Ejemplos de progresión aritmética y geométrica. tomado de la "Colección de problemas para solicitantes. Matemáticas" publicada por Volynsky Universidad Estatal lleva el nombre de Lesya Ukrainka en 2001. Lee atentamente las respuestas y elige lo que más necesitas.
Grupo A (nivel 1)
Ejemplo 1. Calcula el sexto término de la progresión aritmética 21,3; 22,4; ... ,
Solución: Encuentra la diferencia (paso) de la progresión.
d=a 2 -a 1 =22,4-21,3=1,1.
A continuación, calculamos el sexto término de la progresión aritmética.
a 6 =a 1 +(6-1)d=21,3+5*1,1=26,8.
Ejemplo 2. Calcula el sexto término de la progresión geométrica 5; 10; 20; ...
Solución: Encuentra el denominador de la progresión geométrica.
q=b 2 /b 1 =10/5=2.
Calcular el sexto término de la progresión geométrica.
b 6 =b 1 q 6-1 =5*25=5*32=160.
Ejemplo 3. En una progresión aritmética a 1 =2,1 a 10 =12,9. Calcula la diferencia de progresión.
Solución: representemos el décimo término de la progresión como una fórmula.
un 10 =un 1 +(10-1)d= un 1 +9d .
Sustituyamos los valores conocidos y resolvamos.
12,9=2,1+9d;
9d=12,9-2,1=10,8;
d=10,8/9=1,2.
Respuesta: diferencia de progresión d=1,2.
Ejemplo 4. En progresión geométrica b 1 =2,56; b 4 = 4,42368. Calcula el denominador de la progresión.
Solución: Encuentra el denominador de la progresión.
q=b2/b1 =4,42368/2,56=1,728.
Aquí no puedes prescindir de una calculadora.
Respuesta: el denominador de la progresión es q=1,728.
Ejemplo 5. En una progresión aritmética a 1 =20,1, d=1,3. Calcula la suma de los primeros ocho términos de la progresión.
Solución: encontramos la suma de la progresión aritmética usando la fórmula
Realizar cálculos
S8 =(2*20,1+(8-1)*1,3)*8/2=197,2.
Respuesta: S8 =197,2.
Ejemplo 6. En progresión geométrica b 1 =1,5; q=1,2. Calcula la suma de los primeros cuatro términos de la progresión.
Solución: Calculamos la suma de la progresión geométrica usando la fórmula.
Encontrar la suma de la progresión. 
Respuesta: S8 =8,052.
Ejemplo 7. En progresión aritmética a 1 =1,35 d=-2,4. Calcula el número del término de progresión igual a -25,05.
Solución: El término de una progresión aritmética se encuentra usando la fórmula
un norte =a 1 +(n-1)d.
Según la condición dada, se conoce todo excepto el número de serie, busquémoslo
-25,05=1,35+(n-1)(-2,4); 
Respuesta:n=12.
Ejemplo 8. Calcula el séptimo término de la progresión 23,5; 24,82; 26,14; ...
Solución: dado que la condición no especifica qué progresión se especifica, primero debe configurarla. Consigue esa aritmética
d=a2-a1 =24,82-23,5=1,32;
d=a 3 -a 2 =26,14-24,82=1,32.
Encontrar el séptimo término de la progresión.
a 7 =a 1 +(7-1)d=23,5+6*1,32=31,42.
Respuesta: a 7 = 31,42.
Ejemplo 9. Calcula el número del término de la progresión 2,1; 3.3; 4,5; ... igual a 11,7.
Solución: Es fácil verificar que se da una progresión aritmética. Encontremos la diferencia de progresión.
d=a 2 -a 1 =3,3-2,1=1,2.
Según la fórmula del término de progresión.
un norte = un 1 + (n-1) d
encontremos el numero
11,7=2,1+(n-1)*1,2; 
Respuesta: n= 9.
Ejemplo 10. Calcula el cuarto término de la progresión 1,5; 1,8; 2,16; ... .
