Al sumar fracciones decimales, debes escribirlas una debajo de la otra de modo que los mismos dígitos estén debajo de la otra y la coma debajo de la coma, y sumar las fracciones de la misma manera que sumas los números naturales. Sumemos, por ejemplo, las fracciones 12,7 y 3,442. La primera fracción contiene un decimal y la segunda contiene tres. Para realizar la suma, transformamos la primera fracción para que haya tres dígitos después del punto decimal: , entonces
La resta de fracciones decimales se realiza de la misma forma. Encontremos la diferencia entre los números 13,1 y 0,37:
Al multiplicar fracciones decimales, basta con multiplicar los números dados, sin prestar atención a las comas (como los números naturales), y luego, como resultado, separar con una coma tantos dígitos de la derecha como hay después del punto decimal en ambos factores en total.
Por ejemplo, multipliquemos 2,7 por 1,3. Tenemos. Usamos una coma para separar dos dígitos de la derecha (la suma de los dígitos de los factores después del punto decimal es dos). Como resultado, obtenemos 2,7 · 1,3 = 3,51.
Si el producto contiene menos dígitos de los que deben estar separados por una coma, los ceros que faltan se escriben delante, por ejemplo:
Consideremos multiplicar una fracción decimal por 10, 100, 1000, etc. Digamos que necesitamos multiplicar la fracción 12,733 por 10. Tenemos. Separando tres dígitos a la derecha con una coma, obtenemos Pero. Medio,
12 733 10 = 127,33. Así, multiplicar una fracción decimal por 10 se reduce a mover la coma decimal un dígito hacia la derecha.
En general, para multiplicar una fracción decimal por 10, 100, 1000, es necesario mover el punto decimal en esta fracción 1, 2, 3 dígitos hacia la derecha, agregando, si es necesario, una cierta cantidad de ceros a la fracción en el bien). Por ejemplo,
La división de una fracción decimal por un número natural se realiza de la misma manera que se divide un número natural por un número natural, y la coma en el cociente se coloca después de completar la división de la parte entera. Dividamos 22,1 entre 13:
Si la parte entera del dividendo menor que divisor, entonces la respuesta resulta ser cero enteros, por ejemplo:
Consideremos ahora dividir un decimal por un decimal. Digamos que necesitamos dividir 2,576 entre 1,12. Para ello, tanto en el dividendo como en el divisor, mueve la coma hacia la derecha tantos dígitos como haya después del punto decimal en el divisor (en este ejemplo, dos). Es decir, si multiplicamos el dividendo y el divisor por 100, el cociente no cambiará. Luego hay que dividir la fracción 257,6 por el número natural 112, es decir, el problema se reduce al caso ya considerado:
Para dividir una fracción decimal, debes mover el punto decimal de esta fracción hacia la izquierda (y, si es necesario, agregar la cantidad requerida de ceros a la izquierda). Por ejemplo, .
Así como la división no siempre es factible para números naturales, no siempre lo es para fracciones decimales. Por ejemplo, divida 2,8 entre 0,09:
El resultado es la llamada fracción decimal infinita. En tales casos, pasamos a fracciones ordinarias. Por ejemplo:
Puede resultar que algunos números estén escritos en forma de fracciones ordinarias, otros en forma de números mixtos y otros en forma de fracciones decimales. Al realizar operaciones con dichos números, puede hacer diferentes cosas: convertir decimales en fracciones ordinarias y aplicar las reglas para operar con fracciones ordinarias, o convertir fracciones ordinarias y números mixtos en decimales (si es posible) y aplicar las reglas para operar con decimales. .
En este tutorial veremos cada una de estas operaciones por separado.
Contenido de la lecciónSumar decimales
Como sabemos, una fracción decimal tiene una parte entera y una parte fraccionaria. Al sumar decimales, las partes enteras y fraccionarias se suman por separado.
Por ejemplo, sumemos las fracciones decimales 3,2 y 5,3. Es más conveniente sumar fracciones decimales en una columna.
Primero escribamos estas dos fracciones en una columna, con las partes enteras necesariamente debajo de los números enteros y las fracciones debajo de las fracciones. En la escuela este requisito se llama "coma debajo de coma".
Escribamos las fracciones en una columna de modo que la coma quede debajo de la coma:
Empezamos a sumar las partes fraccionarias: 2 + 3 = 5. Escribimos el cinco en la parte fraccionaria de nuestra respuesta:
Ahora sumamos las partes enteras: 3 + 5 = 8. Escribimos un ocho en la parte entera de nuestra respuesta:
Ahora separamos la parte entera de la fraccionaria con una coma. Para hacer esto, volvemos a seguir la regla. "coma debajo de coma":
Recibimos una respuesta de 8,5. Entonces la expresión 3,2 + 5,3 es igual a 8,5
De hecho, no todo es tan sencillo como parece a primera vista. Aquí también hay trampas, de las que hablaremos ahora.
Lugares en decimales
Las fracciones decimales, al igual que los números ordinarios, tienen sus propios dígitos. Estos son lugares de décimas, lugares de centésimas, lugares de milésimas. En este caso, los dígitos comienzan después del punto decimal.
El primer dígito después del punto decimal es responsable de las décimas, el segundo dígito después del punto decimal de las centésimas y el tercer dígito después del punto decimal de las milésimas.
Los lugares en fracciones decimales contienen algunos información útil. Específicamente, te dicen cuántas décimas, centésimas y milésimas hay en un decimal.
Por ejemplo, considere la fracción decimal 0,345.
La posición donde se ubica el tres se llama décimo lugar
La posición donde se ubica el cuatro se llama lugar de las centésimas
La posición donde se ubica el cinco se llama milésimo lugar
Miremos este dibujo. Vemos que hay un tres en el lugar de las décimas. Esto nos dice que hay tres décimas en la fracción decimal 0,345.
Si sumamos las fracciones, obtenemos la fracción decimal original 0,345
Se puede ver que al principio recibimos la respuesta, pero la convertimos a una fracción decimal y obtuvimos 0,345.
Al sumar fracciones decimales, se siguen los mismos principios y reglas que al sumar números ordinarios. La suma de fracciones decimales se produce en dígitos: las décimas se suman a las décimas, las centésimas a las centésimas y las milésimas a las milésimas.
Por lo tanto, al sumar fracciones decimales, debes seguir la regla "coma debajo de coma". La coma debajo de la coma proporciona el orden mismo en el que se suman décimas a décimas, centésimas a centésimas, milésimas a milésimas.
Ejemplo 1. Encuentra el valor de la expresión 1,5 + 3,4.
Primero que nada, sumamos las partes fraccionarias 5 + 4 = 9. Escribimos nueve en la parte fraccionaria de nuestra respuesta:
Ahora sumamos las partes enteras 1 + 3 = 4. Escribimos el cuatro en la parte entera de nuestra respuesta:
Ahora separamos la parte entera de la fraccionaria con una coma. Para hacer esto, volvemos a seguir la regla de “coma debajo de coma”:
Recibimos una respuesta de 4,9. Esto significa que el valor de la expresión 1,5 + 3,4 es 4,9
Ejemplo 2. Encuentra el valor de la expresión: 3,51 + 1,22
Escribimos esta expresión en una columna, observando la regla de “coma debajo de coma”.
En primer lugar, sumamos la parte fraccionaria, es decir, las centésimas de 1+2=3. Escribimos un triple en la centésima parte de nuestra respuesta:
Ahora suma las décimas 5+2=7. Escribimos un siete en la décima parte de nuestra respuesta:
Ahora sumamos las partes enteras 3+1=4. Escribimos los cuatro en toda la parte de nuestra respuesta:
Separamos la parte entera de la fraccionaria con una coma, observando la regla “coma bajo coma”:
La respuesta que recibimos fue 4,73. Esto significa que el valor de la expresión 3,51 + 1,22 es 4,73
3,51 + 1,22 = 4,73
Al igual que con los números normales, al sumar decimales, . En este caso, se escribe un dígito en la respuesta y el resto se transfiere al siguiente dígito.
Ejemplo 3. Encuentra el valor de la expresión 2,65 + 3,27.
