¿Qué significa un número entero?

Entonces, veamos qué números se llaman números enteros.

Así, los siguientes números se indicarán con números enteros: $0$, $±1$, $±2$, $±3$, $±4$, etc.

El conjunto de los números naturales es un subconjunto del conjunto de los números enteros, es decir Cualquier número natural será un número entero, pero no todo número entero es un número natural.

Enteros positivos y enteros negativos

Definición 2

más.

Los números $3, 78, 569, 10450$ son números enteros numeros positivos.

Definición 3

son enteros con signo menos.

Los números $−3, −78, −569, -10450$ son números enteros números negativos.

Nota 1

El número cero no es un entero positivo ni negativo.

Enteros positivos son números enteros mayores que cero.

Enteros negativos son números enteros menores que cero.

El conjunto de los números enteros naturales es el conjunto de todos los números enteros positivos y el conjunto de todos los números naturales opuestos es el conjunto de todos los números enteros negativos.

Enteros no positivos y no negativos

Todos los números enteros positivos y el cero se llaman enteros no negativos.

Enteros no positivos son todos enteros negativos y el número $0$.

Nota 2

De este modo, entero no negativo son números enteros mayores que cero o iguales a cero, y entero no positivo– números enteros menores que cero o iguales a cero.

Por ejemplo, enteros no positivos: $−32, −123, 0, −5$ y enteros no negativos: $54, 123, 0, 856,342.$

Describir cambios en cantidades usando números enteros

Los números enteros se utilizan para describir cambios en la cantidad de objetos.

Veamos ejemplos.

Ejemplo 1

Deje que una tienda venda una cierta cantidad de nombres de productos. Cuando la tienda recibe $520$ en artículos, la cantidad de artículos en la tienda aumentará y el número $520$ muestra un cambio en el número en una dirección positiva. Cuando la tienda vende $50$ en artículos, la cantidad de artículos en la tienda disminuirá y el número $50$ expresará el cambio en el número en lado negativo. Si la tienda no entrega ni vende productos, entonces la cantidad de productos permanecerá sin cambios (es decir, podemos hablar de un cambio cero en la cantidad).

En el ejemplo anterior, el cambio en la cantidad de bienes se describe utilizando los números enteros $520$, $−50$ y $0$, respectivamente. Un valor positivo del número entero $520$ indica un cambio en el número en dirección positiva. Un valor negativo del número entero $−50$ indica un cambio en el número en dirección negativa. El número entero $0$ indica que el número es inmutable.

Los números enteros son convenientes de usar porque... no es necesaria una indicación explícita de un aumento o disminución en el número: el signo del número entero indica la dirección del cambio y el valor indica el cambio cuantitativo.

Usando números enteros puedes expresar no sólo un cambio en una cantidad, sino también un cambio en cualquier cantidad.

Consideremos un ejemplo de un cambio en el costo de un producto.

Ejemplo 2

Un aumento de valor, por ejemplo, de $20$ rublos se expresa utilizando un entero positivo $20$. Una disminución del precio, por ejemplo, de $5$ rublos se describe utilizando un entero negativo $−5$. Si no hay ningún cambio en el valor, dicho cambio se determina utilizando el número entero $0$.

Consideremos por separado el significado de los números enteros negativos como monto de la deuda.

Ejemplo 3

Por ejemplo, una persona tiene 5.000 dólares de rublos. Luego, usando el número entero positivo $5,000$, puedes mostrar la cantidad de rublos que tiene. Una persona debe pagar un alquiler de 7.000$ rublos, pero no tiene esa cantidad de dinero, en cuyo caso dicha situación se describe mediante un número entero negativo $−7.000$. En este caso, la persona tiene $−7,000$ rublos, donde “–” indica deuda y el número $7,000$ indica el monto de la deuda.

En el marco de los números naturales, solo se puede restar un número menor de uno mayor, y la ley conmutativa no implica resta; por ejemplo, la expresión 3 + 4 − 5 (\displaystyle 3+4-5) es válida y una expresión con operandos reorganizados 3 − 5 + 4 (\displaystyle 3-5+4) inaceptable...

Sumar números negativos y cero a números naturales hace posible cirugía resta de cualquier par de números naturales. Como resultado de esta expansión se obtiene un conjunto (anillo) de “enteros”. Con mayores expansiones del conjunto de números a números racionales, reales, complejos y otros, se obtienen los valores negativos correspondientes para ellos de la misma manera.

Todos los números negativos, y sólo ellos, son menores que cero. En la recta numérica, los números negativos se encuentran a la izquierda del cero. Para ellos, al igual que para los números positivos, se define una relación de orden que permite comparar un número entero con otro.