Solución: Sin comprobar, podemos decir que la progresión es geométrica. Encontremos su denominador
q=b 2 /b 1 =1, 8/1.5=1.2.
Calculemos el cuarto término de la progresión geométrica usando la fórmula
b 4 =b 1 q 3 =1,5*1,2 3 =2,592.
Respuesta: b 4 = 2,592.
Ejemplo 11. Calcula el número del término de la progresión 1,2; 1,8; 2,16; ... igual a 4,05.
Solución: Tenemos una progresión geométrica. Encontremos el denominador de la progresión.
q=b 2 /b 1 =1, 8/1.2=1.5.
Encontremos el número de progresión de la dependencia.
segundo norte = segundo 1 q norte-1 .
4,05 = 1,2*1,5 n-1;
1,5 n-1 =4,05/1,2=3,375=1,5 3 ;
n-1=3; n=4.
Respuesta:n=4.
Ejemplo 12. En progresión aritmética a 5 =14,91 a 9 =20,11. Calcule un 1 .
Solución: Expresar el noveno término de la progresión en términos de 5
un 9 = un 5 +(9-5)d
y encontrar el paso de progresión
20,11=14,91+4d;
4d=5,2; d=5,2/4=1,3.
Expresemos el quinto término de la progresión hasta 1 y calculemos el primero
un 5 = un 1 +4d;
14,91= a 1 +5,2;
a 1 =14,91-5,2=9,71.
Respuesta: a 1 =9,71.
Ejemplo 13. En progresión aritmética a 7 =12,01; a 11 = 17,61. Calcula la diferencia de progresión.
Solución: Expresar el undécimo término de la progresión en términos de 7
a 11 = a 7 +(11-7)d.
A partir de aquí calculamos el paso de progresión.
17,61=12,01+4d;
4d=5,6; d=5,6/4=1,4.
Respuesta: d=1,4.
Ejemplo 14. En progresión geométrica b 5 =64; b8 =1. Calcula b 3 .
Solución: Expresar el octavo término de la progresión en términos de 5
segundo 8 = segundo 5 q 8-5.
A partir de aquí encontramos el denominador de la progresión.
1=64 q 3 ;
q 3 =1/64=(1/4) 3 ;
q=1/4.
De manera similar encontramos b 3 a b 5
segundo 3 = segundo 5 /q 2 =64*4 2 =1024.
Respuesta: b 3 =1024.
Ejemplo 15. En la progresión aritmética a 9 + a 15 = 14,8. calcular un 12
Solución: En este ejemplo se debe tener en cuenta que el término 12 de la progresión se encuentra a medio camino entre su número 9 y 15. Por lo tanto, los términos vecinos de la progresión (9, 15) se pueden expresar en términos de 12 de la siguiente manera
a 9 = a 12 -(12-9)d;
a 15 = a 12 +(15-9)d;
un 9 = un 12 -3d;
un 15 = un 12 +3d.
Resumamos los términos extremos de la progresión.
un 9 + un 15 = un 12 -3d+ un 12 +3d=2a 12.
A partir de aquí encontramos el término 12 de la progresión.
a 12 =(a 9 +a 15)/2=14,8/2=7,4.
Respuesta: a 12 =7,4.
Ejemplo 16. En progresión geométrica b 10 * b 14 =289. Calcular el módulo del duodécimo término de la progresión | b 12 |.
Solución: El algoritmo para resolver el problema está contenido en el ejemplo anterior. Los términos 10 y 14 de la progresión geométrica deben expresarse en términos de 12. Usando las propiedades de la progresión geométrica, obtenemos
segundo 10 = segundo 12 /q 2 ; segundo 14 = segundo 12 *q 2 .
Es fácil notar que cuando se producen, el signo de la progresión desaparece.
segundo 10 * segundo 14 = (segundo 12) 2 =289=17 2 .
Desde aquí encontramos el módulo | b 12 |
(b 12) 2 =289=17 2 -> | b 12 |=17.
