Perpendicular y oblicua

Teorema. Si se trazan líneas perpendiculares e inclinadas desde un punto fuera del plano, entonces:

1) los oblicuos que tienen proyecciones iguales son iguales;

2) de los dos inclinados, mayor es el que tiene mayor proyección;

3) los oblicuos iguales tienen proyecciones iguales;

4) de las dos proyecciones, la que corresponde a la oblicua mayor es mayor.

Teorema de las tres perpendiculares. Para que una recta situada en un plano sea perpendicular a una inclinada, es necesario y suficiente que esta recta sea perpendicular a la proyección de la inclinada (Fig. 3).

Teorema sobre el área de proyección ortogonal de un polígono sobre un plano. El área de la proyección ortogonal de un polígono sobre un plano es igual al producto del área del polígono por el coseno del ángulo entre el plano del polígono y el plano de proyección.

Construcción.

1. En un avión a realizamos un directo A.

3. En avión b a través del punto A hagamos un directo b, paralela a la recta A.

4. Se ha construido una línea recta. b paralelo al plano a.

Prueba. Basado en el paralelismo de una línea recta y un plano, una línea recta b paralelo al plano a, ya que es paralela a la recta A, perteneciente al avión a.

Estudiar. El problema tiene infinitas soluciones, ya que la recta A en el avión a se elige al azar.

Ejemplo 2. Determine a qué distancia del plano se encuentra el punto. A, si es heterosexual AB interseca el plano en un ángulo de 45º, la distancia desde el punto A al punto EN perteneciente al plano es igual a cm?

Solución. Hagamos un dibujo (Fig.5):

C.A.– perpendicular al plano a, AB– inclinado, ángulo A B C– ángulo entre líneas rectas AB y avión a. Triángulo A B C– rectangular porque C.A.– perpendicular. La distancia requerida desde el punto. A al avión - esta es la pierna C.A. triángulo rectángulo. Conociendo el ángulo y la hipotenusa cm, encontraremos el cateto C.A.:

Respuesta: 3 centímetros.

Ejemplo 3. Determine ¿a qué distancia del plano de un triángulo isósceles se encuentra un punto ubicado a 13 cm de cada uno de los vértices del triángulo si la base y la altura del triángulo son iguales a 8 cm?

Solución. Hagamos un dibujo (Fig. 6). Punto S lejos de los puntos A, EN Y CON a la misma distancia. Entonces, inclinado S.A., SB Y Carolina del Sur igual, ENTONCES– la perpendicular común de estos inclinados. Por el teorema de los oblicuos y las proyecciones. AO = VO = CO.

Punto ACERCA DE– el centro de un círculo circunscrito a un triángulo A B C. Encontremos su radio:

Dónde Sol- base;

ANUNCIO– la altura de un triángulo isósceles dado.

Encontrar los lados de un triángulo A B C de un triángulo rectángulo ABD según el teorema de Pitágoras:

ahora encontramos transmisión exterior:

Considere un triángulo SOLLOZO: SB= 13 cm, transmisión exterior= = 5 cm Encuentra la longitud de la perpendicular. ENTONCES según el teorema de Pitágoras:

Respuesta: 12cm.

Ejemplo 4. Dados planos paralelos a Y b. a través del punto METRO, que no pertenece a ninguno de ellos, se dibujan líneas rectas A Y b esa cruz a en puntos A 1 y EN 1 y el avión b– en puntos A 2 y EN 2. Encontrar A 1 EN 1 si se sabe que MAMÁ 1 = 8 cm, A 1 A 2 = 12 cm, A 2 EN 2 = 25 cm.

