Demuestre que la línea media del trapezoide es paralela a la base. Línea media del trapecio

El concepto de línea media del trapezoide.

Primero, recordemos qué tipo de figura se llama trapezoide.

Definición 1

Un trapezoide es un cuadrilátero en el que dos lados son paralelos y los otros dos no son paralelos.

En este caso, los lados paralelos se llaman bases del trapezoide y los lados no paralelos se llaman lados laterales del trapezoide.

Definición 2

linea intermedia Un trapezoide es un segmento que conecta los puntos medios de los lados de un trapezoide.

Teorema de la línea media del trapezoide

Ahora presentamos el teorema sobre la línea media de un trapezoide y lo demostramos usando el método vectorial.

Teorema 1

La línea media del trapezoide es paralela a las bases e igual a su media suma.

Prueba.

Tengamos un trapezoide $ABCD$ con bases $AD\ y\ BC$. Y sea $MN$ la línea media de este trapezoide (Fig. 1).

Figura 1. Línea media del trapecio

Demostremos que $MN||AD\ y\ MN=\frac(AD+BC)(2)$.

Considere el vector $\overrightarrow(MN)$. A continuación usamos la regla del polígono para sumar vectores. Por un lado, entendemos que

Por otro lado

Sumemos las dos últimas igualdades y obtengamos

Como $M$ y $N$ son los puntos medios de los lados laterales del trapezoide, tendremos

Obtenemos:

Por eso

De la misma igualdad (ya que $\overrightarrow(BC)$ y $\overrightarrow(AD)$ son codireccionales y, por tanto, colineales) obtenemos que $MN||AD$.

El teorema está demostrado.

Ejemplos de problemas sobre el concepto de línea media de un trapecio

Ejemplo 1

Los lados laterales del trapecio miden $15\ cm$ y $17\ cm$ respectivamente. El perímetro del trapezoide es $52\cm$. Encuentra la longitud de la línea media del trapezoide.

Solución.

Denotemos la línea media del trapezoide por $n$.

La suma de los lados es igual a

Por lo tanto, como el perímetro es $52\ cm$, la suma de las bases es igual a

Entonces, por el teorema 1, obtenemos

Respuesta:$10\cm$.

Ejemplo 2

Los extremos del diámetro del círculo están a $9$ cm y $5$ cm de su tangente, respectivamente.

Solución.

Se nos da un círculo con centro en el punto $O$ y diámetro $AB$. Dibujemos una tangente $l$ y construyamos las distancias $AD=9\ cm$ y $BC=5\ cm$. Dibujemos el radio $OH$ (Fig. 2).

Figura 2.

Como $AD$ y $BC$ son las distancias a la tangente, entonces $AD\bot l$ y $BC\bot l$ y como $OH$ es el radio, entonces $OH\bot l$, por lo tanto, $OH |\left|AD\right||BC$. De todo esto obtenemos que $ABCD$ es un trapezoide y $OH$ es su línea media. Por el teorema 1, obtenemos

trapezoide es caso especial un cuadrilátero en el que un par de lados son paralelos. El término "trapezoide" proviene de la palabra griega τράπεζα, que significa "mesa", "mesa". En este artículo veremos los tipos de trapezoide y sus propiedades. Además, descubriremos cómo calcular elementos individuales de este. Por ejemplo, la diagonal de un trapezoide isósceles, la línea central, el área, etc. El material se presenta en el estilo de la geometría popular elemental, es decir, en una forma de fácil acceso. .

información general

Primero, averigüemos qué es un cuadrilátero. Esta figura es un caso especial de un polígono que contiene cuatro lados y cuatro vértices. Dos vértices de un cuadrilátero que no son adyacentes se llaman opuestos. Lo mismo puede decirse de dos lados no adyacentes. Los principales tipos de cuadriláteros son paralelogramo, rectángulo, rombo, cuadrado, trapezoide y deltoides.

Entonces volvamos a los trapecios. Como ya hemos dicho, esta figura tiene dos lados paralelos. Se llaman bases. Los otros dos (no paralelos) son los lados laterales. En materiales de examen y varios. pruebas muy a menudo se pueden encontrar problemas relacionados con los trapecios, cuya solución a menudo requiere por parte del estudiante conocimientos que no están previstos en el programa. El curso de geometría escolar presenta a los estudiantes las propiedades de los ángulos y las diagonales, así como la línea media de un trapezoide isósceles. Pero, además de esto, la mencionada figura geométrica tiene otras características. Pero hablaremos de ellos un poco más adelante...