Escribimos esta expresión en la columna:
Suma las centésimas partes 5+7=12. El número 12 no cabe en la centésima parte de nuestra respuesta. Por tanto, en la centésima parte escribimos el número 2, y trasladamos la unidad al siguiente dígito:
Ahora sumamos las décimas de 6+2=8 más la unidad que obtuvimos de la operación anterior, obtenemos 9. Escribimos el número 9 en la décima de nuestra respuesta:
Ahora sumamos las partes enteras 2+3=5. Escribimos el número 5 en la parte entera de nuestra respuesta:
La respuesta que recibimos fue 5,92. Esto significa que el valor de la expresión 2,65 + 3,27 es igual a 5,92
2,65 + 3,27 = 5,92
Ejemplo 4. Encuentra el valor de la expresión 9,5 + 2,8.
Escribimos esta expresión en la columna.
Sumamos las partes fraccionarias 5 + 8 = 13. El número 13 no encajará en la parte fraccionaria de nuestra respuesta, por lo que primero escribimos el número 3 y movemos la unidad al siguiente dígito, o mejor dicho, lo transferimos al parte entera:
Ahora sumamos las partes enteras 9+2=11 más la unidad que obtuvimos de la operación anterior, obtenemos 12. Escribimos el número 12 en la parte entera de nuestra respuesta:
Separe la parte entera de la parte fraccionaria con una coma:
Recibimos la respuesta 12.3. Esto significa que el valor de la expresión 9,5 + 2,8 es 12,3
9,5 + 2,8 = 12,3
Al sumar decimales, el número de dígitos después del punto decimal en ambas fracciones debe ser el mismo. Si no hay suficientes números, estos lugares en la parte fraccionaria se rellenan con ceros.
Ejemplo 5. Encuentra el valor de la expresión: 12,725 + 1,7
Antes de escribir esta expresión en una columna, hagamos que el número de dígitos después del punto decimal en ambas fracciones sea el mismo. La fracción decimal 12,725 tiene tres dígitos después del punto decimal, pero la fracción 1,7 tiene solo uno. Esto significa que en la fracción 1.7 debes agregar dos ceros al final. Luego obtenemos la fracción 1.700. Ahora puedes escribir esta expresión en una columna y comenzar a calcular:
Suma las milésimas 5+0=5. Escribimos el número 5 en la milésima parte de nuestra respuesta:
Suma las centésimas partes 2+0=2. Escribimos el número 2 en la centésima parte de nuestra respuesta:
Suma las décimas 7+7=14. El número 14 no cabe en una décima parte de nuestra respuesta. Por lo tanto, primero escribimos el número 4 y pasamos la unidad al siguiente dígito:
Ahora sumamos las partes enteras 12+1=13 más la unidad que obtuvimos de la operación anterior, obtenemos 14. Escribimos el número 14 en la parte entera de nuestra respuesta:
Separe la parte entera de la parte fraccionaria con una coma:
Recibimos una respuesta de 14.425. Esto significa que el valor de la expresión 12.725+1.700 es 14.425
12,725+ 1,700 = 14,425
Restar decimales
Al restar fracciones decimales, debes seguir las mismas reglas que al sumar: “coma debajo del punto decimal” e “igual número de dígitos después del punto decimal”.
Ejemplo 1. Encuentra el valor de la expresión 2,5 − 2,2
Escribimos esta expresión en una columna, observando la regla “coma debajo de coma”:
Calculamos la parte fraccionaria 5−2=3. Escribimos el número 3 en la décima parte de nuestra respuesta:
Calculamos la parte entera 2−2=0. Escribimos cero en la parte entera de nuestra respuesta:
Separe la parte entera de la parte fraccionaria con una coma:
Recibimos una respuesta de 0,3. Esto significa que el valor de la expresión 2,5 − 2,2 es igual a 0,3
2,5 − 2,2 = 0,3
Ejemplo 2. Encuentra el valor de la expresión 7.353 - 3.1
en esta expresión diferentes cantidades números después del punto decimal. La fracción 7.353 tiene tres dígitos después del punto decimal, pero la fracción 3.1 tiene solo uno. Esto significa que en la fracción 3.1 debes agregar dos ceros al final para que el número de dígitos en ambas fracciones sea el mismo. Entonces obtenemos 3.100.
Ahora puedes escribir esta expresión en una columna y calcularla:
Recibimos una respuesta de 4.253. Esto significa que el valor de la expresión 7,353 − 3,1 es igual a 4,253
7,353 — 3,1 = 4,253
Al igual que con los números comunes, a veces tendrás que pedir prestado uno de un dígito adyacente si la resta se vuelve imposible.
Ejemplo 3. Encuentra el valor de la expresión 3,46 − 2,39
Resta centésimas de 6−9. No puedes restar el número 9 del número 6. Por lo tanto, debes pedir prestado uno del dígito adyacente. Al tomar prestado uno del dígito adyacente, el número 6 se convierte en el número 16. Ahora puedes calcular las centésimas de 16−9=7. Escribimos un siete en la centésima parte de nuestra respuesta:
Ahora restamos décimas. Como tomamos una unidad en el lugar de las décimas, la cifra que allí se ubicaba disminuyó en una unidad. En otras palabras, en el lugar de las décimas ahora no está el número 4, sino el número 3. Calculemos las décimas de 3−3=0. Escribimos cero en la décima parte de nuestra respuesta:
Ahora restamos las partes enteras 3−2=1. Escribimos uno en la parte entera de nuestra respuesta:
Separe la parte entera de la parte fraccionaria con una coma:
Recibimos una respuesta de 1,07. Esto significa que el valor de la expresión 3,46−2,39 es igual a 1,07
3,46−2,39=1,07
Ejemplo 4. Encuentra el valor de la expresión 3−1.2
Este ejemplo resta un decimal de un número entero. Escribamos esta expresión en una columna de modo que toda la parte de la fracción decimal 1,23 quede debajo del número 3.
Ahora hagamos que el número de dígitos después del punto decimal sea el mismo. Para ello, después del número 3 ponemos una coma y le sumamos un cero:
Ahora restamos décimos: 0−2. No puedes restar el número 2 de cero. Por lo tanto, debes tomar prestado uno del dígito adyacente. Habiendo tomado prestado uno del dígito vecino, 0 se convierte en el número 10. Ahora puedes calcular las décimas de 10−2=8. Escribimos un ocho en la décima parte de nuestra respuesta:
Ahora restamos las partes enteras. Anteriormente, el número 3 estaba en el conjunto, pero le quitamos una unidad. Como resultado, se convirtió en el número 2. Por lo tanto, de 2 restamos 1. 2−1=1. Escribimos uno en la parte entera de nuestra respuesta:
Separe la parte entera de la parte fraccionaria con una coma:
La respuesta que recibimos fue 1,8. Esto significa que el valor de la expresión 3−1,2 es 1,8
Multiplicar decimales
Multiplicar decimales es sencillo e incluso divertido. Para multiplicar decimales, los multiplicas como números normales, ignorando las comas.
Una vez recibida la respuesta, debe separar la parte entera de la fraccionaria con una coma. Para hacer esto, debe contar la cantidad de dígitos después del punto decimal en ambas fracciones, luego contar la misma cantidad de dígitos desde la derecha en la respuesta y poner una coma.
Ejemplo 1. Encuentra el valor de la expresión 2,5 × 1,5.
Multipliquemos estas fracciones decimales como números ordinarios, ignorando las comas. Para ignorar las comas, puedes imaginar temporalmente que están ausentes por completo:
Obtuvimos 375. En este número, debes separar la parte entera de la parte fraccionaria con una coma. Para hacer esto, debes contar el número de dígitos después del punto decimal en las fracciones 2,5 y 1,5. La primera fracción tiene un dígito después del punto decimal, la segunda fracción también tiene uno. Total dos números.
