriminante. El método más común es encontrar el discriminante, ya que para algunos valores de a, b, c no es posible utilizar el teorema de Vieta.

Para encontrar el discriminante (D), necesitas escribir la fórmula D=b^2 - 4*a*c. El valor D puede ser mayor, menor o igual a cero. Si D es mayor o menor que cero, entonces habrá dos raíces, si D = 0, entonces solo queda una raíz más precisamente, podemos decir que D en este caso tiene dos raíces equivalentes; Sustituya los coeficientes conocidos a, b, c en la fórmula y calcule el valor.

Una vez que haya encontrado el discriminante, use las fórmulas para encontrar x: x(1) = (- b+sqrt(D))/2*a; x(2) = (- b-sqrt(D))/2*a donde sqrt es una función que significa extraer raíz cuadrada de este número. Después de calcular estas expresiones, encontrarás dos raíces de tu ecuación, después de lo cual la ecuación se considerará resuelta.

Si D es menor que cero, entonces todavía tiene raíces. Esta sección prácticamente no se estudia en la escuela. Los estudiantes universitarios deben tener en cuenta que debajo de la raíz aparece un número negativo. Se deshacen de él resaltando la parte imaginaria, es decir, -1 bajo la raíz siempre es igual al elemento imaginario “i”, que se multiplica por la raíz con el mismo numero positivo. Por ejemplo, si D=sqrt(-20), después de la transformación obtenemos D=sqrt(20)*i. Después de esta transformación, la resolución de la ecuación se reduce al mismo hallazgo de raíces descrito anteriormente.

El teorema de Vieta consiste en seleccionar los valores de x(1) y x(2). Se utilizan dos ecuaciones idénticas: x(1) + x(2)= -b; x(1)*x(2)=с. Y muy punto importante es el signo delante del coeficiente b, recuerda que este signo es opuesto al de la ecuación. A primera vista, parece que calcular x(1) y x(2) es muy sencillo, pero a la hora de resolver te encontrarás con el hecho de que tendrás que seleccionar los números.

Elementos para resolver ecuaciones cuadráticas.

De acuerdo con las reglas de las matemáticas, algunas se pueden factorizar: (a+x(1))*(b-x(2))=0, si lograste transformar esta ecuación cuadrática de manera similar usando fórmulas matemáticas, entonces siéntete libre de escribe la respuesta. x(1) y x(2) serán iguales a los coeficientes adyacentes entre paréntesis, pero con signo opuesto.

Además, no te olvides de las ecuaciones cuadráticas incompletas. Es posible que le falten algunos de los términos; de ser así, entonces todos sus coeficientes son simplemente iguales a cero. Si no hay nada delante de x^2 o x, entonces los coeficientes a y b son iguales a 1.

Entre todo el plan de estudios de álgebra escolar, uno de los temas más extensos es el tema de las ecuaciones cuadráticas. En este caso, se entiende por ecuación cuadrática una ecuación de la forma ax 2 + bx + c = 0, donde a ≠ 0 (léase: a multiplicado por x al cuadrado más be x más ce es igual a cero, donde a no es igual a cero). En este caso, el lugar principal lo ocupan las fórmulas para encontrar el discriminante de una ecuación cuadrática. tipo especificado, que se entiende como una expresión que permite determinar la presencia o ausencia de raíces en una ecuación cuadrática, así como su número (si lo hubiera).

Fórmula (ecuación) del discriminante de una ecuación cuadrática

La fórmula generalmente aceptada para el discriminante de una ecuación cuadrática es la siguiente: D = b 2 – 4ac. Al calcular el discriminante usando la fórmula especificada, no solo puede determinar la presencia y el número de raíces de una ecuación cuadrática, sino también elegir un método para encontrar estas raíces, de las cuales hay varias según el tipo de ecuación cuadrática.

¿Qué significa si el discriminante es cero? \ Fórmula para las raíces de una ecuación cuadrática si el discriminante es cero.

El discriminante, como se desprende de la fórmula, se denota con la letra latina D. En el caso de que el discriminante sea igual a cero, se debe concluir que una ecuación cuadrática de la forma ax 2 + bx + c = 0, donde a ≠ 0, tiene una sola raíz, que se calcula mediante una fórmula simplificada. Esta fórmula se aplica sólo cuando el discriminante es cero y se ve así: x = –b/2a, donde x es la raíz de la ecuación cuadrática, b y a son las variables correspondientes de la ecuación cuadrática. Para encontrar la raíz de una ecuación cuadrática, debes dividir el valor negativo de la variable b por el doble del valor de la variable a. La expresión resultante será la solución de una ecuación cuadrática.