Para cada número natural norte hay uno y sólo un número negativo, denotado -norte, que complementa norte a cero:

norte + (− norte) = 0. (\displaystyle n+\left(-n\right)=0.)

Ambos números se llaman opuestos entre sí. Restar un número entero a de otro número entero b es equivalente a la suma b con lo contrario para a:

segundo - un = segundo + (- un) . (\displaystyle b-a=b+\left(-a\right).)

Ejemplo: 25 − 75 = − 50. (\displaystyle 25-75=-50.)

YouTube enciclopédico

1 / 3

Matemáticas 6to grado. NÚMEROS POSITIVOS Y NEGATIVOS. COORDENADAS EN UNA RECTA.

Matemáticas 6to grado. Números positivos y negativos

Números negativos. Números opuestos (Slupko M.V.). Lección en video sobre matemáticas de sexto grado.

Subtítulos

Propiedades de los números negativos

Los números negativos obedecen casi a las mismas reglas algebraicas que los números naturales, pero tienen algunas características especiales.

1. Si cualquier conjunto de números positivos está acotado por debajo, entonces cualquier conjunto de números negativos está acotado por arriba.
2. Al multiplicar números enteros se aplica lo siguiente: regla de signos: producto de números con diferentes signos negativo, con el mismo - positivo.
3. Cuando ambos lados de una desigualdad se multiplican por un número negativo, el signo de la desigualdad se invierte. Por ejemplo, multiplicando la desigualdad 3< 5 на −2, мы получаем: −6 > −10.

Al dividir con resto, el cociente puede tener cualquier signo, pero el resto, por convención, siempre es no negativo (de lo contrario, no se determina de forma única). Por ejemplo, divida −24 entre 5 con un resto:

− 24 = 5 ⋅ (− 5) + 1 = 5 ⋅ (− 4) − 4 (\displaystyle -24=5\cdot (-5)+1=5\cdot (-4)-4).

Variaciones y generalizaciones.

Los conceptos de números positivos y negativos se pueden definir en cualquier anillo ordenado. Muy a menudo, estos conceptos se refieren a uno de los siguientes sistemas numéricos:

Las propiedades 1 a 3 anteriores también se cumplen en el caso general. Los conceptos "positivo" y "negativo" no se aplican a números complejos.

Bosquejo histórico

El Antiguo Egipto, Babilonia y la Antigua Grecia no usaban números negativos, y si lo hacían raíces negativas ecuaciones (al restar), fueron rechazadas como imposibles. La excepción fue Diofanto, quien en el siglo III ya conocía regla de signos y sabía multiplicar números negativos. Sin embargo, los consideró sólo como un paso intermedio, útil para calcular el resultado final positivo.

Por primera vez, los números negativos se legalizaron parcialmente en China y luego (aproximadamente desde el siglo VII) en la India, donde se interpretaron como deudas (escasez) o, como Diofanto, se reconocieron como valores temporales. Aún no se habían definido la multiplicación y división de números negativos. Poco a poco se fue estableciendo la utilidad y validez de los números negativos. El matemático indio Brahmagupta (siglo VII) ya los consideraba a la par de los positivos.

En Europa, el reconocimiento llegó mil años después, e incluso entonces por mucho tiempo los números negativos fueron llamados "falsos", "imaginarios" o "absurdos". La primera descripción de ellos en la literatura europea apareció en el “Libro del Ábaco” de Leonardo de Pisa (1202), quien interpretó los números negativos como deuda. Bombelli y Girard, en sus escritos, consideraban que los números negativos eran bastante aceptables y útiles, en particular para indicar la falta de algo. Incluso en el siglo XVII, Pascal creía que 0 − 4 = 0 (\displaystyle 0-4=0), ya que “nada puede ser menos que nada”. Un eco de aquellos tiempos es el hecho de que en la aritmética moderna la operación de resta y el signo de los números negativos se denotan con el mismo símbolo (menos), aunque algebraicamente son conceptos completamente diferentes.

En el siglo XVII, con el advenimiento de la geometría analítica, los números negativos recibieron una representación geométrica visual en

Números negativos son números con un signo menos (-), por ejemplo −1, −2, −3. Se lee como: menos uno, menos dos, menos tres.

Ejemplo de aplicación números negativos Es un termómetro que muestra la temperatura del cuerpo, del aire, del suelo o del agua. En invierno, cuando hace mucho frío afuera, la temperatura puede ser negativa (o, como dice la gente, “menos”).

Por ejemplo, -10 grados de frío:

Los números ordinarios que vimos antes, como 1, 2, 3, se llaman positivos. Los números positivos son números con un signo más (+).

Al escribir números positivos, el signo + no se escribe, por eso vemos los números 1, 2, 3 que nos son familiares. Pero debemos tener en cuenta que estos números positivos se ven así: +1, +2. , +3.