Volvemos al número 375 y comenzamos a movernos de derecha a izquierda. Necesitamos contar dos dígitos a la derecha y poner una coma:
Recibimos una respuesta de 3,75. Entonces el valor de la expresión 2,5 × 1,5 es 3,75
2,5 × 1,5 = 3,75
Ejemplo 2. Encuentra el valor de la expresión 12,85 × 2,7
Multipliquemos estas fracciones decimales, ignorando las comas:
Obtuvimos 34695. En este número debes separar la parte entera de la parte fraccionaria con una coma. Para hacer esto, debes contar el número de dígitos después del punto decimal en las fracciones 12,85 y 2,7. La fracción 12,85 tiene dos dígitos después del punto decimal y la fracción 2,7 tiene un dígito, un total de tres dígitos.
Volvemos al número 34695 y comenzamos a movernos de derecha a izquierda. Necesitamos contar tres dígitos desde la derecha y poner una coma:
Recibimos una respuesta de 34.695. Entonces el valor de la expresión 12,85 × 2,7 es 34,695
12,85 × 2,7 = 34,695
Multiplicar un decimal por un número regular
A veces surgen situaciones en las que necesitas multiplicar una fracción decimal por numero regular.
Para multiplicar un decimal y un número, los multiplicas sin prestar atención a la coma en el decimal. Una vez recibida la respuesta, debe separar la parte entera de la fraccionaria con una coma. Para hacer esto, debe contar la cantidad de dígitos después del punto decimal en la fracción decimal, luego contar la misma cantidad de dígitos desde la derecha en la respuesta y poner una coma.
Por ejemplo, multiplica 2,54 por 2.
Multiplica la fracción decimal 2,54 por el número habitual 2, ignorando la coma:
Obtuvimos el número 508. En este número debes separar la parte entera de la parte fraccionaria con una coma. Para hacer esto, debes contar el número de dígitos después del punto decimal en la fracción 2,54. La fracción 2,54 tiene dos dígitos después del punto decimal.
Volvemos al número 508 y comenzamos a movernos de derecha a izquierda. Necesitamos contar dos dígitos a la derecha y poner una coma:
Recibimos una respuesta de 5,08. Entonces el valor de la expresión 2,54 × 2 es 5,08
2,54 × 2 = 5,08
Multiplicar decimales por 10, 100, 1000
Multiplicar decimales por 10, 100 o 1000 se realiza de la misma forma que multiplicar decimales por números normales. Debes realizar la multiplicación, sin prestar atención a la coma en la fracción decimal, luego en la respuesta separar la parte entera de la fraccionaria, contando desde la derecha tantos dígitos como dígitos había después del punto decimal.
Por ejemplo, multiplica 2,88 por 10.
Multiplica la fracción decimal 2,88 por 10, ignorando la coma en la fracción decimal:
Obtuvimos 2880. En este número debes separar la parte entera de la parte fraccionaria con una coma. Para hacer esto, debes contar el número de dígitos después del punto decimal en la fracción 2,88. Vemos que la fracción 2,88 tiene dos dígitos después del punto decimal.
Volvemos al número 2880 y comenzamos a movernos de derecha a izquierda. Necesitamos contar dos dígitos a la derecha y poner una coma:
Recibimos una respuesta de 28,80. Eliminemos el último cero y obtengamos 28,8. Esto significa que el valor de la expresión 2,88×10 es 28,8
2,88 × 10 = 28,8
Existe una segunda forma de multiplicar fracciones decimales por 10, 100, 1000. Este método es mucho más simple y conveniente. Consiste en mover la coma decimal hacia la derecha tantas cifras como ceros tenga el factor.
Por ejemplo, resolvamos el ejemplo anterior 2,88×10 de esta manera. Sin hacer ningún cálculo, miramos inmediatamente el factor 10. Nos interesa saber cuántos ceros hay en él. Vemos que hay un cero en él. Ahora en la fracción 2,88 movemos el punto decimal un dígito hacia la derecha, obtenemos 28,8.
2,88 × 10 = 28,8
Intentemos multiplicar 2,88 por 100. Inmediatamente miramos el factor 100. Nos interesa saber cuántos ceros hay en él. Vemos que contiene dos ceros. Ahora en la fracción 2.88 movemos el punto decimal dos dígitos a la derecha, obtenemos 288
2,88 × 100 = 288
Intentemos multiplicar 2,88 por 1000. Inmediatamente miramos el factor 1000. Nos interesa saber cuántos ceros hay en él. Vemos que contiene tres ceros. Ahora en la fracción 2,88 movemos la coma decimal tres dígitos hacia la derecha. No hay un tercer dígito allí, así que agregamos otro cero. Como resultado, obtenemos 2880.
2,88 × 1000 = 2880
Multiplicar decimales por 0,1 0,01 y 0,001
Multiplicar decimales por 0,1, 0,01 y 0,001 funciona de la misma manera que multiplicar un decimal por un decimal. Es necesario multiplicar las fracciones como números ordinarios, y poner una coma en la respuesta, contando tantos dígitos a la derecha como dígitos hay después del punto decimal en ambas fracciones.
Por ejemplo, multiplica 3,25 por 0,1.
Multiplicamos estas fracciones como números ordinarios, ignorando las comas:
Obtuvimos 325. En este número debes separar la parte entera de la parte fraccionaria con una coma. Para hacer esto, debes contar el número de dígitos después del punto decimal en las fracciones 3,25 y 0,1. La fracción 3.25 tiene dos dígitos después del punto decimal y la fracción 0.1 tiene un dígito. Total de tres números.
Volvemos al número 325 y comenzamos a movernos de derecha a izquierda. Necesitamos contar tres dígitos desde la derecha y poner una coma. Después de contar tres dígitos, encontramos que los números se han acabado. En este caso, debe agregar un cero y una coma:
Recibimos una respuesta de 0,325. Esto significa que el valor de la expresión 3,25 × 0,1 es 0,325
3,25 × 0,1 = 0,325
Existe una segunda forma de multiplicar decimales por 0,1, 0,01 y 0,001. Este método es mucho más sencillo y conveniente. Consiste en mover la coma decimal hacia la izquierda tantas cifras como ceros tenga el factor.
Por ejemplo, resolvamos el ejemplo anterior 3,25 × 0,1 de esta manera. Sin dar ningún cálculo, miramos inmediatamente el multiplicador de 0,1. Nos interesa saber cuántos ceros hay en él. Vemos que hay un cero en él. Ahora en la fracción 3.25 movemos la coma decimal un dígito hacia la izquierda. Moviendo la coma un dígito hacia la izquierda, vemos que no hay más dígitos antes del tres. En este caso, suma un cero y pon una coma. El resultado es 0.325
3,25 × 0,1 = 0,325
Intentemos multiplicar 3,25 por 0,01. Inmediatamente miramos el multiplicador de 0,01. Nos interesa saber cuántos ceros hay en él. Vemos que contiene dos ceros. Ahora en la fracción 3.25 movemos el punto decimal dos dígitos a la izquierda, obtenemos 0.0325
3,25 × 0,01 = 0,0325
Intentemos multiplicar 3,25 por 0,001. Inmediatamente miramos el multiplicador de 0,001. Nos interesa saber cuántos ceros hay en él. Vemos que contiene tres ceros. Ahora en la fracción 3.25 movemos el punto decimal tres dígitos hacia la izquierda, obtenemos 0.00325
3,25 × 0,001 = 0,00325
No confundas multiplicar fracciones decimales por 0,1, 0,001 y 0,001 con multiplicar por 10, 100, 1000. Error común la mayoría de la gente.
Al multiplicar por 10, 100, 1000, el punto decimal se mueve hacia la derecha tantos dígitos como ceros hay en el multiplicador.
Y al multiplicar por 0,1, 0,01 y 0,001, la coma decimal se mueve hacia la izquierda tantos dígitos como ceros haya en el multiplicador.
Si al principio le resulta difícil recordarlo, puede utilizar el primer método, en el que la multiplicación se realiza como con números normales. En la respuesta, deberás separar la parte entera de la parte fraccionaria contando la misma cantidad de dígitos a la derecha que dígitos después del punto decimal en ambas fracciones.
Dividir un número menor por un número mayor. Nivel avanzado.
En una de las lecciones anteriores dijimos que al dividir un número menor por un número mayor se obtiene una fracción cuyo numerador es el dividendo y el denominador es el divisor.
