Definición de números racionales
Los números racionales incluyen:
- Números naturales que se pueden representar como fracción. Por ejemplo, $7=\frac(7)(1)$.
- Números enteros, incluido el cero, que se pueden representar como una fracción positiva o negativa, o como cero. Por ejemplo, $19=\frac(19)(1)$, $-23=-\frac(23)(1)$.
- Fracciones comunes (positivas o negativas).
- Números mixtos que se pueden representar como fracción impropia. Por ejemplo, $3 \frac(11)(13)=\frac(33)(13)$ y $-2 \frac(4)(5)=-\frac(14)(5)$.
- Último decimal y una fracción periódica infinita, que se puede representar como una fracción ordinaria. Por ejemplo, $-7.73=-\frac(773)(100)$, $7,(3)=-7 \frac(1)(3)=-\frac(22)(3)$.
Nota 1
Tenga en cuenta que una fracción decimal infinita no periódica no pertenece a números racionales, porque no se puede representar como una fracción ordinaria.
Ejemplo 1
Los números naturales $7, 670, 21\456$ son racionales.
Los números enteros $76, –76, 0, –555\666$ son racionales.
Fracciones comunes $\frac(7)(11)$, $\frac(555)(4)$, $-\frac(7)(11)$, $-\frac(100)(234)$ – números racionales .
Así, los números racionales se dividen en positivos y negativos. El número cero es racional, pero no es un número racional positivo ni negativo.
Formulemos una definición más concisa de números racionales.
Definición 3
Racional son números que se pueden representar como una fracción decimal periódica finita o infinita.
Se pueden sacar las siguientes conclusiones:
- los números enteros positivos y negativos y las fracciones pertenecen al conjunto de los números racionales;
- los números racionales se pueden representar como una fracción que tiene un numerador entero y un denominador natural y es un número racional;
- Los números racionales se pueden representar como cualquier fracción decimal periódica que sea un número racional.
Cómo determinar si un número es racional
- Un número se especifica como una expresión numérica que consta únicamente de números racionales y operaciones aritméticas con signos. En este caso, el valor de la expresión será un número racional.
- La raíz cuadrada de un número natural es un número racional sólo si la raíz contiene un número que es el cuadrado perfecto de algún número natural. Por ejemplo, $\sqrt(9)$ y $\sqrt(121)$ son números racionales, ya que $9=3^2$ y $121=11^2$.
- La $n$ésima raíz de un número entero es un número racional solo si el número bajo el signo de la raíz es la $n$ésima potencia de algún número entero. Por ejemplo, $\sqrt(8)$ es un número racional, porque $8=2^3$.
En el eje numérico, los números racionales están densamente distribuidos: entre cada dos números racionales que no son iguales entre sí, se puede ubicar al menos un número racional (por lo tanto, un conjunto infinito de números racionales). Al mismo tiempo, un conjunto de números racionales se caracteriza por una cardinalidad contable (es decir, todos los elementos del conjunto se pueden numerar). Los antiguos griegos demostraron que hay números que no se pueden escribir como fracción. Demostraron que no existe ningún número racional cuyo cuadrado sea igual a $2$. Luego, los números racionales resultaron insuficientes para expresar todas las cantidades, lo que posteriormente condujo a la aparición de los números reales. El conjunto de los números racionales, a diferencia de los números reales, tiene dimensión cero.
Número- un concepto matemático importante que ha cambiado a lo largo de los siglos.
Las primeras ideas sobre los números surgieron al contar personas, animales, frutas, productos diversos, etc. El resultado son números naturales: 1, 2, 3, 4, ...
Históricamente, la primera extensión del concepto de número es la suma de números fraccionarios al número natural.
Fracción se llama una parte (participación) de una unidad o varias partes iguales.
Designado por: , donde metro, norte- números enteros;
Fracciones con denominador 10 norte, Dónde norte- un número entero, llamado decimal: .
Entre las fracciones decimales, un lugar especial lo ocupan fracciones periódicas: 
- fracción periódica pura, 
- fracción periódica mixta.
Una mayor expansión del concepto de número se debe al desarrollo de las propias matemáticas (álgebra). Descartes en el siglo XVII. introduce el concepto numero negativo.