Contenido de la lección

Esta es una línea recta en la que se ubican todos los números: tanto negativos como positivos. Como sigue:

Los números que se muestran aquí son de −5 a 5. De hecho, la línea de coordenadas es infinita. La figura muestra sólo un pequeño fragmento del mismo.

Los números en la línea de coordenadas están marcados como puntos. Negrita en la imagen punto negro es el punto de partida. La cuenta atrás comienza desde cero. Los números negativos están marcados a la izquierda del origen y los números positivos a la derecha.

La línea de coordenadas continúa indefinidamente en ambos lados. El infinito en matemáticas está simbolizado por el símbolo ∞. La dirección negativa estará indicada con el símbolo −∞, y la dirección positiva con el símbolo +∞. Entonces podemos decir que todos los números desde menos infinito hasta más infinito están ubicados en la línea de coordenadas:

Cada punto de la línea de coordenadas tiene su propio nombre y coordenada. Nombre es cualquier letra latina. Coordinar es un número que muestra la posición de un punto en esta línea. En pocas palabras, una coordenada es el número que queremos marcar en la línea de coordenadas.

Por ejemplo, el punto A(2) se lee como "punto A con coordenada 2" y se indicará en la línea de coordenadas de la siguiente manera:

Aquí A es el nombre del punto, 2 es la coordenada del punto A.

Ejemplo 2. El punto B(4) dice así "punto B con coordenada 4"

Aquí B es el nombre del punto, 4 es la coordenada del punto B.

Ejemplo 3. El punto M(−3) se lee como "punto M con coordenada menos tres" y se indicará en la línea de coordenadas de la siguiente manera:

Aquí METRO es el nombre del punto, −3 es la coordenada del punto M .

Los puntos se pueden designar con cualquier letra. Pero generalmente se acepta indicarlos con letras latinas mayúsculas. Además, el comienzo del informe, que también se llama origen generalmente denotado por la letra latina mayúscula O

Es fácil notar que los números negativos se encuentran a la izquierda con respecto al origen y los números positivos se encuentran a la derecha.

Hay frases como “cuanto más a la izquierda, menos” Y "cuanto más a la derecha, más". Probablemente ya hayas adivinado de qué estamos hablando. Con cada paso hacia la izquierda, el número disminuirá. Y con cada paso hacia la derecha el número aumentará. Una flecha que apunta hacia la derecha indica una dirección de referencia positiva.

Comparar números negativos y positivos

Regla 1. Cualquier número negativo es menor que cualquier número positivo.

Por ejemplo, comparemos dos números: −5 y 3. Menos cinco menos que tres, a pesar de que cinco parece ante todo un número mayor que tres.

Esto se debe al hecho de que −5 es un número negativo y 3 es positivo. En la línea de coordenadas puedes ver dónde se encuentran los números −5 y 3

Se puede ver que −5 está a la izquierda y 3 a la derecha. Y dijimos que “cuanto más a la izquierda, menos” . Y la regla dice que cualquier número negativo es menor que cualquier número positivo. Resulta que

−5 < 3

"Menos cinco es menos que tres"

Regla 2. De dos números negativos, el que se ubica a la izquierda en la recta de coordenadas es menor.

Por ejemplo, comparemos los números −4 y −1. menos cuatro menos, que menos uno.

Esto se debe nuevamente al hecho de que en la línea de coordenadas −4 se encuentra a la izquierda que −1

Se puede ver que −4 está a la izquierda y −1 a la derecha. Y dijimos que “cuanto más a la izquierda, menos” . Y la regla dice que de dos números negativos, el que se ubica a la izquierda en la recta de coordenadas es menor. Resulta que

Menos cuatro es menos que menos uno.

Regla 3. El cero es mayor que cualquier número negativo.

Por ejemplo, comparemos 0 y −3. Cero más que menos tres. Esto se debe al hecho de que en la línea de coordenadas 0 se encuentra más a la derecha que −3

Se puede ver que 0 está a la derecha y −3 a la izquierda. Y dijimos que "cuanto más a la derecha, más" . Y la regla dice que cero es mayor que cualquier número negativo. Resulta que

Cero es mayor que menos tres.

Regla 4. El cero es menor que cualquier número positivo.