Por ejemplo, para dividir una manzana entre dos, debes escribir 1 (una manzana) en el numerador y 2 (dos amigos) en el denominador. Como resultado, obtenemos la fracción. Esto significa que cada amigo recibirá una manzana. Es decir, media manzana. La fracción es la respuesta al problema. “cómo dividir una manzana en dos”
Resulta que puedes resolver este problema aún más si divides 1 entre 2. Después de todo, la línea fraccionaria en cualquier fracción significa división y, por lo tanto, esta división está permitida en la fracción. ¿Pero cómo? Estamos acostumbrados a que el dividendo siempre sea mayor que el divisor. Pero aquí, por el contrario, el dividendo es menor que el divisor.
Todo quedará claro si recordamos que fracción significa aplastamiento, división, división. Esto significa que la unidad se puede dividir en tantas partes como se desee, y no sólo en dos partes.
Cuando divides un número menor por un número mayor, obtienes una fracción decimal en la que la parte entera es 0 (cero). La parte fraccionaria puede ser cualquier cosa.
Entonces, dividamos 1 entre 2. Resolvamos este ejemplo con una esquina:
Uno no puede dividirse completamente en dos. Si haces una pregunta “cuantos dos hay en uno” , entonces la respuesta será 0. Por tanto, en el cociente escribimos 0 y ponemos una coma:
Ahora, como siempre, multiplicamos el cociente por el divisor para obtener el resto:
Ha llegado el momento en que la unidad se puede dividir en dos partes. Para ello, añade otro cero a la derecha del resultante:
Obtuvimos 10. Dividimos 10 entre 2, obtenemos 5. Escribimos el cinco en la parte fraccionaria de nuestra respuesta:
Ahora sacamos el último resto para completar el cálculo. Multiplica 5 por 2 para obtener 10
Recibimos una respuesta de 0,5. entonces la fraccion es 0.5
También se puede escribir media manzana usando la fracción decimal 0,5. Si sumamos estas dos mitades (0,5 y 0,5), obtenemos nuevamente la manzana entera original: 
Este punto también se puede entender si imaginas cómo se divide 1 cm en dos partes. Si divides 1 centímetro en 2 partes, obtienes 0,5 cm.
Ejemplo 2. Encuentra el valor de la expresión 4:5.
¿Cuántos cinco hay en un cuatro? De nada. Escribimos 0 en el cociente y ponemos una coma:
Multiplicamos 0 por 5, obtenemos 0. Escribimos un cero debajo del cuatro. Resta inmediatamente este cero del dividendo:
Ahora comencemos a dividir (dividir) los cuatro en 5 partes. Para hacer esto, sumamos un cero a la derecha de 4 y dividimos 40 entre 5, obtenemos 8. Escribimos ocho en el cociente.
Completamos el ejemplo multiplicando 8 por 5 para obtener 40:
Recibimos una respuesta de 0,8. Esto significa que el valor de la expresión 4:5 es 0,8.
Ejemplo 3. Encuentra el valor de la expresión 5: 125
¿Cuántos números son 125 en cinco? De nada. Escribimos 0 en el cociente y ponemos una coma:
Multiplicamos 0 por 5, obtenemos 0. Escribimos 0 debajo del cinco. Inmediatamente resta 0 de cinco
Ahora comencemos a dividir (dividir) los cinco en 125 partes. Para ello, escribimos un cero a la derecha de este cinco:
Divide 50 entre 125. ¿Cuántos números hay 125 en el número 50? De nada. Entonces en el cociente escribimos 0 nuevamente.
Multiplica 0 por 125, obtenemos 0. Escribe este cero debajo de 50. Inmediatamente resta 0 de 50
Ahora divide el número 50 en 125 partes. Para ello, escribimos otro cero a la derecha de 50:
Divide 500 entre 125. ¿Cuántos números hay 125 en el número 500? Hay cuatro números 125 en el número 500. Escribe el cuatro en el cociente:
Completamos el ejemplo multiplicando 4 por 125 para obtener 500
Recibimos una respuesta de 0,04. Esto significa que el valor de la expresión 5: 125 es 0,04
Dividir números sin resto
Entonces, pongamos una coma después de la unidad en el cociente, indicando así que la división de partes enteras ha terminado y pasamos a la parte fraccionaria:
Sumemos cero al resto 4
Ahora dividimos 40 entre 5, obtenemos 8. Escribimos ocho en el cociente:
40−40=0. Nos queda 0. Esto significa que la división está completamente completa. Al dividir 9 entre 5 se obtiene la fracción decimal 1,8:
9: 5 = 1,8
Ejemplo 2. Dividir 84 entre 5 sin resto
Primero, divide 84 entre 5 como de costumbre con un resto:
Nos quedan 16 en privado y quedan 4 más. Ahora dividamos este resto entre 5. Ponga una coma en el cociente y sume 0 al resto 4.
Ahora dividimos 40 entre 5, obtenemos 8. Escribimos el ocho en el cociente después del punto decimal:
y completa el ejemplo comprobando si aún queda resto:
Dividir un decimal por un número regular
Una fracción decimal, como sabemos, consta de un número entero y una parte fraccionaria. Al dividir una fracción decimal por un número normal, primero debes:
- divide toda la parte de la fracción decimal por este número;
- Después de dividir toda la parte, debes poner inmediatamente una coma en el cociente y continuar con el cálculo, como en la división normal.
Por ejemplo, divide 4,8 entre 2
Escribamos este ejemplo en una esquina:
Ahora dividamos toda la parte entre 2. Cuatro dividido entre dos es igual a dos. Escribimos dos en el cociente e inmediatamente ponemos una coma:
Ahora multiplicamos el cociente por el divisor y vemos si queda resto de la división:
4-4=0. El resto es cero. No escribimos cero todavía, ya que la solución no está completa. A continuación, continuamos calculando como en la división ordinaria. Saca 8 y divídelo entre 2.
8: 2 = 4. Escribimos el cuatro en el cociente e inmediatamente lo multiplicamos por el divisor:
Recibimos una respuesta de 2,4. El valor de la expresión 4.8:2 es 2.4
Ejemplo 2. Encuentra el valor de la expresión 8.43: 3.
Dividimos 8 entre 3 y obtenemos 2. Inmediatamente ponemos una coma después del 2:
Ahora multiplicamos el cociente por el divisor 2 × 3 = 6. Escribimos el seis debajo del ocho y encontramos el resto:
Dividimos 24 entre 3 y obtenemos 8. Escribimos ocho en el cociente. Multiplícalo inmediatamente por el divisor para encontrar el resto de la división:
24−24=0. El resto es cero. Todavía no escribimos cero. Le quitamos los tres últimos al dividendo y lo dividimos entre 3, obtenemos 1. Inmediatamente multiplicamos 1 por 3 para completar este ejemplo:
La respuesta que recibimos fue 2,81. Esto significa que el valor de la expresión 8,43: 3 es 2,81
Dividir un decimal por un decimal
Para dividir una fracción decimal por una fracción decimal, debe mover el punto decimal en el dividendo y el divisor hacia la derecha la misma cantidad de dígitos que hay después del punto decimal en el divisor, y luego dividir por el número habitual.
Por ejemplo, divida 5,95 entre 1,7
Escribamos esta expresión con una esquina.
Ahora en el dividendo y en el divisor movemos la coma decimal hacia la derecha la misma cantidad de dígitos que hay después de la coma decimal en el divisor. El divisor tiene un dígito después del punto decimal. Esto significa que en el dividendo y divisor debemos mover la coma decimal un dígito hacia la derecha. Transferimos:
Después de mover el punto decimal un dígito hacia la derecha, la fracción decimal 5,95 se convirtió en la fracción 59,5. Y la fracción decimal 1,7, después de mover el punto decimal un dígito hacia la derecha, se convirtió en el número habitual 17. Y ya sabemos cómo dividir una fracción decimal por un número normal. No es difícil realizar más cálculos:
La coma se mueve hacia la derecha para facilitar la división. Esto está permitido porque al multiplicar o dividir el dividendo y el divisor por el mismo número, el cociente no cambia. ¿Qué significa?
Este es uno de características interesantes división. Se llama propiedad del cociente. Considere la expresión 9: 3 = 3. Si en esta expresión el dividendo y el divisor se multiplican o dividen por el mismo número, entonces el cociente 3 no cambiará.