Los números enteros (positivos y negativos), fraccionarios (positivos y negativos) y cero se llaman numeros racionales. Cualquier número racional se puede escribir como una fracción finita y periódica.
Para estudiar cantidades variables en continuo cambio, resultó que era necesaria una nueva expansión del concepto de número, la introducción de números reales (reales), sumando números irracionales a números racionales: Numeros irracionales son fracciones decimales infinitas no periódicas.
Los números irracionales aparecieron al medir segmentos inconmensurables (el lado y la diagonal de un cuadrado), en álgebra: al extraer raíces, un ejemplo de un número irracional trascendental es π, mi .
Números natural(1, 2, 3,...), entero(..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,...), racional(representable como una fracción) y irracional(no representable como una fracción ) formar un conjunto real real) números.
Los números complejos se distinguen por separado en matemáticas.
Números complejos surgen en relación con el problema de resolver cuadrados para el caso D< 0 (здесь D– discriminante de una ecuación cuadrática). Durante mucho tiempo, estos números no encontraron aplicación física, por eso se les llamó números "imaginarios". Sin embargo, en la actualidad se utilizan mucho en Varias áreas física y tecnología: ingeniería eléctrica, hidro y aerodinámica, teoría de la elasticidad, etc.
Números complejos se escriben en la forma: z= a+ bi. Aquí a Y b – numeros reales, A i – unidad imaginaria, es decirmi. i 2 = -1. Número a llamado abscisa,a b -ordenada Número complejo a+ bi. Dos números complejos a+ bi Y a–bi son llamados conjugado números complejos.
Propiedades:
1. número real A También se puede escribir en forma de números complejos: a+ 0i o a - 0i. Por ejemplo 5 + 0 i y 5 – 0 i significa el mismo número 5.
2. Número complejo 0 + bi llamado puramente imaginario número. Registro bi significa lo mismo que 0 + bi.
3. Dos números complejos a+ bi Y C+ di se consideran iguales si a= C Y b= d. De lo contrario, los números complejos no son iguales.
Comportamiento:
Suma. Suma de números complejos a+ bi Y C+ di se llama número complejo ( a+ C) + (b+ d)i. De este modo, Al sumar números complejos, sus abscisas y ordenadas se suman por separado.
Sustracción. La diferencia de dos números complejos. a+ bi(disminuido) y C+ di(sustraendo) se llama número complejo ( C.A) + (b-d)i. De este modo, Al restar dos números complejos, sus abscisas y ordenadas se restan por separado.
Multiplicación. Producto de números complejos a+ bi Y C+ di se llama número complejo:
(ac-bd) + (anuncio+ antes de Cristo)i. Esta definición se deriva de dos requisitos:
1) números a+ bi Y C+ di debe multiplicarse como binomios algebraicos,
2) número i tiene la propiedad principal: i 2 = –1.
EJEMPLO ( a+bi)(a–bi)= un 2 +b 2 . Por eso, trabajardos números complejos conjugados es igual a un número real positivo.
División. dividir un número complejo a+ bi(divisible) por otro C+ di (divisor) - significa encontrar el tercer número mi+ f yo(chat), que al multiplicarse por un divisor C+ di, da como resultado el dividendo a+ bi. Si el divisor no es cero, siempre es posible la división.
EJEMPLO Encuentra (8 + i) : (2 – 3i) .
Solución. Reescribamos esta proporción como una fracción:
Multiplicando su numerador y denominador por 2 + 3 i y luego de realizar todas las transformaciones, obtenemos:
Tarea 1: Sumar, restar, multiplicar y dividir z 1 en z 2
Extrayendo la raíz cuadrada: Resuelve la ecuación X 2 = -a. Para resolver esta ecuación nos vemos obligados a utilizar números de un nuevo tipo: numeros imaginarios . De este modo, imaginario el numero se llama cuya segunda potencia es un número negativo. Según esta definición de números imaginarios podemos definir y imaginario unidad:
Entonces para la ecuación X 2 = – 25 obtenemos dos imaginario raíz:
Tarea 2: Resuelve la ecuación:
1) x 2 = – 36; 2) X 2 = – 49; 3) X 2 = – 121
Representación geométrica de números complejos. Los números reales están representados por puntos en la recta numérica:
Aquí está el punto A significa el número –3, punto B–número 2, y oh-cero. Por el contrario, los números complejos se representan mediante puntos en el plano coordenado. Para ello, elegimos coordenadas rectangulares (cartesianas) con las mismas escalas en ambos ejes. Entonces el número complejo a+ bi estará representado por un punto P con abscisaA y ordenadab. Este sistema de coordenadas se llama plano complejo .