Por ejemplo, comparemos 0 y 4. Cero menos, que 4. Esto es, en principio, claro y cierto. Pero intentaremos verlo con nuestros propios ojos, nuevamente en la línea de coordenadas:

Se puede observar que en la línea de coordenadas 0 se ubica a la izquierda y 4 a la derecha. Y dijimos que “cuanto más a la izquierda, menos” . Y la regla dice que cero es menor que cualquier número positivo. Resulta que

cero es menor que cuatro

¿Te gustó la lección?
Únase a nuestro nuevo grupo VKontakte y comience a recibir notificaciones sobre nuevas lecciones

Primer nivel

Máximo común múltiplo y mínimo común divisor. Criterios de divisibilidad y métodos de agrupación (2019)

Para hacerle la vida MUCHO más fácil cuando necesite calcular algo, ganar un tiempo valioso en el Examen Estatal Unificado o Examen Estatal Unificado, cometer menos errores estúpidos, ¡lea esta sección!

Esto es lo que aprenderá:

• cómo contar más rápido, más fácil y con mayor precisión usandoagrupación de númerosal sumar y restar,
• cómo multiplicar y dividir rápidamente sin errores usando reglas de multiplicación y signos de divisibilidad,
• cómo acelerar significativamente los cálculos utilizando minimo común multiplo(NO OK) y máximo común divisor(ASENTIR).

El dominio de las técnicas de esta sección puede inclinar la balanza en una dirección u otra... ya sea que ingreses o no a la universidad de tus sueños, tú o tus padres tendrán que pagar mucho dinero por la educación o te inscribirás con un presupuesto limitado. .

Vamos a sumergirnos de lleno... (¡Vamos!)

¡Nota IMPORTANTE!Si ve galimatías en lugar de fórmulas, borre su caché. Para hacer esto, presione CTRL+F5 (en Windows) o Cmd+R (en Mac).

Un montón de números enteros consta de 3 partes:

1. números enteros(los veremos con más detalle a continuación);
2. números opuestos a los números naturales(todo encajará en cuanto sepas qué son los números naturales);
3. cero - " " (¿Dónde estaríamos sin él?)

letra Z.

Enteros

“Dios creó los números naturales, todo lo demás es obra de manos humanas” (c) el matemático alemán Kronecker.

Los números naturales son números que usamos para contar objetos y en esto se basa su historia de origen: la necesidad de contar flechas, pieles, etc.

1, 2, 3, 4...norte

letra n.

En consecuencia, esta definición no incluye (¿no se puede contar algo que no está allí?) y especialmente no incluye valores negativos (¿existe realmente una manzana?).

Además, no se incluyen todos los números fraccionarios (tampoco podemos decir “tengo una computadora portátil” o “vendí autos”)

Cualquier número natural se puede escribir usando 10 dígitos:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Entonces 14 no es un número. Este es el número. ¿De qué números se compone? Así es, a partir de números y...

Suma. Agrupar al sumar para contar más rápido y cometer menos errores

¿Qué cosas interesantes puedes decir sobre este procedimiento? Por supuesto, ahora responderás “el valor de la suma no cambia al reordenar los términos”. Parecería que una regla primitiva, familiar desde el primer grado, sin embargo, al resolver grandes ejemplosél olvidado al instante!

No te olvides de élutilizar agrupación, para facilitarle el proceso de conteo y reducir la probabilidad de errores, porque no tendrá una calculadora para el Examen Estatal Unificado.

¿Comprueba tú mismo qué expresión es más fácil de armar?

• 4 + 5 + 3 + 6
• 4 + 6 + 5 + 3

¡Por supuesto el segundo! Aunque el resultado es el mismo. ¡Pero! Teniendo en cuenta el segundo método, tendrás menos posibilidades de cometer errores y ¡harás todo más rápido!

Entonces, en tu cabeza piensas así:

4 + 5 + 3 + 6 = 4 + 6 + 5 + 3 = 10 + 5 + 3 = 18

Sustracción. Agrupar al restar para contar más rápido y cometer menos errores

Al restar también podemos agrupar los números que estamos restando, por ejemplo:

32 - 5 - 2 - 6 = (32 - 2) - 5 - 6 = 30 - 5 - 6 = 19

¿Qué pasa si la resta se alterna con la suma en el ejemplo? También puedes agrupar, respondes y es correcto. Por favor, no te olvides de los signos delante de los números, por ejemplo: 32 - 5 - 2 - 6 = (32 - 2) - (6 + 5) = 30 - 11 = 19

Recuerde: las señales colocadas incorrectamente conducirán a un resultado erróneo.

Multiplicación. Cómo multiplicar en tu cabeza

Evidentemente, cambiar los lugares de los factores tampoco cambiará el valor del producto:

2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ 5 = (2 ⋅ 5 ) ⋅ (4 ⋅ 6 ) = 1 0 ⋅ 2 4 = 2 4 0

No te diré “usa esto cuando resuelvas ejemplos” (tú mismo entendiste la pista, ¿verdad?), sino que te diré cómo multiplicar rápidamente algunos números en tu cabeza. Entonces, mira atentamente la tabla:

Y un poco más sobre la multiplicación. Por supuesto que recuerdas dos ocasiones especiales... ¿Puedes adivinar a qué me refiero? Esto es al respecto:

Oh sí, veámoslo de nuevo signos de divisibilidad. Hay 7 reglas en total basadas en criterios de divisibilidad, ¡de las cuales ya conoces las 3 primeras!