Tipos de trapezoide

Hay muchos tipos de esta figura. Sin embargo, la mayoría de las veces se acostumbra considerar dos de ellos: isósceles y rectangular.

1. Un trapezoide rectangular es una figura en la que uno de los lados es perpendicular a las bases. Sus dos ángulos siempre son iguales a noventa grados.

2. Un trapezoide isósceles es una figura geométrica cuyos lados son iguales entre sí. Esto significa que los ángulos en las bases también son iguales en pares.

Los principios fundamentales de la metodología para estudiar las propiedades de un trapezoide.

El principio fundamental incluye el uso del llamado enfoque de tareas. De hecho, no es necesario introducir nuevas propiedades de esta figura en el curso teórico de geometría. Pueden descubrirse y formularse en el proceso de resolución de diversos problemas (preferiblemente sistémicos). Al mismo tiempo, es muy importante que el profesor sepa qué tareas hay que asignar a los alumnos en un momento u otro. proceso educativo. Además, cada propiedad de un trapecio se puede representar como una tarea clave en un sistema de tareas.

El segundo principio es la llamada organización en espiral del estudio de las propiedades "notables" del trapezoide. Esto implica un retorno en el proceso de aprendizaje a las características individuales de una figura geométrica determinada. Esto hace que sea más fácil para los estudiantes recordarlos. Por ejemplo, la propiedad de cuatro puntos. Se puede demostrar tanto al estudiar la similitud como posteriormente al utilizar vectores. Y la equivalencia de los triángulos adyacentes a los lados laterales de una figura se puede probar aplicando no solo las propiedades de los triángulos con alturas iguales dibujados a los lados que se encuentran en la misma línea recta, sino también usando la fórmula S = 1/2( ab*sinα). Además, puedes trabajar en un trapezoide inscrito o en un triángulo rectángulo sobre un trapezoide inscrito, etc.

El uso de características "extracurriculares" de una figura geométrica en el contenido de un curso escolar es una tecnología basada en tareas para enseñarlas. Hacer referencia constante a las propiedades que se estudian mientras se analizan otros temas permite a los estudiantes obtener una comprensión más profunda del trapezoide y garantiza el éxito en la resolución de los problemas asignados. Entonces, comencemos a estudiar esta maravillosa figura.

Elementos y propiedades de un trapecio isósceles.

Como ya hemos señalado, esta figura geométrica tiene lados iguales. También se le conoce como trapezoide correcto. ¿Por qué es tan notable y por qué recibió ese nombre? La peculiaridad de esta figura es que no solo los lados y ángulos en las bases son iguales, sino también las diagonales. Además, la suma de los ángulos de un trapezoide isósceles es 360 grados. ¡Pero eso no es todo! De todos los trapecios conocidos, sólo el isósceles puede describirse como un círculo. Esto se debe al hecho de que la suma de los ángulos opuestos de esta figura es igual a 180 grados, y sólo bajo esta condición se puede describir un círculo alrededor de un cuadrilátero. La siguiente propiedad de la figura geométrica considerada es que la distancia desde el vértice de la base hasta la proyección del vértice opuesto sobre la recta que contiene esta base será igual a la línea media.

Ahora descubramos cómo encontrar los ángulos de un trapezoide isósceles. Consideremos una solución a este problema, siempre que se conozcan las dimensiones de los lados de la figura.

Solución

Por lo general, un cuadrilátero suele denotarse con las letras A, B, C, D, donde BS y AD son las bases. En un trapecio isósceles los lados son iguales. Supondremos que su tamaño es igual a X y que los tamaños de las bases son iguales a Y y Z (menor y mayor, respectivamente). Para realizar el cálculo es necesario trazar la altura H desde el ángulo B. El resultado es un triángulo rectángulo ABN, donde AB es la hipotenusa y BN y AN son los catetos. Calculamos el tamaño del cateto AN: restamos el menor a la base mayor, y dividimos el resultado entre 2. Lo escribimos en forma de fórmula: (Z-Y)/2 = F. Ahora, para calcular el cateto AN ángulo del triángulo, usamos la función cos. Obtenemos la siguiente entrada: cos(β) = X/F. Ahora calculamos el ángulo: β=arcos (X/F). Además, conociendo un ángulo, podemos determinar el segundo, para ello realizamos una operación aritmética elemental: 180 - β. Todos los ángulos están definidos.