Solución. Dado que la condición no dice cómo se ubica el punto en relación con ambos planos METRO, entonces son posibles dos opciones: (Fig. 7, a) y (Fig. 7, b). Veamos cada uno de ellos. Dos líneas que se cruzan A Y b definir un plano. Este plano intersecta dos planos paralelos. a Y b a lo largo de líneas paralelas A 1 EN 1 y A 2 EN 2 según el teorema 5 sobre rectas paralelas y planos paralelos.

triangulos MAMÁ 1 EN 1 y MAMÁ 2 EN 2 son similares (ángulos A 2 VM 2 y A 1 VM 1 – verticales, esquinas MAMÁ 1 EN 1 y MAMÁ 2 EN 2 – interno transversalmente con líneas paralelas A 1 EN 1 y A 2 EN 2 y secante A 1 A 2). De la semejanza de los triángulos se desprende la proporcionalidad de los lados:

De aquí

Opción a):

Opción b):

Respuesta: 10cm y 50cm.

Ejemplo 5. a través del punto A avión gramo se trazó una línea directa AB, formando un ángulo con el plano a. Vía directa AB se dibuja un avión r, formando con el avión gramo esquina b. Encuentra el ángulo entre la proyección de una línea recta. AB al avión gramo y avión r.

Solución. Hagamos un dibujo (Fig. 8). Desde el punto EN dejar caer la perpendicular al plano gramo. Ángulo diédrico lineal entre planos gramo Y r- este es un ángulo recto ANUNCIO DBC, basado en la perpendicularidad de una línea recta y un plano, como y Basado en la perpendicularidad de los planos, un plano r perpendicular al plano del triangulo DBC, ya que pasa por la línea ANUNCIO. Construimos el ángulo deseado dejando caer una perpendicular desde el punto. CON al avión r, denotémoslo Encuentra el seno de este ángulo de un triángulo rectángulo MÍ MISMO. Introduzcamos un segmento auxiliar. a = antes de Cristo. De un triangulo A B C: De un triangulo Armada lo encontraremos

Si a través de algún punto tomado fuera de la recta trazamos una recta perpendicular a él, entonces, por brevedad, el segmento desde este punto hasta la recta se llama en una sola palabra. perpendicular.

El segmento CO es perpendicular a la línea AB. El punto O se llama base de la perpendicular CO (arroz).

Si una recta trazada a través de un punto dado intersecta a otra recta, pero no es perpendicular a ella, entonces su segmento desde un punto dado hasta el punto de intersección con otra recta se llama inclinado a esta línea.

Segmento BC: inclinado a la línea recta AO. El punto C se llama base inclinado (Fig.).

Si dejamos caer perpendiculares desde los extremos de algún segmento sobre una línea arbitraria, entonces el segmento de línea encerrado entre las bases de las perpendiculares se llama proyección del segmento a esta recta.

Segmento АВ: proyección del segmento AB sobre EC. El segmento OM también se denomina proyección del segmento OM sobre el EC.

La proyección del segmento KP perpendicular a EC será el punto K (Fig.).

2. Propiedades de la perpendicular y la oblicua.

Teorema 1. Una perpendicular trazada desde un punto a una recta es menor que cualquier oblicua trazada desde el mismo punto a esta recta.

El segmento AC (Fig.) es perpendicular a la recta OB, y AM es una de las rectas inclinadas trazadas desde el punto A hasta la recta OB. Se requiere demostrar que AM > AC.

En ΔMAC, el segmento AM es la hipotenusa, y la hipotenusa es más grande que cada uno de los catetos de este triángulo. Por lo tanto, AM > AC. Dado que tomamos la AM inclinada arbitrariamente, podemos afirmar que cualquier línea inclinada a una línea recta es mayor que una perpendicular a esta línea (y una perpendicular es más corta que cualquier línea inclinada) si se trazan hacia ella desde el mismo punto.

La afirmación inversa también es cierta, a saber: si el segmento AC (Fig.) es menor que cualquier otro segmento que conecte el punto AC con cualquier punto de la recta OB, entonces es perpendicular a OB. De hecho, el segmento AC no puede inclinarse hacia OB, ya que entonces no sería el más corto de los segmentos que conectan el punto A con los puntos de la recta OB. Esto significa que sólo puede ser perpendicular a OB.