Respuesta: | b 12 |=17.
Ejemplo 17. En progresión geométrica b 8 =1,3. Calcula b 6 *b 10 .
Solución: El esquema de cálculo es similar al ejemplo anterior: expresamos los términos 6 y 10 de la progresión hasta 8.
segundo 6 = segundo 8 /q 2 ; segundo 10 = segundo 8 *q 2 .
Al multiplicarlos, los denominadores se cancelan y obtenemos el cuadrado del término conocido de la progresión.
segundo 6 * segundo 10 = (segundo 8) 2 =1,3 2 =1,69.
Respuesta: b 6 * b 10 = 1,69.
Ejemplo 18. En una progresión aritmética, a 10 =3,6: a 12 =8. Calcular un 8
Solución: Escribamos los términos de la progresión en la serie a 8, a 10, a 12. Hay el mismo paso entre ellos, vamos a encontrarlo.
un 12 = un 10 +2d;
2d= un 12 - un 10 =8-3.6=4.4.
Usando el mismo método encontramos un 8
un 10 = un 8 +2d;
a 8 = a 10 -2d=3,6-4,4=-0,8.
Aquí hay algunos cálculos simples.
Respuesta: a 8 = -0,8.
Ejemplo 19. En progresión geométrica b 14 =8; b16 =2. Calcula b 12.
Solución: omitiendo explicaciones detalladas, escribimos el producto de los términos 14 y 16 de la progresión.
segundo 14 * segundo 16 =(segundo 12) 2 .
Esto es equivalente a la media geométrica. Habiendo encontrado la raíz del producto de términos, obtenemos el valor deseado.
(b 12) 2 =8*2=16; b12 =4.
Respuesta: b 12 =4.
Ejemplo 20. En progresión aritmética a 5 =3,4; a 11 = 6,9. Calcula un 17.
Solución: Entre 5,11 y 17 términos de la progresión hay el mismo paso y es igual a 6d. Por lo tanto, la solución final se puede escribir en la forma
un 17 = un 11 +6d= un 11 +(un 11 - un 5)=2*6.9-3.4=10.4.
Creo que entiendes por qué se hace esta entrada. Si no, intenta escribir el término 11 de la progresión hasta 5 y pasar a 6d.
Respuesta: a 17 = 10,4.
Ejemplo 21. Calcula el sexto término de la progresión geométrica 3; 12;... .
Solución: Encuentra el denominador de la progresión.
q=b 2 /b 1 =12/3=4.
aprovechemos formula general miembro de una progresión geométrica
segundo norte = segundo 1 *q norte-1 .
De aquí obtenemos
segundo 6 = segundo 1 *q 5 = segundo 2 *q 4 .
Como puede ver, lo principal en la notación es que la suma del índice (2) y el grado (4) corresponde al número ordinal del miembro de la progresión (6). Realizar cálculos
b6 = 12*4 4 =12*256=3072.
Consiguió Número grande, pero la progresión geométrica se diferencia en que sus miembros crecen rápidamente o desaparecen.
Respuesta:b 6 =3072.
Ejemplo 22. En progresión aritmética a 3 =48; 5 = 42. Calcula un 7.
Solución: dado que la diferencia en la progresión entre los términos dados y el deseado es igual a 2d, entonces la fórmula para el séptimo término de la progresión se verá así
un 7 = un 5 +2d= un 5 +(un 5 - un 3);
y 7 =2*42-48=36.
Respuesta: a 7 =36.
Progresión aritmética nombrar una secuencia de números (términos de una progresión)
En el que cada término subsiguiente se diferencia del anterior por un nuevo término, que también se llama diferencia de paso o progresión.
Así, al especificar el paso de progresión y su primer término, puedes encontrar cualquiera de sus elementos usando la fórmula
Propiedades de una progresión aritmética
1) Cada miembro de una progresión aritmética, a partir del segundo número, es la media aritmética de los miembros anterior y siguiente de la progresión.