Módulo El número complejo es la longitud del vector. OP, que representa un número complejo en la coordenada ( integral) avión. Módulo de un número complejo a+ bi denotado | a+ bi| o) carta r y es igual a:
Los números complejos conjugados tienen el mismo módulo.
Las reglas para elaborar un dibujo son casi las mismas que para un dibujo en un sistema de coordenadas cartesianas. A lo largo de los ejes es necesario establecer la dimensión, tenga en cuenta:
mi 
unidad a lo largo del eje real; re z
unidad imaginaria a lo largo del eje imaginario. soy z
Tarea 3. Construya los siguientes números complejos en el plano complejo: , , , , , , ,
1. Los números son exactos y aproximados. Los números que encontramos en la práctica son de dos tipos. Algunos dan el valor real de la cantidad, otros sólo son aproximados. Los primeros se llaman exactos, los segundos, aproximados. En la mayoría de los casos, es conveniente utilizar un número aproximado en lugar de uno exacto, especialmente porque en muchos casos es imposible encontrar un número exacto.
Entonces, si dicen que hay 29 estudiantes en una clase, entonces el número 29 es exacto. Si dicen que la distancia de Moscú a Kiev es de 960 km, entonces aquí el número 960 es aproximado, ya que, por un lado, nuestros instrumentos de medición no son del todo precisos, por otro lado, las ciudades mismas tienen cierta extensión.
El resultado de acciones con números aproximados también es un número aproximado. Al realizar algunas operaciones con números exactos (división, extracción de raíces), también puedes obtener números aproximados.
La teoría de los cálculos aproximados permite:
1) conocer el grado de exactitud de los datos, evaluar el grado de exactitud de los resultados;
2) tomar datos con un grado apropiado de precisión suficiente para garantizar la precisión requerida del resultado;
3) racionalizar el proceso de cálculo, liberándolo de aquellos cálculos que no afecten la precisión del resultado.
2. Redondeo. Una fuente para obtener números aproximados es el redondeo. Tanto los números aproximados como los exactos están redondeados.
Redondear un número dado a un dígito determinado se llama reemplazarlo con un número nuevo, que se obtiene del dado descartando todos sus dígitos escritos a la derecha del dígito de este dígito, o reemplazándolos con ceros. Estos ceros suelen estar subrayados o escritos en tamaño más pequeño. Para asegurarse de que el número redondeado sea lo más parecido posible al que se está redondeando, debe utilizar las siguientes reglas: para redondear un número a uno de un determinado dígito, debe descartar todos los dígitos después del dígito de este dígito y reemplazar ellos con ceros en el número entero. Se tienen en cuenta los siguientes:
1) si el primero (a la izquierda) de los dígitos descartados es menor que 5, entonces el último dígito restante no se modifica (redondeando hacia abajo);
2) si el primer dígito a descartar es mayor que 5 o igual a 5, entonces se aumenta en uno el último dígito que queda (redondeando con exceso).
Demostremos esto con ejemplos. Redondo:
a) hasta décimos 12,34;
b) hasta centésimas 3,2465; 1038,785;
c) hasta milésimas 3,4335.
d) hasta mil 12375; 320729.
a) 12,34 ≈ 12,3;
b) 3,2465 ≈ 3,25; 1038,785 ≈ 1038,79;
c) 3,4335 ≈ 3,434.
d) 12375 ≈ 12.000; 320729 ≈ 321000.
3. Errores absolutos y relativos. La diferencia entre el número exacto y su valor aproximado se llama error absoluto del número aproximado. Por ejemplo, si el número exacto 1,214 se redondea a la décima más cercana, obtenemos un número aproximado de 1,2. En este caso, el error absoluto del número aproximado 1,2 es 1,214 - 1,2, es decir 0,014.