Pero el resto no es nada difícil de recordar.

¡7 signos de divisibilidad de números que te ayudarán a contar rápidamente mentalmente!

• Por supuesto, conoces las tres primeras reglas.
• El cuarto y el quinto son fáciles de recordar: al dividir por y miramos para ver si la suma de los dígitos que componen el número es divisible por este.
• Al dividir por, nos fijamos en los dos últimos dígitos de un número: ¿el número por el que hacen es divisible?
• Al dividir por, un número debe ser divisible por y por al mismo tiempo. Esa es toda la sabiduría.

¿Estás pensando ahora: “¿por qué necesito todo esto”?

En primer lugar, se está llevando a cabo el Examen Estatal Unificado. sin calculadora y estas reglas le ayudarán a navegar por los ejemplos.

Y en segundo lugar, has oído los problemas sobre MCD Y CON? ¿Le resulta familiar este acrónimo? Empecemos a recordar y comprender.

Máximo común divisor (MCD): necesario para reducir fracciones y realizar cálculos rápidos

Digamos que tienes dos números: y. Para qué mayor número¿Ambos números son divisibles? Responderás sin dudarlo, porque sabes que:

12 = 4 * 3 = 2 * 2 * 3

8 = 4 * 2 = 2 * 2 * 2

¿Cuáles son los números comunes en la expansión? Así es, 2 * 2 = 4. Esa fue tu respuesta. Teniendo en cuenta este sencillo ejemplo, no olvidará el algoritmo para encontrar MCD. Intenta “construirlo” en tu cabeza. ¿Sucedió?

Para encontrar un GCD necesitas:

1. Divide los números en factores primos(números que no se pueden dividir por nada más que por sí mismo o por, por ejemplo, 3, 7, 11, 13, etc.).
2. Multiplícalos.

¿Entiendes por qué necesitábamos signos de divisibilidad? Para que mires el número y puedas empezar a dividir sin resto.

Por ejemplo, encontremos el MCD de los números 290 y 485.

Primer número - .

Mirándolo, inmediatamente puedes decir que es divisible por, escribámoslo:

Es imposible dividirlo en otra cosa, pero se puede, y obtenemos:

290 = 29 * 5 * 2

Tomemos otro número: 485.

Según el criterio de divisibilidad, debe ser divisible por sin resto, ya que termina en. Dividir:

Analicemos el número original.

• No se puede dividir por (el último dígito es impar),
• - no es divisible por, lo que significa que el número tampoco es divisible por,
• por y por tampoco es divisible (la suma de los dígitos incluidos en un número no es divisible por y por)
• tampoco es divisible por, ya que no es divisible por y,
• tampoco es divisible por, ya que no es divisible por y.
• no se puede dividir completamente

Esto significa que el número sólo se puede descomponer en y.

Ahora busquemos MCD estos números. ¿Qué numero es este? Bien, .

¿Practicamos?

Tarea número 1. Encuentra el mcd de los números 6240 y 6800

1) Divido por inmediatamente, ya que ambos números son 100% divisibles por:

2) Dividir en el resto números grandes(y), dado que son divisibles por (no lo ampliaré, ya es un divisor común):

6 2 4 0 = 1 0 ⋅ 4 ⋅ 1 5 6

6 8 0 0 = 1 0 ⋅ 4 ⋅ 1 7 0

3) Dejaré y solo y empezaré a mirar los números y. Ambos números son exactamente divisibles por (terminan con dígitos pares (en este caso, imaginamos cómo, o puedes dividir por)):

4) Trabajamos con números y. ¿Tienen divisores comunes? No es tan fácil como en los pasos anteriores, así que simplemente los descompondremos en factores simples:

5) Como vemos, teníamos razón: ya no tenemos divisores comunes, y ahora necesitamos multiplicar.
MCD

Tarea número 2. Encuentra el mcd de los números 345 y 324

No puedo encontrar rápidamente al menos un divisor común aquí, así que simplemente lo divido en factores primos (lo más pequeños posible):

Exactamente, mcd, pero inicialmente no verifiqué la prueba de divisibilidad entre y tal vez no hubiera tenido que realizar tantas acciones. Pero lo comprobaste, ¿verdad? ¡Bien hecho! Como puedes ver, no es nada difícil.