La longitud de la perpendicular que cae desde un punto dado a una línea recta se toma como la distancia desde un punto dado a esta línea recta.

Teorema 2. Si dos rectas oblicuas trazadas sobre una recta desde el mismo punto son iguales, entonces sus proyecciones son iguales.

Sean BA y BC líneas inclinadas trazadas desde el punto B hasta la línea recta AC (Fig.), y AB = BC. Es necesario demostrar que sus proyecciones también son iguales.

Para demostrar esto, bajemos la perpendicular BO desde el punto B hasta AC. Entonces AO y OS serán proyecciones de AB y BC inclinados sobre la línea recta AC. El triángulo ABC es isósceles según el teorema. VO es la altura de este triángulo. Pero la altura es triángulo isósceles, dibujado hasta la base, es al mismo tiempo la mediana de este triángulo.

Por lo tanto AO = OS.

Teorema 3 (inverso). Si dos líneas oblicuas trazadas sobre una línea recta desde el mismo punto tienen proyecciones iguales, entonces son iguales entre sí.

Sean AC y CB inclinados hacia la recta AB (Fig.). CO ⊥ AB y AO = OB.

Se requiere demostrar que AC = BC.

En los triángulos rectángulos AOC y BOC, los catetos AO y OB son iguales. CO es el cateto común de estos triángulos. Por lo tanto, ΔAOC = ΔBOC. De la igualdad de triángulos se deduce que AC = BC.

Teorema 4. Si se trazan dos pendientes oblicuas desde un mismo punto hacia una recta, entonces la que tiene una mayor proyección sobre esta recta es mayor.

Sean AB y BC inclinados hacia la recta AO; VO ⊥ AO y AO>CO. Se requiere demostrar que AB > BC.

1) Los inclinados se ubican a un lado de la perpendicular.

El ángulo ACE es externo al triángulo rectángulo COB (Fig.), y por tanto ∠ACV > ∠COV, es decir, es obtuso. Se deduce que AB > CB.

2) Los inclinados se ubican a ambos lados de la perpendicular. Para probar esto, tracemos el segmento OK = OS en AO desde el punto O y conectemos el punto K con el punto B (Fig.). Entonces, por el Teorema 3, tenemos: VC = BC, pero AB > VC, por lo tanto, AB > BC, es decir, el teorema es válido también en este caso.

Teorema 5 (inverso). Si se trazan dos líneas inclinadas desde el mismo punto hasta una línea recta, entonces la línea inclinada más grande también tiene una proyección mayor sobre esta línea recta.

Sean KS y BC inclinados hacia la recta CV (Fig.), SO ⊥ CV y KS > BC. Se requiere demostrar que KO > OB.

Entre los segmentos KO y OB sólo puede existir una de tres relaciones:

1) KO< ОВ,

2) KO = OV,

3) KO > OV.

KO no puede ser menor que OB, ya que entonces, según el Teorema 4, el KS inclinado sería menor que el BC inclinado, y esto contradice las condiciones del teorema.

De la misma forma, KO no puede ser igual a OB, ya que en este caso, según el Teorema 3, KS = BC, lo que también contradice las condiciones del teorema.

En consecuencia, sólo la última relación sigue siendo verdadera, es decir, que KO > OB.

TRIANGULOS.

§ 31.PERPENDICULAR E INCLINADO A UNA RECTA.

1. Proyección de un segmento sobre una recta.

El segmento CO es perpendicular a la línea AB. El punto O se llama base de la perpendicular CO (dibujo 168).

Segmento BC: inclinado a la línea recta AO. El punto C se llama base inclinado (Fig. 169).

El segmento A "B" es la proyección del segmento AB sobre EC. El segmento OM" también se denomina proyección del segmento OM sobre EC.

La proyección del segmento KR perpendicular a la UE será el punto K" (Fig. 170).

2. Propiedades de la perpendicular y la oblicua.

Teorema 1. Una perpendicular trazada desde un punto a una recta es menor que cualquier oblicua trazada desde el mismo punto a esta recta.