Pero en la mayoría de los casos, se desconoce el valor exacto del valor considerado, pero solo aproximado. Entonces se desconoce el error absoluto. En estos casos, indicar el límite que no se supera. Este número se llama error absoluto límite. Dicen que el valor exacto de un número es igual a su valor aproximado con un error menor que el error marginal. Por ejemplo, el número 23,71 es un valor aproximado del número 23,7125 con una precisión de 0,01, ya que el error absoluto de la aproximación es 0,0025 y menor que 0,01. Aquí el error absoluto límite es 0,01 *.
Error absoluto de límite del número aproximado A denotado por el símbolo Δ a. Registro
X≈a(±Δ a)
debe entenderse de la siguiente manera: el valor exacto de la cantidad X esta entre los numeros A– Δ a Y A+ Δ A, que se denominan límites inferior y superior, respectivamente X y denota NG X VG X.
Por ejemplo, si X≈ 2,3 (±0,1), luego 2,2<X< 2,4.
Viceversa, si 7,3< X< 7,4, тоX≈ 7,35 (±0,05). El error absoluto o marginal absoluto no caracteriza la calidad de la medición realizada. Un mismo error absoluto puede considerarse significativo e insignificante dependiendo del número con el que se exprese el valor medido. Por ejemplo, si medimos la distancia entre dos ciudades con una precisión de un kilómetro, entonces dicha precisión es suficiente para este cambio, pero al mismo tiempo, al medir la distancia entre dos casas en la misma calle, dicha precisión será inaceptable. En consecuencia, la precisión del valor aproximado de una cantidad depende no sólo de la magnitud del error absoluto, sino también del valor de la cantidad medida. Por tanto, el error relativo es una medida de precisión.
El error relativo es la relación entre el error absoluto y el valor del número aproximado. La relación entre el error absoluto límite y el número aproximado se denomina error relativo límite; lo designan así: . Los errores relativos y relativos marginales generalmente se expresan como porcentajes. Por ejemplo, si las mediciones mostraran que la distancia X entre dos puntos es más de 12,3 km, pero menos de 12,7 km, entonces se toma como valor aproximado la media aritmética de estos dos números, es decir su mitad de la suma, entonces el error absoluto marginal es igual a la mitad de la diferencia de estos números. En este caso X≈ 12,5 (±0,2). Aquí el error absoluto límite es de 0,2 km y el error relativo límite
Este artículo está dedicado al estudio del tema "Números racionales". A continuación se encuentran definiciones de números racionales, se dan ejemplos y cómo determinar si un número es racional o no.
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Numeros racionales. Definiciones
Antes de dar la definición de números racionales, recordemos qué otros conjuntos de números existen y cómo se relacionan entre sí.
Los números naturales, junto con sus opuestos y el número cero, forman el conjunto de los números enteros. A su vez, el conjunto de los números enteros fraccionarios forma el conjunto de los números racionales.
Definición 1. Números racionales
Los números racionales son números que se pueden representar como positivos. fracción común a b , una fracción común negativa: a b o el número cero.
Por tanto, podemos conservar una serie de propiedades de los números racionales:
- Cualquier número natural es un número racional. Obviamente, todo número natural n se puede representar como una fracción 1 n.
- Cualquier número entero, incluido el número 0, es un número racional. De hecho, cualquier número entero positivo y negativo se pueden representar fácilmente como una fracción ordinaria positiva o negativa, respectivamente. Por ejemplo, 15 = 15 1, - 352 = - 352 1.
- Cualquier fracción común positiva o negativa a b es un número racional. Esto se deriva directamente de la definición dada anteriormente.
- Cualquier número mixto es racional. De hecho, un número mixto se puede representar como una fracción impropia ordinaria.
- Cualquier fracción decimal finita o periódica se puede representar como una fracción. Por tanto, toda fracción decimal periódica o finita es un número racional.
- Los decimales infinitos y no periódicos no son números racionales. No pueden representarse en forma de fracciones ordinarias.
Pongamos ejemplos de números racionales. Los números 5, 105, 358, 1100055 son naturales, positivos y enteros. Obviamente, estos son números racionales. Los números - 2, - 358, - 936 representan números enteros números negativos, y también son racionales según la definición. Las fracciones comunes 3 5, 8 7, - 35 8 también son ejemplos de números racionales.