Hay una segunda solución a este problema. Primero lo bajamos desde la esquina hasta la altura H. Calculamos el valor del cateto BN. Sabemos que el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo igual a la suma cuadrados de patas. Obtenemos: BN = √(X2-F2). A continuación usamos Funcion trigonometrica tg. Como resultado, tenemos: β = arctan (BN/F). Esquina filosa encontró. A continuación, lo definimos de manera similar al primer método.

Propiedad de las diagonales de un trapezoide isósceles

Primero, escribamos cuatro reglas. Si las diagonales de un trapezoide isósceles son perpendiculares, entonces:

La altura de la figura será igual a la suma de las bases dividida por dos;

Su altura y línea media son iguales;

El centro del círculo es el punto en el que ;

Si el lado lateral se divide por el punto tangente en los segmentos H y M, entonces es igual a raíz cuadrada productos de estos segmentos;

El cuadrilátero formado por los puntos de contacto, el vértice del trapezoide y el centro del círculo inscrito es un cuadrado cuyo lado es igual al radio;

El área de una figura es igual al producto de las bases por el producto de la mitad de la suma de las bases y su altura.

Trapecios similares

Este tema es muy conveniente para estudiar las propiedades de este. Por ejemplo, las diagonales dividen un trapezoide en cuatro triángulos, y las adyacentes a las bases son similares y las adyacentes a los lados son iguales en tamaño. Esta afirmación puede denominarse propiedad de los triángulos en que se divide el trapezoide por sus diagonales. La primera parte de esta afirmación se prueba mediante el signo de semejanza en dos ángulos. Para probar la segunda parte, es mejor utilizar el método que se indica a continuación.

Prueba del teorema

Aceptamos que la figura ABSD (AD y BS son las bases del trapezoide) se divide por las diagonales VD y AC. El punto de su intersección es O. Obtenemos cuatro triángulos: AOS - en la base inferior, BOS - en la base superior, ABO y SOD en los lados. Los triángulos SOD y BOS tienen una altura común si los segmentos BO y OD son sus bases. Encontramos que la diferencia entre sus áreas (P) es igual a la diferencia entre estos segmentos: PBOS/PSOD = BO/OD = K. Por lo tanto, PSOD = PBOS/K. De manera similar, los triángulos BOS y AOB tienen una altura común. Tomamos como base los segmentos CO y OA. Obtenemos PBOS/PAOB = CO/OA = K y PAOB = PBOS/K. De esto se deduce que PSOD = PAOB.

Para consolidar el material, se recomienda a los estudiantes encontrar la conexión entre las áreas de los triángulos resultantes en los que se divide el trapezoide por sus diagonales resolviendo el siguiente problema. Se sabe que los triángulos BOS y AOD tienen áreas iguales; es necesario encontrar el área del trapezoide. Dado que PSOD = PAOB, significa PABSD = PBOS+PAOD+2*PSOD. De la similitud de los triángulos BOS y AOD se deduce que BO/OD = √(PBOS/PAOD). Por lo tanto, PBOS/PSOD = BO/OD = √(PBOS/PAOD). Obtenemos PSOD = √(PBOS*PAOD). Entonces PABSD = PBOS+PAOD+2*√(PBOS*PAOD) = (√PBOS+√PAOD)2.

Propiedades de similitud

Continuando desarrollando este tema, se pueden probar otros. características interesantes trapezoide. Así, mediante la semejanza se puede demostrar la propiedad de un segmento que pasa por el punto formado por la intersección de las diagonales de esta figura geométrica, paralelo a las bases. Para ello, resolvamos el siguiente problema: necesitamos encontrar la longitud del segmento RK que pasa por el punto O. De la similitud de los triángulos AOD y BOS se deduce que AO/OS = AD/BS. De la semejanza de los triángulos AOP y ASB se deduce que AO/AC=RO/BS=AD/(BS+AD). De aquí obtenemos que RO=BS*BP/(BS+BP). De manera similar, de la similitud de los triángulos DOC y DBS, se deduce que OK = BS*AD/(BS+AD). De aquí obtenemos que RO=OK y RK=2*BS*AD/(BS+AD). El segmento que pasa por el punto de intersección de las diagonales. paralelo a las bases y que conecta los dos lados laterales, se divide por la mitad por el punto de intersección. Su longitud es la media armónica de las bases de la figura.