Multipliquemos el dividendo y el divisor por 2 y veamos qué sale de ello:
(9 × 2): (3 × 2) = 18: 6 = 3
Como puede verse en el ejemplo, el cociente no ha cambiado.
Lo mismo ocurre cuando movemos la coma en el dividendo y en el divisor. En el ejemplo anterior, donde dividimos 5,91 entre 1,7, movimos la coma en el dividendo y el divisor un dígito hacia la derecha. Después de mover el punto decimal, la fracción 5,91 se transformó en la fracción 59,1 y la fracción 1,7 se transformó en el habitual número 17.
De hecho, dentro de este proceso había una multiplicación por 10. Así se veía:
5,91 × 10 = 59,1
Por lo tanto, el número de dígitos después del punto decimal en el divisor determina por qué se multiplicarán el dividendo y el divisor. En otras palabras, el número de dígitos después del punto decimal en el divisor determinará cuántos dígitos en el dividendo y en el divisor el punto decimal se moverá hacia la derecha.
Dividir un decimal por 10, 100, 1000
Dividir un decimal entre 10, 100 o 1000 se hace de la misma manera que. Por ejemplo, divide 2,1 entre 10. Resuelve este ejemplo usando una esquina:
Pero hay una segunda manera. Es más ligero. La esencia de este método es que la coma en el dividendo se mueve hacia la izquierda tantos dígitos como ceros hay en el divisor.
Resolvamos el ejemplo anterior de esta manera. 2.1: 10. Nos fijamos en el divisor. Nos interesa saber cuántos ceros hay en él. Vemos que hay un cero. Esto significa que en el dividendo de 2,1 debes mover la coma decimal un dígito hacia la izquierda. Movemos la coma un dígito hacia la izquierda y vemos que no quedan más dígitos. En este caso, agregue otro cero antes del número. Como resultado obtenemos 0,21
Intentemos dividir 2,1 entre 100. Hay dos ceros en 100. Esto significa que en el dividendo 2.1 necesitamos mover la coma dos dígitos hacia la izquierda:
2,1: 100 = 0,021
Intentemos dividir 2,1 entre 1000. Hay tres ceros en 1000. Esto significa que en el dividendo 2.1 debes mover la coma tres dígitos hacia la izquierda:
2,1: 1000 = 0,0021
Dividir un decimal entre 0,1, 0,01 y 0,001
Dividir una fracción decimal entre 0,1, 0,01 y 0,001 se realiza de la misma forma que. En el dividendo y en el divisor, debes mover el punto decimal hacia la derecha tantos dígitos como haya después del punto decimal en el divisor.
Por ejemplo, dividamos 6,3 entre 0,1. En primer lugar, muevamos las comas del dividendo y el divisor hacia la derecha la misma cantidad de dígitos que hay después del punto decimal en el divisor. El divisor tiene un dígito después del punto decimal. Esto significa que movemos las comas en el dividendo y el divisor un dígito hacia la derecha.
Después de mover el punto decimal un dígito hacia la derecha, la fracción decimal 6,3 se convierte en el número habitual 63, y la fracción decimal 0,1 después de mover el punto decimal un dígito hacia la derecha se convierte en uno. Y dividir 63 entre 1 es muy sencillo:
Esto significa que el valor de la expresión 6.3: 0.1 es 63.
Pero hay una segunda manera. Es más ligero. La esencia de este método es que la coma en el dividendo se mueve hacia la derecha tantos dígitos como ceros hay en el divisor.
Resolvamos el ejemplo anterior de esta manera. 6,3: 0,1. Miremos el divisor. Nos interesa saber cuántos ceros hay en él. Vemos que hay un cero. Esto significa que en el dividendo de 6,3 debes mover el punto decimal un dígito hacia la derecha. Mueva la coma un dígito hacia la derecha y obtenga 63
Intentemos dividir 6,3 entre 0,01. El divisor de 0,01 tiene dos ceros. Esto significa que en el dividendo 6.3 necesitamos mover la coma decimal dos dígitos hacia la derecha. Pero en el dividendo sólo hay un dígito después del punto decimal. En este caso, deberás agregar otro cero al final. Como resultado obtenemos 630
Intentemos dividir 6,3 entre 0,001. El divisor de 0,001 tiene tres ceros. Esto significa que en el dividendo 6.3 necesitamos mover la coma decimal tres dígitos hacia la derecha:
6,3: 0,001 = 6300
Tareas para una solución independiente.
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Acciones con fracciones. En este artículo veremos ejemplos, todo en detalle con explicaciones. Consideraremos fracciones ordinarias. Veremos los decimales más adelante. Recomiendo verlo completo y estudiarlo secuencialmente.
1. Suma de fracciones, diferencia de fracciones.
Regla: al sumar fracciones con denominadores iguales, el resultado es una fracción, cuyo denominador sigue siendo el mismo y su numerador será igual a la suma numeradores de fracciones.
Regla: al calcular la diferencia entre fracciones con los mismos denominadores, obtenemos una fracción: el denominador permanece igual y el numerador de la segunda se resta del numerador de la primera fracción.
Notación formal para la suma y diferencia de fracciones con iguales denominadores:
Ejemplos (1):
Está claro que cuando se dan fracciones ordinarias, entonces todo es sencillo, pero ¿y si se mezclan? Nada complicado...
Opción 1– puedes convertirlos en normales y luego calcularlos.
opcion 2– puedes “trabajar” por separado con las partes enteras y fraccionarias.
Ejemplos (2):
Más:
¿Qué pasa si se da la diferencia de dos fracciones mixtas y el numerador de la primera fracción es menor que el numerador de la segunda? También puedes actuar de dos maneras.
Ejemplos (3):
*Convirtió a fracciones ordinarias, calculó la diferencia, convirtió la fracción impropia resultante a una fracción mixta.
*Lo dividimos en partes enteras y fraccionarias, obtuvimos un tres, luego presentamos 3 como la suma de 2 y 1, con uno representado como 11/11, luego encontramos la diferencia entre 11/11 y 7/11 y calculamos el resultado. . El significado de las transformaciones anteriores es tomar (seleccionar) una unidad y presentarla en forma de fracción con el denominador que necesitamos, luego podemos restar otra de esta fracción.
Otro ejemplo:
Conclusión: existe un enfoque universal: para calcular la suma (diferencia) de fracciones mixtas con denominadores iguales, siempre se pueden convertir en impropias y luego realizar la acción necesaria. Después de esto, si el resultado es una fracción impropia, la convertimos a fracción mixta.
Arriba vimos ejemplos con fracciones que tienen denominadores iguales. ¿Qué pasa si los denominadores son diferentes? En este caso, las fracciones se reducen al mismo denominador y se realiza la acción especificada. Para cambiar (transformar) una fracción, se utiliza la propiedad básica de la fracción.
Veamos ejemplos simples:
En estos ejemplos, vemos inmediatamente cómo una de las fracciones se puede transformar para obtener denominadores iguales.
Si designamos formas de reducir fracciones al mismo denominador, entonces a esta la llamaremos MÉTODO UNO.
Es decir, inmediatamente al "evaluar" una fracción, es necesario determinar si este enfoque funcionará: comprobamos si el denominador mayor es divisible por el menor. Y si es divisible, realizamos una transformación: multiplicamos el numerador y el denominador para que los denominadores de ambas fracciones sean iguales.
Ahora mira estos ejemplos:
a ellos enfoque especificado no aplica. También hay formas de reducir fracciones a un denominador común.
Método dos.
Multiplicamos el numerador y denominador de la primera fracción por el denominador de la segunda, y el numerador y denominador de la segunda fracción por el denominador de la primera:
*De hecho, reducimos fracciones para formarlas cuando los denominadores se vuelven iguales. A continuación, usamos la regla para sumar fracciones con denominadores iguales.
Ejemplo:
*Este método se puede llamar universal y siempre funciona. El único inconveniente es que después de los cálculos puede terminar con una fracción que deberá reducirse aún más.
Veamos un ejemplo:
Se puede observar que el numerador y denominador son divisibles por 5:
Método TRES.