El segmento AC (Fig. 171) es perpendicular a la recta OB, y AM es una de las rectas inclinadas trazadas desde el punto A hasta la recta OB. Se requiere demostrar que AM > AC.

EN /\ El segmento MAC AM es la hipotenusa, y la hipotenusa es mayor que cada uno de los catetos de este triángulo (§ 30). Por lo tanto, AM > AC. Dado que tomamos la AM inclinada arbitrariamente, podemos afirmar que cualquier línea inclinada a una línea recta es mayor que una perpendicular a esta línea (y una perpendicular es más corta que cualquier línea inclinada) si se trazan hacia ella desde el mismo punto.

La afirmación inversa también es cierta, a saber: si el segmento AC (Fig. 171) es menor que cualquier otro segmento que conecte el punto AC con cualquier punto de la recta OB, entonces es perpendicular a OB. De hecho, el segmento AC no puede inclinarse hacia OB, ya que entonces no sería el más corto de los segmentos que conectan el punto A con los puntos de la recta OB. Esto significa que sólo puede ser perpendicular a OB.

La longitud de la perpendicular que cae desde un punto dado a una línea recta se toma como la distancia desde un punto dado a esta línea recta.

Teorema 2. Si dos rectas oblicuas trazadas sobre una recta desde el mismo punto son iguales, entonces sus proyecciones son iguales.

Sean BA y BC líneas inclinadas trazadas desde el punto B hasta la línea recta AC (Fig. 172), y AB = BC. Es necesario demostrar que sus proyecciones también son iguales.

Para demostrar esto, bajemos la perpendicular BO desde el punto B hasta AC. Entonces AO y OS serán proyecciones de AB y BC inclinados sobre la línea recta AC. El triángulo ABC es isósceles según el teorema. VO es la altura de este triángulo. Pero la altura en un triángulo isósceles trazado hasta la base es al mismo tiempo la mediana de ese triángulo (§ 18).

Por lo tanto AO = OS.

Teorema 3(contrarrestar). Si dos líneas oblicuas trazadas sobre una línea recta desde el mismo punto tienen proyecciones iguales, entonces son iguales entre sí.

Sean AC y CB inclinados hacia la recta AB (Fig. 173). CO_|_AB y AO = OB.

Se requiere demostrar que AC = BC.

En los triángulos rectángulos AOC y BOC, los catetos AO y OB son iguales. CO es el cateto común de estos triángulos. Por eso, /\ COA = /\ VOS. De la igualdad de triángulos se deduce que AC = BC.

Teorema 4. Si se trazan dos pendientes oblicuas desde un mismo punto hacia una recta, entonces la que tiene una mayor proyección sobre esta recta es mayor.

Sean AB y BC inclinados hacia la recta AO; VO_|_AO y AO>SO. Se requiere demostrar que AB > BC.

1) Los inclinados se ubican a un lado de la perpendicular.

El ángulo ACE es externo con respecto al triángulo rectángulo COB (Fig. 174), y por lo tanto / DIA > / BÚHO, es decir, es estúpido. De ello se deduce que AB > CB.

2) Los inclinados se ubican a ambos lados de la perpendicular. Para demostrar esto, tracemos el segmento OK = OS en AO desde el punto O y conectemos el punto K con el punto B (Fig. 175). Entonces, por el Teorema 3, tenemos: VC = BC, pero AB > VC, por lo tanto, AB > BC, es decir, el teorema es válido también en este caso.

Teorema 5(contrarrestar). Si se trazan dos líneas inclinadas desde el mismo punto hasta una línea recta, entonces la línea inclinada más grande también tiene una proyección mayor sobre esta línea recta.

Sean KS y BC inclinados hacia la recta KB (Fig. 176), SO_|_KB y KS > BC. Se requiere demostrar que KO > OB.

Entre los segmentos KO y OB sólo puede existir una de tres relaciones:

1) KO< ОВ,
2) KO = OV,
3) KO > OV.