Lo contrario también es cierto. Si la media aritmética de los términos pares (impares) adyacentes de una progresión es igual al término que se encuentra entre ellos, entonces esta secuencia de números es una progresión aritmética. Con esta declaración, es muy fácil verificar cualquier secuencia.
Además, por la propiedad de la progresión aritmética, la fórmula anterior se puede generalizar a la siguiente
Esto es fácil de verificar si escribes los términos a la derecha del signo igual.
A menudo se utiliza en la práctica para simplificar los cálculos en problemas.
2) La suma de los primeros n términos de una progresión aritmética se calcula mediante la fórmula
Recuerde bien la fórmula para la suma de una progresión aritmética; es indispensable en los cálculos y se encuentra con bastante frecuencia en situaciones sencillas de la vida.
3) Si necesita encontrar no la suma completa, sino parte de la secuencia a partir de su k-ésimo término, entonces la siguiente fórmula de suma le resultará útil
4) De interés práctico es encontrar la suma de n términos de una progresión aritmética a partir del k-ésimo número. Para hacer esto, use la fórmula
Con esto concluye el material teórico y pasa a la resolución de problemas comunes en la práctica.
Ejemplo 1. Encuentra el cuadragésimo término de la progresión aritmética 4;7;...
Solución:
Según la condición que tenemos
Determinemos el paso de progresión.
Usando una fórmula bien conocida, encontramos el cuadragésimo término de la progresión.
Ejemplo 2. Una progresión aritmética está dada por sus términos tercero y séptimo. Encuentra el primer término de la progresión y la suma de diez.
Solución:
Anotemos los elementos dados de la progresión usando las fórmulas.
Restamos la primera de la segunda ecuación, como resultado encontramos el paso de progresión
Sustituimos el valor encontrado en cualquiera de las ecuaciones para encontrar el primer término de la progresión aritmética.
Calculamos la suma de los diez primeros términos de la progresión.
Sin utilizar cálculos complejos, encontramos todas las cantidades requeridas.
Ejemplo 3. Una progresión aritmética viene dada por el denominador y uno de sus términos. Encuentra el primer término de la progresión, la suma de sus 50 términos a partir de 50 y la suma de los primeros 100.
Solución:
Escribamos la fórmula para el centésimo elemento de la progresión.
y encuentra el primero
Con base en el primero, encontramos el término 50 de la progresión.
Encontrar la suma de la parte de la progresión.
y la suma de los primeros 100
El importe de la progresión es 250.
Ejemplo 4.
Encuentra el número de términos de una progresión aritmética si:
a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.
Solución:
Escribamos las ecuaciones en términos del primer término y el paso de progresión y determinemos
Sustituimos los valores obtenidos en la fórmula de suma para determinar el número de términos en la suma.
Realizamos simplificaciones.
y resuelve la ecuación cuadrática
De los dos valores encontrados, sólo el número 8 se ajusta a las condiciones del problema. Por tanto, la suma de los primeros ocho términos de la progresión es 111.
Ejemplo 5.
Resuelve la ecuación
1+3+5+...+x=307.
Solución: Esta ecuación es la suma de una progresión aritmética. Escribamos su primer término y encontremos la diferencia en progresión.
Algunas personas tratan la palabra "progresión" con cautela, como un término muy complejo de las ramas de las matemáticas superiores. Mientras tanto, la progresión aritmética más simple es el trabajo del taxímetro (donde todavía existen). Y comprender la esencia (y en matemáticas no hay nada más importante que “comprender la esencia”) de una secuencia aritmética no es tan difícil, habiendo analizado algunos conceptos elementales.
Secuencia numérica matemática
Una secuencia numérica generalmente se denomina serie de números, cada uno de los cuales tiene su propio número.
un 1 es el primer miembro de la secuencia;
y 2 es el segundo término de la secuencia;
un 7 es el séptimo miembro de la secuencia;
yn es el enésimo miembro de la secuencia;
Sin embargo, no nos interesa ningún conjunto arbitrario de números y números. Centraremos nuestra atención en una secuencia numérica en la que el valor del enésimo término está relacionado con su número ordinal mediante una relación que puede formularse claramente matemáticamente. En otras palabras: el valor numérico del enésimo número es alguna función de n.
a es el valor de un miembro de una secuencia numérica;
n es su número de serie;
f(n) es una función, donde el número ordinal de la secuencia numérica n es el argumento.