Necesitas encontrar el mínimo común múltiplo (MCM) de los denominadores. Este será el denominador común. ¿Qué clase de número es este? Este es el número natural más pequeño que es divisible por cada uno de los números.
Mira, aquí hay dos números: 3 y 4, hay muchos números que son divisibles por ellos: estos son 12, 24, 36, ... El más pequeño de ellos es 12. O 6 y 15, son divisibles por 30, 60, 90.... El mínimo es 30. La pregunta es: ¿cómo determinar este mínimo común múltiplo?
Existe un algoritmo claro, pero a menudo esto se puede hacer inmediatamente sin cálculos. Por ejemplo, según los ejemplos anteriores (3 y 4, 6 y 15), no se necesita ningún algoritmo, tomamos números grandes (4 y 15), los duplicamos y vimos que son divisibles por el segundo número, pero los pares de números pueden ser otros, por ejemplo 51 y 119.
Algoritmo. Para determinar el mínimo común múltiplo de varios números, debes:
- descomponer cada número en factores SIMPLES
— anota la descomposición del MÁS GRANDE de ellos
- multiplícalo por los factores FALTANTES de otros números
Veamos ejemplos:
50 y 60 => 50 = 2∙5∙5 60 = 2∙2∙3∙5
en descomposición más falta uno cinco
=> MCM(50,60) = 2∙2∙3∙5∙5 = 300
48 y 72 => 48 = 2∙2∙2∙2∙3 72 = 2∙2∙2∙3∙3
en la expansión de un número mayor faltan dos y tres
=> MCM(48,72) = 2∙2∙2∙2∙3∙3 = 144
* El mínimo común múltiplo de dos números primos es su producto
¡Pregunta! ¿Por qué es útil encontrar el mínimo común múltiplo, ya que puedes usar el segundo método y simplemente reducir la fracción resultante? Sí, es posible, pero no siempre es conveniente. Mira el denominador de los números 48 y 72 si simplemente los multiplicas por 48∙72 = 3456. Estarás de acuerdo en que es más agradable trabajar con números más pequeños.
Veamos ejemplos:
*51 = 3∙17 119 = 7∙17
a la expansión de un número mayor le falta un triple
=> NOC(51,119) = 3∙7∙17
Ahora usemos el primer método:
*Mira la diferencia en los cálculos, en el primer caso hay un mínimo, pero en el segundo debes trabajar por separado en una hoja de papel, e incluso hay que reducir la fracción que recibiste. Encontrar el LOC simplifica significativamente el trabajo.
Más ejemplos:
*En el segundo ejemplo está claro que número más pequeño que es divisible por 40 y 60 es igual a 120.
¡RESULTADO! ¡ALGORITMO INFORMÁTICO GENERAL!
— reducimos fracciones a fracciones ordinarias si hay una parte entera.
- llevamos fracciones a un denominador común (primero miramos si un denominador es divisible por otro; si es divisible, multiplicamos el numerador y el denominador de esta otra fracción; si no es divisible, actuamos usando los otros métodos indicado anteriormente).
- Habiendo recibido fracciones con iguales denominadores, realizamos operaciones (suma, resta).
- si es necesario, reducimos el resultado.
- si es necesario, seleccione la pieza completa.
2. Producto de fracciones.
La regla es sencilla. Al multiplicar fracciones, se multiplican sus numeradores y denominadores:
Ejemplos:
Tarea. A la base se llevaron 13 toneladas de hortalizas. Las patatas constituyen ¾ de todas las hortalizas importadas. ¿Cuántos kilogramos de patatas trajeron a la base?
Terminemos con la pieza.
*Previamente prometí darles una explicación formal de la propiedad principal de una fracción a través de un producto, por favor:
3. División de fracciones.
Dividir fracciones se reduce a multiplicarlas. Es importante recordar aquí que se voltea la fracción que es divisor (la que se divide por) y la acción cambia a multiplicación:
Esta acción se puede escribir en forma de la llamada fracción de cuatro pisos, porque la división ":" en sí también se puede escribir como una fracción:
Ejemplos:
¡Eso es todo! ¡Buena suerte para ti!
Atentamente, Alexander Krutitskikh.
Fracción- un número que consta de un número entero de fracciones de una unidad y se representa en la forma: a/b
Numerador de la fracción (a)- el número situado encima de la línea de fracción y que indica el número de acciones en que se dividió la unidad.
Denominador de fracción (b)- un número ubicado debajo de la línea de fracción y que muestra en cuántas partes se divide la unidad.
2. Reducir fracciones a un denominador común
3. Operaciones aritméticas con fracciones ordinarias.
3.1. Suma de fracciones ordinarias
3.2. Restar fracciones
3.3. Multiplicar fracciones comunes
3.4. Dividir fracciones
4. Números recíprocos
5. decimales
6. Operaciones aritméticas con decimales
6.1. Sumar decimales
6.2. Restar decimales
6.3. Multiplicar decimales
6.4. división decimal
#1. La propiedad principal de una fracción.
Si el numerador y el denominador de una fracción se multiplican o dividen por un mismo número que no es igual a cero, se obtiene una fracción igual a la dada.
3/7=3*3/7*3=9/21, es decir, 3/7=9/21
a/b=a*m/b*m: así es como se ve la propiedad principal de una fracción.
En otras palabras, obtenemos una fracción igual a la dada multiplicando o dividiendo el numerador y denominador de la fracción original por el mismo número natural.
Si anuncio=bc, entonces dos fracciones a/b =c /d se consideran iguales.
Por ejemplo, las fracciones 3/5 y 9/15 serán iguales, ya que 3*15=5*9, es decir, 45=45
Reducir una fracción es el proceso de reemplazar una fracción en el que la nueva fracción es igual a la original, pero con un numerador y denominador más pequeños.
Es habitual reducir fracciones basándose en la propiedad básica de la fracción.
Por ejemplo, 45/60=15/ 20 =9/12=3/4 (el numerador y denominador se dividen por el número 3, por 5 y por 15).
fracción irreducible es una fracción de la forma 3/4 , donde el numerador y el denominador son mutuos números primos. El objetivo principal de reducir una fracción es hacerla irreducible.
2. Reducir fracciones a un denominador común
Para llevar dos fracciones a un denominador común, necesitas:
1) expande el denominador de cada fracción a factores primos;
2) multiplica el numerador y denominador de la primera fracción por los que faltan
factores de la expansión del segundo denominador;
3) multiplica el numerador y denominador de la segunda fracción por los factores que faltan en la primera expansión.
Ejemplos: Reducir fracciones a un denominador común.
Factoricemos los denominadores en factores simples: 18=3∙3∙2, 15=3∙5
Multiplica el numerador y el denominador de la fracción por el factor 5 que falta en la segunda expansión.
numerador y denominador de la fracción en los factores faltantes 3 y 2 de la primera expansión.
= , 90 – denominador común de fracciones.
3. Operaciones aritméticas con fracciones ordinarias
3.1. Suma de fracciones ordinarias
a) Si los denominadores son iguales, se suma el numerador de la primera fracción al numerador de la segunda fracción, quedando el denominador igual. Como puedes ver en el ejemplo:
a/b+c/b=(a+c)/b ;
b) Para diferentes denominadores, las fracciones primero se reducen a un denominador común y luego se suman los numeradores de acuerdo con la regla a):
7/3+1/4=7*4/12+1*3/12=(28+3)/12=31/12
3.2. Restar fracciones
a) Si los denominadores son iguales, se resta el numerador de la segunda fracción del numerador de la primera fracción, quedando el denominador igual:
a/b-c/b=(a-c)/b ;
b) Si los denominadores de las fracciones son diferentes, primero se llevan las fracciones a un denominador común y luego se repiten las acciones como en el punto a).
3.3. Multiplicar fracciones comunes
La multiplicación de fracciones obedece a la siguiente regla:
a/b*c/d=a*c/b*d,
es decir, multiplican los numeradores y denominadores por separado.
Por ejemplo:
3/5*4/8=3*4/5*8=12/40.