KO no puede ser menor que OB, ya que entonces, según el Teorema 4, el KS inclinado sería menor que el BC inclinado, y esto contradice las condiciones del teorema.

De la misma forma, KO no puede ser igual a OB, ya que en este caso, según el Teorema 3, KS = BC, lo que también contradice las condiciones del teorema.

En consecuencia, sólo la última relación sigue siendo verdadera, es decir, que
KO > OV.

Tema de la lección

Perpendicular y oblicua.

Objetivos de la lección

Familiarícese con nuevas definiciones y recuerde algunas ya estudiadas.
Aprenda a aplicar las propiedades de las formas al resolver problemas.
Comprender algunos conceptos y definiciones aparentemente simples.
De desarrollo: para desarrollar la atención, la perseverancia, la perseverancia, el pensamiento lógico y el habla matemática de los estudiantes.
Educativo: a través de la lección, cultive una actitud atenta hacia los demás, inculque la capacidad de escuchar a los camaradas, la asistencia mutua y la independencia.

Objetivos de la lección

Pon a prueba las habilidades de resolución de problemas de los estudiantes.
Aprenda a percibir correctamente la información.
Repasar los conceptos básicos de perpendicular y oblicuo.

Plan de estudios

Introducción.
Repetición de material previamente estudiado.
Perpendicular y oblicua.
Ejemplos de resolución de problemas.

introducción

No es ningún secreto que toda la geometría elemental nos llegó principalmente de Egipto y Grecia. En tiempos lejanos y antiguos, la geometría se utilizaba como ciencia para medir la tierra y también muy de cerca en la construcción. Todos los teoremas, leyes y axiomas se derivaron y demostraron para facilitar los trabajos de medición o construcción. El tema de hoy fue muy importante para la gente de aquella época ya que la perpendicular y la oblicua son las principales pautas para este tipo de trabajos.

Existen muchas hipótesis sobre la técnica de construcción de las pirámides de Egipto. Es obvio que esta técnica ha cambiado con el tiempo, es decir. Las pirámides posteriores se construyeron de manera diferente a las anteriores. La mayoría de las hipótesis parten de que los bloques fueron cortados en canteras mediante punzones, cinceles, cinceles, azuelas, etc., cuyo material principal en su fabricación era el cobre. Por lo tanto, el material extraído debía transportarse de algún modo hasta el lugar de construcción e instalarse. Las discrepancias entre las distintas hipótesis se relacionan principalmente con los métodos de entrega e instalación de los bloques, así como con las estimaciones del tiempo de construcción y las necesidades de mano de obra.

Técnica de construcción de las Grandes Pirámides según Heródoto

Nuestro la única fuente escrita, que describe el proceso de construcción de las pirámides, Sirve como libro II de la “Historia” de Heródoto, quien visitó Egipto ca. 450 aC oh. Sin hablar el idioma de los egipcios, heródoto Tuvo que tomar notas de las palabras de los colonos griegos que vivían en el país, así como, a través de traductores, de las palabras de los representantes del sacerdocio egipcio. Definitivamente le resultó difícil descubrir cómo se construyeron las Grandes Pirámides hace dos mil años antes que él, ya que era poco probable que los propios egipcios lo supieran.

Algunos se vieron obligados a arrastrar enormes bloques de piedras desde las canteras de las Montañas Arábigas hasta el Nilo (las piedras fueron transportadas a través del río en barcos), mientras que a otros se les ordenó arrastrarlas más lejos, hasta las llamadas Montañas Libias. Cien mil personas realizaron este trabajo de forma continua, renovándose cada tres meses. La gente, exhausta, tardó diez años en construir el camino por el que fueron arrastrados estos bloques de piedra; el trabajo, en mi opinión, fue casi tan enorme como la construcción de la pirámide misma. La construcción de la pirámide en sí duró veinte años.

Otras teorías sobre la fabricación e instalación de bloques.