Mínimo común múltiplo (MCM): ahorra tiempo y ayuda a resolver problemas de una forma no estándar

Digamos que tienes dos números y. ¿Cuál es el número más pequeño que se puede dividir por sin dejar rastro(es decir, completamente)? ¿Difícil de imaginar? Aquí tienes una pista visual:

¿Recuerdas qué significa la letra? Así es, sólo números enteros. Así que lo que número más pequeño encaja en su lugar x? :

En este caso.

De esto ejemplo sencillo Siguen varias reglas.

Reglas para encontrar NOC rápidamente

Regla 1: Si uno de dos números naturales es divisible por otro número, entonces el mayor de los dos números es su mínimo común múltiplo.

Encuentra los siguientes números:

• NOC (7;21)
• NOC (6;12)
• NOC (5;15)
• NOC (3;33)

Por supuesto, usted hizo frente a esta tarea sin dificultad y obtuvo las respuestas: y.

Tenga en cuenta que en la regla estamos hablando de DOS números; si hay más números, entonces la regla no funciona.

Por ejemplo, MCM (7;14;21) no es igual a 21, ya que no es divisible por.

Regla 2. Si dos (o más de dos) números son coprimos, entonces el mínimo común múltiplo es igual a su producto.

Encontrar CON los siguientes números:

• NOC (1;3;7)
• NOC (3;7;11)
• NOC (2;3;7)
• NOC (3;5;2)

¿Contaste? Aquí están las respuestas - , ; .

Como comprenderás, no siempre es posible detectar esta misma x tan fácilmente, por lo que para números un poco más complejos existe el siguiente algoritmo:

¿Practicamos?

Encontremos el mínimo común múltiplo: MCM (345; 234)

Desglosemos cada número:

¿Por qué escribí de inmediato? Recuerda los signos de divisibilidad por: divisible por (el último dígito es par) y la suma de los dígitos es divisible por. En consecuencia, podemos dividir inmediatamente por, escribiéndolo como.

Ahora escribimos en una línea la descomposición más larga: la segunda:

Agreguemos los números de la primera expansión, que no están en lo que escribimos:

Nota: escribimos todo excepto porque ya lo tenemos.

¡Ahora necesitamos multiplicar todos estos números!

Encuentre usted mismo el mínimo común múltiplo (MCM)

¿Qué respuestas obtuviste?

Esto es lo que obtuve:

¿Cuánto tiempo dedicaste a buscar CON? Mi tiempo son 2 minutos, realmente lo sé. un truco, que te sugiero que abras ahora mismo.

Si está muy atento, probablemente haya notado que ya hemos buscado los números indicados. MCD y podrías tomar la factorización de estos números de ese ejemplo, simplificando así tu tarea, pero eso no es todo.

Mira la imagen, tal vez se te ocurran otras ideas:

¿Bien? Te daré una pista: intenta multiplicar CON Y MCD entre ellos y anota todos los factores que aparecerán al multiplicar. ¿Lograste? Deberías terminar con una cadena como esta:

Míralo más de cerca: compara los multiplicadores con cómo están dispuestos y.

¿Qué conclusión puedes sacar de esto? ¡Bien! Si multiplicamos los valores CON Y MCD entre ellos, entonces obtenemos el producto de estos números.

En consecuencia, tener números y significado. MCD(o CON), podemos encontrar CON(o MCD) según este esquema:

1. Encuentra el producto de números:

2. Dividir el producto resultante por el nuestro. MCD (6240; 6800) = 80:

Eso es todo.

Escribamos la regla en forma general:

Tratar de encontrar MCD, si se sabe que:

¿Lograste? .

Los números negativos son “números falsos” y su reconocimiento por parte de la humanidad.

Como ya entiendes, se trata de números opuestos a los naturales, es decir:

Los números negativos se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir, como en los números naturales. Al parecer, ¿qué tienen de especial? Pero el hecho es que los números negativos "ganaron" el lugar que les corresponde en matemáticas hasta el siglo XIX (hasta ese momento hubo una gran controversia sobre si existen o no).

El número negativo en sí surgió debido a una operación con números naturales como "resta". De hecho, resta y obtendrás un número negativo. Es por eso que al conjunto de números negativos se le suele llamar “extensión del conjunto números naturales».

Los números negativos no fueron reconocidos por la gente durante mucho tiempo. Entonces, Antiguo Egipto, Babilonia y Antigua Grecia- las luminarias de su época no reconocían los números negativos, y en el caso de obtener raíces negativas en una ecuación (por ejemplo, como la nuestra), las raíces eran rechazadas por imposibles.