La definición anterior de números racionales se puede formular de manera más breve. Una vez más responderemos a la pregunta ¿qué es un número racional?
Definición 2. Números racionales
Los números racionales son números que se pueden representar como una fracción ± z n, donde z es un número entero y n es un número natural.
Se puede demostrar que esta definición es equivalente a la definición anterior de números racionales. Para ello, recuerda que la recta de fracción equivale al signo de división. Teniendo en cuenta las reglas y propiedades de la división de números enteros, podemos escribir las siguientes desigualdades justas:
0 norte = 0 ÷ norte = 0 ; - metro norte = (- metro) ÷ norte = - metro norte .
Así, podemos escribir:
z n = z n , p r y z > 0 0 , p r y z = 0 - z n , p r y z< 0
En realidad, esta grabación es una prueba. Demos ejemplos de números racionales basados en la segunda definición. Considere los números - 3, 0, 5, - 7 55, 0, 0125 y - 1 3 5. Todos estos números son racionales, ya que se pueden escribir como una fracción con numerador entero y denominador natural: - 3 1, 0 1, - 7 55, 125 10000, 8 5.
Damos otra forma equivalente para la definición de números racionales.
Definición 3. Números racionales
Un número racional es un número que se puede escribir como una fracción decimal periódica finita o infinita.
Esta definición se deriva directamente de la primera definición de este párrafo.
Resumamos y formulemos un resumen de este punto:
- Las fracciones positivas y negativas y los números enteros forman el conjunto de los números racionales.
- Todo número racional se puede representar como una fracción ordinaria, cuyo numerador es un número entero y cuyo denominador es un número natural.
- Cada número racional también se puede representar como una fracción decimal: finita o infinitamente periódica.
¿Qué número es racional?
Como ya hemos descubierto, cualquier número natural, entero, fracción ordinaria propia e impropia, fracción decimal periódica y finita son números racionales. Armado con este conocimiento, puedes determinar fácilmente si un determinado número es racional.
Sin embargo, en la práctica, a menudo no se trata de números, sino de expresiones numéricas que contienen raíces, potencias y logaritmos. En algunos casos, la respuesta a la pregunta "¿es el número racional?" está lejos de ser obvio. Veamos métodos para responder a esta pregunta.
Si un número se da como una expresión que contiene sólo números racionales y operaciones aritméticas entre ellos, entonces el resultado de la expresión es un número racional.
Por ejemplo, el valor de la expresión 2 · 3 1 8 - 0, 25 0, (3) es un número racional y es igual a 18.
Por lo tanto, simplificar una expresión numérica compleja le permite determinar si el número dado por ella es racional.
Ahora veamos el signo de la raíz.
Resulta que el número m n dado como raíz de la potencia n del número m es racional sólo cuando m es la enésima potencia de algún número natural.
Veamos un ejemplo. El número 2 no es racional. Mientras que 9, 81 son números racionales. 9 y 81 son cuadrados perfectos de los números 3 y 9, respectivamente. Los números 199, 28, 15 1 no son números racionales, ya que los números bajo el signo raíz no lo son cuadrados perfectos cualquier número natural.
Ahora tomemos más caso dificil. ¿Es 243 5 un número racional? Si elevas 3 a la quinta potencia, obtienes 243, por lo que la expresión original se puede reescribir de la siguiente manera: 243 5 = 3 5 5 = 3. Por tanto, este número es racional. Ahora tomemos el número 121 5. Este número es irracional, ya que no existe ningún número natural cuyo elevado a la quinta potencia dé 121.
Para saber si el logaritmo de un número a en base b es un número racional, es necesario aplicar el método de la contradicción. Por ejemplo, averiguamos si es racional número de registro 2 5. Supongamos que este número es racional. Si esto es así, entonces se puede escribir como una fracción ordinaria log 2 5 = m n. Según las propiedades del logaritmo y las propiedades del grado, son válidas las siguientes igualdades:
5 = 2 registro 2 5 = 2 metro norte 5 norte = 2 metro
Obviamente, la última igualdad es imposible ya que los lados izquierdo y derecho contienen números pares e impares, respectivamente. Por lo tanto, la suposición hecha es incorrecta y log 2 5 no es un número racional.