También existe la teoría de que los propios bloques que forman la pirámide se fabricaron mediante encofrado. Se instaló encofrado en el nivel anterior. forma rectangular, en el que luego se vertió la composición similar a una solución. El propio bloque congelado sirvió como encofrado para los siguientes bloques del nivel en crecimiento. Los componentes de la solución podrían ser entregados con relativa facilidad por numerosos esclavos sin el uso de equipos complejos.

Esta teoría explica bien el ajuste ideal de las paredes de los bloques individuales.

Hipótesis alternativas

Varios autores plantearon la hipótesis de que las pirámides fueron construidas por otras civilizaciones desarrolladas, ya sean terrestres, que luego desaparecieron, o extraterrestres. Además, una de las sociedades de egiptólogos aficionados propuso una teoría según la cual se movían enormes bloques de piedra con la ayuda de cometas. Los egiptólogos no toman en serio estas hipótesis.

Perpendicular y oblicua

Entonces comencemos con lo más simple y repitamos lo que es. perpendicular y oblicua.

Definición. Dos rectas se llaman perpendiculares si se cortan formando ángulos rectos.

Respuesta: 13.

Máquinas y Mecanismos.

Máquinas y Mecanismos, dispositivos mecánicos, facilitando el trabajo y aumentando la productividad. Los autos pueden ser grados variables complejidad: desde una simple carretilla de una rueda hasta ascensores, automóviles, imprentas, textiles y máquinas informáticas. Las máquinas de energía convierten un tipo de energía en otro. Por ejemplo, los generadores hidroeléctricos convierten la energía mecánica del agua que cae en energía eléctrica. Motor Combustión interna convierte la energía química de la gasolina en energía térmica y luego en energía mecánica del movimiento del vehículo.

Un engranaje es un mecanismo o parte de un mecanismo que incluye engranajes.

Objetivo:

transmisión de movimiento de rotación entre ejes, que pueden tener ejes paralelos, que se cruzan o se cruzan.
convertir el movimiento de rotación en movimiento de traslación y viceversa.

En este caso, la fuerza se transmite de un elemento a otro mediante dientes. La rueda dentada con menos dientes se llama piñón, la segunda rueda con un número grande dientes se llama rueda. Un par de ruedas dentadas que tienen mismo número dientes en este caso, el engranaje impulsor se llama engranaje y el engranaje impulsado se llama rueda.

Tornillo de Arquímedes, Tornillo de Arquímedes- un mecanismo utilizado históricamente para transferir agua desde masas de agua bajas a canales de riego. Fue uno de varios inventos y descubrimientos tradicionalmente atribuidos a Arquímedes, que vivió en el siglo III a.C. mi. El tornillo de Arquímedes se convirtió en el prototipo de la barrena.

La hélice generalmente se hace girar mediante una rueda de viento. o manualmente. Mientras el extremo inferior del tubo gira, recoge una cierta cantidad de agua. Esta cantidad de agua se deslizará por la tubería en espiral a medida que el eje gira hasta que finalmente el agua fluya por la parte superior de la tubería, abasteciendo el sistema de riego.

Preguntas

¿Qué es perpendicular?
¿Qué línea se llama inclinada?
¿Las diagonales de un cuadrado están divididas por la mitad por el punto de intersección?
¿Son iguales las diagonales de un cuadrado?
¿Dónde se utiliza en la práctica un plano inclinado?
¿Qué forma se llama rectángulo?

Lista de fuentes utilizadas

"Los constructores de pirámides" Notas del Dr. Z. Hawass
Perepelkin Yu. Historia del Antiguo Egipto - San Petersburgo: "Jardín de verano", 2000.
Kobycheva Marina Viktorovna, profesora de matemáticas
Mazur K. I. “Resolución de los principales problemas competitivos en matemáticas de la colección editada por M. I. Skanavi”

Trabajamos en la lección.

Poturnak S.A.

Kobycheva Marina Viktorovna

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