Definición
Una progresión aritmética suele denominarse secuencia numérica en la que cada término posterior es mayor (menor) que el anterior en el mismo número. La fórmula para el enésimo término de una secuencia aritmética es la siguiente:
a n - el valor del miembro actual de la progresión aritmética;
a n+1 - fórmula del siguiente número;
d - diferencia (cierto número).
Es fácil determinar que si la diferencia es positiva (d>0), entonces cada miembro subsiguiente de la serie considerada será mayor que el anterior y dicha progresión aritmética será creciente.
En el siguiente gráfico es fácil ver por qué la secuencia numérica se llama "creciente".
En los casos en que la diferencia sea negativa (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.
Valor de miembro especificado
A veces es necesario determinar el valor de cualquier término arbitrario an de una progresión aritmética. Esto se puede hacer calculando secuencialmente los valores de todos los miembros de la progresión aritmética, comenzando desde el primero hasta el deseado. Sin embargo, este camino no siempre es aceptable si, por ejemplo, es necesario encontrar el valor del término cinco mil u ocho millones. Los cálculos tradicionales llevarán mucho tiempo. Sin embargo, se puede estudiar una progresión aritmética específica utilizando determinadas fórmulas. También existe una fórmula para el enésimo término: el valor de cualquier término de una progresión aritmética se puede determinar como la suma del primer término de la progresión con la diferencia de la progresión, multiplicada por el número del término deseado, reducida por uno.
La fórmula es universal para la progresión creciente y decreciente.
Un ejemplo de cálculo del valor de un término determinado.
Resolvamos el siguiente problema de encontrar el valor del enésimo término de una progresión aritmética.
Condición: existe una progresión aritmética con parámetros:
El primer término de la secuencia es 3;
La diferencia en la serie numérica es 1,2.
Tarea: necesitas encontrar el valor de 214 términos.
Solución: para determinar el valor de un término determinado utilizamos la fórmula:
a(n) = a1 + d(n-1)
Sustituyendo los datos del enunciado del problema en la expresión, tenemos:
a(214) = a1 + d(n-1)
a(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6
Respuesta: El término 214 de la secuencia es igual a 258,6.
Las ventajas de este método de cálculo son obvias: la solución completa no ocupa más de 2 líneas.
Suma de un número determinado de términos
Muy a menudo, en una determinada serie aritmética, es necesario determinar la suma de los valores de algunos de sus segmentos. Para ello, tampoco es necesario calcular los valores de cada término y luego sumarlos. Este método es aplicable si el número de términos cuya suma es necesario encontrar es pequeño. En otros casos, es más conveniente utilizar la siguiente fórmula.
La suma de los términos de una progresión aritmética de 1 a n es igual a la suma del primer y enésimo término, multiplicada por el número del término n y dividida por dos. Si en la fórmula se reemplaza el valor del enésimo término por la expresión del párrafo anterior del artículo, obtenemos:
Ejemplo de cálculo
Por ejemplo, resolvamos un problema con las siguientes condiciones:
El primer término de la secuencia es cero;
La diferencia es 0,5.
El problema requiere determinar la suma de los términos de la serie del 56 al 101.
Solución. Usemos la fórmula para determinar la cantidad de progresión:
s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2
Primero, determinamos la suma de los valores de 101 términos de la progresión sustituyendo las condiciones dadas de nuestro problema en la fórmula:
s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2,525
Evidentemente, para saber la suma de los términos de la progresión del 56 al 101, es necesario restar S 55 de S 101.
s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5
Así, la suma de la progresión aritmética para este ejemplo es:
s 101 - s 55 = 2.525 - 742,5 = 1.782,5
Ejemplo de aplicación práctica de la progresión aritmética.