Resolver una ecuación cuadrática usando un discriminante

Si al calcular el discriminante usando la fórmula anterior se obtiene un valor positivo (D es mayor que cero), entonces la ecuación cuadrática tiene dos raíces, las cuales se calculan usando las siguientes fórmulas: x 1 = (–b + vD)/ 2a, x 2 = (–b – vD) /2a. La mayoría de las veces, el discriminante no se calcula por separado, sino que la expresión radical en forma de fórmula discriminante simplemente se sustituye en el valor D del que se extrae la raíz. Si la variable b tiene un valor par, entonces para calcular las raíces de una ecuación cuadrática de la forma ax 2 + bx + c = 0, donde a ≠ 0, también puedes usar las siguientes fórmulas: x 1 = (–k + v(k2 – ac))/a , x 2 = (–k + v(k2 – ac))/a, donde k = b/2.

En algunos casos, para resolver prácticamente ecuaciones cuadráticas, se puede utilizar el Teorema de Vieta, que establece que para la suma de las raíces de una ecuación cuadrática de la forma x 2 + px + q = 0 el valor x 1 + x 2 = –p será cierto, y para el producto de las raíces de la ecuación especificada – expresión x 1 x x 2 = q.

¿Puede el discriminante ser menor que cero?

Al calcular el valor discriminante, puede encontrarse con una situación que no se incluye en ninguno de los casos descritos: cuando el discriminante tiene un valor negativo (es decir, menor que cero). En este caso, generalmente se acepta que una ecuación cuadrática de la forma ax 2 + bx + c = 0, donde a ≠ 0, no tiene raíces reales, por lo tanto, su solución se limitará a calcular el discriminante, y las fórmulas anteriores para las raíces de una ecuación cuadrática no se aplicarán, en este caso las habrá. Al mismo tiempo, en la respuesta a la ecuación cuadrática está escrito que "la ecuación no tiene raíces reales".

Vídeo explicativo:

Los problemas de ecuaciones cuadráticas también se estudian en currículum escolar y en las universidades. Se refieren a ecuaciones de la forma a*x^2 + b*x + c = 0, donde X- variable, a, b, c – constantes; a<>0. La tarea es encontrar las raíces de la ecuación.

Significado geométrico de la ecuación cuadrática

La gráfica de una función que está representada por una ecuación cuadrática es una parábola. Las soluciones (raíces) de una ecuación cuadrática son los puntos de intersección de la parábola con el eje de abscisas (x). De ello se deduce que hay tres casos posibles:
1) la parábola no tiene puntos de intersección con el eje de abscisas. Esto quiere decir que está en el plano superior con ramas hacia arriba o en el inferior con ramas hacia abajo. En tales casos, la ecuación cuadrática no tiene raíces reales (tiene dos raíces complejas).

2) la parábola tiene un punto de intersección con el eje Ox. Tal punto se llama vértice de la parábola y la ecuación cuadrática en él adquiere su valor mínimo o máximo. En este caso, la ecuación cuadrática tiene una raíz real (o dos raíces idénticas).

3) El último caso es más interesante en la práctica: hay dos puntos de intersección de la parábola con el eje de abscisas. Esto significa que hay dos raíces reales de la ecuación.

A partir del análisis de los coeficientes de las potencias de las variables, se pueden sacar conclusiones interesantes sobre la ubicación de la parábola.

1) Si el coeficiente a es mayor que cero, entonces las ramas de la parábola se dirigen hacia arriba, si es negativo, entonces las ramas de la parábola se dirigen hacia abajo.

2) Si el coeficiente b es mayor que cero, entonces el vértice de la parábola se encuentra en el semiplano izquierdo, si toma un valor negativo, entonces en el derecho.

Derivación de la fórmula para resolver una ecuación cuadrática.

Transfiramos la constante de la ecuación cuadrática.

para el signo igual, obtenemos la expresión

Multiplica ambos lados por 4a

para quedar a la izquierda cuadrado perfecto suma b^2 a ambos lados y realiza la transformación

Desde aquí encontramos

Fórmula para el discriminante y raíces de una ecuación cuadrática.

El discriminante es el valor de la expresión radical. Si es positivo, entonces la ecuación tiene dos raíces reales, calculadas mediante la fórmula. Cuando el discriminante es cero, la ecuación cuadrática tiene una solución (dos raíces coincidentes), que se puede obtener fácilmente a partir de la fórmula anterior para D=0. discriminante negativo no existen ecuaciones de raíces reales. Sin embargo, las soluciones de la ecuación cuadrática se encuentran en el plano complejo y su valor se calcula mediante la fórmula

teorema de vieta

Consideremos dos raíces de una ecuación cuadrática y construyamos una ecuación cuadrática sobre su base. El teorema de Vieta se desprende fácilmente de la notación: si tenemos una ecuación cuadrática de la forma. entonces la suma de sus raíces es igual al coeficiente p tomado con el signo opuesto, y el producto de las raíces de la ecuación es igual al término libre q. La representación formulada de lo anterior se verá así: Si en una ecuación clásica la constante a es distinta de cero, entonces es necesario dividir toda la ecuación por ella y luego aplicar el teorema de Vieta.