3.4. Dividir fracciones
Las fracciones se dividen de la siguiente manera:
a/b:c/d=a*d/b*c,
es decir, la fracción a/b se multiplica por la fracción inversa de la dada, es decir, se multiplica por d/c.
Ejemplo: 7/2:1/8=7/2*8/1=56/2=28
4. Números recíprocos
Si a*b=1, entonces el numero b es número recíproco para el número a.
Ejemplo: para el número 9 el recíproco es 1/9 , desde 9*1/9 = 1 , para el número 5 - número recíproco 1/5 , porque 5* 1/5 = 1 .
5. Decimales
Decimal llamado fracción adecuada, cuyo denominador es igual a 10, 1000, 10 000,…, 10^n 1 0 , 1 0 0 0 , 1 0 0 0 0 , . . . , 1 0 norte .
Por ejemplo: 6/10 =0,6; 44/1000=0,044 .
Los incorrectos con denominador se escriben de la misma forma. 10^n o números mixtos.
Por ejemplo: 51/10= 5,1; 763/100=7,63
Cualquier fracción ordinaria con un denominador que sea divisor de una determinada potencia de 10 se representa como una fracción decimal.
un cambiador, que es un divisor de una determinada potencia del número 10.
Ejemplo: 5 es divisor de 100, por lo que es una fracción 1/5=1 *20/5*20=20/100=0,2 0 = 0 , 2 .
6. Operaciones aritméticas con decimales
6.1. Sumar decimales
Para sumar dos fracciones decimales, debes organizarlas de modo que haya dígitos idénticos uno debajo del otro y una coma debajo de la coma, y luego sumar las fracciones como números ordinarios.
6.2. Restar decimales
Se realiza de la misma forma que la suma.
6.3. Multiplicar decimales
Al multiplicar números decimales, basta con multiplicar los números dados, sin prestar atención a las comas (como los números naturales), y en la respuesta resultante, una coma a la derecha separa tantos dígitos como haya después del punto decimal en ambos factores. en total.
Multipliquemos 2,7 por 1,3. Tenemos 27\cpunto 13=351 2 7 ⋅ 1 3 = 3 5 1 . Separamos dos dígitos de la derecha con una coma (el primer y segundo número tienen un dígito después del punto decimal; 1+1=2 1 + 1 = 2 ). Como resultado obtenemos 2.7\cdot 1.3=3.51 2 , 7 ⋅ 1 , 3 = 3 , 5 1 .
Si el resultado resultante contiene menos dígitos de los que deben estar separados por una coma, entonces los ceros que faltan se escriben delante, por ejemplo:
Para multiplicar por 10, 100, 1000, debe mover el punto decimal 1, 2, 3 dígitos hacia la derecha (si es necesario, se asigna una cierta cantidad de ceros a la derecha).
Por ejemplo: 1,47\cdot 10.000 = 14.700 1 , 4 7 ⋅ 1 0 0 0 0 = 1 4 7 0 0 .
6.4. división decimal
Dividir una fracción decimal entre un número natural se realiza de la misma forma que dividir un número natural entre un número natural. La coma en el cociente se coloca después de completar la división de la parte entera.
Si la parte entera del dividendo es menor que el divisor, entonces la respuesta es cero enteros, por ejemplo:
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Veamos cómo dividir un decimal por un decimal. Digamos que necesitamos dividir 2,576 entre 1,12. En primer lugar, multipliquemos el dividendo y el divisor de la fracción por 100, es decir, muevamos la coma decimal hacia la derecha en el dividendo y el divisor tantos dígitos como haya en el divisor después de la coma (en este ejemplo, dos). Luego hay que dividir la fracción 257,6 por el número natural 112, es decir, el problema se reduce al caso ya considerado:
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Sucede que no siempre se obtiene la fracción decimal final al dividir un número entre otro. El resultado es una fracción decimal infinita. En tales casos, pasamos a fracciones ordinarias.
Por ejemplo, 2,8: 0,09= 28/10: 9/100= 28*100/10*9=2800/90=280/9= 31 1/9 .
Ya estoy en eso escuela primaria los estudiantes encuentran fracciones. Y luego aparecen en cada tema. No puedes olvidar acciones con estos números. Por tanto, necesitas conocer toda la información sobre fracciones ordinarias y decimales. Estos conceptos no son complicados, lo principal es entender todo en orden.
¿Por qué se necesitan fracciones?
El mundo que nos rodea se compone de objetos enteros. Por tanto, no hay necesidad de acciones. Pero la vida cotidiana Empuja constantemente a las personas a trabajar con partes de objetos y cosas.
Por ejemplo, el chocolate se compone de varios trozos. Considere una situación en la que su ficha está formada por doce rectángulos. Si lo divides en dos, obtienes 6 partes. Se puede dividir fácilmente en tres. Pero no será posible dar a cinco personas un número entero de rebanadas de chocolate.
Por cierto, estas porciones ya son fracciones. Y su mayor división conduce a la aparición de números más complejos.
¿Qué es una "fracción"?
Este es un número formado por partes de uno. Exteriormente, parecen dos números separados por una barra horizontal o diagonal. Esta característica se llama fraccionaria. El número escrito en la parte superior (izquierda) se llama numerador. Lo que está abajo (derecha) es el denominador.
Básicamente, la barra resulta ser un signo de división. Es decir, al numerador se le puede llamar dividendo y al denominador se le puede llamar divisor.
¿Qué fracciones hay?
En matemáticas sólo existen dos tipos: fracciones ordinarias y decimales. Los escolares se encuentran por primera vez en escuela primaria, llamándolas simplemente "fracciones". Este último se aprenderá en 5º grado. Ahí es cuando aparecen estos nombres.
Las fracciones comunes son todas aquellas que se escriben como dos números separados por una línea. Por ejemplo, 4/7. Un decimal es un número en el que la parte fraccionaria tiene notación posicional y está separada del número entero por una coma. Por ejemplo, 4.7. Los estudiantes deben comprender claramente que los dos ejemplos dados son números completamente diferentes.
Cada fracción simple se puede escribir en forma decimal. Esta afirmación casi siempre es cierta a la inversa. Existen reglas que te permiten escribir una fracción decimal como una fracción común.
¿Qué subtipos tienen este tipo de fracciones?
Es mejor empezar en orden cronológico mientras están siendo estudiados. Las fracciones comunes son lo primero. Entre ellos se pueden distinguir 5 subespecies.
Correcto. Su numerador siempre es menor que su denominador.
Equivocado. Su numerador es mayor o igual que su denominador.
Reducible/irreducible. Puede resultar correcto o incorrecto. Otra cosa importante es si el numerador y el denominador tienen factores comunes. Si los hay, entonces es necesario dividir ambas partes de la fracción entre ellas, es decir, reducirla.
Mezclado. Se asigna un número entero a su parte fraccionaria regular (irregular) habitual. Además, siempre es de izquierdas.
Compuesto. Está formado por dos fracciones divididas entre sí. Es decir, contiene tres líneas fraccionarias a la vez.
Las fracciones decimales tienen sólo dos subtipos:
finito, es decir, aquel cuya parte fraccionaria es limitada (tiene fin);
infinito: un número cuyos dígitos después del punto decimal no terminan (se pueden escribir sin cesar).
¿Cómo convertir una fracción decimal a una fracción común?
Si se trata de un número finito, entonces se aplica una asociación basada en la regla: lo que escucho, así escribo. Es decir, es necesario leerlo correctamente y escribirlo, pero sin coma, sino con barra fraccionaria.
Como pista sobre el denominador requerido, debes recordar que siempre es uno y varios ceros. Debes escribir tantos de estos últimos como dígitos haya en la parte fraccionaria del número en cuestión.
¿Cómo convertir fracciones decimales en fracciones ordinarias si falta su parte entera, es decir, igual a cero? Por ejemplo, 0,9 o 0,05. Después de aplicar la regla especificada, resulta que es necesario escribir cero números enteros. Pero no está indicado. Ya solo queda anotar las partes fraccionarias. El primer número tendrá un denominador de 10, el segundo tendrá un denominador de 100. Es decir, los ejemplos dados tendrán como respuestas los siguientes números: 9/10, 5/100. Además, resulta que este último se puede reducir en 5. Por lo tanto, el resultado debe escribirse como 1/20.