Los números negativos obtuvieron su derecho a existir por primera vez en China y luego, en el siglo VII, en la India. ¿A qué crees que se debe este reconocimiento? Así es, los números negativos comenzaron a denotar deudas (de lo contrario, escasez). Se creía que los números negativos son un valor temporal que, como resultado, cambiará a positivo (es decir, el dinero aún será devuelto al prestamista). Sin embargo, el matemático indio Brahmagupta ya consideraba los números negativos al mismo nivel que los positivos.

En Europa, la utilidad de los números negativos, así como el hecho de que pueden indicar deudas, se descubrió mucho más tarde, tal vez un milenio. La primera mención se notó en 1202 en el "Libro del ábaco" de Leonardo de Pisa (diré de inmediato que el autor del libro no tiene nada que ver con la Torre Inclinada de Pisa, pero los números de Fibonacci son obra suya). (el apodo de Leonardo de Pisa es Fibonacci)). Además, los europeos llegaron a la conclusión de que las cifras negativas pueden significar no sólo deudas, sino también falta de algo, aunque no todos lo reconocieron.

Entonces, en el siglo XVII, Pascal creía eso. ¿Cómo crees que justificó esto? Es cierto, “nada puede ser menos que NADA”. Un eco de aquellos tiempos sigue siendo el hecho de que un número negativo y la operación de resta se indican con el mismo símbolo: el menos "-". Y la verdad: . ¿El número “ ” es positivo, al que se le resta, o negativo, al que se suma?... Algo de la serie “¿qué es primero: el huevo o la gallina?” Ésta es una filosofía matemática tan peculiar.

Los números negativos obtuvieron su derecho a existir con la llegada de la geometría analítica, es decir, cuando los matemáticos introdujeron el concepto de eje numérico.

Fue a partir de este momento que llegó la igualdad. Sin embargo, todavía hubo más preguntas que respuestas, por ejemplo:

proporción

Esta proporción se llama “paradoja de Arnaud”. Piénselo, ¿qué tiene de dudoso?

Discutamos juntos "" es más que "" ¿verdad? Así, según la lógica, lado izquierdo las proporciones deberían ser mayores que la correcta, pero son iguales... Ésta es la paradoja.

Como resultado, los matemáticos estuvieron de acuerdo en que Karl Gauss (sí, sí, este es el mismo que calculó la suma (o) de los números) le puso fin en 1831: dijo que los números negativos tienen los mismos derechos que los positivos. unos, y el hecho de que no se apliquen a todas las cosas no significa nada, ya que las fracciones tampoco se aplican a muchas cosas (no sucede que un excavador cave un hoyo, no puedas comprar una entrada de cine, etc. .).

Los matemáticos se calmaron sólo en el siglo XIX, cuando William Hamilton y Hermann Grassmann crearon la teoría de los números negativos.

Son muy controvertidas estas cifras negativas.

El surgimiento del “vacío”, o la biografía del cero.

En matemáticas - numero especial. A primera vista, esto no es nada: sumar o restar: nada cambiará, pero solo hay que sumarlo a la derecha de " ", y el número resultante será varias veces mayor que el original. Al multiplicar por cero convertimos todo en nada, pero al dividir por “nada”, es decir, no podemos. En una palabra, el número mágico)

La historia del cero es larga y complicada. Se encontró un rastro de cero en los escritos de los chinos en el segundo milenio d.C. e incluso antes entre los mayas. El primer uso del símbolo cero, tal como se utiliza hoy en día, se vio entre los astrónomos griegos.

Hay muchas versiones de por qué se eligió esta designación de “nada”. Algunos historiadores se inclinan a creer que se trata de un ómicrón, es decir. La primera letra de la palabra griega que significa nada es ouden. Según otra versión, la palabra “obol” (una moneda casi sin valor) dio vida al símbolo del cero.

Cero (o nulo) como símbolo matemático aparece por primera vez entre los indios (tenga en cuenta que allí comenzaron a “desarrollarse” números negativos). La primera evidencia confiable del registro del cero se remonta al año 876, y en ellos " " es un componente del número.

El cero también llegó tarde a Europa: recién en 1600, y al igual que los números negativos, encontró resistencia (qué se puede hacer, así son los europeos).

"El cero ha sido a menudo odiado, temido durante mucho tiempo o incluso prohibido", escribe el matemático estadounidense Charles Safe. Así lo hizo el sultán turco Abdul Hamid II a finales del siglo XIX. ordenó a sus censores borrar la fórmula del agua H2O de todos los libros de texto de química, tomando la letra “O” por cero y no queriendo que sus iniciales quedaran desacreditadas por la proximidad al despreciado cero”.