Vale la pena señalar que al determinar la racionalidad e irracionalidad de los números, no se deben tomar decisiones repentinas. Por ejemplo, el resultado del producto de números irracionales no siempre es un número irracional. Un buen ejemplo: 2 · 2 = 2 .
También hay números irracionales, cuya elevación a una potencia irracional da un número racional. En una potencia de la forma 2 log 2 3, la base y el exponente son Numeros irracionales. Sin embargo, el número en sí es racional: 2 log 2 3 = 3.
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Enteros
La definición de números naturales es números enteros. numeros positivos. Los números naturales se utilizan para contar objetos y para muchos otros fines. Estos son los números:
Esta es una serie natural de números.
¿Es el cero un número natural? No, el cero no es un número natural.
¿Cuántos números naturales hay? Hay una infinidad de números naturales.
¿Cuál es el número natural más pequeño? Uno es el número natural más pequeño.
¿Cuál es el número natural más grande? Es imposible especificarlo, porque existe una infinidad de números naturales.
La suma de números naturales es un número natural. Entonces, sumando números naturales a y b:
El producto de números naturales es un número natural. Entonces, el producto de los números naturales a y b:
c es siempre un número natural.
Diferencia de números naturales No siempre existe un número natural. Si el minuendo es mayor que el sustraendo, entonces la diferencia de los números naturales es un número natural; en caso contrario, no lo es.
El cociente de números naturales no siempre es un número natural. Si para los números naturales a y b
donde c es un número natural, esto significa que a es divisible por b. En este ejemplo, a es el dividendo, b es el divisor y c es el cociente.
El divisor de un número natural es un número natural por el cual el primer número es divisible por un entero.
Todo número natural es divisible por uno y por sí mismo.
Los números naturales primos son divisibles sólo por uno y por sí mismos. Aquí nos referimos a dividido por completo. Ejemplo, números 2; 3; 5; 7 sólo es divisible por uno y por sí mismo. Estos son números naturales simples.
Uno no se considera un número primo.
Los números mayores que uno y que no son primos se llaman números compuestos. Ejemplos de números compuestos:
El uno no se considera un número compuesto.
El conjunto de los números naturales es uno. números primos y números compuestos.
El conjunto de los números naturales se denota con la letra latina N.
Propiedades de la suma y multiplicación de números naturales:
propiedad conmutativa de la suma
propiedad asociativa de la suma
(a + b) + c = a + (b + c);
propiedad conmutativa de la multiplicación
propiedad asociativa de la multiplicación
(ab) c = a (bc);
propiedad distributiva de la multiplicación
A (b + c) = ab + ca;
números enteros
Los números enteros son los números naturales, el cero y los opuestos de los números naturales.
Lo opuesto a los números naturales son los números enteros negativos, por ejemplo:
1; -2; -3; -4;...
El conjunto de números enteros se denota con la letra latina Z.
Numeros racionales
Los números racionales son números enteros y fraccionarios.
Cualquier número racional se puede representar como una fracción periódica. Ejemplos:
1,(0); 3,(6); 0,(0);...
De los ejemplos queda claro que cualquier número entero es una fracción periódica con período cero.
Cualquier número racional se puede representar como una fracción m/n, donde m es un número entero numero,nnatural número. Imaginemos el número 3,(6) del ejemplo anterior como tal fracción.
Definición de números racionales:
Un número racional es un número que se puede representar como una fracción. El numerador de dicha fracción pertenece al conjunto de los números enteros y el denominador pertenece al conjunto de los números naturales.
¿Por qué los números se llaman racionales?
En latín ratio significa ratio. Los números racionales se pueden representar como una razón, es decir en otras palabras, como una fracción.
Ejemplo de número racional
El número 2/3 es un número racional. ¿Por qué? Este número se representa como una fracción, cuyo numerador pertenece al conjunto de los números enteros y el denominador al conjunto de los números naturales.
Para obtener más ejemplos de números racionales, consulte el artículo.
Números racionales iguales
Fracciones diversas puede representar un número racional.
Considere el número racional 3/5. Este número racional es igual a
Reduzcamos el numerador y denominador por un factor común de 2:
| 6 | = | 2 * 3 | = | 3 |
|---|---|---|---|---|
| 10 | 2 * 5 | 5 |
Obtenemos la fracción 3/5, lo que significa que