Considere la siguiente propiedad de un trapecio, que se llama propiedad de los cuatro puntos. Los puntos de intersección de las diagonales (O), la intersección de la continuación de los lados (E), así como los puntos medios de las bases (T y F) siempre se encuentran en la misma línea. Esto se puede demostrar fácilmente mediante el método de semejanza. Los triángulos resultantes BES y AED son semejantes, y en cada uno de ellos las medianas ET y EJ dividen el ángulo del vértice E en partes iguales. Por tanto, los puntos E, T y F se encuentran en la misma recta. De la misma manera, los puntos T, O y Zh se ubican en la misma línea recta. Todo esto se desprende de la similitud de los triángulos BOS y AOD. De aquí concluimos que los cuatro puntos (E, T, O y F) estarán en la misma línea recta.

Usando trapecios similares, puedes pedir a los estudiantes que encuentren la longitud del segmento (LS) que divide la figura en dos similares. Este segmento debe ser paralelo a las bases. Dado que los trapecios resultantes ALFD y LBSF son similares, entonces BS/LF = LF/AD. De ello se deduce que LF=√(BS*AD). Encontramos que el segmento que divide el trapecio en dos similares tiene una longitud igual a la media geométrica de las longitudes de las bases de la figura.

Considere la siguiente propiedad de similitud. Se basa en un segmento que divide el trapezoide en dos figuras iguales. Suponemos que el trapezoide ABSD está dividido por el segmento EH en dos similares. Desde el vértice B se omite una altura, que se divide por el segmento EN en dos partes: B1 y B2. Obtenemos: PABSD/2 = (BS+EN)*B1/2 = (AD+EN)*B2/2 y PABSD = (BS+AD)*(B1+B2)/2. A continuación, componemos un sistema cuya primera ecuación es (BS+EN)*B1 = (AD+EN)*B2 y la segunda (BS+EN)*B1 = (BS+AD)*(B1+B2)/2. De ello se deduce que B2/B1 = (BS+EN)/(AD+EN) y BS+EN = ((BS+AD)/2)*(1+B2/B1). Encontramos que la longitud del segmento que divide el trapezoide en dos iguales es igual a la raíz cuadrática media de las longitudes de las bases: √((BS2+AD2)/2).

Hallazgos de similitud

Así, hemos demostrado que:

1. El segmento que conecta los puntos medios de los lados laterales de un trapezoide es paralelo a AD y BS y es igual a la media aritmética de BS y AD (la longitud de la base del trapezoide).

2. La recta que pasa por el punto O de la intersección de las diagonales paralelas a AD y BS será igual a la media armónica de los números AD y BS (2*BS*AD/(BS+AD)).

3. El segmento que divide el trapezoide en otros semejantes tiene la longitud de la media geométrica de las bases BS y AD.

4. Un elemento que divide una figura en dos iguales tiene la longitud de la raíz cuadrática media de los números AD y BS.

Para consolidar el material y comprender la conexión entre los segmentos considerados, el estudiante necesita construirlos para un trapezoide específico. Puede representar fácilmente la línea media y el segmento que pasa por el punto O, la intersección de las diagonales de la figura, paralelo a las bases. ¿Pero dónde estarán ubicados el tercero y el cuarto? Esta respuesta llevará al estudiante al descubrimiento de la relación deseada entre valores medios.

Un segmento que conecta los puntos medios de las diagonales de un trapezoide.

Considere la siguiente propiedad de esta figura. Suponemos que el segmento MH es paralelo a las bases y biseca las diagonales. Llamemos a los puntos de intersección Ш y Ш. Este segmento será igual a la mitad de la diferencia de las bases. Veamos esto con más detalle. MS es la línea media del triángulo ABS, es igual a BS/2. MSH es la línea media del triángulo ABD, es igual a AD/2. Entonces obtenemos que ShShch = MSh-MSh, por lo tanto, ShShch = AD/2-BS/2 = (AD+VS)/2.

Centro de gravedad

Veamos cómo se determina este elemento para una figura geométrica determinada. Para ello, es necesario extender las bases en direcciones opuestas. ¿Qué significa? Debe agregar la base inferior a la base superior, en cualquier dirección, por ejemplo, hacia la derecha. Y extendemos el inferior a lo largo del superior hacia la izquierda. A continuación, los conectamos en diagonal. El punto de intersección de este segmento con la línea media de la figura es el centro de gravedad del trapezoide.

Trapecios inscritos y circunscritos.

Enumeremos las características de tales figuras:

1. Un trapezoide puede inscribirse en una circunferencia sólo si es isósceles.

2. Se puede describir un trapezoide alrededor de un círculo, siempre que la suma de las longitudes de sus bases sea igual a la suma de las longitudes de los lados.