En Internet puedes encontrar la frase: “¡Cero es la fuerza más poderosa del Universo, puede hacer cualquier cosa! El cero crea orden en las matemáticas y también introduce el caos en ellas”. Punto absolutamente correcto :)

Resumen de la sección y fórmulas básicas

El conjunto de los números enteros consta de 3 partes:

• números naturales (los veremos con más detalle a continuación);
• números opuestos a los números naturales;
• cero - " "

El conjunto de los números enteros se denota letra Z.

1. Números naturales

Los números naturales son números que usamos para contar objetos.

El conjunto de los números naturales se denota. letra n.

En operaciones con números enteros, necesitará la capacidad de encontrar MCD y LCM.

Máximo divisor común (MCD)

Para encontrar un GCD necesitas:

1. Descomponer números en factores primos (aquellos números que no se pueden dividir por nada más que por ellos mismos o por, por ejemplo, etc.).
2. Escribe los factores que forman parte de ambos números.
3. Multiplícalos.

Mínimo común múltiplo (MCM)

Para encontrar el NOC necesitas:

1. Divide números en factores primos (ya sabes muy bien cómo hacerlo).
2. Anota los factores incluidos en la expansión de uno de los números (es mejor coger la cadena más larga).
3. Súmales los factores que faltan de las expansiones de los números restantes.
4. Encuentra el producto de los factores resultantes.

2. Números negativos

Son números opuestos a los naturales, es decir:

Ahora quiero escucharte...

Espero que hayas apreciado los “trucos” súper útiles de esta sección y hayas entendido cómo te ayudarán en el examen.

Y lo que es más importante, en la vida. No hablo de eso, pero créanme, esto es cierto. La capacidad de contar rápidamente y sin errores te salva en muchas situaciones de la vida.

¡Ahora es tu turno!

Escribe, ¿utilizarás métodos de agrupación, pruebas de divisibilidad, MCD y MCM en los cálculos?

¿Quizás los has usado antes? ¿Dónde y cómo?

Quizás tengas preguntas. O sugerencias.

Escribe en los comentarios si te gusta el artículo.

¡Y mucha suerte en tus exámenes!

Enteros

La definición de números naturales son números enteros positivos. Los números naturales se utilizan para contar objetos y para muchos otros fines. Estos son los números:

Esta es una serie natural de números.
¿Es el cero un número natural? No, el cero no es un número natural.
¿Cuántos números naturales hay? Hay una infinidad de números naturales.
¿Cuál es el número natural más pequeño? Uno es el número natural más pequeño.
¿Cuál es el número natural más grande? Es imposible especificarlo, porque existe una infinidad de números naturales.

La suma de números naturales es un número natural. Entonces, sumando números naturales a y b:

El producto de números naturales es un número natural. Entonces, el producto de los números naturales a y b:

c es siempre un número natural.

Diferencia de números naturales No siempre existe un número natural. Si el minuendo es mayor que el sustraendo, entonces la diferencia de los números naturales es un número natural; en caso contrario, no lo es.

El cociente de números naturales no siempre es un número natural. Si para los números naturales a y b

donde c es un número natural, esto significa que a es divisible por b. En este ejemplo, a es el dividendo, b es el divisor y c es el cociente.

El divisor de un número natural es un número natural por el cual el primer número es divisible por un entero.

Todo número natural es divisible por uno y por sí mismo.

Los números naturales primos son divisibles sólo por uno y por sí mismos. Aquí nos referimos a dividido por completo. Ejemplo, números 2; 3; 5; 7 sólo es divisible por uno y por sí mismo. Estos son números naturales simples.

Uno no se considera un número primo.

Los números mayores que uno y que no son primos se llaman números compuestos. Ejemplos de números compuestos:

El uno no se considera un número compuesto.

El conjunto de los números naturales es uno. números primos y números compuestos.

El conjunto de números naturales se denota con la letra latina N.

Propiedades de la suma y multiplicación de números naturales:

propiedad conmutativa de la suma

propiedad asociativa de la suma

(a + b) + c = a + (b + c);

propiedad conmutativa de la multiplicación

propiedad asociativa de la multiplicación

(ab) c = a (bc);

propiedad distributiva de la multiplicación

A (b + c) = ab + ca;

números enteros

Los números enteros son los números naturales, el cero y los opuestos de los números naturales.

Lo opuesto a los números naturales son los números enteros negativos, por ejemplo:

1; -2; -3; -4;...

El conjunto de números enteros se denota con la letra latina Z.

Numeros racionales

Los números racionales son números enteros y fraccionarios.

Cualquier número racional se puede representar como una fracción periódica. Ejemplos:

1,(0); 3,(6); 0,(0);...

De los ejemplos queda claro que cualquier número entero es una fracción periódica con período cero.

Cualquier número racional se puede representar como una fracción m/n, donde m es un número entero numero,n natural número. Imaginemos el número 3,(6) del ejemplo anterior como tal fracción.