Al final del artículo, volvamos al ejemplo de una secuencia aritmética dado en el primer párrafo: un taxímetro (medidor de taxi). Consideremos este ejemplo.
Subir a un taxi (que incluye 3 km de recorrido) cuesta 50 rublos. Cada kilómetro posterior se paga a razón de 22 rublos/km. La distancia recorrida es de 30 km. Calcula el coste del viaje.
1. Descartemos los primeros 3 km, cuyo precio está incluido en el coste del aterrizaje.
30 - 3 = 27 kilómetros.
2. El cálculo adicional no es más que analizar una serie de números aritméticos.
Número de miembro: el número de kilómetros recorridos (menos los tres primeros).
El valor del miembro es la suma.
El primer término de este problema será igual a 1 = 50 rublos.
Diferencia de progresión d = 22 r.
el número que nos interesa es el valor del término (27+1) de la progresión aritmética: la lectura del medidor al final del kilómetro 27 es 27,999... = 28 km.
a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644
Los cálculos de datos del calendario para un período arbitrariamente largo se basan en fórmulas que describen determinadas secuencias numéricas. En astronomía, la longitud de la órbita depende geométricamente de la distancia del cuerpo celeste a la estrella. Además, varias series numéricas se utilizan con éxito en estadística y otras áreas aplicadas de las matemáticas.
Otro tipo de secuencia numérica es geométrica.
La progresión geométrica se caracteriza por mayores tasas de cambio en comparación con la progresión aritmética. No es casualidad que en política, sociología y medicina, para mostrar la alta velocidad de propagación de un fenómeno particular, por ejemplo, una enfermedad durante una epidemia, digan que el proceso se desarrolla en progresión geométrica.
El enésimo término de la serie de números geométricos se diferencia del anterior en que se multiplica por algún número constante: el denominador, por ejemplo, el primer término es 1, el denominador es correspondientemente igual a 2, luego:
norte=1: 1 ∙ 2 = 2
norte=2: 2 ∙ 2 = 4
norte=3: 4 ∙ 2 = 8
norte=4: 8 ∙ 2 = 16
norte=5: 16 ∙ 2 = 32,
b n - el valor del término actual de la progresión geométrica;
b n+1 - fórmula del siguiente término de la progresión geométrica;
q es el denominador de la progresión geométrica (un número constante).
Si la gráfica de una progresión aritmética es una línea recta, entonces una progresión geométrica presenta una imagen ligeramente diferente:
Como en el caso de la aritmética, la progresión geométrica tiene una fórmula para el valor de un término arbitrario. Cualquier enésimo término de una progresión geométrica es igual al producto del primer término por el denominador de la progresión a la potencia de n reducido en uno:
Ejemplo. Tenemos una progresión geométrica con el primer término igual a 3 y el denominador de la progresión igual a 1,5. Encontremos el quinto término de la progresión.
segundo 5 = segundo 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1,5 4 = 15,1875
La suma de un número determinado de términos también se calcula mediante una fórmula especial. La suma de los primeros n términos de una progresión geométrica es igual a la diferencia entre el producto del enésimo término de la progresión por su denominador y el primer término de la progresión, dividido por el denominador reducido en uno:
Si b n se reemplaza usando la fórmula discutida anteriormente, el valor de la suma de los primeros n términos de la serie numérica considerada tomará la forma:
Ejemplo. La progresión geométrica comienza con el primer término igual a 1. El denominador se establece en 3. Encontremos la suma de los primeros ocho términos.
s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280
En matemáticas, cualquier conjunto de números que se suceden, organizados de alguna manera, se llama secuencia. De todas las secuencias de números existentes, se distinguen dos casos interesantes: las progresiones algebraicas y geométricas.
¿Qué es una progresión aritmética?
Cabe decir de inmediato que la progresión algebraica a menudo se llama aritmética, ya que sus propiedades son estudiadas por la rama de las matemáticas: la aritmética.