Corolarios del círculo:

1. La altura del trapezoide descrito es siempre igual a dos radios.

2. El lado del trapezoide descrito se observa desde el centro del círculo en ángulo recto.

El primer corolario es obvio, pero para demostrar el segundo es necesario establecer que el ángulo SOD es recto, lo cual, de hecho, tampoco es difícil. Pero el conocimiento de esta propiedad le permitirá utilizar un triángulo rectángulo al resolver problemas.

Ahora especifiquemos estas consecuencias para un trapezoide isósceles inscrito en un círculo. Encontramos que la altura es la media geométrica de las bases de la figura: H=2R=√(BS*AD). Mientras practica la técnica básica para la resolución de problemas de trapecios (el principio de dibujar dos alturas), el alumno debe resolver la siguiente tarea. Suponemos que BT es la altura de la figura isósceles ABSD. Es necesario encontrar los segmentos AT y TD. Usando la fórmula descrita anteriormente, esto no será difícil de hacer.

Ahora descubramos cómo determinar el radio de un círculo usando el área del trapezoide circunscrito. Bajamos la altura desde el vértice B hasta la base AD. Como el círculo está inscrito en un trapezoide, entonces BS+AD = 2AB o AB = (BS+AD)/2. Del triángulo ABN encontramos senα = BN/AB = 2*BN/(BS+AD). PABSD = (BS+BP)*BN/2, BN=2R. Obtenemos PABSD = (BS+BP)*R, se deduce que R = PABSD/(BS+BP).

Todas las fórmulas para la línea media de un trapezoide.

Ahora toca pasar al último elemento de esta figura geométrica. Averigüemos a qué es igual la línea media del trapezoide (M):

1. Por las bases: M = (A+B)/2.

2. Por altura, base y esquinas:

M = A-H*(ctgα+ctgβ)/2;

M = B+N*(ctgα+ctgβ)/2.

3. A través de la altura, las diagonales y el ángulo entre ellas. Por ejemplo, D1 y D2 son las diagonales de un trapezoide; α, β - ángulos entre ellos:

M = D1*D2*senα/2Н = D1*D2*senβ/2Н.

4. Área pasante y altura: M = P/N.

El concepto de línea media del trapezoide.

Primero, recordemos qué tipo de figura se llama trapezoide.

Definición 1

Un trapezoide es un cuadrilátero en el que dos lados son paralelos y los otros dos no son paralelos.

En este caso, los lados paralelos se llaman bases del trapezoide y los lados no paralelos se llaman lados laterales del trapezoide.

Definición 2

La línea media de un trapezoide es un segmento que conecta los puntos medios de los lados laterales del trapezoide.

Teorema de la línea media del trapezoide

Ahora presentamos el teorema sobre la línea media de un trapezoide y lo demostramos usando el método vectorial.

Teorema 1

La línea media del trapezoide es paralela a las bases e igual a su media suma.

Prueba.

Tengamos un trapezoide $ABCD$ con bases $AD\ y\ BC$. Y sea $MN$ la línea media de este trapezoide (Fig. 1).

Figura 1. Línea media del trapecio

Demostremos que $MN||AD\ y\ MN=\frac(AD+BC)(2)$.

Considere el vector $\overrightarrow(MN)$. A continuación usamos la regla del polígono para sumar vectores. Por un lado, entendemos que

Por otro lado

Sumemos las dos últimas igualdades y obtengamos

Como $M$ y $N$ son los puntos medios de los lados laterales del trapezoide, tendremos

Obtenemos:

Por eso

De la misma igualdad (ya que $\overrightarrow(BC)$ y $\overrightarrow(AD)$ son codireccionales y, por tanto, colineales) obtenemos que $MN||AD$.

El teorema está demostrado.

Ejemplos de problemas sobre el concepto de línea media de un trapecio

Ejemplo 1

Los lados laterales del trapecio miden $15\ cm$ y $17\ cm$ respectivamente. El perímetro del trapezoide es $52\cm$. Encuentra la longitud de la línea media del trapezoide.

Solución.

Denotemos la línea media del trapezoide por $n$.

La suma de los lados es igual a

Por lo tanto, como el perímetro es $52\ cm$, la suma de las bases es igual a

Entonces, por el teorema 1, obtenemos

Respuesta:$10\cm$.

Ejemplo 2

Los extremos del diámetro del círculo están a $9$ cm y $5$ cm de su tangente, respectivamente.

Solución.

Se nos da un círculo con centro en el punto $O$ y diámetro $AB$. Dibujemos una tangente $l$ y construyamos las distancias $AD=9\ cm$ y $BC=5\ cm$. Dibujemos el radio $OH$ (Fig. 2).

Figura 2.

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