¿Cómo se puede convertir una fracción decimal en una fracción ordinaria si su parte entera es distinta de cero? Por ejemplo, 5,23 o 13,00108. En ambos ejemplos, se lee la parte completa y se escribe su valor. En el primer caso es 5, en el segundo es 13. Luego debes pasar a la parte fraccionaria. Con ellos se supone que se debe realizar la misma operación. El primer número aparece 23/100, el segundo - 108/100000. El segundo valor debe reducirse nuevamente. La respuesta se ve así fracciones mixtas: 5 23/100 y 13 27/25000.
¿Cómo convertir una fracción decimal infinita a una fracción ordinaria?
Si no es periódica, dicha operación no será posible. Este hecho se debe al hecho de que cada fracción decimal siempre se convierte en una fracción finita o periódica.
Lo único que puedes hacer con esa fracción es redondearla. Pero entonces el decimal será aproximadamente igual a ese infinito. Ya se puede convertir en uno normal. Pero el proceso inverso: convertir a decimal nunca dará valor inicial. Es decir, infinitas fracciones no periódicas no se convierten en fracciones ordinarias. Es necesario recordar esto.
¿Cómo escribir una fracción periódica infinita como una fracción ordinaria?
En estos números, siempre hay uno o más dígitos después del punto decimal que se repiten. Se les llama período. Por ejemplo, 0,3(3). Aquí "3" está en el punto. Se clasifican como racionales porque se pueden convertir en fracciones ordinarias.
Quienes se han topado con fracciones periódicas saben que pueden ser puras o mixtas. En el primer caso, el punto comienza inmediatamente desde la coma. En la segunda, la parte fraccionaria comienza con algunos números, y luego comienza la repetición.
La regla por la cual debes escribir un decimal infinito como una fracción común será diferente para los dos tipos de números indicados. Es bastante fácil escribir fracciones periódicas puras como fracciones ordinarias. Al igual que con los finitos, es necesario convertirlos: escribe el período en el numerador, y el denominador será el número 9, repetido tantas veces como dígitos contenga el período.
Por ejemplo, 0,(5). El número no tiene parte entera, por lo que debes comenzar inmediatamente con la parte fraccionaria. Escribe 5 como numerador y 9 como denominador. Es decir, la respuesta será la fracción 5/9.
La regla sobre cómo escribir una fracción periódica decimal ordinaria que es mixta.
Mire la duración del período. Esa es la cantidad de 9 que tendrá el denominador.
Escribe el denominador: primero nueves, luego ceros.
Para determinar el numerador, debes escribir la diferencia de dos números. Todos los números después del punto decimal se minimizarán, junto con el punto. Deducible: es sin período.
Por ejemplo, 0,5(8): escribe la fracción decimal periódica como una fracción común. La parte fraccionaria antes del período contiene un dígito. Entonces habrá un cero. También hay un solo número en el período: 8. Es decir, solo hay un nueve. Es decir, debes escribir 90 en el denominador.
Para determinar el numerador, debes restar 5 de 58. Resulta 53. Por ejemplo, tendrías que escribir la respuesta como 53/90.
¿Cómo se convierten las fracciones a decimales?
La opción más sencilla es un número cuyo denominador sea el número 10, 100, etc. Luego, simplemente se descarta el denominador y se coloca una coma entre las partes fraccionaria y entera.
Hay situaciones en las que el denominador se convierte fácilmente en 10, 100, etc. Por ejemplo, los números 5, 20, 25. Basta con multiplicarlos por 2, 5 y 4, respectivamente. Solo necesitas multiplicar no solo el denominador, sino también el numerador por el mismo número.
Para todos los demás casos, resulta útil una regla sencilla: dividir el numerador por el denominador. En este caso, puedes obtener dos respuestas posibles: una fracción decimal finita o periódica.
Operaciones con fracciones ordinarias
Adición y sustracción
Los estudiantes los conocen antes que los demás. Además, al principio las fracciones tienen los mismos denominadores y luego diferentes. Reglas generales puede reducirse a tal plan.
Encuentra el mínimo común múltiplo de los denominadores.
Escribe factores adicionales para todas las fracciones ordinarias.
Multiplica los numeradores y denominadores por los factores especificados para ellos.
Suma (resta) los numeradores de las fracciones y deja el denominador común sin cambios.
Si el numerador del minuendo es menor que el sustraendo, entonces tenemos que averiguarlo ante nosotros. numero mixto o una fracción propia.
En el primer caso, es necesario pedir prestado uno de toda la pieza. Suma el denominador al numerador de la fracción. Y luego haz la resta.
En el segundo, es necesario aplicar la regla de restar un número mayor de un número menor. Es decir, del módulo del sustraendo, reste el módulo del minuendo y, en respuesta, ponga un signo "-".
Mire atentamente el resultado de la suma (resta). Si obtienes una fracción impropia, entonces debes seleccionar la parte entera. Es decir, divide el numerador por el denominador.
Multiplicación y división
Para realizarlos no es necesario reducir las fracciones a un denominador común. Esto facilita la realización de acciones. Pero todavía exigen que sigas las reglas.
Al multiplicar fracciones, debes fijarte en los números en los numeradores y denominadores. Si cualquier numerador y denominador tienen un factor común, entonces se pueden reducir.
Multiplica los numeradores.
Multiplica los denominadores.
Si el resultado es una fracción reducible, entonces se debe simplificar nuevamente.
Al dividir, primero debes reemplazar la división con la multiplicación y el divisor (segunda fracción) con la fracción recíproca (intercambia el numerador y el denominador).
Luego proceda como con la multiplicación (comenzando desde el punto 1).
En tareas en las que sea necesario multiplicar (dividir) por un número entero, este último debe escribirse como una fracción impropia. Es decir, con un denominador de 1. Luego actúa como se describe arriba.
Operaciones con decimales
Adición y sustracción
Por supuesto, siempre puedes convertir un decimal en una fracción. Y actuar según el plan ya descrito. Pero a veces es más conveniente actuar sin esta traducción. Entonces las reglas para sumar y restar serán exactamente las mismas.
Iguala el número de dígitos en la parte fraccionaria del número, es decir, después del punto decimal. Súmale el número de ceros que faltan.
Escribe las fracciones de modo que la coma quede debajo de la coma.
Sumar (restar) como números naturales.
Elimina la coma.
Multiplicación y división
Es importante que no sea necesario agregar ceros aquí. Las fracciones deben dejarse como se dan en el ejemplo. Y luego siga el plan.
Para multiplicar, debes escribir las fracciones una debajo de la otra, ignorando las comas.
Multiplica como números naturales.
Coloca una coma en la respuesta, contando desde el extremo derecho de la respuesta tantos dígitos como haya en las partes fraccionarias de ambos factores.
Para dividir, primero debes transformar el divisor: hazlo número natural. Es decir, multiplicarlo por 10, 100, etc., dependiendo de cuántos dígitos haya en la parte fraccionaria del divisor.
Multiplica el dividendo por el mismo número.
Dividir una fracción decimal por un número natural.
Coloca una coma en tu respuesta en el momento en que finaliza la división de la parte entera.
¿Qué pasa si un ejemplo contiene ambos tipos de fracciones?
Sí, en matemáticas a menudo hay ejemplos en los que es necesario realizar operaciones con fracciones ordinarias y decimales. En tales tareas hay dos posibles soluciones. Debe sopesar objetivamente los números y elegir el óptimo.
Primera forma: representar decimales ordinarios.
Es adecuado si la división o traducción da como resultado fracciones finitas. Si al menos un número da una parte periódica, entonces esta técnica está prohibida. Por lo tanto, aunque no te guste trabajar con fracciones ordinarias, tendrás que contarlas.
Segunda forma: escribir fracciones decimales como ordinarias
Esta técnica resulta conveniente si la parte después del punto decimal contiene 1-2 dígitos. Si hay más, puedes obtener una fracción ordinaria muy grande y notaciones decimales le permitirá calcular la tarea de forma más rápida y sencilla. Por lo tanto, siempre es necesario evaluar con seriedad la tarea y elegir el método de solución más simple.