Esta progresión es una secuencia de números en la que cada miembro siguiente difiere del anterior en un determinado número constante. Se llama diferencia de una progresión algebraica. Para mayor precisión, lo denotamos con la letra latina d.
Un ejemplo de tal secuencia podría ser la siguiente: 3, 5, 7, 9, 11..., aquí puedes ver que el número 5 es mayor que el número 3 por 2, 7 es mayor que 5 por 2, y pronto. Así, en el ejemplo presentado, d = 5-3 = 7-5 = 9-7 = 11-9 = 2.
¿Cuáles son los tipos de progresiones aritméticas?
La naturaleza de estas secuencias ordenadas de números está determinada en gran medida por el signo del número d. Destacar los siguientes tipos progresiones algebraicas:
- aumentando cuando d es positivo (d>0);
- constante cuando d = 0;
- decreciente cuando d es negativo (d<0).
El ejemplo dado en el párrafo anterior muestra una progresión creciente. Un ejemplo de secuencia decreciente es la siguiente secuencia de números: 10, 5, 0, -5, -10, -15 ... Una progresión constante, como se desprende de su definición, es una colección de números idénticos.
enésimo término de progresión
Debido al hecho de que cada número posterior en la progresión considerada difiere en una constante d del anterior, su enésimo término se puede determinar fácilmente. Para hacer esto, necesita saber no solo d, sino también a 1, el primer término de la progresión. Utilizando un enfoque recursivo, se puede obtener una fórmula de progresión algebraica para encontrar el enésimo término. Parece: a n = a 1 + (n-1)*d. Esta fórmula es bastante simple y puede entenderse intuitivamente.
Tampoco es difícil de usar. Por ejemplo, en la progresión dada arriba (d=2, a 1 =3), definimos su término 35. Según la fórmula, será igual a: a 35 = 3 + (35-1)*2 = 71.
Fórmula para la cantidad
Cuando se da una progresión aritmética, la suma de sus primeros n términos es un problema que se encuentra con frecuencia, además de determinar el valor del enésimo término. La fórmula para la suma de una progresión algebraica se escribe de la siguiente forma: ∑ n 1 = n*(a 1 +a n)/2, aquí el símbolo ∑ n 1 indica que se suman los términos del 1 al enésimo.
La expresión anterior se puede obtener recurriendo a las propiedades de la misma recursividad, pero existe una forma más sencilla de demostrar su validez. Anotamos los 2 primeros y los 2 últimos términos de esta suma, expresándolos en números a 1, a n y d, y obtenemos: a 1, a 1 +d,...,a n -d, a n. Ahora fíjate que si sumamos el primer término al último, será exactamente igual a la suma del segundo y penúltimo término, es decir, a 1 +a n. De manera similar, se puede demostrar que se puede obtener la misma suma sumando el tercer y penúltimo término, y así sucesivamente. En el caso de un par de números en la secuencia, obtenemos n/2 sumas, cada una de las cuales es igual a a 1 +a n. Es decir, obtenemos la fórmula anterior para la progresión algebraica de la suma: ∑ n 1 = n*(a 1 +a n)/2.
Para un número impar de términos n, se obtiene una fórmula similar si se sigue el razonamiento descrito. Sólo recuerda agregar el término restante, que está en el centro de la progresión.
Vamos a mostrar cómo usar la fórmula anterior usando el ejemplo de una progresión simple que se presentó anteriormente (3, 5, 7, 9, 11...). Por ejemplo, es necesario determinar la suma de sus primeros 15 términos. Primero, definamos un 15. Usando la fórmula para el enésimo término (ver el párrafo anterior), obtenemos: a 15 = a 1 + (n-1)*d = 3 + (15-1)*2 = 31. Ahora podemos aplicar la fórmula para la suma de una progresión algebraica: ∑ 15 1 = 15*(3+31)/2 = 255.