Programa de factorización de ecuaciones cuadráticas

Dejemos que la tarea esté planteada: factorizar una ecuación cuadrática. Para hacer esto, primero resolvemos la ecuación (encontramos las raíces). Luego, sustituimos las raíces encontradas en la fórmula de expansión de la ecuación cuadrática. Esto resolverá el problema.

Problemas de ecuaciones cuadráticas

Tarea 1. Encuentra las raíces de una ecuación cuadrática.

x^2-26x+120=0 .

Solución: escriba los coeficientes y sustitúyalos en la fórmula discriminante.

La raíz de este valor es 14, es fácil de encontrar con una calculadora o recordar con el uso frecuente; sin embargo, para mayor comodidad, al final del artículo le daré una lista de cuadrados de números que a menudo se pueden encontrar en tales problemas.
Sustituimos el valor encontrado en la fórmula raíz.

y obtenemos

Tarea 2. Resuelve la ecuación

2x 2 +x-3=0.

Solución: Tenemos una ecuación cuadrática completa, escribimos los coeficientes y encontramos el discriminante.


Usando fórmulas conocidas encontramos las raíces de la ecuación cuadrática.

Tarea 3. Resuelve la ecuación

9x 2-12x+4=0.

Solución: Tenemos una ecuación cuadrática completa. Determinando el discriminante

Tenemos un caso donde las raíces coinciden. Encuentra los valores de las raíces usando la fórmula.

Tarea 4. Resuelve la ecuación

x^2+x-6=0 .

Solución: En los casos en que existan coeficientes pequeños para x, es recomendable aplicar el teorema de Vieta. Por su condición obtenemos dos ecuaciones.

De la segunda condición encontramos que el producto debe ser igual a -6. Esto significa que una de las raíces es negativa. Tenemos el siguiente par posible de soluciones (-3;2), (3;-2). Teniendo en cuenta la primera condición, rechazamos el segundo par de soluciones.
Las raíces de la ecuación son iguales.

Problema 5. Encuentra las longitudes de los lados de un rectángulo si su perímetro es de 18 cm y su área es de 77 cm 2.

Solución: La mitad del perímetro de un rectángulo es igual a la suma de sus lados adyacentes. Denotemos x como el lado mayor, luego 18-x es su lado menor. El área del rectángulo es igual al producto de estas longitudes:
x(18-x)=77;
o
x 2 -18x+77=0.
Encontremos el discriminante de la ecuación.

Calcular las raíces de la ecuación.

Si x=11, Eso 18 = 7, lo contrario también es cierto (si x=7, entonces 21's=9).

Problema 6. Factoriza la ecuación cuadrática 10x 2 -11x+3=0.

Solución: Calculemos las raíces de la ecuación, para ello encontramos el discriminante

Sustituimos el valor encontrado en la fórmula raíz y calculamos

Aplicamos la fórmula para descomponer una ecuación cuadrática en raíces.

Abriendo los corchetes obtenemos una identidad.

Ecuación cuadrática con parámetro

Ejemplo 1. ¿En qué valores de parámetros? A ,¿La ecuación (a-3)x 2 + (3-a)x-1/4=0 tiene una raíz?

Solución: Por sustitución directa del valor a=3 vemos que no tiene solución. A continuación, usaremos el hecho de que con un discriminante cero la ecuación tiene una raíz de multiplicidad 2. Escribamos el discriminante.

Simplificémoslo y equiparémoslo a cero.

Hemos obtenido una ecuación cuadrática con respecto al parámetro a, cuya solución se puede obtener fácilmente utilizando el teorema de Vieta. La suma de las raíces es 7 y su producto es 12. Por simple búsqueda establecemos que los números 3,4 serán las raíces de la ecuación. Como ya rechazamos la solución a=3 al comienzo de los cálculos, la única correcta será: a=4. Por tanto, para a=4 la ecuación tiene una raíz.

Ejemplo 2. ¿En qué valores de parámetros? A , la ecuacion a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0¿Tiene más de una raíz?

Solución: Consideremos primero los puntos singulares, serán los valores a=0 y a=-3. Cuando a=0, la ecuación se simplificará a la forma 6x-9=0; x=3/2 y habrá una raíz. Para a= -3 obtenemos la identidad 0=0.
Calculemos el discriminante

y encuentre el valor de a en el cual es positivo

De la primera condición obtenemos a>3. Para el segundo, encontramos el discriminante y las raíces de la ecuación.


Determinemos los intervalos donde la función toma valores positivos. Sustituyendo el punto a=0 obtenemos 3>0 . Entonces, fuera del intervalo (-3;1/3) la función es negativa. No olvides el punto a = 0, que debería excluirse porque la ecuación original tiene una raíz.
Como resultado, obtenemos dos intervalos que satisfacen las condiciones del problema.

En la práctica habrá muchas tareas similares, intente resolverlas usted mismo y no olvide tener en cuenta las condiciones que se excluyen mutuamente. Estudie bien las fórmulas para resolver ecuaciones cuadráticas; a menudo se necesitan en cálculos en diversos problemas y ciencias.