Es interesante citar un hecho histórico interesante. La fórmula para la suma de una progresión aritmética fue obtenida por primera vez por Carl Gauss (el famoso matemático alemán del siglo XVIII). Cuando solo tenía 10 años, la maestra le planteó el problema de encontrar la suma de números del 1 al 100. Dicen que el pequeño Gauss resolvió este problema en unos segundos, notando que al sumar los números del principio y del final de la secuencia en pares, siempre puedes obtener 101, y como hay 50 sumas de este tipo, rápidamente dio la respuesta: 50*101 = 5050.
Ejemplo de solución de problema
Para completar el tema de la progresión algebraica, daremos un ejemplo de resolución de otro problema interesante, fortaleciendo así la comprensión del tema en consideración. Sea una determinada progresión para la cual se conoce la diferencia d = -3, así como su término 35 a 35 = -114. Es necesario encontrar el séptimo término de la progresión a 7 .
Como puede verse en las condiciones del problema, se desconoce el valor de a 1, por lo que no será posible utilizar la fórmula para el enésimo término directamente. El método recursivo también es inconveniente, es difícil de implementar manualmente y existe una alta probabilidad de cometer un error. Procedamos de la siguiente manera: escribimos las fórmulas para a 7 y a 35, tenemos: a 7 = a 1 + 6*d y a 35 = a 1 + 34*d. Reste la segunda expresión de la primera, obtenemos: a 7 - a 35 = a 1 + 6*d - a 1 - 34*d. Resulta: a 7 = a 35 - 28*d. Queda por sustituir los datos conocidos del planteamiento del problema y escribir la respuesta: a 7 = -114 - 28*(-3) = -30.
Progresión geométrica
Para revelar más completamente el tema del artículo, proporcionamos una breve descripción de otro tipo de progresión: la geométrica. En matemáticas, bajo este nombre se entiende una secuencia de números en la que cada término posterior difiere del anterior en un factor determinado. Denotemos este factor con la letra r. Se denomina denominador del tipo de progresión considerado. Un ejemplo de esta secuencia numérica sería: 1, 5, 25, 125,...
Como puede verse en la definición anterior, las progresiones algebraicas y geométricas tienen una idea similar. La diferencia entre ellos es que el primero cambia más lentamente que el segundo.
La progresión geométrica también puede ser creciente, constante o decreciente. Su tipo depende del valor del denominador r: si r>1, entonces hay una progresión creciente, si r<1 - убывающая, наконец, если r = 1 - постоянная, которая в этом случае может также называться постоянной арифметической прогрессией.
Fórmulas de progresión geométrica
Como en el caso del algebraico, las fórmulas de una progresión geométrica se reducen a determinar su enésimo término y la suma de n términos. A continuación se muestran estas expresiones:
- a n = a 1 *r (n-1): esta fórmula se deriva de la definición de progresión geométrica.
- ∑ norte 1 = a 1 *(r norte -1)/(r-1). Es importante señalar que si r = 1, entonces la fórmula anterior genera incertidumbre, por lo que no se puede utilizar. En este caso, la suma de n términos será igual al producto simple a 1 *n.
Por ejemplo, encontremos la suma de solo 10 términos de la secuencia 1, 5, 25, 125,... Sabiendo que a 1 = 1 y r = 5, obtenemos: ∑ 10 1 = 1*(5 10 -1 )/4 = 2441406. El valor resultante es un claro ejemplo de lo rápido que crece la progresión geométrica.
Quizás la primera mención de esta progresión en la historia sea la leyenda del tablero de ajedrez, cuando un amigo de un sultán, después de haberle enseñado a jugar al ajedrez, pidió grano para sus servicios. Además, la cantidad de grano debería haber sido la siguiente: se debe colocar un grano en la primera casilla del tablero de ajedrez, en la segunda el doble que en la primera, en la tercera el doble que en la segunda, y así sucesivamente. . El sultán accedió de buen grado a cumplir con esta petición, pero no sabía que tendría que vaciar todos los contenedores de su país para cumplir su palabra.